Zbirka Zadataka Iz Matematike III

  • View
    259

  • Download
    23

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zbirka Zadataka Iz Matematike III

Text of Zbirka Zadataka Iz Matematike III

  • 5/24/2018 Zbirka Zadataka Iz Matematike III

    1/93

    Tatjana Slijepcevic-Manger

    ZBIRKA ZADATAKA IZ

    MATEMATIKE 3

    Gradevinski fakultetSveuciliste u Zagrebu

  • 5/24/2018 Zbirka Zadataka Iz Matematike III

    2/93

    Sadrzaj

    Sadrzaj i

    1 Uvod 1

    2 Jednadzbe matematicke fizike 3

    2.1 Fourierovi redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2.2 Ravnoteza zice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.3 Oscilacije zice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.4 Provodenje topline kroz stap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.5 Ravnoteza i oscilacije membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3 Numericke metode 63

    3.1 Numericke metode za ODJ prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.1 Eulerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    3.1.2 Poboljsana Eulerova (Heunova) metoda . . . . . . . . . . . . 64

    3.1.3 Metoda Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.2 Numericke metode za ODJ drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.2.1 Metoda konacnih razlika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.2.2 Metoda konacnih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    3.3 Metoda konacnih razlika za PDJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3.3.1 Oscilacije zice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3.3.2 Provodenje topline kroz stap . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    3.3.3 Ravnoteza kvadratne membrane . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    i

  • 5/24/2018 Zbirka Zadataka Iz Matematike III

    3/93

    Poglavlje 1

    Uvod

    Predmet MATEMATIKA II I predaje se na prvoj godini diplomskog studija gradevi-narstva Gradevinskog fakulteta Sveucilista u Zagrebu. Predavanja su zapisanau internoj skripti Gradevinskog fakulteta pod nazivom MATEMATIKA III autoraProf. Dr. Sci. Tomislava Doslica i vise asistentice Dr. Sci. Dore Pokaz. Poredpredavanja, studenti moraju pohadati i auditorne vjezbe iz spomenutog pred-meta. Na tim vjezbama rjesavaju se zadaci vezani za pojedine cjeline opisane napredavanjima, i to tako da se postupak rjesavanja naznaci u osnovnim crtama inapise konacno rjesenje, dok se tehnicki dio posla, kao sto je na primjer integri-

    ranje, prepusta studentima da ga samostalno obave. Primjeceno je da nakon dvijeili vise godina tijekom kojih nisu slusali matematicke predmete, mnogi studentiimaju poteskoce u savladavanju gradiva, tj. da nisu u stanju dovrsiti zadatke svjezbi. To je bio najvazniji motiv za pisanje Zbirke zadataka iz MATEMATIKEIII koja sadrzi detaljna rjesenja zadataka s auditornih vjezbi te slicne zadatke zasamostalan rad.

    Zbirka zadataka iz MATEMATIKE III je logicna dopuna internoj skripti izspomenutog predmeta i podijeljena je u dva poglavlja. Prvo poglavlje sadrziprimjere analitickih rjesenja problema opisnih jednadzbama matematicke fizikei odgovarajuce zadatke za vjezbu. Nakon uvodne tocke o razvoju funkcija u

    Fourierove redove, slijede primjeri analitickih rjesenja rubnog problema ravnotezezice, rubno-inicijalnog problema oscilacija zice, rubno-inicijalnog problema provo-denja topline kroz stap, rubnog problema ravnoteze membrane i rubno-inicijalnogproblema oscilacija membrane. U drugom poglavlju zbirke nalaze se primjeri pri-bliznih rjesenja onih isth problema koji su rjesavani analiticki u njenom prvompoglavlju. Spomenuta priblizna rjesenja dobivena su pomocu razlicitih numerickihmetoda. Drugo poglavlje podijeljeno je na tri dijela. U prvom potpoglavljunavedeni su primjeri pribliznih rjesenja koja su dobivena Eulerovom metodomili poboljsanom Eulerovom (Heunovom) metodom ili metodama Runge-Kutta,

    1

  • 5/24/2018 Zbirka Zadataka Iz Matematike III

    4/93

    2 POGLAVLJE 1. UVOD

    problema opisanih obicnim diferencijalnim jednadzbama prvog reda. Drugo pot-

    poglavlje sadrzi primjere pribliznih rjesenja odredenih metodom konacnih razlikaili metodom konacnih elemenata, problema opisanih obicnim diferencijalnim jed-nadzbama drugog reda. U trecem potpoglavlju navedeni su primjeri pribliznihrjesenja koja su odredena numerickom metodom konacnih razlika, problemaopisanih parcijalnim diferencijalnim jednadzbama, i to za inicijalno-rubni problemoscilacija zice, inicijalno-rubni problem provodenja topline kroz stap i rubni prob-lem ravnoteze membrane. Drugo poglavlje takoder sadrzi nekoliko zanimljivihslika na kojima se vide slicnosti i razlike izmedu analitickog i numerickog rjesenjazadanog problema.

    Na kraju moram posebno zahvaliti asistentu Dr. Sci. Nikoli Sandricu i

    strucnom suradniku u mirovini Bosku Kojundzicu koji su svojim iskustvom bitnoutjecali na sadrzaj Zbirke zadataka iz MATEMATIKE III. Takoder zahvaljujemrecenzentima zbirke Prof. Dr. Sci. Aleksandri Cizmesija, Prof. Dr. Sci. Tomis-lavu Doslicu i Prof. Dr. Sci. Josipu Tambaca na izuzetno korisnim primjedbamai sugestijama.

    U Zagrebu, rujan 2012.

  • 5/24/2018 Zbirka Zadataka Iz Matematike III

    5/93

    Poglavlje 2

    Jednadzbe matematicke fizike

    2.1 Fourierovi redovi

    Pretpostavimo da jef : R R periodicka funkcija s periodom 2L(f(x+2L) =f(x), za svako x R), neprekidna osim u konacno mnogo tocaka na R i usvakoj tocki iz Rima lijevu i desnu derivaciju. Tada se funkcija fmoze razviti uFourierov red oblika

    f(x) =a0+

    n=1ancos

    n

    Lx+bnsin

    n

    Lx,

    za svaku tocku x u kojoj je funkcija f neprekidna. Fourierovi koeficijenti seracunaju na sljedeci nacin:

    a0= 1

    2L

    LL

    f(x)dx,

    an= 1

    L

    LL

    f(x)cosn

    Lxdx i

    bn= 1

    L

    L

    Lf(x)sin

    n

    L

    xdx za n

    N.

    Ukoliko je x tocka prekida funkcije f, vrijedi

    f(x) +f(x+)2

    =a0+

    n=1

    ancos

    n

    Lx+bnsin

    n

    Lx

    .

    3

  • 5/24/2018 Zbirka Zadataka Iz Matematike III

    6/93

    4 POGLAVLJE 2. JEDNADZBE MATEMATICKE FIZIKE

    1. Odredite Fourierov red periodickog prosirenja funkcije

    f(x) =

    x, < x 00, 0< x

    na skup R.

    Rjesenje: Periodicko prosirenje f funkcije f prikazano je na Slici 2.1.

    Slika 2.1: Periodicko prosirenje funkcije f

    Racunamo Fourierove koeficijente

    a0= 1

    2

    f(x)dx= 12

    0

    xdx= 12

    x2

    2

    0

    =

    4,

    an= 1

    f(x)cos nxdx= 1

    0

    x cos nxdx

    =

    u= x du= dxdv= cos nxdx v= 1n

    sin nx

    = 1n x sin nx0

    + 1

    n 0

    sin nxdx= 1n2

    cos nx0

    =cos n 1

    n2 =

    (1)n 1n2

    ,

    bn= 1

    f(x)sin nxdx= 1

    0

    x sin nxdx

    =

    u= x du= dxdv= sin nxdx v= 1n

    cos nx

    = 1n x cos nx0

    1n

    0

    cos nxdx= 1

    ncos n 1

    n2sin nx

    0

    =

    (1)nn

    .

  • 5/24/2018 Zbirka Zadataka Iz Matematike III

    7/93

    2.1. FOURIEROVI REDOVI 5

    Prema tome, za tocke neprekidnosti x

    = (2k+ 1), k

    Z, periodickog

    prosirenja f funkcije f vrijedi

    f(x) =

    4+

    n=1

    (1)n 1

    n2 cos nx+

    (1)nn

    sin nx

    .

    Za tocke prekida x= (2k+ 1), k Z, vrijedi jednakost

    2 =

    4+

    n=1

    cos n 1n2

    cos n(2k+ 1)+cos n

    n sin n(2k+ 1)

    =

    4+

    n=1

    (1)n 1n2

    (1)n = 4

    +

    k=0

    2

    (2k+ 1)2

    =

    4+

    2

    k=0

    1

    (2k+ 1)2.

    Rjesavajuci ovaj zadatak dobili smo zgodan sporedni rezultat:

    k=0

    1

    (2k+ 1)2 =

    2

    8 .

    2. Odredite Fourierov red periodickog prosirenja funkcije

    f(x) = 2, < x 02, 0< x

    na skup R.

    Rjesenje: Periodicko prosirenje f funkcije f prikazano na Slici 2.2 jeneparna funkcija (f(x) =f(x), x R), pa je an = 0, n = 0, 1, .Naime, umnozak neparne funkcije i parne funkcije kosinus je neparnafunkcija, a integral neparne funkcije na intervalu (L, L) simetricnomobzirom na nulu, u definiciji koeficijenata an, je uvijek nula. Racunamo

  • 5/24/2018 Zbirka Zadataka Iz Matematike III

    8/93

    6 POGLAVLJE 2. JEDNADZBE MATEMATICKE FIZIKE

    Slika 2.2: Periodicko prosirenje funkcije f

    Fourierove koeficijente bn:

    bn= 1

    f(x)sin nxdx= 1

    0

    2sin nxdx 0

    2sin nxdx

    = 2

    1

    ncos nx

    0

    +

    1

    ncos nx

    0

    = 2

    1

    n+

    1

    ncos n+

    1

    ncos n 1

    n=

    4

    n(cos n 1) =

    0, n paran 8

    n, nneparan.

    Prema tome, za x =n, n Z, vrijedi formula

    f(x) =

    k=0

    8

    (2k+ 1)sin(2k+ 1)x.

    Ukoliko je x= n, n

    Z, vrijedi

    k=0

    8

    (2k+ 1)sin(2k+ 1)n =

    2 + (2)2

    = 0.

    3. Odredite Fourierov red periodickog prosirenja funkcije f(x) = 2x2, x[

    2, 2

    ] na skup R.

    Rjesenje: Periodicko prosirenje f funkcije f prikazano na Slici 2.3 je

  • 5/24/2018 Zbirka Zadataka Iz Matematike III

    9/93

    2.1. FOURIEROVI REDOVI 7

    Slika 2.3: Periodicko prosirenje funkcije f

    parna funkcija (f(x) = f(x), x R), pa je bn = 0, n N. Naime,umnozak parne funkcije i neparne funkcije sinus je neparna funkcija, aintegral neparne funkcije na intervalu (L, L) simetricnom obzirom nanulu, u definiciji koeficijenata bn, je uvijek nula. Racunamo Fourierovekoeficijente an:

    a0= 1

    2 2

    2

    2

    f(x)dx= 1

    2