Zbirka reenih zadataka iz matematike

  • View
    35.824

  • Download
    41

Embed Size (px)

Text of Zbirka reenih zadataka iz matematike

UNIVERZITETUNOVOMSADUFAKULTETTEHNICKIHNAUKATatjanaGrbic JovankaPantovicSilviaLikavec NatasaSladojeTiborLukic LjiljanaTeofanovZbirkaresenihzadatakaizMatematikeINoviSad,2009. god.Naslov: ZbirkaresenihzadatakaizMatematikeIAutori: drTatjanaGrbic,docentFTNuNovomSadudrSilviaLikavec,docentUniverzitetauTorinu(UniversitadiTorino)mrTiborLukic,asistentFTNuNovomSadudrJovankaPantovic,vanredniprofesorFTNuNovomSadudrNatasaSladoje,docentFTNuNovomSadudrLjiljanaTeofanov,docentFTNuNovomSaduRecenzenti: drJovankaNikic,redovniprofesorFTNuNovomSadudrSilviaGilezan,redovniprofesorFTNuNovomSadudrMirjanaBorisavljevic,redovniprofesorSaobracajnogfakultetaUniverzitetauBeograduTiraz: 300Sadrzaj1 Slobodnivektori 52 Analitickageometrijauprostoru 213 Kompleksnibrojevi 614 Polinomiiracionalnefunkcije 895 Matriceideterminante 1076 Sistemilinearnihjednacina 1457 Vektorskiprostori 1698 Nizovi,granicnavrednostineprekidnostfunkcije 1919 Izvodfunkcije 22110Primenaizvoda 23511Ispitivanjefunkcija 24712Numerickoresavanjejednacina 2713PredgovorTrece izdanje ZbirkeresenihzadatakaizMatematikeI je rasprodato u veomakratkomroku, ainteresovanjezaZbirkui daljepostoji, presvegamedustu-dentimaprvegodinerazlicitihodsekaFakultetatehnickihnaukaUniverzitetauNovomSadu, ali i medustudentimadrugihfakultetakoji seuokvirukur-sevamatematikenasvojimstudijamasusrecusatemamai sadrzajimakoji suobuhvaceni Zbirkom.CetvrtoizdanjeZbirkesmopripremili sazeljomdanjenprepoznatljivsadrzajbudeodpomociusavladavanjuoblastiizMatematikeIinarednimgeneracijamastudenata. Zahvaljujemosesvimakoji sunamukazalinapostojece stamparskegreske,kojesmouovomizdanjuotklonili.StampanjeCetvrtog izdanja Zbirke resenih zadataka iz Matematike I realizo-vanojeuznansijskupodrskuTempusprojektaJEP-41099-2006,DoctoralSchoolTowardsEuropeanKnowledgeSocietyDEUKS.Veomanamjedragostosmo, zahvaljujuci ovoj podrsci, umogucnosti daveci deotirazaustupimoBiblioteci Fakulteta tehnickih nauka u Novom Sadu i da na taj nacin ovo izdanjeZbirkeucinimopristupacnimveomavelikombrojustudenata.UNovomSadu,10. avgust2009. godineAutori1Slobodni vektori UskupuE2uredenihparovatacakaprostoraEdenisemorelacijunasledecinacina) AkojeA = BiliC= D,tadaje(A, B)(C, D) A = BiC= D.b) AkojeA =Bi C =D, tadaje(A, B)(C, D) (duzABjepara-lelna,podudarnaiistoorijentisanakaoduzCD).Relacija je relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije u odnosu na relacijuzovuseslobodnivektori. SkupsvihslobodnihvektoraoznacavacemosaV. Vektor ciji je predstavnik(A, B) oznacavacemo sa AB, ili krace saa.AB Intenzitetvektora ABjemernibrojduziABioznacavasesa [AB[. Pravacvektora ABjepravacodredentackamaAiB. Smervektora AB,(A = B)jeodtackeAdotackeB. Vektor cijijeintenzitetjednak1nazivasejedinicnivektor. Vektorisujednakiakosuimjednakipravac,smeriintenzitet. VektorkodkojegjeA=Bzvacemonulavektorioznacavatisa 0ili0.Intenzitetnulavektoraje0,apravacismersenedenisu. Vektorkoji imaisti pravaci intenzitetkaovektor AB, asuprotansmer,jevektor BAinazivasesuprotanvektorvektora AB.56 1. SLOBODNIVEKTORI UskupuV denisemooperacijusabiranjavektora+nasledecinacin:AB +CD =AEgdeje BE=CD.A BECD Ugaoizmeduvektoraa= OAi b= OBjeugaoAOBpri cemusedogovornouzimadaje0 . Proizvodvektora a = 0 iskalara = 0, R je vektor a koji imaa) istipravackaoivektor a,b) intenzitet [[[a[ ic) istismerkaoivektor aakoje > 0,asuprotanakoje < 0.Akoje a = 0ili = 0,tadajea = 0. Vektors=1a1+ . . . + nan, gdesu1, . . . , n Rskalari, senazivalinearnakombinacijavektora a1, . . . , an. Dvavektora ai

bsukolinearnaakoisamoakoimajuistipravac.Nulavektorjekolinearansasvakimvektorom. Nulavektorjenormalannasvakivektor. Zatrinenulavektorakazemodasukoplanarniakoisamoakosupara-lelnisajednomravni. Skalarniproizvodvektora ai b,uoznaci a

bdenisesea

b = [a[[

b[ cos (a,

b).Osobineskalarnogproizvoda:a) aa = [a[2,b) a

b =

ba,c) a

b a

b = 0,(uslovnormalnosti,ortogonalnosti),d) R(a

b) = (a)

b =a(

b),e) a(

b +c) =a

b +ac.ZbirkaresenihzadatakaizMatematikeI 7Na osnovu denicije skalarnog proizvoda imamo da se ugao izmedu vektoraai

bmozeracunatinasledecinacin(a,

b) = arccosa

b[a[[

b[, 0 (a,

b) . Neka je a = 0. Tada je projekcijavektora bnavektor a denisana sa:pra

b = [

b[ cos (a,

b). Vektorskiproizvodvektora ai

bjevektor,uoznaci a

b,odredennasledecinacin:a) [a

b[ = [a[ [

b[ [ sin (a,

b)[,b) (a

b)a i (a

b)

b,c) vektori a,

bi a

b cinedesnisistemvektora.Osobinevektorskogproizvoda:a) a

b = (

b a),b) ( R) (a

b) = (a)

b =a (

b),c) a|

b a

b = 0(uslovparalelnosti),d) a a = 0,e) Intenzitetvektorskogproizvodadvanekolinearnavektorajednakjepovrsiniparalelogramakojijekonstruisannadtimvektorima. Mesoviti proizvod vektora a,

b i c je skalarni proizvod vektora a i

bc,tj.a(

b c).Osobinemesovitogproizvoda:a) Vektori a,

b i c su koplanarni a(

bc) = 0 (uslov koplanarnosti),b) Apsolutnavrednost mesovitogproizvodatri nekoplanarnavektorajednaka je zapremini paralelepipeda koji je konstruisan nad vek-torima a,

bi ckaoivicama. Dekartov(pravougli)koordinatnisistemuprostorujeodreden,akosu- Datetri pravekojeseobicnonazivajux, yi zi svakedvesesekupodpravimuglomutackiO(0, 0, 0).- Nasvakojoddatihpravihizabranjejedansmerinazvanpozitivan.- Na pozitivnim smerovima pravih x, y i z izabrane su tacke E1(1, 0, 0),E2(0, 1, 0)iE3(0, 0, 1)redom.8 1. SLOBODNIVEKTORIPravaxsenazivax-osailiapscisa. Pravaysenazivay-osa iliordinata.Pravaz senazivaz-osaili aplikata. TackaOsenazivakoordinatnipocetak.Uvedimooznake =OE1, =OE2i k =OE3.Vektori (, ,

k), sakoordinatnimpocetkomO, cinedesni sistemvek-tora,stoznaci darotacijavektora , kavektoru, okotackeO, uravniodredenojvektorima i ,imanajkraciputusmerusuprotnomkretanjukazaljkenasatu,gledanosakrajnjetackevektora

k.kzyxijSvakojtackiM(x, y, z) u prostoru odgovara vektor OMkoji se zovevek-torpolozaja tacke Mi on ima oblikOM= x +y +z

k. U daljem tekstuvektorpolozajatackeMoznacavacemosa OM= (x, y, z).Vektor AB,odredentackamaA(x1, y1, z1)iB(x2, y2, z2)imaoblikAB= (x2x1, y2y1, z2z1). Zaproizvoljnevektorea=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3)ic=(c1, c2, c3)iskalar Rvazi:a) a =

b a1= b1, a2= b2, a3= b3,b) (a1, a2, a3) = (a1, a2, a3),c) a +

b = (a1 +b1, a2 +b2, a3 +b3),d) a

b = a1b1 +a2b2 +a3b3,e) [a[ =

a21 +a22 +a23,f) a

b=

ka1a2a3b1b2b3

=(a2b3 a3b2) (a1b3 a3b1) + (a1b2a2b1)

k,ZbirkaresenihzadatakaizMatematikeI 9g) a(

b c)=

a1a2a3b1b2b3c1c2c3

=a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 a3b2c1 a1b3c2a2b1c3.Zadaci1. Naci intenzitetvektoraa= p 2q akoje [ p[=2, [q[=3 i( p, q) =6.Resenje:Intenzitetvektora aizracunavamokoristeciosobineskalarnogproizvoda.[a[2=aa = ( p 2q)( p 2q) ==p p 2 pq 2q p + 4qq.Koristeci poznate osobine skalarnog proizvoda pq= q p, [ p[2=p p, kaoidenicijuskalarnogproizvoda pq= [ p[[q[ cos ( p, q)imamodaje[a[2= [ p[24 pq + 4[q[2= [ p[24[ p[[q[ cos ( p, q) + 4[q[2== 22423 cos 6+ 4(3)2= 4,odaklesledidaje[a[ = 2.2. Nekasu p = m + 2ni q= 5 m4nortogonalni vektori, gdesu minjedinicnivektori.a) Akosu minortogonalnivektoriodrediti .b) Za = 1naciugaoizmeduvektora min.Resenje:Kakosu pi qortogonalni vektori njihovskalarni proizvodjejednaknuli( pq= 0). Koristeciosobineskalarnogproizvoda,dobijamodavazi: pq= ( m+ 2n)(5 m4n) = 5[m[2+ (10 4) m n 8[n[2= 0.Kakoje [m[ = [n[ = 1,vazi5 + (10 4) m n 8 = 0.10 1. SLOBODNIVEKTORIa) Naosnovuuslovazadatkami nsuortogonalni vektori, takodaje m n = 0.Uvrstavanjemuprethodnujednakostdobijamodaje =85.b) Za = 1imamo5[m[2+ 6[m[[n[ cos ( m, n) 8[n[2= 0,5 + 6 cos ( m, n) 8 = 0,odaklesledicos ( m, n) =12,pajetrazeniugao( m, n) =3.3. Datisunekolinearnivektori ai b. Nekaje p = a +5

biq= 3a

b.Odreditiparametartakodasuvektoripiqkolinearni.Resenje:Da bi vektorip i qbili kolinearni, njihov vektorski proizvod treba da budejednaknuli,tj.(a + 5

b) (3a

b) = 0.Koristeciosobinevektorskogproizvodaimamodaje3a a a

b + 15

b a 5

b

b = 0,akakoje a a =

b

b = 0 i a

b =

b asledi(15 +)(

b a) = 0.Kakosu ai

bnekolinearnivektoritoznacida b a = 0,pasledidaje = 15.4. Data su tri uzastopna temena paralelograma ABCD: A(3, 2, 0),B(3, 3, 1)iC(5, 0, 2). Odreditikoordinatecetvrtogtemena.Resenje:NekajeD(x, y, z)trazenoteme. Koristeciosobineparalelograma,imamodavaziAB=DC.Kakoje AB=OB OAi DC=OC OD,slediOB OA =OC OD, tj.ZbirkaresenihzadatakaizMatematikeI 11(3 (3), 3 (2), 1 0) = (5 x, 0 y, 2 z)(6, 1, 1) = (5 x, y, 2 z).Izjednacavanjemodgovarajucihkoordinatadobijamosistemjednacina5 x = 6, y= 1, 2 z= 1,cijeresenjejex = 1, y= 1, z= 1,pajetrazenotemeparalelogramaD(1, 1, 1).ADCB5. Dokazatidajelinijakojaspajasredinedvestranicetrouglapa-ralelnatrecoj stranici i jednakanjenoj polovini (takvalinijasenazivasrednjalinijatrougla).Resenje:Neka su Ni Msredine stranica BCi ACtrougla ABCredom. Tada vaziAM=MC=12AC iCN=NB=12CB,odaklejeMN=MC +CN=12AC +12CB=12(AC +CB) =12AB,stojeitrebalodokazati.A BN MC12 1. SLOBODNIVEKTORI6. Dati suvektori a=(4, 3, 1),

b=(5, 2, 3), c=(1, 3, 1) i

d=(2, 4, 3). Odreditiskalarniproizvodvektoraa)ai b.b)ci

d.c)a +

bia

b.d) 2c +

dic 3

d.Resenje:a) a

b = 45 + (3)(2) + 1(3) = 23.b) c

d = 2 12 3 = 17.c) a +

b = (4 + 5, 3 + (2), 1 + (3)) = (9, 5, 2)a

b = (4 5, 3 (2), 1 (3)) = (1, 1, 4)(a +

b)(a

b) = 9 + 5 8 = 12.d) 2c = (21, 23, 2(1)) = (2, 6, 2)2c +

d = (2 2, 6 4, 2 + 3) = (0, 2, 1)3

d = (3(2), 3(4), 33) = (6, 12, 9)c 3

d = (1 + 6, 3 + 12, 1 9) = (7, 15, 10)(2c +

d)(c 3

d) = 0 + 30 10 = 20.7. Dati suvektoria=(4, 3, 1) i

b=(5, 2, 3). Odrediti intenzitetvektoraa)a.b)

b.c)a +

b.d)a

b.Resenje:a) [a[ =