Zbirka reenih ispitnih zadataka iz verovatnoce, statistike i slucajnih

  • View
    612

  • Download
    74

Embed Size (px)

Text of Zbirka reenih ispitnih zadataka iz verovatnoce, statistike i slucajnih

  • UNIVERZITET U NOVOM SADU

    FAKULTET TEHNICKIH NAUKA

    Tatjana Grbic Ljubo Nedovic

    Zbirka resenih ispitnih zadataka

    iz verovatnoce, statistike i

    slucajnih procesa

    Novi Sad, 2001. god.

  • Naslov: Zbirka resenih ispitnih zadataka iz verovatnoce,statistike i slucajnih procesa

    Autori: mr Tatjana Grbic, asistent naFakultetu tehnickih nauka u Novom Sadu

    Ljubo Nedovic, asistent naFakultetu tehnickih nauka u Novom Sadu

    Recenzenti: dr Mila Stojakovic, redovni profesor naFakultetu tehnickih nauka u Novom Sadu

    dr Jovan Malisic, redovni profesor naMatematickom fakultetu u Beogradu

    dr Zorana Luzanin, docent naPrirodno-matematickom fakultetu u Novom Sadu

    mr Dragan -Doric, asistent naFakultetu organizacionih nauka u Beogradu

    mr Emilija Nikolic -Doric, asistent naPoljoprivrednom fakultetu u Novom Sadu

    mr Zoran Ovcin, asistent naFakultetu tehnickih nauka u Novom Sadu

    Kompjuterski slog: Ljubo Nedovic

    Izdavac: Fakultet tehnickih nauka, Novi Sad

    Tiraz: 100 primeraka

    Autori zadrzavaju sva prava. Bez pismene saglasnosti autora nije dozvoljenoreprodukovanje (fotokopiranje, fotografisanje, magnetni upis ili umnozavanjena bilo koji nacin) ili ponovno objavljivanje sadrzaja (u celini ili u delovima)ove knjige.

  • Predgovor

    Zbirka resenih ispitnih zadataka iz verovatnoce, statistike i slucajnih procesasadrzi zadatke sa ispita Slucajni procesi iz perioda januar 1999. - oktobar2001. godine koji su odrzani na elektrotehnickom odseku Fakulteta tehnickihnauka u Novom Sadu. Svaki rok sadrzi 6-9 zadataka u zavisnosti od vazecegplana i programa.Ova Zbirka namenjena je prvenstveno studentima elektrotehnickog odseka Fa-kulteta tehnickih nauka u Novom Sadu, gde se verovatnoca, statistika i slucajniprocesi predaju na drugoj (smer racunarstvo) i trecoj (smer telekomunikacije)godini studija. Pored toga Zbirka se preporucuje i studentima saobracajnogodseka koji na drugoj godini studija u okviru predmeta Matematicka stati-stikaizucavaju oblasti obradene u ovoj zbirci. Autori se nadaju da ce je sauspehom koristiti i studenti ostalih odseka Fakulteta tehnickih nauka u NovomSadu, kao i studenti drugih fakulteta koji izucavaju osnove verovatnoce, stati-stike i slucajnih procesa. Zbirku preporucujemo i talentovanim srednjoskolcimakoji u cetvrtom razredu izucavaju verovatnocu i statistiku.U Zbirci smo koristili definicije i oznake kao u knjizi Slucajni procesi MileStojakovic. Takode su za testiranje hipoteza, intervale poverenja i centralnugranicnu teoremu koriscene tablice iz iste knjige.U toku 1999. godine u predlaganju nekih zadataka je ucestvovao Zoran Ovcin,te mu se ovom prilikom zahvaljujemo.Zahvaljujemo se recenzentima Stojakovic dr Mili , Malisic dr Jovanu, Luzanindr Zorani , -Doric mr Draganu , Nikolic -Doric mr Emiliji i Ovcin mr Zoranu naveoma korisnim sugestijama koje su doprinele poboljsanju ove Zbirke.Unapred se zahvaljujemo svima koji citajuci ovaj tekst ukazu na eventualnegreske, koje bismo otklonili u narednom izdanju Zbirke.Finansijsku pomoc za izdavanje Zbirke pruzili su: Vista king (Novi Sad),Pagal (Ratkovo), Sitoplast (Ratkovo) i Tehnopromet Gero(Ratkovo), teim se i ovom prilikom zahvaljujemo.

    Novi Sad, decembar 2001. Autori

  • 11.01.1999.

    1. Aparat sadrzi 4 procesora tako da su svaka dva direktno povezana. Vero-vatnoca neispravnosti svake veze je p (p (0, 1)) nezavisno od ispravnostiostalih veza. Aparat je ispravan ako i samo ako postoji direktna iliposredna veza izmedu svaka dva procesora. Naci verovatnocu ispravnostiaparata.

    2. Igrac baca homogenu kocku sa numerisanim stranama sve do prve pojavebroja deljivog sa 3. Ako se broj deljiv sa 3 prvi put pojavi u neparnompo redu bacanju, igrac dobije m dinara, a inace gubi n dinara. Nekaslucajna promenljiva X predstavlja dobitak (odnosno gubitak) igraca udinarima. Odrediti vezu izmedu parametara m i n tako da ocekivani do-bitak igraca (matematicko ocekivanje slucajne promenljive X) bude nula.

    3. Data je slucajna promenljiva X sa uniformnom U (1, 4) raspodelom. Naciraspodelu slucajne promenljive (Y,Z), gde je Y = X2 1 i Z = eX 2.

    4. Slucajna promenljiva X predstavlja broj automobila koji prolaze kroz nekuposmatranu raskrsnicu tokom jednog minuta ima (u svakoj minuti) Poa-sonovu raspodelu sa parametrom = 30.

    (a) Naci verovatnocu da tokom 20 minuta kroz raskrsnicu prode naj-manje 200 automobila.

    (b) Odrediti maksimalnu vrednost broja m takvog da sa verovatnocomvecom od 0.9 broj automobila koji za 20 minuta prolaze kroz raskrsni-cu bude bar m.

    5. Dat je homogen lanac Markova ciji je skup mogucih stanja S prebrojiv(S = {a1, a2, . . . , an, . . .}). Verovatnoce prelaza su definisane na sledecinacin: P (Xn+1 = a1 | Xn = ai) = 13 ,

    P (Xn+1 = ai+1 | Xn = ai) = 23 ,P (Xn+1 = aj | Xn = ai) = 0, j 6 {1, i + 1} ,

    gde n N, i N. Neka su pocetne verovatnoce zadate saP (X1 = a1) = 1 (odnosno p1 = [1, 0, 0, . . .]) .

    (a) Naci verovatnoce stanja za n = 3 (tj. raspodelu za X3).

    (b) Naci matricu prelaza P za jedan korak.

    (c) Naci finalne verovatnoce.

    6. Slucajna promenljiva X ima raspodelu U (0, b), b > 0. Na osnovuprostog uzorka obima n dobijena je ocena b = 2Xn.

    (a) Ispitati da li je navedena ocena centrirana.

    (b) Ispitati postojanost (stabilnost) ocene.

    1

  • Resenja:

    1. U aparatu ima ukupno(

    42

    )= 6 direktnih veza. Posmatrajmo sledece

    dogadaje i njihove verovatnoce:

    A0 - svih 6 veza su ispravne, sledi P (A0) = (1 p)6,A1 - neispravna je tacno jedna (bilo koja) veza; posto veza ima

    6, sledi P (A1) = 6p (1 p)5,A2 - neispravne su tacno dve (bilo koje) veze; posto parova veza

    ima(

    62

    )= 15, sledi P (A2) = 15p2 (1 p)4,

    A3 - neispravne su tacno 3 veze pri cemu ne pripadaju sve trijednom procesoru; posto ovakvih trojki veza medu proce-sorima ima

    (63

    ) 4 = 16, sledi P (A3) = 16p3 (1 p)3,A - aparat je ispravan.

    @

    @@@@f

    f

    f

    f

    Dogadaji Ai, i {0, 1, 2, 3} su disjunktni izmedu sebe i pri tome jeA = A0 + A1 + A2 + A3 pa je:

    P (A) = P (A0 + A1 + A2 + A3) = P (A0) + P (A1) + P (A2) + P (A3) =

    = (1 p)3((1 p)3 + 6p (1 p)2 + 15p2 (1 p) + 16p3

    )=

    = 1 4p3 3p4 + 12p5 6p6.

    2. Slucajna promenljiva X ima zakon raspodele X :( n m

    p q

    ), gde

    je p verovatnoca da je broj deljiv sa 3 prvi put pao u parnom bacanju, aq = 1 p je verovatnoca da je broj deljiv sa 3 prvi put pao u neparnombacanju. Ako sa Ai (i N) oznacimo dogadaj koji se realizuje kadapri i-tom bacanju kocke padne broj deljiv sa 3 (dakle, 3 ili 6), tada jeP (A)i =

    13 i P

    (Ai

    )= 23 odakle sledi

    p = P (X = n) = P (A1A2 + A1A2A3A4 + A1A2A3A4A5A6 + . . .)

    =[1]= P

    (A1A2

    )+ P

    (A1A2A3A4

    )+ P

    (A1A2A3A4A5A6

    )+ . . . =

    [2]= P

    (A1

    )P (A2) + P

    (A1

    )P

    (A2

    )P

    (A3

    )P (A4)+

    +P(A1

    )P

    (A2

    )P

    (A3

    )P

    (A4

    )P

    (A5

    )P (A6) + . . . =

    = 23 13 + 23 23 23 13 + 23 23 23 23 23 13 + . . .

    = 29

    k=0

    (49

    )k = 29 11 49 =25 .

    [1] - Koristimo disjunktnost dogadaja.

    2

  • [2] - Koristimo nezavisnost dogadaja Ai.

    Odatle je q = P (X = m) = 1 p = 35 .Sada dobijamo E (X) = n 25 + m 35 pa je E (X) = 0 za 2n + 3m = 0odnosno n = 32m. Dakle, ocekivani dobitak (gubitak) igraca je jednaknuli za (m,n) {(k, 32k

    ) k (0,)}.3. X : U (1, 4) znaci da je

    X (x) ={

    13 , x (1, 4)0 , x 6 (1, 4) i FX (x) =

    0 , x 1x1

    3 , x (1, 4]1 , x > 4

    .

    Sledi da je:

    FY,Z (y, z) = P (Y < y , Z < z) = P(X2 1 < y , eX 2 < z) =

    = P(X2 < 1 + y , eX < 2 + z

    )= . . .

    Dogadaj X2 < 1 + y je nemoguc za 1 + y 0, a za 1 + y > 0 je ekviva-lentan sa 1 + y < X < 1 + y. Dogadaj eX < 2 + z je nemoguc za2 + z 0, a za 2 + z > 0 je ekvivalentan sa X < ln (2 + z). Na osnovunavedenog dobijamo sledece slucajeve i odgovarajuce oblasti prikazane naslici:

    -

    6

    y

    z

    1

    1

    2

    `z = e

    1+y 2

    z = e

    1+y 2I

    II

    III

    IV

    ....................................................................................................................

    ..................................................................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ................

    ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

    ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................

    ....................................................................................................