USLOVNA VEROVATNOA

Formula totalne verovatnoeBajesova formula

esto smo u prilici da traimo verovatnou nekog dogaaja A, posedujui informaciju o tome da se dogaaj B realizovao ili pretpostavljajui da e se realizovati.

Primer:Kutija sadri 100 proizvoda od kojih je 80 defektno. Dva proizvoda se sluajno izvlae, jedan posle drugog, bez vraanja u kutiju. Neka je dogaaj B:prvi izvuen proizvod je defektan, dogaaj A: drugi izvueni proizvod je defektan. Oigledno je da e verovatnoa dogaaja A zavisiti od toga da li ukljuujemo realizaciju dogaaja B ili ne.

Definicija:Verovatnoa

, zove se

uslovna verovatnoa dodaaja A pod uslovom B i definie se sa

( )P A B

( ) ( )( ) ( ), 0P AB

P A B P BP B

= >

Primer:Kolika je verovatnoa da e se na kocki, prilikom bacanja , pojaviti paran broja, pod uslovom da je taj broj manji od 4 ?Neka je A dogaaj pojave parnog broja, a sa B pojava brojeva manjih od 4.

( ) ( )( )1

163 36

P ABP A B

P B= = =

Primer:Dinar se baca ili do pojave grba ili do tri uzastopne pojave pisma. Pod uslovom da je rezultat prvog bacanja pismo, nai verovatnou da dinar bude baen 3 puta.Prilikom bacanja novia mogue su situacije: G, PG, PPG, PPP

Primer:Dinar se baca ili do pojave grba ili do tri uzastopne pojave pisma. Pod uslovom da je rezultat prvog bacanja pismo, nai verovatnou da dinar bude baen 3 puta.Prilikom bacanja novia mogue su situacije: G, PG, PPG, PPP

Neka je B dogaaj pojave pisma u prvom bacanju ( B=PG+PPG+PPP)

Ako je A dogaaj da se dinar baca 3 puta, onda je ( A=PPG+PPP) Kako je AB=A, i

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1, , ,2 4 8 8

P G P PG P PPG P PPP= = = =( ) 1

2P B =

( ) ( ) 14

P A P AB= = ( ) ( )( )1

141 22

P ABP A B

P B= = =

U skladu sa definicijom uslovne verovatnoe dolazimo do pojma nezavisnosti dogaaja A i B.

Dogaaj A

nezavisan od dogaaja B, i obrnuto ako je:

( ) ( ) ( ) ( ),P A B P A P B A P B= =

Definicija:

Za dogaaje A i B kaemo da su nezavisni ako je

( ) ( ) ( )P AB P A P B=

Primer:Kolika je verovatnoa da se na dvema baenim kockam dobije zbir 9, ili ako se to ne dogodi, da pri ponovljenom bacanju dobije zbir 7.

Primer:Kolika je verovatnoa da se na dvema baenim kockam dobije zbir 9, ili ako se to ne dogodi, da pri ponovljenom bacanju dobije zbir 7.Verovatnoa da dobijemo zbir 9 je

Verovatnoa da u drugom bacanju 2 kocke dobijemo zbir

7 je

Dogaaj da u prvom bacanju ne dobijemo zbir 9, a da u ponovljenom dobijemo zbir 7 se proizvod dogaaja i iznosi

( ) 4 136 9

P A = =( ) 6 1

36 6P B = =

( ) ( ) ( ) 8 1 49 6 27

P AB P A P B= = =

( ) 1 4 79 27 27P A AB+ = + =

Bernulijevi eksperimenti

(opiti):

Niz eksperimenata sa dva mogua ishoda koji se izvode pod istim uslovima ine Bernulijeve opite ili eksperimente. Ishodi uzastopnih bacanja novia ine niz Bernulijevih eksperimenata.

Verovatnoa da se u n eksperimenata dogodi k uspeha, ako je

verovatnoa svakog uspeha p iznosi

( )1 n kkn p pk

Pouzdanost ureaja se definie kao verovatnoa da ureaj ispravno radi.

Ako je sistem sainje od nezavisnih komponenata, tada se pouzdanost moe odrediti ako znamo pouzdanost komponenti.

Osnovni naini povezivanja komponenti su redna

i paralelna

veza.

1p 2p

1p

2p

Sistem od dve redne komponente radi samo ako obe komponente rade. Pouzdanost sistema je dakle

Sistem od dve paralelne komponente ne radi,

samo ako ni jedna komponenta ne radi. Dakle verovatnoa da sistem ne radi je

Pouzdanost sistema je dakle

1 2p p p=

( )( )1 21 1p p

( )( )1 2 1 2 1 21 1 1p p p p p p p= = +

( )( )1 2 1 2 1 21 1 1p p p p p p p= = +

Primer:Data su dva sistema na slici. Koji ima veu pouzdanost?

I

II

Neka

su pouzdanosti

datih

sistema.

Sistem

I se svodi

na

paralelnu

vezu

3 komponente

od

kojih

je svaka

redna sa

pouzdanou

Sistem

II se svodi

na

rednu

vezu

3 komponente

od

kojih

je svaka

paralelna sa

pouzdanou

Pa prema

tome sistem

I imaveu

pouzdanost.

1 2,p p

( )32 2 4 61 1 3 3pI p p p p= = +

( )32 3 4 5 62 8 12 6pII p p p p p p= = + ( ) ( )22 21 2 2 3 0pI pII p p p p = + >

22p p

Definicija:

Ako izvesni nezavisni dodaaji

ine jedno razbijanje dogaaja

onda je

Ovi dogaaji ine potpuni sistem hipoteza.

1 2, , , nH H H

1

n

kk

H=

=

Definicija:

Formula totalne verovatnoe: Ako dogaaji

ine potpuni sistem hipoteza u odnosu na dogaaj A, tada je 1 2, , , nH H H

( ) ( ) ( )1

n

k kk

P A P H P A H=

=

Primer:Na ispit iz matematike izalo je 60% studenata koji polau prvi put i 40% ostalih. Verovatnoa da e student koji polae prvi put poloiti ispit je 0,3, a za ostale 0,4. Odrediti verovatnou da e sluajno izabrani student poloiti ispit.

Primer:Na ispit iz matematike izalo je 60% studenata koji polau prvi put i 40% ostalih. Verovatnoa da e student koji polae prvi put poloiti ispit je 0,3, a za ostale 0,4. Odrediti verovatnou da e sluajno izabrani student poloiti ispit.

Neka su

verovatnoe da student polae prvi put, odnosno vie puta.1 2,H H

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20,6 0, 4 0,3 0, 4P H P H P A H P A H= = = =( ) 0,6 0,3 0,4 0,4 0,34P A = + =

Primer:

Odreeni proizvod proizvode 3 fabrike. Poznato je da prva fabrika proizvodi dva puta vie od druge, a druga i trea isto. Takoe 2% proizvoda iz prve i druge fabrike je defektno, a 4% iz tree. Svi proizvodi nalaze se se istom skladitu. Sluajno se bira jedan proizvod. Nai verovatnou da je on defektan.

Primer:

Odreeni proizvod proizvode 3 fabrike. Poznato je da prva fabrika proizvodi dva puta vie od druge, a druga i trea isto. Takoe 2% proizvoda iz prve i druge fabrike je defektno, a 4% iz tree. Svi proizvodi nalaze se se istom skladitu. Sluajno se bira jedan proizvod. Nai verovatnou da je on defektan.Ako sa obeleimo

da je artikal

iz

ovih

fabrika

respektivno.

Iz

uslova

zadatka

imamo

da je

pa

dobijamo

da je

1 2 3, ,H H H

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 2 32 , , 1P H P H P H P H P H P H P H= = + + =

( ) ( ) ( )1 2 31 12 4P H P H P H= = =

Ako

je dogaaj

A da je izabrani

proizvod

defektan

iz

uslova

zadatka

takoe imamo

Na osnovu

formule totalne

verovatnoe je

( ) ( ) ( )1 2 30,02 0,04P A H P A H P A H= = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 31 1 10,02 0,02 0,04 0,0252 4 4

P A P H P A H P H P A H P H P A H= + + + + =

Koristei formulu totalne verovatnoe mi ne moemo da odgovorimo na pitanje iz koje fabrike potie izabrani proizvod. Odgovor daje Bajesova formula.

Definicija:

Bajesova formula:

Ako izvesni nezavisni dodaaji ine potpuni sistem hipoteza u odnosu na dogaaj A, tada

je

1 2, , , nH H H

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1

, 1, , , 0i k i ki nk k

k

P H P A H P H P A HP H A i n P A

P A P H P A H=

= = = >

Bajesova formula se zove i formula verovatnoa hipoteza ( uzroka ), jer na

moemo gledati kao na razliite uzroke koji mogu dovesti do realizacije dogaaja A.

1 2, , , nH H H

Primer:U predhodnom primeru verovatnoa da je traeni proizvod iz prve

fabrike je

( )1 0,5 0,02 0,40,025P H A = =

Primer:

Binarni signal moe biti poslat sa tri razliita mesta A,B,C. Zna se da su verovatnoe da je signal poslat sa ovih mesta 1/2,1/3,1/4. Ako je signal poslat sa mesta A on sadi u proseku 20% jedinica, ( tj verovatnoa da se jedinica nalazi na bilo kom mestu binarnog niza je 0,2), signal iz mesta B sadri 30% jedinica i signal iz mesta C sadri 40% jedinica. Primljen je signal od 10 znakova od kojih su 4 jedinice. Odrediti verovatnou da je signal poslat iz mesta A,B,C.

Neka je D dogaaj da signal sadri 10 znakova od kojih su 4 jedinice. Ako je p verovatnoa pojavljivanja jedinice, moemo smatrati da se radi o Bernulijevom eksperimentu i da je

( ) ( )6410 14

P D p p =

Ako je signal poslat iz mesta

A , tada je p=0,2, pa je

Analogno se dobija

( ) ( ) ( )4 610 0,2 0,8 0,08814

P D A = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 6 4 610 100,3 0,7 0,2001, 0,4 0,6 0,254 4

P D B P D C = = = =

Po formuli totalne verovatnoe

a

na osnovu Bajesove formule imamo

Dakle zakljuujemo da je najverovatnije signal poslat iz mesta B.

( ) 1 1 10,0881 0,2001 0,2508 0,28872 3 6

P D = + + =

( ) ( ) ( )( )1 0,08812 0,2890,2887

P A P D AP A D

P D

= = =

( ) ( ) ( )( ) 0,437P B P D B

P B DP D

= = ( ) ( ) ( )( ) 0,247P c P D C

P C DP D

= =

USLOVNA VEROVATNOASlide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30