5.variables aleatorias y dp

5. Variables aleatorias y distribuciones de

probabilidad Por Eblin Ramos

Probabilidad En temas anteriores se estudió: Estadística descriptiva Tablas de frecuencia, gráficos Medidas estadísticas descriptivas

• “En este capítulo se estudiarán gran parte de las herramientas de la estadística inductiva, las

cuales permiten cuantificar el grado de incertidumbre de una respuesta dada ante un

problema propuesto (empleo de principios probabilísticos)”

Probabilidad Aceptamos como probabilidad nuestra

expectativa respecto del resultado de un experimento o ``evento''

ProbabilidadDistribuciones de Probabilidad

Caso Real: Disciplina Ergonomía (estudia la adaptación de las personas a su

ambiente)Objetivo: obtener un buen diseño que cree

un ambiente seguro, funcional, eficiente y comodo.

Aplicaciones: Diseño de tableros,cascos,tapas de botellas,

asientos..etc

Distribuciones de Probabilidad

*** Un teleférico con letrero “Cap.Max 12 personas o 800 kgs”

Probabilidad que 12 personas elegidas al azar tengan un peso total mayor de 800

kgs


*** Tolerancia de vuelos transcontinentales depende por el ancho del asiento, en promedio miden 47 y 50 cms de

ancho, en primera clase de 52 a 54 cms

Si American Airlines quiere ganar más depende de la comodidad de los pasajeros => ¿Qué anchura debe tener los asientos que diseña?


*** Fuerza Aérea reconoció que las mujeres son muy buenos pilotos de aviones de guerra. Las cabinas originalmente se

diseñaron para hombres, un cambio radical en este rediseño implicó la elaboración de los asientos de expulsión

H: Entre 63 y 88 kgs Peligro para mujeres fuera de

este rango de peso

=> ¿Qué pesos deben utilizarse para el nuevo diseño de la cabina?


En temas anteriores se aprendió sobre medidas de tendencia central y de variación, en este tema se conocerán los

siguientes conceptos:

Variable aleatoria: variable con un valor numérico único, que se determina al azar para cada resultado de algún procedimiento

Distribución de probabilidad: Describe la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria.


Variable aleatoria discreta: tiene un número finito de valores o un número contable de valores

Ejem: No. De valores posibles que x puede tomar es 0,1, o 2 etc.

• Variable aleatoria continua: tiene un número infinito de valores, los cuales suelen asociarse con mediciones en una escala continua, sin interrupciones (huecos)

Distribuciones de Probabilidad Normal

“Las distribuciones normales son sumamente importantes porque ocurren con gran frecuencia en las aplicaciones

reales y porque juegan un papel fundamental en los métodos de estadística inferencial”

Definición: Si una variable aleatoria continua tiene una curva de distribución con una gráfica simétrica y en forma de campana decimos que tiene una DISTRIBUCIÓN NORMAL

X


Cualquier Distribución Normal (DN) esta determinada por:

La mediaDesviación estándar

Las probabilidades relacionadas con la DN, se pueden calcular por medio de la función de la densidad de la probabilidad, pero existe una tabla de DN en donde se encuentran valores tabulados.


Principales características de la distribución normal : Su forma es acampanda (simétrica y mesocúrtica) El área bajo la curva representa la probabilidad, de aquí

que la suma de toda el área sea = al 100% La curva de DN nunca toca el eje horizontal Al ser simétrica la curva, el area bajo la curva, respecto al

eje de simetría, será el 50% por debajo de ella y el otro 50% por arriba de ella

Distribución normal : Es la distribución normal de probabilidad con media de 0 (cero) y una desviación estándar de 1 en tanto el área total debajo de su curva es igual a 1


Método para el calculo de las áreas de distribución normal

Tabla de puntuaciones Z:“Nos ayuda a obtener el área acumulativa por debajo del valor de z”


VALOR DEL AREA = PROBABILIDAD que ocurra un evento

Ejemplo: “Caso termómetros”

Datos media: 0°C

S de las lecturas = 1.00 °C Lectura menor a 1.58°


Solución : Necesitamos encontrar el área que está bajo z= 1.58


Interpretación : La probabilidad de seleccionar aleatoriamente un termómetro con una lectura menor que 1.58° es igual al área de 0.9429, es decir el 94.29 % de los termómetros tendrán lecturas por debajo de 1.58°


Ejemplo 2: Empleando el ejemplo anterior calcule la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un termómetro con una lectura en el punto de congelación del agua, por arriba de -1.23 °C

Solución : Empleando la tabla con puntuaciones z negativas, encontramos que el área acumulativa de la izquierda hasta z= -1.23 es 0.1093

Interpretación : La probabilidad de seleccionar aleatoriamente un termómetro con una lectura por arriba de -1.23° es 0.8907, es decir el 89.07 % de los termómetros tienen lecturas por encima de -1.23°


NOTACIÓN:

P(a < z < b) Denota la probabilidad de que la puntuación z este entre a y b

P(z > a) Denota la probabilidad de que la puntuación z sea mayor que a

P( z < a) Denota la probabilidad de que la puntuación z sea menor que a


Aplicaciones de las distribuciones normales:

En los ejemplos anteriores son pocos realistas ya que siempre se evalúa con una desviación estándar = 1 y una media =0.

Con medias y desviaciones estándar <> 0 la solución radica en transformar valores de una distribución normal no estándar a distribución normal estándar


Fórmula:

Z = X - x S

Nota: El valor Z debe estar redondeado hasta 2 decimales


Fórmula:

Z = X - x S


Corresponde al dato del problema


Fórmula:

Z = X - x S


Es la Media aritmética


Fórmula:

Z = X - x S


Es la desviación estándar

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