Stevan Opanarev, struk. in. spec.

NACRTNA GEOMETRIJA PEDESET REENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE

Srbobran, 2013.

Stevan Opanarev, strukovni inenjer specijalista

NACRTNA GEOMETRIJA PEDESET REENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE

Elektronska knjiga (E knjiga)

autor, urednik, tehniki urednik i grafiki dizajn

Stevan Opanarev, struk. in. spec.

recenzenti

prof. dr Katarina Jevti Novakovi, dipl. in. arh., profesor na Visokoj graevinsko - geodetskoj koli u Beogradu

Milenko Petkovi, dipl. in. arh., urednik i autor internet portala koji je posveen nacrtnoj geometriji http://nacrtna-geometrija.blogspot.com/

lektor

prof. Pavle Papulin

prodaja E knjige

Amazon Digital Services, Inc. (web sajt http://www.amazon.com/ )

IZDANJE U BOJI

Umnoavanje i tampa cd-a

Copy Centar

Beograd

web sajt

Zdravka elara 12 http://www.copy.rs

tira

100 primeraka

CIP - ,

514 . 18 ( 075 . 8 ) ( 076 )

,

Nacrtna geometrija [Elektronski izvor] : pedeset reenih zadataka sa elaboratima za vebe / Stevan Opanarev . - Srbobran : S. Opanarev , 2013 (Beograd : Copy Centar) . - 1 elektronski optiki disk (CD-ROM) : tekst , slika ; 12 cm

Tira 100 .

ISBN 978-86-914831-2-8

a ) -

COBISS . SR - ID 277788167

NAPOMENA: Svako neovlaeno korienje, umnoavanje, izmena, prodaja i distribuiranje materijala, u celini ili delimino, sa

ovog CD medija je nezakonito. Svako krenje autorskih prava bie sankcionisano u skladu sa zakonom.

izdava samostalno

RECENZIJA ELEKTRONSKE KNJIGE

NACRTNA GEOMETRIJA PEDESET REENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE

autor: Stevan Opanarev, struk. in. - spec.

recenzent: dr Katarina Jevti Novakovi, dipl. in. arh.

Elektronska knjiga NACRTNA GEOMETRIJA - PEDESET REENIH

ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE predstavlja bogatu zbirku

geometrijskih problema, namenjenu ne samo studentima tehnikih fakulteta i

grafikog dizajna nego i iroj italakoj publici. Moemo je preporuiti i

profesorima srednjih kola, koji bi zanimljivim zadacima inspirisali uenike i

pribliili im logiku prostornog razmiljanja. Redosled zadataka, u okviru svakog

poglavlja odraava iskustvo autora za prirodan tok i razvoj ideja u okviru jednog

uvodnog kursa nacrtne geometrije.

Kroz pet poglavlja - 1. OKTANTI, 2. TAKA, PRAVA I RAVAN,

3. TRANSFORMACIJA, 4. ROTACIJA i 5. OBARANJE U PROJEKCIJSKIM

RAVNIMA, na 263 strane, bogato ilustrovane grafikim prikazima i 14 strana

elaborata, namenjenih za samostalnu vebu, autor postupno, reavajui

zadatke, korak po korak, omoguava itaocu lako praenje materije. Detaljnim

reavanjem svakog zadatka autor je eleo da pomogne studentu da samostalno

naui ili ponovi onu nastavnu celinu koja e mu biti odlina priprema za ispit.

Ova knjiga e popuniti prazninu na opustelom tritu knjiga iz oblasti nacrtne

geometrije i recenzent je preporuuje za objavljivanje.

U Beogradu, 15. mart 2013. god.

_________________________________

dr Katarina Jevti Novakovi,

dipl. in. arh.

RECENZIJA ELEKTRONSKE KNJIGE

NACRTNA GEOMETRIJA PEDESET REENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE

Gospodina Stevana Opanareva

U vremenu kad se uopte ne izdaju ovakve knjige ova knjiga predstavlja pravo

otkrovenje. Zadaci su paljivo odabrani tako da svaki predstavlja mea u odreenoj

oblasti iz same nacrtne geometrije. Autor knjige ih je poreao stepenasto po teini,

od najlakeg do najteeg, i naravno uz svaki dao detaljno objanjenje. itajui ovu

zbirku moete da uete u ceo taj proces reavanja zadataka iz nacrtne geometrije,

iako moda ranije i niste bili vini tome.

Zadaci su detaljno opisani i osmiljeni od strane samog autora a to je sasvim novo u

ovoj vrsti literature. To kaem zbog toga to veina ovakvih udbenika ipak

implementira tue zadatke. No sa ovom knjigom to nije sluaj.

Crtei su nacrtani kompjuterski i u jasnim i jarkim bojama. Take su definisane

prostorno bez ikakvih dvosmislenosti. Svaki zadatak je jedinstven u svojoj oblasti.

Moda da su raeni u malo veoj rezoluciji i to kao mape na formatu A3 bili bi jo

instruktivniji.

Smatram da je ova knjiga podjednako dobra i acima srednjih kola i studentima

tehnikih fakulteta.

U Beogradu, 17. maj 2013. god.

____________________

Milenko Petkovi,

dipl. in. arh.

http://nacrtna-geometrija.blogspot.com

| SADRAJ | strana i

SADRAJ

PREDGOVOR............................................................................................. str. ii

UVOD.......................................................................................................... str. 3

NAPOMENE ZA CRTANJE.........................................................................str. 8

PEDESET REENIH ZADATAKA IZ NACRTNE GEOMETRIJE

ZADACI............................................................................................ str. 12

REENJA......................................................................................... str. 18

Deo 1 OKTANTI..................................................................... str. 19

Deo 2 TAKA, PRAVA I RAVAN .......................................... str. 27

Deo 2.1 TAKA.............................................................. str. 27

Deo 2.2 PRAVA I DU................................................... str. 35

Deo 2.3 RAVAN............................................................. str. 72

Deo 3 TRANSFORMACIJA................................................... str. 124

Deo 4 ROTACIJA................................................................... str. 164

Deo 5 OBARANJE U PROJEKCIJSKIM RAVNIMA.............. str. 201

LITERATURA.............................................................................................. str. 261

ELABORATI ZA VEBE ............................................................................ str. 264

| PREDGOVOR | strana ii

NACRTNA GEOMETRIJA pEDESET reenih ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEBE

Predgovor

Namera autora je da kroz pedeset izabranih i potpuno reenih zadataka upozna

itaoca sa nacrtnom geometrijom i postupkom reavanja zadataka.

Zadaci su podeljeni po oblastima i reavani su postupno, da bi itaocu bilo lake da

ih razume. Autor preporuuje da italac prethodno dobro usvoji teorijska znanja iz

nacrtne geometrije da bi mogao pravilno da razume ovu e-knjigu. Takoe, polo se

od pretpostavke da italac ima osnovna znanja iz geometrije (planimetrija i

stereometrija) i geometrijskih konstrukcija.

Nain reavanja zadataka, slui da itaoca dovede do samostalnosti u reavanju

zadataka iz ove oblasti.

Najvei problem moe predstavljati nerazumevanje prostora (3-D) i njegovo

predstavljanje u dve dimenzije (2-D)1. Zbog toga je autor vodio rauna da svaki

zadatak bude jednostavno objanjen i razumljiv.

Da bi se jedan predmet kao to je nacrtna geometrija pribliio studentima, potrebno

je u zadacima predstaviti manji broj problema. Te zadatke reavati korak po korak, u

interakciji student - profesor. Potrebno je studente obuiti da 3-D objekte znaju

preneti u 2-D ravni. Korisno je uporediti tradicionalni (tabla, kreda, lenjiri, estar,

uglomer) i novi (kompjuter, softver za crtanje CAD) metod i izabrati najpogodniji.

Svako ko uspe da ovlada vetinama jedne nacrtne geometrije, imae znanja da

razvija trodimenzionalni (3-D) pogled.

Istakao bih da se specijalne sposobnosti2 najefikasnije razvijaju slobodnorunim

crtanjem, potom tradicionalnim priborom, a tek na kraju primenom kompjuterskih

softvera3.

U eri napretka tehnologije i interneta i sve vee upotrebe kompjutera u uenju,

izabrao sam da ovo bude elektronska verzija knjige (e-knjiga). Ve u aprilu 2011.

god. prodaja elektronskih knjiga je premaila prodaju tampanih4.

1 Prostorno razmiljanje na osnovu 2-D slike

2 Vizuelizacije, prostornog razmiljanja i logike

3 Prema istraivanjima Comany P., Piquer A., Contero M. and Naya F. A Survey on Geometrical

Reconstruction as a Core Technology to Sketch Based Modeling, Computer & Graphics 29

(2005.) 4 Kompanija za onlajn trgovinu Amazon.com

| PREDGOVOR | strana iii

U Srbiji, najpoznatiji sajt koji se bavi prodajom elektronskih knjiga je

http://www.naseeknjige.com/5. Bitno je naglasiti da u Srbiji prodaja elektronskih knjiga

nije zaivela u potpunosti.

Za prodaju elektronskih knjiga u svetu najpoznatiji je web sajt

http://www.amazon.com/6.

Postoji i web sajt http://www.korisnaknjiga.com/elektronske-knjige7 koji nudi

besplatno preuzimanje e-knjiga.

Knjiga je napisana u .pdf formatu. Preporuljivo je koristiti jedan od besplatnih

programa:

1. http://get.adobe.com/reader/ (Adobe Reader XI)

2. http://www.foxitsoftware.com/Secure_PDF_Reader/ (Foxit Reader 6)

Pomenuo bih i web sajt http://nacrtna-geometrija.blogspot.com/, web portal o nacrtnoj

geometriji, nezaobilazno mesto za sve one koje zanima nacrtna geometrija. Autor

gorepomenutog web sajta iskljuivo postavlja zadatke uraene na papiru, u olovci.

Iskreno se zahvaljujem recenzentima ove e-knjige, prof. dr Katarini Jevti Novakovi i

Milenku Petkovi, dipl. in. arh. na paljivo pregledanom tekstu i iznoenju strunog

miljenja koje je pomoglo da knjiga koja se nalazi pred vama bude struno obraena.

Profesor Pavle Papulin je lektorisao knjigu i na tome mu se zahvaljujem.

Svoja zapaanja itaoci mogu da upute autoru elektronskom potom na adresu

stevan.op@gmail.com.

U Srbobranu, 07. jun 2013. god.

Stevan Opanarev, struk. in. spec.

___________________________

5 web sajt nastao krajem 2011. god., prva e-knjiga arko Lauevi Godina proe, dan nikada

6 autor od 14.01.2013. god. prodaje svoje elektronske knjige na ovom web sajtu

7 web sajt www.baneprevoz.com/e-knjige/ je takoe nudio besplatno preuzimanje e-knjiga. Ovaj web

sajt koji je ve godinama bio dobro poznat svima u virtuelnom elektronskom prostoru Srbije da

piraterie knjige, 18. IV 2012. god. stavljen je van funkcije.

Meu svim matematiarima, geometriari imaju prednost da mogu

videti ono to prouavaju. 8

8 Feliks Kristijan Klajn (nem. Felix Klein; Diseldorf, Nemaka, 25. april 1849. Getingen, Nemaka,

22. jun 1925.) je bio nemaki matematiar, poznat po svome radu na teoriji grupa, teoriji funkcija,

neeuklidskoj geometriji i na povezivanju geometrije sa teorijom grupa

| UVOD | strana 3

UVOD

Nacrtna geometrija je metoda za prouavanje 3-D geometrije preko 2-D slika. Ona

nudi uvid u unutranju strukturu i metrika svojstva prostornih objekata, postupaka i

principa. Kao takva ona omoguuje razvijanje intelektualnih sposobnosti studenata

za prostornu percepciju. Crtei nas vode kroz geometriju ali nisu njen glavni cilj.

Za NG je tipino uzajamno delovanje:

a) izmeu 3-D situacije i njene 2-D

reprezentacije,

b) izmeu intuitivnog razumevanja i

strogo logikog zakljuivanja.

NG ima dva cilja:

1) Ona odreuje metode po kojima

se na crtaem papiru, mogu

prikazati sve prostorne tvorevine,

a uz pretpostavku da se te

tvorevine mogu tano definisati.

2) Odreuje postupak, po kojem se iz

crtea neke prostorne tvorevine

moe upoznati njen oblik. Tako se

mogu izvesti svi zakoni koji su

sadrani u predstavljenom obliku

kao i meusobnim poloajem

njegovih delova.

To dokazuje da je dva glavna cilja

nacrtne geometrije - zamiljanje i

analiziranje 3-D objekata utvrdio ve

njen osniva, Gaspard Monge (1746. -

1818.).

U poslednje vreme se runo crtanje u

nacrtnoj geometriji sve vie zamenjuje sa

CAD-om ili matematikim softverom sa

grafikim outputom. Dobri poznavaoci

nacrtne geometrije uglavnom se

opredeljuju za ovo drugo reenje.

slika u.1

Spomenik G. Mongeu, Place de Monge,

Beaune (mesto roenja), Dep. Cte-dOr,

Francuska9

9 Izvor fotografije: Stachel H. emu slui nacrtna geometrija? (prevela Ksenija Horvati Baldasar),

Zbornik radova Dresdenskog simpozija o geometriji, 2003. god., 39. str.

| UVOD | strana 4

to je snaniji i sofisticiraniji softver za modeliranje, to je potreban vii nivo

geometrijskog znanja. Lo dizajner nee nikad postati dobar samo upotrebom CAD-a

umesto tradicionalnih pomagala. Zbog slinih se razloga vanost matematike i dalje

poveava, iako raunari preuzimaju deo raunanja.

Druga pogrena interpretacija nacrtne geometrije je u tome to se ona smatra samo

teoretskim, akademskim predmetom. F. Hohenberg10 uverljivo osporava to miljenje

u svom udbeniku. Na mnogim je primerima pokazao da je za stvarni svet bitna

primena nacrtne geometrije.

Lekari esto cene svoje obrazovanje iz nacrtne geometrije. U anatomiji mnogo

jednostavnije shvataju mreu krvnih ila ili ivaca. I u ortopediji geometrija pomae

da se shvati kako ljudski zglobovi funkcioniu i zato iaenje uzrokuje razliite

smetnje.

slika u.2

Objanjenje glavnih pogleda u udbeniku za stomatologe11

U predoperativnom zahvatu ispravan poloaj kosti bio je oznaen na ekranu. U

pretapanju slika taj je virtuelni poloaj kombinovan sa aktuelnim. Rad se hirurga,

dakle, sastojao u tome da ta dva poloaja runo izjednai na pacijentu. Kako je hirurg

kontrolisao svoj rad? Paljivo je ispitao tri glavna pogleda jer su oni omoguavali da

se rastavi stvarni 3-D pomak u ravanske pokrete.

Za detaljnu analizu 3-D objekta posebni pogledi esto (pomoni pogledi) otkrivaju

stvarnu prostornu situaciju. Takvi pogledi esto su klju reavanja 3-D problema.

Smatram da su ti posebni pogledi pravo umee nacrtne geometrije.

10

Hohenberg F. Konstruktive Geometrie in der Technik, 3. Aufl., Springer-Verlag, Wien 1966. 11

Izvor fotografije: Stachel H. emu slui nacrtna geometrija? (prevela Ksenija Horvati Baldasar),

Zbornik radova Dresdenskog simpozija o geometriji, 2003. god., 40. str.

| UVOD | strana 5

Sledei primer (slika u.3) predstavie poseban znaaj posebnih pogleda.

Primer: Gde sunce ranije izlazi 21. juna, u Oslu ili u Beu?

grad istona duina severna irina

Oslo 10,6 59,9

Be 16,4 48,2

Na slici u.3 odreujemo pogled spreda sa

sunevim zracima koji su paralelni s ravni

slike. Tada pretpostavimo da je to pogled u

trenutku kada sunce u Oslu izlazi 21. juna.

im se Be prikae u tom pogledu, lako se

uoava odgovor na postavljeno pitanje. Taj

pogled je koristan jer moe razjasniti dodatne

probleme kao i one s vie detalja, na primer:

a) Moe li se dogoditi da u jednom danu,

tokom jednogodinjeg razdoblja,

sunce izae istovremeno u Oslu i u

Beu?

b) Obratite panju na injenicu da je

sunce, zbog prelamanja svetlosti u

atmosferi priblino 0,6 ispod lokalnog

horizonta kada se posmatrau na

zemlji ini da izlazi.

c) U zoni astronomske zore sunce je

izmeu 6 i 18 ispod lokalnog

horizonta. Istraujui poseban pogled

koji smo pre predstavili, lako je shvatiti

zato je vreme dnevne zore krae to

je posmatra blie ekvatoru.12

slika u.3

Gde sunce 21. juna ranije izlazi,

u Oslu ili u Beu?13

Vizuelne informacije ovek prima putem oiju koje su u osnovi dvodimenzionalni

detektori, osetljivi da detektuju dvodimenzionalnu informaciju koja se nalazi u

likoravni upravnoj na pravac gledanja i pri tom neosetljivi na objekte koji su u

poloaju zraka. Stoga je uvek neophodno izabrati dobar pravac posmatranja da bi se

trodimenzionalnost objekta pravilno shvatila.14

12

Stachel H. emu slui nacrtna geometrija? (prevela Ksenija Horvati Baldasar), Zbornik radova

Dresdenskog simpozija o geometriji, 2003. god. 13

Izvor fotografije: Stachel H. emu slui nacrtna geometrija? (prevela Ksenija Horvati Baldasar),

Zbornik radova Dresdenskog simpozija o geometriji, 2003. god., 40. str. 14

tuli R., Hiel K. ZNAAJ SPOSOBNOSTI PROSTORNE VIZUELIZACIJE U OBRAZOVANJU

ARHITEKTONSKE STRUKE - NOVE TENDENCIJE U NASTAVI GEOMETRIJE I GRAFIKE,

Univerzitet u Novom Sadu, Fakultet tehnikih nauka, 2006. god.

| UVOD | strana 6

Duval15 je 1998. god. opisao, kroz trostruki

proces, vezu izmeu prostorne vizuelizacije i

razmiljanja. Ona ukljuuje vizuelizaciju,

konstruisanje i proces rezonovanja. Na slici

u.4 je prikazano kako kognitivni procesi utiu

jedan na drugi tokom uenja 3-D nacrtne

geometrije. Takoe, pokazuje da rezonovanje

nije uvek pod uticajem vizuelizacije (3-D u 2-D

i obrnuto), ali i da se moe razvijati sasvim

odvojeno od ostalih procesa. Vizuelizacija

(zamiljanje), moe odvojeno da se razvija i

ova studija pokazuje da proces prostornog

zamiljanja i razmiljanja zajedno ne vri uticaj

na praksu. Brison16 (1992.) sugerie da je

zamiljanje osnova za razumevanje ostalih

komponenti.

slika u.4

Sinergija veze prostorne vizuelizacije

i rezonovanja, koja dovodi do

poznavanja geometrije u praksi

slika u.5

Vizuelna iluzija: Sandro Del-Prete,

Kvadratura toka, crte, 1970. god.

injenica je da nacrtna geometrija simultano aktivira levu i desnu modanu

hemisferu. Ona povezuje analitiko sa sintetikim, to jest, apstraktno sa konkretnim.

Tako se razvijaju mentalni procesi poboljavajui kreativne sposobnosti studenata i

poveavajui njihove intelektualne kapacitete. To je dokazano eksperimentalnim

rezultatima. Ovo stavlja nacrtnu geometriju u red bazinih disciplina potrebnih u

obrazovanju ne samo inenjera nego i studenata ostalih prirodnih nauka, pa ak i u

medicini, filozofiji i umetnosti17.

15

Duval R. (1998.) Geometry from the cognitive point of view, In: C. Mammana and V. Villani

(eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for 21st Century: an ICMI Study, Dordrecht:

Kluwer 16

Brisson H. E. (1992.) Visualization in art and science, Leonardo, Visual Mathematics Special

double issue, Vol. 25, No. 2 (4) 17

Gitller G., Gluck J. Differential Transfer of Learning: Effects of Instruction in Descriptive

Geometry on Spatial Test Performance, JGG, Vol. 2, (1998.)

| NAPOMENE ZA CRTANJE | strana 8

NAPOMENE ZA CRTANJE

Pribor potreban za crtanje

papir A3 formata (mere: 297 x 420 mm) poluhamer (80 gr./m2) obian papir za fotokopiranje ili hamer,

grafitna i drvena olovka H (2H) tvrda i B (2B) meka,

gumica za brisanje,

lenjiri:

pravi lenjir (duine 30 cm), trouglovi (sa uglovima od

30-60-90 i 45-45-90), uglomer,

estar i minimum dve drvene boje

(plava i crvena).

Slika n.1

Deo pribora koji se koristi u nacrtnoj geometriji

Slika n.2

Primer savijanja papira A3 (297 x 420 mm) formata - uzduno savijanje

Obeleavanje elemenata

ose u koordinatnom sistemu (centar koordinatnog sistema - 0) sa x (1x2), y, yo i z, a njihove projekcije sa x', x'', x''' (itaj: x prvo /prim/, x drugo /sekund/, x tree), y', y'', y''', yo', yo'', yo''', z', z'', z''',

oktanti su obeleeni rimskim brojevima I, II, III, IV, V, VI, VII i VIII, ravni sa H horizontalna (ili 1), V (ili F) vertikalna (frontalna ili 2) i P

profilna (ili 3) ravan, take u kosoj projekciji (u prostoru, 3-D) i rogljevi geometrijskih tela su

obeleeni velikim slovom A, B, C, ... , a njihove projekcije (u ortogonalnim projekcijama, 2-D) A', A'', A''' (itaj: A prvo /prim/, A drugo /sekund/, A tree),

take koje lee na koordinatnim osama (udaljenost take od koordinatnog sistema) sa Ax (lei na x osi), Ay (lei na y osi), Az (lei na z osi),

prave, stranice trougla su obeleene malim slovom a, b, c, ... , a projekcije pravih a', a'', a''', ... ,

normala je obeleena malim slovom n,

dui su obeleeni velikim slovima AB ( ili du AB), ... , projekcijski prodori P1 (1) prodor kroz horizontalnicu, P2 (2) prodor kroz

vertikalnicu, P3 (3) prodor kroz profilnicu, a njihove projekcije P' (1', 2', 3'), P'' (1'', 2'', 3''), P''' (1''', 2''', 3''') (itaj: P (1, 2, 3) prvo /prim/, P (1, 2, 3) drugo /sekund/, P (1, 2, 3) tree),

| NAPOMENE ZA CRTANJE | strana 9

pomone spone su obeleene brojevima 1 (), 2 (), 3 (), 4 (), ...

simetrala dui (deli du na dva jednaka dela), presena taka dve prave koje se seku, kao i centar opisane krunice trougla (npr. ABC) su obeleeni velikim slovom S,

simetrala stranica (dui) trougla (npr. ABC) je obeleena malim slovom s, poluprenik kruga, poluprenik upisanog kruga je obeleen malim slovom r, poluprenik opisanog kruga je obeleen velikim slovom R, ravni, unutranji uglovi trougla su obeleeni grkim slovima , , , , , ... , a

projekcije ravni 1, 2, 3 (itaj: alfa jedan, alfa dva, alfa tri), osni prodori ravni x, y, z (prodori osa x, y i z kroz ravan ), ... ,

trougao (npr. ABC), ... ,

simboli: normalno - , paralelno - , ugao - ,

sutranica je obeleena malim slovom s1 (h) prva sutranica, s2 (f) druga sutranica, ..., a njihove projekcije s1' (h'), s1'' (h''), s1''' (h''') (itaj: s1 (h) prvo /prim/, s1 (h) drugo /sekund/, s1 (h) tree),

presenica dve ravni je obeleena malim slovom p, transformacione ravni sa 1x2 (1), 2x3 (2), 3x4, .... ,

smer posmatranja tela iz prve projekcije je obeleen malim slovom m, smer posmatranja tela iz tree transformisane projekcije je obeleen malim

slovom n,

prava veliina rastojanja (udaljenosti) je obeleena malim slovom d, rotirane take u kosoj projekciji (u prostoru, 3-D) su obeleene velikim

slovom Ar, Br, Cr, ... , a njihove projekcije (u ortogonalnim projekcijama, 2-D) Ar', Ar'', Ar''',

krunica rotacije (za neku taku, npr. za taku A) je obeleena malim slovom kA,

osa rotacije je obeleena malim slovom c ( prolazi kroz taku N i normalna je na vertikalnicu),

taka kroz koju prolazi osa rotacije c je obeleena velikim slovom N, obrnut poloaj take (npr. A) je obeleen velikim slovom Ao, obrnut poloaj

prve projekcije take (npr. A') - Ao', obrnut poloaj druge projekcije take (npr. A'') - Ao'', ....

nagibnica je obeleena malim slovom q (q1 prva nagibnica, q2 druga nagibnica, q3 trea nagibnica),

uglovi su obeleeni grkim slovima , , .... take u oborenoj ravni (horizontalnoj, vertikalnoj ili profilnoj) Ao, Bo, .... , prave

u oborenoj ravni ao, bo, .... , sutranica u oborenoj ravni s1o (ho), s2

o (fo), ....

ravni u oborenoj ravni o, o, ....

U zadacima svi podaci su dati u cm (osim ako nije drugaije reeno). Uglovi su dati u

stepenima [].

Kod izrade zadataka nevidljive linije crtaju se isprekidanom linijom. Linije koje su

manje vane crtaju se debljom linijom; dati elementi i reenja zadatka

najdebljom linijom, a prava veliina rastojanja - linijom: crta, taka, crta.

Pisati tehnikim slovima (vidi slike n.3 i n.4).

| NAPOMENE ZA CRTANJE | strana 10

Slika n.3

Latinino pismo (kosa slova), brojevi i oznake, SRPS EN ISO 3098-2:2011

Slika n.4

Grko pismo (kosa slova), SRPS EN ISO 3098-3:2011

Tehnike crtee ne crta program ili raunar, ve ovek koji ume da crta tehnike crtee. Ko ne naui da crta rukama i priborom za crtanje nee umeti ni raunarom. Program za crtanje i raunar je bolji pribor od olovke, trouglova, estara, gumice i lenjira, ali je i dalje samo pribor. Student bi prvo morao da radi elaborate samostalno, na papiru u olovci, koristei sav neophodan pribor, bez upotrebe kompjutera za crtanje. Samo tako e nauiti da crta i da prostorni izgled tela (u tri dimenzije) prikae u dve dimenzije (na dvodimenzionalnu ravan crtea) i obrnuto.

ZADACI

| NG50 - ZADACI | strana 13

ZADACI Deo 1 OKTANTI

1. U kom oktantu moe da se nalazi jedna taka A, ako sve tri njene projekcije lee u jednoj taki? (Skicirati i obrazloiti).

2. Oko koje ose se rotira horizontalnica? Skicirati i obrazloiti na primeru horizontalnice I i IV oktanta.

3. Kroz koliko najvie odn. najmanje oktanata moe prolaziti jedna prava a? (Skicirati i obrazloiti).

Deo 2 TAKA, PRAVA I RAVAN Deo 2.1 TAKA

4. Nacrtati sve tri projekcije take B (II oktant) tako da je 0A = 0B (0 centar koordinatnog sistema). A(-3; 7; -4)

5. Data je taka M(-6; -2; 7), odrediti koordinate take A ako je ona simetrina datoj taki M u odnosu na profilnicu.

6. Odrediti taku A koja je udaljena 5cm od y ose, lei na horizontalnici, a iza vertikalnice je 2cm.

7. Taka M lei na y osi i profilnici i udaljena je 4cm od koordinatnog poetka (iza vertikalnice). Nacrtaj.

8. Odrediti sve tri projekcije take L (II i VI oktant), koja je udaljena 7cm od koordinatnog poetka. Ly = -3cm.

Deo 2.2 PRAVA I DU

9. Nacrtati pravu j ako su poznati njeni prodori kroz projekcijske ravni P1(4; 5; 0) i P2(9; 0; -3).

10. Ako je data druga i trea

projekcija prave a (vidi sliku), potrebno je odrediti:

a) prvu projekciju prave a, b) vidljivost projekcija i

c) oktante kroz koje prava a prolazi.

| NG50 - ZADACI | strana 14

11. Nacrtati sve tri projekcije prave b koja prolazi kroz IV i VI oktant. Naznaiti vidljivost projekcija prave b kroz projekcijske ravni.

12. Kroz taku A(-3; 1; -4) povui pravu a tako da bude paralelna sa horizontalnicom, a sa vertikalnicom da gradi ugao od 30.

13. Utvrditi meusobni poloaj prav a { A(-8; 5; 2) B(0; 1; 2) } i b { C(-8; 2,5; 3,5) D(0; 6,5; 6,5) }.

14. Nai b unakrsno sa a (see pravu a). Prava b prolazi kroz taku K. Prava b je paralelna sa vertikalnicom. a { A(2; 1; -8) B(-7; 4; 2) } K(0; 2; -1)

15. Nacrtati taku M na pravoj a, tako da je taka M udaljena 3cm od vertikalnice. a { A(6; 7; -4) B(-2; -4; 5,5) }

16. Postaviti taku M koja je najblia y osi na pravu a {A(1; 4; 3) B(6; 3; 0)}.

17. Odrediti nepoznatu taku B, koja lei na dui AV i deli je na dva jednaka dela,

tako da je du AV 3. Taka V(?; ?; 5) lei na vertikalnici. A(-4; 2; -3)

18. Nai take M i N. Taka M lei na pravi a { A(-4; 7; -2) B(4; 6; 7) } i

horizontalnici. Taka N lei na pravi b { bH, B } i nalazi se 2cm iznad 1.

19. Nacrtati najkrae rastojanje prave a {D(-1; 1; 8) E(8; -3; -4)} od z ose.

Deo 2.3 RAVAN

20. Nacrtati tragove ravni alfa koja prolazi kroz pravu a {A(2; 0; 5) B(8; 5; -4)} i

koordinatni poetak.

21. Nacrtati ravan alfa normalno na pravu a { M(-3; 1; -2) N(6; 4; 5) }, tako da prolazi kroz simetralu dui MN.

22. Nacrtati ravan alfa, ako je prvi trag ravni alfa 4cm udaljen od y ose.

(? ; ? ; -7)

23. Nacrtati ravan tako da prolazi kroz taku F(-5; 7; -2) i x osu.

24. Odrediti zajedniku du ravni (-2; 2; 3) i ABC { A(3; 7; 1) B(0; 3; 7) C(6; 1; 3) }.

a) Israfirati deo trougla ABC koji se nalazi iznad ravni . b) Odrediti vidljivost trougla ABC u prvoj i drugoj projekciji pod pretpostavkom

da su projektne ravni i ravan neprovidni.

25. U ravni (10; 8; 6) nai taku R koja je od frontalne ravni udaljena 1cm, a od profilne ravni 6cm.

26. Nacrtati ravan (-8; 9; ?) koja prema horizontalnici ima nagib 60.

| NG50 - ZADACI | strana 15

27. Nacrtaj projekcije prave a koja se nalazi u ravni (-6; -4; 6), normalna je na njen prvi trag 1 i prolazi kroz osni prodor sa z osom z.

28. Nacrtati zajedniku taku z ose i ABC. A(7; 0; 0) B(0; -6; 0,5) C(-8; 4; 9)

29. Odrediti koliki ugao zaklapa prava a {M, N(4; 0; ?)} sa vertikalnicom. Prava a je paralelna sa horizontalnicom. Taka M je zajednika taka ravni (-4; 6; -9) i prave b {B(-8; 4; -5) C(7; -4; 2)}.

Deo 3 TRANSFORMACIJA

30. Odrediti koliko se cm dui AB {A(5,5; -6; -3,5) B(-5,5; 3,5; 6)} nalazi ispod horizontalnice. Zadatak reiti transformacijom.

31. Odrediti koliko se cm dui MN {M(2; 2; 1) N(9; 5; 5)} nalazi ispod ravni

(8; ; 5).

32. Na pravi a {A(6,5; -6; 2) B(-4; 0; -8)} odrediti sve take koje su od date take G(-3; 7; -6) udaljene 9cm.

33. Odrediti udaljenost prave p od take A(7; 4; 5). Prava p predstavlja zajedniku du ravni (3; -1; 7) i (1; 1; ). Zadatak reiti transformacijom.

34. Odrediti koliko je taka A udaljena od take T. Taka A lei na profilnici. Udaljena je 5cm od koordinatnog poetka i nalazi se u III i VII oktantu. Taka T lei na x osi 7cm levo od profilnice. Nai pravu veliinu AT transformacijom.

35. Odrediti pravu veliinu najkraeg rastojanja prave a {A(0; 3; -4) B(5; -2; 4)} od prodora x ose kroz ravan (2,5; -9; ).

36. Odrediti ugao izmeu

presenih pravi a i b. Zadatak reiti transformacijom. Podatke uzeti proporcionalno sa slike.

| NG50 - ZADACI | strana 16

37. Izvriti dve transformacije datog tela (date su njegove ortogonalne projekcije i obeleeni rogljevi) prema zadatoj slici.

Gde je:

1 - prva ravan transformacije, a

2 - druga ravan transformacije.

Napomena

Podatke uzeti proporcionalno sa crtea.

Deo 4 ROTACIJA

38. Nacrtati taku A koja je rotirana za 120 oko ose c. Ta osa prolazi kroz taku N(-4; 5; 2) i normalna je na vertikalnicu. Ar(-7; 5; 6)

| NG50 - ZADACI | strana 17

43. Odrediti udaljenost izmeu dve

paralelne ravni i (vidi sliku).

Napomena

Zadatak reiti rotacijom. Podatke uzeti sa crtea. Sve mere su u cm.

Deo 5 OBARANJE U PROJEKCIJSKIM RAVNIMA

44. Nacrtati taku S u ravni (11; 9; 10) koja je podjednako udaljena od sve tri take A, B i C, a koje lee na datoj ravni . A(2; 4; ?) B(4; ?; 5) C(7; 2,5; ?)

45. Date su take A(2; 2; 3) i B(5; 3; 2). Odrediti taku M na horizontalnici koja je udaljena 3cm od taaka A i B.

46. Nacrtati projekcije jednakostraninog trougla ABC { a = 5cm } koji se nalazi na ravni (10; 6; 7). Taka A(5; ?; 2) lei na ravni , a taka B lei na 2.

47. U ravni (-7; 6; 6) nacrtati pravu a { T(-2; 2; ?)

REENJA

| NG50 REENJA | strana 19

REENJA

Deo 1 OKTANTI

1. U kom oktantu moe da se nalazi jedna taka A, ako sve tri njene projekcije lee u jednoj taki? (Skicirati i obrazloiti).

REENJE Tri meusobno ortogonalne ravni, u preseku, dele ukupni prostor na osam jednakih potprostora (slika 1.1). Svaki od ovih potprostora omeen je sa tri poluravni. Iz prikazanog sistema oktanata (osmine ukupnog prostora) koristie se jedan (I oktant), i to onaj najpovoljniji za jednostavno prikazivanje i definisanje elemenata nacrtne geometrije (NG).

slika 1.1 Sistem oktanata (horizontalnica je obeleena zelenom bojom, vertikalnica je

obeleena plavom bojom, a profilnica je obeleena crvenom bojom)

| NG50 REENJA | strana 20

Prvo emo poi od prvog oktanta, koji predstavlja osnovu nacrtne geometrije. On je izdvojen iz sistema oktanata i postaje osnovni triedar18 (slika 1.2). Zadrava se poloaj koordinatnog poetka (0) i orjentacija osa (x, y i z) kao i u izvornom sistemu oktanata. Uputstva za otvaranje kako osnovnog triedra, tako i sistema oktanata, date su na slici 1.3 i 1.4.

slika 1.2

Osnovni triedar

slika 1.3 Osnovni triedar - rotacija dve projektne ravni (H i P) otvaranje osnovnog triedra,

kako bi se one dovele u vertikalnu ravan

18

sklop tri ravni

| NG50 REENJA | strana 21

slika 1.4 Oktanti - rotacija dve projektne ravni (H i P) - otvaranje sistema oktanata, kako bi se

one dovele u vertikalnu ravan

Oznake osnovnih projekcijskih ravni su: V - vertikalna (ili frontalna F) ravan, H - horizontalna ravan i P - profilna ravan. Rotacijom dve projekcijske ravni:

1. horizontalnice i 2. profilnice,

dolazimo do poklapanja sve tri projektne ravni u jednu vertikalnu (frontalnu) vidi sliku 1.4. Dakle, ako znamo ovo, dolazimo do sledeeg zakljuka: Taka A se moe nalaziti u II ili VIII oktantu. U tim oktantima se sve tri projekcijske ravni (H, V /F/ i P) poklapaju!

| NG50 REENJA | strana 22

Na slikama 1.5 i 1.6 data su reenja ovog zadatka.

slika 1.5 Reenje zadatka: taka A se nalazi u II oktantu

slika 1.6 Reenje zadatka: taka A se nalazi u VIII oktantu

| NG50 REENJA | strana 60

17. Odrediti nepoznatu taku B, koja lei na dui AV i deli je na dva jednaka dela,

tako da je du AV 3. Taka V(?; ?; 5) lei na vertikalnici. A(-4; 2; -3)

REENJE Poto taka B deli du AV na dva jednaka dela, ona je zapravo simetrina taka dui AV. Treba znati da, kada je neka du (ili prava) paralelna sa profilnicom, tada se ta du (ili prava) u treoj projekciji vidi u pravoj veliini. U prvoj i drugoj projekciji e se videti kao du koja je paralelna sa y (z) osom.

Poto znamo da je du AV paralelna sa profilnicom, to znai da je po x osi jednako udaljena od bilo koje take sa dui AV do profilnice. To znai, da sve take sa dui AV imaju isto rastojanje po x osi. Dakle koordinata take V po x osi bie jednaka kao i koordinata take A po x osi:

Ax = Vx = - 4cm I sada je V(-4; ?; 5). Poto je jo reeno da taka V lei na vertikalnici to znai da je Vy = 0, znai da smo nali taku V (nepoznate koordinate). Sada su naene sve nepoznate koordinate take V: V(-4; 0; 5). Du AV u prostoru je nacrtana na slici 17.1. Pristupamo crtanju sve tri projekcije dui AV (slika 17.2), u ortogonalnim projekcijama (2-D).

slika 17.1

Projekcije dui AV - u prostoru (3-D)

| NG50 REENJA | strana 61

slika 17.2 Crtanje sve tri projekcije dui AV - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Poto smo rekli da se prava veliina dui AV vidi u profilnici, du A'''V''' podelimo na dva jednaka dela (lenjirom ili estarom) i tu taku obeleimo sa B''' (slika 17.3).

| NG50 REENJA | strana 62

slika 17.3 Odreivanje tree projekcije take B na dui AV - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Nakon toga iz B''' povlaimo horizontalu ka dui A''V'' i tu se nalazi taka B''. Poto se taka B nalazi u V oktantu (jer je B''' omeena (-x) yo i z osom, a tu se nalazi profilnica V oktanta), horizontalnica V oktanta je omeena -x i y osom. Tu nam se mora nalaziti prva projekcija take B28. Sada u estar uzmemo rastojanje od centra koordinatnog sistema (0), do preseka vertikale iz B''' sa x osom. To rastojanje prebacimo na y osu. Sada iz preseka krunog luka sa y osom povlaimo horizontalu, na levo. U preseku te horizontale i dui A'V' dobijamo taku B' (slika 17.4). To je ujedno i reenje ovog zadatka. Lenjirom izmerimo rastojanja dobijene take B po x, y i z osi. Koordinate take B: B(-4; 1; 1).

28

Naravno, prva projekcija take B mora leati i na dui AV

| NG50 REENJA | strana 63

slika 17.4 Odreivanje prve i druge projekcije take B na dui AV - u ortogonalnim projekcijama

(2-D) reenje zadatka

| NG50 REENJA | strana 129

31. Odrediti koliko se cm dui MN {M(2; 2; 1) N(9; 5; 5)} nalazi ispod ravni

(8; ; 5).

REENJE Ovaj zadatak emo nacrtati u osnovnom triedru (3-D) i u ortogonalnim projekcijama (2-D). U osnovnom triedru (3-D) prikazujemo reenje ovog zadatka (slika 31.1) radi lakeg sagledavanja reenja u ortogonalnim projekcijama (2-D) koje e biti objanjeno postupno.

slika 31.1

Odreivanje dela dui MN koji se nalazi ispod ravni (obeleeno isprekidanom linijom) - u osnovnom triedru (u prostoru, 3-D)34

34

Na slici 31.1 su nacrtane projekcije dui MN i ravni . Takoe je odreen i prodor dui MN kroz

(taka P). Obeleen je deo dui MN koji se nalazi ispod ravni (isprekidana linija).

| NG50 REENJA | strana 130

Pristupamo crtanju u ortogonalnim projekcijama (2-D). Nacrtaemo dve projekcije

dui MN i ravni (slika 31.2).

slika 31.2

Crtanje date dui MN i ravni - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Da bi odredili pravu veliinu dui MN koja se nalazi ispod ravni , prvo moramo nai prodor dui MN kroz datu ravan . Prodor (P) dui MN kroz datu ravan je zajednika taka ravni i dui MN.

| NG50 REENJA | strana 131

slika 31.3

Odreivanje prodora (P) dui MN kroz ravan i vidljivost dui MN - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Iz zadatka vidimo da se taka M nalazi ispod ravni , a taka N iznad. To moemo konstatovati i kad nacrtamo projekcije taaka M i N.

Poto je taka M ispod ravni , a taka P je prodor dui MN kroz ravan , mi treba transformacijom da odredimo pravu veliinu dui MP. Postavljamo transformacionu ravan paralelno sa dui MP (prvom ili drugom

projekcijom). Mi smo izabrali da postavimo transformacionu ravan 1x3 paralelno sa M'P'. Kroz take M' i P' postavljamo pomonu liniju koja je normalna na

transformacionu ravan 1x3.

| NG50 REENJA | strana 132

Poto preko transformacione ravni 1x3 elimo da transformiemo prvu projekciju u treu, uzimamo rastojanja od x ose do druge projekcije M'' i P''. Ova rastojanja su pozitivna jer se nalaze iznad x ose (slika 31.4). Ta rastojanja nanosimo na pomonu liniju.

slika 31.4 Odreivanje tree, transformisane projekcije taaka M''' i P''' - u ortogonalnim

projekcijama (2-D)

| NG50 REENJA | strana 133

Potom nalazimo pravu veliinu dui MP. Prava veliina dui se u nacrtnoj geometriji obeleava sa crta-taka-crta (slika 31.5).

slika 31.5 Odreivanje prave veliine dui M'''P''' - u ortogonalnim projekcijama (2-D) reenje

zadatka

Lenjirom izmerimo du M'''P''' i to je reenje ovog zadatka. Reenje ovog zadatka je d = M'''P''' = 2,9cm.

| NG50 REENJA | strana 190

42. Nacrtati pravu a tako da prolazi kroz take A i B, a da zaklapa ugao od 30 sa horizontalnicom. a { A(6; 6; 3) B(-4; ?; -4) }

REENJE

Ovo je klasian sluaj odreivanja ugla izmeu prave a { A, B } i horizontalnice. Samo to se ovde zadatak radi obrnuto: ovde nam je dat ugao a treba odrediti prvu

projekciju prave a, dok u klasinom sluaju treba nai ugao izmeu prave a i horizontalnice. Rotacija dui se najee primenjuje prilikom odreivanja prave veliine dui i njenih uglova prema projekcijskim ravnima. Nagib dui prema horizontalnici se odreuje rotacijom dui oko ose normalne na horizontalnicu, a pojavie se u vertikalnici. Crtamo datu prvu i drugu projekciju take A i poznatu drugu projekciju take B.

Potom spajamo take A''B'' i to je druga projekcija prave a (a'') (slika 42.1).

slika 42.1

Crtanje prve i druge projekcije take A (A' i A'') i druge projekcije take B (B''), pri

emu je A''B'' = a'' - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

| NG50 REENJA | strana 191

Kroz taku B'' postavljamo sponu (horizontalu) paralelno sa x osom (vertikalnicom).

Uglomerom nanosimo ugao od 30 tako da novodobijena prava ar'' prolazi kroz taku A'' i gradi ugao od 30 sa sponom (horizontalom) kroz taku B'' (slika 42.2).

slika 42.2

Crtanje prave veliine prave a (ar'' {A'', Br''} ) koja zaklapa ugao od 30 sa

horizontalnicom (konstrukcija sa uglomerom) - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Tako dobijamo taku Br'' (slika 42.3).

| NG50 REENJA | strana 192

slika 42.3

Crtanje prave veliine prave a (ar'' {A'', Br''} ) koja zaklapa ugao od 30 sa

horizontalnicom - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Sada iz dobijene take Br'' sputamo vertikalu na sponu koja prolazi kroz taku A' i paralelna je sa x osom. Tu se nalazi taka Br' (slika 42.4).

| NG50 REENJA | strana 193

slika 42.4 Odreivanje take Br' - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Iz take A' (igla estara ide u A' i uzimamo rastojanje A'Br') rotiramo taku Br' (na dole) na vertikalu iz B'' i dobijamo taku B'.

Koordinate dobijene take B su: B(-4; 12,5; -4)38.

Ostalo je jo da spojimo A' i B' i dobijemo prvu projekciju prave a { A(6; 6; 3), B(-4; 12,5; -4) } (slika 42.5).

38

Ovo je prvo reenje ovog zadatka. Drugo reenje bi bilo kada bi se taka B' nalazila iznad B''.

Drugo reenje bismo dobili kada bismo iz take A' (igla estara ide u A', uzimamo rastojanje A'Br')

rotirali taku Br' (na gore) na vertikalu iz B'' i dobili taku B'.

| NG50 REENJA | strana 194

slika 42.5

Crtanje prve projekcije prave a {A, B}, koja zaklapa ugao od 30o sa horizontalnicom - u ortogonalnim projekcijama (2-D) reenje zadatka

Ovo je ujedno i reenje ovog zadatka.

| NG50 REENJA | strana 247

49. Nacrtati pravu a { A(3; 2; 4), B }. Taka B lei na y osi, a ugao izmeu y ose i

prave a je 60.

REENJE

Ovaj zadatak emo nacrtati u osnovnom triedru (3-D) i u ortogonalnim projekcijama (2-D). U osnovnom triedru prikazujemo reenje ovog zadatka (slika 49.1) radi lakeg sagledavanja reenja u ortogonalnim projekcijama koje e biti objanjeno postupno. Prvo emo oboriti taku A na horizontalnicu, a potom postavljamo taku B1

o = B1I na

y osu (prvo reenje) tako da je (du AB1(= B1'), y osa) = 60.

Nanosimo uglomerom ugao od 60 izmeu prave a { AB1(= B1')} i y ose.

Moemo i da nanesemo ugao od 30 izmeu horizontale iz take AI jer mi zapravo obaramo pravougli trougao AyAB1. Jedan ugao je 90, a poto drugi treba da bude 60, trei ugao u pravouglom trouglu treba da je: 90 - 60 = 30. Napomena: Zadatak ima dva reenja. Taka B1 (na y osi ispred take A) i B2 (na -y osi iza take A).

slika 49.1 Obaranje take A na horizontalnicu (prvo reenje) - u osnovnom triedru (3-D)

| NG50 REENJA | strana 248

Gde je:

Ao oborena taka A na horizontalnicu, B1 taka koja lei na y osi (prvo reenje) i

a {A, B1} prava koja gradi ugao od 60 sa y osom.

Sada emo dati i matematiko reenje ovog zadatka. Ono treba da se slae sa grafikim reenjem46 koje emo nacrtati u ortogonalnim projekcijama (2-D).

MATEMATIKO REENJE

pravougli trougao AyAB1,2

cmtg

YY

tg 89,260

54360

22

gde je:

52516943 22

Y = Y1 = Y2

Koordinate taaka B1 (prvo reenje):

PRVO REENJE - pozitivna y osa B1y = 2 + Y1 = 2 + 2,89 = 4,89cm

B1(0; 4,89; 0)

Koordinate taaka B2 (drugo reenje):

DRUGO REENJE - negativna y osa |B2y| = Y2 - 2 = 2,89 - 2 = 0,89cm

B2y = - 0,89cm (poto lei na -y osi) B2(0; -0,89; 0)

slika 49.m1

Trougao AyAB1, taka B1 lei na y osi prvo reenje zadatka

slika 49.m2

Trougao AyAB2, taka B2 lei na -y osi drugo reenje zadatka

46

Mogua su minimalna odstupanja zbog teko ostvarivog tanog crtanja i nanoenja datih mera

| NG50 REENJA | strana 249

Pristupamo crtanju u ortogonalnim projekcijama. Nacrtaemo dve projekcije date take A (slika 49.2).

slika 49.2 Crtanje datih projekcija take A (A' i A'') - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Iz take 0 obaramo taku A'' na x osu i dobijamo taku Ao''. Potom sputamo vertikalu iz Ao''. U preseku vertikale iz Ao'' i spone (horizontala iz A' paralelno sa x osom) dobijamo taku Ao (slika 49.3).

| NG50 REENJA | strana 250

slika 49.3 Obaranje date take A na horizontalnicu (Ao) - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Sada uzimamo uglomer i nanosimo ugao od 60 tako da novodobijena prava ao

prolazi kroz taku Ao i gradi ugao od 60 sa y osom (slika 49.4).

| NG50 REENJA | strana 251

slika 49.4

Crtanje prave veliine prave a (ao {Ao, B1o}) koja zaklapa 60 sa y osom

(konstrukcija sa uglomerom). Prava a je oborena je na horizontalnicu - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Napomena: Zadatak ima dva reenja. Taka B1 (na y osi; ispred take A) i B2 (na -y osi; iza take A). Mi smo nacrtali prvo reenje ovog zadatka, taku B1.

Sada prikazujemo dobijenu pravu a koja je oborena na horizontalnicu (slika 49.5).

| NG50 REENJA | strana 252

slika 49.5

Crtanje prve veliine prve a (ao {Ao, B1o}), koja zaklapa 60 sa y osom i oborena je

na horizontalnicu - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Poto oborena taka B1 lei na y osi i prva projekcija take B1 e takoe leati na y osi.

B1' = B1o

Sada je jo ostalo da ucrtamo prvu i drugu projekciju prave a {A, B1} prvo reenje (slika 49.6).

| NG50 REENJA | strana 253

slika 49.6

Crtanje prave a {A, B1} (prvo reenje), koja zaklapa 60o sa y osom - u ortogonalnim

projekcijama (2-D) reenje zadatka

Sa crtea izmerimo koordinatu take B1 po y osi (B1y) za prvo reenje.

Sa crtea dobijamo koordinate prvog reenja ovog zadatka, taka B1: B1(0; 5,13; 0).

Vidimo da je ovo reenje tano jer smo u matematikom postupku dobili:

B1(0; 4,89; 0)

Greka crtanja je: B1 graf. - B1

mat. = 5,13 - 4,89 = 0,24 cm, a to je prihvatljivo!

Ovo je ujedno i reenje ovog zadatka.

Napomena:

Drugo reenje, taka B2 (na -y osi; iza take A) nije nacrtano, ali su matematiki odreene koordinate take B2: B2 (0; -0,89; 0).

ELABORATI

NACRTNA GEOMETRIJA [C1. RAVAN] ZADACI

C1. Ime i Prezime i broj indeksa: bodovi: / 105 bod.

NACRTNA GEOMETRIJA

datum bodovi grupa br. indeksa ime i prezime

C1.

1. Data je prva projekcija take M i trougao ABC u dve projekcije. Nacrtati drugu projekciju take M tako da se ona nalazi na trouglu ABC (podatke uzeti proporcionalno sa crtea).

5 bodova

2. Reiti nepoznate projekcije take A tako da ona lei u datoj ravni . a) (5,5; 3,5; 3) A(2; 1; ?) b) (4; -3; 8) A(7; ?; 7) c) (2; -1; -2) A(?; -1; 3,5)

10 bodova

3. Nacrtati sledee ravni u specijalnom poloaju: a) (3; 4; ) c) (; 3; -4) b) (4; ; -4) d) (; ; 4) e) ravan paralelno sa horizontalnicom, a udaljena od nje za 1 cm (ispod horizontalnice), f) ravan paralelno sa vertikalnicom, a udaljena od nje za 2 cm (iza vertikalnice), g) ravan paralelno sa profilnicom, a udaljena od nje za 1 cm (desno od profilnice).

10 bodova

4. Nacrtati tragove ravni koju odreuju dve prave a i b, a koje se seku u taki S. a {A(6; -5; 3) S(1; 1; -1)} b {B(-1; 2; 5) S}

5 bodova

5. Nacrtati tragove ravni koju odreuje prava a {A(?; 5; 0) B(2; 1; -1) } i taka C(3; 4; ?). Taka A pripada profilnici, a taka C horizontalnici.

10 bodova

NACRTNA GEOMETRIJA [C1. RAVAN] ZADACI

C1. Ime i Prezime i broj indeksa: bodovi: / 105 bod.

NACRTNA GEOMETRIJA

datum bodovi grupa br. indeksa ime i prezime

C1.

6. Date su take A(1; -7; 2), B(-3; 5; 4) i C(-2; 0; 6). Odrediti ravan za sledee sluajeve: a) za dve prave koje se seku u taki C,

b) za dve paralelne prave a {B, C} i c {A} i c) za trougao ABC koji pripada ravni .

15 bodova

7. Nai presek izmeu ravni i . a) (-2; 1; 1) (1; -2; -1) b) (3; 3; 1,5) (-1; 1; -2) c) (1,5; -3,5; 1,5) (-1,5; 1; ) d) (2; -2,5; 1,5) (2; 1; -1,5)

15 bodova

8. Nacrtati projekcije ravni kroz taku B(-1; 1; -5) paralelno sa ravni (-2; 1; 5).

10 bodova

9. Odrediti prodor prave a {A(1; 1; -3) B(-4; 3; 0)} kroz ravan (2; 1; 1,5).

5 bodova

10. Kroz pravu c {A(-4; -2; 0) B(2; -5; 6)} postaviti ravan normalno na (4; 3; -5).

10 bodova

11. Kroz taku M postaviti ravan koja e biti normalna na pravu b. M(3; -1,5; 3) b {A(0; -1; -1) B(6; 5; -5)}

10 bodova

VANO

Pre poetka rada proitati:

Elaborat se predaje u vidu ukorienih reenih zadataka. Na naslovnoj strani elaborata se nalaze zadaci sa imenom i prezimenom studenta.

Zadaci se rade na formatu papira A3, grafitnom olovkom i priborom (lenjiri, uglomer i estar) uz mogunost korienja olovaka u boji.

Svaki list mora imati ime i prezime studenta.

Sve konstrukcije moraju biti jasne i prikazane na crteu.