Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

  • View
    273

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    1/270

    UNIVERZITET U NOVOM SADU

    TEHNOLOKI FAKULTET

    Tatjana Doenovic Aleksandar Takaci

    Duan Rakic Mirjana Brdar

    Zbirka zadataka iz Matematike I- za studente Tehnolokog fakulteta -

    Novi Sad, 2008.

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    2/270

    UNIVERZITET U NOVOM SADU

    TEHNOLOKI FAKULTET

    Tatjana Doenovic Aleksandar TakaciDuan Rakic Mirjana Brdar

    Zbirka zadataka iz Matematike I- za studente Tehnolokog fakulteta -

    Novi Sad, 2008.

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    3/270

    Naziv udbenika: Zbirka zadataka iz Matematike I- za studente Tehnolokog

    fakultetaAutori: Dr Tatjana Doenovic, docent Tehnolokog fakulteta u Novom Sadu

    Dr Aleksandar Takaci, docent Tehnolokog fakulteta u Novom SaduMr Duan Rakic, asistent Tehnolokog fakulteta u Novom SaduDipl. mat. Mirjana Brdar, asistent-pripravnik Tehnolokog fakulteta u

    Novom Sadu

    Recenzenti: Dr Ratomir Paunovic, redovni profesor Tehnolokog fakulteta uNovom Sadu

    Dr Mirjana Stojanovic, redovni profesor Prirodno-matematickogfakulteta u Novom Sadu

    Lektor i korektor: Aleksandra N. Kostic

    Izdavac: Tehnoloki fakultet, Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad

    tampa: "Verzal", Petefi andora 63, Novi Sad

    Tira: 500 primeraka

    CIP - Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

    ?????

    DOENOVIC, TatjanaZbirka zadataka iz Matematike I / Tatjana

    Doenovic, Aleksandar Takaci, Duan Rakic.- Novi Sad : Tehnoloki fakultet, 2008(Novi Sad : Verzal). - str. ; 24 cm

    Tira 500. - Bibliografija: str. - Registar

    ISBN 978-86-80995-67-0

    1. Takaci, Aleksandar

    a) Matematika

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    4/270

    PredgovorZbirka zadataka iz Matematike Inamenjena je studentima prve godine Tehno-

    lokog fakulteta u Novom Sadu, ali i svim onim studentima koji u studijskom pro-gramu imaju predmet Matematika I. Zbirka obuhvata one oblasti klasicne algebrei analize koje se izucavaju u okviru ovog kursa.

    Svi autori zbirke vec vie godina izvode vebe iz ovog predmeta, koji su vodiliakademik prof. dr Olga Hadic, prof. dr Vojislav Mudrinski i prof. dr Mirko Bu-dincevic. Steceno iskustvo posluilo im je da sadraj zbirke usklade sa nastavnimplanom i programom predmeta Matematika I.

    Zbirka sadri 11 glava. Na pocetku svake glave dat je kratak teoretski uvod,potreban za razumevanje postupaka primenjenih u detaljno analiziranim prime-rima. Na kraju svake glave dat je veliki broj zadataka za samostalan rad, a uznjih kratka uputstva i reenja koja pruaju korisniku mogucnost da proveri stecenoznanje. Izbor primera i zadataka od jednostavnijih ka sloenijim omogucava lakesavladavanje gradiva.

    Autori se iskreno zahvaljuju recenzentima dr Ratomiru Paunovicu, redovnomprofesoru Tehnolokog fakulteta u Novom Sadu i dr Mirjani Stojanovic, redovnomprofesoru Prirodno-matematickog fakulteta u Novom Sadu, na korisnim sugesti-jama i primedbama koje su nam uputili nakon paljivogcitanja rukopisa.

    Zahvaljujemo se naoj koleginici JeleniColic koja je sredila i dopunila zadatke

    koricene u zbirci.Za lektorski deo posla zahvaljujemo se profesoru knjievnosti Aleksandri Ko-stic, koja je detaljno pregledala rukopis.

    Reci zahvalnosti upucujemo naem profesoru dr Vojislavu Mudrinskom koji jedugo godina vodio predmete Matematika I i Matematika II, od koga smo sticaliznanja iz ovih oblasti i posvecenost u radu sa studentima.

    U Novom Sadu, Autorioktobra 2008. godine

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    5/270

    Sadraj

    1 Kompleksan broj 1

    2 Polinomi i racionalne funkcije 19

    3 Determinante 38

    4 Matrice 49

    5 Sistemi linearnih jednacina 66

    6 Vektori 86

    7 Analiticka geometrija 106

    8 Granicna vrednost 141

    9 Funkcije jedne realne promenljive 159

    10 Neodredjeni integral 207

    11 Odredjeni integral 236

    Literatura 263

    v

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    6/270

    vi Sadraj

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    7/270

    Glava 1

    Kompleksan broj

    Algebarski oblik kompleksnog broja

    z=a + bi,i2 = 1, a, b R,

    aje realni deokompleksnog brojaz (oznakaa =Re(z),) ab je imaginarni deokompleksnog brojaz(oznakab=Im(z)). Konjugovano kompleksan brojkompleksnog brojaz=a + bije

    z=abi.

    Kompleksni brojeviz1=a + biiz2=c + disu jednakiako i samo ako jea=cib=d. Zbirbrojevaz1=a + biiz2=c + dije kompleksan broj

    z1+z2= (a + c) + (b + d)i.

    Razlikabrojevaz1=a + biiz2=c + dije kompleksan broj

    z1 z2= (a c) + (bd)i.

    Proizvodbrojevaz1=a + biiz2=c + dije kompleksan broj

    z1 z2= (acbd) + (ad+ bc)i.

    Kolicnikbrojevaz1=a + biiz2=c + dije kompleksan brojz1z2

    =z1z2

    z2z2

    =ac + bdc2 + d2

    +bcadc2 + d2

    i.

    1

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    8/270

    2 Glava 1. Kompleksan broj

    Moduo()kompleksnog broja je

    = |z| = a2 + b2.

    Argument()kompleksnog broja je

    tg=b

    a.

    Slika 1.1.Moduo i argument kompleksnog broja

    tg

    0 0

    6

    3

    3

    4 1

    3

    3

    tg2 +

    23

    3

    34 1

    56

    3

    3

    tg

    0

    76

    3

    3

    54 1

    43

    3

    tg32

    53

    3

    74 1

    116

    3

    3

    .

    Tabela 1.1.Tangensi osnovnih uglova

    Trigonometrijski i eksponencijalni oblikkompleksnog broja dati su sa

    z=(cos+ isin), z=ei.

    Periodicnost trigonometrijskih i stepenih funkcija:

    sin=sin(+ 2k), cos=cos(+ 2k), e(+2k)i =ei,k Z.

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    9/270

    3

    Stepenovanjekompleksnih brojeva

    zn = (a + bi)n =n(cos(n) + isin(n)) =n eni.

    Periodicnost stepena imaginarne jedinice(k Z):

    i1 =i i2 = 1 i3 = i i4 =1i4k+1 =i i4k+2 = 1 i4k+3 = i i4k =1

    .

    Krunica sa centrom u tacki(a, b)i poluprecnikomrdata je jednacinom

    |z abi|2 =r2.

    Kompleksan brojz1, koji predstavljarotacijukompleksnog brojazoko koordi-natnog pocetka, za ugao, u smeru suprotnom od smera kretanja kazaljke na satu,dat je sa

    z1=z ei.

    Korenovanje. Reenja jednacinezn =a + bi=(cos+ isin) =e i,n Ndobijamo uz pomoc Moavrove formule:

    zk= n(cos+ 2kn

    + isin+ 2kn

    ) = ne +2kn i, k=0, 1, . . . , n1.

    Primeri

    1. Odrediti realan i imaginaran deo sledecih kompleksnih brojeva: z1 = 2 +4i, z2= 3 + i, z3= 2iiz4= 4. Odrediti odgovarajuce konjugovano kom-pleksne brojeve.

    Reenje:

    Re(z1) =2, Im(z1) =4, Re(z2) = 3, Im(z2) =1, Re(z3) =0, Im(z3) =2,Re(z4) =4,I m(z4) =0.Konjugovano kompleksni brojevi su: z1 = 2 4i, z2 = 3 i, z3 =2i iz4=4.

    Pozicije brojeva u kompleksnoj ravni date su na slici 1.2.

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    10/270

    4 Glava 1. Kompleksan broj

    Slika 1.2.Pozicija u kompleksnoj ravni brojeva datih u primeru 1

    2. Dati su kompleksni brojeviz1=22 iz2= 4 + 5i. Odrediti:z1+z2,z1 z2,z1 z2i z1z2 .

    Reenje:

    z1+z2=22i + (4 + 5i) =22i4 + 5i= 2 + 3i,z1 z2=22i (4 + 5i) =22i + 45i=67i,z

    1 z

    2= (2

    2i)(

    4+

    5i) =

    8+

    10i+

    8i+

    10=

    2+

    18i,

    z1z2

    = 22i4 + 5i

    45i45i =

    182i41

    = 1841

    241

    i.

    3. Odrediti moduo i argument kompleksnih brojeva: z1 =1+i,z2 =1+3i,z3= 5,z4=3iiz5=

    3 i.

    Reenje:

    Za brojz1je

    = 12 + 12 =

    2 i tg=1

    1

    =1.

    Iz tabele 1.1. vidimo da za vrednost argumenta konkuriu dva ugla =

    4i

    =5

    4 , ali kako se brojz1nalazi u I kvadrantu kompleksne ravni odabiramo

    =

    4.

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    11/270

    5

    Uzmimo sadaz2i za njega je

    =

    (1)2 + (

    3)2 =

    4=2 i tg=

    3

    1 =

    3.

    Tabela 1.1.nam daje dve mogucnosti za, i to: =2

    3 i =

    53

    , a kako je

    brojz2u II kvadrantu biramo=2

    3 .

    Ako posmatramoz3, tada je

    =

    (5)2 + 02 =5 i tg= 05 =0,

    pamoe biti 0 ili, a kako je 5 na negativnom delu realne ose, sledi daje=.

    Za kompleksan brojz4je

    =

    02 + 32 =3 i tg=30

    = +,

    pa iz pozicije brojaz4u kompleksnoj ravni zakljucujemo da je=

    2.

    U slucaju brojaz5imamo da je

    = (3)2 + (1)2 =2 i tg= 13= 33i izmedju kandidata=

    6i=

    76

    biramo da je=7

    6 .

    4. Kompleksne brojeve iz prethodnog primera napisati u eksponencijalnom itrigonometrijskom obliku.

    Reenje:

    z1=1 + i=

    2 e4 i =

    2(cos

    4+ isin

    4),

    z2= 1 + 3i=2e23i

    = 2 (cos

    2

    3 + isin

    2

    3 ),z3= 5=5 ei = 5 (cos+ isin),z4=3i=3 e

    2 i = 3(cos

    2+ isin

    2),

    z5=

    3 i=2 e 76i = 2(cos76

    + isin7

    6 ).

  • 7/25/2019 Zbirka Zadataka Iz Matematike I - Tehnoloski

    12/270

    6 Glava 1. Kompleksan broj

    5. Odreditii67 ii2006.

    Reenje:

    Kako 67 pri deljenju sa 4 daje ostatak 3,to jei67 =i3 = i,dok 2006 prideljenju sa 4 daje ostatak 2, pa jei2006 =i2 = 1.

    6. Naci kompleksan brojz, takav da jez=e83i.

    Reenje:

    Izcinjenice da je 83=82+, zakljucujemo:

    z=e83i =e(82+)i =ei =cos+ isin= 1.

    7. Izracunati(1 + i)16 i (1 + 3i)9.Reenje:

    I nacin.Kako je(1 + i)2 =2ii(1 +

    3i)3 = 8, imamo da je

    (1 + i)16 =

    (1 + i)28

    = (2i)8 =28 i8 =256,