Zbirka Zadataka Iz Matematike

  • View
    379

  • Download
    24

Embed Size (px)

Text of Zbirka Zadataka Iz Matematike

  • Zbirka zadataka iz matematike

    K. DevcicB. Ivankovic

    N. Kapetanovic

    11. ozujka 2012.

    Uvod Vjezbe su tijekom dugog niza odrzavanja nadopunjavane. Osnovuvjezbi napravila je Natasa Kapetanovic, ing. matematike, podebljao ih je dr.Bozidar Ivankovic, a zavrsni obol dala je Kristina Devcic koja je najzasluznijaza njeno izdavanje.

    Citanje Zbirke zadataka iz matematike ne zahtijeva paralelno koristenjebilo kakvog udzbenika uz redovito pohadanje predavanja i vjezbi kolegijaMatematike .

    Velik broj zadataka rijesen je postupno, a svaki zadatak trebao bi imatirjesenje. Slozeniji zadaci imaju i uputu. Skica nema, iako se radi o geometri-jskim zadacima i one su ostavljene citaocu koji ih moze napraviti premauputama za rjesavanje zadataka.

    Koristenje zbirke svodi se na samostalno rjesavanje zadataka. Idealnovrijeme za rjesavanje zadataka je na vjezbama i neposredno nakon dolaska svjezbi.

    Nemojte izbjegavati zadatke koji se cine laganim. Nema laksih i tezihzadataka, vec se dijele na zadatke koje ste rijesili na one koje jos niste rijesili.

    Ako imate poteskoca u rjesavanju novih zadataka, naucite napamet rjesavatizadatke koji su vam pokazani na vjezbama, predavanjima ili vam ih je pokazalaneka strucna osoba.

    Ako ste primorani uzimati instrukcije, nastojte na instrukcije odlaziti spripremljenim pitanjima i odmah poslije instrukcija rijesite nove zadatke ilinaucite napamet zadatke koje vam je pokazao instruktor.

    Trudili smo se napisati zbirku bez greske. Ukoliko vam se cini da je negdjegreska napravljena, bit cemo vam zahvalni ako cete nam to javiti.

    Iduce izdanje prosirit cemo s jos vise zadataka za samostalno rjesavanje.

    1

  • Sadrzaj

    1 Brojevi 41.1 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 Determinante 82.1 Determinante drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Determinante treceg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Zadaci za samostalno rjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Determinante cetvrtog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Razni zadaci izracunavanja determinanti . . . . . . . . . . . . 13

    3 Matrice 143.1 Definicija i primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Zbrajanje matrica. Mnozenje matrice skalarom. . . . . . . . . 173.3 Mnozenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Inverzna matrica. Matricna jednadzba . . . . . . . . . . . . . 203.5 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.6 Sustavi linearnih jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.8 Ispitni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4 Vektori u ravnini i prostoru 304.1 Analiticki pojam vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Linearna kombinacija vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Geometrijska interpretacija u ravnini . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5 Trodimenzionalni vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.6 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.7 Zadaci za samostalno rjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.8 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.9 Mjesoviti produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.10 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.11 Ispitni zadaci s vektorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.12 Zadaci za vjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.13 Zadaci iskljucivo za samostalno rjesavanje . . . . . . . . . . . 66

    5 Funkcije jedne realne varijable 675.1 Ponavljanje elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Operacije s funkcijama. Kompozicija funkcija. . . . . . . . . . 745.3 Dekompozicija funkcije. Inverz funkcije . . . . . . . . . . . . . 755.4 Domena slozene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.5 Elementarni zadaci o funkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.6 Grafovi elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.7 Zadaci konstrukcije grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    2

  • 6 Limes ili granicna vrijednost 906.1 Limes niza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 Limes funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3 Zadaci za samostalno racunanje granicnih vrijednosti . . . . . 1016.4 Mjesoviti zadaci o funkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.5 Neprekidnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.6 Hiperbolne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    7 Derivacija funkcije 1117.1 Tehnika deriviranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    7.1.1 Deriviranje opce potencije . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.1.2 Deriviranje formule mnozene konstantom . . . . . . . . 1167.1.3 Derivacija zbroja i razlike . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.1.4 Derivacija umnoska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 1177.1.5 Derivacija kvocijenta funkcija . . . . . . . . . . . . . . 117

    7.2 Derivacija inverzne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.3 Derivacija kompozicije funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.4 Ponavljanje tehnike deriviranja. Derivacija drugog reda. Derivacije

    viseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.5 Tangenta i normala na graf funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 1267.6 Derivacija implicitno zadane funkcije . . . . . . . . . . . . . . 1277.7 Diferencijal funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.8 Logaritamsko deriviranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.9 Derivacija funkcije zadane parametarski . . . . . . . . . . . . . 1347.10 Derivacije viseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.11 Primjena derivacija u geometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    8 Primjene derivacija 1488.1 Ekstremi. Intervali monotonosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.2 Tocke infleksije. Intervali konveksnosti i konkavnosti . . . . . . 1578.3 LHospitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.4 Asimptote grafa funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.5 Kvalitativni graf funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

    9 Integrali i primjene 1779.1 Definicija odredjenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2 Neposredno integriranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.3 Metoda supstitucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849.4 Integral racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.5 Zamjena varijabli u odredenom integralu . . . . . . . . . . . . 1959.6 Integral trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.7 Integrali iracionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    9.7.1 Trigonometrijska supstitucija . . . . . . . . . . . . . . 2029.8 Parcijalna integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.9 Primjene neodredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.10 Primjene odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

    9.10.1 Primjene odredenog integrala u geometriji . . . . . . . 209

    3

  • 9.10.2 Volumen rotacionog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.10.3 Duljina luka krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

    10 Nepravi integrali 215

    11 Ogledni primjerci ispitnih zadataka 218

    12 Algebarski dodatak 22512.1 Potenciranje binoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.2 Potenciranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22612.3 Trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

    1 Brojevi

    Broj e

    Zadatak 1.1 Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu danauz 12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godine dana?

    Rj. Ako se oznaci

    C0 = 1, 000.000kn glavnica,

    p = 12% godisnji postotak,

    C1 =? svota nakon godine dana,

    onda je C1 = C0 + C0 p = C0 (1 + p); C0 = 1, 120.000kn

    Zadatak 1.2 Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu danau banku uz dogovor, da mu se mjesecno p

    12= 1% kamata pripisuje glavnici.

    Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?

    Rj. Neka je

    C0 = 1, 000.000kn - pocetna svota,

    p = 12% - godisnja kamatna stopa.

    Koncem prvog mjeseca svota na racunu bit ce

    C1 = C0 +p

    12 C0 = C0 (1 + p

    12).

    Krajem drugog mjeseca:

    C2 = C1 +p

    12 C1 = C1 (1 + p

    12) = C0 (1 + p

    12) (1 + p

    12) = C0(1 +

    p

    12)2.

    Induktivno, krajem treceg mjeseca:

    C3 = C0 (1 + p12

    )3,

    a krajem godine, nakon 12 ukamacivanja:

    C12 = C0 (1 + p12

    )12.

    Uvrstavanjem podataka

    C12 = 1, 000.000 (1 + 0.1212

    )12 = 1, 126.825, 03kn.

    Povecanje u odnosu na prosli zadatak iznosom od 6.825, 03kn je vrlo solidna svota.

    4

  • Zadatak 1.3 Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360

    ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?

    Rj. Analognim razmatranjem dobiva se formula

    C360 = C0 (1 + p360

    )360,

    gdje je C0 = 1, 000.000kn, p = 12%, a broj dana u godini se u nasim bankama obracunavakao 360, po ugledu na njemacke banke. Konacna svota je c360 = 1, 127.474, 31kn. Povecanjenije drasticno u odnosu na prethodni zadatak.

    Promatranjem tri prethodna zadatka naslucuje se postojanje granicnevrijednosti za ukamacivanja koja bi se vrsila svakog trenutka.

    Zadatak 1.4 Neka je f : N R niz zadan formulom:

    f(n) = (1 +1

    n)n.

    Odredite f(1), f(10), f(100), f(1 000), f(10 000), f(1 000 000), f(108)zaokruz