Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

  • View
    288

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    1/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 1

    Test broj 1

    1. a) Izraunati .0625,0log30

    71:

    5

    9:

    4

    3

    5

    12

    2

    +

    +

    b) Uprostiti( )

    .44

    2

    22 yx

    yxy

    yx

    x

    +

    2. Rjeiti jednaine:a) xxxx 2

    325

    42

    512 +=++

    b) ( )( ) ( ) ( ) .2,1

    2,1jeako,02

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    2/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 2

    Rjeenje testa broj 1

    1. a)

    ( )

    ( ) .044142

    12log22

    37

    30

    60

    37

    5,0log237

    30

    60

    251225,0log

    37

    30

    5

    9:

    4

    3

    5

    1

    0625,0log30

    71:

    5

    9:

    4

    3

    5

    1

    21

    2

    2

    22

    22

    2

    2

    2

    2

    ==+

    =+

    =

    =+

    +=+

    +=

    =+

    +

    b)( ) ( )

    ( )( )( )

    ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

    y.x-yxuslovuz

    ,1

    22

    22

    22

    2222

    2222

    2

    2244

    2

    22

    +=

    ++

    ++=

    ++

    +=

    =++

    +=

    =+

    +=

    +

    yxyxyx

    yxyxyx

    yxyx

    yxyyxx

    yxyx

    yxy

    yx

    x

    yxyx

    yxy

    yx

    x

    yx

    yxy

    yx

    x

    2. a) Ako se data jednaina pomnoi sa NZS (3,4,5), tj. sa 60, dobija se:

    ( ) ( ) ( )

    2x

    4020189

    1202520215121223

    25

    4

    2

    5

    12

    =

    +=

    +=+++

    =+

    +

    xx

    xxxxxxxx

    b) Ako je x < 2, jednaina glasi ( ) ( ) .0112

    =+++ xx Tada je:( ) ( )

    ( )-2x-1x

    2-2x-1x

    20132011 22

    ==

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    3/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 3

    3.) Za Zk,2

    xzatj.0,sinxili0cos ===

    kx jednaina je nemogua.

    Dalje, data jednaina je ekvivalentna sa :

    ( )

    .,4

    ,2

    12

    1t2t

    023

    032

    )0cossamdijeljenje(

    0cossin3sincos2

    0cossin3cossincos

    0cossin31cos1cossin3cos

    2

    2

    2

    22

    222

    2

    2

    ZllxZkkarctgx

    tgxtgx

    ttgx

    ttttgx

    tgxxtg

    x

    xxxx

    xxxxx

    xxx

    xxx

    +=+=

    ==

    ===

    =+=

    =+

    =+

    =++

    =+

    =

    4.) Nejednaina ima smisla za x > 0. Ako uvedemo smjenu81log3log 222

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    4/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 4

    Slika 2.

    6.) Neka je E podnoje visine h iz tjemena D

    (Slika 2). Tada je AE = x i

    2

    60cosc

    c = o

    Trapez je jednakokraki, pa je

    .2jetotangentnitrapez

    jekakoa,22

    odnosno,2

    bac

    bacbax

    +=

    =

    =

    Dakle, ,2 bac += 22

    bac = i a = 3, odakle je

    .2

    1

    3

    33

    3

    326

    3

    32

    =

    =

    =

    =

    =

    +=

    =

    +=

    c

    b

    bc

    b

    bc

    bb

    bc

    bc

    Visinu h dobijamo iz pravouglog trougla AED:

    .32

    32

    2

    360sin ====

    cch o

    To znai da je obim trapeza 813222 =++=++= bacO cm,

    a povrina trapeza je 3232

    13

    2=

    +=

    += h

    baP cm2.

    7.) Na osnovu formule za povrinu kupesrrMBP +=+= 2

    ( )

    .6i09610

    jedaodnosno,

    ,1096jedadobijamo

    2 ==+

    +=

    rrr

    rr

    Kako je .8jeto,222 cmHrsH == Slika 3.

    Zapreminu kupe izraunavamo po formuli

    .96tj.

    863

    1jepa,3

    1

    3

    2

    cmV

    VHBV

    =

    ==

    8.) Prema uslovu zadatka je 1qi16...2111

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    5/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 5

    Zbir svih lanova progresije izraunava se po formuli

    :slijedi153,61i16

    1izpa,

    1 2

    2111 =

    =

    =

    q

    a

    q

    a

    q

    aS

    ( )

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( ).

    4

    1

    12

    6,4094,102

    116

    16,1531256

    116

    6,1531

    1256

    1161

    11

    2

    2

    1

    =

    =

    =

    =

    +=

    =

    =

    =

    q

    a

    q

    qa

    qq

    qa

    q

    q

    qa

    Dakle, .64

    3

    256

    12

    4

    112i

    4

    14

    415 ==

    === qaaq

    9.) Znajui da je ( ) sin180sini

    sin22sincos == o , dobijamo da je

    ( ) ( ).

    16

    1

    20sin

    20180sin

    60sin

    60180sin

    16

    1

    20sin

    160sin

    60sin

    120sin

    16

    1

    80sin2

    160sin

    60sin2

    120sin

    40sin2

    80sin

    20sin2

    40sin80cos60cos40cos20cos

    =

    ==

    =

    =

    o

    oo

    o

    oo

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    oooo

    10. Mogue sastave grupe prikaimo pomou skupova (jer redosled nije bitan):{ } { } { } { } { } { },,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, VPOOVPPOVVPOPPPOPPOOPOOO gdje O oznaava oficira, P podoficira, i V vojnika.

    Od 5 oficira moemo izabrati 3 oficira na 10321

    345

    3

    5=

    =

    naina.

    etvrti lan grupe mora biti podoficir, za iji izbor imamo 41

    4

    1

    4==

    mogunosti.

    Svakom izboru 3 oficira od 5 oficira odgovaraju 4 izbora podoficira pa za ovu

    kombinaciju imamo mogua naina formiranja grupe. Slino rasuivanjeprimjenjuje se i u ostalim sluajevima. Ukupan broj traenih naina je:40410 =

    .1720400300900206040

    1

    10

    1

    4

    2

    5

    1

    10

    2

    4

    1

    5

    2

    10

    1

    4

    1

    5

    3

    4

    1

    5

    2

    4

    2

    5

    1

    4

    3

    5

    =+++++=

    =

    +

    +

    +

    +

    +

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    6/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 6

    Test broj 2

    1.) a) Izraunati .116

    1:

    63

    12

    26

    4

    16

    15

    +

    +

    +

    b) Uprostiti .2

    2

    2

    222

    aba

    b

    bab

    a

    ab

    ba

    +

    +

    2.) Rjeiti jednaine: a) ,6

    1

    3

    42

    4

    13

    2

    1 ++

    =

    +

    xxxx

    b) ( ) ( ).47124 222 xxxx =+

    3.) Rjeiti trigonometrijsku jednainu: .2

    12cos

    8

    15sincos 66 =+ xxx

    4.) Rjeiti nejednainu: ( ) .4

    1log3log

    3

    13

    +

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    7/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 7

    10.) Izraunati granine vrijednosti:

    a) ,

    2log...4log2log

    lim 2222

    n

    n

    n

    ++++ b) 2

    3 2

    0

    11

    lim x

    x

    x

    +

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    8/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 8

    Rjeenje testa broj 2

    1. a)

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )[ ] ( )

    ( ) ( ).1151216116116

    116634262163

    11669

    6312

    46

    264

    16

    1615

    116

    1:

    63

    12

    26

    4

    16

    15

    ==+=

    =++++=

    =+

    +

    ++

    =

    =+

    +

    +

    b)

    ( ) ( )

    ( )( )( ) ( )

    ( )

    ( )

    b.ai0b,0auslovuz,1

    333223

    3322

    2222

    2

    2

    2

    222

    =

    =

    =

    ++=

    ++=

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    baab

    abab

    baab

    babbaaba

    baab

    bababa

    baa

    b

    bab

    a

    ab

    ba

    aba

    b

    bab

    a

    ab

    ba

    2. a) Ako datu jednainu pomnoimo sa NZS (2,3,4,6), tj. sa 12, dobijamo:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    .1551410915

    12424133166

    1

    3

    42

    4

    13

    2

    1

    ===

    ++=++

    +

    =

    +

    x

    xxxxxxxx

    b) Ako uvedemo smjenu , dobijamo da je:txx = 42

    ( ) ( )( )

    .21344034

    4434434

    0127447124

    22

    222

    22222

    ===+=+

    =====

    =++==+

    xx

    xxxxtttxx

    tttxxxxxx

    3.) Koristei identitete:( )( )

    ( )

    ,cos1sin

    i2sincossin2

    ,3

    ,

    22

    222224224

    2233

    xx

    xxx

    bababbaa

    babababa

    =

    =

    +=+

    ++=+

    transformiemo lijevu stranu jednaine na sledei nain:

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    9/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 9

    ( ) ( )( )( )

    ( )[ ]( ).2cos1

    4

    312sin

    4

    31

    4cossin431sincos3sincos1

    sinsincoscossincos

    sincossincos

    22

    22

    222

    22

    422422

    323266

    xx

    xxxxxx

    xxxxxx

    xxxx

    =

    ==+=

    =++=

    =+=+

    Data jednaina sada ima oblik ( )2

    12cos

    8

    152cos1

    4

    31 2 = xx , odakle se sreivanjem

    dobija ekvivalentna jednaina, odnosno Uvoenjem smjene

    dobija se jednaina , ija su rjeenja

    .022cos52cos2 2 =+ xx

    tx =2cos 0252 2 =+ tt2

    1ili2 == tt . Jednaina

    je nemogua, a jednaina22cos =x212cos =x ima rjeenja .,2

    6Zkkx +=

    4.) Nejednaina ( )4

    1log3log

    3

    13

    +

    +>

    xx , odnosno

    ako je . Kako je( 3,1x ) aa nn

    loglog 1 = bie da je

    .1

    4log

    4

    1log

    4

    1log

    4

    1log 3

    1

    33

    3

    1+

    =

    +=

    +=

    +

    x

    xxx

    Osnova logaritma je vea od 1, pa je logaritamska funkcija rastua, a nejednaina

    ( )1

    4log3log 33

    +

    +

    +

    xx

    xx

    Rjeenja poslednje nejednaine su svi brojevi vei od -1 i razliiti od 1. Ako uzmemo uobzir da je ( )3,1x , konano rjeenje date nejednaine je ( ) ( ).3,11,1 x

    5.) Kanonski oblik jednaine kruga je ( ) ( ) .412 22 =++ yx Centar kruga je taka C (2,-1),a poluprenik je r =2. Jednaina prave l, odreene takama A i C, prema formuli

    ( ) ( ) .3odnosno,332

    010glasi,1

    12

    121 =

    =

    = xyxyxx

    xx

    yyyy

    Slika 4.

    Prava l i prava p, kojoj pripada tetiva, suortogonalne, to slijedi iz podudarnosti trouglova

    PAC i QAC(Slika 4.). Koeficijent pravca prave le kl = 1, a pravep je kp. Iz uslova ortogonalnosti

    pravih 1= pl kk sledi da je kp = -1. Jednaina

    prave p kojoj pripada taka A(3,0) sa

    koeficijentom pravca kp= -1 je ( )310 = xy ,odnosnoy = -x +3.

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    10/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 10

    6.) Kako su poznate sve tri stranice trougla njegovu povrinu moemo izraunati na osnovu

    Heronovog obrasca ( )( )( )csbsassP = , pri emu je2

    cbas

    ++= poluobim

    trougla ije su stranice a, b i c.U ovom zadatku je ( )( )( ) .8415211421132121jepa21 === ABCPs Na osnovuuslova zadatka, povrinu trougla ABC moemo dobiti i kao zbir povrina trouglova AOCiBOC, gdje je O centar upisanog polukruga (Slika 5.).

    Dakle, BOCAOCABC PPP += , odnosno

    22

    arbrPABC += , odakle je ( ) 8414132

    =+r

    ,

    pa je .

    9

    56=r

    Slika 5.

    7.) Na osnovu Pitagorine teoreme (Slika 6.) dobijamo da jePrenik donje osnove zarubljene kupe je 2R , a kako je i dijagonala D donje osnove

    upisane zarubljene piramide takoe jednaka 2R (Slika 7.), to e biti

    ( ) .4tj.,222 == HrRsH

    2102 aRD === ,

    pa je 25=a . Slino se iz 242 brd === dobija da je 22 .

    Slika 6. Slika 7. Slika 8.

    Povrine baza zarubljene piramide su:, pa je zapremnina zarubljene piramide222

    221 8i50 cmbBcmaB ====

    ( ) ( ) .10488505034

    33

    2211 cmBBBBH

    V =++=++=

    8.) Neka su stranice trougla 4i4, +== acaba . Sa slike 8. vidi se da je

    2i

    2

    3 ay

    ax == . Prema Pitagorinoj teoremi je:

    ( ) ( ) ( )222

    222 4422

    3jepa44 +=

    ++

    +=++ aa

    aaaayx ,

    odakle se sreivanjem dobija jednaina , ija su rjeenja02022

    = aa .10ili0 == aa Dakle stranice trougla su: .14i6,10 === cba

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    11/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 11

    Do jednaine smo mogli doi i na druginain.

    0202 2 = aa

    Na osnovu kosinusne teoreme vai (Slika 8.):( ) ( ) ( ) o120cos4244 222 +=+ aaaaa .

    Kako je2

    1120cos =o (Slika 9.) sreivanjem prethodne

    jednaine dobija se jednaina .0202 2 = aa Slika 9.

    9.) Kako je ( )

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    12/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 12

    Slika 11.

    Apscise zajednikih taaka grafika funkcija f igpredstavljae rjeenja date jednaine.

    Na slici 11 to su take A i B. To znai za 0

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    13/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 13

    Test broj 3

    1.) a) ta je vee: 13 % od 200 ili 30 % od 90?

    b) Uprostiti izraz .:22

    11122

    11

    22

    ba

    ba

    ab

    ba

    ba

    ba

    +

    +

    +

    2.) Rjeiti jednaine:

    a)3

    23

    43

    25

    44

    31

    xxx

    x

    =

    +

    + b) 12log 2

    3

    1 =+ xx

    3.) Dokazati identitet .cos84cos2cos43 4 =++

    4.) Rjeiti nejednainu ( ) ( ) .1212 166

    xx

    x

    +

    +

    5.) Odrediti jednainu tangenti elipse povuenih iz take A (2,7).1004 22 =+ yx

    6.) Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamno normalne. Izraunati njegovu povrinuako je krak cmc 52= , a odnos osnovica je 3:1.

    7.) Osnova piramide je trougao ije su stranice cmccmbcma 20i16,12 === , a boneivice su jednake i imaju duinu 26 cm. Izraunati zapreminu piramide.

    8.) Deveti lan aritmetike progresije je pet puta vei od drugog lana, a pri dijeljenjutrinaestog lana sa estim lanom dobija se kolinik 2 i ostatak 5. O kojoj progresiji jerije?

    9.) Odrediti najmanju i najveu vrijednost funkcije

    na segmentu [-1,8].

    >++

    =

    0,18

    0,2)(

    2

    x

    xxx

    xxf

    10.) Skicirati grafike funkcija:

    a) xy sin2= ; b)2

    cosxy = ; c) xy 2log 2= ; d)x

    y 1= .

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    14/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 14

    Rjeenje testa broj 3

    1. a) .100

    30902726

    100

    13200 =+ xx tj. za 0x i kako je

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    15/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 15

    ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( )

    ( )

    .cos8coscos8

    sin1cos8

    cossin8cos8

    cossin8cossinsincos7

    cossin81sincos7

    cossin6sincos2cossinsincos7

    cossin6sincossincos4cossin3

    cossin2sincossincos43

    2sin2cossincos43

    4cos2cos43

    4

    22

    22

    222

    222222

    2222

    222222222

    22442222

    222222

    2222

    ==

    =

    =

    ++=

    +=

    ++=

    ++++=

    ++=

    ++=

    =++

    4.) Zadatak ima smisla, ako je .1x Tada je:

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( ] [ ).,31,2-xtablicu)i13.i12.slike(vidjeti

    01

    320

    1

    65

    01

    66

    1

    66

    1)jefunkcijejalneeksponenciosnova(

    121212

    12

    12

    1

    12

    12

    1121212

    2

    2

    1

    66

    1

    66

    1

    66

    1

    66

    +

    +

    ++

    +

    +

    +

    +

    >

    ++

    +

    +

    +

    ++

    +

    +

    +

    +

    x

    xx

    x

    xx

    x

    xxxx

    x

    x

    xx

    xx

    x

    x

    x

    x

    xx

    x

    x

    Slika 12.

    ( )1, ( )2,1 ( )3,2 ( )+,3

    652 + xx + + - +1+x - + + +

    1

    652

    +

    +

    x

    xx - + - +

    Slika 13.

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    16/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 16

    5.) Neka je jednaina tangente elipse , iji je kanonski obliknkxy += 1004 22 =+ yx

    .1510 2

    2

    2

    2

    =+yx

    Uslov dodira ove elipse i prave nkxy += je .25100 22 nk =+

    Taka A (2,7) pripada pravoj nkxy += , pa je .27 nk+= Rjeavanjem sistema

    jednaina dobijamo da jenknk +==+ 2725100 224

    25i

    8

    3== nk , ili da je

    3

    25i

    3

    2== nk , pa su jednaine traenih tangenti:

    0.25-3y2x:i05083: 21 =+=+ tyxt

    6.) TrougloviABO i CDO su slini, jer su im odgovarajui uglovi jednaki, pa su im paroviodgovarajuih stranica proporcionalni. Kako jeAB:CD = OB:OC, tj. 3:1= OB:OC, bie

    OB = 3OC. Oznaimo du OB, OCi BCredom say, x i c. (Slika 14.).TrougaoBOCje pravougli, pa je:

    ( ) ( ) 2352 2222222 =+=+= xxxyxc iz ega slijedi da je .2=x

    Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamnonormalne i jednake, pa ako oznaimo dijagonale

    ACiBD sa d, slijedi da je:Slika 14.

    ( ) ( ) ( ).162

    24

    2

    232

    222

    2222

    cm

    yxd

    PABCD ==

    +

    =

    +

    ==

    7.) Iz podudarnosti trouglova VOB, VOC i VOA (Slika 15.; podudarne su po dvijeodgovarajue stranice i ugao naspram vee od njih) zakljuujemo da se podnoje visine

    piramide nalazi u centru opisanog kruga oko trougla ABC. Povrina baze moe seizraunati pomou Heronovog obrasca:

    ( )( )( ) .96481224 2cmcsbsassPB ABC ====

    Kako je .10964 2016124jeto,4cm

    PabcR

    RabcP =

    ===

    Slika 16.

    Slika 15.

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    17/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 17

    Visinu piramide (Slika 16.) izraunavamo pomou Pitagorine teoreme:

    ( ) ( ) .2464102610261026 2222 ==+=== RdH

    Sada moemo izraunati zapreminu piramide:

    .76824963

    1

    3

    1 3cmBHV ===

    Napomena:Ako uoimo da je bazni trougao pravougli, jer je , moemo

    koristiti formulu

    222 201612 =+

    .2

    cR =

    8.) Neka je prvi lan, a drazlika date aritmetike progresije.1a Prema uslovu zadatka slijedi da je:

    ( )

    ( ).

    3

    4

    52

    5243

    52

    43

    510212

    58

    52

    5

    11

    1

    1

    11

    11

    613

    29

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ++=+

    +=+

    +=

    =

    a

    d

    da

    dd

    ad

    ad

    dada

    dada

    aa

    aa

    Prvih nekoliko lanova progresije je : 3, 7, 11, 15, 19,... .

    9.) Funkcija je rastua ixy 2= ( ) ( ) 10,2

    11 == ff .

    Koordinate tjemena parabole

    su:

    182 ++= xxy

    .174

    i42

    =

    ==

    =a

    Dy

    a

    bx TT

    Grafik funkcije je prikazan na slici 17.

    Najmanja vrijednost funkcije je21

    i postie

    se u taki 1=x , a najvea vrijednostfunkcije je 17 i postie se u taki 4=x .

    Slika 17.

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    18/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 18

    10. a)

    = xxy

    1/4 1/2 1 2 4

    y -1 0 1 2 3

    Slika 20.

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    19/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 19

    d)

    =0,

    1

    0,1

    xx

    xx

    y

    Slika 21.

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    20/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 20

    Test broj 4

    1. a) Izraunati: .2:2 22 22

    b) Za a = 0,003 i b = 5,994 odrediti vrijednost izraza

    ( )( )

    .9

    2:

    9

    6

    3

    1

    3

    1,

    2222 ba

    bab

    ba

    b

    bababaI

    +

    +

    +

    =

    2.) Rjeiti jednaine

    a) ;31

    21

    54

    3

    23

    7

    12

    +

    =

    + xxx

    b) ( )( ) ( ) ( ) .

    1,1

    1,logjeako0 22

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    21/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 21

    Rjeenje testa broj 4

    1. a) .22222:22:2 21

    4

    1

    4

    1

    4

    1

    4

    122 22 ====

    b)

    ( )( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( ) .26

    12

    994,5003,02

    125,994;003,0

    .0,2

    ,2

    12

    2

    12

    2

    9

    9

    633

    9

    2:

    9

    6

    3

    1

    3

    1,

    22

    222222

    ==+

    =

    +

    =+

    =

    =+

    ++=

    +

    +

    +

    =

    I

    bb

    ababab

    b

    bab

    ba

    ba

    bbaba

    ba

    bab

    ba

    b

    bababaI

    2. a) Ako jednainu3

    1

    21

    54

    3

    23

    7

    12

    +=

    + xxx pomnoimo sa NZS (7,3), tj. sa 21 dobijamo

    ekvivalentnu jednainu ( ) ( ) 754237123 +=+ xxx , koja se sreivanjem svodi najednainu , a njeno rjeenje je01919 =+ x .1=x

    b) 1 Za ( ) .logje,1 2xxfx =

    ( )

    ,2

    11

    1log0log

    01loglog0loglog

    22

    22222

    ==

    ==

    =+=+

    xx

    xx

    xxxx

    pa je, zbog uslova , jedino rjeenje ove jednaine1x .1=x

    2 Za ( ) 1je,1 =< xxfx

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ,01

    0x01

    0111011 2

    ==

    ==

    =+=+

    xx

    x

    xxxx

    pa je zbog uslova jedino rjeenje ove jednaine je,1

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    22/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 22

    .,2

    ,510

    ,2

    ,2

    5

    0cos0cos5

    0cos2cos506cos4cos

    12

    6cos1

    2

    4113sin2sin 22

    ZllxZkkx

    ZllxZkkx

    xx

    xxxx

    xxcocxx

    +=+=

    +=+=

    ==

    ==+

    =

    +

    =+

    4.) Da bi rjeenja i jednaine bila pozitivna, treba da budu ispunjenisledei uslovi:

    1x 2x 02 =++ cbxax

    .0i0,0 2121 >>+ Dxxxx

    (1)( )

    ( ) ( ).,20,jepa

    022tj.,02

    221

    >>

    ==+

    k

    kkk

    k

    a

    bxx

    (2)( )( )

    ( ) ( ).,21,jepa

    ,021tj.,02

    121

    >>

    ==

    k

    kkk

    k

    a

    cxx

    (3)

    ( )( )

    ( ) .,3

    202-3k4

    081244k

    ,01244422

    22

    +

    ==

    k

    kk

    kkkacbD

    Presjek skupova rjeenja uslova (1), (2) i (3) je traeno rjeenje i nalazimo ga koristeisliku 22.

    Slika 22.

    Prema tome,

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( .,2,21,,20,,3

    2

    kkkk )

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    23/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 23

    5.) Data kriva je hiperbola iji je kanonski oblik .11824

    22

    =yx

    Dodirna taka hiperbole i

    njene tangente, paralelne datoj pravoj, bie traena taka. Data prava ima koeficijent

    pravca .23=pk Tangenta mora biti paralelna sa pravomp, pa je .2

    3=tk Uslov dodira

    prave nkxy += i hiperbole .je1 22222

    2

    2

    2

    nbkab

    y

    a

    x==

    Iz jednaine 22

    182

    324 n=

    dobija se da je .6ili6 == nn Tangente hiperbole,

    paralelne pravojp imaju jednaine:

    01223:i01223: 21 =++=+ yxtyxt

    Rjeavanjem sistema

    =++

    =

    =+

    =

    01223

    7243i

    01223

    7243 2222

    yx

    yx

    yx

    yx

    dobijaju se take P1(6,-3) iP2 (-6,3). Prema formuli za rastojanje take od prave slijedi:

    ( ) ( ) .13

    11

    49

    13263,i

    13

    13

    49

    13263, 21 =

    +

    ++==

    +

    += pPdpPd

    Dakle, taka P2 (-6,3) je traena taka.

    6.) Na osnovu sinusne teoreme vai sin

    8

    2

    15

    tj.,sinsin

    ==ba

    (Slika 23.).

    Na osnovu implikacije

    5

    3

    25

    161cos

    20

    5

    4sin ==

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    24/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 24

    Pomou Pitagorine teoreme nalazi se visina zarubljene kupe:

    ( ) .49252

    122 cmrrsH ===

    Na osnovu poznatog obrasca za zapremninu zarubljene kupe slijedi da je:

    ( ) ( ) .524425253

    4

    33

    2211 cmBBBBH

    V =++=++=

    8.) .4

    1

    2jepa,

    2

    11

    21

    1121

    21 ====+

    aPaaa

    .2

    1

    8

    1

    2jepa,2

    1

    21

    22

    21

    221

    22

    22 ======+ P

    aP

    aaaaa

    .2

    1

    16

    1

    2jepa,

    22

    1

    2

    2

    1

    23

    32

    322

    23

    23

    ===

    ===+ P

    aP

    aaaaa

    Indukcijom se moe dokazati da je niz geometrijski niz sa kolinikom,...,...,, 321 nPPPP

    2

    1=q .

    Kako je ,211

    21

    2

    11

    2

    11

    41...21

    =

    =++=n

    n

    nn PPPS

    prelaskom na graninu vrijednost, kada se nneogranoneno uveava, dobijamo da je

    .2

    1

    2

    11

    2

    1limlim =

    =

    nnn

    nS Slika 24.

    9.) Sistem ima smisla za .1i1,0,0 >> yxyx

    ( ).

    022

    1log

    2

    01log

    2

    log21log

    2

    2log

    1log

    2

    2loglog

    222

    2

    2

    2

    22

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =+

    =

    =+

    =

    =+

    xx

    yx

    yx

    x

    yx

    x

    yx

    xx

    yx

    xx

    yx

    yx

    yy

    yyy

    yxy

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    25/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 25

    Iz druge jednaine se dobije da je .1ili2 == xx Prema uslovu zadatka, jedinorjeenje sistema je .2,2 == yx

    10.a) Linije u -ravni odreene jednainamaxOy Rkkxy += ,su prave paralelne sa pravom ,xy = (Slika 25.).

    Slika 25.

    b) Jednainu napiimo u obliku122 ++= kkxkxy ( ) 1122 ++= xxky , odnosno uobliku Sada se vidi da su linije odreene ovim jednainama parabolekoje prolaze kroz takuM (1,1) za( )

    .11 2 += xky,0k i prava ,0za1 == ky (Slika 26.).

    Slika 26. Slika 27.

    c) Kako je

    + x

    x

    x

    5.) Odrediti taku krive koja je na najkraem odstojanju od prave32 22 =+yx.042 =+yx

    6.) Kroz proizvoljnu taku u datom trouglu povuene su prave paralelne stranicama i tako sudobijena tri manja trougla ije su povrineP1, P2 i P3. Kolika je povrina datog trougla?

    7.) U pravu krunu kupu sa poluprenikom osnove cmr 4= i visinom upisan jevaljak maksimalne zapremine. Izraunati tu zapreminu.

    cmH 6=

    8.) Trei lan aritmetike progresije je 9, a razlika izmeu sedmog i drugog lana je 20.Koliko lanova progesije treba sabrati da bi njihova suma bila 91?

    9.) Rjeiti sistem jednaina .84

    1422

    =++

    =++

    yxyx

    yxyx

    10.) U - ravni predstaviti skupove odreene relacijama:xOy

    a) ( ) ( ) 012 ++ xyyx , b) ( ) ( ) 01ln xxy c) ( ) ( ) 0122 ++ xyyx

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    27/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 27

    Rjeenje testa broj 5

    1. a)

    ( )

    ( ) .423

    1

    3

    1223

    3

    12

    3819

    1238192

    4

    14

    2log4

    13log

    1

    22

    12 32

    2

    =++=++=

    =++=++

    b)

    ( )

    ( )( )( )( )( )

    .,0uslovuz,

    23:3

    22

    22

    33

    222222

    22

    332

    baabbabababa

    ababbababa

    ba

    ab

    ab

    ab

    babaab

    ba

    ba

    b

    a

    a

    b

    ab

    ba

    =++

    ++=

    =

    +

    =+

    +

    2. a) Kako je( )

    =

    2,2

    2,22

    xx

    xxx

    jednainu ,1213 = xx emo rjeavati posebno u sledeim intervalima:( ).,2i2,

    3

    1,

    3

    1, +

    (1) ( ) 1223

    11213

    3

    1=

    ==+> xxxxxx

    Prema tome, skup rjeenja date jednaine je { }.1,1

    b) Kako zbirlanova beskonane geometrijske progresije postoji samo 1

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    28/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 28

    Kako je q = pozitivno to e biti ,1

    1

    xS

    = pa vai:

    ( )

    .2

    1

    2

    505124

    14142

    14

    11

    1

    2

    14

    ...1

    1

    2

    2

    32

    ===+

    =

    =

    =++++

    xxxx

    xxx

    x

    x

    xxx

    Prema uslovu zadatka, rjeenje jednaine je samo .2

    1=x

    3.)

    ( )

    .,2,2

    x

    1cos0cos

    01-cosxcosx0coscos

    cossinsincoscossin2cos

    2

    2222

    ZllxZkk

    xx

    xx

    xxxxxxx

    =+=

    ==

    ==

    =+=+

    4.) Nejednaina12

    2

    1

    1

    >

    + x

    x

    xima smisla za .

    2

    1i1 xx

    ( )( )

    ( )( )( )

    ( )( )

    +

    +

    >+

    >

    +

    >+

    .2

    1,101210

    121

    12

    0121

    12012

    21

    112

    21

    1

    2

    2

    xxxxx

    x

    xxx

    xx

    xxx

    x

    5.) Traena taka je dodirna taka elipse i njene tangente koja je paralelnadatoj pravoj Koeficijent pravca tangente jednak je koeficijentu pravca

    p. Eksplicitni oblik jednaine prave p je

    32 22 =yx.042: =+yxp

    42 += xy , iz ega slijedi da je pa je i

    . Iz kanonskog oblika jednaine elipse e:

    2=pk

    2=tk 132

    3

    22=+

    yxnalazimo da je

    3i2

    3 22 == ba , pa iz uslova dodira prave i elipse2222 bkan += nkxy +=

    12

    2

    2

    2

    =+b

    y

    a

    x, gdje je , dobijamo da je .2=k 92 =n

    Jednaine tangenti su .32:i32: 21 =+= xytxyt

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    29/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 29

    Rjeavanjem sistema

    =

    =+

    =

    =+

    32

    32xi

    32

    32 2222

    yx

    y

    yx

    yx

    dobijamo dodirne take ( ) ( ).1,1i1,1 21 PP

    Rastojanja ovih taaka do prave 042: =+yxp su:

    ( )( )

    ( ) .5

    7

    14

    4112,i

    5

    1

    14

    4112, 21 =

    +

    ++==

    +

    += pPdpPd

    Dakle, taka ( )1,11 P je taka elipse koja je najblia datoj pravojp.

    6.) Trouglovi su slinitrougluABC(Slika 28.), jer su im odgovarajuiuglovi jednaki kao uglovi sa paralelnim kracima.Ako je

    MCCMAABMB 122121 i,

    3122112 i,, aBAaAAaMBaCB ==== ,

    prema uslovu zadatka slijedi da je.aaaa =++ 321

    Slika 28.

    Povrine slinih trouglova se odnose kao kvadrati odgovarajuih stranica, pa je:

    (3)

    (2)

    (1)

    332

    23

    32

    233

    222

    22

    22

    222

    112

    2112

    211

    Pa

    aP

    a

    aPP

    a

    a

    P

    P

    Pa

    aP

    a

    aPP

    a

    a

    P

    P

    Pa

    aPa

    aPPa

    a

    P

    P

    =

    ==

    =

    ==

    ===

    Iz (1), (2) i (3) se dobija da je ,321321

    ++=++

    a

    aaaPPPP

    iz ega slijedi da je ( ) .2321 PPPP ++=

    7.) Neka je H1 visina valjka upisanog u kupu (Slika 29). Prema uslovu zadatka, visina kupea poluprenik osnove kupe je,6 cmH= .4 cmr= Na osnovu slinosti trouglova

    (Slika 29.) slijedi da je .4

    624

    4

    6 11

    1

    1

    1

    1 rHr

    H

    r

    H =

    =

    Zapremina valjka je

    funkcija od , tj.1r ( ) i1rfV=

    .62

    3

    2

    36 213112112111 rrrrHrHBVV +

    =

    ===

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    30/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 30

    Iz ( ) ( )3

    800i12

    2

    9111

    ,1

    211

    , ===+= rrrfrrrf

    slijedi da funkcija f prima svoju maksimalnu vrijednost za

    3

    81 =r pa je

    3max 9

    1282

    9

    64cmV

    == .

    Slika 29.

    8.) Zbir prvih n lanova aritmetike progresije izraunava se po formuli

    ( )[ ] .,122 1

    Nndnan

    Sn +=

    Kako je po uslovu zadatka:

    ,1

    4

    92

    205

    92

    206

    9

    20

    111

    11

    3

    27

    =

    =

    =+

    =

    =+

    =+

    =

    =

    a

    d

    da

    d

    da

    dada

    a

    aa

    to je ( )[ ],41122

    91 += nn

    odnosno .0912 2 = nn

    Rjeenja jednaine su .4

    27ili7 == nn Dakle, treba uzeti 7 lanova progresije da bi

    njihov zbir bio 91.

    9.) Sistem ima smisla za .0xyKako je

    ( )

    ,22828196

    2142142141422

    2222

    xyyxyx

    xyyxyxyx

    +++=

    =+++=

    to je

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    31/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 31

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    .01610

    10

    841010

    10

    84

    10

    84

    8419628

    84

    19628

    84

    22828196

    84

    14

    2

    2222

    2222

    22

    22

    22

    22

    =+

    =

    =++

    =

    =++

    =+

    =++

    +=+

    =++

    +=++

    =++

    +++=

    =++

    =

    yy

    yx

    yyyy

    yx

    yxyx

    yx

    yxyx

    yx

    yxyx

    yxyxyx

    yxyx

    xyyxyxxy

    yxyx

    yxxy

    Rjeavanjem druge jednaine sistema dobijamo da je .2ili8 == yy

    Skup rjeenja sistema je ( ) ( ){ }.8,2,2,8

    2. Nain

    Kako je to e dati sistem biti ekvivalentan sistemu:( ) ,222 xyyxyxyx +=++

    ( ).

    84

    142

    =+

    =++

    xyyx

    xyyx

    Uvoenjem smjene xybyxa =+= , dobija se da je

    ( )( ).

    4

    10

    6

    14

    84

    14

    84

    1422

    =

    =

    =

    =+

    =+

    =+

    =

    =+

    b

    a

    ba

    ba

    baba

    ba

    ba

    ba

    Prelaskom na stare promjenjive, jednostavno se dolazi do rjeenja sistema.

    10. a)

    ( )( )( ) ( )( ) ( ).11

    010010

    01

    22

    22

    2

    ++++

    ++

    xyxyxyxy

    xyyxxyyx

    xyyx

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    32/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 32

    2xy 1xy 12 xyxySlika 30. Slika 31. Slika 32.

    Presjek skupova prikazanih na slikama 30. i 31. predstavljen je na slici 32.

    2xy 1xy 12 xyxySlika 33. Slika 34. Slika 35.

    Presjek skupova prikazanih na slikama 33 i 34 predstavljen je na slici 35

    .( ) ( )11 22 xyxyxyxy

    Slika 36.

    Unija skupova prikazanih na slikama 32. i 35., tj. konano rjeenje prikazano je na slici

    36.

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    33/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet 33

    b)

    ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1ln1ln

    010ln010ln01ln

    xxyxxy

    xxyxxyxxy

    xy ln 1x 1ln xxySlika 37. Slika 38. Slika 39.

    Presjek skupova prikazanih na slikama 37. i 38. predstavljen je na slici 39.

    1x xy ln 1ln xxySlika 40. Slika 41. Slika 42.

    Presjek skupova prikazanih na slikama 40. i 41. predstavljen je na slici 42.

    .

    ( ) ( )1ln1ln xxyxxy Slika 43.

    Unija skupova prikazanih na slikama 39. i 42. predstavljena je na slici 43., to je ikonano rjeenje zadatka.

  • 7/29/2019 Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

    34/34

    Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    c)( )( )

    ( ) ( )( ) ( )xyyxxyyxxyyxxyyx

    xyyx

    ++

    ++++

    ++

    11

    001001

    01

    2222

    2222

    22

    122 +yx xy xyyx + 122

    Slika 44. Slika 45. Slika 46.

    Presjek skupova prikazanih na slikama 44. i 45. pretstavljen je na slici 46.

    122 +yx xy xyyx + 122

    Slika 47. Slika 48. Slika 49.

    Presjek skupova prikazanih na slikama 47. i 48. pretstavljen je na slici 49.

    xyyxxyyx ++ 11 2222

    Slika 50.

    Unija skupova prikazanih na slikama 46. i 49. predstavljena je na slici 50., to je i

    konano rjeenje zadatka.