Neverovatno verovatni dogadjajipetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/NeverovatniDogadjaji_AndrejaIlic.pdf · Uslovne verovatnoce. Nezavisnost dogadjaja´ Verovatnoca´ Od formalne

Prostor verovatnocaSlucajne promenjive

Probability makes counting (sometimes) easy

Neverovatno verovatni dogadjaji

Andreja Ilic

Univerzitet u NišuPrirodno Matematicki Fakultet

mart 2010

Andreja Ilic Neverovatno verovatni dogadjaji



Prostor slucajnih ishoda i σ-polje dogadjajaVerovatnoca. Osnovne osobineUslovne verovatnoce. Nezavisnost dogadjaja

The theory of chance consists in reducing all the events of the samekind to a certain number of cases equally possible, that is to say, tosuch as we may be equally undecided about in regard to their exis-tence, and in determining the number of cases favorable to the eventwhose probability is sought. The ratio of this number to that of all thecases possible is the measure of this probability, which is thus simply afraction whose numerator is the number of favorable cases and whosedenominator is the number of all the cases possible.

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)A Philosophical Essay on Probabilitie

If a random experiment can result in N mutually exclusive and equallylikely outcomes and if NA of these outcomes result in the occurrenceof the event A, the probability of A is defined by P(A) = NA

N





Uvod

Teorija verovatnoce (eng. Probability theory) predstavlja granumatematike koja se bavi ’slucajnim’ procesima i dogadjajima uprirodi.

Ova teorija vuce korene iz razmatranja raznih igara na srecu (gamesof chanse, problem of points...) pocetkom 17. veka.

U pocetku moguci ishodi slucajnih dogadjaja su bili diskretni. Takviproblemi su zahtevali samo, da kažemo, cistu kombinatoriku.

Aksiomatski teoriju verovatnoce je uveo Andrey Nikolaevich Kol-mogorov u 19. veku.





Problem (Problem of points)

Two equally skilled players are interrupted while playing a game ofchance for a certain amount of money. Given the score of the gameat that point, how should the stakes be divided?





Osnovni razlog nastanka i razvoja verovatnoce je taj što se umasovnim pojavama zapaža da se pojedini dogadjaji realizuju sarelativno stabilnom frekvencijom.

Bacajuci simetricni novcic više puta, ukoliko sa Sn oznacimo brojpalih pisama u n bacanja možemo dobiti:

Opažanje

Frekvencija Snn ne odsputa mnogo od broja 1

2

Teorema (Bernulijev zakon velikih brojeva)

Pω : |Sn(ω)

n− 1

2| ≥ ε ≤ 1

4nε2







Opažanje


2


Pω : |Sn(ω)

n− 1

2| ≥ ε ≤ 1

4nε2







Opažanje


2


Pω : |Sn(ω)

n− 1

2| ≥ ε ≤ 1

4nε2





Prostor slucajnih ishoda i σ-polje dogadjaja

Teorija verovatnoce je matematicka disciplina koja proucava sluca-jne eksperimente.

Svakom eksperimentu pridružujemo skup svih mogucih ishodakoji zovemo prostorom elementarnih dogadjaja, a oznacavamoga sa Ω.

Neke od podskupova skupa Ω zvacemo dogadjajima. Klasu svihdogadjaja oznacicemo sa F .

Kako su dogadjaji definisani preko skupova, osnovne skupovneoperacije možemo tumaciti u terminima realizacije dogadjaja.

Navedene operacije nas navode na konstrukciju novih dogadjajapreko postojecih.





Definicija

Dat je prostor elementarnih dogadjaja Ω i klasa njegovih podskupovaF. Za klasu F kažemo da je algebra dogadjaja ukoliko zadovoljavauslove:

Ω ∈ FAko je A ∈ F, tada je i Ac ∈ FAko je A,B ∈ F, tada je i A ∪ B ∈ F

Ukoliko pored gornjih svojstva važi i:Ako je A1,A2, . . . ∈ F, onda je ∪+∞i=1 Ai ∈ F

tada klasu F nazivamo σ-algebrom dogadjaja na prostoru ishoda Ω.

Neke od trivijalnih posledica su da i nemoguc dogadjaj pripada algebrikao i prebrojiv odnosno konacan presek dogadjaja iz klase F .

Pitanje: Šta je klasa F definisana nad skupom N, koja se sastoji odonih podskupova koji su ili konacni ili je njihov komplement konacan?





Definicija

Dat je prostor elementarnih dogadjaja Ω i klasa njegovih podskupovaF. Za klasu F kažemo da je algebra dogadjaja ukoliko zadovoljavauslove:

Ω ∈ FAko je A ∈ F, tada je i Ac ∈ FAko je A,B ∈ F, tada je i A ∪ B ∈ F

Ukoliko pored gornjih svojstva važi i:Ako je A1,A2, . . . ∈ F, onda je ∪+∞i=1 Ai ∈ F

tada klasu F nazivamo σ-algebrom dogadjaja na prostoru ishoda Ω.

Neke od trivijalnih posledica su da i nemoguc dogadjaj pripada algebrikao i prebrojiv odnosno konacan presek dogadjaja iz klase F .

Pitanje: Šta je klasa F definisana nad skupom N, koja se sastoji odonih podskupova koji su ili konacni ili je njihov komplement konacan?





Postavlja se pitanje kako izabrati odgovarajucu σ-algebru?

Familija svih σ-algebri nad istim prostorom je zatvorena za op-eraciju preseka.

Cesto nailazimo na problem definisanja algebre koja je minimalna(u smislu inkluzije) i koja sadrži odredjeni skup dogadjaja.

Definicija

Minimalna σ-algebra generisana kolekcijom K , u oznaci σ[K ], nadprostorom Ω je minimalna σ-algebra u smislu inkluzije, koja sadržielemente kolekcije K .








Definicija









Definicija






Borelova σ-algebra BNeka je prostor ishoda jednak skupu R i neka je kolekcija K data sa:

K = (a,b] : a,b ∈ R,a < b

Minimalna σ-algebra nad kolekcijom K naziva se Borelova σ-algebra.Njeni elementi se nazivaju Borelovi skupovi.

Postavlja se pitanje kako izgledaju ovi skupovi? Da li možemoopisati na neki nacin Borelove skupove?

Borelova algebra ima moc kontinuma.

’Najjednostavniji’ ne-Borelov skup je:

x = a0 +1

a1 + 1a2+

1a3+...

pri cemu niza a zadovoljava uslova da sadrži podniz takava dasvaki clan deli susedni.





Verovatnoca

Od formalne definicije verovatnoce zahtevacemo da zadovoljava onasvojstva koja proisticu iz predstave ’inutuitivne’ verovatnoce.

Definicija

Verovatnoca P je funkcija definisana nad σ-algebrom F u skuprealnih brojeva koja zadovoljava uslove:

za svako A ∈ F važi P(A) ≥ 0 (ne negativnost)P(Ω) = 1 (normiranost)ako su An ∈ F ,n ∈ N uzajemno disjunktni dogadjaji tada je

P(∞∑

k=1

Ak ) =∞∑

k=1

P(Ak ) (σ-aditivnost)





Verovatnoca

Od formalne definicije verovatnoce zahtevacemo da zadovoljava onasvojstva koja proisticu iz predstave ’inutuitivne’ verovatnoce.

Definicija

Verovatnoca P je funkcija definisana nad σ-algebrom F u skuprealnih brojeva koja zadovoljava uslove:

za svako A ∈ F važi P(A) ≥ 0 (ne negativnost)P(Ω) = 1 (normiranost)ako su An ∈ F ,n ∈ N uzajemno disjunktni dogadjaji tada je

P(∞∑

k=1

Ak ) =∞∑

k=1

P(Ak ) (σ-aditivnost)





Neke od osnovnih osobina funkcije verovatnoce dati su u sledecoj

Lema1 Verovatnoca nemoguceg dogadjaja: P(∅) = 0

2 Konacna aditivnost: Ako su A1,A2, . . . ,An disjunktni dogadjajionda važi P(

∑nk=1 Ak ) =

∑nk=1 P(Ak )

3 Verovatnoca suprotnog dogadjaja: P(Ac) = 1− P(A)

4 Ako je A ⊂ B tada je P(A) ≤ P(B)

5 Lema o pokrivanju: P(A1 ∪ A2 ∪ . . .) ≤ P(A1) + P(A2) + . . .

6 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(AB)





Prostor verovatnoca

Definicija (Osnovna definicija - Kolmogorobljeve aksiome)

Uredjena trojka (Ω,F ,P) gde je:Ω - prostor ishoda slucajnog eksperimentaF - σ-algebra podskupova skupa Ω

P - verovatnoca definisana na klasi Fzove se prostor verovatnoce ili verovatnosni model razmatranogslucajnog eksperimenta.

Zadaci koji se rešavaju u teoriji verovatnoca imaju sledecu shemu: Datje prostor verovatnoca a treba odrediti verovatnocu nekog konkretnogdogadjaja. Naravno postavlja se pitanje kako izabrati model. Zadatogovog tipa rešava matematicka statistika.





Bertrand’s paradox

Problem

Dat je jedinicni krug opisan oko jednakostranicnog trougla. Kolika jeverovatnoca da je slucajno izabrana tetiva u krugu veca od stranicetrougla?

P(A) = 13 P(A) = 1

2 P(A) = 14






Problem


P(A) = 13 P(A) = 1

2 P(A) = 14






Problem


P(A) = 13 P(A) = 1

2 P(A) = 14






Problem


P(A) = 13 P(A) = 1

2 P(A) = 14






Problem


P(A) = 13 P(A) = 1

2 P(A) = 14





Konacan prostor verovatnoce

Neka je Ω = ω1, ω2, . . . , ωn gde je n konacan broj. Pored toga nekasu p1,p2, . . . ,pn brojevi koji zadovoljavaju da je pi ≥ 0 i

∑ni=1 pi = 1.

Definišimo klasu F kao partitivni skup skup Ω.

Funkciju verovantoce definišemo kao:

P(A) =∑

i:wi∈A

pi

Ovakav prost verovatnoce (Ω,F ,P) se naziva konacan prostor verovat-noce. Ukoliko je pi = 1

n imamo klasicnu definiciju verovatnoce (psi-hološku).







∑ni=1 pi = 1.



P(A) =∑

i:wi∈A

pi









∑ni=1 pi = 1.



P(A) =∑

i:wi∈A

pi







Paradox de Méré-a i rodjendana

Problem (Paradox de Méré-a)

Posmatrajuci veliki broj puta igru koja se sastojala u bacanju tri kockiceza igru de Méré je konstatovao da cešce pada zbir 11 nego zbir 12,dok je broj ishoda koji dovode do ovih suma jednak. Da li je de Mérébio u pravu?

Moguci ishodi za zbirove 11 odnosno 12:

(6,4,1), (6,3,2), (5,5,1), (5,4,2), (5,3,3), (4,4,3)

(6,5,1), (6,4,2), (6,3,3), (5,5,2), (5,5,3), (4,4,4)

Problem (Paradox rodjendana)

Koliki je minimalnoi broj ljudi potreban da bude u grupi tako da jeverovatnoca da bar dve osobe imaju istog dana rodjendan bude veciod 50%?





Uslovne verovatnoce. Nezavisnost dogadjaja

Ako nam je poznato ili pretpostavljamo realizaciju dogadjaja A, tomože da utice na verovatnocu nekog drugog dogadjaja B.

Neka su A i B dogadjaji iz istog prostora verovatnoce, pri cemu jeP(A) > 0. Uslovna verovatnoca dogadjaja B pri uslovu A je brojP(B|A) koji se definiše kao

P(B|A) =P(AB)

P(A)

Teorema

P(·|A), gde je A dogadja takav da je P(A) > 0, definiše novuverovatnocu nad merljivim prostorom (Ω,F ).

Slucaj kada je P(A) = 0 je dosta komplokovaniji i ovde ga necemorazmatrati.





Teorema (Teorema potpune verovatnoce)

Ako su A1,A2, . . . ,An uzajamno disjunktni dogadjaji pri cemu jeP(Ai ) > 0 i ako je ∪n

i=1Ai = Ω, onda je za svako B ∈ F

P(B) =n∑

k=1

P(Ak )P(B|Ak )

Sistem dogadjaja iz gore navedene teoreme naziva se potpun sistemdogadjaja.

Teorema (Bajesova formula)

Pod uslovima iz prethodne teoreme važi

P(Ak |B) =P(Ak )P(B|Ak )∑ni=1 P(Ai )P(B|Ai )





Standardan primer uslovne verovatnoce:U nekoj fabrici 40% prozivoda je proizvedeno na mašini I, 24% namašini II i 35% na mašini tri. Verovatnoce defekata su redom 0.05,0.07 i 0.03. Kolika je verovatnoca na nasumice izabran proizvod budedefektan?

Rešenje: Definišemo redom dogadjaje:

Ak - proizvod je proizveden na k -toj mašiniB - izabrani proizvod je defektan

Sada sve racunamo preko Teoreme potpune verovatnoce.





Standardan primer uslovne verovatnoce:U nekoj fabrici 40% prozivoda je proizvedeno na mašini I, 24% namašini II i 35% na mašini tri. Verovatnoce defekata su redom 0.05,0.07 i 0.03. Kolika je verovatnoca na nasumice izabran proizvod budedefektan?

Rešenje: Definišemo redom dogadjaje:

Ak - proizvod je proizveden na k -toj mašiniB - izabrani proizvod je defektan

Sada sve racunamo preko Teoreme potpune verovatnoce.





The Monty Hall 3 Door Problem

Ovo je verovatno jedan od najcudnijih a sa druge strane veoma jed-nostavnih problema verovatnoce.

Problem (The Monty Hall 3 Door Problem)

Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of threedoors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You picka door, say No. 1, and the host, who knows what’s behind the doors,opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you,"Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch yourchoice?









Bertrand’s box paradox

Problem (Bertrand’s box paradox)

U kutiji se nalaze tri karte: jedna crvena sa obe strane, druga crna saobe strane i jedna koja je crveno-crna. Nasumicno je izvucena jednakarta i stavljena na sto. Vidljiva strana te karte je crvena. Kolika jeverovatnoca da je i donja strane crvena?





Three gunfighters paradox

Problem (Three gunfighters paradox)

Tri osobe A, B i C su postavljeni u temenima jednakostranickog trouglai medjusobno su se izazvali na duel. Verovatnoce pogotka osoba su0.3, 1.0 i 0.5 redom (naravno pretpostavlja se da je verovatnoca dapogodi bilo šta drugo u šta ne puca 0). Dogovorili su se da ce redompucati kao u nizu ABCABCABC..., naravno pod uslovom da taj koji jena redu da puca živ, inace se on preskace. Možemo pretpostaviti dasvako od njih želi da maksimizuje svoj dobitak (dužinu života jelte).Pitanje koje se postavlja jeste: šta osoba A treba da uradi?





Nezavisnost dogadjaja

Intuitivno predstavu o nezavisnosti dogadjaja A od dogadjaja B možemomatematicki formulisati kao P(B|A) = P(B).

Definicija

Dogadjaji A i B su (stohasticki) nezavisni ukoliko je

P(AB) = P(A) · P(B)

Treba napomenuti da je nezavisnost definisana preko verovatnoce širipojam od inuitivne predstave o nezavisnosti dogadjaja.

Primer: Iz špila od 32 karte se bira jedna karta. Neka je A dogadjaj daje izvecen pik i B dogadjaj da je izvucena dama. Da li su oni nezavisni?





Medical test paradox

Problem (Medical test paradox)

Postmatrajmo slucajnu bolest X. Bolest X je relativno retka, dakle imaje svaki 10.000 covek. Test za datu bolest ima tacnost 99%. Vi ste setestirali i test je bio pozitivan. Kolika je verovatnoca da vi imate ovubolest?





Teorema (Neprekidnost funkcije verovatnoce)

Ako je niz dogadjaja A1,A2,A3, . . . monotono neopadajuci, tj. važiA1 ⊆ A2 ⊆ . . ., tada je

P(∞⋃i=1

Ai ) = limn→∞

P(An)

Zanimljivo pitanjce: Opisati dogadjaj da se realizovalo beskonacnomnogo dogadjaja iz niza dogadjaja A1,A2,A3, . . .!

B =∞⋂

n=1

(∞⋃

k=n

Ak )





Teorema (Neprekidnost funkcije verovatnoce)

Ako je niz dogadjaja A1,A2,A3, . . . monotono neopadajuci, tj. važiA1 ⊆ A2 ⊆ . . ., tada je

P(∞⋃i=1

Ai ) = limn→∞

P(An)

Zanimljivo pitanjce: Opisati dogadjaj da se realizovalo beskonacnomnogo dogadjaja iz niza dogadjaja A1,A2,A3, . . .!

B =∞⋂

n=1

(∞⋃

k=n

Ak )





Teorema (Borel-Kantelijeva lema I)

Ako je red∑∞

i=1 P(Ai ) konvergenta, onda se sa verovatnocom 1 možerealizovati samo konacno mnogo dogadjaja iz niza dogadjaja (Ai ).

Definicija

Dogadjaji A1,A2, . . . su nezavisni ako za svaki konacni niz indeksak1 < k2 < . . . < kn važi

P(Ak1Ak2 . . .Akn ) = P(Ak1 ) . . .P(Akn )

Teorema (Borel-Kantelijeva lema II)

Ako je red∑∞

i=1 P(Ai ) divergira, onda se sa verovatnocom 1 možerealizovati beskonacno mnogo dogadjaja iz niza nezavisnih dogadjajaA1,A2, . . ..





Infinite monkey theorem

Problem (Infinite monkey theorem)

Majmun Djokica je za rodjendan dobio kompijuter. Ukoliko pret-postavimo da majmunce uniformno slucajno udara dugmice na tas-taturi, koja je verovatnoca da ce on u nekom trenutku otkucati Šek-spirovog Hamleta?





Pass the Candy problem

Problem (Pass the Candy problem)Pass the Candy is game involving n students, one professor, and a bowl ofcandy. The students are numbered 1 to n, and the professor is numbered 0.Everyone stands in a circle as shown below.Initially, the professor has the candy bowl. He withdraws a piece of candy andthen passes the bowl either left or right, with equal probability. Each personwho receives the bowl thereafter does the same thing: he or she takes apiece of candy from the bowl and then passes it either left or right, with equalprobability. In effect, the bowl goes for a random walk around the circle ofplayers. The last person to receive a piece of candy is declared the winnerand gets to keep the entire bowl. Which player is most likely to win?



Probability makes counting (sometimes) easyPojam slucajne promenjive

Pojam slucajne promenjive

Zašto želimo da kreiramo preslikavanje elemenatarnih dogadjajana realne brojeve?

Kako da definišemo dogadjaje (da slucajna promenjiva uzmeneke brojeve)?

Definicija

Slucajna promenjiva X je finitna funkcija iz Ω u R koja je F meriljiva tj.koja je takva da za svako x ∈ R važi:

ω : X (ω) ≤ x = X < x ∈ F

Teorema

Ako je X slucajna promenjviva, tada je σ-polje F (X ) podpolje σ-poljaF .







Definicija


ω : X (ω) ≤ x = X < x ∈ F

Teorema








Definicija


ω : X (ω) ≤ x = X < x ∈ F

Teorema








Definicija


ω : X (ω) ≤ x = X < x ∈ F

Teorema





Teorema

Slucajna promenjiva X definisana nad (Ω,F ,P) definiše prostorverovatnoce (R,B,PX ) na sledeci nacin

PX (S) = P(X−1(S))

Sada na osnovu slucajne promenjive X možemo uvesti funkciju raspodelete slucajne promenjive koju definišemo kao:

F (X ) = PX < x = PX ((−∞, x))

Takodje, f-ja raspodele jednoznocno odredjuje verovatnocu.




Teorema


PX (S) = P(X−1(S))


F (X ) = PX < x = PX ((−∞, x))





Teorema


PX (S) = P(X−1(S))


F (X ) = PX < x = PX ((−∞, x))





Fair game problem

Problem (Fair game problem)

Suppose that you have 1$ and I have 1,000,000 $. We repeatedlymake fair 1$ bets. What is the expected number of bets until one orthe other of us goes broke?




Probabilistic methodPrimer

Probabilistic method

Probabilistic method je nekonstruktivni metod koji koristimo pridokazivanju postojanja odredjeni kombinatornih objekata.

Pionir u ovoj oblasti je niko drugi nego Paul Erdõs.

Nekonstruktivni metod oznacava dokazivanje postojanja objektabez eksplitinog navodjenja niti primera niti algoritma za nalaženjeistog.

TeoremaIf, in a given set of object, the probability that an object does not havea ceratain property is less than 1, then there must exist an object withthis propery.




Probabilistic methodPrimer

Posmatrajmo familiju F podskupova skupa A velicine d ≥ 2. Svakiod elemenata skupa A cemo obojiti u jednu od dve boje: crnu ibelu. Za bojenje kažemo da je dobro u koliko svaki podskup izfamilije F nije jednobojan.

Za dato d oznacimo m(d) najvecu kardinalnost familije F .

Želimo da nadjemo neku vezu izmedju brojeva d i m(d).

Problem

Svaka familija velicine 2d−1 skupova velicine d je 2-obojiva.

m(d) ≥ 2d−1


Documents

Neverovatno verovatni dogadjajipetnicamat.rs/wp-content/uploads/2014/03/NeverovatniDogadjaji_AndrejaIlic.pdf · Uslovne verovatnoce. Nezavisnost dogadjaja´ Verovatnoca´ Od formalne