GOSPAVA B. DORDEVIC - mi.sanu.ac.rs gvm/Teze/Zbirka resenih zadataka iz matematike II.pdf¢  UNIVERZITET

  • View
    11

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of GOSPAVA B. DORDEVIC - mi.sanu.ac.rs gvm/Teze/Zbirka resenih zadataka iz matematike...

  • GOSPAVA B. DORDEVIC

    " GRADIMIR V. MILOVANOVIC

    I

    I I II za studente Tehnoloskog fakulteta

    Leskovac, 1997,

  • UNIVERZITET U NISU Tehnoloski fakultet u Leskovcu

    dr GOSPAVA B. DORDEVIC, dr GRADIMIR V. MILOVANOVIC ZBIRKA RESENill ZADAT AKA IZ MATEMATIKE II

    Recenzent dr Nenad Cakic

    Za izdavaca Prof. dr. Mihajlo Stankovic

    Urednik Prof. dr Milotad Calcic

    Odlukom Uredivackog odbora TeliJlolo.Skog fakulteta 11 Leskovcu Univerziteta u Ni.Su, 06 broj 130911-2 od 02.12.1997. god. ova knjiga odobrena je kao pomocni udibenik za predmet Matematika 11 w studente Teluwlo.fkog fakulteta u Leskovcu

    CIP - KaTanorll3an;uja y uy6nnKan;n:ju Hapo)lua 6u6JmoTeKa Cp6uje, Eeorpa)l

    517.3/ A(075.R) (076) 130YBEBHE, f'ocuana E.

    Zbirka resenih zad:'1taka iz Matematike II : za studente Tehnoloskog fakulteta /Gospava B. Dordevic, GradimiT V. Milovanovic.- Leskovac : Telmoloski fakultet.. 1997 (Leskovac : Cicero). - 181 str. : graf.

    prikazi : 24 em l'iraz 300. ISBN 86-82367-22-X 1. MnJronanonrrh, f'pa)IIIMIIp, B. 517.52(075.8) (076) 514.742.4 (075.R) (076) a) MareMaTIPIKa ananll3a - 3a)~an;u 6)

    Bernopctm pa•ryH - 3a)laiJ,II c) Teopuja neponaTHohe - 3a)lan;u

    ID = 59290380

    Kompjuterska obrada mr Dragan Dordevic, dr Gospava Dordevic

    Stampa: SGP "Cicero" Leskovac Tiraz: 300 primeraka

  • SADRZAJ

    I GLAVA

    TEORIJA REDOVA ..................................... 1

    1. N umericki redovi .............................................. 1 1.1. Reclovi sa pozitivnim clanovima ............................ 1 1.2. Zaclaci ..................................................... 4

    2. Stepeni reclovi ................................................ 21 2.1. Uvoclne napomene ........................................ 21 2.2. Zaclaci .................................................... 22

    3. Resavanje cliferencija.lnih jeclnaCina pomocu redova ............ 42 3.1. Uvodne napomene ........................................ 42 3.2. Zadaci .................................................... 43

    II GLAVA

    INTEGRACIJA ......................................... 49

    1. Dvostruki integrali ............................................ 49 1.1. U voclne napomene ........................................ 49 1.2. Zaclaci .................................................... 50

    2. Trostruki integrali ............................................ 78 2.1. Uvodne napomene ............ : ........................... 78 2.2. Zadaci .................................................... 79

    3. Krivolinijski integrali ......................................... 90 3.1. Uvoclne napomene ........................................ 90 3.2. Zaclaci .............. : ..................................... 92

    4. Povrsinski integrali .............. · ............................ 110 4.1. Uvoclne napomene ....................................... 110 4.2. Zaclaci ................................................... 111

    III GLAVA

    VEKTORSKA ANALIZA ............................. 127

    1. Vektorske funkcije ........................................... 127 1.1. Uvodne napomene ....................................... 127 1.2. Zaclaci .................................................... 129

  • 2. Teorija. polja ................................................. 140 2.1. Uvoclne napomene ....................................... 140 2.2. Zaclaci ................................................... 141

    IV GLAVA

    LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA .............. 149

    1. Laplaceova tranc;fonnacija ................................... 149 1.1. Osnovni pojmovi ........................................ 149 1.2. Zacla.ci ................................................... 150 Inverzna Laplaceova transfonnacija .......................... 157 1.3. Za.claci ................................................... 157 1. 4. P1'imena Laplaceove transformacije

    na resa.vanje cliferencij alnih jeclnaCina .................... 162

    GLAVA

    VEROVATNOCA ...................................... 165

    1. Verovatnoc~a ................................................. 165 1.1. Uvoclne napomene ....................................... 165 1.2. Zaclaci ................................................... 168

    2. Slu~ajne veli6ine ............................................. 173 2 .1. U voclne na.pomRne ....................................... 173 2.2. Zadaci ................................................... 175

  • PREDGOVOR

    Zbirka resenih zadataka je pisana po vazecem nastavnom programu predmeta Matematika II za studente Tehnoloskog fakulteta u Les- kovcu, a takode moze korisno posluziti i drugim studentima kojima odgovara sadrzaj i obim obuhvacen ovom Zbirkom. Ispred svake ce- line dat je pregled najvaznijih definicija i teorema. Teorijske osnove ove Zbirke predstavlja odgovarajuCi udzbenik Matematilm II, sa ko- jim ova Zbirka zadataka Cini nerazdvojnu celinu. U skladu sa tim, u ovoj Zbirci zadataka zadrzane su oznake koriscene u pomenutom udzbeniku.

    Materijal izlozen u ovoj Zbirci rasporeden je u pet celina - glava. U prvoj glavi obradeni su numericki i stepeni redovi sa primenama. Druga glava sadrzi visestruke, krivolinijske i povrsinske integrale. U trecoj glavi dati su elementi vektorske analize sa elementima teorije polja. U cetvrtoj glavi obradena je Laplaceova transformacija sa pri- menom na resavanje diferencijalnih jednacina, dok peta glava obuh- vata elemente teorije verovatnoce.

    Skoro svaki zadatak je u potpunosti resen, osim malog broja za- dataka koji su ostavljeni citaocu za samostalni rad.

    Verujemo dace ova Zbirka resenih zadataka, zajedno sa pomenutim udzbenikom, u mnogome olaksati studentima Tehnoloskog fakulteta u Leskovcu pripremanje ispita iz Matematike II.

    Recenzent, dr Nenad Calcic, proCitao je rukopis i svojim primed- bama poboljsao prvobitni tekst ove Zbirlce zadataka, na cemu mu autori srdacno zahvaljuju. .

    Obradu teksta na racunaru izvrsili su autori. Konacno sredivanje teksta, kao i crtanje slika, uradio je mr Dragan Dordevic, asistent Filozofsog Fakulteta u Nisu.

    Leskovac, novembar 1997. Au tori

  • I

    I

    I

    I

    I

    I

  • I GLAVA

    TEORIJA REDOVA

    (1)

    L NUMERICKI REDOVI

    1.1. Redovi sa pozitivnim Clanovima

    Neka je (an) proizvoljan niz realnih brojeva. Izraz oblika

    00

    a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · = L an n=l

    naziva se rwmericki ( brojni) Ted, pri c,emu je a11 opsti clan recla ( 1 ).

    Izraz oblika

    (2) n

    Sn = L ak = a1 + a2 + · · · + an k=l

    naziva se n-ta parcijalna suma recla (1 ).

    Kaze se cla je red ( 1) konvergentan ako njegov niz { Sn} parcijalnih suma konvergira. Drugim reC-ima, ako postoji lim Sn = S, kaze se

    'It-tOO

    00

    ela reel (1) konvergira i ima sumu (zbir) S, sto se zapisuje S = I: a 11 • n=l

    Ako reel konvergira, onda lim an = 0 ~ n-+oo

    Ako je S = +oo ili S = -oo, ili S ~1e postoji, reel (1) je divergentan. Ostatak Rn red a ( 1) clat je sa / __

    Ako reel (1) konvergira, tacla ostatak recla Rn tezi nuli lead n tezi beskonacnosti.

  • 2 TEORI.JA REDOVA

    00

    Teorema 1. Cauchyev potr'eban z dovoljan uslov da red I: an kon- n=l

    vergira .ieste:

    (VE > O)(::JN(E) > O)(Vp > O)(Vn 2 N(E)) ISn+p Snl

  • NUMERICKI REDOVI

    2~ iz divergencije reela L an sledi elivergencija reda L bn. Cauchyev kriterijum. Neka za red ( 4) vazi:

    lim n---+ CXJ

    Tad a

    ( i) za q < 1, reel ( 4) konvergira; (ii) za q > 1, reel (4) divergira;

    \{ii;; = q.

    3

    (iii) za q = 1 pitanje konvergencije reda ( 4) ostaje nereseno, tj. red ( 4) moze konvergirati, ili, divergirati.

    D'Alembertov kriterijum. Neka za red (4) vazi:

    -.- an+l lnn -- = q.

    n--+oo an

    Taela:

    (i) za q < 1, red ( 4) konvergira; (ii) za q > 1, red ( 4) divergira; (iii) za. q = 1 pita.nje konvergencije reela (4) ostaje nereseno, tj. reel

    ( 4) moze konvergira.ti, ili, elivergirati.

    Raabeov kriterijum. Neka za red (4) va.zi:

    ( an ) lim. n --·- - 1 = p.

    n=oo an+l

    Tad a:

    ( i) za. p > 1, reel ( 4) konvergira; (ii) za. p < 1, red ( 4) divergira; (iii) za p = 1 pita.nje kovergeneije reda ( 4) ostaje nerei§eno, tj. reel

    (4) moze konvergirati, ili, clivergira.ti.

    Gaussov kriterijmn. Ako se za reel (4) in > n 0 , va.zi

    an _ l p An --- +- + I+cv' an+l n n

    gele je [An[< K, (I(> 0) (n = 1, 2, ... ) i O' > 0. Ta.cla:

  • 4 TEORIJA REDOVA

    (i) za l > 1, reel (4) konvergira; (ii) za l = 1 i p > 1, reel ( 4) konvergira; (iii) za l < 1, reel ( 4) clivergira; (iv) za l = 1 i p :S; 1, reel (4) clivergira. Cauchyev integralni kriterijum. Neka je f(.r) neprekiclna, poz-

    itivna i nerastuc.a funkcija za :r :::=:: a i neka je CLn = f(n). Tacla, reel ( 4) i integral

    /

    +oo f(a:)d:r:,

    . a

    istovremeno konvergiraju ili istovremeno divergiraju.

    1.2. Zadaci

    1. 2.1. Ispitati kovergenciju geometrijskog recla Resenje. Parcija.lna. surna. rerla jP

    c ~ k 1 ~ + n •'n = ~ ij = + q + ij + . . . q n=IJ

    "'\' (X) '11

    Lm=O q ·.

    odalde sledi: Zi\ lql < 1 r

  • NUME