บทที่ 2 การวิเคราะห เวกเตอร (Vector ......บทท 2 การว เคราะห เวกเตอร (Vector Analysis) เอกสารประกอบการสอนรายว

บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis)เอกสารประกอบการสอนรายวชา

PHYS 3201: ฟสกสเชงคณตศาสตร(คบ.)/คณตศาสตรสาหรบฟสกส(วท.บ.)

จกรกฤษ แกวนคม

สาขาวชาฟสกส คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลยมหาวทยาลยราชภฏเชยงใหม

October 14, 2014

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 1 / 53

อางอง1 E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, tenth edition, Wiley, (2011)2 D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, third edition, Prentice Hall, (1999)


หวขอยอย1 พชคณตเวกเตอร

บทนาการดาเนนการของเวกเตอรผลคณของสามเวกเตอรเวกเตอรตาแหนง

2 แคลคลสเชงอนพนธแกรเดยนตไดเวอรเจนซเครลอนพนธอนดบสอง

3 แคลคลสเชงปรพนธ

4 ระบบพกดโคง

5 ฟงกชนดแรกเดลตา


1. พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)

2.1 บทนาสมมตวาเราตองการระบพกด (coordinate)ของจดๆหนงในปรภม (space)

4

3A

(4, 3)

x

y

P

เวกเตอรเปนวตถเชงเรขาคณต มกใชสญลกษณเปนตวหนา เชน A หรอมลกศรดานบน เชนA จากรป เราสามารถเขยนแผนภาพเพอระบจดP ดวยรปลกศร ดงนนเวกเตอรจงถกเขยนในรป A = (4, 3)

ขนาดของเวกเตอรสามารถหาไดจากทฤษฎบทปธากอรสคอ

|A|2 = 42 + 32 = 25

หรอ |A| =√

25 = 5 เวกเตอรใดๆใน 2มต จงเขยนไดในรป

A = (Ax, Ay) (1)

Ax และ Ay จะเรยกวา องคประกอบ(component) ของเวกเตอร A ในแนวแกน xและ y ตามลาดบ และขนาดของมนกาลงสองจงหาไดจาก

|A|2 = A2x + A2

y (2)

โดยในกรณนคอ Ax = 4 และ Ay = 3


ถาหากเราม 2 จดในปรภม ซงเขยนแผนผงไดดงรป

(3, 1)

3

1

(5, 5)

5

5

B

AC

P

Q

x

y

2

4

จะไดB = (3, 1),

C = (5, 5),

A = C − B = (5, 5) − (3, 1)= (2, 4)

นนคอ เราสามารถทจะใชจดตรงปลายลกศรลบดวยจดตรงหางลกศรเพอหาองคประกอบของเวกเตอรไดเลย


x

y

z

A

Axy

AxAy

Az

เวกเตอรใน 3 มตจะมองคประกอบ 3 องคประกอบคอ

A = (Ax, Ay, Az) (3)

x

y

z

B C

A Q

P

Axy

Ax

Ay

Az

จากรปดานบน ถา B = (Bx, By, Bz),C = (Cx, Cy, Cz) เราจะไดวา

A = C − B หรอ

A = (Cx − Bx, Cy − By, Cz − Bz)จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 6 / 53

ตวอยาง 2.1จงหาองคประกอบของเวกเตอรทชจากจด (2, 4, 3) ไปยงจด (−2, 5, 3) และเวกเตอรนอยในระนาบใด จงวาดรปประกอบการอธบาย


ขนาดของเวกเตอร

จากรป ขนาดของเวกเตอร A จะแทนดวยสญลกษณ |A| ซงเปนปรมาณสเกลาร ในบางครงอาจจะแทนดวยสญลกษณ A ขนาดของเวกเตอรใดๆสามารถหาไดจากทฤษฎบทปธากอรสกลาวคอ

|A|2 = A2xy + A2

z (4)

เนองจาก A2xy = A2

x + A2y ดงนน

|A|2 = A2x + A2

y + A2z (5) x

y

z

A

Axy

AxAy

Az


ตวอยาง 2.2จด P อยทตาแหนง (3, −4, 1) และจด Q อยทตาแหนง (−1, 2 − 1) จดทงสองอยหางกนกหนวย


การเทากนของเวกเตอรถา A = (Ax, Ay, Az) และ B = (Bx, By, Bz) เปนเวกเตอรทเทากนแลว องคประกอบในแตละแกนของเวกเตอรทงสองตองเทากนดวยนนคอ Ax = Bx, Ay = By และAz = Bz นนคอเวกเตอร A และ B จะตองมขนาดเทากนและชไปในทศทางเดยวกน เราสามารถทจะเลอนเวกเตอรตวหนงไปยงทใดกไดเทาทเราตองการ เวกเตอรตวนนจะยงคงรกษาขนาดและทศทางไวเหมอนเดม เครองหมายลบ (−) ทอยดานหนาของเวกเตอรเชน −A จะแสดงถงเวกเตอรทชในทศทางตรงกนขามกบเวกเตอร A แตขนาดของเวกเตอรทงสองจะมคาเทากน ดงรป 2

B

A

A = B

Figure 1:

A

−A

Figure 2:


2.2 การดาเนนการของเวกเตอร (vector operations)การดาเนนการของเวกเตอรมดงน

(i) การรวมเวกเตอร (addition of vectors)(ii) การคณเวกเตอรดวยสเกลาร (multiplication by a scalar)(iii) ผลคณเชงสเกลารหรอผลคณแบบดอท (scalar product or dot product)(iv) ผลคณเชงเวกเตอรหรอผลคณแบบครอส (vector product or cross product)

(i) การรวมเวกเตอร

ในเชงพชคณตนน ผลรวมของเวกเตอร A และ B หาไดดงนคอ

A + B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz) (6)


คณสมบตของการรวมกนของเวกเตอร

A + B = B + A ⇒ การสลบท (commutative)

A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ การเปลยนกลม (associative)

A + 0 = 0 + A = A

A + (−A) = 0

(ii) การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

การคณเวกเตอร A = (Ax, Ay, Az) ดวยสเกลาร c โดยท c เปนจานวนจรงบวก จะเปนผลใหเวกเตอรตวนนมขนาดเปลยนแปลง แตยงคงรกษาทศของเวกเตอรไวเหมอนเดม

cA = c (Ax, Ay, Az) = (c Ax, c Ay, c Az) (7)


คณสมบตของการคณเวกเตอรดวยสเกลาร

c(A + B) = cA + cB,

(c + k)A = cA + kA,

c(kA) = (ck)A,

1A = A

เวกเตอรหนวย (unit vectors)

อกรปหนงของเวกเตอรทนยมเขยนอยางกวางขวาง นนคอ เขยนในรปเวกเตอรหนวย i, j, k ดงจะกลาวตอไปน กาหนดให A = (Ax, Ay, Az) จะได

A = Ax(1, 0, 0) + Ay(0, 1, 0) + Az(0, 0, 1)

หรอ

A = Axi + Ay j + Azk (8)

โดยทi = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) (9)


x

y

z

i jk

x

y

z

P

A

Axi

Ay j

Azk

กาหนดเวกเตอร A เปนเวกเตอรใดๆ เราสามารถทจะเขยนเวกเตอรนในรปของเวกเตอรหนวย,eA กลาวคอ

A = |A|eA ⇒ eA = A|A|

(10)

โดยท |A| กคอขนาดของ A และ eA เปนเวกเตอรหนวยทชในทศเดยวกบเวกเตอร A


ตวอยาง 2.3จงหาเวกเตอรหนวยทชในทศเดยวกบเวกเตอร A = 2i + j − 2k


(iii) ผลคณเชงสเกลารหรอผลคณแบบดอท(scalar product หรอ dot-product หรอ inner product)

ในรปขององคประกอบเวกเตอร ถา A = (Ax, Ay, Az) และ B = (Bx, By, Bz) ผลคณเชงสเกลารของเวกเตอร, A · B (อานวา ”เอ-ดอท-บ”) ดงกลาว นยามดงนคอ

A · B ≡ AxBx + AyBy + AzBz (11)

ในเชงเรขาคณต ถาเราทราบมมระหวางเวกเตอรA และ B เชน ถาเวกเตอรทงสองทามมกน θผลดอทของเวกเตอรทงสองเขยนไดอกรปแบบคอ

A · B = |A||B| cos θ (12)

โดยทมม 0 ≥ θ ≥ π

Bθ

A

Figure 3: การดอทเวกเตอร


จากสมการ (12) เวกเตอร A และ B จะเปนเวกเตอรทตงฉาก (orthogonal) ซงกนและกน(θ = π/2) (โดยท A, B = 0) กตอเมอผลคณเชงสเกลารของเวกเตอรทงสองจะเทากบศนย

ถา A · B = 0 ตความไดวา ⇒ A และ B ตงฉากกน

จากนยามการดอทเวกเตอร ขนาดของเวกเตอรกาลงสองใดๆสามารถหาไดจากผลดอทเวกเตอร

|A|2 = A · A = A2x + A2

y + A2z (13)

ตวอยาง 2.4จงหา dot product ของเวกเตอร A = (3, 2, −1) และเวกเตอร B = (1, −1, 0)


ตวอยาง 2.5จงหามมระหวางเวกเตอรสองตว, A และ B ทชจากจดกาเนดไปยงจด (1, 0, 1) และ (0, 1, 1)ตามลาดบ

xy

z

A B

(1,0,1) (0,1,1)

θ

Figure 4: รปสาหรบตวอยาง


คณสมบตของผลคณเชงสเกลาร

A · B = B · A ⇒ สมมาตร (symmetry)

A · (B + C) = A · B + A · C ⇒ การแจกแจง (distributive)

A · A = A2 ≥ 0

โดยท A · A = 0 กตอเมอ A = 0

จากการนยาม (11) พบวาi · i = j · j = k · k = 1

และเนองจาก i, j และ k เปนเวกเตอรหนวยตงฉาก (orthonormal) กนทงสามตว ดงนน

i · j = j · k = k · i = 0


กฎของโคไซน (cosine law)ถา C เปนเวกเตอรทเกดจาก A − B ดงรป ให C ≡ |C|, A ≡ |A| และ B ≡ |B| จะได

C2 = C · C = (A − B) · (A − B)

= A · A + B · B − 2(A · B)

เนองจาก A · A = A2, B · B = B2 และA · B = AB cos θ

B

A C = A − Bθ

จะได

C2 = A2 + B2 − AB cos θ (14)

ซงเรยกวากฎของโคไซน (cosine law)Note! สงเกตวากรณทมม θ = 90◦ กฎของโคไซนลดรปเปนกฎของสามเหลยมปธากอรส


การประยกตใชผลคณเชงสเกลาร

งาน (work) ทเกดจากแรงทกระทากบวตถ เราสามารถเขยนในรปผลคณเชงสเกลารคอ

W = F · s = Fs cos θ (15)

เมอ W คองานทเกดจากแรงคงตว F กระทากบวตถใหเกดการเคลอนทเปนระยะกระจด s

F

s

θ

ตวอยาง 2.6จงหางานทเกดจากแรงคงตวขนาด 10 นวตน ลากมวล m ไปกบพน(ดงรปดานบน)จากจดกาเนดไปยงจด (2, 4, 0) โดยแรงนมมมกระทากบพน 30 องศา


Orthonormal basisพจารณาเวกเตอรหนวย {i, j, k} ซงเปนเวกเตอรทตงฉากกนทงสามตว โดยเราจะเรยกทงสามนวา orthonormal basisa ถาเรามเวกเตอรใดๆทอยในรป

v = v1i + v2j + v3k

เราจะไดวา v1 = i · v, v2 = j · v และ v3 = k · v สาหรบ orthonormal basis i, j และ kในพกดคารทเซยน จะเรยกวา standard basis

aโดยทวไปแลว orthonormal basis อาจเปนเวกเตอรหนวยอนๆทตงฉากกนทงหมด นอกเหนอจาก i, jและ k กได

ตวอยาง 2.7: เสนตรงทตงฉากกนบนระนาบจงหาสมการเสนตรง L1 ทผานจด (1, 3) บนระนาบ xy และเสนตรงนตงฉากกบเสนตรง L2ซงมสมการเสนตรงเปน x − 2y + 2 = 0


ตวอยาง 2.7 (ตอ)


ตวอยาง 2.8จงหาเวกเตอรหนวยทตงฉากกบระนาบ 4x + 2y + 4z = −7


แบบฝกหด 2.1


(iv) ผลคณเชงเวกเตอรหรอผลคณแบบครอส

ผลคณเชงเวกเตอรของเวกเตอรสองตวนยามดงน

A × B ≡ |A||B| sin θ n (16)

โดยขนาดของเวกเตอร |A × B|= |A||B| sin θ เมอ θ คอมมระหวางเวกเตอร A และ Bและ 0 ≤ θ ≤ π เวกเตอรหนวย n เปนเวกเตอรหนวยทชตงฉากกบระนาบของเวกเตอร Aและ B ทศของ n ถกนยามใหคลอยตามกฎมอขวา ดงรป

|A||B| sin θ n

n

A

Bθ


พนทสเหลยมดานขนานถา A และ B เปนเวกเตอรทประกอบเปนดานของสแหลยมดานขนานดงรป แลว ขนาดของA × B จะเทากบพนทของสเหลยมดานขนานนน

A

B

θB sin θ

พนทสเหลยมดานขนาน = ฐาน × สง = (A)(B sin θ) = |A × B|.

ตวอยาง 2.9จงหาพนทสเหลยมดานขนานทมดานสองดานเปนเวกเตอร A = (1, 0, 1) และB = (0, 1, 1)



ผลคณเชงเวกเตอรของเวกเตอรหนวยแสดงไดดงน

i × i = j × j = k × k = 0i × j = −j × i = k

j × k = −k × j = ik × i = −i × k = j

ผลคณเชงเวกเตอรของเวกเตอรหนวยนใชไดเฉพาะกบระบบพกดแบบมอขวา (right- handedsystem)


ดงนน ผลคณเชงเวกเตอรในรปขององคประกอบเขยนไดดงนคอ

(17)A × B = (Axi + Ay j + Azk) × (Bxi + By j + Bzk)= (AyBz − AzBy )i + (AzBx − AxBz )j + (AxBy − AyBx)k

เราามารถหาคาผลคณเชงเวกเตอรสามารถคานวณไดจากดเทอรมแนนท (determinant) ของเมทรกดงน

A × B =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(18)

หรอ

A × B =

∣∣∣∣∣∣∣Ay Az

By Bz

∣∣∣∣∣∣∣ i −

∣∣∣∣∣∣∣Ax Az

Bx Bz

∣∣∣∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣∣∣∣Ax Ay

Bx By

∣∣∣∣∣∣∣ k (19)


ตวอยาง 2.10จงหาเวกเตอรหนวย n ทตงฉากกบระนาบ ดงแสดงในรป

วธทา

x

y

z

(0, 0, 1)

(0, 1, 0)

(1, 0, 0)

n




2.3 ผลคณของสามเวกเตอร (Triple products)การคณกนของเวกเตอรสามตว แบงไดเปนสองชนด คอ ผลลพธเปนสเกลาร และผลลพธเปนเวกเตอร เราแยกพจารณาไดดงน

(i) ผลลพธเปนสเกลาร ผลการคณเวกเตอรจะอยในรป A · (B × C) โดยท

A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B) (20)

ในรปขององคประกอบเวกเตอรสามารถหาไดจากทเทอรมแนนทของเมทรกดงน

A · (B × C) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(21)


ความหมายเชงเรขาคณตคอ ขนาดของผลคณเชงสเกลารของการคณทบสามครงมคาเทากบปรมาตรทรงสเหลยมดานขนาน (parallelepiped) ทมขอบยาวเทากบขนาดของเวกเตอรทง 3 ดงรป

BC sin θn A

B

Cϕ

θ

A cos ϕ

เนองจาก |B × C| = BC sin θ ดงนนปรมาตร = (BC sin θ)︸︷︷︸

พนทฐาน

(A cos ϕ)︸︷︷︸สง

= A|B × C| cos ϕ = A · |B × C|

(ii) ผลลพธเปนเวกเตอร ผลคณนเปนปรมาณเวกเตอร อยในรป A × (B × C) โดยท

A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B) (22)

เราอาจใชวธการจาสมการนงายๆวา กฎ BAC-CABจกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 33 / 53



2.4 เวกเตอรตาแหนงและเวกเตอรระยะกระจดนอยยงเวกเตอรทชไปยงจดใดๆในปรภมเรยกวาเวกเตอรตาแหนง (position vector) มกใชสญลกษณ rซงนยามดงน

r = (x, y, z) = xi + yj + zk (23)

ขนาดของเวกเตอร r จงอยในรป

r =√

x2 + y2 + z2 (24)

ดงนน เวกเตอรหนวย r ทชทศเดยวกบเวกเตอร r สามารถหาไดจาก

r = rr

= xi + yj + zk√x2 + y2 + z2 (25)


xy

z

r

ds

Figure 5: เวกเตอรระบตาแหนง

xy

z

r r + dr

dr

Figure 6: ระยะกระจดนอยยง

เวกเตอรระยะกระจดนอยยง (infinitesimal displacement vector) ทชจากจด (x, y, z) ไปยงจด(x + dx , y + dy , z + dz) คอ

dr = (dx , dy , dz) = dx i + dy j + dz k (26)

และds2 = dr · dr = dx2 + dy2 + dz2 (27)

เราเรยก ds เรยกวา line elementจกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 36 / 53

2. แคลคลสเชงอนพนธ

2.1 แกรเดยนต (Gradient)ถาให f(x) เปนฟงกชนสเกลารฟงกชนหนง อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x) เมอ xเปลยนไปเปนระยะนอยๆ x + dx จะอยในรป

df =(df

dx

)dx (28)

โดย df/dx จะบอกถงความชน (slope) ของกราฟระหวาง f(x) และ x

ในกรณท f ฟงกชนในปรภม x, y, z1 เชน f = f(x, y, z) อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x, y, z) จะอยในรป

df (x, y, z) = ∂f

∂xdx + ∂f

∂ydy + ∂f

∂zdz (29)

1เราอาจเรยก f(x, y, z) วาฟงกชนสเกลาร (scalar function) หรอ สนามสเกลาร (scalar field)จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 37 / 53

สมการ (29) สามารถถกเขยนไดอกรปคอ

df =(

∂f

∂xi + ∂f

∂yj + ∂f

∂zk

)·

(dxi + dyj + dzk

)= ∇f · dr

เมอ

∇f = ∂f

∂xi + ∂f

∂yj + ∂f

∂zk (30)

สญลกษณ ∇f เรยกวาแกรเดยนต (gradient) ของฟงกชน f หรอเราอาจเรยกสนๆวา”แกรด-เอฟ”


ตวดาเนนการ ∇ เปนตวดาเนนการเชงเวกเตอร เรยกวา ตวดาเนนการเดล (Del operator) ในพกดคารทเซยนจะอยในรป

∇ = ∂

∂xi + ∂

∂yj + ∂

∂zk (31)

สนามสเกลารในทางฟสกสเชน อณหภม, พลงงานศกยโนมถวง, ความดน เปนตน

Figure 7: ความตางของอณหภมในปรภม

V (x, y, z) = −k√

x2 + y2 + z2

Figure 8: พลงงานศกยโนมถวงในปรภม


ตวอยาง 2.11จงหาแกรเดยนตของสนามสเกลาร T (x, y, z) = x2y + z3

ตวอยาง 2.12จงหาแกรเดยนตของขนาดของเวกเตอรระบตาแหนง r =

√x2 + y2 + z2


แบบฝกหด 2.3จงหาแกรเดยนตของฟงกชนตอไปน

1 h(x, y, z) = xy2 ln z

2 g(x, y, z) = xyz + xey + y cos z

กาหนดใหเวกเตอร r = r − r′ และ r = |r − r′| โดยท r = (x, y, z) และr′ = (x′, y′, z′) จงพสจนวา

3 ∇(r2)

= 2 r4 ∇(1/r) = −r/r


จงพสจนวาแรงโนมถวง F(r) = −GMm

r2 r ระหวางมวล M และมวลทดสอบ m มคาเทากบคาลบแกรเดยนตของพลงงานศกยโนมถวงของมวล M กลาวคอ

F = −∇V

เมอ V (r) = −GMm/r คอพลงงานศกยโนมถวงจกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 41 / 53

สาหรบระยะกระจด dr ใดๆ อตราการเปลยนแปลง df เขยนไดอกรปคอ

df = ∇f · dr = |∇f ||dr |cos θ (32)

เมอ θ คอมมระหวางเวกเตอร ∇f และ dr สมการ (32) จรงๆแลวกคอรปแบบสามมตของสมการ (28) |∇f | จงแสดงถงอตราการเปลยนแปลงของ f ซงจะมคามากสดเมอ θ = 0

แกรเดยนของพนผวใดๆจะแสดงถงเวกเตอรตงฉากกบพนผวนนในทางเรขาคณต ถาเรามฟงกชนพนผว ซงอยในรป

f(x, y, z) = c

เมอ c เปนคาคงตวคาหนง จะเปนผลให df = ∇f · dr = 0 ดงนน ∇f จะตงฉากกบ drใดๆทอยบนพนผวน


x

y

z

พนผวf(x, y, z) = c

∇f


dr

x

y

0.15

0.4

0.8

0.8

1.1

1.1

1.1

1.4

1.4

1.7

1.7

2.3

2.6

2

3

∇f

f(x, y) = c


ตวอยาง 2.13จงหาเวกเตอรหนวย n ทตงฉากกบผวกรวยทมสมการเปน z2 = 4(x2 + y2) ทจด (1, 0, 2)


ตวอยาง 2.14เทอกเขาหนงมความสง h(x, y) เปนฟงกชนดงนคอ (ในหนวยเมตร)

h(x, y) = 10(2xy − 3x2 − 4y2 − 18x + 28y + 12)

1. จดสงสดของภเขาอยตรงจดใด?2. จดทสงสดอยสงกเมตร?


ตวอยาง 2.15ศกยไฟฟาของประจขวค (electric dipole) q และ −q อยในรปของฟงกชน

V (x, y, z) = q

4πϵ0

[1√

x2 + (y − 1)2 + z2 − 1√x2 + (y + 1)2 + z2

]

จงหาสนามไฟฟารวมของประจทงสองน





แบบฝกหด 2.6จงหาเวกเตอรหนวยทตงฉากกบพนผวของทรงกระบอก x2 + y2 = 5 ณ จด (

√3, 1, 3)






Documents

บทที่ 2 การวิเคราะห เวกเตอร (Vector ......บทท 2 การว เคราะห เวกเตอร (Vector Analysis) เอกสารประกอบการสอนรายว