Monografia de Calculo III

TEMA : INTEGRALESDOBLES

PROFESOR :ROMAN TELLOHUBERT GAVINO

Integrales dobles

n6n3n 3 2n

6n33 2n

n6n3n 3 2n 3n

RECORDAMOS: REA BAJO UNA CURVA Y LIMITADA

Dividimos en intervalo [1, 2] en n partesiguales

S 11 1 1 1 1

n 7 3 1

rea lim S lim ( 7 3 1 ) 7

3x x (2x2 x)dx

3 2

a

Segundo teorema fundamental

Si f(x) es continua en [a,b] , y F(x) es una primitiva

b

f (x)dx F (b) F (a)

Ejemplo:

2 2 2 b

1 a

2 2 2 2 2 2 2 2(2x2 x)dx

3x x 3(2) (2)

3(1) (1)

3 2 3 2 3 2 1 1

2x x

(2) 2(1) (1)

2(2) (2x2 x)dx 3 2 3 2 3 2

6 6 6

a

Segundo teorema fundamental

b

f (x)dx F (b) F (a)

Ejemplo:

2 3 2 2 3 2 3 2

1 1

44 7 37

2 2 2 2 2 2 2 2(2x2 x)dx

3x x 3(2) (2)

3(1) (1)

3 2 3 2 3 2 1 1

a

z dx

1 2 z dx

1 1)3 2 zdx (z20

0 0

= 2 2 2 2 2 2

16 16 16

Ms ejemplosb

f ( x)dx F (b) F (a)

1 1 1

(z2 1)3 2 (z2 1)3 2

1 (z2 1)2 1 1 (12 1)2 1 (02 1)2

= 0

=- 1 4 3

2 2 2 2 2 2 2 2(2x2 x)dx

3x x 3(2) (2)

3(1) (1)

3 2 3 2 3 2 1 1 (3000

0

x 1000)dx 3000

0

1000 x dx

1000x

3000

1000 (4) 3000

1000

(0)

=3000 0

APLICACIONESSupngase que durante los primeros 5 aos que una mercanca haestado a la venta en el mercado, se venden y unidades al ao cuandohan transcurrido x aos desde que el producto se present por primeravez , donde y= 3000 (x)^(+1/2) +1000 , x vara en [0, 5].

Calcular las ventas totales durante los primeros 4 aos

4 4 x3/ 2

3 / 2

x3/ 2 4 43/ 2 03/ 2

3 / 2 3 / 2 3 / 2

=20000

Se venden 20 000 unidades durante los 4 primeros aos

lim f(xj )x f(x)dx F(b)- F(a)

INTEGRAL DEFINIDA

Sea f, funcin continua y no negativa sobre [a,b] que se divide enn subintervalos de igual longitud x. Si xj es el extremo izquierdodel j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define:

n b

n j1a

a xj xj+1 b

Grficamente representa el rea bajo la grfica de f en [a,b]

Sea f, continua en una regin R del plano XY . Usando lneas

R

f(x,y)dA lim f(xj , y j )A f(x, y)dA lim f(xj , y j )

La integral doble

paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectngulosde rea A. Sea (xj,yj) un Pto del j-esimo rectngulo, entonces laintegral doble de f sobre R es:

n

n j1

( xj, yj)

R

f(x, y)dA limn f(xj , y j )Aj1

La integral doble

n f(x, y)dA lim f(xj , y j )

D Ai

f(x, y)dA lim f(P )Ai

La integral doble

n

n i1i

Interpretacin grfica

La integral doble de una funcin no negativa en dos variablesse interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) ysobre la regin R del plano xy.

z = f(x,y)

Regin R

INTEGRALES ITERADAS

INTEGRALES ITERADAS

TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACIN

R

f(x,y)dA a g (x) f(x,y)dydx

Lmites de integracin

Secciones transversales verticales: La regin R est limitada porlas grficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por

R: a x b , g1(x) y g2(x)

y = g2(x)

R y = g1(x)

a b b g2 (x)

1

R

f(x,y)dA c h (y) f(x,y)dxdy

Lmites de integracin

Secciones transversales horizontales: La regin R est limitada porlas grficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por

R: c y d , h1(y) x h2(y)

d x = h1(x)

x = h2(x)R

cd h2 (y)

1

TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACIN

f(x,y)dA c a f(x,y)dxdy a c f(x,y)dydx

Clculo de integrales dobles

La integral doble de f sobre la regin R (Rectngulo), est dadapor el valor comn de las dos integrales iteradas.

d b b d

R

Donde a, b, c y d son los lmites de integracin de la regin R.

Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable yse integra con respecto a la otra variable.

R R

R R R

R

R R1 R2

Propiedades

a)K.f(x, y)dA K f(x, y)dA

b) f(x,y) g(x,y)dA f(x,y)dA g(x,y)dA

c) Si f(x,y) 0, (x,y) R, f(x,y)dA 0d) Si R R1 R2 , donde R1 y R2 no se sobreponen

f(x,y)dA f(x,y)dA f(x,y)dA

X

n

f(xk' Yk).~Ak

nCalculamos el lmite cuando n

rectngulos son cada vez ms k=1

Formamos la sumatoria sn =Lk=1

aumenta ya que los lmn~CXJsn = L f(xk, Yk ).~Akpequen- os

Cuando existe el lmite la funcin es integrable y se conoce como laintegral doble

lim Sn f(x, y) dA,n~OO

Si f{x,y} es continua Es integrable

El lmite o integraldoble es el volumendel slido sobre labase R.

Cuando n crece, lassumas de Riemman seaproximan al volumen delslido

Por lo tanto, las integrales iteradas con cualquierorden de integracin dan el volumen y es igual a laintegral doble

TEOREMA DE FUBINI: Si f(x,y) escontinua en la regin rectangular R,entonces:

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONESNO RECTANGULARES

PROPIEDAD DE LAS INTEGRALES DOBLES

VOLUMEN =

unidad de reaR

RR

y xx ; y Centro de masa:

El rea de una regin plana cerrada y acotada R es

MASA: M (x, y)dA donde (x, y) es la funcin densidad o masa por

Momentos de inercias: Mx y.(x, y)dA My x.(x, y)dAM MM M

Solucin:

0 0 0 0 0 0 0(2x y)dxdy dy (2x y)dx dy 2xdx ydx

3 3 3 3

EJEMPLO 1: Hallar la masa de la lmina triangular de vrtices (0,0); (0,3) y (2,3), sisu densidad en (x, y) es: (x, y) 2x y

Considerando la integral que se forma con la funcin se tiene:3 2 y 3 2 y 3| 2 y 2 y

Clculo de la masa de una lmina en el espacio tridimensional

EJEMPLO 2: La figura muestra una lmina S con la forma del cono

z 4 2 x2 y2 , 0 z 4En cada punto de S la densidad es proporcional a su distancia al eje z. Hallar lamasa de la lmina

Solucin:Consideraciones importantes

La proyeccin de S sobre el plano xy daS : z 4 2 x2 y2 g(x, y), 0 z 4R : x2 y2 4

con densidad (x, y, z) k x2 y2

Usando una integral de superficie la masa secalcula as:

m S (x, y, z)ds

S S x y

x y dA2 2

m 1 k x yS y x2 x2 y2

4 42 22 2S x2 y 2

m 1k x2 y 2 dA

2 2

5k 2r 32 dk 2 2 5rrdrd 25k r 3drd2m m

2

8 5k 5k 8 5k 2 0 d2 3 32

d 0

Convirtiendo la integral de superficie a una integral de rea se tiene:

m (x, y, z)ds k x2 y2 1 g (x, y)2 g (x, y)2 dA2 2 4 4

2

m k x y 1x y dA

4x2 y 2 S x2 y 2

m S 5 x y dA

0 0 0 0 3 0 0

3 0 3 0 3 1

m 8 5k 2 0 8 5k 2 16 5k3 3 3

(2x y)dxdy 0 03

(2x y)dxdy 0 0 3

EJERCICIOS PARA LA CARPETA

4 y

5 2 y

INTEGRALES TRIPLES