13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    1/21

    Mr Miroslav Kuka

    Vesna M. Mijailovi}

    ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE

    za VII I VIII razred

    sa teorijskim osnovama i re{enjima

    MMI

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    2/21

    PREDGOVOR

    Ovom zbirkom zadataka obuhva}eno je celokupno gradivo matematike koje

    u~enici treba da savladaju u osnovnoj {koli, na nivou VII i VIII razreda. Posebno smo

    obratili pa`nju da sadr`aji zadataka u~enicima budu pristupa~ni, tako da pomo}u njih

    mogu da shvate pojedine matemati~ke zakonitosti, njihovu me|usobnu povezanost,

    svakodnevnu primenljivost itd. S obzirom na namenu, svaki zadatak u ovoj zbirci ima

    re{enje. U ve}ini re{enja je pored toga ostalo ne{to nedore~eno, tako da }e u~enikimati svuda po ne{to da zaklju~i sam. Ovakav na~in re{avanja zadataka trebalo bi uvek

    primenjivati, jer se tako uveliko umanjuju kumulativne gre{ke pri ra~unanju, {to je na

    svim, a posebno na osnovno{kolskom uzrastu ~esta pojava.

    Zbirka je koncepcijski zami{ljena i kao priru~nik sa teorijskim uvodom svake

    od obuhva}enih matemati~kih celina, {to sa svoje strane, po mi{ljenju autora, pored

    homogenizacije gradiva i njima komplementarnih zadataka, inicira i razvija

    interesovanje u~enika za tako koncipirane sadr`aje.

    Na kraju smatramo svojim prijatnim dugom da se najsrda~nije zahvalimo

    svojim porodicama, recenzentima, prof. Verici Radojkovi}, dipl. astrofizi~aru Tatjani

    Milovanov, ing. informatike Veri Stojanovi}, Zlatku Leki}u i Ljiljani Milojevi} na

    podr{ci, sugestijama i tehni~koj realizaciji ovako koncipirane zbirke zadataka.

    Autori

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    3/21

    SADR@AJ

    VII RAZRED

    1. REALNI BROJEVI1.1. KVADRAT RACIONALNOG BROJA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 3

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 4

    Re{enja ..................................................................... ........................ 5

    1.2. RE[ENJE JEDNA^INEx2

    =a, (a 0). KVADRATNI KOREN.IRACIONALNI BROJ

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 7

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 8

    Re{enja ..................................................................... ........................ 9

    1.3. REALNI BROJEVI. BROJEVNA PRAVA. JEDNAKOST aa =2

    1.4. PRIBLI@NA VREDNOST REALNOG BROJA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 12

    Zadaci za samostalan rad............................................................... . 14

    Re{enja ............................................................................ ................. 15

    1.5. OSNOVNA SVOJSTVA OPERACIJA SA REALNIM BROJEVIMA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 16

    Zadaci za samostalan rad............................................................... . 17

    Re{enja ............................................................................ ................. 18

    Skup realnih brojeva (dodatak)............ ........................................... 18

    Re{enja ............................................................................ ................. 19

    2. PITAGORINA TEOREMA I NJENA PRIMENA2.1. PITAGORINA TEOREMA2.2. PRIMENA PITAGORINE TEOREME

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 21

    Zadaci za samostalan rad............................................................... . 23

    Re{enja ............................................................................ ................. 24

    2.2.1 PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT2.2.2. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGAONIK

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 29

    Zadaci za samostalan rad............................................................... . 30

    Re{enja ............................................................................ ................. 31

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    4/21

    2.2.3. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI IJEDNAKOSTRANI^NI TROUGAO

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 33Zadaci za samostalan rad............................................................... . 35

    Re{enja ............................................................................ ................. 36

    2.2.4. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB2.2.5. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KRUG

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 39

    Zadaci za samostalan rad............................................................... . 40

    Re{enja ............................................................................ ................. 40

    2.2.6. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI IPRAVOUGLI TRAPEZ

    2.2.7. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KOCKU I KVADAR

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 42Zadaci za samostalan rad............................................................... . 43

    Re{enja ............................................................................ ................. 44

    3. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZ3.1. STEPEN ^IJI JE IZLO@ILAC PRIRODNI BROJ3.2. ALGEBARSKI IZRAZ. BROJNA VREDNOST IZRAZA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 48Zadaci za samostalan rad................................................................ 50

    Re{enja ..................................................................... ........................ 51

    3.3. MONOM. KOEFICIJENT3.4. POJAM POLINOMA. SVO\ENJE POLINOMA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 53Zadaci za samostalan rad............................................................... . 54

    Re{enja ............................................................................ ................. 54

    3.5. SABIRANJE MONOMA I POLINOMA3.6. ODUZIMANJE MONOMA I POLINOMA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 55Zadaci za samostalan rad............................................................... . 56

    Re{enja ............................................................................ ................. 57

    3.7. MNO@ENJE MONOMA I POLINOMA3.8. DELJENJE MONOMA I POLINOMA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 59

    Zadaci za samostalan rad............................................................... . 61

    Re{enja ............................................................................ ................. 62

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    5/21

    3.9. KVADRAT BINOMA I RAZLIKA KVADRATA3.10. RASTAVLJANJE POLINOMA NA ^INIOCE

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 64Zadaci za samostalan rad............................................................... . 66

    Re{enja ............................................................................ ................. 68

    4. MNOGOUGAO4.1. POJAM MNOGOUGLA I BROJ DIJAGONALA MNOGOUGLA4.2. UGLOVI MNOGOUGLA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 71

    Zadaci za samostalan rad............................................................... . 72Re{enja ............................................................................ ................. 73

    4.3. KONSTRUKCIJA PRAVILNIH MNOGOUGLOVA4.4. OBIM MNOGOUGLA4.5. POVR[INA MNOGOUGLA4.6. POVR[INA PRAVILNOG MNOGOUGLA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 75

    Zadaci za samostalan rad............................................................... . 80

    Re{enja ............................................................................ ................. 81

    5. KRUG

    5.1. CENTRALNI I PERIFERNI UGAO KRUGATeorijske osnove sa primerima ........................................................ 87

    Zadaci za samostalan rad............................................................... . 87

    Re{enja ............................................................................ ................. 88

    5.2. OBIM KRUGA5.3. DU@INA KRU@NOG LUKA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 90

    Zadaci za samostalan rad............................................................... . 92

    Re{enja ............................................................................ ................. 93

    5.4. POVR[INA KRUGA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 96Zadaci za samostalan rad............................................................... . 96

    Re{enja ............................................................................ ................. 98

    5.5. KRUG, KRU@NI ISE^AK, KRU@NI ODSE^AK, KRU@NI PRSTEN5.6. POVR[INA KRU@NOG ISE^KA I KRU@NOG PRSTENA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 100

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 101

    Re{enja ..................................................................... ........................ 102

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    6/21

    Krug - razni zadaci ...................................................................... ..... 103

    Re{enja ............................................................................ ................. 104

    6. NEKE OSNOVNE FUKCIJE6.1. PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM U RAVNI. KOORDINATNE

    TA^KE

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 107

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 109

    Re{enja ..................................................................... ........................ 110

    6.2. FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI. TABLI^NO,

    ANALITI^KO I GRAFI^KO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJE DIREKTNEPROPORCIONALNOSTI

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 113Zadaci za samostalan rad................................................................ 116

    Re{enja ..................................................................... ........................ 118

    6.3. OBRNUTA PROPORCIONALNOST, FUNKCIJAy=x

    k

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 120

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 121

    Re{enja ..................................................................... ........................ 122

    6.4. PROPORCIJA I NJENA PRIMENATeorijske osnove sa primerima ........................................................ 125Zadaci za samostalan rad................................................................ 125

    Re{enja ..................................................................... ........................ 126

    7. SLI^NOST7.1. MERENJE DU@I, SMERLJIVE I NESMERLJIVE [email protected]. RAZMERA DU@I. PROPORCIONALNE DU@I

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 130Zadaci za samostalan rad................................................................ 131

    Re{enja ..................................................................... ........................ 132

    7.3. TALESOVA TEOREMA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 134

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 135Re{enja ..................................................................... ........................ 136

    7.4. SLI^NOST TROUGLOVA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 138

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 140

    Re{enja ..................................................................... ........................ 142

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    7/21

    VIII RAZRED

    1. TA^KA, PRAVA I RAVAN1.1. ODNOS TA^KE I PRAVE, TA^KE I RAVNI, ODRE\ENJA PRAVE I

    ODRE\ENOST RAVNI1.2. ODNOS RAVNI I PRAVE, ODNOS PRAVIH

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 151

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 154

    Re{enja ..................................................................... ........................ 155

    1.3. ORTOGONALNA PROJEKCIJA1.4. DIEDAR I ROGALJ

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 157

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 160

    Re{enja ..................................................................... ........................ 161

    2. LINEARNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE SA JEDNOMNEPOZNATOM

    2.1. LINEARNE JEDNA^INE (OP[TI POJMOVI). EKVIVALENTNEJEDNA^INE

    2.2. RE[AVANJE LINEARNE JEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM INJENA PRIMENA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 164Zadaci za samostalan rad................................................................ 167

    Re{enja ..................................................................... ........................ 169

    2.3. LINEARNE NEJEDNA^INE (OP[TI POJMOVI). EKVIVALNETNENEJEDNA^INE

    2.4. RE[AVANJA LINEARNE NEJEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 176

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 177

    Re{enja ..................................................................... ........................ 179

    3. PRIZMA3.1. OP[TI POJMOVI

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 186

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 187

    Re{enja ..................................................................... ........................ 187

    3.2. POVR[INA I ZAPREMINA PRIZME

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 189

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 189

    Re{enja ..................................................................... ........................ 192

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    8/21

    4. PIRAMIDA4.1. OP[TI POJMOVI

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 202

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 203

    Re{enja ..................................................................... ........................ 203

    4.2. POVR[INA I ZAPREMINA PIRAMIDE

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 207

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 207

    Re{enja ..................................................................... ........................ 209

    5. LINEARNA FUNKCIJA5.1. FUNKCIJAy=kx + n

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 217

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 217

    Re{enja ..................................................................... ........................ 218

    5.2. GRAFIK LINEARNE I NULA FUNKCIJE

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 220

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 222

    Re{enja ..................................................................... ........................ 225

    5.3. GRAFI^KO PRIKAZIVANJE STATISTI^KIH PODATAKA, SREDNJEVREDNOSTI

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 234

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 235

    Re{enja ..................................................................... ........................ 236

    6. SISTEM LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE6.1. RE[ENJE I EKVIVALENTNOST SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 238

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 240

    Re{enja ..................................................................... ........................ 241

    6.2. GRAFI^KI NA^IN RE[AVANJA SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 243

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 244

    Re{enja ..................................................................... ........................ 245

    6.3. METODE RE[AVANJA SISTEMA DVE LINEARNE JEDNA^INE SA DVENEPOZNATE

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 247

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    9/21

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 248

    Re{enja ..................................................................... ........................ 249

    6.4. PRIMENA SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 252

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 252

    Re{enja ..................................................................... ........................ 253

    7. VALJAK7.1. OP[TI POJMOVI

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 258Zadaci za samostalan rad................................................................ 258

    Re{enja ..................................................................... ........................ 259

    7.2. POVR[INA I ZAPREMINA VALJKA

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 262

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 262

    Re{enja ..................................................................... ........................ 264

    8. KUPA8.1. OP[TI POJMOVI

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 271Zadaci za samostalan rad................................................................ 271

    Re{enja ..................................................................... ........................ 272

    8.2. POVR[INA I ZAPREMINA KUPE

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 274

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 275

    Re{enja ..................................................................... ........................ 276

    9. LOPTA9.1. OP[TI POJMOVI

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 282Zadaci za samostalan rad................................................................ 282

    Re{enja ..................................................................... ........................ 282

    9.2. POVR[INA I ZAPREMINA LOPTE

    Teorijske osnove sa primerima ........................................................ 283

    Zadaci za samostalan rad................................................................ 283

    Re{enja ..................................................................... ........................ 284

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    10/21

    ZA[TO I KAKO RADITI ZADATKE IZ MATEMATIKE?

    Poznavanje neke nau~ne discipline ne sastoji se u tome da se zapamte ilireprodukuju opisi pojava i formulacije njihovih zakonitosti, ve} u sposobnosti da se naosnovu tih zakonitosti mogu re{avati konkretni problemi. U tome i jeste razlikaizme|u stru~nog i lai~kog znanja. Dakle, samo izradom zadataka i primenom teorijekoja prethodno mora biti usvojena ({to je preduslov da se zadaci uop{te mogu re{iti),mogu}e je kod u~enika u {kolskom procesu posti}i ono ~emu se i te`i: da se znanjekoje je usvojeno pravilno i efikasno upotrebi, da se pove`u i shvate pojmovi, da sekoriste}i postoje}e znanje iniciraju ideje za nova otkri}a itd.

    Proces re{avanja zadataka u velikoj meri je sli~an istra`iva~kom radu. Sli~nost

    je u tome {to se u oba slu~aja do rezultata dolazi na osnovu odgovaraju}ih znanja,uo~avanja bitnih elemenata problema, logi~kog razmi{ljanja i zaklju~aka, pri ~emu ima{ta mo`e da ima presudnu ulogu. Drugim re~ima, re{avanje zadataka - problemasadr`i u ve}oj ili manjoj meri elemente kreativnosti, {to predstavlja dodatnu, veomava`nu komponentu procesa obrazovanja.Ali, vratimo se postavljenom pitanju:kako i na koji na~in raditi zadatke iz matematike?

    ^itanje (i to vrlo pa`ljivo) zadataka jedan je od osnovnih preduslova da sezadatak pravilno re{i. Ponekad je potrebno zadatak pro~itati i vi{e puta da bise shvatilo {ta je u zadatku poznato, a {ta je potrebno izra~unati. Rezultatpravilnog ~itanja zadatka treba da bude shvatanje o kakvom se problemu radi,{ta je u okviru njega poznato, a {ta treba odrediti.

    Pravilno postaviti zadatak, tj. navesti poznate veli~ine i njihove brojnevrednosti, kao i veli~ine kojima treba odrediti brojnu vrednost. Me|u datimveli~inama uspostaviti matemati~ke relacije ~ijim re{enjem dolazite do izrazakoji predstavlja op{te re{enje, iz koga se, zamenom brojnih podataka,izra~unava kona~an rezultat.

    Nacrtati sliku kojom bi se predstavio problem, jer ona ~esto omogu}ava da semnogo lak{e vidi ono {to se "napamet" te`e shvata i primenjuje.

    Biti uveren u svoje sposobnosti primene nau~enog i potvr|ivati ih na svakomkonkretnom primeru.Nadamo se da smo ovom kratkom analizom za{to i kako raditi zadatke bar

    malo pomogli u te`nji da se shvati uloga i zna~aj pravilne izrade zadataka izmatematike. Jedino {to se od u~enika o~ekuje jeste da ulo`e ve}i napor da usvojena

    teorijska znanja na ~asovima oplemene kroz ra~unske zadatke za samostalan rad.Unapred se radujemo njihovom uspehu.

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    11/21

    5. 4. POVR[INA KRUGA

    Povr{ina pravilnog mnogougla data je obrascem

    P O r= 1

    2,

    gde je O obim pravilnog mnogougla, a rpolupre~nik upisane kru`nice.

    U datom krugu (sl.6), polupre~nika r, upisan je najprejednakostrani~an trougao ABC (sa polupre~nikom upi-sanog kruga r1). Po{to se, dalje, broj stranica udvoji,dobije se pravilan {estougao (polupre~nik upisanog

    kruga r2), a zatim, posle ponovnog udvajanja brojastranica, pravilan dvanaestougao (polupre~nik upisa-nog kurga r3) i tako dalje.

    Iz te slike zapa`a se slede}e: kad se broj stranicapravilnog mnogougla upisanog u krugu polupre~nika

    r stalno udvaja (pove}ava), onda se njegova povr{inasve manje razlikuje od povr{ine datog kruga, a polu-pre~nik kruga upisanog u mnogouglu (r1, r2, r3 . . .) odpolupre~nika r.

    Ako se, dakle, zamisli da se ovo udvajanje (pove}avanje) broja stranica neograni~enonastavlja, onda se povr{ina upisanog mnogougla postepeno poklapa sa povr{inom datog

    kruga, a obim upisanog mnogougla sa obimom datog kruga.Drugim re~ima, povr{ina kruga dobije se iz navedenog obrasca za povr{inu pravilnogmnogougla kad se uvrsti: O=2r.

    Na taj na~in se dobije:

    P r r= 1

    22 ,

    ili kad se skrati sa 2 i izvr{i nazna~eno mno`enje:

    P=r2.

    Povr{ina kruga se dobije kad se polupre~nik digne na kvadrat i dobijeni broj pomno`ise sa .

    Primer 4: Izra~unati povr{inu kruga ~iji je polupre~nik r=4 dm.P=42 3,14=16 3,14=50,24 dm2.

    ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD

    1. Obim kruga je: a) 18 cm b) 62,8 dm c) 11 m. Izra~unaj povr{inu kruga.2.* Odredi povr{inu kruga ~iji su merni brojevi O i P jednaki.

    96 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

    Sl. 6

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    12/21

    3. Stranice pravougaonika su 4 cm i 3 cm. Odredi povr{inu kruga opisanog oko tog pra-vougaonika.

    4. Od komada drveta treba ise}i najve}u kru nu plo~u. Dimenzije plo~e drveta su 120 cm i80 cm. Koliko procenata materijala je otpalo.

    5. Povr{ina kruga upisanog u kvadrat je 12,56 cm2. Kolika je povr{ina kvadrata?

    6. Katete pravouglog trougla su 5 cm i 12 cm. Izra~unaj:

    a) Povr{inu opisanog kruga oko kvadrata;

    b) Povr{inu kruga upisanog u kvadrat.

    7.* Izra~unaj obim kruga u funkciji njegove povr{ine.

    8.* a) Izra~unaj razliku povr{ine {estougla i upisanog

    kruga u {estougao.b) Izra~unaj razliku povr{ina opisanog kruga oko{estougla i povr{ine {estougla.

    9.* Izra~unaj povr{inu osen~ene figure sl.1

    10. Izra~unaj povr{ine osen~enih figura:

    DM = MC AB = 8 cmBN = CN AB = 4ra = 4 cm AO = OC = CO1 = O1B

    11. Izra~unaj povr{ine osen~enih figura u zavisnosti od stranice kvadrata.

    Krug 97

    a = 4 dmb = 3 dm

    Sl. 2 Sl. 3 Sl. 4 Sl. 5

    Sl. 6 Sl. 7 Sl. 8

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    13/21

    12. Izra~unaj povr{inu osen~ene figure u zavisnosti od stranice jednakostrani~nog trougla.

    RE[ENJA

    1. a) 18 = 2r b) 62,8 = 3,14 2r c) 11 = 2r 2.* 2r = r2r= 9 cm 62,8 = 6,28 r r= 5,5 m 2 = rP = r2 r= 10 dm P = 5,52 r= 2P = 81 cm2 P = 100 dm2 P = 30,25 m2

    3. (sl. 13) d = a b2 2+ r=d

    2= 2,5 cm

    d = 16 9+ P = 2,52d = 5 cm P = 6,25 cm2

    4. PPL = a b PK= r2 2r= 80PPL = 120 80 PK = 1600PPL = 9600 cm

    2 PK = 5024 cm2

    9600 100%5024 x

    x = 52,33%100% 52,33% = 47,57% otpadak materijala

    5. 6. c = a b2 2+ 7.* P = r2

    c = 13 cm r2 =P

    ro =c2

    = 6,5 cm r= P

    Po = r2 O(P) = 2r

    Po = 42,25 cm2 O(P)=2 P

    Pu = 4 O(P)= 2 P

    ru =a b c+

    2

    98 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

    r2 = 12,56r2 3,14 = 12,56r2 = 4

    ru = 2 cma = 2ru = 4 cmP = 16 cm

    2

    Sl. 13

    Sl. 9 Sl.10 Sl. 11 Sl. 12

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    14/21

    8.* a) P6 Puk =

    3 3

    2

    3 3

    2

    3

    2

    3 3

    2

    3

    4

    3

    23

    2

    22

    22

    2 2 2ar

    a a a a au =

    = =

    ra

    u =3

    2

    b) ro = a Pok P6 = r2

    3 3

    2

    3 3

    2

    3 3

    2

    22

    22a a

    aa= =

    9. PF = P Po =a b hc = =

    2 4

    4 3

    2

    2 4 2 4

    46 1 2 1 48

    22

    , ,, , cm2

    r hP

    c

    P

    a bc= = =

    +=

    = =

    2 2 2 6

    5

    12

    52 4

    2 2,

    10. a) sl.2 b) sl. 2

    r= 2 cm =a

    2PF =

    1

    2Pvelikog kruga

    PP

    2

    3

    4PF o= + P

    1

    2ABF = 2

    PF = + 16

    2

    3

    44 ( )PF =

    1

    24

    2r

    PF = (8 + 3) cm PF = 8 r2c) sl. 4 d) sl. 5

    PP

    2F = PF =

    1

    464

    1

    216

    PF =a2

    2PF = 16 8, PF = 8 cm2

    11. a) P P1

    4PF O= = =

    aa

    a22

    2

    41

    4

    b) Figura se sastoji od 8 odse~aka, izra~una}emopovr{inu jednog odse~ka.

    P1

    4P POD O= =

    = 1

    4 2 2 2

    1

    2

    1

    4 4 8

    2 2 2a a a a a

    POD = =

    a a a2 2 2

    16 8 8 21

    PF =

    =

    88 2

    12

    12

    2a a

    c) P P PF O= + = +

    +

    a a a22

    2

    21

    4 =

    12. a) P P PF = =

    1

    3

    3

    4

    1

    3 2

    3

    4

    1

    3 4 43

    3

    2 2 2 2 2a a a a a = =

    b)

    ( )P P P PF O= + =

    => 1

    2 2

    3

    4

    3

    6

    2 22

    a a a +

    1

    2 4

    3

    4

    3

    36

    2 2 2a a a +

    Krug 99

    Uz zad. 11b

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    15/21

    PF = =

    = =a a a a a a a a a2 2 2 2 2 2 2 2 2

    8

    3

    4 12

    3 3 2

    24

    3

    24 2

    +

    + 6 + 6 ( )4

    3 + 6

    c) PF =2

    3(Pok Puk) =

    2

    3

    3

    3

    3

    6

    2

    3

    3

    9

    3

    36

    2 22 2a a a a

    =

    ra

    o =3

    3r

    au =

    3

    6

    PF =2

    3 3 12

    2

    3

    4

    12

    2

    3

    3

    12 6

    2 2 2 2 2 2a a a a a a

    =

    = =

    d) P P PF O= = =

    1

    6

    1

    6

    3

    4 6

    3

    42

    22

    aa

    a

    (kod PO je r = a)

    5. 5. KRUG, KRU@NI ISE^AK, KRU@NI ODSE^AK, KRU@NI PRSTEN

    Deo ravne povr{ine koji je ograni~en kru`nicom naziva se krug.

    Kru`ni ise~ak je deo kruga ome|en sa dva polupre~nika i odgovaraju}im kru`nimlukom. Taj luk (AB, sl.7) naziva se luk kru`nog ise~ka.

    Kru`ni odse~ak je deo kruga ograni~en jednom tetivom (AB, sl. 8) i odgovaraju}imkru`nim lukom (AB).

    Dve kru`nice su koncentri~ne ako imaju zajedni~ko sredi{te (kao na sl.9). Dve kru`nicesa razli~itim sredi{tima su ekscentri~ne.

    Deo kruga izme|u dve koncentri~ne kru`nice naziva se kru`ni prsten (sl.9).

    5. 6. POVR[INA KRU@NOG ISE^KA I KRU@NOG PRSTENA

    a) Povr{ina kru`nog ise~ka (sl. 5, str. 92) izra~unava se na ovaj na~in:Povr{ina (P1) kru`nog ise~ka u kome je sredi{ni ugao 1

    0 iznosi 360ti deo povr{ine

    kruga, dakle Pr

    =2

    360

    .

    100 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

    Sl. 7 Sl. 8 Sl. 9

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    16/21

    Povr{ina kru`nog ise~ka ~iji sredi{ni ugao iznosi stepeni ve}i je puta od P1:

    P =r2

    360

    .

    Primer 5: Izra~unati povr{inu kru`nog ise~ka ~iji je polupre~nik r=2 dm, a sredi{ni ugao = 80

    P = =4 3 1 4 8 0

    3602 78

    ,, dm2.

    Kru`ni prsten je deo ravni ograni~en sa dve koncentri~nekru`nice, to jest sa dve kru`nice koje imaju zajedni~ko

    sredi{te (sl.10).Ako je polupre~nik manje kru`nice r, a ve}e R, onda jepovr{ina kru`nog prstena, jednaka razlici povr{ina datihkrugova: P=R2 r2, {to se obi~no pi{e u obliku:

    P= (R2r2).

    Primer 6: Izra~unati povr{inu kru`nog prstena ako je

    r=1 dm, R=21

    2dm.

    P=3,14(2,5212)=3,14 5,25=16,4856 dm2.

    ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD

    1. Izra~unaj povr{inu kru`nog ise~ka ako je:a) r= 3 cm = 60 b) r= 1 dm = 72

    2. Izra~unaj povr{inu i obim kru`nog ise~ka kome odgovara centralni ugao od 120, ar= 16 cm.

    3. Izra~unaj centralni ugao ako je:a) povr{ina ise~ka a r= 4 cm.b) povr{ina ise~ka je , = 90, izra~unaj r.

    4. Oko kvadrata stranice a = 4 cm opisan je i upisan krug. Izra~unaj povr{inu dobijenogprstena.

    5. Oko jednakostrani~nog trougla stranicea = 6 cm opi-san je i upisan krug. Izra~unaj povr{inu prstena.

    6.* Oko pravilnog {estougla stranice a opisan je i upisankrug. Izra~unaj povr{inu dobijenog prstena u funk-ciji stranice a.

    7.* Izrazi povr{inu osen~ene figure(sl. 1) u funkciji stra-nice a.

    Krug 101

    Sl. 10

    Sl. 1

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    17/21

    8. Izra~unaj povr{inu osen~enog dela kru`nog prstena (sl. 2). = 60 OA = 5 cm OC = 2 cm

    9. Izra~unaj povr{inu i obim odse~ka (sl. 3), ako jeAO = 4 cm. AOB = 60

    10.*Ako je stranica kvadrata ABCD, 10 cm, odredi povr{inu osen~enog dela figure (sl. 4).

    RE[ENJA

    1. a) Pisr

    = = =2

    360

    9 60

    360

    3

    2

    cm2 b) P = = =

    r2

    360

    1 72

    360 5

    cm2

    2. Pisr

    = = =2

    360

    256 120

    360

    256

    3

    cm2

    O = 2r+ l = 2 16 +16 120

    18032 1

    3

    = +

    cm

    3. a) = 16

    360b) = 90

    2r 360

    360 = 16 14

    =2r

    =90

    4

    r2 = 4

    = 22 30' r= 2 cm

    4. rd

    o =2

    4 2

    22 2= = cm

    ra

    u =2

    2= cm

    ( ) ( )Ppr o ur r= =

    2 22

    2

    2 2 2

    Ppr = 4

    5. ra

    o =3

    3

    6 3

    32 3= = cm

    ra

    u =3

    6

    6 3

    63= = cm

    ( ) ( )Ppr o ur r= = 2 2 4 3 3 9 =

    102 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

    Sl. 2 Sl.3 Sl. 4

    Sl. 5

    Sl. 6

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    18/21

    6. r ha

    u = =3

    2cm

    ro = a

    ( )Ppr o ur r a a a a= = 2 2 2 2 223

    4

    1

    4 4

    = =

    7. sl. 1 PF = P. Pis =a a2 23

    2

    60

    360

    PF = ( )3 36 6 6

    3 32 2 2a a a

    =

    * Romb ~iji je jedan ugao 60 sastoji se od 2 jednakostrani~na trougla pa je

    P.=

    2 3

    4

    3

    2

    2 2a a

    =8. sl. 2 PF = ( ) ( )1

    6

    1

    6

    1

    625 4

    21

    6

    7

    2P OA OC2 2pr = = = =

    9. sl. 3 POD = Pis P =16 60

    360

    16 3

    4

    8

    34 3

    =

    POD = 42

    33

    cm2 OOD = AB + l = 4 +4 60

    180

    AB = OA = OB OOD =44

    34 1

    3+ = +

    cm

    10.*sl. 4 PF = 2Pis = 2360 180

    100 45

    18025

    2 2

    =

    =

    =r r

    cm2

    = 45r= 10 cm

    KRUG razni zadaci

    1.* Izra~unaj povr{inu osen~ene figure (sl. 1) u funkciji stranice kvadrata (a).2.* Izra~unaj povr{inu i obim osen~ene figure (sl. 2) u funkciji stranica pravougaonikaa

    i b, a = 2b.3. Kvadrat na slici 3 izdeljen je na 3 dela. Izrazi u procentima povr{ine svakog dela u

    odnosu na povr{inu kvadrata.

    Krug 103

    Sl. 1 Sl. 2 Sl.3

    Sl. 7

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    19/21

    4. Izra~unaj povr{inu i obim igrali{taprikazanog na sl. 4.AB = 100 mBC = 50 m

    5. Izra~unaj povr{inu i obim osen~ene figuresa slike 5. = 22 30'OA = 1 cm

    6.* Tri podudarna kruga dodiruju se spolja. Izra~unati povr{inu dela izme|u krugova ufunkciji r.

    7. Izra~unaj povr{inu i obim figure (slika 6.)8.* Doka`i da je:

    PS1 + PS2 = P ACB (sl.7) ("Hipokritovi mese~i}i")

    RE[ENJA

    1. PF = Podse~ka (ograni~enim tetivom DB i lukom DB, jer jepolovina figure P1 jednaka odse~ku DR DR).

    PF =1

    4P PDAB =

    1

    4 22

    2

    aa

    PF = ( )a a a2 2 2

    4

    2

    4 4

    2 =

    104 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

    Sl. 4

    Sl. 5

    Sl. 6 Sl. 7

    Sl. 1

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    20/21

    2. sl. 2 PF =1

    2PO+ Po + (P 2 Pods) =

    1

    2 2 2

    1

    2

    2 22a b ab b

    +

    +

    (a = 2b) PF =1

    2

    2

    2 42

    1

    2

    2 22b b b b b

    + +

    PF =b b

    b b2 2

    2 2

    2 42

    1

    2 + +

    PF = b2

    42

    +

    3. sl. 3 P1 = 50% povr{ine kvadrata jer je P1 =a 2

    2

    , P = a2

    a

    a

    2

    2

    2

    1

    1

    2

    50= = %

    P2 = ( )a a a2 2 2

    4 2 4 2 =

    ( )P

    P

    a

    a

    2

    2

    2

    4

    1

    428 5= = =

    2 2, %

    P3 = aa

    a22

    2

    41

    4 =

    100% (50% + 28,5%) = 21,5%

    4. P = P + PO+Po = AB BC +AB

    2

    BC

    2

    2

    +

    2

    P = 100 50 + 50 2 + 252 = 5000 + 2500 + 625 = 5000 + 3125

    P = 25 (200 + 125) = 125 (40 + 25) = 625 (8 + 5) m2

    OF = OO + Oo = 2r1 + 2r2 = 2 50 +2 25 = 100 +50 =150 m

    5. r= OA = 1 cm = 22 30'

    PF = PO + Pis =rr2

    2

    360

    22 30

    360 16

    15

    16

    =

    = =

    'cm2

    6. O1O2O3 je jednakostrani~an a = 2r

    PF = P 1

    2P =

    ar

    r r2 22 23

    4

    1

    2

    4 3

    4 2 =

    PF = r2 3

    2

    cm2

    7. AB = 2; MN = NP = PQ = QM = 2~etvorougao MNPQ je kvadratPF = PMNPQ povr{ina kruga upisanog u

    kvadrat MNPQ = 4 ise~ka r=2

    2

    PF = ( )2 22

    22

    42

    2

    22

    = =

    Krug 105

    Sl. 8

  • 7/29/2019 13 Zbirka Zadataka Iz Matematike VII i VIII

    21/21

    8.* Ako "mese~i}e" dopunimo odse~cima 1 i 2 dobi}emo dva polukruga konstruisananad katetama a i b i imamo polukrug nad hipotenuzom. Iz toga sledi:

    P PS S1 1+ =

    +

    +1

    2 2 2 2 2

    2 2 2a b c ab

    = P

    = +

    +

    2 4 4 4 2

    2 2 2a b c ab

    = P

    =+

    +2 4 4 2

    2 2 2a b c ab= P

    =

    +

    2 4 4 2

    2 2c c ab

    = P

    0 +ab

    2= P

    ab

    2= P T

    106 M. Kuka, V. Mijailovi} Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima