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Monografia de Integrales Dobles

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analisis matematico

Text of Monografia de Integrales Dobles

  • Monografia de Calculo III

    TEMA : INTEGRALESDOBLES

    PROFESOR :ROMAN TELLOHUBERT GAVINO

  • Integrales dobles

  • n6n3n 3 2n

    6n33 2n

    n6n3n 3 2n 3n

    RECORDAMOS: REA BAJO UNA CURVA Y LIMITADA

    Dividimos en intervalo [1, 2] en n partesiguales

    S 11 1 1 1 1

    n 7 3 1

    rea lim S lim ( 7 3 1 ) 7

  • 3x x (2x2 x)dx

    3 2

    a

    Segundo teorema fundamental

    Si f(x) es continua en [a,b] , y F(x) es una primitiva

    b

    f (x)dx F (b) F (a)

    Ejemplo:

    2 2 2 b

    1 a

  • 2 2 2 2 2 2 2 2(2x2 x)dx

    3x x 3(2) (2)

    3(1) (1)

    3 2 3 2 3 2 1 1

    2x x

    (2) 2(1) (1)

    2(2) (2x2 x)dx 3 2 3 2 3 2

    6 6 6

    a

    Segundo teorema fundamental

    b

    f (x)dx F (b) F (a)

    Ejemplo:

    2 3 2 2 3 2 3 2

    1 1

    44 7 37

  • 2 2 2 2 2 2 2 2(2x2 x)dx

    3x x 3(2) (2)

    3(1) (1)

    3 2 3 2 3 2 1 1

    a

    z dx

    1 2 z dx

    1 1)3 2 zdx (z20

    0 0

    = 2 2 2 2 2 2

    16 16 16

    Ms ejemplosb

    f ( x)dx F (b) F (a)

    1 1 1

    (z2 1)3 2 (z2 1)3 2

    1 (z2 1)2 1 1 (12 1)2 1 (02 1)2

    = 0

    =- 1 4 3

  • 2 2 2 2 2 2 2 2(2x2 x)dx

    3x x 3(2) (2)

    3(1) (1)

    3 2 3 2 3 2 1 1 (3000

    0

    x 1000)dx 3000

    0

    1000 x dx

    1000x

    3000

    1000 (4) 3000

    1000

    (0)

    =3000 0

    APLICACIONESSupngase que durante los primeros 5 aos que una mercanca haestado a la venta en el mercado, se venden y unidades al ao cuandohan transcurrido x aos desde que el producto se present por primeravez , donde y= 3000 (x)^(+1/2) +1000 , x vara en [0, 5].

    Calcular las ventas totales durante los primeros 4 aos

    4 4 x3/ 2

    3 / 2

    x3/ 2 4 43/ 2 03/ 2

    3 / 2 3 / 2 3 / 2

    =20000

  • Se venden 20 000 unidades durante los 4 primeros aos

  • lim f(xj )x f(x)dx F(b)- F(a)

    INTEGRAL DEFINIDA

    Sea f, funcin continua y no negativa sobre [a,b] que se divide enn subintervalos de igual longitud x. Si xj es el extremo izquierdodel j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define:

    n b

    n j1a

    a xj xj+1 b

    Grficamente representa el rea bajo la grfica de f en [a,b]

  • Sea f, continua en una regin R del plano XY . Usando lneas

    R

    f(x,y)dA lim f(xj , y j )A f(x, y)dA lim f(xj , y j )

    La integral doble

    paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectngulosde rea A. Sea (xj,yj) un Pto del j-esimo rectngulo, entonces laintegral doble de f sobre R es:

    n

    n j1

    ( xj, yj)

  • R

    f(x, y)dA limn f(xj , y j )Aj1

    La integral doble

    n f(x, y)dA lim f(xj , y j )

  • D Ai

    f(x, y)dA lim f(P )Ai

    La integral doble

    n

    n i1i

  • Interpretacin grfica

    La integral doble de una funcin no negativa en dos variablesse interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) ysobre la regin R del plano xy.

    z = f(x,y)

    Regin R

  • INTEGRALES ITERADAS

  • INTEGRALES ITERADAS

  • TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACIN

  • R

    f(x,y)dA a g (x) f(x,y)dydx

    Lmites de integracin

    Secciones transversales verticales: La regin R est limitada porlas grficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por

    R: a x b , g1(x) y g2(x)

    y = g2(x)

    R y = g1(x)

    a b b g2 (x)

    1

  • R

    f(x,y)dA c h (y) f(x,y)dxdy

    Lmites de integracin

    Secciones transversales horizontales: La regin R est limitada porlas grficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por

    R: c y d , h1(y) x h2(y)

    d x = h1(x)

    x = h2(x)R

    cd h2 (y)

    1

  • TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACIN

  • f(x,y)dA c a f(x,y)dxdy a c f(x,y)dydx

    Clculo de integrales dobles

    La integral doble de f sobre la regin R (Rectngulo), est dadapor el valor comn de las dos integrales iteradas.

    d b b d

    R

    Donde a, b, c y d son los lmites de integracin de la regin R.

    Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable yse integra con respecto a la otra variable.

  • R R

    R R R

    R

    R R1 R2

    Propiedades

    a)K.f(x, y)dA K f(x, y)dA

    b) f(x,y) g(x,y)dA f(x,y)dA g(x,y)dA

    c) Si f(x,y) 0, (x,y) R, f(x,y)dA 0d) Si R R1 R2 , donde R1 y R2 no se sobreponen

    f(x,y)dA f(x,y)dA f(x,y)dA

  • X

  • n

    f(xk' Yk).~Ak

    nCalculamos el lmite cuando n

    rectngulos son cada vez ms k=1

    Formamos la sumatoria sn =Lk=1

    aumenta ya que los lmn~CXJsn = L f(xk, Yk ).~Akpequen- os

    Cuando existe el lmite la funcin es integrable y se conoce como laintegral doble

    lim Sn f(x, y) dA,n~OO

    Si f{x,y} es continua Es integrable

  • El lmite o integraldoble es el volumendel slido sobre labase R.

  • Cuando n crece, lassumas de Riemman seaproximan al volumen delslido

  • Por lo tanto, las integrales iteradas con cualquierorden de integracin dan el volumen y es igual a laintegral doble

    TEOREMA DE FUBINI: Si f(x,y) escontinua en la regin rectangular R,entonces:

  • INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONESNO RECTANGULARES

  • PROPIEDAD DE LAS INTEGRALES DOBLES

  • VOLUMEN =

  • unidad de reaR

    RR

    y xx ; y Centro de masa:

    El rea de una regin plana cerrada y acotada R es

    MASA: M (x, y)dA donde (x, y) es la funcin densidad o masa por

    Momentos de inercias: Mx y.(x, y)dA My x.(x, y)dAM MM M

  • Solucin:

    0 0 0 0 0 0 0(2x y)dxdy dy (2x y)dx dy 2xdx ydx

    3 3 3 3

    EJEMPLO 1: Hallar la masa de la lmina triangular de vrtices (0,0); (0,3) y (2,3), sisu densidad en (x, y) es: (x, y) 2x y

    Considerando la integral que se forma con la funcin se tiene:3 2 y 3 2 y 3| 2 y 2 y

  • Clculo de la masa de una lmina en el espacio tridimensional

    EJEMPLO 2: La figura muestra una lmina S con la forma del cono

    z 4 2 x2 y2 , 0 z 4En cada punto de S la densidad es proporcional a su distancia al eje z. Hallar lamasa de la lmina

    Solucin:Consideraciones importantes

    La proyeccin de S sobre el plano xy daS : z 4 2 x2 y2 g(x, y), 0 z 4R : x2 y2 4

    con densidad (x, y, z) k x2 y2

    Usando una integral de superficie la masa secalcula as:

    m S (x, y, z)ds

  • S S x y

    x y dA2 2

    m 1 k x yS y x2 x2 y2

    4 42 22 2S x2 y 2

    m 1k x2 y 2 dA

    2 2

    5k 2r 32 dk 2 2 5rrdrd 25k r 3drd2m m

    2

    8 5k 5k 8 5k 2 0 d2 3 32

    d 0

    Convirtiendo la integral de superficie a una integral de rea se tiene:

    m (x, y, z)ds k x2 y2 1 g (x, y)2 g (x, y)2 dA2 2 4 4

    2

    m k x y 1x y dA

    4x2 y 2 S x2 y 2

    m S 5 x y dA

    0 0 0 0 3 0 0

    3 0 3 0 3 1

    m 8 5k 2 0 8 5k 2 16 5k3 3 3

  • (2x y)dxdy 0 03

    (2x y)dxdy 0 0 3

    EJERCICIOS PARA LA CARPETA

    4 y

    5 2 y

  • INTEGRALES TRIPLES

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