Download docx - makalah jadi

BAB I

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Model transportasi berawal dari tahun 1941 ketika F.L. Hitchcock

mengetengahkan suatu studi yang berjudul “The Distribution of a Product from

Several Sourceso Numerous Localities”. Presentasi ini dipertimbangkan sebagai

sumbangan penting terhadap kasus-kasus transportasi yng pertama kali.

Kemudian pada tahun 1947 T.C. Koopmans sebelum bekerja di Cowles

Commission, dia bekerja di Combined Shipping Adjustment Board in Washington

dan mengetengahkan suatu studi yang tidak berkaitan dengan studi Hitchcock dan

diberi judul “Optimum Untilization if the Transportation System”. Selanjutnya

kedua sumbangan ini sangat membantu didalam pengembangan model

transportasi.

Model transportasi adalah secara dasariah sebuah program linear yang

dapat diselesaikan oleh metode simplex reguler. Teknik transportasi dapat dan

sering dipresentasikan di dalam sebuah elementary manner yng tampak

sepenuhnya terlepas dari metode simplex. Model transportasi telah diterapkan

pada berbagai macam organisasi usaha seperti rancang bangun dan pengendalian

operasi pabrik, penentuan daerah penjualan, dan pengalokasian pusat-pusat

distribusi dan gudang. Model ini juga dapat digunakan untuk kebutuhan mesin,

lokasi plant, problematika product mix, dan masih banyak lagi, sehingga model

ini tidak terlalu terikat dengan transportasi dan distribusi. Penyelesaian kasus-

kasus tersebut dengan model transportasi telah mengakibatkan biaya yang luar

biasa.

Edward H. Bowman dari M.I.T pada tahun 1956 telah mengembangkan

model itu menjadi sebuah model transportasi dinamik yang melibatkan unsur

waktu untuk menyelesaikan masalah penjadwalan produksi. Model ini juga

menjadi inspirasi pengembangan model-model Operations Research yang lain

seperti Transhipment, Assigment, dan lain-lain.

1

RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana menyelesaikan suatu masalah distribusi barang dengan Metode

Transportasi?

2. Bagaimana penerapan Metode Transportasi dengan menggunakan aplikasi

POM?

TUJUAN

1. Menjelaskan cara menyelesaikan suatu masalah distribusi barang dengan

Metode Transportasi dari tempat yang memiliki atau menghasilkan barang

tersebut dengan kapasitas tertentu ke tempat yang membutuhkan barang

tersebut dengan jumlah kebutuhan tertentu agar biaya distribusi dapat

ditekan seminimal mungkin.

2. Berguna untuk memecahkan permasalahan distribusi (alokasi).

3. Memecahkan permasalahan bisnis lainnya, seperti masalah-masalah yang

meliputi pengiklanan, pembelanjaan modal (capital financing) dan alokasi

dana untuk investasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan dan

perencanaan scheduling produksi.

4. Menjelaskan penerapan Metode Transportasi dengan menggunakan

aplikasi POM

2

?S1

S2

Sm Tn

T2

T1

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 MODEL DASAR TRANSPORTASI

Secara khusus model transportasi berkaitan dengan masalah

pendistribusian barang-barang dari pusat-pusat pengiriman atau sumber ke pusat-

pusat penerimaan atau tujuan. Persoalan yang ingin dipecahkan oleh model

transportasi adalah penentuan distribusi barang yang akan meminimumkan biaya

model distribusi. Sehingga model transportasi memecahkan masalah

pendistribusian barang dari sumber ke tujuan dengan biaya total distribusi

minimum.

Min b ij

Dimana:

Si : Sumber-sumber dari mana barang akan diangkut, untuk i= 1, 2,…,m

Tj : Tujuan-tujuan hendak kemana barang akan diangkut, untuk j= 1, 2,…,n

Bij : Biaya distribusi dari Si ke Tj

Karena ada i sumber dan j tujuan maka ada i x j kemungkinan distribusi dari

sumber-sumber ke tujuan-tujuan. Di samping itu, masing-masing sumber

mempunyai kemampuan terbatas untuk menyediakan barang, sedangkan masing-

masing tujuan mempunyai tingkat permintaan tertentu untuk dipenuhi. Persoalan

3

itu menjadi lebih rumit karena biaya angkut per satuan barang dari sumber i ke

tujuan j berbeda. Oleh karena itu, model harus bisa menentukan distribusi yang

akan meminimumkan biaya total distribusi dan

1. Tidak melampaui kapasitas sumber-sumber.

2. Memenuhi permintaan tujuan-tujuan

2.1.1 Matriks Transportasi

Model transportasi menggunakan sarana sebuah matriks untuk

memberikan gambaran mengenai kasus distribusi.

Model Matematis Transportasi

Sebuah matriks transportasi memiliki m baris dan n kolom. Sumber-

sumber berjajar pada baris ke-1 hingga ke-m, sedang tujuan-tujuan berbanjar pada

kolom ke-1 hingga ke-n. Dengan demikian,

Xij : satuan barang yang akan diangkut dari sumber i ke tujuan j

bij : biaya angkut per satuan barang dari sumber i ke tujuan j

sehingga secara sistematis

Min∑i=1

m

∑j=1

n

bij X ij (2.1)

4

Matriks Transportasi

SUMBER

TUJUAN Kapasitas

Sumber per

periodeT1 T2

………

…...Tn

S1

C11

X11

C12

X12

………

…..

C1n

X1n

s1

S2

C21

X21

C22

X22

………

…..

C2n

X2n

s2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

………

…..

.

.

.

.

.

.

SmCm1

Xm1

Cm2

Xm2

………

…..

Cmn

Xmn

sm

Kebutuhan

tujuan per

periode

t1 t2

………

…..tn

∑ si

∑ t j

∑j=1

n

X ij=S i, untuk i = 1, 2,…, m (2.2)

∑j=1

m

X ij=T i, untuk i = 1, 2,…, n (2.3)

Dimana X ij 0

Penyelesaian persoalan ini akan menghasilkan X ij optimal yaitu X ij yang

akan memenuhi (2.2) dan (2.3) serta membuat (2.1) minimum. Dengan kata lain,

X ij optimal adalah distribusi optimal yang akan meminimumkan biaya distribusi

total.

Distribusi optimal di dalam model transportasi adalah distribusi barang

dari sumber-sumber untuk memenuhi permintaan tujuan agar biaya total distribusi

minimum.

5

2.1.2 Masalah Keseimbangan Permintaan dan Penawaran

Di dalam model transportasi, kemampuan sumber-sumber untuk melayani

atau ∑ si belum tentu sama dengan tingkat permintaan tujuan-tujuan untuk

dilayani atau ∑ t j. Sehingga ada tiga kemungkinan yang akan terjadi, yaitu:

1. ∑ si=∑ t j .

2. ∑ si∑ t j .

3. ∑ si∑ t j .

Kemungkinan pertama akan terjadi bila seluruh kapasitas permintaan

untuk mengirim barang sama persis dengan seluruh permintaan tujuan. Dalam

kasus ini seluruh kemampuan sumber-sumber untuk melayani permintaan tepat

digunakan seluruhnya dan seluruh permintaan tujuan-tujuan tepat dipenuhi.

Kemungkinan kedua akan terjadi bila seluruh kapasitas permintaan tidak

mungkin dipenuhi oleh seluruh sumber-sumber yang tersedia. Dalam kasus ini

jelas akan ada permintaan lebih dari satu atau lebih tujuan yang akan dipenuhi

sebagian atau tidak dipenuhi sama sekali.

Kemungkinan ketiga akan terjadi bila seluruh kemampuan sumber-sumber

untuk mengirim barang melampaui tingkat permintaan yang ada. Dalam kasus ini,

satu atau lebih sumber, mungkin hanya akan mengirim barang sebagian atau tidak

mengirim sama sekali.

2.1.3 Algoritma Trasportasi

Model trasportasi, pada saat dikenalkan pertama kali, diselesaikan secara

manual dengan menggunakan algoritma yang dikenal sebagai algoritma

transportasi. Algoritma ini cukup dikenal dan masih sering diajarkan hingga tahun

90-an. Flow chart algoritma trasportasi ini bisa dilihat pada Gambar 1.

Pertama, diagnosis masalah dimulai dengan pengenalan sumber, tujuan,

parameter, dan variabel.

Kedua, seluruh informasi tersebut kemudian dituangkan ke dalam matriks

transportasi. Dalam hal ini,

6

Bila kapasitas seluru sumber lebih besar dari permintaan seluruh tujuan

maka sebuah kolom semu (dummy) perlu ditambahkan untuk menampung

kelebihan kapasitas itu.

Bila kapasitas seluruh sumber lebih kecil dari seluruh permintaan tujuan

maka sebuah baris semu perlu ditambahkan untuk menyediakan kapasitas

semu yang akan memenuhi kelebihan permintaan itu. Jelas sekali bahwa

kelebihan permintaan itu tidak bisa dipenuhi.

Ketiga, setelah matriks trasportasi terbentuk kemudian dimulai menyusun

tabel awal. Algoritma trasportasi mengenal empat macam metode untuk

menyusun table awal, yaitu:

1. Metode Biaya Terkecil atau Lest Cost Method.

2. Metode sudut Barat Laut atau Nort West Corner Method

3. RAM atau Russell’s Approximation Method.

4. VAM atau Vogel Aproximation Method.

Keempat metode di atas masing-masing berfungsi untuk menentukan

alokasi distribusi awal yang akan membuat seluruh kapasitas sumber

teralokasikan ke seluruh tujuan. Secara matematis, penyusunan tabel awal ini

dilakukan untuk menjamin pemenuhan kendala-kendala (2.2) dan (2.3)

Keempat, setelah penyusunan tabel awal selesai maka sebagai langkah

selanjutnya adalah pengujian optimalitas tabel untuk mengetahui apakah biaya

distribusi total telah minimum. Secara matematis, pengujian ini dilakukan untuk

menjamin bahwa nilai fungsi tujuan minimum (2.1) telah tercapai. Ada dua

macam model pengujian optimalitas algoritma trasportasi.

1. Stepping Stone Method

2. MODI atau Modified Distribution Method

Kelima, atau langkah yang terakhir adalah revisi tabel bila dalam langkah

keempat terbukti bahwa tabel belum optimal atau biaya distribusi total masih

mungkin diturunkan lagi. Dengan demikian, jelas sekali bahwa langkah kelima ini

tidak akan dilakukan apabila pada langkah keempat telah membuktikan bahwa

tabel telah optimal.

7

Biaya terkecilSudut Barat LautV.A.MRussel

Awal

MatriksTransportasi

Tabel

Test

Revisi

Stop

Stepping StoneM.O.D.I

Gambar 1

Flow chart Algoritma Transportasi

2.2 KASUS TRANSPORTASI : DENEBULA

Denebula, sebuah perusahaan penghasil suatu jenis jamur mencoba

mengembangkan usahanya di daerah Magelang dan Surakarta. Seiring semakin

berkembangnya perusahaan, semakin besar pula permintaan yang datang.

Perusahaan ini akhirnya membangun beberapa agen untuk melayani permintaan

tersebut. Berikut ini agen-agen yang dibentuk:

1. Agen di Purwokerto untuk melayani permintaan daerah Jawa Barat.

2. Agen di Semarang untuk melayani permintaan daerah luar Jawa.

3. Agen di Madiun untuk melayani permintaan daerah Jawa Timur.

Selanjutnya, permintaan untuk ketiga agen seperti yang disajikan pada

tabel di bawah ini:

Agen Permintaan

Purwokerto 5000 kg

Semarang 4500 kg

8

Madiun 5500 kg

Kemampuan produksi jamur di tiap perusahaannya adalah sebagai berikut:

Pusat Penyemaian Kapasitas

Yogyakarta 4000 kg

Magelang 5000 kg

Surakarta 6000 kg

Berikut adalah biaya angkut per unit dari pusat-pusat penyemaian ke agen-agen,

yaitu:

PabrikAgen

Purwokerto Semarang Madiun

Yogyakarta 4 5 7

Magelang 6 3 8

Surakarta 5 2 3

Permasalahan yang dihadapi Denebula adalah penentuan distribusi

optimal. Dalam kasus ini Denebula mempunyai Sembilan kemungkinan distribusi.

Masing-masing pusat penyemaian harus mendistribusikan jamur ke agen-agen

agar permintaan yang ada dapat dipenuhi, tetapi dengan biaya yang paling

minimum.

⌂Semarang Purwokerto⌂ ○ ⌂Madiun Magelang ○Surakarta ○Yogyakarta

Penyelesaian Denebula:

9

Kita akan menyelesaikan kasus ini dengan mengunakan algoritma

transportasi sebelum menyelesaikannya dengan menggunakan aplikasi POM.

Langkah pertama adalah dengan membentuk permasalahan di atas menjadi bentuk

matriks transportasi:

2.2.1 Tabel Awal Matriks Transportasi Denebula

Ada empat metode yang tersedia, yaitu dengan metode biaya terkecil,

metode sudut barat laut, Russel’s Approximation Method (RAM), dan Vogel

Approximation Method (VAM).

1. Metode Biaya Terkecil

Metode Biaya Terkecil (Least Cost Method) adalah sebuah metode untuk

menyusun table awal dengan cara pengalokasian distribusi barang dari sumber ke

tujuan mulai dari sel yang memiliki biaya distribusi terkecil (Siswanto. 2007:271).

Dari tabel awal matriks denebula di atas, sel matriks baris ke-3 kolom ke-2

memiliki biaya distribusi paling kecil, yaitu Rp2,- per kg. Karena kebutuhan

tujuan, dalam hal ini Semarang adalah 4500 kg sedangkan kapasitas Surakarta

6000kg, maka kita tulis 4500 sebagai pengganti X32. Sehingga, masih ada sisa

1500kg di pabrik Surakarta.

10

SumberTujuan Kapasitas

SumberPurwokerto Semarang Madiun

YogyakartaX11 X12 X13

40004 5 7

MagelangX21 X22 X23

50006 3 8

SurakartaX31 X32 X33

60005 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Selanjutnya, sel yang memiliki biaya terkecil selanjutnya adalah sel 33

(baris ke-3, kolom ke-3) yaitu Rp3,- per kg. Perhatikan bahwa pada sel ini, agen

Madiun membutuhkan 5500 kg jamur, tetapi sisa yang ada di sumber Surakarta

tinggal 1500 kg karena sebagian tadi telah didistribusikan ke agen Surakarta. Jadi

kita tulis 1500 di sel 33, sedangkan sisa 4000 kg kita tulis kemudian.

Sel yang memiliki biaya terkecil berikutnya adalah sel 11 (baris ke-1, kolom ke-

1). Sel ini berkaitan dengan sumber Yogyakarta yang memiliki kapasitas 4000 kg

dan agen Purwokerto yang memiliki permintaan 5000 kg. Kita tulis 4000 di sel

11, sedangkan kekurangan sebesar 1000 kg kita tulis kemudian.



Yogyakarta4000 X12 X13

40004 5 7

MagelangX21 X22 X23

50006 3 8

Surakarta X31 4500 1500 6000

11

5 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Permasalahan sekarang adalah menentukan kekurangan permintaan agen-

agen yang ada, seperti dari agen Purwokerto yang kekurangan 1000kg, dan agen

Madiun yang masih kekurangan 4000kg lagi. Untuk memenuhi perrmintaan agen

Purwokerto, pilihan kita sebenarnya adalah dari sumber Surakarta karena

memiliki biaya yang paling kecil, yaitu Rp5,- per kg. Tetapi sumber Surakarta

sudah tidak mampu menyuplai permintaan tersebut karena seluruh kemampuan

Surakarta telah diberikan ke Semarang dan Madiun, maka pilihan selanjutnya

jatuh ke Sumber Magelang dengan biaya yang lebih tinggi, yaitu Rp6,- per kg.

Kita tulis 1000 di sel 21.




40004 5 7

Magelang1000 X22 X23

50006 3 8

SurakartaX31 4500 1500

60005 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Kita tahu, sumber Magelang masih memiliki sisa 4000kg sedangkan agen

Madiun masih memmbutuhkan 4000kg lagi untuk memenuhi permintaannya.

Untuk itu, kita alokasikan 4000kg tersebut untuk memenuhi kebutuhan agen

Madiun. Sejauh ini, kita sudah selesai menyelesaikan persoalan ini. Perhatikan

tabel dibawah ini yang menunjukkan tabel metode biaya terkecil denebula

lengkap.

12




40004 5 7

Magelang1000 X22 4000

50006 3 8


60005 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Metode Biaya Terkecil ini adalah metode yang paling sederhana dan

paling awal untuk menemukan biaya distribusi total paling kecil. Tetapi, keunikan

kombinasi biaya distribusi per unit di masing-masing sel dalam sebuah matriks

transportasi sering memunculkan masalah-masalah khususyang memerlukan

penangan khusus. Pengembangan metode penentuan tabel awal setelah metode

biaya terkecil juga dimaksudkan untuk menghilangkan kelemahan-kelemahan

tersebut. Tetapi, kadang-kadang metode ini juga sangat efektif karena

karakteristiknya untuk memilih biaya terkecil di masing-masing sel (Siswanto.

2007:271).

Total biaya yang digunakan dengan menggukan metode ini adalah:

Sel Biaya × Beban Biaya

(1,1) 4 × 4000 Rp16.000,-

(2,1) 6 × 1000 Rp 6.000,-

(2,3) 8 × 4000 Rp32.000,-

(3,2) 2 × 4500 Rp 9.000,-

(3,3) 3 × 1500 Rp 4.500,-

Rp67.500,-

2. Metode Sudut Barat Laut

13

Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method) adalah sebuah metode

untuk menyusun tabel awal dengan cara mengalokasikan distribusi barang mulai

dari sel yang terletak paling kiri atas, sehingga dinamai metode barat laut

(Siswanto. 2007:271).

Langkah pertama, kita ambil sel 11 (baris ke-1, kolom ke-1) karena

menurut metode ini alokasi yang diprioritaskan adalah sel paling kiri atas.

Sumber Yogyakarta berkapasitas 4000kg, tetapi agen Purwokerto memerlukan

alokasi sebesar 5000kg, sehingga ada kekurangan 1000kg yang harus dipenuhi.

Tulis 4000kg di sel 11.




40004 5 7

MagelangX21 X22 X23

50006 3 8


60005 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Kini sel yang paling kiri atas adalah sel 21. Karena agen Purwokerto

masih memerlukan memerlukan 1000kg lagi untuk memenuhi permintaan, maka

tulis 1000 pada sel 21 dan permintaan untuk agen Purwokerto telah terpenuhi.

Sedangkan sumber Magelang masih memiliki sisa 4000kg untuk didistribusikan

ke agen-agen yang lain.

14




40004 5 7

Magelang1000 X22 X23

50006 3 8


60005 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Selanjutnya sel 22 merupakan sel yang terletak paling kiri atas (sel 12 tidak

mungkin dipilih karena seluruh kemampuan Yogyakarta sudah digunakan untuk

agen Purwokerto). Karena sumber Magelang masih memiliki 4000kg, maka

alokasi bahan tersebut digunakan sepenuhnya untuk memenuhi permintaan di

Semarang. Sehingga Semarang masih membutuhkan 500kg lagi untuk

memenuhi permintaanya. Sumber satu-satunya yang masih ada adalah dari

Semarang, sehingga suplai 500kg dialokasikan dari sumber Semarang (sel 32

ditulis 500).




40004 5 7

Magelang1000 4000 X23

50006 3 8

SurakartaX31 500 X33

60005 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Sel kiri atas selanjutnya adalah sel 23. Tetapi perhatikan bahwa seluruh

bahan di sumber Magelang sudah habis digunakan untuk memenuhi agen

15

Purwokerto dan Semarang. Satu-satunya sel yang mungkin digunakan adalah sel

33. Sumber Surakarta memiliki sisa bahan 5500kg sehingga cukup untuk

memenuhi kebutuhan agen Madiun.




40004 5 7


50006 3 8


60005 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Proses pengisian sel-sel menurut aturan barat laut disajikan pada tabel

berikut:




40004 5 7


50006 3 8


60005 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

16

Biaya distribusi berdasarkan alokasi beban distribusi menurut metode

sudut barat laut adalah:


(1,1) 4 × 4000 Rp16.000,-

(2,1) 6 × 1000 Rp 6.000,-

(2,3) 3 × 4000 Rp12.000,-

(3,2) 2 × 500 Rp 1.000,-

(3,3) 3 × 5500 Rp 16.500,-

Rp51.500,-

3. Russel’s Approximation Method (RAM)

Russel’s Approximation Method adalah metode penyusunan tabel awal

dengan menggunakan pendekatan selisih biaya terbesar antara biaya distribusi

masing-masing sel dengan biaya distribusi terbesar pada masing-masing baris dan

kolom dimana sel itu berada (Siswanto. 2007:271). Rumus yang digunakan:

∆ ij=B ij−R i−T j

dengan:

∆ ij= Selisih biaya distribusi Russell

Bij = Biaya distribusi sel pada baris ke-i dan kolom ke-j

Ri = Biaya distribusi terbesar pada baris ke-i

Tj = Biaya distribusi terbesar pada kolom ke-j

Sel yang dipilih adalah sel yang memiliki ∆ ij negatif terbesar (bilangan

paling kecil) sebagai sel yang akan dialokasikan beban distribusi maksimum

yang dimungkinkan.

17

Langkah pertama hitung Ri dan Tj untuk setiap baris ke-i dan kolom ke-j.

Perhatikan tabel berikut:


SumberRi



4000 74 5 7

MagelangX21 X22 X23

5000 86 3 8


6000 55 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Tj 6 5 8

Langkah kedua, hitung ∆ ij di setiap sel. Perhatikan tabel berikut:


SumberRi



4000 74 -9 5 -7 7 -8

MagelangX21 X22 X23

5000 86 -7 3 -10 8 -8


6000 55 -6 2 -8 3 -10

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Tj 6 5 8

Langkah selanjutnya adalah menentukan ∆ ij yang memiliki nilai negatif

terbesar. Dalam tabel di atas, sel 22 dan sel 23 memiliki ∆ ij yang memenuhi,

yaitu -10. Selanjutnya, alokasikan beban (permintaan yang ada) pada kedua sel

tersebut. Perhatikan tabel berikut:

Sumber Tujuan Kapasitas Ri

18



4000 74 5 7

MagelangX21 4500 X23

5000 86 3 8

SurakartaX31 X32 5500

6000 55 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Tj 6 5 8

Langkah selanjutnya adalah menentukan Ri dan Tj lagi (Ri dan Tj tahap II)

dilanjutkan dengan menghitung ∆ ij. Perhatikan tabel berikut:


SumberRi



4000 44 -6 5 7

MagelangX21 4500 X23

5000 66 -6 3 8


6000 55 -6 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Tj 6 - -

Perhatikan bahwa seluruh sel memiliki nilai ∆ ij yang sama, yaitu -6. Oleh

karena itu, kita tinggal mengalokasikan sisa beban distribusi ke seluruh sel pada

kolom pertama. Sumber Yogyakarta dialokasikan ke agen Purwokerto, sehingga

kita isi sel 11 dengan 4000. Pada tabel di atas, sumber Surakarta masih memiliki

sisa 500 kg. Tambahkan 500kg tersebut ke sel 31. Untuk memenuhi permintaan

agen Purwokerto yang sekarang tinggal 500 kg, ambil dari sumber Magelang yang

memang masih bersisa 500 kg. Sehingga diperoleh:


SumberRi


19


4000 44 -6 5 7


5000 66 -6 3 8

Surakarta500 X32 5500

6000 55 -6 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

Tj 6 - -

Sampai sejauh ini kita telah berhasil memecahkan masalah ini dengan metode

pendekatan Russell. Selanjutnya, biaya distribusi berdasar alokasi beban distribusi

yang diperoleh dari tabel di atas adalah:


(1,1) 4 × 4000 Rp16.000,-

(2,1) 6 × 500 Rp 3.000,-

(2,3) 3 × 4500 Rp13.500,-

(3,2) 5 × 500 Rp 2.500,-

(3,3) 3 × 5500 Rp 16.500,-

Rp51.500,-

4. Vogel’s Approximation Method (VAM)

Vogel’s Approximation Method adalah metode penentuan tabel awal

algoritma transportasi (Siswanto. 2007:271). Metode ini digolongkan metode

yang rumit, karena ada beberapa langkah yang harus diperhatikan. Tetapi, dalam

metode ini tidak ada jaminan bahwa penentuan tabel awal dengan metode VAM

pasti menghasilkan penyelesaian optimal, maka pengujian tabel awal harus tetap

dilaksanakan.

Ada tiga tahap yang harus dilakukan pada setiap alokasi distribusi untuk

menentukan alokasi distribusi pada sel yang memiliki Cij terkecil dan terletak

pada baris atau kolom yang memiliki nilai terbesar dari selisih dua Cij, yaitu:

a. Penentuan selisih nilai Cij terkecil

20

Langkah pertama adalah menentukan selisih dua nilai Cij yang paling

kecil tiap baris dan kolom. Perhatikan baris 1, dimana nilai C terkecil

berturut-turut adalah 4 (yaitu C11) dan 5 (yaitu C12). Sehingga selisih kedua

nilai C tersebut adalah |4 – 5| = 1. Demikian pula untuk kolom 3, dua nilai C

terkecil berturut-turut adalah 3 (yaitu C33) dan 7 (yaitu C13), sehingga selisih

kedua nilai tersebut adalah |3 – 7| = 4. Selanjutnya dicari selisih dua Cij

terkecil tersebut tiap baris dan kolom.

b. Pemilihan nilai terbesar dari selisih dua Cij terkecil

Setelah langkah a selesai, langkah selanjutnya adalah memilih selisih

nilai terbesar sebagai dasar alokasi. Setelah dihitung, kolom 3 merupakan

kolom kunci karena memiliki selisih nilai C terkecil yang nilainya paling

besar, yaitu 7. Perhatikan tabel berikut:




4000 14 5 7

MagelangX21 X22 X23

5000 36 3 8


6000 15 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

1 1 4

selisih C terbesar, sehingga kolom ini adalah kolom terpilih (kunci)

c. Alokasi pada sel dengan Cij terkecil pada kolom terpilih

Pada tabel di atas, kolom terpilih adalah kolom tiga. Oleh karena itu,

pengalokasian pertama adalah pada kolom tiga. Agen Madiun memiliki

permintaan sebesar 5.500 kg. Sumber yang dipilih untuk memnuhinya adalah

yang memiliki nilai Cij terkecil, yaitu C33 = 3. Sel tersebut merupakan sel dengan

21

sumber dari Surakarta, sehingga kita alokasikan 5.500 kg dari Surakarta ke agen

Madiun, sehingga brsisa 500 kg.

Proses ini diulang-ulang (kolom ke-3 sudah tidak lagi diperhitungkan),

sehingga hasilnya diperoleh seperti tabel di bawah ini.




4000 14 5 7

MagelangX21 X22 X23

5000 36 3 8


6000 35 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

1 1 -

Kita pilih salah satu dari baris kedua dan ketiga sebagai baris kunci karena

memiliki selisih nilai terbesar. Kita pilih baris ketiga (tidak ada kriteria khusus

baris mana yang harus dipilih jika nilainya sama) sebagai baris kunci. Sumber

Surakarta masih memiliki sisa 500 kg sehingga harus didistribusikan ke agen-

agennya. Kita pilih Cij terkecil di baris ketiga. Cij terkecil tersebut adalah C32 = 2,

sehingga 500 kg tersebut didistribusikan ke agen Semarang.

22




4000 14 5 7

MagelangX21 X22 X23

5000 36 3 8


6000 -5 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

2 2 -

Selisih terbesar selanjutnya adalah 3, yaitu baris kedua. Baris kedua kita

jadikan sebagai baris kunci. Cij terkecil dibaris kedua adalah C22, sehingga kita

alokasikan di sel 22. Kita isi sel 22 dengan 4000, sehingga sumber Magelang

masih memiliki sisa 1000 kg. Karena agen yang belum dipasok adalah agen

Purwokerto sehingga sisa tersebut dialokasikan ke agen Purwokerto.




4000 14 5 7


5000 -6 3 8


6000 -5 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

2 2 -

Kita tinggal mengisi X11 dengan 4000 karena agen Purwokerto masih

kekurangan 4000 kg lagi. Tabel lengkap matriks transportasi Denebula dengan

menggunakan VAM disajikan sebagai berikut:

23




4000 -4 5 7


5000 -6 3 8


6000 -5 2 3

Kebutuhan

Tujuan5000 4500 5500

15000

15000

- - -

Dengan demikian, biaya distribusi berdasarkan alokasi beban distribusi

sementara menurut VAM adalah


(1,1) 4 × 4000 Rp16.000,-

(2,1) 6 × 1000 Rp 6.000,-

(2,3) 3 × 4000 Rp12.000,-

(3,2) 2 × 500 Rp 1.000,-

(3,3) 3 × 5500 Rp 16.500,-

Rp51.500,-

Perbandingan hasil alokasi beban sementara dengan menggunakan NWC,

RAM, dan VAM menunjukkan biaya distribusi total yang sama walaupun alokasi

bebannya berbeda. Kasus ini disebut dengan multiple optimal solution. Meskipun

ketiga metode penyusunan tabel awal itu menghasilkan beban biaya distribusi

yang sama, namun biaya distribusi total yang dihasilkan dengan menggunakan

metode tersebut elum tentu minimum. Tidak ada jaminan sama sekali bahwa

pemilihan salah satu meode penyusunan tabel awal akan memberikan hasil terbaik

dalam hal biaya distribusi total minimum.

2.2.2 Optimalitas Distribusi Denebula

Tujuan dari pengujian tabel awal adalah untuk mengetahui

apakah masih ada alternative alokasi distribusi yang akan

24

membawa beban biaya distribusi total lebih rendah disbanding

beban biaya distribusi total menurut alokasi distribusi tabel awal.

Perbandingan antara ketiga metode penyusunan tabel awal bisa

dilihat pada Peraga . ternyata VAM, RAM, dan metode sudut

barat memiliki biaya distribusi total yang sama dan lebih rendah

disbanding metode biaya terkecil. Oleh karena itu, kita akan

menguji dua tabel awal yang menghasilkan biaya distribusi total

berbeda tersebut.

Ada dua macam metode pengujian tabel awal yang

tersedia di dalam algoritma transportasi, yaitu:

1. Modified Distribution

2. Stepping Stone

2.2.2.1 Degenerasi dan Redundasi

Degenerasi (degeneration) dan redundansi (redundancy)

adalah gejala yang mungkin muncul pada tabel awal. Tes

optimalitas baik menggunakan MODI maupun Stepping Stone

baru bisa dilakukan bila jumlah sel yang terkena alokasi

distribusi pada tabel awal adalah:

m+n−1

Dimana, m=jumlah baris

n=jumlah kolom

Seandainya alokasi distribusi pada tabel awal tidak akan

diuji untuk mengetahui optimalitas tabel, maka masalah jumlah

sel pada tabel awal tersebut tidak perlu diperhatikan. Aturan di

atas harus dipenuhi bila dan hanya bila tes optimal akan

dilakukan. Dua kemungkinan yang akan muncul sebagai

konsekuensi logis dari aturan diatas adalah degenerasi dan

redundansi.

Gambar 2. perbandingan distribusi antar ketiga metode

Metode Distribusi Unit

(kg)Biaya Total

Dari Ke

Biaya Surakart Semarang 4500 2,- 9000

25

terkecil a

Surakart

aMadiun 1500 3,- 4500

Yogyaka

rtaPurwokerto 4000 4,- 16000

Magelan

gPurwokerto 1000 6,- 6000

Magelan

gMadiun 4000 8,- 32000

67500

Sudut

barat laut

Yogyakar

taPurwokerto 4500 4,- 16000

Magelan

gPurwokerto 1000 6,- 6000

Magelan

gSemarang 4000 3,- 12000

Surakart

aSemarang 500 2,- 1000

Surakart

aMadiun 5500 3,- 16500

51500

RAM Surakart

a

Purwokerto 500 5,- 2500

Surakart

a

Madiun 5500 3,- 16500

Magelan

g

Semarang 4500 3,- 13500

Yogyaka

rta


26

Magelan

g


51500

VAM Surakart

a

Madiun 5500 3,- 16500

Surakart

a

Semarang 500 2,- 1000

Magelan

g

Semarang 4000 3,- 12000

Yogyakar

ta


Magelan

g


51500

Degenerasi

Gejala degenerasi muncul di dalam tabel awal bila jumlah

sel yang terkena alokasi distribusi lebih kecil dari aturan [m+n-1]

atau terjadi kekurangan sel yang terkena alokasi distribusi.

Sebagai jalan keluar adalah alokasi distribusi semu pasa sel yang

belum terisis agar aturan [m+n-1] itu terpenuhi. Dalam hal ini,

alokasi distribusi semu itu adalah alokasi distribusi yang sangat

kecil dengan notasi ε (epsilon) di mana,

n+ε=n

n−ε=n

ε>0

Redundansi

Gejala redundansi muncul di dalam tabel awal bila jumlah

sel yang terkena alokasi distribusi lebih besar dari [m+n-1] atau

terjadi kelebihan sel yang terkena alokasi distribusi. Sebagai

27

jalan keluarnya adalah pemindahan atau penggabungan alokasi

distribusi ke sel yang lain sedemikian rupa sehingga aturan

[m+n-1], (1.2), dan (1.3) terpenuhi.

Pada kasus Denebula, diketahui bahwa m atau jumlah baris

adalah tiga dan n atau jumlah kolom adalah tiga sehingga aturan

[m+n-1] akan terpenuhi bila jumlahsel yang teralokasi pada

tabel awal adalah 3+3-1=5. Secara kebetulan, dua gejala

tersebut tidak seluruhnya muncul pada keempat tabel awal yang

menggunakan metode biaya terkecil. Sudut barat laut, RAM, dan

VAM, lihat pada Gambar 2 . Dengan demikian, tes optimal segera

bisa dilakukan.

2.2.3 Modified Distribution Method

MODI atau Modified Distribution menguji optimalisasi tabel

dengan cara menghitung opportunity cost pada sel-sel yang

tidak terkena alokasi distribusi. Opportunity Cost adalah biaya

yang harus kita tanggung bila satu alternative keputusan dipilih.

Dalam hal ini, bila sel-sel kosong tersebut ternyata memiliki

opportunity cost positif maka menurut metode ini dikatakan

bahwa tabel belum optimal berhubung masih ada alternatif

distribusi yang akan memberikan biaya total distribusi lebih

rendah. Jadi menurut metode MODI, tabel akan dikatakan

optimal bila dan hanya bila opportunity cost sel-sel kosong

adalah negative atau nol.

Bila,

U i: Angka kunci pada setiap baris i.

V j: Angka kunci pada setiap kolom j.

C ij: Biaya distriusi yang nyata pada sel ij.

Oij: Opportunity cost pada sel ij.

Dimana Oij=0 untuk seluruh sel yang telah memperoleh

alokasi distribusi. Mala untuk seluruh sel berlaku:

Oij=(U i+V j )−C ij (1.4)

28

Dalam hal ini, (1.4) digunakan untuk :

1. Menentukan nilai U i danV j: untuk seluruh baris dan kolom

dengan pedoman Oij=0untuk seluruh sel-sel yang terisi.

2. Menentukan opportunity cost Oij pada seluruh sel-sel

kosong.

Bila dijumpai paling sedikit satu sel kosong yang memiliki

opportunity cost positif atau Oij>0 maka dikatakan bahwa tabel

belum optimal bila dan hanya bila:

opportunity cost ≤ 0

(U i+V j )−C ij ≤ 0

Atau

(U i+V j ) ≤C ij

2.2. 3.1 MODI Menguji Metode Biaya Terkecil Denebula

Pertama, penentuan nilai U i dan V j untuk seluruh baris da

kolom dengan menggunakan [1-4]. Peraga 3.1 menayangkan

tambahan atribut U i dan V j pada tabel awal Denebula yang

disusun menggunakan metode biaya terkecil.

Dengan berpedoman pada Oij=0 untuk seluruh sel isi maka

kita hanya perlu menentukan sebuah angka kunci pada U i dan V j

agar bisa menentukan nilai U i dan V j yang lain. Angka kunci itu

sembarang dan bisa diletakkan di mana saja, pada baris atau

kolom. Pada peraga…,angka kunci itu adalah 0, untuk tujuan

memudahkan perhitungan,dan diletakkan pada baris pertama.

Karena Oij=0 untuk seluruh sel isi, maka, dari (1.4),

Oij=(U i+V j )−C ij

Oij=0

C ij=U i+V j(1.5)

Karena U 1=0 dan C11=4 maka menurut (1.5),

29

4=0+V 1

V 1=4

Dalam hal ini, sekali lagi perlu ditekankan bahwa angka 0

yang dipilih untuk U 1 adalah benar-benar angka sembarang.

Pilihan itu semata-mata agar memudahkan perhitungan. Kita

bisa saja memilih angka bukan 0 dan menempatkannya di

tempat lain; alternative semacam ini pasti akan membawa hasil

yang tidak berbeda.

Gambar MODI,U 1=0 untuk menentukan V 1


sumber U iPur Sem Mad

Yogyaka

rta

4000 X12 X134000

0

4 5 7

Magelan

g

1000 X22 40005000

6 3 8

Surakart

a

X13 4500 15006000

5 2 3

Kebutuh

an

tujuan

5000 4500 5500

15000

15000

V j 2 2

Gambar MODI,U 1=0 dan C11=4 maka V 1=4



Yogyaka

rta

4000 334000

0

4 5 7

Magelan

g

1000 40005000

6 3 8

Surakart 4000 1500 6000

30

a 5 2 3

Kebutuh

an

tujuan

5000 4500 5500

15000

15000

V j 4

Selanjutnya, nilai V 1 digunakan untuk menentukan nilai U 2

karena sel 21 adalah sel isi di mana C21=6. Menurut (1.5),

U 2=6−4=2. Dengan cara yang sama kini kita bia menentukan

nilai V 3. Karena U 2=2 dan sel 23 adalah sel isi maka V 3=8−2=6.

Setelah V 3 diketahui, kini kita bisa menentukan U 3 karena

sel 34 adalah sel isi. Karena V 3=6 dan C33=3, maka menurut (1.5)

U 3=3−6=−3. Yang terakhir, karena U 3 telah diketahui dan sel 32

adalah sel isi maka U 2=2−(−3 )=5. Meringkas seluruh langkah

diatas maka peraga menayangkan seluruh langkah pertama

MODI, yaitu penentuan seluruh nilai U i dan V j.

Ke-2. Menentukan opportunity cost seluruh sel kosong.

Dalam kasus ini ada empat buah sel kosong. Menurut (1.4)

Gambar MODI,U 2=2 karena C21=6 maka V 1=4



Yogyaka

rta

4000 334000 0

4 5 7

Magelan

g

1000 40005000 2

6 3 8

Surakart

a

4000 15006000

5 2 3

Kebutuh 5000 4500 5500 15000

31

an

tujuan

15000

V j 4

Gambar MODI, V 3=6 karena C23=8 dan U 2=2



Yogyaka

rta

4000 33 40000

4 5 7

Magelan

g

1000 40005000 2

6 3 8

Surakart

a

4000 15006000

5 2 3

Kebutuh

an

tujuan

5000 4500 5500

15000

15000

V j 4 6

Gambar MODI,U 3=3 karena C33=3 maka V 3=6



Yogyaka

rta

4000 334000 0

4 5 7

Magelang

1000 4000 50002

6 3 8

32

Surakart

a

4000 15006000 -3

5 2 3

Kebutuh

an

tujuan

5000 4500 5500

15000

15000

V j 4 6

Gambar MODI, V 2=5 karena C32=2 maka U 3=3



Yogyaka

rta

4000 334000 0

4 5 7

Magelan

g

1000 40005000 2

6 3 8

Surakart

a

4000 15006000 -3

5 2 3

Kebutuh

an

tujuan

5000 4500 5500

15000

15000

V j 4 5 6

O12=U 1+V 2−C12 atau Oij=0+5−5=0

O13=U 1+V 3−C13 atau O13=0+6−7=−1

O22=U 2+V 2−C22 atau O22=2+5−3=+4 belum optimal

O31=U 3+V 1−C31 atau Oij=−3+4−5=−4

33

Ternyata sel 22 mempunyai opportunity cost positif 4. Ini

berarti bahwa altenatif alokasi distibusi pada sel ini akan

menghasilkan biaya total distribusi yang lebih rendah. Oleh

karena itu, tabel awal Denebula yang disusun menggunakan

metode biaya terkecil harus direvisi. Apakah tabel awal yang

disusun dengan menggunakan metode sudut barat laut dan VAM

juga belum optimal? untuk mengetahuinya kita harus melakukan

pengujian pada kedua metode tersebut.

Gambar MODI, langkah pertama lengkap



Yogyaka

rta

4000 334000 0

4 5 7

Magelan

g

1000 40005000 2

6 3 8

Surakart

a

4000 15006000 -3

5 2 3

Kebutuh

an

tujuan

5000 4500 5500

15000

15000

V j 4 5 6

2.2.3.2 MODI Menguji Metode Sudut Barat Laut dan VAM

Denebula.

34

Secara kebetulan bahwa tabel awal yang disusun

menggunakan metode sudut barat laut atau North West Corner

(N.W.C) menghasilkan biaya total sama dengan tabel awal yang

disusun menggunakan RAM dan VAM. Dengan demikian, kita

tidak perlu mengujinya satu per satu. Kita dalam hal ini tidak

akan melakukannya dalam tahap demi tahap seperti yang telah

dilakukan sebelumnya, melainkan secara langsung.

menayangkan pengujian MODI secara langsung, mulai dari

penentuan angka kunci U i dan V j hingga perhitungan opportunity

cost sel-sel kosong. Angka yang dikotaki di dalam sel kosong

menunjukkan opportunity cost sel itu. Ternyata opportunity cost

seluruh sel kosong adalah negative, ini berarti tidak ada

kemungkinan untuk biaya total distribusi menjadi lebih rendah;

jadi tabel telah optimal.

2.2.4 Stepping Stone

Stepping Stone menguji optimalitas tabel awal dengan cara perhitungan Cij

sel-sel kosong yang dilewati oleh jalur stepping stone. Metode ini membuat satu

jalur tertutup untuk setiap sel kosong dimana sel-sel isi yang lain didalam jalur

tertutup itu dipandang sebagai batu untuk berpijak guna melangkah ke batu

berikutnya. Maksud pembuatan jalur tertutup ini adalah untuk membuat

percobaan guna memindahkan satu unit beban distribusi sepanjang jalur tertutup

itu. Penghitungan untuk memindahkan satu unit beban itu menggunakan dasar

jalur tertutup (+) atau (-) dimana tanda (+) pertama kali diberikan kepada sel

kosong dan selanjutnya tanda (-) diberikan kepada sel isi berikutnya. Pemberian

tanda itu kemudian diteruskan secara bergantian kepada sel-sel isi berikutnya

hingga kembali ke sel kosong. Tanda (+) menandai penambahan beban distribusi

satu unit yang tentu saja akan berakibat pada penambahan biaya distribusi sebesar

Cij, sedang tanda (-) menandai pengurangan beban distribusi satu unit yang akan

berakibat pada pengurangan biaya distribusi sebesar Cij.

Gambar 1, menayangkan sebuah tabel awal kasus transportasi dan sedang

diuji optimalitasnya dengan menggunakan metode stepping stone. Tabel ini telah

memenuhi syarat (m + n – 1) dimana jumlah sel kosong adalah enam. Dengan

35

demikian, kita harus membuat enam jalur tertutup yang saling terpisah dan

dimulai dari masing-masing sel kosong. Jalur tertutup pertama dimulai dari sel

kosong (+)21. Ibarat batu pijakan, sel-sel isi (-)11 (+)13 (-)33 (+)32

(-)22 dilewati oleh sebuah jalur tertutup.

Jika tujuan pembuatan jalur tertutup itu untuk mengetahui perubahan biaya

yang akan terjadi bila satu unit beban dipindahkan melalui jalur tertutup itu maka

usaha untuk melibatkan lebih dari satu sel kosong dalam sebuah jalur tertutup

hanya akan menyebabkan penghitungan ganda dan meniadakan peluang untuk

mengetahui kemungkinan lain pemindahan beban yang akan membuat perubahan

biaya yang berbeda.

Pemindahan ke sel kosong 21

SUMBER TUJUAN Kapasitas sumberT1 T2 T3 T4

S1 12

-400

13

X12

4+

100

6

X1n

500

S2 6

+X21

4

-700

10 4

X2n

700

S3 10

Xm1

9

+200

12

-100

4

500800

Kebutuhan tujuan 400 900 200 500

20002000

Bila percobaan pemindahan beban satu unit distribusi sepanjang jalur itu

menghasilkan jumlah Cij positif maka hal ini menunjukkan bahwa realokasi

distribusi pada jalur itu justru akan menambah biaya distribusi total, sebaliknya

bila pemindahan beban satu unit distribusi sepanjang jalur itu menghasilkan

jumlah Cij negative maka hal ini menunjukkan bahwa realokasi distribusi pada

jalur itu justru akan mengurangi biaya distribusi total. Oleh karena itu, jumlah Cij

negative sepanjang jalur Stepping Stone pada dasarnya menandai tabel yang

belum optimal sehingga realokasi distribusi pada jalur tersebut perlu dilakukan.

Metode Stepping Stone menguji optimalitas tabel dengan cara percobaan untuk

memindahkan satu unit beban distribusi ke sel-sel kosong agar bisa diketahui

perubahan biayanya.

Pemindahan ke sel kosong 31 dan 12

36


S1 12

-400

13

X12 +

4+

100 -

6

X1n

500

S2 6

X21

4

700

10 4

X2n

700

S3 10

+Xm1

9

200 -

12

-100 +

4

500800

Kebutuhan tujuan

400 900 200 500 20002000

Pemindahan ke sel kosong 23, 14, dan 24


S1 12

400

13 4

-100

6

+X1n

500

S2 6

X21

- 4

700 -

- 10 11

+

700

S3 6

Xm1

+ 9

200 +

- 12

+100

4

-500 +

800

Kebutuhan tujuan 400 900 200 500

20002000

2.2.4.1 Stepping Stone Menguji Tabel Awal Denebula

Dengan melihat tabel awal Nebula yang disusun dengan metode sudut

barat laut atau VAM, gambar 4, pertama, buat jalur tertutup (+)31 (-)21

(+)22 (-)32. Pemindahan 1 unit distribusi sepanjang jalur tersebut ternyata akan

membuat biaya distribusi naik dengan + 5 – 6 + 3 – 2 = 0 untuk setiap unit

distribusi yang dipindahkan.

Stepping Stone, pengujian sel 31 dan 32.

SUMBER Tujuan Kapasitas sumberT1 T2 T3

Yogyakarta 4000

4

X12

5

X13

7

4000

Magelang 1000 4000 X23

5000

37

+5

-6

+3

-2

0

Sel 31, 32

-6

+3 8

Surakarta X31

+5

500

-2

5500

3

6000

Kebutuhan tujuan

5000 4500 5500 150015000

Kedua, buat jalur tertutup (+)12 (-)22 (+)21 (-)11. Pemindahan 1

unit distribusi sepanjang jalur tersebut ternyata akan membuat biaya distribusi

naik dengan + 5 – 2 + 5 – 4 = + 4 untuk setiap unit distribusi yang dipindahkan.

Stepping Stone


Yogyakarta 4000

-4

X12

+5

X13

7

4000

Magelang 1000

+6

4000

-3

X23

8

5000

Surakarta X31

5

500

2

5500

3

6000

Kebutuhan tujuan

5000 4500 5500 150015000

Ketiga, buat jalur tertutup (+)13 (-)33 (+)31 (-)11. Pemindahan 1

unit distribusi sepanjang jalur tersebut ternyata akan membuat biaya distribusi

naik dengan + 7 – 3 + 5 – 4 = + 5 untuk setiap distribusi yang dipindahkan.

Stepping Stone, pengujian sel 13


Yogyakarta 4000

-4

X12

5 X13

7

4000

Magelang 1000

+6

4000

-3

X23

8

5000

Surakarta X31

5

500

+2

5500

-3

6000

Kebutuhan tujuan

5000 4500 5500 150015000

38

+5

-3

+6

-4

+4

Sel 12

+7

-3

+2

-3

+6

-4

Sel 13

Percobaan tersebut merupakan pemindahan beban 1 unit distribusi ke sel-

sel kosong yang dilalui jalur Stepping Stone ternyata menghasilkan Cij (+) untuk

seluruh sel kosong. Hal ini jelas menunjukkan bahwa pemindahan beban

distribusi ke sel-sel itu akan berakibat pada kenaikan biaya distribusi total sebesar:

Sel 11, 4000 x 4,- = Rp. 16.000,-

Sel 21, 1000 x 6,- = Rp. 6.000,-

Sel 22, 4000 x 3,- = Rp. 12.000,-

Sel 32, 500 x 2,- = Rp. 1.000,-

Sel 33, 5500 x 3,- = Rp. 16.500,-

Rp. 51.500

Pada penghitungan sel-sel tersebut dikatakan telah optimal.

2.2.5 Revisi Denebula

Revisi di dalam algoritma transportasi bertujuan untuk merealokasi

distribusi agar biaya total distribusi menjadi rendah. Realokasi distribusi itu pada

dasarnya merupakan proses coba-coba untuk memindahkan alokasi distribusi pada

suatu sel ke sel yang lain. Dasar yang digunakan adalah pemindahan alokasi

distribusi ke sel kosong yang memiliki opportunity cost positif. Namun karena

alokasi distribusi pada sebuah matriks transportasi terikat pada kendala-kendala:

(1.2): ∑j=1

n

X ij=S i, untuk i = 1, 2,…, m

(1.3): ∑j=1

m

X ij=T i, untuk i = 1, 2,…, n

Maka realokasi distribusi itu harus memenuhi (1.2) dan (1.3). Oleh karena

itu, sebuah jalur tertutup berfungsi sebagai:

1. Pedoman realokasi distribusi

2. Penjaga (1.2) dan (1.3) agar tetap dipenuhi

Untuk memenuhi poin kedua, maka realokasi distribusi pada jalur tertutup

itu harus seimbang dimana penambahan distribusi ke suatu sel harus mengurangi

distribusi sel lain dalam jumlah yang sama.

111000

12

39

- +21

700

+

22500

-Gambar 5.

Anggap bahwa sel 12 pada gambar 5 memiliki opportunity cost positif.

Pertama kali tanda (+) ditempatkan pada sel 12 yang menandakan bahwa ke sel

ini harus dialokasikan suatu distribusi. Kemudian sebagai imbangannya sel isi 22

harus diberi tanda (-), artinya harus dikurangi dengan suatu beban distribusi

sebesar tambahan alokasi distribusi ke sel 12 agar (1.3) terpenuhi. Selanjutnya

agar (1.2) terpenuhi maka sel 21 harus diberi tanda (+) yang berarti ke sel 21

harus dialokasikan tambahan distribusi sebesar yang akan dikurangkan pada sel

22 sebagai sel isi dalam jalur yang akan memiliki alokasi beban terkecil saat ini.

Agar (1.3) terpenuhi maka sel isi 11 harus diberi tanda (-) agar beban

distribusinya dikurangi sebesar tambahan distribusi ke sel kosong 12. Disini

terlihat jelas bahwa tanda (-) pada sel 11dan (+) pada sel 12 juga menjamin agar

(1.2) terpenuhi dan juga merupakan gagasan jalur tertutup sebagai dasa revisi

alokasi distribusi pada algoritma transportasi.

Sel kosong 12 yang memiliki opportunity cost positif memperoleh alokasi

distribusi sebesar 500, yaitu sebesar beban distribusi maksimum yang bisa

dipindahkan dari sel isi 22 yang memiliki beban alokasi terkecil saat ini. Karena

(1.2) dan (1.3) harus terpenuhi, maka beban distribusi sebesar 500 dipindahkan ke

sel 12.

11500

-

12500

+21

1200

+

220

-

40

Gambar 6

Dalam kasus revisi Denebula yaitu tabel awal yang disusun denagn

menggunakan metode biaya terkecil dan menghasilkan biaya total distribusi Rp

67.500,-, sel 22 adalah sel satu-satunya sel kosong yang memiliki opportunity cost

positif, yaitu +4. Oleh karena itu, jalur tertutup akan dimulai dari sel 22.


SumberPur Sem Mad

Yogyakarta4000

4

0 X12

5

-1 X13

7

4000

Magelang1000

6

+4 4000

3

X23

8

5000

Surakarta-4 X31

5

500

2

5500

3

6000

Kebutuhan

tujuan

5000 4500 5500 1500

15000

Gambar Opportunity Cost sel kosong

Ada beberapa alternatif jalur tertutup yang dimulai dari sel 31, namun

akan dipilih jalur tertutup 22 23 33 32. Pada dasarnya tidak ada pedoman

yang bisa digunakan secara konsisten untuk membuat jalur tertutup itu.

Setelah jalur tertutup dibuat, langkah selanjutnya adalah realokasi distribusi.

Beban distribusi maksimum yang bisa dipindahkan sepanjang jalur tertutup itu

adalah 4000 kg, yaitu sebesar beban distribusi terkecil pada jalur itu (sel 23). Oleh

karena itu, beban distribusi sebesar 4000 kg tersebut harus dipindahkan dari sel 23

(-) ke sel 33 (+) dan beban distribusi 400 kg juga harus dipindahkan dari sel 32 (-)

ke sel 22 (+).


SumberPur Sem Mad

Yogyakarta4000

4

X12

5

X13

7

4000

Magelang

1000

6

4000

+

3

X23

+

8

5000

41

Surakarta

X31

5

4500

+

2

1500

+

3

6000

Kebutuhan

tujuan

5000 4500 5500 1500

15000

Gambar. Jalur Tertutup, revisi pertama


SumberPur Sem Mad

Yogyakarta4000

4

X12

5

X13

7

4000

Magelang1000

6

4000

3

X23

8

5000

Surakarta X31

5

500

2

5500

3

6000

Kebutuhan

tujuan

5000 4500 5500 1500

15000

Gambar Realokasi Distribusi

Dengan demikian, revisi tabel awal Denebula yang telah disusun dengan

menggunakan metode biaya terkecil itu menghasilkan tabel yang direvisi dengan

distribusi sebagai berikut:

Sel 11, 4000 x Rp 4., = Rp 16.000,

Sel 21, 1000 x Rp 4., = Rp 4.000,-

Sel 11, 4000 x Rp 3., = Rp 12.000,-

Sel 11, 500 x Rp 2., = Rp 1.000,-

Sel 11, 5500 x Rp 3., = Rp 16.500,-

Rp 51.500,.

2.2.5.1 CONTOH SOAL:

Ada tiga pabrik mebel A, B dan C masing masing memiliki kapasitas

produksi maksimal dalam satu periode waktu tertentu 100, 300, dan 300 unit

42

mebel. Ada tiga gudang D, E, dan F yang masing- masing dapat menampung

maksimal 300, 200 dan 200 unit mebel.

Rata-rata biaya angkut per unit mebel dari masing-masing pabrik ke

masing-masing gudang disajikan dalam Tabel 1 berikut ini:

Tabel. 1 Rata-rata biaya angkut setiap unit mebel dari masing-masing pabrik

ke tiap-tiap gudang yang berbeda

ke:

dari:

Gudang D Gudang E Gudang F

Pabrik A $5 $4 $3

Pabrik B $8 $4 $3

Pabrik C $9 $7 $3

Pertanyaan: Berapa unit mebel harus diangkut dari masing-masing pabrik ke tiap-

tiap

gudang sehingga biaya transportasi total minimum?

Langkah-Langkah Penyelesaian Soal

Jalankan program POM for Windows, pilih Module – Transportation

Pilih menu File - New, sehingga muncul tampilan seperti Gambar 7:

Gambar 7 Tampilan awal modul Transportation

43

Buat judul penyelesaian soal ini dengan mengisi bagian Title: “CONTOH

SOAL TRANSPORTASI”. Jika Title tidak diisi, program POM for

Windows akan membuat judul sendiri sesuai default (patokan)nya. Default

Title ini dapat dirubah dengan meng-klik . Judul dapat

diubah/edit dengan meng-klik ikon

Isikan (set) jumlah sumber dengan 3 pada kotak Number of Sources

Isikan (set) jumlah tujuan dengan 3 pada kotak Number of Destinations

Pilih pada bagian Row names, kemudian isi dengan nama

“Pabrik”

Pilih pada bagian Column names, kemudian isi dengan nama

“Gudang”

Biarkan pada bagian Objective, tetap pada pilihan Minimize

44

Sekarang tampilan akan seperti pada Gambar 8, lanjutkan dengan meng-klik

tombol hingga akan muncul tampilan seperti pada Gambar 9.

Gambar 8. Tampilan pada modul Transportation setelah beberapa pilihan diisikan

Gambar 9. Tampilan untuk mengisikan angka-angka sesuai dengan contoh soal

(perhatikan bahwa Pabrik A, B, C menjadi 1,2,3, juga Gudang D,E,F, menjadi

1,2,3)

Isikan angka-angka yang sesuai pada kotak-kotak yang bersesuaian antara

Pabrik dan Gudang, yaitu

Selesaikan Contoh Soal ini dengan meng-klik tombol pada toolbar

atau dari menu File – Solve, atau dengan menekan tombol F9 pada keyboard.

Jika ternyata ada data soal yang perlu diperbaiki, klik tombol pada

toolbar atau dari menu File – Edit

45

Jangan lupa simpan (save) file kerja ini dengan menu File – Save (atau

menekan tombol Ctrl+S. Pilihan untuk menyimpan file dengan format Excel

(.xls) dan html (.html) juga disediakan.

Hasil Perhitungan

Ada 6 output (tampilan) yang dihasilkan dari penyelesaian soal, dapat dipilih

untuk ditampilkan dari menu Windows yaitu

1. Transportation Shipments

2. Marginal Costs

3. Final Solution Table

4. Iterations

5. Shipments with costs

6. Shipping list

Output-output ini dapat ditampilkan secara bersaman dengan memilih menu

Window –Tile, atau secara bertumpuk dengan menu Window – Cascade.

Gambar 10. Output dari penyelesaian CONTOH SOAL TRANSPORTASI

46

o Tampilan Transportation Shipments menunjukkan hasil perhitungan, yaitu

jumlah mebel yang diangkut dari masing-masing Pabrik ke tiap-tiap Gudang,

dengan biaya angkut total minimum.

o Tampilan Marginal Costs menunjukkan tambahan biaya per unit muatan pada

sel-sel yang bersesuaian, seandainya muatan dialihkan ke sel-sel tersebut.

o Tampilan Final Solution Table adalah gabungan dari Transportation

Shipments dan Marginal Costs.

o Tampilan Iterations menunjukkan langkan-langkah perhitungan yang

dilakukan oleh program QS for Windows.

47

o Tampilan Shipments with costs menunjukkan jumlah muatan dan jumlah biaya

angkut dari masing-masing Pabrik ke tiap-tiap Gudang.

o Tampilan Shipping List menunjukkan daftar jumlah muatan, biaya per unit dan

biaya total dari masing-masing Pabrik ke tiap-tiap Gudang.

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Model transportasi adalah secara dasariah sebuah program linear yang

dapat diselesaikan oleh metode simplex reguler. Teknik transportasi dapat dan

sering dipresentasikan di dalam sebuah elementary manner yng tampak

sepenuhnya terlepas dari metode simplex. model transportasi memecahkan

masalah pendistribusian barang dari sumber ke tujuan dengan biaya total

distribusi minimum. Model harus bisa menentukan distribusi yang akan

meminimumkan biaya total distribusi dan

1. Tidak melampaui kapasitas sumber-sumber.

2. Memenuhi permintaan tujuan-tujuan.

Matriks Transportasi merupakan sebuah matriks transportasi yang memiliki m

baris dan n kolom. Sumber-sumber berjajar pada baris ke-1 hingga ke-m, sedang

tujuan-tujuan berbanjar pada kolom ke-1 hingga ke-n. Dengan demikian,

Xij : satuan barang yang akan diangkut dari sumber i ke tujuan j

bij : biaya angkut per satuan barang dari sumber i ke tujuan j

sehingga secara sistematis

48

Di dalam model transportasi, kemampuan sumber-sumber untuk melayani

atau Σsi belum tentu sama dengan tingkat permintaan tujuan-tujuan untuk

dilayani atau Σtj. Sehingga ada tiga kemungkinan yang akan terjadi, yaitu:

1.∑ si=∑ t j .

2.∑ s i∑ t j .

3.∑ si∑ t j .

Model trasportasi bisa diselesaikan secara manual dengan menggunakan

algoritma yang dikenal sebagai algoritma transportasi. Ada 5 langkah, yaitu:

1. diagnosis masalah dimulai dengan pengenalan sumber, tujuan, parameter, dan

variabel.

2. seluruh informasi tersebut kemudian dituangkan ke dalam matriks transportasi

3. menyusun tabel awal

4. pengujian optimalitas tabel untuk mengetahui apakah biaya distribusi total

telah minimum

5. revisi tabel

Denebula, sebuah perusahaan penghasil suatu jenis jamur mencoba

mengembangkan usahanya di daerah Magelang dan Surakarta. Seiring semakin

berkembangnya perusahaan, semakin besar pula permintaan yang datang.

Perusahaan ini akhirnya membangun beberapa agen untuk melayani permintaan

tersebut. Berikut ini agen-agen yang dibentuk:

• Agen di Purwokerto untuk melayani permintaan daerah Jawa Barat.

• Agen di Semarang untuk melayani permintaan daerah luar Jawa.

• Agen di Madiun untuk melayani permintaan daerah Jawa Timur.

Permasalahan yang dihadapi Denebula adalah penentuan distribusi

optimal. Dalam kasus ini Denebula mempunyai Sembilan kemungkinan distribusi.

Masing-masing pusat penyemaian harus mendistribusikan jamur ke agen-agen

agar permintaan yang ada dapat dipenuhi, tetapi dengan biaya yang paling

minimum.

Table awal matriks transportasi denebula ada 4 metode yang tersedia, yaitu

pertama Metode Biaya Terkecil (Least Cost Method) adalah sebuah metode untuk

menyusun table awal dengan cara pengalokasian distribusi barang dari sumber ke

tujuan mulai dari sel yang memiliki biaya distribusi terkecil. Kedua, Metode

49

Sudut Barat Laut (North West Corner Method) adalah sebuah metode untuk

menyusun tabel awal dengan cara mengalokasikan distribusi barang mulai dari sel

yang terletak paling kiri atas, sehingga dinamai metode barat laut. Ketiga,

Russel’s Approximation Method adalah metode penyusunan tabel awal dengan

menggunakan pendekatan selisih biaya terbesar antara biaya distribusi masing-

masing sel dengan biaya distribusi terbesar pada masing-masing baris dan kolom

dimana sel itu berada (Siswanto. 2007:271). Rumus yang digunakan:

Δij = Bij – Ri - Tj

dengan:

Δij= Selisih biaya distribusi Russell

Bij = Biaya distribusi sel pada baris ke-i dan kolom ke-j

Ri = Biaya distribusi terbesar pada baris ke-i

Tj = Biaya distribusi terbesar pada kolom ke-j .

Keempat, Vogel’s Approximation Method adalah metode penentuan tabel awal

algoritma transportasi. Ada tiga tahap yang harus dilakukan pada setiap alokasi

distribusi :

• Penentuan selisih nilai Cij terkecil

• Pemilihan nilai terbesar dari selisih dua Cij terkecil

• Alokasi pada sel dengan Cij terkecil pada kolom terpilih

Ada dua macam metode pengujian tabel awal yang tersedia di dalam algoritma

transportasi, yaitu modified Distribution dan stepping stone. Degenerasi

(degeneration) dan redundansi (redundancy) adalah gejala yang mungkin muncul

pada tabel awal. Tes optimalitas baik menggunakan MODI maupun Stepping

Stone baru bisa dilakukan bila jumlah sel yang terkena alokasi distribusi pada

tabel awal adalah: m + n - 1

Dimana, m=jumlah baris

n=jumlah kolom

MODI atau Modified Distribution menguji optimalisasi tabel dengan cara

menghitung opportunity cost pada sel-sel yang tidak terkena alokasi distribusi.

Opportunity Cost adalah biaya yang harus kita tanggung bila satu alternative

keputusan dipilih.

50

Metode Stepping Stone menguji optimalitas tabel dengan cara percobaan

untuk memindahkan satu unit beban distribusi ke sel-sel kosong agar bisa

diketahui perubahan biayanya.

Revisi di dalam algoritma transportasi bertujuan untuk merealokasi

distribusi agar biaya total distribusi menjadi rendah. Realokasi distribusi itu pada

dasarnya merupakan proses coba-coba untuk memindahkan alokasi distribusi pada

suatu sel ke sel yang lain. Dasar yang digunakan adalah pemindahan alokasi

distribusi ke sel kosong yang memiliki opportunity cost positif.

DAFTAR PUSTAKA

Siswanto.2002.Operations Research jilid 1.Jakarta:Erlangga.

_______.2006. Location - Transportation Method. Salatiga: fe uksw

Model Transportasi - Pendekatan Untuk Meminimalisir Biaya Transportasi.htm

51