บทที่ 2 การวิเคราะห เวกเตอร (Vector ......บทท 2 การว เคราะห เวกเตอร (Vector Analysis) เอกสารประกอบการสอนรายว

บทที่ 2 การวิเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis)เอกสารประกอบการสอนรายวิชา

PHYS 3201: ฟิสิกสเชิงคณิตศาสตร(คบ.)/คณิตศาสตรสําหรับฟิสิกส(วท.บ.)

จักรกฤษ แกวนิคม

สาขาวิชาฟิสิกส คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยราชภัฏเชียงใหม

October 14, 2014

จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 2 การวิเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 1 / 53

อางอิง1 E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, tenth edition, Wiley, (2011)2 D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, third edition, Prentice Hall, (1999)


หัวขอยอย1 พีชคณิตเวกเตอร

บทนําการดําเนินการของเวกเตอรผลคูณของสามเวกเตอรเวกเตอรตําแหนง

2 แคลคูลัสเชิงอนุพันธแกรเดียนตไดเวอรเจนซเคิรลอนุพันธอันดับสอง

3 แคลคูลัสเชิงปริพันธ

4 ระบบพิกัดโคง

5 ฟังกชันดิแรกเดลตา


1. พีชคณิตเวกเตอร (Vector algebra)

2.1 บทนําสมมติวาเราตองการระบุพิกัด (coordinate)ของจุดๆหน่ึงในปริภูมิ (space)

4

3A

(4, 3)

x

y

P

เวกเตอรเป็นวัตถุเชิงเรขาคณิต มักใชสัญลักษณเป็นตัวหนา เชน A หรือมีลูกศรดานบน เชนA⃗ จากรูป เราสามารถเขียนแผนภาพเพื่อระบุจุดP ดวยรูปลูกศร ดังน้ันเวกเตอรจึงถูกเขียนในรูป A = (4, 3)

ขนาดของเวกเตอรสามารถหาไดจากทฤษฎีบทปีธากอรัสคือ

|A|2 = 42 + 32 = 25

หรือ |A| =√

25 = 5 เวกเตอรใดๆใน 2มิติ จึงเขียนไดในรูป

A = (Ax, Ay) (1)

Ax และ Ay จะเรียกวา องคประกอบ(component) ของเวกเตอร A ในแนวแกน xและ y ตามลําดับ และขนาดของมันกําลังสองจึงหาไดจาก

|A|2 = A2x + A2y (2)

โดยในกรณีน้ีคือ Ax = 4 และ Ay = 3


ถาหากเรามี 2 จุดในปริภูมิ ซึ่งเขียนแผนผังไดดังรูป

(3, 1)

3

1

(5, 5)

5

5

B

AC

P

Q

x

y

2

4

จะไดB = (3, 1),

C = (5, 5),

A = C − B = (5, 5) − (3, 1)= (2, 4)

น่ันคือ เราสามารถที่จะใชจุดตรงปลายลูกศรลบดวยจุดตรงหางลูกศรเพื่อหาองคประกอบของเวกเตอรไดเลย


x

y

z

A

Axy

AxAy

Az

เวกเตอรใน 3 มิติจะมีองคประกอบ 3 องคประกอบคือ

A = (Ax, Ay, Az) (3)

x

y

z

B C

A QP

AxyAx

Ay

Az

จากรูปดานบน ถา B = (Bx, By, Bz),C = (Cx, Cy, Cz) เราจะไดวา

A = C − B หรือ

A = (Cx − Bx, Cy − By, Cz − Bz)จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 2 การวิเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 6 / 53

ตัวอยาง 2.1จงหาองคประกอบของเวกเตอรที่ชีจ้ากจุด (2, 4, 3) ไปยังจุด (−2, 5, 3) และเวกเตอรน้ีอยูในระนาบใด จงวาดรูปประกอบการอธิบาย


ขนาดของเวกเตอร

จากรูป ขนาดของเวกเตอร A จะแทนดวยสัญลักษณ |A| ซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร ในบางครัง้อาจจะแทนดวยสัญลักษณ A ขนาดของเวกเตอรใดๆสามารถหาไดจากทฤษฎีบทปีธากอรัสกลาวคือ

|A|2 = A2xy + A2z (4)

เน่ืองจาก A2xy = A2x + A2y ดังน้ัน

|A|2 = A2x + A2y + A2z (5) x

y

z

A

Axy

AxAy

Az


ตัวอยาง 2.2จุด P อยูที่ตําแหนง (3, −4, 1) และจุด Q อยูที่ตําแหนง (−1, 2 − 1) จุดทัง้สองอยูหางกันกี่หนวย


การเทากันของเวกเตอรถา A = (Ax, Ay, Az) และ B = (Bx, By, Bz) เป็นเวกเตอรที่เทากันแลว องคประกอบในแตละแกนของเวกเตอรทัง้สองตองเทากันดวยน่ันคือ Ax = Bx, Ay = By และAz = Bz น่ันคือเวกเตอร A และ B จะตองมีขนาดเทากันและชีไ้ปในทิศทางเดียวกัน เราสามารถที่จะเลื่อนเวกเตอรตัวหน่ึงไปยังที่ใดก็ไดเทาที่เราตองการ เวกเตอรตัวน้ันจะยังคงรักษาขนาดและทิศทางไวเหมือนเดิม เครื่องหมายลบ (−) ที่อยูดานหนาของเวกเตอรเชน −A จะแสดงถึงเวกเตอรที่ชีใ้นทิศทางตรงกันขามกับเวกเตอร A แตขนาดของเวกเตอรทัง้สองจะมีคาเทากัน ดังรูป 2

B

A

A = B

Figure 1:

A

−A

Figure 2:


2.2 การดําเนินการของเวกเตอร (vector operations)การดําเนินการของเวกเตอรมีดังน้ี

(i) การรวมเวกเตอร (addition of vectors)(ii) การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร (multiplication by a scalar)(iii) ผลคูณเชิงสเกลารหรือผลคูณแบบดอท (scalar product or dot product)(iv) ผลคูณเชิงเวกเตอรหรือผลคูณแบบครอส (vector product or cross product)

(i) การรวมเวกเตอร

ในเชิงพีชคณิตน้ัน ผลรวมของเวกเตอร A และ B หาไดดังน้ีคือ

A + B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz) (6)


คุณสมบัติของการรวมกันของเวกเตอร

A + B = B + A ⇒ การสลับที่ (commutative)

A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ การเปลี่ยนกลุม (associative)

A + 0 = 0 + A = A

A + (−A) = 0

(ii) การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร

การคูณเวกเตอร A = (Ax, Ay, Az) ดวยสเกลาร c โดยที่ c เป็นจํานวนจริงบวก จะเป็นผลใหเวกเตอรตัวน้ันมีขนาดเปลี่ยนแปลง แตยังคงรักษาทิศของเวกเตอรไวเหมือนเดิม

cA = c (Ax, Ay, Az) = (c Ax, c Ay, c Az) (7)


คุณสมบัติของการคูณเวกเตอรดวยสเกลาร

c(A + B) = cA + cB,(c + k)A = cA + kA,

c(kA) = (ck)A,1A = A

เวกเตอรหนวย (unit vectors)

อีกรูปหน่ึงของเวกเตอรที่นิยมเขียนอยางกวางขวาง น่ันคือ เขียนในรูปเวกเตอรหนวย î, ĵ, k̂ ดังจะกลาวตอไปน้ี กําหนดให A = (Ax, Ay, Az) จะได

A = Ax(1, 0, 0) + Ay(0, 1, 0) + Az(0, 0, 1)

หรือ

A = Ax̂i + Ay ĵ + Azk̂ (8)

โดยที่î = (1, 0, 0), ĵ = (0, 1, 0), k̂ = (0, 0, 1) (9)


x

y

z

î ĵk̂

x

y

z

P

A

Ax̂i

Ay ĵ

Azk̂

กําหนดเวกเตอร A เป็นเวกเตอรใดๆ เราสามารถที่จะเขียนเวกเตอรน้ีในรูปของเวกเตอรหนวย,êA กลาวคือ

A = |A|êA ⇒ êA =A|A|

(10)

โดยที่ |A| ก็คือขนาดของ A และ êA เป็นเวกเตอรหนวยที่ชีใ้นทิศเดียวกับเวกเตอร A


ตัวอยาง 2.3จงหาเวกเตอรหนวยที่ชีใ้นทิศเดียวกับเวกเตอร A = 2̂i + ĵ − 2k̂


(iii) ผลคูณเชิงสเกลารหรือผลคูณแบบดอท(scalar product หรือ dot-product หรือ inner product)

ในรูปขององคประกอบเวกเตอร ถา A = (Ax, Ay, Az) และ B = (Bx, By, Bz) ผลคูณเชิงสเกลารของเวกเตอร, A · B (อานวา ”เอ-ดอท-บี”) ดังกลาว นิยามดังน้ีคือ

A · B ≡ AxBx + AyBy + AzBz (11)

ในเชิงเรขาคณิต ถาเราทราบมุมระหวางเวกเตอรA และ B เชน ถาเวกเตอรทัง้สองทํามุมกัน θผลดอทของเวกเตอรทัง้สองเขียนไดอีกรูปแบบคือ

A · B = |A||B| cos θ (12)

โดยที่มุม 0 ≥ θ ≥ π

Bθ

A

Figure 3: การดอทเวกเตอร


จากสมการ (12) เวกเตอร A และ B จะเป็นเวกเตอรที่ตัง้ฉาก (orthogonal) ซึ่งกันและกัน(θ = π/2) (โดยที่ A, B ̸= 0) ก็ตอเมื่อผลคูณเชิงสเกลารของเวกเตอรทัง้สองจะเทากับศูนย

ถา A · B = 0 ตีความไดวา ⇒ A และ B ตัง้ฉากกัน

จากนิยามการดอทเวกเตอร ขนาดของเวกเตอรกําลังสองใดๆสามารถหาไดจากผลดอทเวกเตอร

|A|2 = A · A = A2x + A2y + A2z (13)

ตัวอยาง 2.4จงหา dot product ของเวกเตอร A = (3, 2, −1) และเวกเตอร B = (1, −1, 0)


ตัวอยาง 2.5จงหามุมระหวางเวกเตอรสองตัว, A และ B ที่ชีจ้ากจุดกําเนิดไปยังจุด (1, 0, 1) และ (0, 1, 1)ตามลําดับ

xy

z

A B

(1,0,1) (0,1,1)

θ

Figure 4: รูปสําหรับตัวอยาง


คุณสมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร

A · B = B · A ⇒ สมมาตร (symmetry)

A · (B + C) = A · B + A · C ⇒ การแจกแจง (distributive)

A · A = A2 ≥ 0

โดยที่ A · A = 0 ก็ตอเมื่อ A = 0

จากการนิยาม (11) พบวาî · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1

และเน่ืองจาก î, ĵ และ k̂ เป็นเวกเตอรหนวยตัง้ฉาก (orthonormal) กันทัง้สามตัว ดังน้ัน

î · ĵ = ĵ · k̂ = k̂ · î = 0


กฎของโคไซน (cosine law)ถา C เป็นเวกเตอรที่เกิดจาก A − B ดังรูป ให C ≡ |C|, A ≡ |A| และ B ≡ |B| จะได

C2 = C · C = (A − B) · (A − B)

= A · A + B · B − 2(A · B)

เน่ืองจาก A · A = A2, B · B = B2 และA · B = AB cos θ

B

A C = A − Bθ

จะได

C2 = A2 + B2 − AB cos θ (14)

ซึ่งเรียกวากฎของโคไซน (cosine law)Note! สังเกตวากรณีที่มุม θ = 90◦ กฎของโคไซนลดรูปเป็นกฎของสามเหลี่ยมปิธากอรัส


การประยุกตใชผลคูณเชิงสเกลาร

งาน (work) ที่เกิดจากแรงที่กระทํากับวัตถุ เราสามารถเขียนในรูปผลคูณเชิงสเกลารคือ

W = F · s = Fs cos θ (15)

เมื่อ W คืองานที่เกิดจากแรงคงตัว F กระทํากับวัตถุใหเกิดการเคลื่อนที่เป็นระยะกระจัด s

F

s

θ

ตัวอยาง 2.6จงหางานที่เกิดจากแรงคงตัวขนาด 10 นิวตัน ลากมวล m ไปกับพื้น(ดังรูปดานบน)จากจุดกําเนิดไปยังจุด (2, 4, 0) โดยแรงน้ีมีมุมกระทํากับพื้น 30 องศา


Orthonormal basisพิจารณาเวกเตอรหนวย {̂i, ĵ, k̂} ซึ่งเป็นเวกเตอรที่ตัง้ฉากกันทัง้สามตัว โดยเราจะเรียกทัง้สามน้ีวา orthonormal basisa ถาเรามีเวกเตอรใดๆที่อยูในรูป

v = v1̂i + v2̂j + v3k̂

เราจะไดวา v1 = î · v, v2 = ĵ · v และ v3 = k̂ · v สําหรับ orthonormal basis î, ĵ และ k̂ในพิกัดคารทีเซียน จะเรียกวา standard basis

aโดยทัว่ไปแลว orthonormal basis อาจเป็นเวกเตอรหนวยอื่นๆที่ตัง้ฉากกันทัง้หมด นอกเหนือจาก î, ĵและ k̂ ก็ได

ตัวอยาง 2.7: เสนตรงที่ตัง้ฉากกันบนระนาบจงหาสมการเสนตรง L1 ที่ผานจุด (1, 3) บนระนาบ xy และเสนตรงน้ีตัง้ฉากกับเสนตรง L2ซึ่งมีสมการเสนตรงเป็น x − 2y + 2 = 0


ตัวอยาง 2.7 (ตอ)


ตัวอยาง 2.8จงหาเวกเตอรหนวยที่ตัง้ฉากกับระนาบ 4x + 2y + 4z = −7


แบบฝึกหัด 2.1


(iv) ผลคูณเชิงเวกเตอรหรือผลคูณแบบครอส

ผลคูณเชิงเวกเตอรของเวกเตอรสองตัวนิยามดังน้ี

A × B ≡ |A||B| sin θ n̂ (16)

โดยขนาดของเวกเตอร |A × B|= |A||B| sin θ เมื่อ θ คือมุมระหวางเวกเตอร A และ Bและ 0 ≤ θ ≤ π เวกเตอรหนวย n̂ เป็นเวกเตอรหนวยที่ชีต้ัง้ฉากกับระนาบของเวกเตอร Aและ B ทิศของ n̂ ถูกนิยามใหคลอยตามกฎมือขวา ดังรูป

|A||B| sin θ n̂

n̂

A

Bθ


พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนานถา A และ B เป็นเวกเตอรที่ประกอบเป็นดานของสี่แหลี่ยมดานขนานดังรูป แลว ขนาดของA × B จะเทากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดานขนานน้ัน

A

B

θB sin θ

พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน × สูง = (A)(B sin θ) = |A × B|.

ตัวอยาง 2.9จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานสองดานเป็นเวกเตอร A = (1, 0, 1) และB = (0, 1, 1)



ผลคูณเชิงเวกเตอรของเวกเตอรหนวยแสดงไดดังน้ี

î × î = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = 0î × ĵ = −ĵ × î = k̂

ĵ × k̂ = −k̂ × ĵ = îk̂ × î = −̂i × k̂ = ĵ

ผลคูณเชิงเวกเตอรของเวกเตอรหนวยน้ีใชไดเฉพาะกับระบบพิกัดแบบมือขวา (right- handedsystem)


ดังน้ัน ผลคูณเชิงเวกเตอรในรูปขององคประกอบเขียนไดดังน้ีคือ

(17)A × B = (Ax̂i + Ay ĵ + Azk̂) × (Bx̂i + By ĵ + Bzk̂)= (AyBz − AzBy )̂i + (AzBx − AxBz )̂j + (AxBy − AyBx)k̂

เราามารถหาคาผลคูณเชิงเวกเตอรสามารถคํานวณไดจากดีเทอรมิแนนท (determinant) ของเมทริกดังน้ี

A × B =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣î ĵ k̂

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(18)

หรือ

A × B =

∣∣∣∣∣∣∣Ay Az

By Bz

∣∣∣∣∣∣∣ î −∣∣∣∣∣∣∣Ax Az

Bx Bz

∣∣∣∣∣∣∣ ĵ +∣∣∣∣∣∣∣Ax Ay

Bx By

∣∣∣∣∣∣∣ k̂ (19)


ตัวอยาง 2.10จงหาเวกเตอรหนวย n̂ ที่ตัง้ฉากกับระนาบ ดังแสดงในรูป

วิธิทํา

x

y

z

(0, 0, 1)

(0, 1, 0)

(1, 0, 0)

n̂


2.3 ผลคูณของสามเวกเตอร (Triple products)การคูณกันของเวกเตอรสามตัว แบงไดเป็นสองชนิด คือ ผลลัพธเป็นสเกลาร และผลลัพธเป็นเวกเตอร เราแยกพิจารณาไดดังน้ี

(i) ผลลัพธเป็นสเกลาร ผลการคูณเวกเตอรจะอยูในรูป A · (B × C) โดยที่

A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B) (20)

ในรูปขององคประกอบเวกเตอรสามารถหาไดจากทีเทอรมิแนนทของเมทริกดังน้ี

A · (B × C) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(21)


ความหมายเชิงเรขาคณิตคือ ขนาดของผลคูณเชิงสเกลารของการคูณทับสามครัง้มีคาเทากับปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมดานขนาน (parallelepiped) ที่มีขอบยาวเทากับขนาดของเวกเตอรทัง้ 3 ดังรูป

BC sin θn̂ A

B

Cϕ

θ

A cos ϕ

เน่ืองจาก |B × C| = BC sin θ ดังน้ันปริมาตร = (BC sin θ)︸︷︷︸

พื้นที่ฐาน

(A cos ϕ)︸︷︷︸สูง

= A|B × C| cos ϕ = A · |B × C|

(ii) ผลลัพธเป็นเวกเตอร ผลคูณน้ีเป็นปริมาณเวกเตอร อยูในรูป A × (B × C) โดยที่

A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B) (22)

เราอาจใชวิธีการจําสมการน้ีงายๆวา กฎ BAC-CABจักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 2 การวิเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 33 / 53

2.4 เวกเตอรตําแหนงและเวกเตอรระยะกระจัดนอยยิ่งเวกเตอรที่ชีไ้ปยังจุดใดๆในปริภูมิเรียกวาเวกเตอรตําแหนง (position vector) มักใชสัญลักษณ rซึ่งนิยามดังน้ี

r = (x, y, z) = x̂i + ŷj + zk̂ (23)

ขนาดของเวกเตอร r จึงอยูในรูป

r =√

x2 + y2 + z2 (24)

ดังน้ัน เวกเตอรหนวย r̂ ที่ชีท้ิศเดียวกับเวกเตอร r สามารถหาไดจาก

r̂ = rr

= x̂i + ŷj + zk̂√x2 + y2 + z2

(25)


xy

z

r

ds

Figure 5: เวกเตอรระบุตําแหนง

xy

z

r r + dr

dr

Figure 6: ระยะกระจัดนอยยิ่ง

เวกเตอรระยะกระจัดนอยยิ่ง (infinitesimal displacement vector) ที่ชีจ้ากจุด (x, y, z) ไปยังจุด(x + dx , y + dy , z + dz) คือ

dr = (dx , dy , dz) = dx î + dy ĵ + dz k̂ (26)

และds2 = dr · dr = dx2 + dy2 + dz2 (27)

เราเรียก ds เรียกวา line elementจักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 2 การวิเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 36 / 53

2. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ

2.1 แกรเดียนต (Gradient)ถาให f(x) เป็นฟังกชันสเกลารฟังกชันหน่ึง อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังกชัน f(x) เมื่อ xเปลี่ยนไปเป็นระยะนอยๆ x + dx จะอยูในรูป

df =(df

dx

)dx (28)

โดย df/dx จะบอกถึงความชัน (slope) ของกราฟระหวาง f(x) และ x

ในกรณีที่ f ฟังกชันในปริภูมิ x, y, z1 เชน f = f(x, y, z) อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังกชัน f(x, y, z) จะอยูในรูป

df (x, y, z) = ∂f∂x

dx + ∂f∂y

dy + ∂f∂z

dz (29)

1เราอาจเรียก f(x, y, z) วาฟังกชันสเกลาร (scalar function) หรือ สนามสเกลาร (scalar field)จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 2 การวิเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 37 / 53

สมการ (29) สามารถถูกเขียนไดอีกรูปคือ

df =(

∂f

∂xî + ∂f

∂yĵ + ∂f

∂zk̂

)·

(dx̂i + dŷj + dzk̂

)= ∇f · dr

เมื่อ

∇f = ∂f∂x

î + ∂f∂y

ĵ + ∂f∂z

k̂ (30)

สัญลักษณ ∇f เรียกวาแกรเดียนต (gradient) ของฟังกชัน f หรือเราอาจเรียกสัน้ๆวา”แกรด-เอฟ”


ตัวดําเนินการ ∇ เป็นตัวดําเนินการเชิงเวกเตอร เรียกวา ตัวดําเนินการเดล (Del operator) ในพิกัดคารทีเซียนจะอยูในรูป

∇ = ∂∂x

î + ∂∂y

ĵ + ∂∂z

k̂ (31)

สนามสเกลารในทางฟิสิกสเชน อุณหภูมิ, พลังงานศักยโนมถวง, ความดัน เป็นตน

Figure 7: ความตางของอุณหภูมิในปริภูมิ

V (x, y, z) = −k√

x2 + y2 + z2

Figure 8: พลังงานศักยโนมถวงในปริภูมิ


ตัวอยาง 2.11จงหาแกรเดียนตของสนามสเกลาร T (x, y, z) = x2y + z3

ตัวอยาง 2.12จงหาแกรเดียนตของขนาดของเวกเตอรระบุตําแหนง r =

√x2 + y2 + z2


แบบฝึกหัด 2.3จงหาแกรเดียนตของฟังกชันตอไปน้ี

1 h(x, y, z) = xy2 ln z2 g(x, y, z) = xyz + xey + y cos z

กําหนดใหเวกเตอร r = r − r′ และ r = |r − r′| โดยที่ r = (x, y, z) และr′ = (x′, y′, z′) จงพิสูจนวา

3 ∇(r2

)= 2 r

4 ∇(1/r) = −r̂/r


จงพิสูจนวาแรงโนมถวง F(r) = −GMm

r2r̂ ระหวางมวล M และมวลทดสอบ m มีคาเทากับ

คาลบแกรเดียนตของพลังงานศักยโนมถวงของมวล M กลาวคือ

F = −∇V

เมื่อ V (r) = −GMm/r คือพลังงานศักยโนมถวงจักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 2 การวิเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 41 / 53

สําหรับระยะกระจัด dr ใดๆ อัตราการเปลี่ยนแปลง df เขียนไดอีกรูปคือ

df = ∇f · dr = |∇f ||dr |cos θ (32)

เมื่อ θ คือมุมระหวางเวกเตอร ∇f และ dr สมการ (32) จริงๆแลวก็คือรูปแบบสามมิติของสมการ (28) |∇f | จึงแสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f ซึ่งจะมีคามากสุดเมื่อ θ = 0

แกรเดียนของพื้นผิวใดๆจะแสดงถึงเวกเตอรตัง้ฉากกับพื้นผิวน้ันในทางเรขาคณิต ถาเรามีฟังกชันพื้นผิว ซึ่งอยูในรูป

f(x, y, z) = c

เมื่อ c เป็นคาคงตัวคาหน่ึง จะเป็นผลให df = ∇f · dr = 0 ดังน้ัน ∇f จะตัง้ฉากกับ drใดๆที่อยูบนพื้นผิวน้ี


x

y

z

พื้นผิวf(x, y, z) = c

∇f


dr

x

y

0.15

0.4

0.8

0.8

1.1

1.1

1.1

1.4

1.4

1.7

1.7

2.3

2.6

2

3

∇f

f(x, y) = c


ตัวอยาง 2.13จงหาเวกเตอรหนวย n̂ ที่ตัง้ฉากกับผิวกรวยที่มีสมการเป็น z2 = 4(x2 + y2) ที่จุด (1, 0, 2)


ตัวอยาง 2.14เทือกเขาหน่ึงมีความสูง h(x, y) เป็นฟังกชันดังน้ีคือ (ในหนวยเมตร)

h(x, y) = 10(2xy − 3x2 − 4y2 − 18x + 28y + 12)

1. จุดสูงสุดของภูเขาอยูตรงจุดใด?2. จุดที่สูงสุดอยูสูงกี่เมตร?


ตัวอยาง 2.15ศักยไฟฟาของประจุขัว้คู (electric dipole) q และ −q อยูในรูปของฟังกชัน

V (x, y, z) = q4πϵ0

[1√

x2 + (y − 1)2 + z2− 1√

x2 + (y + 1)2 + z2

]

จงหาสนามไฟฟารวมของประจุทัง้สองน้ี



แบบฝึกหัด 2.6จงหาเวกเตอรหนวยที่ตัง้ฉากกับพื้นผิวของทรงกระบอก x2 + y2 = 5 ณ จุด (

√3, 1, 3)



พีชคณิตเวกเตอร์บทนำการดำเนินการของเวกเตอร์ผลคูณของสามเวกเตอร์เวกเตอร์ตำแหน่ง

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์แกรเดียนต์ไดเวอร์เจนซ์เคิร์ลอนุพันธ์อันดับสอง

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ระบบพิกัดโค้งฟังก์ชันดิแรกเดลตา

บทที่ 2 การวิเคราะห เวกเตอร (Vector ......บทท 2 การว เคราะห เวกเตอร (Vector Analysis) เอกสารประกอบการสอนรายว

Text of บทที่ 2 การวิเคราะห เวกเตอร (Vector ......บทท 2...

OPTIMA Vector ULTIMA Vector - armstrong.com

Vector Space Scoring - ics.uci.edulopes/teaching/cs221W12/... · Vector Space Model Vector Space Scoring • Define: Vector Space Model • A document, d, is defined as a vector:

เอกสารประกอบการสอน¸ าษา...ก ค าน า เอกสารประกอบการสอนรายว ชาภาษาอ งกฤษเพ

1 Chapter 2 Unit Vector Vector addition by components Vector addition by graphing

Vector Algebra Vector Kinetic vector quantities –force weight, pressure, specific weight & torque Kinematic vector quantities –Displacement, velocity &

vecmastf - vector spaces, vector algebras, and vector geometries

Vector and Vector Resolution. Scalar Vector Vectors

Kinematics in One Dimension Position Vector Displacement Vector, Distance Velocity Vector Acceleration Vector

Vector and Vector Resolution

Vector Calculus Subject Notes - fods12.files.wordpress.com · 02.05.2020 · Vector Calculus Subject Notes Space curves and vector fields Introduction to vector fields A vector field

20 30 40 50 LEICA VECTOR USMC VECTOR 21 LEICA VECTOR · 20 30 40 50 LEICA VECTOR™ USMC VECTOR 21. LEICA VECTOR. ... for Rockwell PLGR+96 / PLGR II ... pid succession

แรงและการเคลื่อนที่ แรงอยู ใน ......3 = 2 – 8 = - 3 หน วย เวกเตอร ล พธ ม ขนาด 3 หน

Vector™ 2 and Vector 2S

MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector

เวกเตอร์ - blog.eduzones.comblog.eduzones.com/images/blog/exam/file_20120829183303.pdf · 11 เฉลยแบบฝ กประสบการณ เวกเตอร

Vector Es Vector Es

Metallurgy - rmutphysics.com · การเรียนการสอนฟ สิ1 กสผ านทางอ ินเตอร เน็ต 1. การวัด 2.เวกเตอร

เอกสารประกอบการสอน วิชา ...เอกสารประกอบการสอนรายว ชาด งกล7าวเป9นว ชาสาม

Vector spaces, vector algebras, and vector geometries

PROCESS CMYK CMYK VECTOR GREYSCALE VECTOR BLACK & WHITE VECTOR GREYSCALE PANTONE … · 2015-10-08 · process cmyk cmyk vector greyscale vector black & white vector greyscale pantone

3. VECTOR ANALYSIS - Sonoma State University · VECTOR ANALYSIS. Chapter 3: Vector Analysis. Laws of Vector Algebra. Properties of Vector Operations. Equality of Two Vectors Commutative

Vector Spaces 4.2 Vector Spaces - University of Kansasmandal.faculty.ku.edu/math290/FTwelveM290/S4p2VectSpace.pdfSatya Mandal, KU Vector Spaces §4.2 Vector Spaces. Preview Vector

Signal vector spaceSignal vector space

Vector 2 et Vector 2S - Garminstatic.garmin.com/pumac/Vector_2_OM_FR.pdf · 2015-07-13 · Vector. ou le . Vector S. Ce manuel couvre les deux systèmes Vector . Le . Vector a été

Define unit vector, null vector and position vector

บทที่ 4 การจัดการการกระจาย ......บทท 4 การจ ดการการกระจายส นค า 4-2 เอกสารประกอบการสอนรายว

áºº½ƒ¡ËÑ´·Õè 1 – ¤ÇÒÁÃŒàÇ¡àµÍÃ àº×éÍ§µŒ¹ à ......เวกเตอร 2 2. ŒÒ OABC à»š¹Ã»¾ÕÃÐÁÔ´ Ò¹ÊÒÁàËÅÕèÂÁ áÅÐ

MATH Online III บทที่ 9 เวกเตอร ...mathstick.com/sites/default/files/mb09.pdf2 2. จงหาระยะทางระหว างจ ด A ( 1 , 0 , 3

บทที 1 เวกเตอร์ (Vector)¸šทที่1.pdfบทท 1 เวกเตอร (Vector) บทน า เวกเตอร เป นปร มาณทางกายภาพท

VECTOR 207 VECTOR 205 VECTOR 203 VECTOR 201 VECTOR …cdn.billiger.com/dynimg/XvSqC8tnuGY6jfzLn9srUbt4H9rycHjeBa9LTdXG2DAF6... · “in phase”. This means that the black negative

Documents

บทที่ 2 การวิเคราะห เวกเตอร (Vector ......บทท 2 การว เคราะห เวกเตอร (Vector Analysis) เอกสารประกอบการสอนรายว

Text of บทที่ 2 การวิเคราะห เวกเตอร (Vector ......บทท 2...