Click here to load reader

8. Termodynamika a molekulová fyzika - ufmi.ft.utb. · PDF file1 8. Termodynamika a molekulová fyzika „Princip energie je záležitost zkušenosti. Pokud by tedy jednoho dne m

  • View
    222

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of 8. Termodynamika a molekulová fyzika - ufmi.ft.utb. · PDF file1 8. Termodynamika a...

1

8. Termodynamika a molekulov fyzika

Princip energie je zleitost zkuenosti.

Pokud by tedy jednoho dne mla bt jeho

veobecn platnost zpochybnna, co v

atomov fyzice nen vyloueno, stal by se

nhle aktulnm problm perpetua mobile,

jeho existence by pestala bt absolutn

nesmysln.

Max Planck

Nsledujc text navazuje na pedchoz 7. kapitolu, kter pojednvala pedevm o

energii a transformaci energie z hlediska termodynamiky. Nyn se budeme zabvat

aplikacemi termodynamickch zkon a entropi.

8.1 Ideln plyn a aplikace prvnho zkona termodynamiky

Pro zjednoduen dalho vkladu je nutn si zavst a definovat pojem idelnho plynu.

Molekuly idelnho stejnorodho plynu povaujeme za kuliky o stejn velikosti a hmotnosti.

Jsou dokonale prun a jejich rozmry jsou vzhledem k prostoru, ve kterm se pohybuj,

zanedbateln mal. Pi srkch molekul uplatujeme zkony mechaniky - zkon zachovn

hybnosti a zachovn energie. Dle zanedbvme vzjemn psoben molekul a tedy

neuvaujeme potenciln energii, take vnitn energie soustavy idelnho plynu je tvoena

soutem kinetickch energi translanho pohybu molekul soustavy. Pokud se ideln plyn

nachz v termodynamick rovnovze plat dleit vta:

Rovnomrn rozloen molekul plynu, pi nm je v kad objemov jednotce t poet

molekul, je nejpravdpodobnj, take pedstavuje rovnovn rozdlen molekul, v nm se

plyn vdy ustl.

2

Hustota plynu je pak v kadm mst a ase stejn. Reln plyny (nap. vodk, dusk,

kyslk) se pi malch tlacch a nzkch hustotch chovaj jako ideln.

Stavov rovnice idelnho plynu

Stav kad termodynamick soustavy je v danm ase uren stavovmi veliinami

(tlak-p, objem-V, teplota-T, ltkov mnostv-n). Uvaujme nyn o plynn soustav, kter pi

teplot T0 a tlaku p0 zaujm objem V0. Dve ne uvedeme tvar stavov rovnice, seznmme

se s empiricky odvozenmi zkony, kter udvaj vztah mezi dvma stavovmi veliinami za

pedpokladu, e jedna z nich se nemn.

(a) Zkon Boyle-Marriot v vyjaduje zvislost mezi tlakem a objemem pi stl

teplot (T=konst.) a je vyjden vztahem:

konst.. =Vp (8.1)

nebo-li

,.. 00 VpVp = T = konst. (8.2)

Zmna stavu plynu pi konstantn teplot se nazv zmna izotermick. Graficky se

jedn o zvislost p(V) vyjden rovnoosou hyperbolou, kterou nazvme izoterma (viz obr.

8.1.1).

p

V

T1=konst

T2=konst

T2>T1

Obr 8.1.1: PV diagram izotermick expanze idelnho plynu

3

(b) Zkony Gay-Lussacv a Charlesv analogicky vyjaduj zvislost objemu na

teplot plynu pi konstantnm tlaku a zvislost tlaku plynu na teplot pi konstantnm objemu.

Pro prvn ppad meme tedy pst:

TT

VV

0

0= , p = konst. , (8.3)

nebo-li objem plynu pi stlm tlaku je pmo mrn absolutn teplot. Tento

ppad nazvme izobarickou zmnou a pmka zvislosti V(T) je izobara (viz obr. 8.1.2 A).

Pro druh ppad analogicky plat:

TT

pp

0

0= , V=konst., (8.4)

nebo-li tlak plynu za stlho objemu je pmo mrn absolutn teplot. Takov

proces pak nazveme izochorickou zmnou a pmka zvislosti p(T) je izochora (viz obr.

8.1.2 B). Ve uveden zkony plat jen pro ideln plyn.

0K 0K

(A) (B)

T T

V p

p=konst. V=konst.

V0 p0

Obr. 8.1.2: (A) izobarick zmna, (B) izochorick zmna

Peveme nyn plyn do stavu charakterizovanho veliinami pV, T pi V0=konst. Jde

tedy o izochorickou zmnu, pro kterou v tomto ppad plat:

TT

pp

0

0V = . (8.5)

Dle provedeme izotermickou zmnu, pi kter se zmn tlak z hodnoty pV na p a objem z

hodnoty V0 na V. Nsledn meme napsat rovnici:

0VVppV = . (8.6)

4

Dosadme-li rovnici 8.5 do rovnice 8.6 dostaneme stavovou rovnici pro ideln plyn:

konst.nebo0

00

0

00 ==T

Vp

T

Vp

T

pV (8.7)

Z pednek z chemie vme, e podle Avogadrova zkona zaujm jeden mol

libovolnho plynu pi danm tlaku a teplot vdy stejn objem. Napklad 1 mol libovolnho

plynu za normlnch podmnek, tj. pi T0=273K a tlaku p0=1,013.105Pa zaujm objem

V0=22,4dm3, take potom meme napsat rovnici 8.7 jako:

m0

00 RT

Vp = , (8.8)

kde Rm je molrn plynov konstanta (Rm=[1,013.105Pa . 22,4.10-3m3]/273K=8,314JK-1mol-1).

Rovnice 8.8 plat pro 1 mol plynu. Pokud chceme zobecnit rovnici pro n mol plynu,

musme dosadit za objem veliinu molrnho objemu (definovan vztahem Vm = V/m) a

rovnice dostane nsledujc tvar:

TnRpV m= , (8.9)

kde n je poet mol.

Mrn a molrn tepeln kapacita

Na zklad rovnice 7.9, kde jsme nevzali v vahu infinitesimln zmny, lze napsat

obecnj vraz pro tepelnou kapacitu soustavy a nsledn i pro mrnou tepelnou kapacitu:

T

QK

d

d= , (8.10)

T

Q

mc

d

d1= . (8.11)

Mrn tepeln kapacita plyn podstatn zvis na tom, jak zmn je plyn pi

zahvn podroben a nabv proto rznch hodnot. Pokud se pi zahvn nemn tlak plynu

ale pouze jeho objem, hovome o mrn tepeln kapacit za konstantnho tlaku (cp).

Analogicky - nemn-li se objem plynu ale jen tlak, mluvme o mrn tepeln kapacit za

konstantnho objemu (cV). Pomr tchto kapacit se nazv Poissonova konstanta, kterou

vyuijeme pozdji pi vkladu adiabatickho dje:

V

pc

c= . (8.12)

5

U vech ltek je cp>cV, je tedy vdy >1. Pro termodynamick vahy zavdme jet pojem

molrn tepeln kapacita:

za konstantnho tlaku p

p dd1

=T

Q

nC a za konstantnho objemu

VV d

d1

=T

Q

nC , (8.13)

kde n je ltkov mnostv.

Aplikace prvnho zkona termodynamiky

Budeme-li zabvat izochorickm djem, pi kterm soustava pijm teplo Q a jej

teplota se zv o dT, pak se zskan teplo spotebuje pouze na zven vnitn energie,

protoe dV je rovno nule (objem se nemn). To znamen, e v rovnici 7.22 prvnho

termodynamickho zkona vypadne len pro prci:

dEvnitn = Q.

Vyjdme-li teplo pomoc molrn tepeln kapacity (8.13) a za tlak dosadme do

rovnice 7.22 vsledek ze stavov rovnice, lze napsat prvn vtu termodynamiky pro n mol

plynu jako:

V

VTnRTCQ

dd mV += (8.14)

V termodynamice rozliujeme tyi zkladn termodynamick dje. Proveme nyn

diskuzi jednotlivch proces:

(a) Dj izochorick - zde je V = konst., tzn., e dV=0, plyn nekon prci a tedy:

)(dd pkV

T

Tp

VvnitniV

k

TTCTCEQ === , (8.15)

kde Tp je poten Tk konen teplota.

(b) Dj izobarick - zde je p = konst., ale objem se mn, tud len pro prci je

nenulov a soustava kon prci proti vnjm silm, ale zrove i roste jej vnitn energie:

)()(ddd pkpkV

V

V

T

Tp

Vvnitnip

k

p

k

VVpTTCVpTCWEQ +=+=+= . (8.16)

Teplo zskan vmnou s okolm se rovn zven jeho vnitn energie a prci, kterou

soustava vykon proti vnjm silm.

(c) Dj izotermick - zde je T = konst., tzn., e dT = 0 nebo-li CVdT = 0, meme

I. zkon termodynamiky pepsat do tvaru:

VpWQ dd == . (8.17)

6

Pi izotermickm dji se teplo zskan soustavou vmnou s okolm spotebuje jen na

vykonn prce a vnitn energie se nemn, tzn.:

=2

1

dT

V

V

VpQ . (8.18)

Vzhledem k tomu, e tlak nen konstantn a je funkc objemu, lze ho vyjdit pomoc

stavov rovnice (p = RmT/V), kterou dosadme do rovnice (8.18):

1

2mmT lnd

12

1V

VTRV

VTRQ

V

V == . (8.19)

V ppad, e soustava kon prci, a objem se zvtuje (V2>V1), jedn se o izotermickou

expanzi, pi n soustava pijm z okol teplo (+Q) a kon stejnou prci (-W), tedy

Q = -W. Pokud se objem soustavy zmenuje jde o izotermickou kompresi, (V2T2) a vnitn energie soustavy se zmen. Pokud je prce zporn, jedn

se o adiabatickou kompresi, pi n je vykonna prce (okolm) na soustav, teplota

soustavy vzroste (T2>T1) a vnitn energie se zv.

Odvome si nyn vztah pro zvislost tlaku na objemu pi adiabatickm dji. Z rovnice

8.20 plyne:

0ddV =+ VpTC . (8.22)

Protoe tato rovnice 8.22 obsahuje ti stavov veliiny, vyjdme si teplotu (dT) pomoc

objemu a tlaku ze stavov rovnice, ze kter diferenciac dostaneme:

m

m

dddddd

R

pVVpTTRpVVp

+==+ . (8.23)

7

Dosadme-li za dT do rovnice 8.22, dostaneme:

0dd)(

,0ddd

VmV

mV

=++

=++

pVCVRCp

VpR

pVVpC

Pouijeme-li tzv. Mayerv vztah (bez odvozen: Cp=CV+Rm) a vydlme CV, meme pomoc

rovnice 8.12 pro Poissonovu konstantu vyjdit rovnici:

0

dd

,0dd

=+

=+

p

p

V

V

pVVp

kterou zintegrujeme:

Klnlnln =+ pV ,

a nsledn po odlogaritmovn dostaneme: