Zbirka rešenih zadataka iz matematike za kvalifikacioni ispit za upis u srednje škole 2010-2011 godine (sa teorijskim uvodom)

  • Author
    sintos

  • View
    37.851

  • Download
    14

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zbirka zadataka iz matematike

Text of Zbirka rešenih zadataka iz matematike za kvalifikacioni ispit za upis u srednje škole 2010-2011...

SADRAJ 1. Realni brojevi (uvodne teorijske napomene)........................................3 1.1. Zadaci 1-19........................................................................................17 2. Stepen i kvadratni koren......................................................................27 2.1. Zadaci 20-37......................................................................................31 3. Algebarski izrazi i polinomi.................................................................37 3.1. Zadaci 38-71......................................................................................464. Koordinate i linearna funkcija............................................................554.1. Koordinate-zadaci 72-83...................................................................63 4.2. Linearna funkcija -zadaci 84-100....................................................71 5. Proporcije.............................................................................................835.1. Zadaci 101-122.................................................................................966. Linearne jednainei nejednaine sa jednom nepoznatom.............1066.1. Zadaci 123-154...............................................................................113 7. Sistemi linearnih jednaina..............................................................1267.1. Zadaci 155-180...............................................................................1308. Trougao-primena Pitagorine teoreme..............................................153 8.1. Zadaci 181-199...............................................................................1609. etvorougao.......................................................................................1839.1. Zadaci 200-224...............................................................................18910. Mnogougao......................................................................................21310.1. Zadaci 225-239.............................................................................21611. Krug.................................................................................................22711.1. Zadaci 240-260.............................................................................23212. Sloene figure..................................................................................25312.1. Zadaci 261-273.............................................................................258 13. Slicnost.............................................................................................27113.1. Zadaci 274-293.............................................................................27914. Prizma..............................................................................................29814.1. Zadaci 294-309.............................................................................30515. Piramida...........................................................................................31815.1. Zadaci 310-322.............................................................................32716. Valjak...............................................................................................34016.1. Zadaci 323-332.............................................................................34317. Kupa.................................................................................................35417.1. Zadaci 333-342.............................................................................35718. Lopta................................................................................................36918.1. Zadaci 343-350.............................................................................37119. Primeri ispitnih kombinacija..........................................................37820. Ispitna kombinacija 2010. - klju za ocenjivanje..........................384 sintos REALNI BROJEVI O BROJEVIMA Da se podsetimo skupova brojeva: Skup prirodnih brojeva jeN={1,2,3,4,5,6,7,} Ako skupu prirodnih brojeva dodamo i nulu onda imamo skup 0N ={0,1,2,3,} Meutim, u skupu prirodnih brojeva su definisane samo operacije sabiranja i mnoenja ( + i o ). Kako sad pa to? Pa ako recimo pokuamo da izraunamo koliko je 3 5 =? ili10: 4 = ? videemo da reenja nisu u skupu prirodnih brojeva jer je 3 5 = -2 a 10 : 4 = 2,25. Dakle , treba nam neki vei skup brojeva od skupa N. Skup celih brojeva je Z = { ,-3,-2,-1,0,1,2,3,} Ovde su definisane operacije + , - , i oalideljenje jo ne radi. Traimo neki jo vei skup... Skup racionalnih brojeva Q = {qpN q Z p , } Ovde su definisane operacije+ , - , o , : , dakle ovde radi i deljenje. Ovom skupupripadaju svi celi brojevii razlomci oblika qp, a mora da vai da jeN q Z p , .to sad pa ovo? Pa poto deljenje sa nulom nije dozvoljeno( bar ne zasad...) mi se obezbedimo saN q da dole nije nula. Ako su predstavljeni u decimalnom zapisu , racionalni brojevi imaju konaan broj decimala, ili se te decimale periodino ponavljaju. Da razjasnimo ovo na nekoliko primera: 5 , 327= je racionalan broj 3 , 1 ... 333 , 1913= =je racionalan broj 3 76 , 0 ... 767676 , 09976= =je racionalan broj 0,24356835nije racionalan broj jer nema brojeva koji se periodino ponavljaju... Pa kakvi su onda to brojevi? Iracionalni brojevi su neperiodini beskonani decimalni brojevi, i ovaj skup se obeleava sa I. Skupu iracionalnih brojeva jo pripadaju koreni svih prostih brojeva ( , 3 , 2 ..ali i kombinacije na tu temu kao na primer:3 2 12 , 1 2 = +itd)ikonstanta14 , 3 . Unija skupa racionalnih brojeva Q i skupa iracionalnih brojeva I nam daje skup realnih brojeva R. Dakle:R = Q I Na slici bi to izgledalo:

NZQIR KRITERIJUMI DELJIVOSTI, NZD I NZS Broj je deljiv sa 2 ako se zavrava sa 0,2,4,6,8 Primer: 8 33 je deljiv sa 2jer se zavrava sa 8 5 633 nije deljiv sa 2 jer se zavrava sa 5 4 Broj je deljiv sa 3 ako mu je zbir cifara deljiv sa 3 Primer: 141 je deljiv sa 3 jer je 1+4+1 = 6 a 6 je deljivo sa 3, to jest 141:3 = 47 224nije deljivo sa 3 jer je2+2+4 = 8a8 nije deljivo sa 3 Broj je deljiv sa 5 ako mu je poslednja cifra 0 ili5 Primer: 5 77je deljiv sa 5 jer se zavrava sa 5to jest 775:5 = 155 1 32 nije deljiv sa5 jer se zavrava sa 1 Ova tri kriterijuma su nam najznaajnija, naveemo vam jo neke : Broj je deljiv sa 4 ako je njegov dvocifreni zavretak deljiv sa 4 Broj je deljiv sa 6 ako je deljiv sa 2 i sa 3 Broj je deljiv sa 8 ako mu je trocifreni zavretak deljiv sa 8 Broj je deljiv sa 9 ako mu je zbir cifara deljiv sa 9 ( isti kriterijum kao i za 3) Broj je deljiv sa 10 ako se zavrava sa 0, sa 100 ako se zavrava sa 00 , itd. Prosti brojevi su deljivi samo sa jedinicom i sa samim sobom. Prvih nekoliko prostih brojeva je :2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 Sloeni brojevisu deljivi sa jo nekim brojem osim sa jedinicom i sa samim sobom. Prvih nekoliko sloenih brojeva je:4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 Jedinica po dogovoru nije ni prost ni sloen broj. Najvei zajedniki delilac (NZDili samo D) je najvei broj sa kojim moemo podeliti date brojeve. Primer :Nadji NZD za brojeve 18i24. Moemo razmiljati ovako: 5 18 je deljivo sa 1, sa 2, sa 3, sa 6i sa 18 24 je deljivo sa 1,sa 2, sa 3, sa 6, sa 8, sa 12 i sa 24 Dakle 18 i 24 su zajedno deljivi sa 1,sa 2, sa 3isa 6 i sve su ovo njihovi zajedniki delioci. Ali nama treba najvei, pa uzimamo da je to 6. Moda je vama lake da radite sledei postupak( koji ste najverovatnije radili i u koli): 18, 24ovde upisujete prost broj(2,3,5) ali tako da su oba broja deljiva sa njim! Kako su oba deljiva sa 2, imamo 18,24 2 9, 12 3( pazi, ovde ne moe vie 2 jer 9 nije deljivo sa 2) 3,4gotov postupak, jer nema vie brojeva sa kojima moemo podeliti i 3 i 4, a da to nije jedinica. Sad jednostavno pomnoimo brojeve na desnoj strani: D (18,24) =2*3 = 6 Najmanji zajedniki sadralac (NZS ili samo S) je najmanji broj koji je deljiv sa datim brojevima. Primer:NadjiNZSza brojeve 8 i 12. Moemo razmiljati ovako: Brojevi deljivi sa 8 su :8,16,24, 32,40,48,56, 64 Brojevi deljivi sa 12 su :12,24,48, 96, Uoimo brojeve koji su deljivi i sa 8 i sa 12, to su: 24, 48, itd Nama od ovih brojeva treba najmanji a to je oigledno broj 24. 6 Dakle: S (8,12) = 24 Standardnim postupkom bi bilo: 8,12 2 4, 62 2, 32 pazi, kod NZS ne moraju oba da budu deljiva upisanim prostim brojem 1, 331 Pomnoimo brojeve na desnoj strani: S (8,12) = 2*2*2*3 = 24 RAZLOMCI Razlomak je kolinik dva prirodna broja ba ,odnosno ba je isto kao i b a : crta razlomackaimenilacbrojilac aje brojilac, bje imenilacarazlomaka crta menja operaciju deljenje Kakav sve moe biti razlomak? i)Ako je ba < 1onda je razlomak pravi,na primer: 118;53;127; ii)Ako je ba > 1onda je razlomak nepravi, na primer: 1128;513;1221; iii)Ako jeba = 1 (ili drugi ceo broj)onda je razlomak prividan, na primer : 1155;515;22; Proirivanje razlomakapodrazumeva da se brojilac i imenilac pomnoe istim brojem. Primeri: 1042 52 252==poetni razlomak smo proirili sa 2 7 1563 53 252== poetni razlomak smo proirili sa 3 Skraivanje razlomaka podrazumeva da se brojilac i imenilac podele istim brojem. Primeri: 3212 : 3612 : 243624= = Savet: uvek skratite razlomak najveim moguim brojem (to je ustvari NZD za ta dva broja) Kako se sabiraju i oduzimaju razlomci? Mogue je sabirati i oduzimati samo razlomke sa istim imeniocem! Primer: 101107 5 3107105103= += + Sabiranje ( oduzimanje) razlomaka nejednakih imenilaca vri se proirivanjem razlomaka na isti imenilac, odnosno nadjemo NZS za imenioce...pa izvrimo proirivanje. Primer: = +874361 najpre nadjemo NZS za 6,4 i 8 6, 4, 82 3, 2, 42 3, 1, 22 Dakle S(6,4,8) = 2*2*2*3 = 24 3, 131 Dole u imeniocu je24, a to znai da prvi razlomak proiravamo sa 4, drugi sa 6 i trei sa 3 = +8743612412421 18 4243 7 6 3 4 1= += + Kako se mnoe i dele razlomci? Razlomci se mnoe tako to pomnoimo brojilac sa brojiocem a imenilac sa imeniocem.Naravno, uvek646 : 366 : 243624= =8 prvo pogledamo da li neto moe da se skrati d bc adcba= Primer: 21107 35 27532== Nema nita za skraivanje... Ako je mogue, skraivanje vrimo unakrsno iuspravno: dcba ili( i )dcbaPrimer: = 69104(Skratimo 4 i 10 sa 2 a9 i 6 sa 3) = 2352 = (Sad moemo 2 i 2 sa 2) =1351 =53 Razlomci se dele tako to se brojilac prvog razlomka podeli sa brojiocem drugog razlomka i imenilac prvog sa imeniocem drugog razlomka, pod uslovom da su oni deljivi.

d bc adcba::: = Primer: 234 : 85 : 1545:815= = Ako nisu deljivitada se prvi razlomakpomnoirecipronom vrednou drugog razlomka. cdbadcba = : Primer: 1514573275:32= = ta je to meoviti broj? Svaki nepravi razlomak ba > 1se moe izraziti preko meovitog broja. 9 Primeri: 31237=ita se: dva cela i jedna treina 543519=tri cela i etiri petine A kako meoviti broj prebaciti u razlomak? CB C ACBA+ = Primeri: 52252 5 4524 =+ = 81983 8 2832 =+ = Procentni zapis razlomka baba % 100 =Dakle, brojilac pomnoimo sa 100% a imenilac ne diramo, naravno posle skratimo ako je mogue Primeri: % 40 %52005% 100 252= == %31003% 100 131== Obrnuto , prei iz procenta u razlomak je jo lake: 100%xx =Dakle, samo dopiemo 100 u imeniocu. Primeri: 2511004% 4 = =10 1003% 3 = 8110001251005 , 12% 5 , 12 = = = Decimalni zapis razlomaka Prvo da se podsetimo lake stvari: prelaska iz decimalnog zapisa u razlomak: -Ako ima jedno decimalno mesto, taj broj kroz 10 -Ako ima dva decimalna mesta, taj broj kroz 100 -Ako ima tri decimalna mesta, taj broj kroz 1000 Itd. Primeri: 10277 , 2 = ; 521044 , 0 = =;101533 , 15 = ; 100909 , 0 = ;10054141 , 5 = ; = =1005555 , 0 (skratimo sa 5) = 2011 10009009 , 0 = ;100014123123 , 14 = Uvek je tee prei iz razlomka u decimalni zapis. Kako razlomaka crta menja operaciju deljenja , uvek moemo podeliti brojilac i imenilac i prei u decimalni zapis, ali vodite rauna da se moe desiti da se javi beskonano ponavljanje jednog ili vie brojeva! Primeri: i) = = 2 : 727Dakle sad trebamo podeliti 7 sa 2 7 : 2 = 3,5-6 10 -10 0 11 ii) = = 15 : 1151 1 : 15 = 0,066.. -0 10 -0 100 -90 100 -90 itd. Evo primera gde e 6 da se ponavlja beskonano mnogo puta...zato pazi... Da bi imali brzinu u radu, toplo vam preporuujemo da zapamtite sledee veze: =210,525 , 041==510,2 125 , 081=

=430,75=520,4 375 , 083=

=530,6625 , 085= 8 , 054=875 , 087= Kako raditi sabiranje i oduzimanje u decimalnom zapisu? Ovde imamo sledei savet: Potpisujte i obavezno zarez ispod zareza. Primeri: i) 2, 34 + 14, 02 = ? 2,34 +14,02 16,36 12 ii)0,25+ 15, 138 = ? 0,25 +15,138 Pazi da se ne zbuni, ako negde fali broj, slobodno dodaj nulu( naravno, sa desne strane). 0,250 +15,138 15,388 iii)4,31 3, 998 = ? 4,310 -3,998 0,312 Kako se mnoi u decimalnom zapisu? Datim brojevima u decimalnom zapisu skinete zareze i ta dva broja pomnoite normalno. Zatim prebrojite decimalna mesta u oba data broja . U reenju , s desna na levo , odbrojimo toliko mesta i tu upiemo zarez. Naravno, uvek imate opciju da predjete u razlomak i tako pomnoite ta dva broja. Primeri: i)3,5 * 4,22=? Dakle skinemo zareze:35* 422 = 14770 , ovde sa desna na levo odbrojimo tri mesta jer3,5 * 4,22 ukupno ima 3 decimalna mesta, pa je reenje: 14,770, odnosno 14,77 ii)0,5 * 0,002 = ? Ovde mnoimo samo 5 * 2 = 10 Ukupnoima4decimalna mesta:0,5 * 0, 002Kako sada? Kad u broju 10 nema toliko mesta? U ovakvoj situaciji dopisujemo nule, da bi napravili ta 4 decimalna mesta: 0, 0010 = 0,001 jer nam ova nula na kraju ne treba. Ako vam ovo nije ba najjasnije, predjite u razlomak: 13 0,5 * 0,002 =01 . 01001100001010002*105= = = Deljenje - decimalni zapis: Postoji vie naina da se odradi deljenje brojeva datih u decimalnom zapisu.Kao i kod mnoenja uvek imate opciju da predjete u razlomak i obavite deljenje. Jedan od naina je i da izvrimo proirivanje oba broja sa 10,100,1000,... tako da napravimo da delilac bude ceo broj. Primeri: i)2,7: 0,3 = ? Dakle oba proirimo sa 10, pa dobijamo 27 : 3 = 9 ii)0, 35 : 1,6 = ? Obaproirimo sa 10, pa imamo3,5: 16 =? 3,5 : 16 = 0,21875 -0 35 -32 30 -16 140 -128 120 - 112 80 -80 o A da smo ili preko razlomaka: 160351610*100351016:10035= = Da vas podsetimo i pravila za sabiranje i oduzimanje brojeva: i)Ako su brojevi istog znaka, onda ih saberemo i uzmemo taj isti znak ii)Ako su brojevi razliitog znaka, onda ih oduzmemo i uzmemo znak veeg od njih iii)Ako ispred broja nema znak, podrazumeva se da je plus 14 Primeri: - 4 5 = - 9 Zato? Brojevi su istog znaka, pa ih saberemo 4+5 = 9, i uzmemo taj isti znak, dakle 9 + 10 + 2 = 12 -15 +13 = -2Zato? Brojevi su razliitog znaka, pa ih oduzimamo, a poto je 15>13 znak je -16 + 20 = + 4 Ako vas negde zadesi zagrada, setite se one pesmice: Ispred zagrade manje(-) nastaje menjanje, ispred zagrade vie (+), zagrada se brie! Primeri: 10 ( - 2) = 10 + 2 = 12 10 (+ 2) = 10 2 = 8 10 + (-2) = 10 2 = 8 Za mnoenje i deljenje brojeva uvek prvo odredite znak:

= + = ++ = + = + + = + = ++ = + = + +:::: Primeri: -8 * (-4) = + 32 (ili samo 32, poto + ne moramo da piemo) -10 * 9 = - 90 5315 = Zato?Kod trojke je +, a -:+=- 15 Apsolutna vrednost broja < =0 ,0 ,a aa aa Ovo je definicija, koju vi naravno nita ne razumete...Da probamo da pojasnimo Kad vam je samo broj pod apsolutnom vrednou, on uvekizlazi kao pozitivan broj. Na primer: 5 5 =

5 5 = + Ali ako imate nepoznatu: x ili y ili z ili bilo koje slovo onda ta nepoznata ima dve vrednosti. Na primer:Rei jednainu: 7 = x Ovde x moe da bude 7 ali moe da bude i-7, tako da imamo dva reenja! Slino je i kod korena:x x =2 Na primer: Rei jednainu: 162= x Ovde vodite rauna, jer emo opet imati dva reenja 416162 = ==xxx Pa su reenja:x = + 4ili x = - 4 16 Realni brojevi 180,2100 2 180,2100 2 90,1050 2 90,1050 2 45,525 345, 525 3 15,175 515, 175 33,35 5, 175 5 1,35 5 77 1 D(180,2100)=2235=60S(180,2100)=2233557=6300 B) 46,69,9223 46,69,922 2,3,4 23,69,462 23,69,233 23,23,2323 1,1,1 D(46,69,92)=23 S(46,69,92)=22323=276 A)Najbolje je da potraimo NZS, pa emo videti... 120,12602 60,6302Odavde zakljuujemo da su prosti delioci:2, 3 i 5 30,3153 10,1055 2,21 Iskoristiemo reenje pod A i nai NZD: D(120, 1260)=2235=60 17 Dakle razlomak 1260120 mozemo skratiti sa 60. 21260 2160 21260120== Uoimo da je: . 333 , 0 3 : 13175 , 0 4 : 3433 2 3 4 3 4 12= == == = = Dakle ima tri elementa (po dva su ista)

Da bi promali najmanji broj iz ovog skupa uoimo negativne brojeve: 15 ,323 i 5 , 15 Oigledno da je najmanji5 , 15 . Najvei broj emo pronai od preostalih: ; 0,004;0,04 12 Ovde je oigledno 12 najvei broj.Dakle odgovori su: A) -15,5B) 12 A) 23,7-6,11+0,2560= Najpre izvrimo mnoenje: 2560=1500- Odavde dobijemo dve decimalna mesta 18 0,2560=15,00=15 Vratimo se u zadatak: 23,7-6,11+0,2560= 23,7-6,11+15= Na stranu izrazimo: 59 , 176,11 -23,70________ =17,59+15=32,59 B) 0,8+1,45-0,32:0,8= Na stranu: 1,45=? 145=70 1,45=7,0=7 0,32:0,8=?0,32:0,8= proirimo sa 10 3,2:8=0,4 Vratimo se u zadatak: 0,8+1,45-0,32:0,8= 0,8+7-0,4= 7,8-0,4=7,4 Najpre postavimo zadati izraz: = ||

\|+ ) 5 , 2 ( :217 25 , 1Dalje moemo sve prebacivati u razlomak ili sve raditi u decimalnom zapisu. Mi emo vam pokazati oba naina pa vi odaberite. 19 255242525:4 30 525:215451025:215100125) 5 , 2 ( :217 25 , 1 =||

\| = ||

\| ||

\| + = ||

\| ||

\|+ =||

\|||

\|+ = ||

\|+ = + ||

\| ) 34 , 3 5 , 8 ( 5 , 2512 Nama je lake da sve prebacimo u decimalni zapis: = + = = =) 34 , 3 5 , 8 ( ) 5 , 2 2 , 2 (2 , 2 5 : 11511512 = 84 , 11 5 , 5 ( pazi, znak reenja je - a moramo od 11.84 oduzeti 5,5)=-6,34 _______ 11,845, 506, 34 Najpre emo nai vrednost izraza A i B 32333113313131:31319293 13191313131 = = = ||

\| + = == = =BA Sada traimo A-B=? 9496 232923292=+ = + = ||

\| = B A 5 , 2 ) 5 , 2 ( : 25 , 6) 5 , 2 ( : ) 5 , 7 25 , 1 () 5 , 2 ( :217 25 , 1 = = + = ||

\|+ 20 375 , 1 125 , 0 5 , 1 125 , 023125 , 02112 , 1 6 , 0 9 , 0 5 , 1539 , 0 5 , 1= = = == + = + =ba _________1, 5000,1251, 375 c=0,5 a-b+c=1,2-1,375+0,5=( prvo saberemo pozitivne: 1,25+0,5=1,7)=1,7-1,375=0,325 _________1, 7001, 3750, 325 A)(2828:28-2008:20):(0,28-0,2)= =(101-100,4): 0,08= =0,6: 0,08=( proirimo sa 100 ) =60: 8=7,5 B) 0,01 0,1- 0,1: 0,01+0,01: 0,1= Odradimo mnoenje na stranu: 0,010,1=( poto je 11=1, odvojimo tri decimalna mesta)=0,001 0,1:0,01=( proirimo sa 100 )=10:1=10 0,01:0,1=( proirimo sa 100 )=0,1:1=0,1 Vratimo se u zadatak: =0,001-10+ 0,1=0,101-10 = - 9,899 + 21 _________10, 0000,1019, 899

A) 5102,3420=( Ovde naravno moemo mnoiti redom,ali je pametnije prvo pomnoiti 520=100 ) =100102,34=10234 B) = + + ==||

\| +||

\| + 121730114330111273011125130114330111273011 Ovde emo izvui ispred zagrade 3011 kao zajedniki 24111212111215301112 17 9 730111217431273011= = =+ =

+ = A) 748 , 0 ) 2 , 1 (321 < ( Pazi: --=+ ) 7454241174108101235 < < + 22 0 funkcija je rastuai sa pozitivnim smerom x-ose gradi otar ugao. Ako je k0 tj. 0 > + n kxi grafik jeiznad x-ose. Funkcija jenegativna za y y za ,nkx0 > y za nkx ,0 < y za nkx , 0 < y za ,nkx61 Ako se u zadatku kae da grafik prolazi kroz neku taku) , (0 0y xonda koordinate te take smemo da zamenimoumesto x i y u datoj jednainin kx y + = Dakle:n kx y + =0 0 Dva grafika 1 1n kx y + = i 2 2n kx y + = e biti paralelnaako je 2 1k k = , a normalna ako je12 1 = k k . Dakle: - uslov paralelnosti je 2 1k k = - uslov normalnosti je12 1 = k k 62KOORDINATE xy1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -512345-1-2-3-4-50A(3,0)B(-2,2) Rastojanje take A(3,0) od y - ose je oigledno 3. Rastojanje take B(-2,2) od x ose je oigledno 2. Neka taka P ima koordinate P(x,y). Kako P ima istu apscisu ( prvu koordinatu) kao i taka A(5,8), to je x = 5, dakle P(5,y). Taka B (93, -4) ima ordinatu ( drugu koordinatu) -4 to je y = -4. Konano : P(5, -4) PAZI: Kod ovih zadataka ne treba pisati jedinice mere: cm, dm , m itd 63 Mi vam predlaemo da najpre prouite i dopunite sliku... xy1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -512345-1-2-3-4-50A(3,2)P(3,-2)Q(-3,2)R(-3,-2) Taka P je simetrina sa takom A u odnosu na x osu. To nam govori da je njena prva koordinata 3, a zbog simetrinosti ona mora biti udaljena isto kao i taka A u odnosu na x osu, dakle 2, ali poto je taka P ispod x ose , njena druga koordinata bie 2. Dakle P(3, -2) . Slino razmiljanje je i za ostale take... I ovde vam predlaemo da najpre prema datim podacima najpre dopunite sliku... 64 xy1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -512345-1-2-3-4-50A BC 1)Rastojanje izmeu O i A je oigledno2 0 = 2 2)Rastojanje izmeu A i B je 5 2 = 3 3)Rastojanje izmeu A i C emo nai primenom Pitagorine teoreme. Oigledno je = 2 i CO = 1, pa je : 2 2 2222 14 155ACACACAC= += +== Da vas podsetimo , povrina trougla se rauna; ;2 2 2a b cah bh chP P P = = = . Odnosno pomnoimo duinu stranice sa duinom odgovarajue visine , pa to podelimo sa 2. Moemo nai duinu stranice AB. AB = 6 1 = 5 Njena visina je 4 2 = 2. Pogledajmo to i na slici 65 xy1 2 3 4 5123450 6ABC52 Dakle: 5 225PP== Obeleimo koordinate take D sa D(x,y). Osobina paralelograma je da su mu naspramne stranice paralelne i jednake! Duina stranice AB je 3 0 = 3, pa i DC mora biti 3. Kako C ima prvu koordinatu 5, to je prva koordinata za D jednaka5 - 3 = 2. Dakle D(2, y), za sad. Take C i D moraju zbog paralelnosti sa AB da imaju iste i druge koordinate, dakle D(2,3) xy1 2 3 4 5123450 6A BC D33(2,3) (5,3) 66 Nacrtajmo prvo sliku... xy1 2 3 4 5123450 6A(1,2)B(4,3)A`(1,0) B`(4,0)A``(0,2)B``(0,3) Na x-osi projekcije su A`(1,0) i B`(4,0) Na y-osi projekcije su A``(0,2) i B``(0,3) 1) Odredimo najpre projekcije taaka A i B na x osu. To su A`(1,0) i B`(5,0). Taka S` je na sredini pa je po formuli : 1 2 1 21 5 0 0`( , ) `( , ) `(3, 0)2 2 2 2x x y yS S S+ + + += =2) Projekcije na y osu su A``(0,1) iB``(0,3), pa je: 1 2 1 20 0 1 3``( , ) ``( , ) ``(0, 2)2 2 2 2x x y yS S S+ + + += =xy1 2 3 4 5123450 6A(1,1)B(5,3)A`(1,0) B`(5,0)A``(0,1)B``(0,3)S(3,2)S`(3,0)S``(0,2) 3)1 2 1 21 5 1 3( , ) ( , ) (3, 2)2 2 2 2x x y yS S S+ + + += = 67 Preko formule za sredinu dui lako dolazimo do reenja... 1 2 1 23 3 2 4( , ) ( , ) (0,1)2 2 2 2x x y yS S S+ + + += = Na slici bi to izgledalo ovako : xy1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -512345-1-2-3-4-50A(-3,-2)B(3,4)S(0,1) Obeleimo koordinate take B sa 2 2( , ) Bx y . Ovde imamo obrnutu situaciju, imamo sredinu dui ijednu krajnju taku, a trebamo pronai koordinate druge krajnje take. Naravno, koristiemo poznatu formulu za sredinu dui.

1 2222225225 44 51sx xxxxxx+=+=+ == =

1 2222221321 66 15sy yyyyyy+=+=+ == = Koordinate take B su dakle B( -1, 5 ) 68 Najpre emo koristei formulu za sredinu dui , nai taku S koja je sredina dui OB gde je O(0,0) i B(4,4) 1 2 1 20 4 0 4( , ) ( , ) (2, 2)2 2 2 2x x y yS S S+ + + += = Dalje traimo koordinate take T koja je sredina dui AC gde je A(3,1) i C(1,3)

1 2 1 23 1 1 3( , ) ( , ) (2, 2)2 2 2 2x x y yT T T+ + + += = xy1 2 3 4 5123456A(3,1)B(4,4)C(1,3)O(0,0)S(2,2)=T(2,2) ta se desilo? TakeT i S imaju iste koordinate, pa ustvari predstavljaju jednu taku! Ta taka dakle polovi dijagonale ovog etvorougla, a to je kao to znamo osobina paralelograma! 69 Da najpre naemo koordinate take S , kao sredine dui AC, gde je A(1,1) i C(1,5). 1 2 1 21 1 1 5( , ) ( , ) (1, 3)2 2 2 2x x y yS S S+ + + += = xy1 2 3 4 5123450 1 2 3 - - -A(1,1)B(3,3)C(1,5)D(-1,3)S(1,3)2 Poto se dijagonale kvadrata meusobno polove pod pravim uglom , zakljuujemo da su dui SA, SB, SC, SD meusobno jednake i iznose 3-1= 2. Dakle:SA=SB=SC=SD = 2 Kako je dijagonala AC paralelna sa y osom , to dijagonala BD mora biti paralelna sa x osom i take B i D moraju imati istu y (ordinatu) koordinatu kao i taka S.( to jest 3) Taka D ima apscisu ( prvu koordinatu) 1 2 = -1. Taka B ima apscisu 1 + 2 = 3. Dakle, koordinate preostala dva temena kvadrata su:D(-1,3)iB( 3,3) 70LINEARNA FUNKCIJA U datoj funkciji emo zamenjivati date vrednosti za x i raunati y. za x = -41121( 4) 122 13y xyyy za x = -21121( 2) 121 12y xy yy

za x = 0112120 10 11y xyyy za x = 211212211 10y xyyy za x = 411214 1y22 11xyyy za x = 611216 123 12y xyyy

za x = 811218 124 13y xyyy Sada moemo popuniti tablicu: x - 4- 2 0 2 4 6 8 y 32 1 0-1-2-3 naravno uzimati sve ove take, dovoljne su dve ( prava je odreena sa dve svojezliite take). Uzeemo take ) i (nac rafik Da bi nacrtali grafik ne moramo ra ( 0,12,0) i rtati g ... xy1 3 4 5 -1 -2 -3 -44523-1-2-3-4-50 -5 (2,0)(0,1)112y x 71 A)y = 3x Izabraemo dve proizvoljne vrednosti za x i izraunati y. ( Vi moete birati bilo koje vrednosti, ali vam predlaemo da uzimate male brojeve 1,0, -1,2,3jer u suprotnom ne oi nacrtati grafik...) ete m za x = 033 00y xyy

za x = 133 13y xyy x 01 y 03 1B) 3y x Ovde emo birati sledee vrednosti za x:

za x = 0131030y xyy za x = 3131331y xy y x 03 y 0-1 Nacrtajmo grafike: xy1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -512345-1-2-3-4-5013y x 3 y x 72 ajpre sa grafika proitamotake kroz koje on prolazi!N xy1 3 4 5 -1 -2 -31345-1-2-30 (2,0)(0,2) To su oigledno take (2,0)i(0,2). To je zadovoljeno samo za prave pod 3) i 5). Da bi otkrili koja je od njih moramo koordinate (2,0)i(0,2) zamenjivati umesto x i y u obe funkcije i videti gde dobijamo tanu jednakost... alje razmiljamo , za nau pravu jeodseak na y osi 2, to jest n = 2.D 2za taku (2,0)0 2 2 0 0za taku (0,2)y xzadovoljava 2 0 2 2 2 zadovoljava2 2 x Dakle , treba zaokruiti reenje:y = -x +2( pod 3) )

y za taku (2,0) 0 2 2 20 2 ne zadovoljava 73 y = - x + 3 , proitajmoodavde , uporedjujui sa y = kx +n da je : Kako je k= -1 < 0 , grafik mora biti opadajui, pa odmah iz razmatranja izbacimo prvi i drugi grafik jer su oni rastui! Dakle ostaju nam trei i etvrti kao potencijalna reenja. Kako jen = 3, to nam govori da grafik see y osu u 3. To zadovoljava trei grafik jer kod etvrtog see y osu u -3. Reenje je 3) 13kn 74 enjamo redom koordinate taaka A, B i P u datu funkciju i ako dobijemo ta M nu jednakost, ta taka pripada grafiku, ako nije tana jednakost , ta taka grafiku funkcije.ne pripada a 2 3 y xza taku A(1,-3)3 2 1 33 1 33 2e pripada 2 3za taku B(2,1)1 2 2 31 4 31 1 y xpripada

2 3za taku P(-1,-5)5 2 ( 1) 35 2 35 5 y xpripada n akle,taka A ima koordinate A(x, - 2). Prvu koordinatu emo nai kad umesto y stavimo 2 pa izraunamo koliko 1Dje x. 3 1 y x 2 33 1 23 31xxxx Koordinate take A su A(1 - 2). Ordinata je jednaka apscisi, dakle x=y. 5 125 125x xx 124 1233, 3)y xxxx y y P x yx3 ( 75 1)Nulu funkcije dobijamo kad u datoj funkciji zamenimo y=0 pa nadjemo vrednost za x. 3 603 0 6 03 6632x yyxxxx 0) 2 3 6 033 ( 3) 6 03 3 6 03 99x33x yyxxxx Koordinate taaka emo zamenjivati umesto x i y u funkciji i tako nai k i n. .(0, 1)1 011Za sad smo nasli da je n = -1, pa imamo funkciju y=kx-1( 1, 0) 10 ( 1) 10 11Dakle : y = -x-1 A y kx nk nnB y kxkkk n 76 Prave su paralelne ako imaju isto k! Iz y = 3x 356 jek = 3, pa je to i k za nau funkciju. Za sad imamo y = 3x + n Poto prava sadri taku A , koordinate take A emo za eniti u jednainu prave i tako emo dobiti n. n m (1,1) 31 3 11 31 323 2A y xnnnny x 1)Funkcija je rastua ako jek > 0. Iz date funkcije je k = 2a 1. Dakle: 2 12 112aaa 0 2)Ako jek : , !!!!! , 7 kg 168 . 2) 7 , 15 . 12 ? : 7 .......... 15 X .......... 12 X . ....12dana Xcas......15dana .......... 7cas X 7? . , X 7 , 15 12. 12dana .... Xcas......15dana .......... 7cas : 84 Xm kgm kg ........ 112165 .......... 66. 126 ........... 84 ......... 54obr Xzubobr zub 3612684 5484 54 126126 : 84 54 :== = =XXXXw Xsijw sij75 ..........60 .......... 15 127560 1560 15 7575 : 60 15 :== = =XXXX , 12 438, 8 45 . 3) 66 kg 165 m . 112 kg ?

m XXXX28066165 112165 112 6666 : 112 165 :== = = 4) 54 84 . 126 . 5) 15 60w. 75 w ?

: , .

6) 14 kg 980 . 4 340 ? 85 . 4340 . ........... 980 .......... 14din Xkgdin kg 629804340 144340 14 980980 : 4340 14 :== = =XXXX kg 86 Xmm ........ .15 1 10200 .......... sek min30sekXdana ziddana zid ......... 155 ......... 12dana XXXX41512 512 5 1515 : 12 5 :== = =Xa cevias cevi .......... 535 .......... 37) 30 10200 m. 1 . 15 ? 30..........10200m 1.15........Xm : !!!! 1 15 =60+15=75 m XXXX255003010200 7510200 75 3030 : 75 10200 :== = = 8) 5 . 15 ?

9) 35 . e ? ( ). as XXXX2153 353 35 55 : 3 35 :== = = 87 Xa radas rad ... 108 ... 12000 . 120 : 000 . 150 =10 : 12 8 : = X 10) 8 120.000 . 10 150.000 ? . 000 . 150 ... ... 10. 000 . 120 ... 8 ... 12din Xa raddin as rad . X 8. : Xa radas din ... 1500008 ... 102000 : din Xa raddin as rad150000 ... ... 10120000 ... 8 ... 12 : . : = = '' '' '''': asova XSkrati XX12!120000 10150000 12 8150000 12 8 120000 10= = = 11) 8 , 21 6 720 ; 28 , 7 1 260m ? profila Xdana radnik asprofila dana radnik as1260 ... ... 28 ... 7720 ... 6 ... 21 ... 8 X '''', : Xdana asdana as .. 76 .. 8 Xdana raddana rad ... 286 ... 21 Xdana profdana prof .. 12606 ... 720 : 88 Xdana raddana rad ... 528 ... 65prof Xdan rad asprof dan rad as1260 .. .. 28 .. 7720 .. 6 .. 21 .. 8 '''' , . : 7 : 8 6 : = X 720 : 126028 : 21== dana Xskrati XX9720 28 71260 21 8 61260 21 8 6 720 28 7= = = 12)6523.1513 . ? 65 ... 23 , 65 ... 8 . ?1513 23-15=8 . '''' 65-13=52 : dana XXXX105265 865 8 5252 : 65 8 :== = = 13)65. 2 3 ? 6 ...5 , 6 ...3 (5-2=3 ) ''''.9... (6+3=9) 89 Xdana raddana rad ... 93 ... 6 dana XXX26 3 99 : 6 3 := = = '''' : Procentni raun Glavna formula ovde je G : P = 100 : p ta je ta u proporciji? G je glavnica, (celina), ono to ''na poetku'' i na njega se uvek odnosi 100%. deo glavnice (celine), ono to je ''na kraju'' i na njega s odnosip %. Naravno, ponekad moe biti vee od G. p -je uvek u procentima, i t:k u zadatku kae da se neto poveava za %, onda p =(100+)%. u zadatku kae da se neto smanjuje za %, onda p =(100-)% U datom zadatkuiz procentnog rauna, mi najpre odredimo ta nam je zadato: G, P ili p . Ubacimo te podatke u G:P=100:pi nadjemo nepoznatu. 1) Trideset procenta jedne duine iznosi 42cm. Kolika je duina itave dui? cm Gskrati GGGp P G14030100 42100 42 3030 : 100 42 :: 100 :== === 90 dinara PPPPp P G295 . 210085 700 . 285 700 . 2 10085 : 100 : 700 . 2: 100 :== = ==dinara GGGGp P G000 . 1620100 200 . 3100 200 . 3 2020 : 100 200 . 3 :: 100 :== = ==2) Cena cipela je 2.700dinara. Koliko e biti cena nakon snienja od 15%? PAZI: Popust je 15%, znai da jep =100-15=85% 3) Posle prelaska na novo radno mesto jednom radniku je plata poveana za 20%. Kolika mu je bila plata ako je to poveanje 3.200 dinara? Pazi: 20%se odnosi samo na poveanje od 3.200dinara, pap nije (100+20)% jer se ne odnosi naplatu sa poveanjem!!! 4) Cena knjigesniena je za10%, a zatim za 20% i sada iznosi 288 dinara. Kolika je cena bila pre prvog snienja? % 10 ? % 20 288din. Ovde e mo nai najpre cenu knjige pre drugog snienja. (unazad) dinara GGGGp P G36080100 288100 288 8080 : 100 288 :: 100 :== = == ? % 10 360din. % 20 288din. 91 % 8500 . 6100 520100 520 500 . 6: 100 520 : 500 . 6: 100 :== = ==ppppp P G1400 100 32 12100 1400 32 12 = += + +x x xx x x1400 56 = x Sad traimo poetnu cenu: dinara GGGGp P G40090100 360100 360 9090 : 100 360 :: 100 :== = == 5) Nagrada radniku po jednom asu od 6.500dinara poraste na 7.020 dinara. Koliko je to u procentima? P=7.020-6.500 P=520 6) Na kontrolnoj pismenoj vebi bila su data tri zadatka. Pri tome 12% uenika nije reilo ni jedan zadatak, 32% uenika reilo je jedan ili dva zadatka, dok je14uenika reilosva tri zadataka. Koliko je ukupno uenika radilo vebu? Obeleimo sa x broj uenika. 12%x +32%x+14=100%x x x x = + + 141003210012; PAZI:1100100% 100 = = mnoimo celu jednainu sa 100

2556400 . 1==xx 7) Tek oboreno stablo bilo je teko 2,25 tona i sadralo je 64% vode. Posle nedelju dana to stablo je sadralo 46% vode. Za koliko se promenila teina stabla za tu nedelju? 92 36% suva materija 64% voda 2,25 tona 54% suva materija 46% voda

Najpre emo izraunati koliko u 2,25 tona ima suve materije koja se NE MENJA!! tona PPPPp P G81 , 010036 25 , 236 25 , 2 10036 : 100 : 25 , 2: 100 :== = == Ova suva materija je ostala, pa se odnosi na 54%stabla tona GGGGp P G5 , 154100 81 , 0100 81 , 0 5454 : 100 81 , 0 :: 100 :== = == Znai da sad stablo ima 1,5 tona pa je smanjenje 2,25-1,5=0,75 tona Raun podele ( trik sa k) 1)Dva sumplementna ugla su u razmeri 5:7. Odrediti te uglove. Neka su i traeni uglovi. 93 }} kk757 : 5 :== = k x32=k y89=k z127=m zm ym x112 19227216 19289128 19232= == == =

o180 = + (suplementi)

00001512180180 12180 7 5==== +kkkk k

Kada nadjemo k vratimo se u i .

0 00 0105 15 775 15 5= == = 2) Podeliti du od 456m na tri dela ije e duine biti redom proporcionalne brojevima 12789,32i Neka su delovi redom x:y:z127:89:32=

m kkk k kk k km z y x19210944 5724 456 14 27 1624 / 4561278932456= = = + + = + += + + ___________

3) Tri elektrina otpornika vezana u seriji stoje u razmeri 2:3:4. Ukupan otpor je 24 oma. Koliki su pojedini otpori? 94 k zk yk xz y x7327 : 3 : 2 : :====224 1224 7 3 224= == + += + +kkk k kz y x. 288000 200000 44 , 1240000 200000 2 , 1. 200000dindindin= = Neka su otpori redomx,y i z . Poto su vezani u seriji: PAZI: Ako su vezani paralelno (fizika) 3 2 11 1 1 1R R R R+ + = 4) Sumu od728000 dinara podeliti na tri lica tako da svako sledee dobija 20% vie od prethodnog? Neka 1. lice treba da dobije x dinara 1. lice xdinara 2. lice x x x x x 2 , 1 2 , 0 % 20 = + = + 3. lice x x x x x 44 , 1 24 , 0 2 , 1 ) 2 , 1 %( 20 2 , 1 = + = + 000 . 728 44 , 1 2 , 1 = + + x x x000 . 728 64 , 3 = x

000 . 20064 , 3000 . 728==xx Dakle: 1.lice2.lice 3.lice = = = = = =14 2 76 2 34 2 2zyx95Proporcije:xdin kgdin kg .......... 7120 .......... 51687 245 7 1207 120 55 : 7 120 := == ==xxxxxNajpredapretvorimo:1mini45sekundesveusekunde:1min15sek=75sek.xm sekm sek .......... 7510200 .......... 30m xxxx255003010200 7510200 75 3030 : 75 10200 :== = =dana xmoleradana molera3 .....4 ..... 3 molera xxxx433 43 4 33 : 4 3 :== = =Opetprvopretvorimo:3asaI20minutajejednako 200 20 180 20 60 3 = + = + minuta96xkmkm ..... min 20015 ......... min 8km xxxx3758 15 20015 200 88 : 200 15 :== = = dana xcasovadana casova12 .....15 ..... 7 uta casova xcasova xxxxmin 45 8438435127 157 15 1212 : 15 7 :== == == xcasova cevicasova cevi ...... 535 ...... 3cas xxxx215 3 353 35 55 : 3 35 :== = = xdana zidaradana zidara ....... 155 ....... 12dana xxxx41512 512 5 1515 : 12 5 :== = =97Povrinapravugaonikaje b a P = paje 600 = b a ,odatleba600= Iab600= a 20 30 40 50 60b 30 20 15 12 10AB36cmAkojeSsredinatedui,morabitiAS=SB=18cmABS36cm18cm 18cmTakaMdeliduABurazmeri3:1AM:MB=3:1AM=3MBakakojeAM+MB=36cmimamo:98AM+MB=363MB+MB=364MB=36MB=9cmABSM9cm9cmOiglednojeondaSM=9cm b ab ab ab a212121: 1 :30= === +tozamenimou 30 = +b a Paje1030 330 2=== +bbb bOndaje2020 10 2 2== = =ab a99110.Nadruginain(triksak)10 10 120 10 2121 : 2 :2 /21: 1 := == === = =bak bk ab ab a1033030 330 1 230==== + = +kkkk kb a Dabaspodsetimo:suplementniugloviimajuzbir0180 .Dakle0 00 0108 15 775 15 5757 : 5 := == === = kk000001512180180 12180 7 5180==== + = +kkkk k 100din xcas raddin cas rad000 . 150 ..... ..... 10000 . 120 ..... 8 ..... 12 cas xxxx12120000 10150000 12 8150000 12 8 120000 10120000 : 150000 10 : 12 8 := = = ==Najpredautvrdimokolikojebilodeakaakolikodevojicautih60lanova:60%sudevojice 24 401006040 % 60 = = 40%sudeaci 16 401004040 % 40 = = Potojedolo10novihlanova ima50% 4850100 24100 24 50: 100 24 : 50: 100 :== = ==ppppp P GProcenatdevojicasesmanjioza60%48%=12%cm GGGGp P G14030100 42100 42 3030 : 100 42 :: 100 :== = ==Duinaitaveduije140cm101Broj60trebapoveatiza7560=15,auprocentima:% 2560100 15100 15 60: 100 15 : 60: 100 :== = ==ppppp P G( )din GGGGGp P G82080100 656100 656 8080 : 100 656 :20 100 : 100 656 :: 100 :== = = ==Cenaknjigebezpopustaje820dinara. 102) A Upekari ) B VidimodajeMilicauknjiaripotroila41novca,atoje % 25 % 10041= din GGGGp P G1600020100 3200100 3200 2020 : 100 3200 :: 100 :== = ==Platamujebila16000dinara.Opetnajprepretvorimo:1km=1000m% 8 , 410004800100 48 1000: 100 48 : 1000: 100 :== = ==ppppp P GUsponje4,8%48000din1)Polovinarobeje21od48000toje24000.Ovdejezarada15%103( )27600100115 24000100 115 2400015 100 : 100 : 24000: 100 :== = + ==PPPPp P G2)Treinarobeje31od48000atoje16000.Ovdejezarada8%.( )17280100108 16000100 108 160008 100 : 100 : 16000: 100 :== = + ==PPPPp P G3)Ostatakje: ( ) 8000 40000 48000 16000 24000 48000 = = + Ovdejegubitak6%.( )752010094 8000100 94 80006 100 : 100 : 8000: 100 :== = ==PPPpp P GTrgovacsadaima:27600+17280+7520=52400din.Kakojerobuplatio48000din,njegovazaradaje:5240048000=4400din.Ovdedakletrebamonai70%od40%Kakoreodmenjamosa (puta)toje: % 28100281004010070% 40 % 70 = = = 104Dakle,zatogkandidatajeglasalo28%odukupnogbrojaglasaa. % 10? % 20288din.Ovdeemonainajprecenuknjigepredrugogsnienja.(unazad)dinara GGGGp P G36080100 288100 288 8080 : 100 288 :: 100 :== = ==? % 10360din. % 20288din.Sadtraimopoetnucenu:dinara GGGGp P G40090100 360100 360 9090 : 100 360 :: 100 :== = ==105 LINEARNE JEDNAINE I NEJEDNAINE SA JEDNOM NEPOZNATOM LINEARNE JEDNAINE Pod linearnom jednainom po x podrazumevamo svaku jednainu sa nepoznatom xkoja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednainu oblika: b x a = gde sua ibdati realni brojevi. Reenje ove jednaine je svaki realan broj 0xza koji vai: b ax =0 Ako nam posle reavanja ostane jednaina veeg stepena (drugog, treeg ) onda nju probamo da rastavimo na inioce ikoristimo: 0 = B A 0 = Aili0 = B 0 = C B A 0 = Aili0 = B ili 0 = C Za svaku linearnu jednainu vai: b ax =

abx = , 0 = a 0 bako je0 a 0 = = b a Nema reenja jedinstveno reenje Primer:ima beskonano Primer: mnogo reenjaPrimer:

Svaki broj je reenje Deljenje sa 0 nije dozvoljeno (za sad) 521010 2===xxx0 0 = x ?077 0= == xx106 Kako reavati jednainu? - Prvo se oslobodimo razlomaka (ako ih ima) tako to celu jednainu pomnoimo sa NZS - Onda se oslobodimo zagrada (ako ih ima) mnoei svaki sa svakim. - Nepoznate prebacimo na jednu a poznate na drugu stranu znaka jednakosti ( =). (PAZI: prilikom prelaska sa jedne na drugu stranu menja se znak) - sredimo obe strane (oduzmemo i saberemo)idobijemob x a = - Izrazimo nepoznatu abx = VANO: Ako negde vrimo skraivanje moramo voditi rauna da taj izraz koji kratimo mora biti razliit od nule. U suprotnom se moe desiti apsurdna situacija. Primer: Reiti jednainu:02=xx Ako skratimo0 =xx x 0 = x? Ne smemo skratitijer je uslov0 x . Evo par primera : 1.Reiti jednainu:9 2x = 5x + 2 Reenje: Nema razlomaka i zagrada tako da odmah prebacujemonepoznate na jednu a poznate na drugu stranu. 1777 79 2 5 22 5 2 9= = = + = + = xxxx xx x107 3164848 1644 6 10 24 910 44 24 9 6===+ = + + = + xxxx x xx x x2. Reiti jednainu: x x x = + 10 ) 11 6 ( 4 ) 3 2 ( 3 Reenje: x x x = + 10 ) 11 6 ( 4 ) 3 2 ( 3najpre se oslobodimo zagrada ( svaki sa svakim mnoimo) nepoznate na levu a poznate na desnu stranu prebacimo sredimo obe strane izrazimo nepoznatu 3.Reiti jednainu:145 623 2275 += + y y y Reenje: Ovde najpre moramo da se oslobodimo razlomaka a to emo uraditi tako to celu jednainu pomnoimo sa najmanjim zajednikim sadraocem za 7, 2 i 14 a to je oigledno 14. Kad niste sigurni koliki je NZSnapamet nadjite ga na stranu7, 2, 14 2 7, 1, 7 7 1, 1 145 61423 214 2 147514+ = +y y y ) 5 6 ( 1 ) 3 2 ( 7 28 ) 5 ( 2 + = + y y yPazi : upii i 1 zbog zagrade 108 32264444 628 10 5 21 6 14 25 6 21 14 28 10 2+ = = = + = + = + yyyy y yy y y LINEARNE NEJEDNAINE Linearna nejednaina po x je nejednaina koja se ekvivaletnim transformacijama moe svesti na oblik: b axb axb axb ax gde su a i brealni brojevi. Linearne nejednaine reavamo slino kao i jednaine koristei ekvivalentne transformacije. Vano je rei da se smer nejednakosti menja kada celu jednainu mnoimo (ili delimo) negativnim brojem. Primer: Posmatrajmo dve nejednaine :2xxx Naravno i ovde se moe deliti da nejednaina ima reenja, nema reenja ili ih pak ima beskonano mnogo (u zavisnosti u kom skupu brojeva posmatramo datu nejednainu) Evo jo par primera: 1)Rei nejednainu:8 ) 3 ( 2 9 ) 2 ( 3 + + < + x x x521010 2 < B A Naravno iste ablone koristimo i za znakove>i< ,ai za0 >BAi0 3 2 1 3 2 1B Ax x ) 0 4 , 0 1 ( > > x x ili ) 0 4 , 0 1 ( < < x x ) 4 , 1 ( > > x x ili) 4 , 1 ( < < x x Sada reenje spakujemo na brojevnoj pravoj!!! ) , 4 ( x) 1 , ( x111 [ ] 5 , 3 x Reenje je) 1 , ( x ) , 4 ( b)0 ) 5 ( ) 3 ( +3 2 1 3 2 1B Ax x ) 0 5 , 0 3 ( + x xili ) 0 5 , 0 3 ( + x x) 5 , 3 ( x xili) 5 , 3 ( x x prazan skup Dakle, konano reenje je[ ] 5 , 3 x 112224 4 2214 = == = xxxxLinearnejednaineinejednaine A) 9 3 = x B) x 7 6 = V)2141= x 339==xx7676 = =xx A) x x x = + 3 6 4 B) 2 / 02 1 =+ y 1666 66 3 4==== +xxxx x x 1) a a31221= Pazi:BC ACBA = 10 1 = = +yy1131212 2 32 12 36 /3 122322== = = = aa aa aa aa a 2) 10 / 1 2 , 0 5 , 0 = x 2122525 5 25 10 210 2 5 = = == = = x xxxx344 34 44 43 1 4 4 43 ) 1 ( 1 ) 2 2 ( 2 4434 ) 1 (414 ) 2 2 (214 44 /43) 1 (41) 2 2 (2114931) 1 (10025) 2 2 (105141231) 1 ( 25 , 0 ) 2 2 ( 5 , 0 1 == = + + = + = + = + + = + + = + + = + + = + xxx xx xx xx xx xx xx xx x Tojest311 = x 114531515 31 4 12 212 1 4 212 ) 1 ( 1 ) 2 ( 24 /134 12 2=== + = += + + = + + =++pppp pp pp pp p60 105 5 12 25 36 155 25 12 36 60 105 15) 1 5 ( 5 ) 1 3 ( 12 60 ) 7 ( 1512 1 5605 1 360 60476060 /12 1 55 1 31147 + = + = + + = + + = ++= +x x xx x xx x xx x xx x x 742828 4===xxx 43 42 1 43 42 1 4 43 4 42 12 2) 3 2 ( ) 5 3 ( 6 ) 2 )( 2 ( 5 + = + x x x x Razlikakvadratakvadratbinomakvadratbinoma( )( )26 9 25 12 4 30 9 59 12 4 25 30 9 26 5) 9 12 4 ( ) 25 30 9 ( 6 20 53 3 2 2 ) 2 ( 5 5 3 2 ) 3 ( 6 ) 4 ( 52 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2+ + = + + + + = + + + = + + + = x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x 1424242 42===xxx1159 16 25 16 40 24 1616 16 40 25 9 24 1616 ) 4 ( 4 5 2 5 3 3 4 2 ) 4 (16 ) 4 5 ( ) 3 4 (2 22 22 2 2 22 2 = + + = + + = + = x x x xx x x xx x x xx x 01600 16===xxx0 5 5 3 2 60 ) 5 1 5 ( ) 3 2 6 (0 ) 5 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 (2 22 2= + + + = + + = x x x x x xx x x x x xx x x x 15 6 =+ =xx22 22 2( 1)( 1) ( 1) 5 41 ( 2 1) 5 41 2 1 5 4x x x xx x x xx x x x + + = + + = = 1 1 5 4 2 + + = + x x 277 2==xx A) 0 ) 1 )( 1 3 ( = + x x Dasepodsetimo: 0 0 = = A B A ili 0 = B Dakle:311 31 3==xxxili11 =+xx B) 0 ) 3 )( 2 )( 1 ( 4 = + x x x 11 =+xxili22=xxili33=xx116A) = ) 3 2 ( 5 ) 3 2 ( x x x Zajedniki(ideispredzagrade) ) 5 )( 3 2 ( = x x B)0 ) 5 )( 3 2 (0 ) 3 2 ( 5 ) 3 2 (= = x xx x x 0 3 2 = x ili 0 5 = x 3 2 = x 5 = x 23= x NekajeXtraenibroj =+321411xxMnoimounakrsno3(11 ) 2(14 )33 3 28 23 2 28 335 5551x xx xx xxxx+ = + = + = = == NekajeXtraenibroj 30 / 15 3 2 + = + + xx x x3030 30 3130 30 6 10 15== + = + +xx xx x x x4 4 3 4 4 2 1117Uzastopneprirodnebrojevemoemoobeleitisa , n , 1 + n , 2 + n 3 + n Dakle: 410081008 46 1014 41014 6 41014 3 2 1== == += + + + + + +nnnnn n n n = 252 n Traenibrojevisu:252,253,254,255NekajeXbrojuenika.Akosuuodeljenju73uenikadevojice,tonamgovoridasu74uenikadeaci.28) 1 ( / 28 28 4 34 28 37 /74473= = = = + = +xxx xx xx xNekajeXbrojgodinakojiprodje: Majka 27 27+xSin 3 3+x sad PoslexgodinaDakle:341212 415 27 527 5 1527 ) 3 ( 5=== = + = ++ = +xxxx xx xx x1185221Daproverimo:Kroz3godinemajkaima27+3=30godinaasin3+3=6godina.Tadjemajka5putastarijaodsinajerje 30 5 6 = 350mputaputaNekajeXduinacelogputa.Razmiljamo:Nakojideoputaseodnosi350m?1011091109105 42152= =+= + Dakle,350mseodnosina101putam xxx350010 350350101= == Primenapitagorineteoreme:( )cm hhhhhh h hh hb haaaaaaa a aa aa843232 44 36 436 4 44 4 36221222 222 222 22=== == ++ + = ++ = += + 119cm cccccc c cc cc b acc bcm a2525050 50 21 49 21 2 49) 1 ( 7?172 22 2 22 2 2_ __________= = = = = = + += += += ==Stariobimje b a O 2 2 + = Noviobimje1 1 12 2 b a O + = 1 1 12 2 622( 5) 2( 2) 622 10 2 4 624 62 10 44 4812 12 3 1515O a bb bb bbbb cm aa cm= + =+ + + =+ + + == == = + ==120344 3xxxx211 24 /41214121 xxxxNejednaine A)B)V) 4( , )3x ( , 3) x 1[ )2x 4312 3 4 < a { } 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 4 4 < < a a 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 A)5 2 2 15 2 1 23 3331x xx xxxx < + < ++ > > > xxx xx xx x(2, ) x 25 55+ yy + 5 /5 51 15 y ypazinaispredzagrade21721543030 425 5 55 5 25) 5 ( 5 25+ + + yyyyy yy yy y1[7 , )2y 172 A)0, 8 0, 8 ( 5) 0, 2 / 108 8 ( 5) 28 8 40 28 2 8 408 5050 25 168 4 4xxxxxx x x + + 1( , 6 ]4x 164122 B)1) 1 /( 10 13 / 031> < < + > + + + > + + + > ++>xx x x xx x x xx x x xx x x x(12, ) x 126 31 3 / 123 2 412 4( 6) 6 36 3(3 )12 4 24 6 36 9 34 6 3 36 9 12 245 575752115x x xx x xx x xx x xxxx ++ + + + ++ ++ + + 2[ 11 , )5x 21151231222 23 5 25 2 3 +Najmanjiprirodnibrojje 4 = x 1(3 , )3x 1332 3 4 5124www.matematiranje.comtaznaidajenekiizrazpozitivan?Patoznaidamorabitiveiodnule.Dakle:22 22 2(3 1) ( 2) 3 ( 1) 0(3 6 2) 3 ( 2 1) 03 6 2 3 6 3 06 6 2 311 5511x x xx x x x xx x x x xx x xxx+ + > + + + > + > + > + >< 5( , )11x 511Kadakaemodanekiizraznijeveitoznaidajemanjiilijejednak ) ( Dakle:1555 516 5 16 416 4 16 516 ) 4 ( 4 ) 5 ( 18 / 2248 5 + + + + + +xxxx xx xx xx x( ,1] x -1125 SISTEMI LINEARNIH JEDNAINA Pod sistemom od dve linearne jednaine sadve nepoznatex i y podrazumevamo: 2 2 21 1 1c y b x ac y b x a= += + Ovo je takozvani ''prost'' sistem do koga uvek moemo doi ekvivalentnim transformacijama , koje su da vas podsetimo: - Prvo se oslobodimo razlomaka (ako ih ima) tako to celu jednainu pomnoimo sa NZS - Onda se oslobodimo zagrada (ako ih ima) mnoei svaki sa svakim. -Nepoznate prebacimo na jednu a poznate na drugu stranu znaka jednakosti ( =). (PAZI: prilikom prelaska sa jedne na drugu stranu menja se znak) -Sredimo obe strane ( saberemo i oduzmemo ta ima) Ovde su 2 1 2 1 2 1, , , , , c c b b a adatirealni brojevi (ponekad mogu biti i parametri). Reenje sistema je uredjeni par brojeva) , (0 0y xza koji vai da je: 2 0 2 0 21 0 1 0 1c y b x ac y b x a= += + Sisteme moemo reiti pomou vie metoda: zamena, suprotni koeficijenti, grafika metoda , itd. Nama je najvanije da tano reimo dati zadatak (problem) pa emo to iprobati da vas nauimo. Napomenimo samo da dati sistem moe imati: jedinstveno reenje, beskonano mnogo reenja ili pak da nema reenja. 126 Primeri: 1. Rei sistem jednaina: Reenje: /2 Najlake je da ispod x (ili y) napravimo da budu isti brojevi a suprotnog znaka, pa onda te dve jednaine saberemo. Zato emo prvu jednainu pomnoiti sa 2.

Kad nadjemo jedno reenje, vratimo se u jednu od jednaina iz prostog sistema (bilo koju) da nadjemo drugo reenje

311 36 7 37 3 67 3 3 27 2== == += + = +yyyyyy x Ovde je reenje jedinstveno:=31, 3 ) , ( y x 2. Rei sistem jednaina: 5x + y = -1 -10x 2y = 2 Reenje:

Pomnoimo prvu jednainu sa 2

Ovde imamo situaciju da su se svi ''skratili''!!! _____ __________7 6 37 3 2= = +y xy x_____ __________7 6 37 3 2= = +y xy x_________ __________7 6 314 6 4= = ++y xy x372121 7===xxx2 / 1 5 = + y x_________ __________2 2 10 = y x_________ __________2 2 102 2 10= = +y xy x127

To nam govori da sistem ima beskonano mnogo reenja. Da bi ''opisali'' ta reenja iz jedne od jednaina izrazimo x (ili y), naravno, ta nam je lake:

x yy x5 11 5 = = + Sada su reenja:) 5 1 , ( ) , ( x x y x = 3. Rei sistem jednaina: 2x +3y = 4 -2x 3y = 5 Reenje: 4 3 2 = + y x Saberemo ih odmah. _______ __________5 3 2 = y x9 0 = Uovoj situaciji kaemo da je sistem nemogu, odnosno nema reenja! 4. Rei sistem jednaina:3101 361 5=+ y x

_ __________ __________ __________3411611=++ y x Reenje: 30 / 3101 361 5 =+ y x Odmah uoimo da ovaj sistem nije prost, pa _ __________ __________ __________12 / 3411611 =++ y xmoramo najpre da napravimo da bude. 0 0 =R x128 __________ __________ ______________ __________ __________ __________36 3 33 2 2290 3 9 5 2536 ) 11 ( 3 ) 11 ( 290 ) 1 3 ( 3 ) 1 5 ( 5= + + = + = + + = + y xy xy xy x __________ __________ __________33 22 36 3 23 5 90 9 25 = + + + = +y xy x __________ __________ __________) 3 ( / 19 3 298 9 25 = + = +y xy xNapravili smoprostsistem. Drugu jednainumnoimo sa (-3).+= = +__________ __________57 9 698 9 25y xy x

Vratimo se sad u jednainu od jednaina iz prostog sistema 39 310 19 319 3 5 219 3 1019 3 2 = =+ = = + = + = + yyyyyy x dakle:) 3 , 5 ( ) , ( = y x

5155 31= =xx129

2 03moemo odmah sabrati ove dve jednaine3x = 3331 sad se vratimo u bilo koju jednainu iz prostog sistema da nadjemo drugu nepoznatu2 02 1 0 2x yx yxxx yy y+ = ===+ = + = = Reenja obavezno zapiemo kao ureeni par: ( , ) (1, 2) xy = Poto imamo ve izraeno a, ovde je bolje da iskoristimo metodu zamene.

13 2 113 2(1 ) 113 2 2 115 1 2135 35a bb aa bb ba bb ba bba bb b= == == + == = += = = Ovo reenje zamenimo u1 a b = i naemoa .Dakle: 13155 35 52 2 3 i zapiemo reenje kao ureeni par ( , ) ( , )5 5 5a baaa a b= = = = = 130 Najpre moramo napraviti prost sistem.

2 13 03 2 2 02 13ovu jednainu mnoimo sa 23 2 24 2 263 2 2 sada ove jednaine saberemo7 282874p qp qp qp qp qp qppp+ = =+ = =+ = ==== Nali smo jednu nepoznatu, vratimo se u bilo koju jednainu iz prostog sistema da naemo drugu nepoznatu. 2 132 4 138 1313 85: ( , ) (4, 5)p qqqqqDakle pq+ =+ =+ == == 131 Sredimo jednaine, nepoznate na levu, poznate na desnu stranu, da dobijemo prost sistem. 5 4 1 2 6 12 2 19pazi: na levoj strani prvo redjaj x pa onda y 5 4 1 6 12 21 dobili smo prost sistem x yx yx yx y = + + = = + =

5 4 1 celu jednainu pomnoimo sa 36 12 2115 12 36 12 21sad ove jednaine saberemo9 181892x yx yx yx yxxx = + = = + = = == Vratimo se u bilo koju jednainu iz prostog sistema da naemo drugu nepoznatu:

5 4 15 ( 2) 4 110 4 14 1 104 1111411411( , ) ( 2, )4x yyyyyyyxy = = = = + === = 132 Prebacimo 25 10, 25100 4= = 17 mali savet je daodmah piete kao 3 4 4 45 2 5 51 slino i ovde 0, 5 ...10 10 10 107celu jednainu mnoimo sa 123 45 21 celu jednainu mnoimo sa1010 10x y yyx y xx xx yx y+ = = = =+ = = 4 3 84 ovu jednainu mnoimo sa 25 2 10ovu jednainu mnoimo sa38 6 16815 6 3023 138138236x yx yx yx yxxx+ = = + = = === Vratimo se u bilo koju jednainu iz prostog sistema da naemo drugu nepoznatu: 4 3 844 6 3 8424 3 843 84 243 6060320( , ) (6, 20)x yyyyyyyxy+ =+ =+ == ==== 133

12 51, 210 2= = , da vas podsetimo

3........ / 336......... / 55 51( ) 3 95 1( ) 63 95 64 94 6napravili smo prost sistem...4 94 6...... / ( 4)4 94 16 2415 151x yxy xyx y xy y xx y xy y xx yx yx yx yx yx yyy++ = = + + = = + + = + = + = + = + = + = + = = == Vratimo se u bilo koju jednainu iz prostog sistema da naemo drugu nepoznatu:

4 64( 1) 64 66 42( , ) ( 2, 1)x yxxxxxy+ = + = = = += = 134

4 1 5 1 31......... / 123 4 63 7 2 9 23........ / 124 3 34(4 1) 3(5 1) 623(3 7) 4(2 9) 9216 4 15 3 629 21 8 36 9216 15 62 4 39 8 92 21 3616 15 639 8 35x yx yx yx yx yx yx yx yx yx y ++ = + ++ = + + =+ + + = + + =+ + + =+ = + + = + =+ = Napravili smo prost sistem, dalje emo kod y ''napraviti'' isti broj a suprotnog znaka. 16 15 63....... / ( 8)9 8 35....... / 15128 120 504135 120 5257 212173x yx yx yx yxxx+ = + = = + ==== Vratimo se u bilo koju jednainu iz prostog sistema da naemo drugu nepoznatu: 9 8 359 3 8 3527 8 358 35 278 81( , ) (3,1)x yyyyyyxy+ =+ =+ == === 135 3 5 ....... / 153 52 3 11....... / 22 25( ) 45 75 3( )1( 2) 1(3 1) 25 5 45 75 3 32 3 1 25 5 3 3 75 453 2 2 18 2 303 1x y x yx yx y x yx yx y x yx yx y x yx yx yx y ++ = + = + = + + = + = = + + = = + + = = Napravili smo prost sistem, dalje emo kod x ''napraviti'' isti broj a suprotnog znaka. 8 2 303 11....... / ( 8)8 2 308 24 822 221x yx yx yx yyy = = = + = == Da naemo i drugu nepoznatu, vratimo se u drugu jednainu iz prostog sistema...

3 113 1 113 1111 314( , ) (14,1)x yxxxxxy = = == +== 136 Moemo reiti sistem i videti da li se dobijareenje( , ) ( 1,1) xy = a moemo i jednostavnije zameniti date vrednosti umesto x i y u jednainama i videti da li su jednakosti tane.

3 2 1 03 ( 1) 2 1 1 03 2 1 00 0 TANOx y + + = + + = + + == 0, 2 5 3, 80, 2 ( 1) 5 1 3, 80, 2 5 4, 84, 8 4,8 TANOx y + = + + = + + == Dakle , ureeni par (-1, 1) JESTEreenje datog sistema! 137

4 1 2( ) 76 3 61 3 1mali savet:da bi izbegli ove minuse ovde , izvriemo prebacivanje...2 44 1 2( ) 76 3 63 1 14 2x x yx yx x yx y = + = = += 4 1 2( ) 7....... / 66 3 63 1 1....... / 44 24 1 4( ) 73 1 24 1 4 4 73 2 14 7 13 14 8 super: odavde moemo odmah nai y3 18243 2 13 1 23 31( , ) (1, 2)x x yx yx x yx yx x yx yyx yyx yy yxxxxxy = += = + = + = = = + == == = == +=== 138

7 32 pazi: ispred zagrade manje, nastaje menjanje...10 103 2 12 obe jednaine emo pomnoiti sa 102 10 107 20 3 105( 3) 2 127 10 3 205 15 2 1217 3 20 strpljivo, moramo sax yxy xx y xy xx x yy xx y= = = = + + = = + = ekati da sredimo drugu jednainu...2 5 12 1517 3 202 5 3napravili smo prost sistem sad pravimo suprotne koeficijente...17 3 20....... / 22 5 3....... / 1734 6 4034 85 5191 91x yx yx yx yx yx yx yy y + = ++ = + =+ = + = + = + == =117 3 2017 3 2017 20 317 17 1( , ) (1,1)x yxxx xxy+ =+ == = == 139 2 22 22 22 25 5 25 1 3 42 2 23 4 25 12 2 23 302 230103Ovo zamenimo u drugu jednainu:2 22 10 22 10 22 121262( , ) (6,10)x x x y xx y y y yx x yx y y y yyx yy yx yxxxx xxy + + = ++ = + = + ++ + == == = = == +== == 140 I nain: reiemo sistem i nai vrednost za x + y

3 5 146....... / 53 5 145 5 3044 118 44 5, 58 265, 5 65, 5 60, 5( , ) (5, 5; 0, 5)5, 5 ( 0, 5) 5, 5 0, 5 5x yx yx yx yx x x xx yyyyxyx y+ = = + = == = = = = == = = + = + = = Dakle, reenje je 5. II nain (elegancija) Odmah saberemo ove dve jednaine... 3 5 1464 4 20 sad sve podelimo sa 45 evo reenja...x yx yx yx y+ = =+ =+ = 141 Oformiemo sistem tako to umesto x i y menjamo koordinate taaka A i B . ( 2, 0) 0 ( 2) 2 0(3, 2) 2 3 3 2Oformimo sistem:2 03 22 0....... / ( 1)3 22 03 2 saberemo ove jednaine25 252 42 25 5A y kx n k n k nB y kx n k n k nk nk nk nk nk nk nk kn k n n = + = + + == + = + + = + =+ = + = + = =+ == == = = Sad ovo zamenimo uy = kx + ni dobijamo:

2 45 5y x = +konano reenje! 142 Prvi deo zadatka radimo kao i prethodni ( 2, 5) 5 ( 2) 2 5( 7, 6) 6 ( 7) 7 6Oformimo sistem:2 5....... / ( 1)7 62 57 615 15Vratimo se u jednu od jednaina:2 512( ) 55255255A y kx n k n k nB y kx n k n k nk nk nk nk nk kk nnnnn = + = + + = = + = + + = + = + = = + = = = = = = = += 2 255 52351 23Dakle , traena funkcija je :5 5ny x+== + Koordinate take T zamenjujemo u dobijenu funkciju... 9 1 23(0, )2 5 59 1 2302 5 59 23NETANO2 5T y x = += += + Grafik ne sadri taku T.143 Da vas podsetimo, dve linearne funkcije su paralelne ako imaju isto k. Iz y = 10x + 1jek = 10, pa je to k i za nau linearnu funkciju! Dakle y = 10x + n Dalje nam treba da nadjemo n. Kako u zadatku kae da grafik sadri taku P(3,2) , koordinate te take emo zameniti umesto x i yuy = 10x + ni tako emo nai n.

(3, 2) 102 10 330 22 3028:10 28P y x nnnnnDakley x= += ++ == = = je traeno reenje! Najpre dobro proitajte zadatak, nadjite vezu izmedju nepoznatih i postavite sistem!

136( zbir dva broja je 136)8 ( etvrtina jednog je za 8 manja od polovine drugog broja)4 2x yx y+ == 1368....... / 44 21362 32zamenimo u gornju jednainu...2 32 1363 136 321683 168 563x yx yx yx yy yyy y y+ == + == + == += = = 144 Vratimo se da naemo x... 2 322 56 32112 3280x yxxx= = = = Traeni brojevi su 80 i 56. Ako je jedan ugao trougla095, onda zbir preostala dva ugla dobijamo kad od 0180oduzmemo 095 . Dakle

0 00180 9585 + = + = Dobili smo jednu jednainu, a kako kae u zadatku da je jedan ugao za 15 stepeni manji od drugog, to je 015 = Oformimo sistem: 0000 000 00 0085151002 100 5028550 8585 5035 + = == = =+ =+ == = Traeni uglovi imaju 50 i 35 stepeni. 145 Obeleimo te brojeve sa x i y. 1 1 ( polovina zbira je)2 2 23 3( polovina razlike je)2 2 2Oformimo sistem:1....... / 22 23 ......./ 22 2132 2 111 11 12x yx yx yx yx yx yx xx yyyy+= =+= = + = == =+ = + = = = Traeni brojevi su1 i-2. 146 Napisati jednainu iz prve reenice nije problem:x + y = 58. Da bi sastavili drugu jednainu, podsetimo se jedne stvari. Kad podelimo neka dva broja: 9 : 2 = 4 i ostatak je 1, to moemo zapisati i kao :9 142 2= + Uopteno : deljenik ostatakreenjedelilac delilac= + Za na zadatak je : 34xy y= + i evo nam druge jednaine za sistem! x y 5834 ....... /x y 584 3zamenimo u prvu...4y+3+y=585y+3=585y=58-35y=55y = 11 vratimo se da nadjemo x4 3 4 11 3 44 3 47xyy yx yx y x x x+ == + + == += + = + = + = Traeni brojevi su dakle 47 i 11. 147 Obeleimo te brojeve sa x i y. Da se podsetimo 20 120%100 5= =

176151765 1 6 zamenimo u gornju jednainu5 5 51766176....... / 556 5 88011 88088080116 680 6 16 965 5x yx y yx yx y y x yx yy yy yyy yx y x x x+ == ++ == + =+ =+ = + === == = = = Traeni brojevi su 96 i80. 148 Podsetimo se: Neki broj

moemo zapisati, rastavljajui ga na desetice i jedinice kao:10Na primer: 23=2 10+3ili35=3 10+5Ako cifre tog broja zamene mesta imamo10xy xy x yyx y x= + = + Postavimo sada sistem: 79710 10 9710 10 979 9 9........../ : 9712 6 373 7 7 3 4x yyx xyx yy x x yx yy x x yx yx yx yx yy yx yx x x+ == + =+ = + + =+ = + = + = + = + = = =+ =+ = = = Traeni broj je dakle :43 149 Iskoristiemo krik sa k sa kojim smo se upoznali u proporcijama! 2: 6: 5 b 6 534=5k+2 6k34=5k+12k34=17k34k=172Vratimo se ub 6 5O a b b ak a kkk a k= + == === = i dobijamo:b 6 6 2 125 5 2 10k cma k cm= = == = = Naravno , reenje smo mogli dobiti i preko sistema jednaina, ali mislimo da vam je ovako lake. abc cm= a+b2 Postavimo sistem: 42....... / 222484241082 108 5428454 84 84 54 30a ba ba ba ba a a cma bb b b cm+= =+ = == = =+ =+ = = = Osnovice su a = 54cm ib = 30cm 150

Ako se stranice pravougaonika razlikuju za 6 onda jea b = 6. Povrina tog pravougaonika je :P ab = Novi pravougaonik ima stranice: 111 1 112125Njegova povrina je :( 2) ( 5)U zadatku kae da je nova povrina vea od stare za 32cm .32( 2) ( 5) 32 malo sredimo...5 2 10 325 2 32 105 2 42a ab bP a bP a bP Pa b abab a b abab a b aba b= = += = += + + = ++ = ++ = + = dobili smo drugu jednainu za sistem Sad reavamo: 65 2 426....... / ( 2)5 2 422 2 125 2 423 30 10610 6 4a ba ba ba ba ba ba a cma bb b cm = = = = + = == = = = = Stranice pravougaonika su a = 10cmi b= 4cm. 151 + b = 21 , to nam je jedna jednaina za sistem. Drugu emo dobiti iz :

1 1111Povrina novog trougla se rauna po formuli : 2( 4)( 1)2U zadatku kae da se povrina trougla ne menja, dakle:P=P( 4)( 1)....... / 22 2( 4)( 1)4 44 44 4 a bPa bPab a bab a bab ab a bab ab a ba b=+ = + = = + = + + = = dobili smo drugu jednainu za sistem!

214 421....... / ( 1)4 4214 45 25 5215 21 21 5 16a ba ba ba ba ba bb b cma ba a a cm+ = = + = = = = = =+ =+ = = = Dakle,katete sua = 16cm i b = 5cm. 152 TROUGAO( PRIMENA PITAGORINE TEOREME ) Mnogougao koji ima tri stranice zove se trougao.Osnovni elementi trougla su : -Temena A,B,C -Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeleavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) -Uglovi , unutranji , ,i spoljanji 1 , 1, 1 111ABCabc Osnovne relacije za uglove i stranice trougla su: 1)Zbir unutranjih uglova u trouglu je 1800 tj. + + = 1800 2)Zbir spoljanjih uglova je 3600 tj.1 +1 +1 =3600 3)Spoljanji i njemu susedni unutranji ugao su uporedni,tj. +1 = +1 = +1 =1800 4)Spoljanji ugao trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutranja ugla, tj 1 = +1 = +1 = + 5)Svaka stranica trougla manja je od zbira a vea od razlike druge dve stranice, tj c a b c ab a c b a+ < < + < < c b a c b + < < 6)Naspram veeg ugla nalazi se vea stranica i obrnuto. Ako je =onda je a = b Ako je a = b onda je =153 etiri znaajne take trougla su: 1)Ortocentar (H) 2)Teiste (T) 3)Centar upisane krunice (S) 4)Centar opisane krunice (O) Ortocentar se nalazi u preseku visina trougla ha,hb,hc. ( Visina je najkrae rastojanje od temena do naspramne stranice). Kod otrouglog trougla je utrouglu, kod pravouglog u temenu pravog ugla a kod tupouglog van trougla. ABCABC111a bchh hH ha hb hc = HOrtocentar Teina du trougla je du koja spaja teme sa sredinom naspramne stranice. Teine dui seku se u jednoj taki , a to je TEITE TROUGLA. Teite deli teinu du u razmeri 2:1.

ABCA BC1 11Ttttabc 1 : 2 :1 : 2 :1 : 2 :111===TC CTTB BTTA AT T t t tc b a= 154 Centar upisane krunice je taka preseka simetralauglova i kod svih trouglova je u oblasti trougla. ABCSSSSr

S s s s = Centar opisane krunice je taka preseka simetrala stranica. Kod otrouglog trougla je u trouglu, kod pravouglog na sredini hipotenuze i kod tupouglog van trougla. ABCsssACABBCor

O s s sBC AC AB= 155 Vrste trouglova: Trouglovi se dele prema stranicama i prema uglovima. Prema stranicama:Prema uglovima: 1)jednakostranini 1) otrougli 2)jednakokraki 2) pravougli 3)nejednakostranini3)tupougli Nejednakostranini

ABCabc O = a + b + c P=2 2 2c b ach bh ah= = ili P =) )( )( ( c s b s a s s iliP= r s iliP=Rabc4 gde je: spoluobims = 2c b a + +, r-poluprenik upisane krunice i R-poluprenik opisane krunice.

156 Pravougli: CABabhcqpc O = a + b + c P=2abiliP=2cch odavde je:cb ahc= a2 + b2 = c2Pitagorina teorema R = 2c ;r = 2c b a + ;hc = pq;a =pc ;b = qc; c= p+q Jednakokraki : ABCabbhaa_2hb Ovde jeaosnova i bkrak ( kraci) O = a + 2bP=2 2b abh ah= Primena Pitagorine teoreme: ha2+(2a)2= b2 1576Jednakostranini: ABCaaa hrryo O = 3a iP =432a Visina h =23 a; 6331 ah ry= = ;3332 ah ro= = Kod ovog trougla sve etiri znaajne take se nalaze u jednoj taki. Srednja linija trougla (m) je du koja spaja sredine dve stranice i uvek je jednaka polovini paralelne stranice. abc ABCm=c/2 abc ABCm=a/2 abc ABC158 Podudarnost 1 1 1C B A ABC (SSS) Ako su sve stranice jednog trougla jednake odgovarajuim stranicama drugog trougla. (SUS) Ako su dve stranice i zahvaeni ugao jednog trougla jednaki dvema stranicama i zahvaenom uglu drugog trougla. (USU) Ako su stranica i na nju nalegli uglovi jednog trougla jednaki sa stranicom i na nju naleglim uglovima drugog trougla. (SSU) Ako su dve stranice i ugao naspram vee od njih jednog trougla jednaki dvema stranicama i uglu naspram veeod njih drugog trougla. 159 )513?Naravno, primenjujemo Pitagorinu teoremu:Aa cmc cmb=== 2 2 22 2 22225 1325 169169 2514414412a b cbbbbbb cm+ =+ =+ == === )912?Ba cmb cmc=== 2 2 22 2 2229 1281 14422522515a b cccccc cm+ =+ =+ ==== 160 22481)?2)?P cma cmbO==== Primeniemo formulu za povrinu pravouglog trougla i iz nje nai katetu b. 2824skratimo 8 i 2 sa 2224=4b24b=46abPbb cm=== Sada emo pomou Pitagorine teoreme nai hipotenuzu c a zatim i obim O = a + b + c 2 2 22 2 2228 664 3610010010a b cccccc cm+ =+ =+ ==== O = a + b + c O = 8 + 6 + 10 O = 24 cm 912??ca cmb cmPh==== Kreemo od obrasca za povrinu trougla: 161 229 1229 654abPPPP cm==== Primenimo Pitagorinu teoremu: 2 2 22 2 2229 1281 14422522515a b cccccc cm+ =+ =+ ==== Dalje traimo hipotenuzinu visinu( pogledaj teorijske napomene i podseti se formule) 9 12 skratimo 12 i 15 sa 3159 4 536 cm57, 2cccccabhchhhh cm===== Naravno najpre moramo nacrtati slikui uoiti ta je to to se od nas trai: 162 A BCDa=8cmb=6cm hcc Vidimo da je traeno rastojanje ustvari hipotenuzina visina trougla ABC. Dakle, prvo emo nai duinu c, a zatim i to traeno rastojanje. 2 2 22 2 2228 664 3610010010a b cccccc cm+ =+ =+ ==== 8 6 1048 104, 8ccccabhchhh cm==== 163 ABCabhaa_2b=13cm=12cm 1)Osnovicu emo nai primenom Pitagorine teoreme na plavi trougao( pogledaj teorijske napomene) 22 222 2222212 132144 1692169 1442252252525 210aah baaaaaaaa cm + = + = + = = = = === 2)Visinu koja odgovara kraku b emo nai kombinujui formule za povrinu! Kao to znamo , povrina se moe izraunati preko dve formule: 164 ili2 2Ako uporedimo ove dve formule: skratimo dvojke2 2 odavde izrazimo 10 121312013a ba ba b babbbah bhP Pah bhah bh hahhbhh cm = = = = === Najpre emo nai duinu dui BC, primenjujui Pitagorinu teoremu na trougao ABC. ABSC3cm5cmd 165 2 2 22 2 2225 325 916164BC AC ABBCBCBCBCBC cm= = = === Kako je S sredina stranice BC , to znai da je duina BS = 2cm. Dalje primenjujemo Pitagorinu teoremu na trougao ABS ABSC3cm5cmd2cm 2 2 22 2 2223 29 41313d AB SBdddd cm= += += +==

Obeleimo na slici take A i B. 166 kqpOABSrrd Kako su p i q tangente datog kruga, znamo da su one normalne na poluprenik. To nam govori da je etvorougao OASBkvadrat, stranice r i dijagonale d = OS = 4cm. 2 primenimo kod naeg zadatka:24 222 2darr cm===

Najpre uoimo da su lestvice u obliku jednakokrakog trapeza. Moramo izraunati visinu tog trapeza. 167 abc cha-b2 a = 1,6 m b = 0,4 m c =1m h = ? 22 222 2222 22221, 6 0, 4121, 2121 (0, 6)1 0, 360, 640, 640, 8a bh chhhhhhh m = = = = = ===

h=0,8m2m Najvea visina koju Milan moe dosegnuti je 0,8 + 2 = 2,8 metra 168 stub10mduina senke20mdvrabac Sa slike uoavamo da je na ovaj nain oformljen pravougli trougao, a traeno rastojanje je hipotenuza ovog trougla! 2 2 22210 20100 400500500500 100 5 100 510 5dddddd m= += +=== = = = Pogledajmo najpre sliku:

25mx25-x25-x5m Obeleimo sa x visinu na kojoj je stablo polomljeno. Poto je celo stablo visoko 25 metara, onaj gornji deo, koji je 169 pao ka zemlji je25 -xmetara. Na taj nain je nastao pravougli trougao, na kome emo primeniti Pitagorinu teoremu! 2 2 22 2 22 22 25 (25 ) pazi, na desnoj strani je kvadrat binoma!25 25 2 2525 625 5050 625 2550 6006005012x xx x xx x xx x xxxx m+ = + = ++ = ++ = === Dakle , stablo je polomljeno na 12 metara od zemlje. ABC ba=b-2c=b+2 Primenjujemo Pitagorinu teoremu: 170 2 2 22 2 22 2 2 2 22 2 22 2 22( 2) ( 2)2 2 2 2 2 24 4 4 4 nepoznate prebacimo na levu a poznate na desnu stranu4 4 4 48 0( 8) 0 0ilib-8=0 b=8cm2 8 2a b cb b bb b b b bb b b b bb b b b bb bb b ba b a a+ = + = + + + = ++ + + = ++ + = = = = = = = 62 8 2 10Daljeda nadjemo obim:6 8 1024cmc b c c cmO a b cOO cm= + = + == + += + += 48 2?O cmd== aad Iz obima emo nai duinu stranice a. 448 2 448 2412 2O aaaa cm==== 171 Dalje koristimo formulu za dijagonalu: 2212 2 212 212 224d adddd cm== == = a=12cmbd=b+8 Naravno, primenjujemo Pitagorinu teoremu na plavi trougao. 172 2 2 22 2 22 2 22 22 22( 8) 122 8 8 14416 64 14416 144 6416 8080165Sada nije teko nai povrinu:12 560d a bb bb b bb b bb b bbbb cmP abPP cm= ++ = +++ = ++ + = ++ = ==== = = r=d/2a=12cmb Kako se centar opisane krunice kod pravougaonika nalazi u preseku dijagonala, to moemo zakljuiti da je poluprenik jednak polovini dijagonale odnosno da je: 173 d = 2r , to jestd = 30cm Dalje emo primenom Pitagorine teoreme nai nepoznatu stranicu b. 2 2 22 2 222224 30576 900900 57632432418a b dbbbbbb cm+ =+ =+ == ===Obimpravougaonikaje:2 22( )2(24 18)2 4284O a bO a bOOO cm= += += += = 12100401) ? ?2)?3)?O cmd cma dPh=== === 174 aadd21h12d22d Iz obima emo nai duinu ivice a. 4100 4100425O aaaa cm==== Primenom Pitagorine teoreme na plavi trougao, Nai emo drugu dijagonalu. 175 2 22 1 22 22 222 222222222222 240252 2625 202625 4002625 40022252225215215 230d daddddddddd cm = + = + = + = + = = === = Dalje raunamo povrinu:1 22240 302600d dPPP cm=== Da bi nali duinu visine h , moramo upotrebiti i drugu formulu za povrinu: 600 256002524P ahhhh cm= = == 176 Nacrtajmo najpre sliku: CC1BA6cm60o60o60o60o Kako je trougao1CC B jednakostranian, njegovi uglovi su po 60 stepeni.Kako su mu i sve stranice jednake , to je1 16 CC CB BC cm = = = Kako je1CCteina du, ona deli stranicu AB na dva jednaka dela ,pa jei16 C A cm = . Dalje zakljuujemo da je trougao1CC Ajednakokraki. Kakoje 0 0 01180 60 120 CC A = =a 1CC Ajejednakokrakitoedvaostalauglabiti:0 001 1180 120302C CA CAC= = = Pogledajmo na slici ta smo do sada izmozgali: 177 CC1BA6cm60o60o60o60o12030oo30o6cm6cm6cm Dakle , uglovi trougla ABC su 30, 60 i 90 stepeni. to se tie stranica , oigledno je BC = 6cm,AB = 12cm a AC emo dobiti primenom Pitagorine teoreme: 2 2 22 2 22212 6144 36108108 36 3 36 36 3AC AB BCACACACACAC CM= = = == = = = Prouimo najpre sliku: 178 ABCD8cm 13cm60o30o4cm Kako je 060 CAB =a CD visina, to nam govori da je030 ACD = , odnosno da je trougao ACD polovina jednakostraninog trougla stranice 8 cm. Onda je AD = 4cm. CD je visina tog trougla ija je stranica 8cm. 328 324 3ahCDCD cm===

DB emo nai pomou Pitagorine teoreme: 2 2 22 2 222213 (4 3)169 16 3169 4812112111DB CB CDDBDBDBDBDBDB cm= = = = === 179 xy1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -512345-1-2-3-4-50A(-4,0)B(0,-3)pO(0,0)d Oigledno je trougao ABO pravougli sa katetama AO= 4iBO =3( pazi, ovde nema jedinica mere, pa ne piemo cm, m ...) 2 2 22 2 2223 49 1625255AB OB OCABABABABAB= += += +=== Traeno rastojanje d je visina ovog pravouglog trougla: 3 4

512 52, 4cabhcddd==== 180 Najpre dobro proitamo zadatak i dopunimo sliku: xy1 2 3 4 51234506 7A(1,1)B(7,4)C(7,1)d A) Oigledno je:AC = 7 1 = 6iBC =4-1 = 3 AB emo nai primenom Pitagorine teoreme: 2 2 22 2 2223 69 364545 9 5 9 5 3 53 5AB BC ACABABABABAB= += += +== = = == B) Traeno rastojanje je visina ovog trougla, dakle: 181 23 6

3 56moramo izvriti racionalizaciju56 55 56 556 55cabhcddddd==== == 182 ETVOROUGAO( PRIMENA PITAGORINE TEOREME ) Mnogougao koji ima etiri stranice naziva se etvorougao.

ABCD11 11 Za svaki etvorougao vai da im je zbir unutranjih i spoljanjihuglova isti i iznosi 3600 + + + =36001 +1 +1 +1 = 3600 Najpre da kaemo da etvorouglovi mogu biti : konveksniinekonveksni. etvorougao je konveksan ako du koja spaja bilo koje dve take unutranje oblasti ostaje unutar etvorougla. ABCD etvorougao je nekonveksan ako du koja spaja bilo koje dve take unutranje oblasti izlazi iznje. ABCD

183 Podela etvorouglova moe se izvriti na vie naina.Prvu podelu izvrio je jo Euklid. On ih je podelio u pet grupa:kvadrati, pravougaonici,rombovi,romboidii trapezi. Meutim, danas je podela izvrena na sledei nain: 1)Paralelogrami (imaju po dva para paralelnih stranica) 2)Trapezi (imaju jedan par paralelnih stranica) 3)Trapezoidi (nemaju paralelne stranice) Paralelogram je etvorougao ije su naspramne stranice paralelne. KVADRAT -Sva etiri ugla su mu prava-Sve stranice su jednake -Dijagonale su jednake i meusobno se polove pod pravim uglom -Centralno simetrina je figura -Ima4 ose simetrije aadrryo O= 4a P = a2ili22dP = , 2ary =i 222a dro= =

d=a 2 i ako nam treba duina stranice a imamo duinu dijagonale 22 da =184 PRAVOUGAONIK -Sva etiri ugla su mu prava -Paralelne stranice su jednake -Dijagonale su jednake i meusobno se polove -Centralnosimetrina figura -Ima 2 ose simetrije ab dro O = 2a + 2b P = ab 2dro = adijagonalu nalazimo iz Pitagorine teoreme: d2 = a2 + b2 ROMB -Sve etiri stanice su jednake -Naspramni uglovi su jednaki a uzastopni su suplementni -Dijagonale se meusobno polove pod pravim uglom -Centralnosimetrina figura -Ima dve ose simetrije 185 aadd21h O = 4a P=22 1d d ili P = ah Moe se upisati krunica iji je poluprenik2hry = Pitagorina teorema se primenjuje na oseneni trougao: a2 = (2 2 2 1)2( )2d d+ ROMBOID -Paralelne stranice su jednake -Naspramni uglovi su jednaki auzastopnisu suplementni -Dijagonale se meusobno polove -Centralnosimetrina figura abhhab O = 2a + 2b P= aha ili P= bhb Ne moe da se upie niti da se opie krunica . etvorougao ije su samo dve naspramne stranice paralelne zove se TRAPEZ. 186 Paralelne stranice se zovu osnovice, a druge dve kraci.

abcd mh Stranice a i b su osnovice, c i d kraci. Du koja spaja sredita krakova je srednja linija trapezam = 2 b a + . Naravno m je paralelna i sa a i sa b. O = a+b+c+d ; P=+2b ahiliP = mh JEDNAKOKRAKI TRAPEZ

abc ca-b2da+b2h O = a + b + 2c P=+2b ahiliP = mh Primena Pitagorine teoreme:2 2 2)2( c hb a= +( na zeleni trougao)

2 2 2)2( d hb a= ++ ( na crveni trougao) 187 PRAVOUGLI TRAPEZ abch d=ha-b O = a + b + c + h P=+2b ahiliP = mh Primena Pitagorine teoreme: 2 2 2) ( c h b a = + Najpoznatiji trapezoid je deltoid. DELTOID -Deltoid je trapezoid koji ima dva para jednakih uzastopnih stranica. -Dijagonale deltoida su meusobom normalne. -Simetrala deltoida je simetrala i njegovih uglova koje obrazuju jednake stranice -Uglovi koje obrazuju nejednake stranice su meu sobom jednaki. -Dijagonale su istovremeno i simetrale uglova. aab bdd12 O = 2a + 2bP=22 1d d 188 CAB090 Znamo da je zbir unutranjih uglova u svakom trouglu0180 , a kako je na trougao pravougli ,jedan njegov ugao je 090 , tako da ostaje da zbir ostala dva takoe mora biti 090 .Postavimo sistem: 0000 00 0 0 0 0 090221122 112 56290 56 90 90 56 34 + = == = =+ = + = = = ABC036 = Znamo da je zbir unutranjih uglova u svakom trouglu0180 : 189 00 00 0018036 180180 36144 + + =+ + =+ = + = Dobili smo jednu jednainu, a drugu emo dobiti pratei tekst zadatka: njihov zbir je tri puta vei od njihove razlike: 0003( )144 3( )144348 + = = = = Sada moemo postaviti sistem: 0000 000 0 0 0 0144481922 192 96214496 144 144 96 48 + = == = =+ =+ = = = Zbir unutranjih uglova u svakom etvorouglu je 0360 , a kako znamo zbir tri ugla da je 0268 , etvrti ugao emo nai kad : 0 00360 26892 = = 190 abc c Znamo da je zbir unutranjih uglova kod svakog trapeza 0360 . Kako je na trapez jednakokraki , to nam govori da su uglovi na osnovicama jednaki( vidi sliku). Jo znamo da je zbir naspramnih uglova0180 .Formiramo sistem: 0000 000 00 00301802102 210 1052180105 180180 10575 =+ == = =+ =+ == = Ovde emo koristiti injenicu da je zbir unutranjeg i spoljanjeg ugla 0180 . 191 8040130140ooooo50 Za spoljanji ugao od0130odgovarajui unutranji je0 0 0180 130 50 =( vidi sliku) Za spoljanji ugao od040odgovarajui unutranji je0 0 0180 40 140 = ( vidi sliku) Sad znamo tri unutranja ugla, i znamo da je zbir sva etiri 0360 . Dakle: 0 0 0 00 00360 (50 80 140 )360 27090= + += = Uoimo na slici oznaeni ( uti) trougao. 192 30o26o40o50o110o70o Kakojezbirunutranjihuglovausvakomtrouglu 0180 ,nalazimodajetreinjegovugao 0110 ,anjegov odgovarajui spoljanji je onda 070 = . Uoimodalje na slici oznaeni ( plavi ) trougao. o3026o40o50o70oo60oo120 Njegov trei ugao je oigledno =0 0 0 0 0 0180 (70 50 ) 180 120 60 + = = Onda je njegov spoljanji0120 . I konano , uoimo crveni trougao: 302650ooooo40o120 =0 0 0 0 0 0180 (120 26 ) 180 146 34 + = =193 Kakosu uglovi na osnovici po072 , trei , nepoznati ugao gama emo izraunati:

0 0 0 0 0 0180 (72 72 ) 180 144 36 = + = = Kako u zadatku kae da je AD simetrala ugla na osnovici od 072 , a znamo da simetrala deli ugao na dva jednaka dela to je:

0072362 = = Onda zakljuujemo da je i ugao 036 BAD =. Naravno , onda je ugao beta: 0 0 0 0 0 0180 (36 72 ) 180 108 72 = + = =194 A BDC72o=36=72=36ooo6cm6cm6cm Trougao ABD je jednakokraki, dakle BA = DA = 6cm. TrougaoADC je takodje jednakokraki , pa je AD = DC = 6 cm Duina BADC e biti :6 + 6 + 6 = 18cm Napomena: Trougao sa uglovima od 072 ,072i036 zove se ZLATNI TROUGAO. Posmatrajmo trouglove ABDi MBD. 195 ABMD NC VisinatrouglaAMBjepolovinavisinetrouglaABD.PovrinatrouglaABDje 2ABDABhP=

,apovrinatrougla AMD je 122 2AMD AMBhABP P= = . Naslian nain zakljuujemo da je122 2BND BCDhCDP P= = ta nam ovo govori? Pa da je oseneni deo ustvari ba polovina od povrine etvorougla ABCD, pa je :

21 124 122 2BNDM ABCDP P cm = = =

18??uO cmPr=== 196

2 22318 318363 6 3 36 39 34 4 43 6 336 6uO aaaa cmaP cmar cm===== = = == = = Najpre da nacrtamo odgovarajuu sliku: A BC D M12cm6cmh Uoimo da je visina trougla jednaka stranici BC pravougaonika , dakle h = 6cm. Sada nije teko nai povrinu trougla: 22212 6236a hPABhPPP cm====

197

1296?aba cmb cmh cmh==== Nepoznatu visinu emo nai kombinujui formule za povrinu trougla:

i 2 2pomnoimo sve sa 22 2odavde izrazimo 12 698a ba ba b babbbah bhP Pah bhah bh hahhbhh cm = = = = === Nacrtajmo najpre sliku: 6cm3cm 198 Uoavamo da je visina trougla ABS jednaka polovini visine celog trougla , dakle 3cm. 22214 3221a hPABhPPP cm====

ABSChASChBSCh Najpre uoimo da je visina h celog trougla ABC , istovremeno i visina trouglova ASCiSBC. Krenuemo od datog odnosa povrina trouglova inaitraeni odnos: 199 : 12: 8: 12: 8(kratimo h i 2)2 2: 12: 8 (skratimo sa 4): 3: 2ASC BSCP PAS h SBhAS SBAS SB= === Kako su svitrouglovi podudarni( imaju jednake povrine) , nai emo povrinu jednog. Kako? Pa jednostavno prebrojimo koliko ih ima , 16 , i podelimopovrinu celog trougla sa brojem malih trouglova. 248:16 3cm =to je povrina jednog malog trougla. Dalje prebrojimo osenene trouglie, ima ih 10, i to pomnoimo sa 3. 2.10 3 30os delaP cm = = 200 Taka A je mesto gde prava y = -x +3 see x osu. Znai, u datoj jednaini stavimo y = 0i izraunamo x. 30 30 33y xxxx= += ++ == Dakle, taka A ima koordinate A( 3,0). Taka B je mesto preseka pravih y = -x +3iy = 2x . Presek emo nai reavajui sistem jednaina od te dve prave: 323 22 33 31Kako je y = 2x y=2y xy xx xx xxx= += + = = = = Taka B ima koordinate B(1,2) 201 1 ABy=-x+3y=2x332h0xy Trougao OAB ima osnovicu duine 3 i visinu 2, pa je: 23 223a hPPP===

202 ABCDOS3cm3cm7cm3cm3cm10cm6cm Dua stranica pravougaonika je 3 + 7 + 3 = 13cm Kraa stranica pravougaonika je 3 + 3 = 6cm 213 678P abPP cm= = =

121 22712?Samo upotrebimo formulu:27 12242d cmd cmPd dPPP cm====== 203 A BCDaadd12a=d2 _2a Trougao ABD je prema podacima jednakostranian, a njegova visina je polovina due dijagonale, znai 3 cm. Upotrebiemo formulu za visinu jednakostraninog trougla i tako nai stranicu a . 1323323 66racionaliemo36 33 36 332 32 3ahaaaaaa cmd a cm===== === =

204 1 22Samo upotrebimo formulu:22 3 626 3d dPPP cm=== 295?Najpre emo nai srednju liniju:9 5 1472 2 2Kako su srednja linija i visina jednaki , mora biti: h=7cm7 749a cmb cmh mPa bm cmP mhPP cm====+ += = = == = = 205 291236)? ?)?Iskoristiemo povrinu i nai visinu trapeza:P=m h36=9 h36h=94Iz srednje linije emo nai drugu osnovicu:2129212 9 212 186m cma cmP cmA h bB ch cma bmbbbb cm==== ===+=+=+ =+ == Primenom Pitagorine teoreme dolazimo da kraka c: 22 222 22 222212 64216 316 925255a bc hcccccc cm = + = + = += +=== 206 45o45o Sa slike jasno uoavamo jednakokrako pravougli trougao sa katetama hia b. Ondajeh = a-b = 4cm Stranicu c moemo nai primenom Pitagorine teoreme, a moemo razmiljati da je to dijagonala kvadrata stranice 4cm, i odmah dobijamo da je4 2 c cm = 12 8 4 2 424 4 2 ( ili ako izvuemo 4 ispred zagrade)4(6 2)cm O a b c hOOO= + ++= + + += += + Nadjimo najpre duinu srednje linije trapeze: 207 28 621427a bmmmm cm+=+=== Dakle XY= 7cm A BC DE FX Ya=8cmb=6cm3cm UoimonaslicitrougaoACD(plavi).KodnjegajeXEsrednjalinijatrougla,pajejednakapoloviniparalelne stranice: 632 2CDXE cm = = = A BC DE FX Ya=8cmb=6cm3cm Posmatrajmo sada trougao BCD. FY je srednja linija ovog trougla : 632 2CDFY cm = = = 208 A BC DE FX Ya=8cmb=6cm3cm 3cm1cm Nali smo da je XZ = 7cm, XE = 3cm i FY = 3cm.Odavde: EF = 7 - 3- 3 = 1cm Naimo najpre srednju liniju trapeza, pa e njena polovina biti visina: 216 8224212a bmmmm cm+=+=== 122 26mhh cm= == Dalje nam je neophodna slika: 209 A BC DP QXYa=16cmb=8cmh=3cmh=3cmh=6cm Visine trouglova PQXiPQYsu jednake polovini visine trapeze, dakle po 3cm. Povrinu traenog etvorougla emo nai kao zbir povrina ova dva trougla, ija je osnovica PQ ustvari srednja linija trapeza duine 12 cm a visine po 3cm: 212 3 12 32 218 1836PQX PQYP P PPPP cm= + = += +=

Iskoristiemo injenicu da teite deli teinu du u odnosu 2: 1. Evo slike: 210 ABCDSTX2XY2YO Ako duinu SO obeleimo sa x, onda e DS biti 2x.( 2 SO x DS x = = ) Ako duinu TO obeleimo sa y, onda e BT biti 2y.( 2 TO y BT y = = ) Cela du BD je 24 2 224 3 3sve podelimo sa 3x + y = 8BD BT TO OS SDy y x xx y= + + += + + += + Dakle, traeno rastojanje je TS = 8cm. Prouimo najpre crte: 211 xy1 3 4 512340 6 7 8 9A(1,2)D(5,3)C(9,2)B(2,0)h=1h=2 Vidimo da se etvorougao ABCD sastoji od dva trougla ija je osnovica ista AC = 9-1 = 8, ivisina koje su 3-2=1( uti trougao)i2-0=2( plavi trougao). 8 142ACDP= =

Nadjimo i povrinu trougla ABC 8 282ABCP= =

Povrina etvorougla ABCD jednaka je zbiru povrina ova dva trougla: 4 812ABCD ABC ACDABCDABCDP P PPP= += +=

212 MNOGOUGAO Mnogougao je deo ravni ogranien zatvorenom, izlomljenom linijom , ukljuujui i take sa te linije.

AAA12311223*3A4An1n1nAn Ako du koja spaja bilo koje dve take na izlomljenoj liniji ne see nijednu stranicu mnogougla, onda je to KONVEKSAN mnogougao, a ako see ' nekonveksan mnogougao. konveksanmnogougao nekonveksan mnogougao VAI : 1)n je broj stranica = broj unutranjih uglova =broj temena 2)Zbir svih unutranjih uglova sa rauna po formuli onn S 180 ) 2 ( = 3)Zbir svih spoljanjih uglova je o360 4)Iz svakog temena mnogougla mogu se povui3 = n dn dijagonala 213 5)Ukupan broj dijagonala je 2) 3 (=n nDn PRAVILAN MNOGOUGAO je mnogougao koji ima meusobno podudarne stranice i unutranje uglove. Za pravilne mnogouglove sa n stranica vai: -On ima n osa simetrije -Ako je broj stranica paran on je ujedno centralno simetrian -Oko svakog pravilnog mnogougla se moe opisati krunica iji se centri poklapaju -Moe se podeliti na n karakteristinih jednakokrakih trouglova ija su dva temena bilo koja dva susedna temena mnogougla a tree je u centru opisane tj upisane krunice. -Zbir svih unutranjih uglova sa rauna po formuli onn S 180 ) 2 ( =-Jedan unutranji ugao je onda nSn= -Jedan spoljanji ugao je no3601 = ) 180 (1o= + -Zbir svih spoljanjih uglova je o360 -Iz svakog temena mnogougla mogu se povui3 = n dn dijagonala -Ukupan broj dijagonala je 2) 3 (=n nDn -Ako je duina stranice a onda je obim mnogougla O=na -Povrina se rauna po formuli 2ahn P = , gde je h visina karakteristinog trougla -Centralni ugao je on3601=

3 AAA231An22arororu214 ESTOUGAO

A BCD EFaaa aarroyd=a600600600 03 Pravilni estougao se sastoji od 6 jednakostraninih trouglova. 2 26obim3 36 3 povrina4 23 mala dijagonala2velika dijagonalarpoluprenik opisane krunice3r poluprenik upisane krunice2oyO aa aPd aD aaa== ===== 215 Poto je u pitanju sedmougao, onda je n = 7. 777( 3)27 (7 3)27 4214nn nDDDD = === 0070707( 2) 180(7 2) 1805 180900nS nSSS= = == 3(jer je broj dijagonala tri puta vei od broja stranica)n=?nD n = 3( 3)3( pokratimo n i n )2( 3)323 3 23 63 69nD nnnnnnnnn=== = == += 216 01620)?)?nnSA nB D=== 00 000( 2) 1801620 ( 2) 180162021802 99 211nS nnnnnn= = = == += 111111( 3)211 (11 3)211 8244nn nDDDD = === 217 0160)?)?nA nB D === Iskoristiemo da je zbir unutranjeg i spoljanjeg ugla 180 stepenii nai spoljanji ugao, a onda emo preko spoljanjeg ugla izraunati n. 010 010 01010 001180160 180180 16020360 3601820n + =+ == == = = Dalje nije teko izraunati broj dijagonala: 181818( 3)218 (18 3)218 152135nn nDDDD = === 5 (broj dijagonala je pet puta vei od broja temenanD n = ) 218 5( 3)5( pokratimo n i n )2( 3)523 5 23 103 1013nD nnnnnnnnn=== = == += Sada raunamo zbir njegovih unutranjih uglova: 0013013013( 2) 180(13 2) 18011 1801980nS nSSS= = = = 0110? n == Pokuaemo da naemo broj stranica n, i tako utvrditi da li takav mnogougao postoji! 010 010 01010 001180110 180180 11070360 360 36 1570 7 7n + =+ == == = = = Dakle, takav mnogougao ne postoji! 219 012? n == Znamo da je centralni ugao jednak spoljanjem uglu. Dakle: 1 = 0 001360 3603012n= = = Dakle , taj mnogougao ima 30 stranica. 015? == Centralni ugao jednak je spoljanjem uglu. To jest: 1 = 010 00 0018015 180180 15165 + =+ == = 5 ( centralni ugao je 5 puta manji od unutranjeg)? n == Centralni ugao jednak je spoljanjem uglu: 1 = Datu jednakost moemo zapisati i kao:15 = Daljeemo oformiti sistem jednaina: 220 10101 101010151805 1806 180180630 =+ =+ ==== I konano, broj stranica traenog mnogougla je: 0 001360 3601230n= = = Prvo jedno objanjenje: mi smo centralni ugao obeleavali sa aoni ga daju sa , da vas to ne zbuni. Znamo da je centralni ugao jednak spoljanjem, a to emo iskoristiti da naemo unutranji ugao! 0 0 0.180 30 150unutr = = 221 150oaa Uoimo dalje trougao ABC. On je jednakokraki , a znamo da je jedan ugao0150 . Kako je zbir uglova u svakom trouglu 0180 , nai emo traeni ugao: 0 0 00180 150 30152 2ACB= = = 150oaa15o15o Nacrtajmo sliku i ona e nam sve ispriati'': A BCD EFaaaa60006000600060006000a30o30o 222 Znamo da se estougao sastoji iz6jednakostraninih trouglova. Uglovi u svakom od tih trouglova su po 060 . Ugao CAD je polovina od 060 , dakle 030 . Takav je i ugao ACF=030 Jasno je da su uglovi trougla ACD: 030 , 060 i060 +030 = 090 Ovaj zadatak je vrlo slian 234. zadatku al ovde imamo ugao ACB a trebamo nai centralni ugao! 10o 10o Trougao ABC je jednakokraki, jer su dve njegove stranice istovremeno i stranice mnogougla. Dakle i ugao BAC je020 . Onda je unutranji ugao mnogougla : 0 0 0 0 0 0180 (10 10 ) 180 20 160 ABC = + = = Spoljanji ugao ( koji je jednak traenom centralnom) je : 0 0 00 00180 160 20Broj stranica n emo nai iz formule:360 3601820n= == = = 223 A BCD EFaaaaa3 4 3?24 3 24 322 334 3 34 312D cmdD aaaa cmd addd cm========= = 224

2222 3??2 33 2 323642 3644 3646 3daPdaa cmaPPPP cm======= = = = 225 A BCDE11013090oooxFs Kako je s osa simetrije, to zakljuujemo da je ugao AFD =090 Dalje posmatramo etvorougao AFDE. Znamo da je zbir uglova u svakom etvorouglu 0360 . Kako znamo tri ugla , lako emo izraunati nepoznati ugao: 0 0 0 00 00360 (90 110 130 )360 33030EDFEDFEDF= + += =

226 KRUG (KRUNICA) Krunica je skup taaka u ravni ija su rastojanja od jedne stalne take(centra) jednaka datoj veliini (polupreniku).

Or. Centar kruga najee obeleavamo sa O Poluprenik najee obeleavamo sa r ( pa je onda2r prenik kruga) Pazite: krunica je samo linija ( kruna) a krug ine ta kruna linija i sve take unutar nje.

2Obim kruga je 2Povrina kruga jeO rP r== 2272 Kruni luk 0002Duina krunog luka je:l=360odnosno, moe i :l=360ili l=180rOr Or.rl Kruni iseak

2krugaki ki ki0 0Povrina krunog iseka je P =ili P =iliP360 2 360Pr r l=

Or.rl 2283 Kruni odseak Or.rlAB Povrina krunog odseka se dobija kad od povrine krunog iseka oduymemo povrinu trougla ABO. ods ise ABOP P P= Kruni prsten

Or.R ) (2 2r R Pkp = Povrina krunog prstena se rauna kad od povrine veeg kruga oduzmemo povrinu manjeg kruga. 229 Polukrug .2r Povrina polukruga se naravno dobija kad povrinu kruga podelimo sa 2.

22rP= Pazite, obim polukruga je zbir polovine obima kruga i prenika! 22 2 ( 2)2rO r r r r = + = + = +

Nad istim lukom , svi periferijski uglovi su jednaki. l

2305 Periferijski ugao nad prenikom je prav. .2r

Or.rl 2 = Nad istim lukom, centralni ugao( ) je dva puta vei od periferijskog ugla( )To jest:=2 231 22273,14??22 7 3,1443, 96749 3,14153, 86r cmOPO rOO cmP rPPP cm===== ==== = 212?kvkrP cmP == Nacrtajmo najpre sliku i uoimo vezu izmeu podataka... aar=d/2 Poluprenik kruga je polovina dijagonale kvadrata! Iz povrine kvadrata emo nai duinu stranice , a zatim i dijagonalu: 232 221212 4 3 2 322 3 22 6P aaad add cm=== = ==== Nadjimo poluprenik: 22 626drrr cm=== 22266P rPP cm=== 31, 43,142 ??O cmrP === Iz formule za obim kruga emo nai duinu poluprenika ( prenika). 222231, 4 2 3,1431, 423,142 105525 3,1478, 5O rrrr cmr cmP rPPP cm== ====== = 233 Nacrtajmo sliku najpre: 1cm2cmrA BO Polovina tetive AB je 2cm, i ona sa rastojanjem od centra kruga i poluprenikompravipravougli trougao , na kome primenjujemo Pitagorinu teoremu. Dakle: 2 2 2222 14 15rrr= += += Namerno nismo traili r, jer nam za povrinu treba: 2255P rPP cm=== 234 I ovde je neophodna slika: AB C2r6cm 8cm Poto u zadatku kae da su tetive ortogonalne ( normalne) , one sa prenik