เวกเตอร์

1

Ẻ½ƒ¡ËÑ́ ·Õè 1 – ¤ÇÒÁÃÙŒàÇ¡àµÍÃ�àº×éͧµŒ¹

1. ¨Ò¡ÃÙ» ABCD ໚¹ÃÙ»ÊÕèàËÅÕèÂÁ´ŒÒ¹¢¹Ò¹ ¨§à¢Õ¹àÇ¡àµÍÃ�·Õè෋ҡѺàÇ¡àµÍÃ�µ‹Í仹Õé

áÅÐà¢Õ¹ ¹Ôàʸ¢Í§àÇ¡àµÍÃ�µ‹Í仹Õé 1. AB���⃑

2. AD���⃑

3. AO���⃑

4. BO���⃑

5. BA���⃑

6. BC���⃑

7. OA���⃑

8. OB���⃑

เวกเตอร์

2

2. ¶ŒÒ OABC ໚¹ÃÙ»¾ÕÃÐÁÔ´°Ò¹ÊÒÁàËÅÕèÂÁ áÅÐ OA���⃑ =a, OB���⃑ =b, OC���⃑ =c ¨§ËÒ

AC����⃑ , AB���⃑ , CB���⃑ ã¹à·ÍÁ¢Í§ a, b, c

3. E ໚¹ Ø̈´¡Ö觡ÅÒ§¢Í§´ŒÒ¹ CB ¨§ËÒ AE���⃑ ã¹à·ÍÁ¢Í§ a, b, c

เวกเตอร์

3

4. ¨Ò¡ÃÙ» ¶ŒÒ �AN����⃑ �:�NC����⃑ �=2:3 áÅдŒÒ¹ MN����⃑ ¢¹Ò¹¡Ñº´ŒÒ¹ BC ¨§à¢Õ¹

AM����⃑ ã¹à·ÍÁ¢Í§ AC����⃑ áÅдŒÒ¹ BC���⃑

5. ¨Ò¡ÃÙ» ABCD ໚¹ÊÕèàËÅÕèÂÁ´ŒÒ¹¢¹Ò¹ AC µÑ´¡Ñº BC ·Õè O áÅÐ Ø̈´ P ẋ§ AB

Í͡໚¹ AP:PB = 2:3 ¡íÒ˹´ AB���⃑ =u⃑, AD���⃑ =v⃑ ¨§à¢Õ¹OP���⃑ ã¹à·ÍÁ¢Í§ u⃑ áÅÐ v⃑

เวกเตอร์

4

6. ¨§à¢Õ¹ʋǹ¢Í§àÊŒ¹µÃ§·ÕèÁÕ·Ôȷҧ᷹»ÃÔÁÒ³àÇ¡àµÍÃ�µ‹Í仹Õé (¡ÒáíÒ˹´·ÔÈ·Ò§¨Ð¡íÒ˹´â´ÂºÍ¡¤‹Ò¢Í§ÁØÁ·ÕèÇÑ´¨Ò¡·ÔÈà˹×Í µÒÁà¢çÁ¹ÒÌÔ¡Òä»Âѧ·ÔÈ·Õ赌ͧ¡Òà ¤‹Ò¢Í§ÁØÁ¨ÐµŒÍ§ÍÂÙ‹ÃÐËÇ‹Ò§ 0° ¶Ö§ 360° ¶ŒÒ¤‹Ò¢Í§ÁØÁ µèíÒ¡Ç‹Ò 100° ¨Ðà¢Õ¹ÈÙ¹Â�¹íÒ·Ø¡¤ÃÑé§) Ãкº·Õè㪌¹ÕéàÃÕÂ¡Ç‹Ò (Three Figure System) 1. 120 àÁµÃ ä»·Ò§à˹×Í

2. 100 àÁµÃ ã¹·ÔÈ 150°

3. 75 ¡ÔâÅàÁµÃ ã¹·ÔȵÐÇѹÍÍ¡à©Õ§à˹×Í

4. 150 ¡ÔâÅàÁµÃ ã¹·ÔȵÐÇѹµ¡à©Õ§㵌

5. 50 àÁµÃ ã¹·ÔÈ 060 ͧÈÒ

เวกเตอร์

5

Ẻ½ƒ¡ËÑ́ ·Õè 2 – ¡ÒäٳàÇ¡àµÍÃ�́ ŒÇÂÊà¡ÅÒÃ�

1. ¨Ò¡ÃÙ» ABCD ໚¹ÃÙ»ÊÕèàËÅÕèÂÁ´ŒÒ¹¢¹Ò¹ ÁÕ O ໚¹ Ø̈´¡Ö觡ÅÒ§¢Í§àÊŒ¹·á§ÁØÁ BD

¶ŒÒ AB���⃑ = u⃑, AD���⃑ = v⃑ ¨§à¢Õ¹àÇ¡àµÍÃ� AO���⃑ áÅÐ BO���⃑ ã¹ÃÙ» u⃑ áÅÐ v⃑

เวกเตอร์

6

2. ¨Ò¡ÃÙ» ¡íÒ˹´ ABCD ໚¹ÃÙ»ÊÕèàËÅÕèÂÁ´ŒÒ¹¢¹Ò¹ E áÅÐ F ໚¹ Ø̈´¡Ö觡ÅÒ§¢Í§´ŒÒ¹

AD áÅÐ BC G áÅÐ H ໚¹ Ø̈´¡Ö觡ÅÒ§¢Í§´ŒÒ¹ AB áÅÐ CD ¶ŒÒ EF áÅÐ GH

µÑ´¡Ñ¹·Õè Ø̈´ O áÅÐ EF���⃑ = u⃑, GH���⃑ = v⃑ ¨§à¢Õ¹àÇ¡àµÍÃ�µ‹Í仹ÕéãËŒÍÂÙ‹ã¹ÃÙ» u⃑ áÅÐ v⃑

1. AO���⃑

2. OB���⃑

3. AC����⃑

4. AF���⃑

5. DF���⃑

6. BD���⃑

เวกเตอร์

7

3. ¨Ò¡ÃÙ»¡íÒ˹´ãËŒ ED���⃑ = u⃑, BC���⃑ = v⃑, AB���⃑ = 3u⃑, AE���⃑ = 2v⃑ áÅÐ DC����⃑ = w�⃑

¶ŒÒ F ໚¹ Ø̈´¡Ö觡ÅÒ§¢Í§ CD ¨§à¢Õ¹ AF���⃑ ã¹ÃÙ» u⃑ áÅÐ v⃑

เวกเตอร์

8

Ẻ½ƒ¡ËÑ́ ·Õè 3 – àÇ¡àµÍÃ�ã¹Ãкº¾Ô¡Ñ́ ©Ò¡ÊͧÁÔµÔáÅÐÊÒÁÁÔµÔ àÇ¡àµÍÃ� 2 ÁÔµÔ

1. ¡íÒ˹´ A(1, 2) áÅÐ B(3, 4) ¨§ËÒ AB���⃑

2. ¡íÒ˹´ AB���⃑ = 3

2

áÅÐ A(3, 4) ¨§ËÒ

เวกเตอร์

9

3. ¨§ËÒàÇ¡àµÍÃ�µ‹Í仹Õé

1. 3 4

+2 5

2. -3 4

+-4 5

3. 5 -5

+6 -6

เวกเตอร์

10

4. ¡íÒ˹´ A(1, 2), B(2, 3) áÅÐ C(5, 6) ¨§ËÒ AB���⃑ +BC���⃑

เวกเตอร์

11

5. ¡íÒ˹´ u⃑ = 2

4

, v⃑ = 3

6

, w�⃑ = 4

8

¨§ËÒ

1. 2u⃑+3v⃑

2. 3u⃑+4w�⃑

3. 2v⃑+5w�⃑

4. 1

2u⃑ +

1

3v⃑ -

1

4w�⃑

เวกเตอร์

12

6. ¨§ËÒ¢¹Ò´àÇ¡àµÍÃ�µ‹Í仹Õé

1. 3

4

2. 4

-3

3. -6

-8

4. 1

2

เวกเตอร์

13

7. ¨§ËÒàÇ¡àµÍÃ�˹Öè§Ë¹‹Ç·ÕèÁÕ·ÔÈ·Ò§à´ÕÂǡѺàÇ¡àµÍÃ� 3i⃑+4j⃑

8. ¨§ËÒàÇ¡àµÍÃ�˹Öè§Ë¹‹Ç·ÕèÁÕ·ÔÈ·Ò§à´ÕÂǡѺàÇ¡àµÍÃ� 6i⃑+8j⃑

เวกเตอร์

14

9. ¨§ËÒ¤‹Ò a áÅÐ b àÁ×èÍ¡íÒ˹´ãËŒ ai⃑ + 3j⃑ = 5j⃑ + bj⃑

10. ¶ŒÒ ai⃑ + 4j⃑ ¢¹Ò¹¡Ñº 9i⃑ + 6j⃑ ¨§ËÒ a

11. ¨§ËÒ a áÅÐ b àÁ×èÍ¡íÒ˹´ãËŒ 5i⃑-8j⃑=a�3i⃑-2j⃑�-b(2i⃑+j⃑)

เวกเตอร์

15

àÇ¡àµÍÃ� 3 ÁÔµÔ

1. ¡íÒ˹´ A(10, 2, -3) áÅÐ B(4, 3, 7) ¨§ËÒ AB���⃑

2. ¡íÒ˹´ AB���⃑ = 1

-1

1

áÅÐ A(2, -2, 4) ¨§ËÒ B

เวกเตอร์

16

3. ¨§ËÒàÇ¡àµÍÃ�µ‹Í仹Õé

1. 2 8

-3 + 6

4 -7

2. 11 3

-4 + 7

-3 9

3. -16 -8

9 + -6

-7 3

เวกเตอร์

17

4. ¡íÒ˹´ A(7, 3, -1), B(3, -3, 4) áÅÐ C(2, 2, -2) ¨§ËÒ AB���⃑ + BC���⃑ áÅÐ AC����⃑

5. ¡íÒ˹´ u⃑ =

3

-4

5

, v⃑ =

-1

1

2

, w�⃑ = 2

0

2

1. 2u⃑+3v⃑

2. 3v⃑-2w�⃑

3. u⃑-4v⃑+1

2w�⃑

เวกเตอร์

18

6. ¨§ËÒ¢¹Ò´¢Í§àÇ¡àµÍÃ�µ‹Í仹Õé

1.

2

2

2

2. 1

-1

2

3. 4

-4

-2

เวกเตอร์

19

7. ¨§ËÒàÇ¡àµÍÃ�˹Öè§Ë¹‹Ç·ÕèÁÕ·ÔÈ·Ò§à´ÕÂǡѺàÇ¡àµÍÃ� -8i⃑+6j⃑+2k⃑

8. ¨§ËÒ¤‹Ò a àÁ×èÍ¡íÒ˹´ãËŒ 2i⃑+aj⃑+5

2k⃑ ¢¹Ò¹¡Ñº -5i⃑+

5

2j⃑-25

4k⃑

เวกเตอร์

20

9. ¨§ËÒàÇ¡àµÍÃ�˹Öè§Ë¹‹Ç·ÕèÁÕ·ÔÈ·Ò§µÃ§¡Ñº¢ŒÒÁ¡ÑºàÇ¡àµÍÃ� 7i⃑-4j⃑+3k⃑

10. àÇ¡àµÍÃ�µ‹Í仹ÕéàÇ¡àµÍÃ�ã´¢¹Ò¹¡Ñ¹ 9

3-2-6 6 -3 -9 92

34 , -2 , - , 2 , -3 , 1 , -6

22 4 -1 6 1 33 -

2

เวกเตอร์

21

Ẻ½ƒ¡ËÑ́ ·Õè 4 – ¼Å¤Ù³àªÔ§Êà¡ÅÒÃ� 1. ¨§ËÒ A�⃑ ∙B⃑ àÁ×èÍ

1.1 A�⃑ =2i⃑-4j⃑, B⃑=i⃑+3j⃑

1.2 A�⃑ =2i⃑-3j⃑ , B⃑=i⃑+j⃑

2. ¨§ËÒÁØÁÃÐËÇ‹Ò§àÇ¡àµÍÃ�µ‹Í仹Õé

2.1 A�⃑ =5i⃑-6j⃑ , B⃑=6i⃑+5j⃑

2.2 A�⃑ =-4i⃑+j⃑ , B⃑=4j⃑ 2.3 A�⃑ =2i⃑+2√3j⃑, B⃑=3i⃑+j⃑

เวกเตอร์

22

3. ¨§ËÒ x ·Õè·íÒãËŒ A�⃑ =xi⃑+2j⃑ , B⃑=7i⃑+8j⃑

4. ¡íÒ˹´ u⃑=4i⃑-3j⃑, v⃑=i⃑-2j⃑ ¨§ËÒàÇ¡àµÍÃ�·ÕèµÑ駩ҡ¡Ñº v⃑ áÅÐÁÕ¢¹Ò´à´ÕÂǡѺ u

เวกเตอร์

23

5. ¡íÒ˹´ãËŒ u⃑+v⃑-w�⃑ =0 áÅÐ |u⃑|=1, |v⃑|=3, |w�⃑ |=4 ¨§ËÒÁØÁÃÐËÇ‹Ò§ u⃑ áÅÐ v⃑

6. ¡íÒ˹´ |u⃑|=10, |v⃑|=5 áÅÐ |u⃑+v⃑|=15 ¨§ËÒ �u⃑-v⃑�

เวกเตอร์

24

7. ¡íÒ˹´ãËŒ u⃑ áÅÐ v⃑ ໚¹àÇ¡àµÍÃ�˹Öè§Ë¹‹Ç ¶ŒÒÁØÁÃÐËÇ‹Ò§ u⃑ áÅÐ v⃑ ÁÕ¤‹Ò෋ҡѺ π3

áÅŒÇ �u⃑-3v⃑� ÁÕ¤‹Òà·‹Òã´

8. ¶ŒÒ u⃑∙v⃑=3, |v⃑|=3 áÅÐÁØÁÃÐËÇ‹Ò§ u⃑ áÅÐ v⃑ ໚¹ 30° áÅŒÇ |u⃑+v⃑| ෋ҡѺ෋ÒäËË

เวกเตอร์

25

Ẻ½ƒ¡ËÑ́ ·Õè 6 – ¼Å¤Ù³àªÔ§àÇ¡àµÍÃ� 1. ¡íÒ˹´ A�⃑ =i⃑+2j⃑+k⃑ , B⃑=2i⃑-k⃑ áÅÐ C�⃑ =-j⃑+2k⃑ ¨§ËÒ¤‹Ò¢Í§

1. A�⃑ ∙�B⃑xC�⃑ �

2. A�⃑ x�B⃑xC�⃑ �

เวกเตอร์

26

3. �A�⃑ xB⃑�C�⃑

4. �A�⃑ xB⃑�x�A�⃑ xC�⃑ �

5. �B⃑∙C�⃑ ��A�⃑ xB⃑�