Unidad 2 potenciación, radicación y logaritmación

W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O - P o t e n c i a c i ó n , R a d . y L o g .

Página 16

UUNNIIDDAADD 22:: PPOOTTEENNCCIIAACCIIÓÓNN,, RRAADDIICCAACCIIÓÓNN YY LLOOGGAARRIITTMMAACCIIÓÓNN

2.1 POTENCIACIÓN

La potenciación se utiliza para expresar un producto de factores iguales. Es una operación matemática entre dos

términos denominados base y exponente.

2.1.1 Elementos de la potenciación

Si Rnpb ,, , entonces en la expresión pbn

b se denomina base.

n se denomina exponente.

p se denomina potencia.

La expresión nb se lee usualmente como « b elevado a la n ». La forma como se calcula nb varía según el

conjunto numérico al cual pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural ( Nn ), entonces nb equivale a multiplicar b por sí mismo n

veces. Es decir

bbbbn

Cuando el exponente es un número real negativo, es decir si Rn , entonces nb

equivale a su inverso

multiplicativo. Es decir:

n

n

bb

1

Cuando el exponente es una fracción irreducible de la forma Qnm , entonces n

m

b equivale a un radical. Es

decir:

n mn

m

bb

2.1.2 Signos de la potenciación

En la expresión pbn :

Si n es impar y b es positivo, entonces p es positivo.

Si n es impar y b es negativo, entonces p es negativo.

Si n es par, entonces p es positivo independientemente del signo que tenga b .

Desarrolle las siguientes potencias:

vecesn

Ejemplo No. 14

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicar


Página 17

2.1.3 Propiedades de la potenciación

La propiedades de la potenciación son reglas generales que permiten simplificar expresiones algebraicas:

Producto de potencias de igual base:

Si Rnmb ,, , entonces:

nmnm bbb

Cociente de potencias de igual base:

Si Rnmb ,, y 0b entonces:

nm

n

m

bb

b

Potencia de una potencia:

Si Rnmb ,, , entonces:

nmnm bb

Potencia de un producto:

Si Rnba ,, , entonces:

nnnbaba

Potencia de un cociente:

Si Rnba ,, y 0b , entonces:

n

nn

b

a

b

a

Potencias con exponente cero:

Si Rb y 0b , entonces:

10 b

Potencia con exponente uno:

Si Rb , entonces:

bb 1

Potencia de un cociente con exponente negativo:

Si Rba , , Rn y 0, ba entonces:

nn

a

b

b

a

Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las siguientes expresiones:

Resuelva las siguientes potencias:

a. 521

b. 35

c. 4

3

2

Solución:

a. 21

21

21

21

215

21

321

b.

555

1

5

15

3

3

125

1

c.

44 3 222

1

2

1

2

12

4

3

4

3

4 8

1

Ejemplo No. 15


Página 18

2.2 RADICACIÓN

La raíz n -enésima de un número a es un número b , si y solamente si la n -ésima potencia de b es a . Es

decir:

ban abn

a.

2

725

523

10102

102102

b.

2

41

023

2

21

33

2

ba

ba

ba

ab

c. 42

53

k

kkk

b

bb

d.

211

yx

yx

Solución:

a. 2

9

1122

95

5672

95

552322

725

523

10

102

102

10102

102

102102

10102

102102

101010102222102102 44222

1000016 160000

b.

24

23

33

332

4

33

3

32

4

23

2

22

41

023

2

21

363633233

2

b

a

b

a

b

a

b

a

b

aa

bb

aa

ba

ba

ba

ab

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

216

93

21636

3

8

62

9

9

242

6

333

9

b

a

24

3

c.

8454

84

54

84

53

84

53

24

53

42

532

222

kkk

k

kk

k

kkk

k

kkk

k

kkk

k

kkk

bb

b

b

b

b

bb

b

bb

b

bb

32kb

d.

2

22

22

211 1

11

xyxyxyyx

yx

yx

xy

yx

yx

yx

yx

yx

22 yx


Página 19

2.2.1 Elementos de la radicación

Si Rba , y Zn entonces en la expresión ban

a se denomina radicando.

n se denomina índice.

b se denomina raíz.

se denomina radical.

La expresión n a se lee usualmente como «raíz n -ésima de a ».

2.2.2 Signos de la radicación

Radicando: a Índice: n Raíz: b

Positivo Par Positiva o negativa

Impar Positiva

Negativo Par No existe en R

Impar Negativa

2.2.3 Potencias de base real con exponente fraccionario

Cuando el exponente de una potencia es un número racional, la potencia se convierte en un radical. Es decir, si Rb y Q

nm , entonces:

n mn

m

bb

En cada caso exprese en forma de radical y simplifique el número, si es posible:

a. 3

1

8

b. 2

1

81

c. 2

1

25

Solución:

a. 3

3

3 333

1

2288

2

b.

2

2

42 42

12

1

3

1

3

1

3

1

81

1

81

181

9

1

c. 2525 2

1

(no existe en R )

Ejemplo No. 16


Página 20

2.2.4 Propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación son reglas generales que permiten simplificar radicales. Simplificar un radical es

expresarlo en su forma más simple. Un radical está simplificado si:

El radicando no tiene ningún factor cuyo exponente sea mayor o igual que el índice. El exponente del radicando y el índice del radical no tienen entre sí ningún factor común distinto de 1.

Raíz n -ésima de un número elevado a la n :

Si Ra y Zn , entonces:

aan n

Raíz n - ésima de un producto:

Si Rba , y Zn , entonces:

nnn baba

Raíz n - ésima de un cociente:

Si Rba , ; Zn y 0b , entonces:

n

n

n

b

a

b

a

Raíz de una raíz:

Si Ra y Znm, , entonces:

nmn mm n aaa

Raíz n - ésima de una potencia:

Si Rma , y Zn , entonces:

n

mm

nn m aaa

En particular:

nn aa

1

En cada caso exprese el radical con exponente fraccionario y simplifique, si es posible:

a. 216y

b. 5 105nm

c. 3 627x

d. 6 1812nm

Solución:

a. yyyyy 2422

122 22161616

2

1

2

1

2

1

y4

b. 5

110

5

15

5

11055 105 nmnmnm 2mn

c. 23

13

3

16

3

1

3

163 6 3272727 xxxx 23x

d. 6

118

6

112

6

118126 1812 nmnmnm 32nm

Ejemplo No. 17


Página 21

Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las siguientes expresiones:

a. 3

3

4

64

b. 3 1812nm

c. 412

48

2

64

z

yx

d. 3 103816 zyx

e. 393

1510

16

27

yx

yx

f. 43 22x

Solución:

a. 33 3333333

3

222828164

64

4

643 22

b. 6

18

6

12

6 186 126 18123 1812 nmnmnmnm 32nm

c. 3

4

8

4

4

12

4 44 84

4 12

4 48

412

48

412

48 216323232

2

64

z

yx

z

yx

z

yx

z

yx

z

yx

3

24 216

z

yx

3

244 4

3

244 22 216

z

yx

z

yx3

24 22

z

yx

d. 3 93 33 2633 103 33 833 1038 281616 zzyxxzyxzyx

33 93 33 23 633 28 zzyxx

33

9

3 23

6

33 3 22 zzyxx

33 2323 22 zxyzx 3 2323 22 zxyzx

e.

33

353

3 933

3 1593

3 93

3 1510

393

1510

22

3

22

3

16

27

16

27

xy

xyx

yx

xyx

yx

yx

yx

yx3

22

22

3 xyx

f. 3 2633 83 4243 424

3 2 2216222 xxxxxx3 22 22 xx

Ejemplo No. 18


Página 22

Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las siguientes expresiones:

a. 11

11

43

43

d.

345

2432

qp

qp

b. 134

5246

3

6

xyyx

yxyx e.

2

26

464

2

6

zxy

zyx

c.

3

13

24

6

3

zxy

yx f.

4

344

234

3

15

zyx

zyx

Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las siguientes expresiones:

a. 3 172414 wnm e. 3 121110128 cba

b. 3 81014 nzw f. 6 50231264 zyx

c. 5810

364

ym

a g. 9881 ba

d. 4132

56

64

2

ba

ba h.

8

1044

2314

6

30

zyx

zyx

2.2.5 Radicales semejantes

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo índice.

Determine si 45 , 27 , 20 y 75 son radicales semejantes.

Solución:

La simplificación de cada radical es la siguiente:

5353535945 22

3333333927 22

5252525420 22

35353532575 22

De esta manera son semejantes los radicales 53 , 52 y 33 , 35

Actividad No. 4

Actividad No. 3

Ejemplo No. 19


Página 23

2.2.6 Operaciones con radicales

Adición y sustracción de radicales: Para sumar o restar radicales, primero se simplifican y luego se reducen

los radicales semejantes:

Multiplicación de radicales: Para multiplicar dos radicales, éstos deben tener el mismo índice.

Multiplique los siguientes radicales:

a. 3 23 183 aa

Sume los siguientes radicales:

a. 333 2505416

b. 11236

1483642525 4

c. xaaxxaax 2222 251448164

d. 6363 2563634248

Solución:

a. 3333 33 33 3333 2523222523222505416 3 24

b. 7436

64864765743

6

64864765 1123

6

1483642525

2

4

2

2

2

4 224

712686473071266

4864730 2

1

64718

c. xaaxxaaxxaaxxaax 222222222222 51298251448164

xaaxxaax 251298

axxa 414

d. 6 6363 36363 4236342622563634248

6363 423634262

6363 46634262

36 648

Ejemplo No. 20

Ejemplo No. 21


Página 24

División de radicales: Para dividir dos radicales, éstos deben tener el mismo índice.

Divida los siguientes radicales:

a. 3 74

3 47

2

16

yx

yx

b. 1

34

3

92

3

3

mn

nm

c. 3 4

3 5

84

16

m

m

Solución:

a.

3

3

33

33

3 333

74

47

3 74

3 47

22

82

16

2

16

y

x

y

xyx

yx

yx

yx

yx

y

x2

b.

22

1

3

1

34

3

92

6

1

3

3

36

6

3

3nm

mn

nm

mn

nmmn

6

1

c.

33

3

34

5

3 4

3 5

2

22

4

1

8

16

4

1

84

16 m

m

m

m

m 3 24

1m

b. 3 953 2 279 yxx

c. 6 2466 164 322 yxwyx

d. 5 1245 136 125350 nmnm

Solución:

a. 3 333 33 23 23 2354183183 aaaaaa 3 23a

b. 3 96233 973 9523 953 2 33243279279 xyxyxyxxyxx 332 93 xyx

c. 6 6182666 61886 2461646 2466 164 264322322 zyxxzyxyxzyxyxzyx

6 232 xzxy 6

2

32 zxxy 3

1

32 zxxy 332 xzxy

d. 5 25105 1241365 1245 136 43750125350125350 nmnmnmnmnm

5 552552 145143125 nmnm 552 145 nm

Ejemplo No. 22


Página 25

Realice las operaciones indicadas:

a. 3 23 23 2 2773812 xxx f. mnmn

322

b. 333 375814243 g. xaxa 2

c. xxx

757

245

4

3 h. 2323 xx

d. 2451802125

i. 5029

21

e. 2718128

j. 105

34

34

216

nm

nm

2.3 RACIONALIZACIÓN

Racionalizar una expresión fraccionaria en la que el denominador contiene uno o varios radicales, consiste en

expresarla como una fracción equivalente sin radicales en el denominador. En la racionalización de una fracción se distinguen dos casos:

2.3.1 Racionalización de monomios

Para racionalizar el denominador, se busca que en él quede una raíz exacta. Para tal efecto si el denominador

contiene un factor de la forma n ka , con nk , entonces al multiplicar numerador y denominador por n kna

desaparece el radical del denominador. Este proceso se llama racionalización del denominador.

Racionalice las siguientes expresiones:

a. x5

3

b. 4 232

2

yx

c. 5 3

2

3

9

x

yx

Solución:

a.

225

53

55

53

5

5

5

3

5

3

x

x

xx

x

x

x

xx x

x

5

53

b.

xy

xy

yx

xy

xyyx

xy

xy

xy

yxyx 2

82

2

82

22

82

2

2

2

2

2

2 4 2

4 444

4 2

4 2323

4 2

4 23

4 23

4 234 23 xy

xy4 28

Actividad No. 5

Ejemplo No. 23


Página 26

2.3.2 Racionalización de binomios

Para racionalizar una expresión fraccionaria en la cual el denominador es un binomio con raíces cuadradas, se

multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador. Dos expresiones con dos

términos cada una, se dice que son conjugadas, si y solo si, difieren en el signo del segundo término.

1. Racionalice cada una de las siguientes expresiones:

Actividad No. 6

Racionalice las siguientes expresiones:

a. xy

x

2

b. 26

212

c.

yx

yx

3

Solución:

a.

22

2

2

2

2

22 xy

xyx

xy

xy

xy

x

xy

x

xy

xxy

2

2

b. 26

22622472

26

26212

26

26

26

212

26

21222

4

22626226

4

22622472 22

4

24

4

22626226

2

c.

yx

yxyx

yx

yxyx

yx

yx

yx

yx

yx

yx 333322

yx 3

c.

x

xyx

x

xyx

xx

xyx

x

x

x

yx

x

yx

3

39

3

39

33

39

3

3

3

9

3

9 5 242

5 55

5 242

5 243

5 242

5 24

5 24

5 3

2

5 3

25 2813 xxy

Ejemplo No. 24


Página 27

a. 59 2y

x

e. nm

m

4

b. ab

ab

33

5 f.

32

28

c. 3 3

25

mn

m g.

232

523

d.

yx

yx

3

h. 5 232

15

cab

abc

2. Simplifique cada expresión y racionalice si es necesario:

a. 5

8

57

23

x

yx

c. 5 45 8

2

4

4

3

y

x

y

x

b. 3 2

3

3

62

x

x

d. 32

33y

x

1. Simplifique las siguientes expresiones:

a. 32

34

3

24

5

3

7

a

b

b

a c. 6

3

2

32

3 21

bba

aab

b. kk

k

k

k

k yx

z

z

x

yz

x1

2

2

3

.3

2

d. 2

1

2

1

1

2

1

2

1

1 11

aa

a

aa

a

2. Realice las siguientes operaciones:

a. 3 23 24 32 ababa c. 3333 10424 xyx

b. 4 454 5 3483 yxxxy d. 3 453 343 2 843 babaab

2.4 LOGARITMACIÓN

El logaritmo en base b de un número N es n si y solamente si la n -ésima potencia de b es N . Es decir:

nNLogb Nbn

En otras palabras, el logaritmo del número N en base b , es el exponente al cual debe elevarse la base b para

obtener el número N .

2.4.1 Elementos de la logaritmación

Si RbN, y Rn entonces en la expresión nNLogb

Actividad No. 7


Página 28

N

se denomina argumento.

b se denomina base.

n se denomina logaritmo.

La expresión nNLogb se lee usualmente como « logaritmo en base b de N »

2.4.2 Propiedades logarítmicas

Logaritmo de un producto:

yLogxLogxyLog bbb

Logaritmo de un cociente:

yLogxLogy

xLog bbb

Logaritmo de una potencia:

xnLogxLog b

n

b

2.4.3 Ecuaciones de cancelación

nb

nbLog

nLog

n

b

b

Aplique las propiedades anteriores para calcular los siguientes logaritmos:

a. 580 22 LogLog

b. 232 44 LogLog

c. 43 2434Log

Forma exponencial Forma logarítmica

1000103 31000 3100010 LogLog

1642 2164 Log

32

1

2

15

5

32

1

2

1 Log

25

15 2

232

15 Log

Ejemplo No. 25

Ejemplo No. 26


Página 29

2.4.4 Logaritmos comunes

Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos comunes. Cuando se trabaja con logaritmos comunes no es necesario indicar la base, por lo tanto LogN significa NLog10 . El logaritmo común de un número real positivo N

es el exponente al que se debe elevar la base 10 para obtener N . Es decir:

nLogN Nn 10

2.4.5 Logaritmos naturales

Los logaritmos de base e , donde 7183.2e se denominan logaritmos naturales. Cuando se trabajan con

logaritmos naturales no es necesario indicar la base y la palabra Log se cambia por Ln , por lo tanto LnN

significa NLoge . El logaritmo natural de un número real positivo N es el exponente al que se debe elevar la base

e para obtener N . Es decir:

nLnN Nen

2.4.6 Cambio de base

Para cualesquiera bases de logaritmos b y B , y cualquier número positivo N , se tiene que:

bLog

NLogNLog

B

Bb

En particular: z

Lnb

LnNNLog

Logb

LogNNLog

b

b

Aplique cambio de base para calcular el siguiente logaritmo:

1001000Log

Solución:

Solución:

a.

16

5

80580 2222 LogLogLogLog

4

b. 6464432232 44444 LogLogLogLogLog 3

c. 2432432434 3

44

34

3 LogLogLog 5

Ejemplo No. 27


Página 30

1. Calcule los siguientes logaritmos:

a. 164Log c. 10000Log

b. 10242Log d. 81

16

3

2Log

Actividad No. 8

Si en un inicio hay 1000 bacterias en un cultivo, y este número se duplica cada hora, entonces el número de bacterias al cabo de t horas puede calcularse mediante la fórmula:

tN 21000

a) ¿Cuánto tiempo tardará el cultivo en tener 30000 bacterias?

b) Obtenga el modelo logarítmico correspondiente.

Solución:

a) Se debe reemplazar a N por 30000 y despejar t . Veamos:

t2100030000 t2

1000

30000

t230 tLogLog 230 22

tLog 302 2

30

Ln

Lnt

6931.0

4011.3t

9070.4t

Es decir, el cultivo tardará en tener 30000 bacterias aproximadamente en 5 horas.

b) Se debe despejar t de la ecuación tN 21000 . Veamos:

tN 21000 tN

21000

t230 tLn

NLn 2

1000

21000

tLnN

Ln

t

Ln

NLn

2

1000

t

NLog

10002

Es decir, el modelo logarítmico correspondiente es

10002

NLogt

1000

1001001000

Log

LogLog

3

2

Ejemplo No. 28


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2. Aplique las propiedades logarítmicas para calcular los siguientes logaritmos:

a. 396 22 LogLog c. 43 274Log

b. 28 44 LogLog d. 096.44Log

3. Aplique cambio de base para calcular los siguiente logaritmos:

a. 10100Log c. 93Log

b. 328Log d. 12525Log

Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de

cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.

1. La simplificación de 2

22

33

5

25

yx

yxes:

A. 2

2

25x

y C. 10

10

25y

x

B. 10

10

25x

y D.

25

1010 yx

2. 23

es una solución de la ecuación:

A. 02 x C. 0562 xx

B. 0762 xx D. 023 x

3. La simplificación de 5 1673128 yx es:

A. 532 22 yyx C. xyyx 42 1116

B. 511 42 xyxy D. 534 42 xyyx

4. El resultado de la operación con radicales 321224

es:

A. 326 C. 62

B. 34 D. 3464

5. Al resolver mnmn

322

se obtiene:

A. 2

25 mn C.

2

271 mn

B. 2

29 mn D. mn

Autoevaluación No. 1


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6. La simplificación de la expresión 4545

2323

es:

A. 4 C. 1 B. 5 D. 1

7. El resultado de la operación 3 233 233 yxyxyx es:

A. yx C. yxyx 32

B. yxyx 3 24 D. yyxxyx 3 23 2 22

8. La racionalización de la expresión 23

2

es:

A. 11

2 C.

7

223

B. 11

423 D.

7

2

9. La expresión yx

xyy-2x

es la racionalización de:

A. yx

yxy

C.

yx

yx

B. yx

yx

D.

xy

yx

10. La expresión yLogxLog bb 23 en un solo logaritmo es:

A. 23 yxLogb C.

2

3

y

xLogb

B.

y

xLogb

2

3 D.

y

xLogb

2

3

Education

Unidad 2 potenciación, radicación y logaritmación