F1040 – Mechanika a molekulová fyzika - physics.muni.czpetos/prednasky/f1040.pdf · 2010. 1. 29. · F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafa řík F1040 –Přednášky

F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky

1

F1040 – Mechanika a molekulová fyzika Typed by Petr Šafařík

F1040 – Mechanika a molekulová fyzika .................................................................................. 1 Zrychlení: ............................................................................................................................... 3

Pohyb po kružnici............................................................................................................... 4 Pohyb z hlediska různých pozorovatelů..................................................................................... 6 Pohybové rovnice hmotného bodu............................................................................................. 9

I. Newtonův zákon: ................................................................................................................ 9 II. Newtonův zákon ................................................................................................................ 9 III. Newtonův zákon............................................................................................................. 10 Tření ..................................................................................................................................... 14

Práce a kinetická energie.......................................................................................................... 15 Konzervativní silové pole..................................................................................................... 17 Práce gravitačního pole ........................................................................................................ 18 Potenciální energie ............................................................................................................... 18 Kinetická energie.................................................................................................................. 18

Zákon zachování mechanické energie...................................................................................... 19 ZZE částice v gravitačním poli. ........................................................................................... 19

Potenciální energie částice v gravitačním poli ................................................................. 19 Práce gravitačního pole .................................................................................................... 20

ZZE pružiny ......................................................................................................................... 20

Přechody mezi potenciálními energiemi

ℵ↔r

mMmgh ................................................. 20

Mechanika soustavy částic ....................................................................................................... 22 První impulsová věta:........................................................................................................... 22 Izolovaná soustava ............................................................................................................... 23

Zákon zachování hybnosti izolované soustavy: ............................................................... 23 Neizolovaná soustava........................................................................................................... 23


2

Popis pohybu Hmotného body Hmotný bod – model reálného tělesa Popis polohy (pohybu) HB vzhledem k dané vztažné soustavě

Vztažná soustava souřadnic (kartézská) spojená s bodem na vztažném tělese.

Volný Hmotný Bod – je takový HB, že vliv okolních objektů je zanedbatelný (=neměřitelný) Inerciální vztažná soustava je taková soustava, jenž je spjatá s volným hmotným bodem.

Je-li ve středu této vztažné soustavy Slunce, poté se taková vztažná soustava nazývá Galileova.

Vstupní Experiment

Axiomy Principy

Fyzikální zákony

Ověřovací experiment

Matematický aparát

Těleso m, rozměry, tvar

Bod . Bezrozměrný, beztvarý

Hmotný bod . bezrozměrný, beztvarý, HMOTNÝ -model reálného tělesa, jehož rozměry zanedbáváme Zanedbatelnost: -vůči jiným tělesům -z hlediska experimentu


3

I.Newtonův zákon = vzájemný pohyb volných HB je rovnoměrný přímočarý, nebo klid. Soustava spojená se Sluncem =Galileova = inerciální Soustava spojená se Zemí = Laboratorní... Inerciální je pouze přibližně

( )trr

... polohový vektor; vektorová funkce času

[ ]tttr ∆+∆ ;

r... vektor posunutí v intervalu [ ]ttt ∆+;

[ ]t

rvv ttt

průrůměr ∆∆

== ∆+;r... průměrná rychlost v intervalu [ ]ttt ∆+;

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) rzyxdt

dz

dt

dy

dt

dx

t

tzttz

t

tytty

t

txttx

vt

trtttr

ttt

ttttt

&&&&

rrr

==

=

=

∆−∆+

∆−∆+

∆−∆+=

==∆

−∆+

→∆→∆→∆

∆+→∆→∆

;;;;

lim;lim;lim

lim;

lim

000

;00

( )

( ) ( ) ( )2

2

dt

rdtartvta

rtv

=⇒==

=r&&r&rr

&r

Zrychlení:


4

τr ... jednotkový vektor ve směru tečny 1=τr

nr

... jednotkový vektor ve směru normály 1=n

r

( ) ( ) ttt vv τrr =

ττ&

r

=dt

d

( )

( )

ττττττττ

ττ

ττττ

&&

&&

&

⊥⇒==+

=⋅⋅

=⋅°=∠

02

0

10cos

1

90;

dt

d

⇒=ττ&r

&rrn vektor dělený jeho velikostí je jednotkový vektor v tom směru.

va

va&rr

&

=

=

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttttt

tt vnvvvdt

vda ⋅⋅+=+== r&r&&&r ττττ

τ

( ) ( )ttv τ& … tečné zrychlení τar

( )tvn ⋅⋅ r&rτ … normálové zrychlení nar

Rovnoměrný pohyb ⇒=⇒= 0. vkonstv & nemění rychlost

0rr =τa

Přímočarý pohyb

⇒= 0τ&r nemění směr

0rr =na

Pohyb po kružnici Rovnoměrný

( )

( ) tRy

tRx

Ry

Rx

tt

tt

ωω

ϕϕ

sin

cos

sin

cos

==

=

=

R

va

aaR

va

n

n

2

2

=

=

=rr


5

Rovnoměrný pohyb znamená: tωϕ = … přímá úměra, kde ω je konstanta úměrnosti.

tRytRytRy

tRxtRxtRx

ωωωωωωωωωω

sincossin

cossincos2

2

−===−=−==

&&&

&&&

1sincos

sincossincos

22

22242242242

=+

=+=+=+=

tt

RttRtRtRyxa

ωω

ωωωωωωωω&&&&

R

va

R

vRv

2

=⇒=⇒= ωω

ϕω &±= , kde se znaménko určí pravidlem pravé ruky

0z ... jednotkový vektor Definice: úhlové rychlosti:

00

0

zz

z

ϕϕωεϕω

&&&&rr

&r

+==

=

00 =zϕ&

( )( )( ) °=∠

°=∠°=∠

=

90;

90;

90

ω

ωω

rr

rr

r

v

rv

R

Rv

R=r

rvrrr ⊗= ω

( )

vwa

ra

vwrwrwa

va

n

rrr

rrr

rrr&rrrr

&rr

⊗=⊗=

⊗+⊗=⊗=

=

ετ


6

Pohyb z hlediska r ůzných pozorovatel ů

každý pohyb se může rozložit na Translační/Rotační

tR ...vektor translace S´ vůči S.

( )Stttt zyx ;;=R

S... vůči který se pohybuje tw ... úhlová rychlost pohybu S´vůči S.

Obecný pohyb: A.) Translační B.) Rotační

A.) Translační:

0rr

=ω

´

´

´

zz

yy

xx


7

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )ttt

ttt

ttt

Aaa

Vvv

Rrr

rrr

rrr

rrr

+=

+=

+=

´

´

´

Pro případ, že pohyb S´vůči S je rovnoměrný přímočarý:

( )

( )

( ) 0

0

rr

r

rrr

=

=

+=

t

t

t

A

konstV

RtVR

Galileova transformace:

( )

( ) ( )

( ) ( )tt

tt

t

aa

Vvv

RtVrr

´

´

´ 0

rr

rrr

rrrr

=

+=

++=

Galileův princip relativity: Zákony mechaniky jsou ve všech inerciálních soustavách stejné. Galileova transformace:

tt

tt

tt

zz

Vtyy

xx

´

´

´

=+=

=


8

B.) Rotační ( )( )S

S

a

vv

0;0;0

0;;0

==

( )

( )

( ) 0´

cos´

sin´

=

=

=

t

t

t

z

tvty

tvtx

ωω

( ) ( )St ttvtvtvtvv 0;coscos;cossin´ ωωωωωω −+=r


9

Pohybové rovnice hmotného bodu

I. Newton ův zákon: 1. Vzájemný pohyb volných hmotných bodů je rovnoměrný, přímočarý. 2. Volný hmotný bod se v inerciální vztažné soustavě pohybuje rovnoměrně přímočaře.

II. Newton ův zákon vmprr =

=ma Matematicky popsat, jak okolní objekty způsobují, že hmotný bod nebude volný hmotný bod.

( )amvmvmvm

dt

vmdp

dt

pd rr&

r&&r

r

&rr

+=+===

pro m=konst. bude

Fampmrr&r& ==⇒= 0

????=dt

pdr

Pokus: měření dt

pdr

bude se provádět pokus vzájemného působení pouze dvou objektů, aby se omezil vliv dalších složek sil

Newton: Fdt

pd rr

= , kde Fr

popisuje vliv okolního objektu(ů) na testovací objekt.

Silové zákony: 1. Gravitační síla:

2. Elektrická síla:

( )

−=r

r

r

MmFg

rr

12

κ

kde

r

rr

je jednotkový vektor ve směru rr

a

(-1) znamená, že síla působí obráceným směrem, než ukazuje jednotkový vektor

( )

−=r

r

r

MmFg

rr

12κ

=r

r

r

QqFe

rr

2κ

Elektrická síla je ale mnohonásobně větší, než síla gravitační, proto se gravitační může zanedbat


10

3. Síla působící na nabité těleso pohybující se v elektrickém poli indukčnosti B

4. Síla pružiny

5. Třecí síla

6. Tíhová síla

nV

výsledná

FFFF

Fdt

pd

rrrr

rr

+++=

=

...21

nFFFrrr

;...;; 21 jednotlivé síly… silový zákon… princip superpozice

III. Newton ův zákon Vzájemné působení objektů

ge FF fff

BvqFL

rrr×=

Lawrencova síla

0xkxFp

rr⋅−=

−=v

vNfT

rr

v

vr

jednotkový vektor ve směru v.

gmGrr

=


11

Příklad:

A

lt

Atl

TNgMAM

TNGAM

2

2

1 2

=

=

++=

++=rrrr

rrrr

Rozklad do složek:

MgN

A

MgNMAy

TMAx

y

y

x

=

=

−=

=

0

podmínka Vazební

:

:

… důsledek vazební podmínky, nikoli akce a reakce

TMAx x ==

Pro závaží platí:

mgTmay

max

Tgmam

y

x

−==

+=

´:

0:

´rrr

Vazební podmínka:

( ) ( ) ( ) aAaaaAA y =⇒−==∧= ;0;00;rr

ABBA FFrr

−=


12

( ) ´´

´ TTTmgmA

TMA

aA

Tmgam

TMA

=

+−=−=

=+−=−

=

Máme-li nehmotnou kladku, poté T=T´

( )

mM

mgA

mgAmM

TmgmA

TMA

+=

=++−=−

=

Příklad: Na klín položíme těleso, přičemž mezi klínem a tělesem je nulové tření, stejně jako mezi klínem a podložkou. Co se stane s klínem a tělesem?

Silový rozbor: Červené jsou síly působící na těleso m Zelené jsou síly působící na klín M Modré jsou jednotlivé složky zrychlení a tělesa m.


13

amdt

pd rr

= ... výslednice všech sil, jimiž okolní objekty působí na těleso m.

Amdt

Pd rr

= ... výslednice všech sil, jimiž okolní objekty působí na těleso M.

)( NPgMAM

Ngmamrrrr

rrr

−++=

+=

ααcos

sin0

Nmgma

Nma

y

x

+−=−=

ay

x

NPMgMA

NMA

cos

sin00

−+−=++= α

4 rovnice pro 6 neznámých:

NPAAaa yxyx ;;;;;

vazební podmínka: vertikální zrychlní klínu je nulové:

xy AAA =⇒= 0

Dodáme podmínku: a-relativní ( rela ) je rovnoběžné se skosenou hranou klínu.

rela ... zrychlení m vůči M.

Aaarel

rrr −=

αtgAa

Aa

xx

yy =−−

... z obrázku


14

( )

α

ααααα

α

αααα

α

cos0

sincos

sinsintan

sin

sincoscoscos

sin

NPMg

mAmgN

AaAaa

NMA

xmamg

ymaN

Nmgma

Nma

xxy

y

x

−+−=

−=−⇒−=

=

−+=

+−=−=

αsin

MAN =

( )

+=

+=

+=

+−=

=

αα

αα

ααα

ααα

2

2

sinsin

sin

cossin

sincos

cossinsin

mM

MmgN

mM

NmgN

mM

mgA

mgmAMA

NN

Pokud se klín nehýbe Přidá se, jakmile klín uvolníme

Tření Pokud se těleso pohybuje platí:

NfTd =

Pokud se těleso nepohybuje:

0NfTs = ... pouze maximální statická třecí síla.

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( )ffgm

mgfmgfaNfKtFFmatt

K

mgftKfmgfNftTt

FTs

TFma

at

d

s

tt

s

−=−=⇒−=−=

=⇒=⇒=

=−=

00

00

0000000

00

:

:

...;0

f


15

Práce a kinetická energie

F je jedna ze sil působících na částici oblouk MN aproximujeme úsečkou

Fr

∆ bude na MN minimální a můžeme ji zanetbat

12A ... součet elementárních prací

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )dzdydxrd

zyxrC

drFrF

F

tttt

C

tvrtvr

tvr

,,

;;:

,,,,

,,

=

=

→∆ ∫∑

r

r

rrr

r

rrrr

rr

Pokud F... konst a F je rovnoběžná s r pak práce A je rovno:

FsA =12

Pokud F... konst a F není rovnoběžná s r pak práce A je rovno:

rFFsArr

∆== αcos12

Pokud F není konst a F není rovnoběžná s r α ... není konst.


16

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )∫∫∫∫ ⋅====

=⋅

⋅=

=⇒=

2

1 ;;

2

1

2

112

;;

;;

t

t ttvr

t

t

t

t t

C

xttt

ttt

tt

dtvFdtvFdtfrdFA

fvtvrF

dtvtvrFrdF

dtvrdvdt

rd

tt

rrrrrr

rrr

rrrrr

rrrr

Př: z=konst.=0... pohyb v rovině

[ ]

( )

( ) [ ]∫∫ =−+==

−+=+=

−=−=

===

====

===

−

1

0

234

24

2

4222

2

12,12

2

1

30

122

2

2

1

1...

JdttttrdF

ttttyFxFvF

ttxyF

tttyxF

tyty

xtx

msty

tx

C

yx

y

x

rr

&&rr

&

&

χχχ

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ][ ]1

3

2;;

1

1

;;

−

−

==

−==

Nmb

Nma

xybyaxFFF yxyyxxr

rrrr

( )( )NNF

r

3,0,02,0

5,0;2,0´

=

=r

r


17

( )

[ ]∫ =

=+=

=

==

==

1

0

3

33

2

2

4

1

0

0;

1

1:

JdttA

ttvF

tF

y

x

ty

txC

rr

r&

&

Konzervativní silové pole Pole, které splňuje následující podmínky, se nazývá konzervativní silové pole. Jaké jsou podmínky na silové pole, aby práce 12A po křivce C nezávisela na tvaru C, ale pouze na počátečním a koncovém bodě A,B. Tvrzení: Centrální pole je konzervativní. Důkaz:

( )

( )dr

rdrrdrdt

drrr

dt

rddt

drrr

dt

dr

dt

rdrr

dt

rd

rrrrr

rr

rdrdrF

drFA

r

rC

C

C

θ

θ

==

=

+=+

⋅==⋅

==

= ∫

rr

rr

rrr

r

rr

r

rrr

r

2

...

( )∫=B

A r rdrA θ... ve výsledku nefiguruje r, ale pouze r, takže není závislý na tvaru trajektorie.

( ) rr

F

r

rFF r

iCentra

rr

r r

±=

±=ln

( )r

r

r

Fθ=

±

r


18

Práce gravita čního pole

−−ℵ=

ℵ−=−ℵ=ℵ−=

ℵ−=ℵ−=ℵ−=

−ℵ=

∫ ∫

12

2

1

2

1 22

233

2

11

2

1

rrMmA

r

Mm

r

drMmdr

r

MmA

drr

Mmrdr

r

Mmrdr

r

MmrdF

r

r

r

MmF

AB

r

r

r

r

r

r

g

g

rrrr

rr

Potenciální energie Pro:

∞→→

2

1

r

rr

Platí:

( )rur

MmA =ℵ−= ... potenciální energie částice v gravitačním poli v bodě r.

Kinetická energie Na částici působí více různých sil, které vykonávají různé práce:

( ) ∫∫ ∑∑∫∑

∫

∫

====

=

=

−

−

−

C

v

C

j

C

jj

C

C

rdFrdFdrFAA

rdFF

rdFF

rrrrr

r

r

1212

2122

1121

rmaddr

maFVr

r

== ...fyzikální vyjádření

( )

( )21

22

2

1 2

1vvmmvdvrdF

mvdvrdvmdtvdt

dvmrmad

v

vv −==

===

∫∫rr

rrrr

Kinetická energie 2

2

1mvEk =

Celková práce všech sil které na částici působí určuje změnu kinetické energie částice.


19

Zákon zachování mechanické energie

Pohyb v silovém poli ( )rF r

r

( )rF r

r… jediná síla působící na m.

( ) ( )

( )∫

∫

=−

=∆ →

C

r

C

rk

rdFmvmv

rdFE

rr

rr

r

r

21

22

21

2

1

2

1

ZZE částice v gravita čním poli.

( )

( )

( )

12

21

22

2

1

21

22

2

1

2

12

3

2

11

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

rmM

rmMmvmv

rmMmvmv

rmMdr

r

mMrdF

rdrr

mMF

r

r

r

mMF

r

r

r

rC

r

r

r

ℵ−ℵ=−

ℵ=−

ℵ=ℵ−=

ℵ−=

ℵ−=

∫∫rr

rrr

rr

r

r

r

ℵ−+=

ℵ−+

2

21

1

21

1

2

11

2

1

rmMmv

rmMmv …tento součet se zachovává pro libovolný bod.

Neboli: 01

21 .

1

2

1Ekonst

rmMmv ==

ℵ−+ … celková mechanická energie

Potenciální energie částice v gravita čním poli

( ) r

mMU r

ℵ−= … potenciální energie částice m v gravitačním poli částice M.


20

Práce gravita čního pole

∞==

→

ℵ−ℵ=2

11221

rrrr

mM

r

mMW … práce, kterou gravitační síla vykoná na posunut.

ZZE pružiny ( )

( ) 21

22

21

22

2

1 2

1

2

1

2

1

0

0;0;

mvmvxxkkxdxrdF

dzFdyF

dzFdyFdxFrdF

kxF

r

ŕ

zy

zyx

−=−−=−

=++

+++=

−=

∫rr

rr

r

022 .

2

1

2

1Ekonstkxmv ==+ … celková mechanická energie

Přechody mezi potenciálními energiemi

ℵ↔r

mMmgh

( )( )

konstmghmv

EkonstR

mMmgh

R

mMmv

EUE

gR

M

hR

Mm

R

mM

R

h

R

mM

R

hR

mMU

xx

x

x

x

x

R

hR

mMU

hR

mMU

hRr

k

=+

==ℵ−=+ℵ−

=+

=ℵ

ℵ+ℵ−=

−ℵ−=+

ℵ−=

−=−−=

−−⋅

+

+⋅ℵ−=

+ℵ−=

+=

2

02

0

2

2

2

2

1

2

1

11

1

11

1

1

1

1

1

1

1

&

zanedbatelné


21

Příklad: Střela o hmotnosti m a počáteční rychlosti 0v narazí do kyvadla a vychýlí ho o úhel 0ϕ .

v... společná rychlost soustavy bezprostředně po srážce Jaká byla rychlost 0v ?

Před srážkou: Celková hybnost soustavy střela + kyvadlo:

00

00rr

rr

=+=

V

VMvmPC

Po srážce:

( )( )vMmvmPP

vMmP

Crrrr

+=⇒=+=

00

0

0,vv rr ... stejný směr

vm

Mmv

vm

Mmv

+=

+=

0

0rr

Mechanická energie

Stav 1.: ( ) 02

1 211 ++=+ vMmUEk

Stav 2.: ( ) 022 cos...0 ϕllhghMmUEk −=++=+

( ) ( ) ( )

( )

( )00

0

02

cos12

cos12

cos12

1

−+=

−=

−+=+

glm

Mmv

glv

glMmvMm

ϕ

ϕ


22

Mechanika soustavy částic

Okolní objekty i-té částice A) Nii mmmm ;...;;;...; 111 +−

B) αM

Síla, kterou působí j-tá částice na i-tou

αi

extijji

ji

F

FF

F

r

rr

r

−=

int

αiFr

...nepatří do soustavy, proto nás nyní nezajímá.

0:

11

rr

rrr

=

+= ∑∑=

≠=

ii

Kext

i

N

ijj

extij

i

Fmedodefinuje

FFdt

pd

αα

První impulsová v ěta: Celková hybnost=součet všech hybností

∑=

=M

iipP

1

rr

=+=+=

+=== ∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑= ==

≠== =

≠=

extVV

N

i

Kext

i

N

i

N

iji

ij

N

i

Kext

i

N

iji

iji

i FFFFFFdt

pdp

dt

d

dt

Pd rrrrrrr

rr

int

1 11 1

int

1 11

int

αα

αα

0int rr=VF ...akce a reakce

...1.Impulsová věta (důsledek II. a III. Newtonova zákona)

extVF

dt

Pd rr

=


23

Izolovaná soustava

Zákon zachování hybnosti izolované soustavy: 0rr

=extVF resp. 0

rr=ext

iFα

konstPdt

Pd =⇒=rr

r

0

Neizolovaná soustava pro kterou platí, že 0

rr=ext

VF

konstPdt

Pd =⇒=rr

r

0

Documents

F1040 – Mechanika a molekulová fyzika - physics.muni.czpetos/prednasky/f1040.pdf · 2010. 1. 29. · F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafa řík F1040 –Přednášky