Vene Bogoslavov - Zbirka reenih zadataka iz matematike 1

  • View
    25.858

  • Download
    311

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Book is in serbian. It can help you with learning a maths.

Text of Vene Bogoslavov - Zbirka reenih zadataka iz matematike 1

\' , , M,VENE T.BOGOSLA vav ZBIRKA v RESENIH ZADATAKA IZMATEMATlKE 1 DVAOESET OSMO IWANJE ZA VODZA uD1BENID I NASTAVNA SREDSTVA. BEOGRAD 2IlO1 R , ~ n : ' n ( S\lctOUf Branko\It, profeso( Pete bcogradskegimnazije,Beograd U"d"lk t.arko Jovit Glavnll odgQVDfnl urtdniil 4r Ptllr Pijlnovic ZllI::daYata prof. dlDobrOJu Bjtlclic. direklor S ljllbavljll u,lIlku Jovanu 4 PREDGOVOR OSAMNAESTOMIZDANJU Prvo izdaly'e ove zbirke izaJ/o j e ;z slampe sepfembra1970. godine.Napisano je premonostal/l1omprogramuma/ema/ikezaIrazred gimllGzije(deoko);s e odnosi 170algebru). TrinaeSIOicelrnoeSloizdanjejeizmenjenoidoplIlljenopoglavljima: o skupovima, Malemalicka logika ; Kombill fl torika. U petnaesto izdanje 511uneNodredeni saddo); iz geomelrije. Ova,osamnaesla izdonje prilagodeno j e novom nostavnom planll i programll iz rna/em a/ike prirodno-matemalickog smera gimnazije. Dopunjeno je saJ28 novihzadafoka,po se znall10razlikujead prelilodnih izdanja. Recenzentu allog adonja, Svetozaru Bronkovicli. profesoru ..Pele beogradske gimnazije H uBeogradu,zahvaljujemnopailjivomcilanjunlkopisai pomoCiII izbonl zadalaka iz skupova i kambinatorike. PoId in; se zadoci IIovoj zbirci mogllpodelili na dye grupe:lakS;; s rednji (80%)i lei; (20%) .Tei; zadaci su oZl1aceni zvezdicom. Zahvalju}em svoj oj suprozi Nadeidi.koja mi je pomogla 11 pripremi i sreilivanju rukopisa. Beograd.septembra/ 992. godilleAUTOR PREDGOVOR XXIll DOPUNJENOMIZDANJU Ovo.dvadeseli/reeeizdanjedopunjenoje sa 293novazada/ka.Usvako poglavljedodat je izveslanbroj novihzada/aka.Znatne promel1eiZ\lrSeneSli11poglavljima:Realn; broj evi. Podudarnost i slicnDst geometrijskihjigllra. So Dvim dopunama.autor se nada da ce se kvalilel knjige znafno poboljsali. 25.avgust / 995.godineAUTOR PREDGOVOR XXVIDOPUNJENOMIZDANJU Ovo,dvadesetisestoizdanjedopunjeno j esa409novihzadataka.Svako poglavlje dopunjeno j enovim zadacima. /zveslonbrajnovih zodo/akase prvi PilI javljoju IImalematickoj Ii/eraluri. Oni Sllrezultat ce/rdeselogodi.fnjenaslavne prakse aulora.Sa ovimdopllnama. aulor se nada. daje kvalilel zbirke znatno poboljsan.Da Ii j e Qulor u pravu.sud ce dati buduci korisnici zbirke. 7. juni 1999. godin.AUTOR PREGLED SIMBOLAIOZNAKE {.... } N Z Q R E (sAr; b) (tp:::;.q):;. s )o s/\ t) vpl, c)(q"s) .. p) .. (s I);d)((sM)"(pV q0( I0 0rll II 15.Datisuiskazi: a) a:;4x'/ )':(2x' y )'= 2x' y' , x,y EQ); b)b :; 3x'y' )' :(3x' y )'=x,y EQ); c) c :; 4/+ 2x'- 4xy - 2x' + 5y' ) = =:cy' + 14x'y-lOx'y' + 4x'+ 20 y', x, y E d)d :; ( lOx' y' (O,O16 + 0,4 y ' ) - - 0,4xy )- = "E Q=16x- y - ,x. y... . Odreditinj ihoveistinit osnevrednosti , panaosnovu loga odredltlIS-tinitosnevrednostisledecihiskaza: a)(a '"c) Vb)b) '" d A (a '" c)b d))V c). 16.IspitalidaIi je iskaznaformul a A = pV q) ApA z )V(qA ztaut ologija? 17.Dokazatida jelogickaformul a A =(a /ltautologija. 18.Sastavitiistinitosnetablicezasiedeceiskaze: a)(p Vq ) Vq;b)(pVq)V r ;c)pA(qAr); d)pVC qAr );e)p A (q V r );f)(p/lq )V r. 19.Odreditiistinitosnevrednostiiskaza: a)( p Vq) '" r;b)( p V q) ,., (q V r); c)(pV (q,.,d) q; t) pV (p '" g) (pv( p"'(qAr ; h) ( pV r); i)(p Ar) ( p'" ( q Ar). 20.Dokazatidasuistinitiiskazizasvevrednostipiqkoj epripadaju skupu{ T,J. }: a)(p '" q) ( pAq) (Ovajiskazmozeseuzeti za definicij uimplikacije.); b)(p'" q) A( q'" p)) p q ). (Oval iskazsemoze uzetizadefinicijuekvivalencij e.)Svakaiskaznafor-mula tacnaza sveistinitosnevrednostiiskazanihslovakoj afigurisu unjojnazivasetautoiogija. 21.Dokazatidasusledeceiskazneforrnui etautologije: 12 a) (pVq)VpV (qV r) i (p A q) ApA (qA r) (zakonasocijacijeza Vi A) ; b)( p Aq) p Vqi(p Vq) P Aq. (De Morganoviobrasci); c)p'" p(zakonrefleksivnostizaimplikaciju); d)p ,.,p(zakondvojnenegacije); e)(p Vp) p(zakonidenpotencijedisjunkcije); f)(p Ap) p(zakonidenpotencij ekonj ll nkcije); g)p /I ( q V r) ( p Aq) V ( p /I r ) (zakondistributivnostiApremaA); h)pV ( qA r ) (p Vq)A ( p V r)(zakondistributivnostiVprema /I): k)p'" q)'" ( q '" r )),.,p '" r(zakontranzitivnostiimpli kacijc), I)p V(p Aq) p(zakonapsorpcije - gutanj a- Vprema/l); h)r ). 1.2.Osnovneskupovneoperacij e 1.Skupj eosnovnipojamumatematici.Usvajasebezdefin icijeu logickomsmislutereci.Cestoseumestoskupkaic:rnnozina.mnoStvo. kolekcij a. 2.Relacij aclanstva. Neka jc SdatiSkllP, a p jedan objekat iz kol ekcij e S, tj . p j e clan skupa Spise se simbolicki pE S. Negacijom, relacijap ES postaj ep $.S,StoznacipnijeclementS.ZnakEpot ice oditalijanskog matemati caraG.Peano( 1850- 1932),teserelacij aelanstvatestonOLiva Peanovareiacij a. 3.Podskup skupa (Relacij a "biti dec od "). Ako su A i 8dva skupa, pa jC svaki element skupa A istovremenoi element skupa 8 . onda sekau da je A decodBiIipodskupodBiIi"paree"odBipiseseA BiIiB:2A. Simbilicki "'J Ovarel acij asecestonazivaKantorovarelacijapovelikomnemackom matemati caruG.Cantoru( 1845-1 918). 4.Presekskupova.Presek(zajednickideo)datihskupovajCskup sastavljenodonihisarnoonihelemenat akoj ipnpadajuSVtmdaum skupovima.Simboli ckizadvaskupa: "'J AAx E B}. 5.Unijaskupova.Podunijom(zdruzivanjem,spojemillzblrom) skupovapodrazumevamoskupkojijesastavlj encdol1lhi'amoonth eiemenatakoj ipri padaj ubar jednomodzadanihskupoa.Imbolicklza dvaskupa: "'I A V x E B}. 6.Razlika dvaskupa. RazlikadvaskupaA i B u oznaciA \ B je :kup. ciji su elementi, sarno oni elementi skupa A. koji ne pripadajukupu BOva definicijasimbolicki : ,/,/{} A \ B LxOy = LzOI. MA K N B c L Slika 2. Ovauporednauglaseodnosekao4: 5.Odreditioveugloveuste-penima. Ostarugaoaisestinanj emuuporednoguglasukomplementni uglovi.Izracunatiugaoa. Upramenupravih a,b,e,d sacentrom S,prava a je normalnanab, pravaej enormalnanad.Odreditiuglove:a =LaSe,{1=LbSdi y = LaSd,ako je ugaox = LeSb cetiripetineuglay= LeSa. Izracunati zbir dva ugl a, koji su suplementni, sa dva komplementna ugl a. Izracunatiugaokoji je suplementansvojojsedmini. TackomMprave AB konstruisane su dYepolupraveMCiMD,tako da JeugaoAMC =54,augaoCMDiznosipolovinuuglaAMG. Izraeunatiugao DME. Na pravojpdataje tacka O. Poluprave Oa i Ob su sa iste strane prave pigrade sa njom jednake uglove,augao aOb je 40.Poluprava am normalnajenaOaipolupravaOnnormalnajenaOb.Izracunati uglovekojisapravompgradepolupraveam iOnakose: a) am i On nalazesa one stranepravepsakojesenalazeOai Ob' b) am ian ne nalaze sa iste strane prave psa koje se nalaze Oa i Ob. ' 227. 228. * 229.* 230. 231. 232. 233. 234.* 235. 236. 237. 238. 239. Prave a i b seku se u tackiO.Tacka a odreduje na pravoj a poluprave am lan,a pravoJbpolupraveOpi Oq.Ugaomap =72.Polu-pravaOr Jesllnelralall glamap, apoilipravaas jenonnalnanaOr. [zraCLlnatlugaonOs. D.vepravesekuseutackiSiobrazujueetiriugla.Zbirunakrsnih ostnhuglova Jednakj epolovinijednogodunakrsnihtupihuglova. Odredltlmernebrojevesvakogodtihuglova. Prave a i b seku sei obrazuju cetiriugla:dva 0tra a i y i dva tupa Pi O. Izracunatiteugloveakoj e7(a + y) =5(P+ 0). Razlikauglaainjemuuporednogugl ap j e36.Izraeunat iugaoy komplementansap. Na pravojpdateSLIeetiritackeA - B- C - D. Ako je AD =9 em izraeunati:' a)AB + CD;b)rastojanjeduziABi CD. Rastojanjesedistadui iodmakoj etackeizabranenaproduzetkute duzi jednaka je poluzbirurastojanja tetackeodkraj evateduE Do-kazati . Data su dvauporednauglapO" i qOr. Neka su Ox i Oy nj ihove sime-trale. a)DokazatidasuuglovipaxiyOI'komplementni ; b)Ako jeugaopOq =35,izraellnatiugao ray. Ugaokojicinesimetrala jednoguglaimakoj apolupravakonstrul-sana unutar tog uglaiz njegovog temena jednak j e polurazliciugla na koji j edatiugaopodeljentompolupravom.Dokazati . Akosesaberupolovina,cetvrtinaiosminauglaa,ondasedobija ugao suplementanuglu a. Odreditiugaokompl ementani suplemen-tanuglua. Ako su s,i S2simetrale dva uporedna ugla, tada j e s,.LS2 'Dokazati. Ako su a i {1kompl ementniuglovi,ugao x"x"x .Odreditiiuprost itirazmeru Y, :Y,:Y,:Y. Ispitatitacnost jednakostiy,: y, : y,: y.=x,: x,: x,: x, . J 375.Data je obmuta proporcionalnost formulomy= .:..lzabrativrednosti x x"x,, x,zax,tako da je x,: x,: x,= I : 3: 2. lzracunati vrednosti y"y"y,obmutoproporcionalnisaxI>x,,x" Odd .. ..IIII...dnk. reIt!Iuprostltlrazmeru- : - : - .SpllatlJea0II y ,Y2)" III.II I -:-:-= x,:x, :x,Iy,:Y2:y, =-:-:-. x, 47 4.2.Primenaproporcija Primedba.Priresavanjuzadatakaprimenomproporcij atrebaprvoutvrditi da Iisu velicine x i y direktno iiiobmuto proporcionalne. Kazemoda su x i y direktno proporeioDalne ukoliko je )' = kx, a obmuto proporei onalne ukoliko k za x iyvazi y=-. x 376.Od 66kg prediva dobije se165mtkanine . Koliko semetaratkanine dobijeod112kgprediva? 377.Zupcanikima54zupeaipravi84obrtaj auminutu.Kolikozubaca imazupcanikakopravi126obrtajaiuprenosu je saprvim? 378.Radeei dnevnopo 8 casova,21radnik za6 danaizradi720metalnih pro fila;zakoli koeedana28radnika,radeeipo7casova.izraditi I260metalnihprofila? 379.Radeei dnevno po 6 casova 40 radnika zavrsinekiposao za 20 danai za to prime ukupno192000 dinara. Koliko dana trebada radi50rad-nika akoradepo8 casovadnevno,dabiprimiliukupno160000di-nara? 1380. L. lednaprostorijaosvetljena jesa15sijalicaod60W.Kolikobisi-_jalica od 75Wdavaloistoosvetljenje? I 3111.Za14kilograma robeplaceno je 980dinara. Kolikocesekilograma robekupitiza4340dinara? 382,100norveskihkrunavredi12700 dinara.Kolikocesekrunadobiti za571500dinara? 65radnikaiskopa nekikanalza23dana.Posle15dana13radnika napustiposao.Kolikodana treba onima kojisu ostali da zavrse osta-takposla? 384.Nekiposao6radnikamozedazavrsiza5dana.Zakolikoeedana bitigotovistiposaoakoposle2danadode jos3radnika? 385.Gredaduzine3m,sirine20emidebljine100mmkosta2000di-nara.Kolikoeekostatigredaduzine4m,sirine30emidebljine 110mm? 386.Ododredenekolicinebakramozeseizvaljati10tabliduzine2m, irine1,5m debljine 2mm.Koliko setabli, duiine1,2m,sirine 0,5m i debljine4mmmoZeizvaljatiodistekolil!inebakra? 48 4.3.Racunrasp odeleimesanja Primed ba.Resavanjezadatakai zracunaraspodeleimesanjasesvodina resavanj elinearni hj ednacinaii inaresavanjesistemastojedetaljno pokazanouresenj imazadataka. 387.Dvaradnikatrebadapodelepremij uod270000dinarasrazmemo svoj imzaradama,kojeiznose650i700dinarapojednomradnom casu.Koj