LOGARITMOS

Logaritmación

• Logaritmación es una operación inversa de la potenciación, consiste en calcular el exponente cuando se conocen la base b y la potencia N.

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Definición de logaritmo

• Logaritmo de un número positivo N en una base b, positiva y diferente de 1, es el exponente x al cual debe elevarse la base para obtener el número N.

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Conceptos sobre logaritmos

• Logaritmo es un exponente y puede se cualquier número real.

• Sólo tienen logaritmo los números reales positivos.

• La base de los logaritmos es un número real positivo y diferente de 1.

0

0, 0, 0 b b b

10

0

0N

0 1 b y b 4

Expresión de los logaritmos

• Los logaritmos se expresan de dos formas: Forma exponencial y forma logarítmica. Estas expresiones son convertibles de la una a la otra.

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Algunas calculadoras permiten obtener directamente los logaritmos en cualquier base, pero la mayoría solo permite el cáculo de LOGARITMOS DECIMALES, esto es los logaritmos en base 10. Esto significa que en la mayoría de las calculadoras

no podría obtenerse directamente el log4 7

En estos casos es necesario realizar el cambio de base.

6

Cambio de base.

log4 7= log10 7 / log10 4 = 0,845 / 0,6 = 1,4

Propiedades generales de los logaritmos

1) El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero.

Ejemplos:

5

7

1) log 1 0

2) log 1 0

7

Propiedades generales de los logaritmos

2) El logaritmo de la base es igual a la unidad.

Ejemplos:

6

2

1) log 6 1

2) log 2 1

8

Propiedades generales de los logaritmos

3) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Ejemplos:

2 2 2

5 5 5

1) log 7 5 log 7 log 5

2) log 25 4 log 25 log 4

9

Propiedades generales de los logaritmos

4) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Ejemplos:

2 2 2

5 5 5

11) log log 1 log 6

6

102) log log 10 log 5

5

10

Propiedades generales de los logaritmos

5) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

Ejemplos:

32 2

45 5

1) log 6 3log 6

2) log 5 4log 5

11

Propiedades generales de los logaritmos

6) El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice.

Ejemplos:3

3

4 55

log 121) log 12

2log 6

2) log 64

12

Propiedades generales de los logaritmos

7) El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la unidad.

Ejemplos:

2 5

32

1) log 5 . log 2 1

2) log 3 . log 2 1

13

Propiedades generales de los logaritmos

8) Si el número y la base son potencias indicadas con una base común, el logaritmo está determinado por el cociente de los exponentes.

Ejemplos:4

5

2

2

3

61) log

42

2) log 35

6 2

14

Propiedades generales de los logaritmos

9) Si al número y a la base de un logaritmo se eleva a una misma potencia o se extrae radicales del mismo grado, el logaritmo no varía.

Ejemplos:

4 33

1212

1) log 5 log 5

2) log 6 log 6

4

15

Propiedades complementarias de los logaritmos

1) Reducción de potencias.

Ejemplos.

16

5

2

422

366

41) log 3 log 3

53

2) log 5 log 52

Propiedades complementarias de los logaritmos

2) Inversos base y número.

Ejemplos.

17

1 2

2

1 4

4

11) log log 13

13

12) log log 8

8

Propiedades complementarias de los logaritmos

3) Cambio de base.

Ejemplos.

18

52

5

36

3

log 31) log 3

log 2

log 212) log 21

log 6

Propiedades complementarias de los logaritmos

4) Regla de la cadena.

Ejemplos.

19

2 4 3 3

6 3 5 8 8

1) log 3.log 2.log 4 log 3

2) log 2.log 6.log 4.log 5 log 2