ZBIRKA RE ENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

  • View
    655

  • Download
    57

Embed Size (px)

Text of ZBIRKA RE ENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

  • Mr VENE T. BOGOSLAVOV

    ZBIRKA RESENIHZADATAKA

    IZ MATEMATIKE 2

    35. ispravljeno izdanje

    ZAVOD ZA UDZBENIKEBEOGRAD

  • Redaktor i recenzentDOBRILO TOSIC

    UrednikMILOLJUB ALBIJANIC

    Odgovorni urednikMILORAD MARJANOVIC

    Za izdavacaMILOLJUB ALBIJANICdirektor i glavni urednik

    Ministar prosvete Republike Srbije, svojim resenjem broj650-02-00278/2008-06, od 21.07.2008. godine, odobrio jeovu ZBIRKU RESENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKEza izdavanje i upotrebu u drugom razredu gimnazija.

    CIP- Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

    37.016 : 51(075.3)(076)

    BOGOSLAVOV, Vene T., 1932-

    Zbirka resenih zadataka iz matematike 2/Vene Bogoslavov - 35. ispravljeno izd.- Beograd: Zavod za udzbenike, 2011 (Beograd:Cicero). - 407 str. : graf. prikazi, tabele; 20 cm

    Tiraz 10.000. - Str. 4: Predgovor/ Dobrilo Tosic,Miloljub Albiijanic. - Beleska o autoru: str.406-407. Bibliografija 404-405.ISBN 978-86-17-17461-1

    COBISS.SR-ID 184374028

    cZAVOD ZA UDZBENIKE, Beograd (20082011)Ovo delo se ne sme umnozavati i na bilo koji nacin reprodukovati, u celini nitiu delovima, bez pismenog odobrenja izdavaca.

  • S ljubavlju

    snahi Sonji i sinu Draganu

  • PREDGOVOR

    Ovo je trideset peto izdanje. Prvo izdanje je publikovano januara1971. godine. Do sada je ukupan tiraz bio blizu 370 000 primeraka, stoje svojevrsan rekord!! Vecina autora u svakom novom izdanju dodajunove sadrzaje. To je slucaj i sa ovom knjigom. Broj zadataka se stalnopovecavao, pri cemu je zanemarivana provera ili poboljsavanje postojecihzadataka. Zbog toga je proizasla potreba da se knjiga sistematski i de-taljno pregleda.

    Na inicijativu Zavoda ovo izdanje je kardinalno ispravljeno. Ovogmukotrpnog i dugotrajnog posla prihvatio se prvo potpisani. Svaki za-datak je detaljno resen i mnogi rezultati su provereni na racunaru. Pritome je primecen i otklonjen veliki broj stamparskih i jos veci brojstvarnih gresaka. Naravno, tesko je ispraviti sve greske, pogotovo kada ihima mnogo. Kao uteha, cesto se kaze da nisu dobre one knjige u kojimanema gresaka.

    Do navedene inicijative je doslo i zbog saznanja da ova znacajna knjigaima veliku odgovornost i ulogu u procesu matematickog obrazovanja uSrbiji, s obzirom da se decenijama preporucuje velikom broju ucenika.

    Interesantno je da vecina ucenika srednjih skola gradivo iz matematikesavlad-uju iskljucivom upotrebom zbirki zadataka. Dakle, matematika seuci resavanjem zadataka. Mnogi nisu nikada otvorili udzbenik, ili zanjega nisu culi da postoji. Izgleda da je i nastavnicima lakse da takorade, zaboravljajuci da je dobra teorija najbolja praksa. To je dovelodo toga da se prosek nivoa znanja matematike svake godine smanjuje.U zadnjih nekoliko godina osvojeno je dosta medalja na matematickimolimpijadamasvake godine sve vise i vise. Med-utim, sredina je sveslabija i slabija. To se najbolje vidi kada se pogledaju tekstovi zadatakaiz matematike sa prijemnih ispita na fakultetima.

    Ova knjiga sadrzi pored jednostavnih i veliki broj tezih ali lepih za-dataka. Upravo je to bio razlog da se otklone greske i mnogi nedostaci.Nadamo se da ce ovako osvezena knjiga doziveti jos dosta izdanja.

    Beograd, maja 2011. Dobrilo TosicMiloljub Albijanic

  • S A D R Z A J

    I GLAVA (Resenja)

    1. STEPENOVANJE I KORENOVANJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 (190)1.1. Stepen ciji je izlozilac ceo broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 (190)1.2. Koren; stepen ciji je izlozilac racionalan broj.

    Osnovne operacije sa stepenima i korenima. . . . . . . . . . . . . . . . .16 (191)1.3. Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima . . . . . . . . . . . 50 (207)

    II GLAVA

    2. KVADRATNA JEDNACINA I KVADRATNA FUNKCIJA 54 (209)2.1. Kvadratna jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (209)2.2. Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma

    na linearne cinioce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 (214)2.3. Neke jednacine koje se svode na kvadratne . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (219)

    2.3.1. Bikvadratna jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 (219)2.3.2. Binomne jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 (221)2.3.3. Trinomne jednacine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 (222)2.3.4. Simetricne (reciprocne) jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 (223)

    2.4. Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 (226)2.5. Kvadratna nejednacina. Znak kvadratnog trinoma . . . . . . . . . 83 (234)2.6. Sistem od jedne linearne i jedne ili dve kvadratne jednacine

    sa dve nepoznate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 (240)2.7. Iracionalne jednacine i nejednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 (250)

    III GLAVA

    3. EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA . 100 (256)3.1. Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 (256)3.2. Eksponencijalne jednacine i nejednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 (259)3.3. Logaritamska funkcija. Osnovna pravila logaritmovanja.

    Dekadni logaritmi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 (265)3.4. Logaritamske jednacine i nejednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 (272)3.5. Sistem logaritamskih jednacina sa dve nepoznate . . . . . . . . . . 117 (278)

    IV GLAVA

    4. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 (279)4.1. Definicije trigonometrijskih funkcija ma kog ugla . . . . . . . . . . 119 (279)4.2. Svod-enje trigonometrijskih funkcija ma kog ugla

    na trigonometrijske funkcije ostrog ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 (286)4.3. Adicione formule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 (287)

    4.3.1. Trigonometrijske funkcije zbira i razlike uglova. . . . . . . .128 (287)

  • 6 Sadrzaj

    4.3.2. Trigonometrijske funkcije dvostrukih uglova . . . . . . . . . . 130 (288)4.3.3. Trigonometrijske funkcije poluglova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 (289)4.3.4. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih

    funkcija u proizvod i obrnuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 (291)4.3.5. Kombinovani zadaci iz adicionih formula. . . . . . . . . . . . . .134 (291)

    4.4. Trigonometrijske jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 (323)4.5. Trigonometrijske nejednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 (355)4.6. Grafici trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 (361)4.7. Sinusna i kosinusna teorema sa primenama. . . . . . . . . . . . . . . . 169 (378)

    V GLAVA

    5. RAZNI ZADACI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176 (388)

    LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

    BELESKA O AUTORU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

  • IZ DREVNE ISTORIJE ALGEBRE

    Isecak iz Ahmesovog papirusa. Ova stara knjiga cuva se sada u Bri-tanskom muzeju u Londonu.

    U XVII veku pre nase ere egipatski svestenik Ahmes, po ugledu naneki jos stariji rukopis, napisao je pomenuti papirus u kome je sakupiouglavnom sva dotadasnja znanja iz geometrije i algebre. Papirus sadrziosamdeset zadataka iz algebre, svaki sa sopstvenim resenjem. Mnogi odtih zadataka bili su Odredi broj. Ovako je glasio jedan Ahmesov za-datak: Gomila, njene dve trecine, jedna polovina i tri sedmine, sabranezajedno daju 33. Odrediti gomilu. Neki su bili ocigledno samo zazabavu, na primer: Ima 7 kuca, u svakoj kuci ima po sedam macaka,svaka macka ubija sedam miseva, svaki mis pojede po sedam klasovapsenice. Svaki klas psenice ce dati 7 hektara zrna. Koliko je zita spaseno?Vecina zadataka je vezana za svakodnevni zivot (za hleb, pivo, hranjenjestoke, itd.). . .

  • ZADACI

    I GLAVA

    1. STEPENOVANJE I KORENOVANJE

    1.1. Stepen ciji je izlozilac ceo broj

    Ako je a R a 6= 0 i n N, onda:

    1 a0def= 1; 2. an

    def=

    1

    an.

    Ako su a, b R a 6= 0 b 6= 0) i m, n N, onda:1 am an = am+m; 2 am : an = amn; 3 (am)n = amn;

    4 (ab)n = an bn; 5(a

    b

    )n

    =an

    bn.

    1. Izracunati:

    a) 50 + 32 (

    1

    9

    )

    1

    ; b) (a b)0 + 0, 12 101 (a 6= b);

    c)

    (

    1

    2

    )

    2

    (

    1

    4

    )

    1

    22; d)(

    (

    11

    3

    )

    1

    22)

    3

    .

    2. Izracunati:

    a) 0, 14 + 0, 013 + 0, 0012 + 0, 00011 + 0, 000010;

    b) (x + y)0 + 0, 251 + (0, 5)2 + (0, 0010)4 (x + y 6= 0).3. Izracunati:

    a) 24 (

    1

    4

    )

    2

    ; b) 24 0, 14; c)(

    5

    2(

    3

    5

    )

    1)

    1

    ;

    d)

    22 + 5

    (

    1

    2

    )0

    3 (

    2

    3

    )

    2; e)

    32 (

    3

    4

    )

    2

    2 (

    1

    5

    )

    1; f)

    (

    (

    23

    )

    3

    + 3 23)

    2

    .

  • 10 1. Stepenovanje i korenovanje

    4. Izracunati:

    a) 0, 51 + 0, 252 + 0, 1253 + 0, 06254;

    b) 11 + 22 + 33 + (1)1 + (2)2 + (3)3;

    c)

    (

    1

    10

    )

    3

    105(

    1

    1000

    )3

    10005; d)

    0, 252 1, 7530, 752 1, 253 ; e)

    0, 12 (0, 4)0

    22

    3

    (