Unidad 1: Números reales Matemáticas Académicas 3º ESO

Unidad 1: Números reales Matemáticas Académicas – 3º ESO

1

Matemáticas Académicas – 3º ESO

Ejercicios resueltos de la Unidad 1: Números reales

1. Escribe, en cada caso, la fracción que cumple estas características.

a) El numerador es 3 y el denominador es 4 unidades menor que el numerador.

b) El numerador es –5 y el denominador es 7 unidades mayor que el numerador.

Solución

a) 3 3

33 4 1

= = −− −

.

b) 5 5

5 7 2

− −=

− +.

2. Determina si estas fracciones son equivalentes.

a) 8

7 y

4

17

b) 6

5

− y

18

15

−

Solución

a) 8 17 136 = y 7 4 28 = . Por tanto, las fracciones no son equivalentes.

b) ( )6 15 90 5 18− = − = − . Por tanto, las fracciones sí que son equivalentes: 6 18

5 15

− −= . Observa que de

la primera podemos pasar a la segunda multiplicando el numerador y el denominador por 3− .

3. Indica las fracciones que sean equivalentes.

1

3,

2

5,

3

5,

6

10,

5

15

−,

3

9

−,

6

15,

4

12,

24

40

−

−

Solución

1 4

3 12= ;

2 6

5 15= ;

3 6 24

5 10 40

−= =

− ;

5 3

15 9

− −= .

50. Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura.


2

Solución

a) 1

3.

b) 11

8.

c) 2 1

8 4= .

d) 3

5.

5. Calcula el valor desconocido.

a) 18 72

11 x=

b) 7

15 60

x=

c) 12

5 15

x=

d) 8 72

9x=

e) 16 32

2 x=

f) 9 45

25x=

Solución

a) 18 72 72 11

4411 18

x xx

= = = .

b) 7 7 60

2815 60 15

xx x

= = = .

c) 12 5 12

45 15 15

xx x

= = = .

d) 8 72 8 9

19 72

x xx

= = = .

e) 16 32 2 32

42 16

x xx

= = = .

f) 9 45 9 25

525 45

x xx

= = = .

6. Da una fracción equivalente a 8

16 que tenga:

a) Como denominador 48 .

b) Como numerador 32 .


3

c) Como denominador 4 .

d) Como numerador 2 .

Solución

a) Como denominador 48 . Multiplicando numerador y denominador por 3 : 8 24

16 48= .

b) Como numerador 32 . Multiplicando numerador y denominador por 4 : 8 32

16 64= .

c) Como denominador 4 . Dividiendo numerador y denominador entre 4 : 8 2

16 4= .

d) Como numerador 2 . Dividiendo numerador y denominador entre 4 : 8 2

16 4= .

6. Halla el valor desconocido en cada caso y completa en tu cuaderno.

a) 25

x− =

b) 67

x=

c) 710

x− =

d) 48

8x

=

e) 165

11x

− =

f) 225

15x

− =

Solución

a) 2 2 5 105

xx x− = = − = − . O sea:

102

5

−− = .

b) 6 6 7 427

xx x= = = . O sea:

426

7= .

c) 7 7 10 7010

xx x− = = − = − . O sea:

707

10

−− = .

d) 48 48

8 68

x xx

= = = . O sea: 48

86

= .

e) 165 165

11 1511

x xx

− = = = −−

. O sea: 165

1115

− =−

.

f) 225 225

15 1515

x xx

− = = = −−

. O sea: 225

1515

− =−

.


4

9. Halla el valor de x e y .

a) 5

24 6 30

x y= =

b) 9 27

6 10

y

x

−= =

c) 21 6

4 28

x

y

−= =

d) 40 8 32

3x y= =

Solución

a) 5

24 6 30

x y= = ;

24 520

6x

= = ;

30 525

6y

= = .

b) 9 27

6 10

y

x

−= = ;

9 62

27x

= = −−

; 27 10

456

y−

= = − .

c) 21 6

4 28

x

y

−= = ;

( )4 213

28x

−= = − ;

28 68

21y

= = −

−.

d) 40 8 32

3x y= = ;

40 315

8x

= = ;

3 3212

8y

= = .

10. Determina los valores desconocidos y completa en tu cuaderno:

a) 5 15 30

3 24 12

−= = = =

b) 2 18 30

11 121 77

−= = = =

−

c) 8 4 40

12 3 45

−= = = =

−

d) 120 84 6

26 13 78

− −= = = =

Solución

a) 5 15 30 5 15 40 30 20

3 24 12 3 9 24 18 12

− −= = = = = = = =

−.

b) 2 18 30 2 22 18 30 14

11 121 77 11 121 99 165 77

− − −= = = = = = = =

− − −.

c) 8 4 40 8 16 4 40 60

12 3 45 6 12 3 30 45

− − −= = = = = = = =

− − − −.

d) 120 84 6 120 84 12 6 36

26 13 78 260 182 26 13 78

− − − − − −= = = = = = = =

−.


5

11. Escribe una fracción equivalente a 2

5 y otra equivalente a

9

4 tales que tengan el mismo:

a) Denominador.

b) Numerador.

Solución

a) Un común denominador de 5 y 4 es 20 (el mínimo común múltiplo). Por tanto: 2 8

5 20= y

9 45

4 20= .

b) Un numerador común de 2 y 9 es 18 (el mínimo común múltiplo). Por tanto: 2 18

5 45= y

9 18

4 8= .

12. Obtén dos fracciones equivalentes por amplificación y otras dos por simplificación.

a) 42

54

b) 3

7

−

c) 18

6

d) 100

40−

Solución

La respuesta a cada uno de los apartados es abierta. Por ejemplo:

a) Amplificación: 42 84 126

54 108 162= = . Simplificación:

42 21 7

54 27 9= = .

b) Amplificación: 3 6 9

7 14 21

− − −= = . Simplificación: no es posible porque

3

7

− es una fracción irreducible.

c) Amplificación: 18 36 180

6 12 60= = . Simplificación:

18 9 33

6 3 1= = = .

d) Amplificación: 100 200 300

40 80 120= =

− − −. Simplificación:

100 10 5

40 4 2= =

− − −

13. Comprueba si son irreducibles.

a) 34

93

b) 132

48

−

c) 165

87

d) 15

83


6

Solución

a) 34

93 es irreducible, porque 34 2 17= y 93 3 31= , no tienen divisores comunes.

b) 132

48

− no es irreducible porque 2132 2 3 11= y 448 2 3= , tienen divisores comunes. De hecho,

132 11

48 4

− −= .

c) 165

87 no es irreducible porque 165 3 5 11= y 87 3 29= tienen un divisor común: el 3 . De hecho,

165 55

87 29= .

d) 15

83 es irreducible porque 15 3 5= y 83 no tienen divisores comunes.

14. Obtén fracciones equivalentes a estas que tengan un denominador menor.

a) 300

750

−

b) 242

726

c) 32

80

Solución

La respuesta es abierta. Por ejemplo:

a) 300 150 50 10 2

750 375 125 25 5

− − − − −= = = = .

b) 242 121 11 1

726 363 33 3= = = .

c) 32 16 8 4 2

80 40 20 10 5= = = = .

16. Obtén la fracción irreducible de estas fracciones.

a) 50

60

b) 92

18

−

c) 50

36

−

d) 28

16

e) 26

13

−


7

f) 14

98

Solución

a) 50 50 :10 5

60 60 :10 6= = (el mcd de 50 y 60 es 10 ).

b) 92 92 : 2 46

18 18 : 2 9

− − −= = (el mcd de 92 y 18 es 2 ).

c) 50 50 : 2 25

36 36 : 2 18

− − −= = (el mcd de 50 y 36 es 2 ).

d) 28 28 : 4 7

16 16 : 4 4= = (el mcd de 28 y 16 es 4 ).

e) 26 26 :13 2

213 13:13 1

− − −= = = − (el mcd de 26 y 13 es 13 ).

f) 14 14 :14 1

98 98 :14 7= = (el mcd de 14 y 98 es 14 ).

17. Indica cuáles de las siguientes fracciones no son irreducibles y, en esos casos, calcula la fracción irreducible.

a) 40

6

b) 28

15

c) 9

18

−

d) 7

2

e) 25

16

−

f) 50

3

−

Solución

a) 40

6 no es irreducible:

40 20

6 3= .

b) 28

15 es irreducible.

c) 9

18

− no es irreducible:

9 1

18 2

− −= .

d) 7

2 es irreducible.

e) 25

16

− es irreducible.


8

f) 50

3

− es irreducible.

18. Simplifica todo lo que puedas estas fracciones:

Solución

a) 105 3 5 7= y 2126 2 3 7= . Entonces ( )mcd 105,126 3 7 21= = . Por tanto: 105 105 : 21 5

126 126 : 21 6= = .

b) 3120 2 3 5= y 165 3 5 11= . Entonces ( )mcd 120,165 3 5 15= = . Y así: 120 120 :15 8

165 165 :15 11

− − −= = .

c) 290 2 3 5= y 3136 2 17= . Entonces ( )mcd 90,136 2= . Por tanto: 90 90 : 2 45

136 136 : 2 68= = .

d) 228 2 7= y 5160 2 5= . Entonces ( ) 228,160 2 4mcd = = . De este modo: 28 28 : 4 7

160 160 : 4 40

− − −= = .

19. ¿De cuál de estas fracciones es 26

17 irreducible?

Solución

De 130

85 y de

182

119 (¡compruébalo simplificando todas y cada una de ellas!)

22. Reduce a común denominador estas fracciones y ordena de mayor a menor.

a) 2

5,

5

4 y

3

8

b) 1

2,

2

9 y

6

4

c) 2

7,

1

6 y

3

5

d) 4

15,

6

8 y

3

16


9

e) 4

9,

1

27 y

5

6

f) 3

14,

12

21 y

1

7

Solución

a) 2

5,

5

4 y

3

8. Común denominador:

16

40,

50

40 y

15

40. Entonces

15 16 50 3 2 5

40 40 40 8 5 4 .

b) 1

2,

2

9 y

6


18

36,

8

36 y

54

36. Entonces

8 18 54 2 1 6

36 36 36 9 2 4 .

c) 2

7,

1

6 y

3


60

210,

35

210 y

126

210. Entonces

35 60 126 1 2 3

210 210 210 6 7 5 .

d) 4

15,

6

8 y

3


64

240,

180

240 y

45

240. Entonces

45 64 180 3 4 6

240 240 240 16 15 8 .

e) 4

9,

1

27 y

5


24

54,

2

54 y

45

54. Entonces

2 24 45 1 4 5

54 54 54 27 9 6 .

f) 3

14,

12

21 y

1


9

42,

24

42 y

6

42. Entonces

6 9 24 1 3 12

42 42 42 7 14 21 .

23. Ordena de menor a mayor.

4

5 ,

10

4

− ,

21

6

− ,

15

9

− ,

1

3 ,

7

9

Solución

Reduciendo a común denominador tenemos que

144

180 ,

450

180

− ,

630

180

− ,

300

180

− ,

60

180 ,

140

180

Entonces

630 450 300 60 140 144 21 10 15 1 7 4

180 180 180 180 180 180 6 4 9 3 9 5

− − − − − −

24. Encuentra un valor de a que cumpla estas condiciones:

a) 6 8

5 5 5

a

b) 1

2 2

a −

Solución

a) Claramente, 6 7 8

5 5 5 . Por tanto, 7a = .

b) La desigualdad 1

2 2

a − se cumplirá claramente para cualquier valor de a mayor que 1− . Por ejemplo,

0a = , 1a = , 2a = , 3a = , etcétera.


10

25. Realiza estas sumas y restas.

a) 5 4 6

3 18 3+ +

b) 18 7 8

5 5 5+ +

c) 3 9 7

10 10 10

−− −

d) 23 11 1

6 6 6− −

Solución

a) 5 4 6 30 4 36 30 4 36 70 35

3 18 3 18 18 18 18 18 9

+ ++ + = + + = = = .

b) 18 7 8 18 7 8 33

5 5 5 5 5

+ ++ + = = .

c) 3 9 7 3 9 7 19 19

10 10 10 10 10 10

− − − − −− − = = = − .

d) 23 11 1 23 11 1 11

6 6 6 6 6

− −− − = = .

26. Halla el resultado de estas operaciones.

a) 5 3

39 10+ −

b) 28 1

215 5

−− +

c) 25 11 1

6 8 3− +

d) 1 1

59 12

− − +

Solución

a) 5 3 50 27 270 50 27 270 193

39 10 90 90 90 90 90

+ −+ − = + − = = − .

b) 18 1 18 5 50 18 5 50 27

225 5 25 25 25 25 25

− − − − +− + = − + = = .

c) 25 11 1 100 33 8 100 33 8 75 25

6 8 3 24 24 24 24 24 8

− +− + = − + = = = .

d) 1 1 180 4 3 180 4 3 181

59 12 36 36 36 36 36

− − − +− − + = − + = = − .

27. Completa en tu cuaderno.

a) 7 3

14x

= +


11

b) 16 1

9 6x= +

c) 14

25

x= +

d) 1

33 3

x= +

e) 25

37 7

x= +

f) 25 1

38 x= +

Solución

a) Puesto que 3 4 3 7

14 4 4 4

+ = + = , se tiene claramente que 4x = . La igualdad queda así: 7 3

14 4= + .

b) 16 1 16 1

9 6 9 6x x= + − = . Pero

16 1 32 3 29

9 6 18 18 18− = − = . Por tanto,

29

18x = y

16 29 1

9 18 6= + .

c) 14 14 14 10 4

2 25 5 5 5 5

x x x x= + − = − = = . Por tanto, 14 4

25 5= + .

d) Puesto que 1 9 1 10

33 3 3 3

+ = + = , se tiene que 10x = . La igualdad queda así: 10 1

33 3= + .

e) 25 25 21

37 7 7 7 7

x x= + = + , de donde 4x = . La igualdad queda así:

25 43

7 7= + .

f) 25 1 25 1 25 24 1 1 1

3 3 88 8 8 8 8

xx x x x

= + − = − = = = . La igualdad queda así: 25 1

38 8= + .

72. Efectúa las siguientes operaciones.

a) 3 1 5

14 8 2− + −

b) 9 3 7

25 10 2+ − −

c) 8 1 2

33 6 9

− − +

d) 5 5 5

56 12 3

− + −

Solución

a) 3 1 5 6 1 20 8 6 1 20 8 17

14 8 2 8 8 8 8 8 8

− + −− + − = − + − = = .

b) 9 3 7 18 3 35 20 18 3 35 20 34 17

25 10 2 10 10 10 10 10 10 5

+ − −+ − − = + − − = = − = − .

c) 8 1 2 54 48 3 4 7

33 6 9 18 18 18 18 18

− − + = − − + = .


12

d) 5 5 5 60 10 5 20 60 10 5 20 35

56 12 3 12 12 12 12 12 12

− + −− + − = − + − = = .

73. Calcula el resultado de estas operaciones.

a) 1 2

1 43 7

− − +

b) 5 3 1 1

2 4 6 10

+ − −

c) 3 7 9

47 8 4

− − + −

d) 3 1 4

95 3 9

+ + − +

Solución

a) 1 2 3 1 28 2 2 30 14 90 76

1 43 7 3 3 7 7 3 7 21 21 21

− − + = − − + = − = − = −

.

b) 5 3 1 1 5 3 5 3 5 3 2 150 45 4 191

2 4 6 10 2 4 30 30 2 4 30 60 60 60 60

+ − − = + − − = + − = + − =

.

c) 3 7 9 3 32 7 18 3 21 24 147 171

47 8 4 7 8 8 8 7 8 56 56 56

− − + − = − − + − = − − = − − = −

.

d) 3 1 4 45 3 3 4 48 1 432 5 437

95 3 9 5 5 9 9 5 9 45 45 45

+ + − + = + + − + = + = + =

.

29. Efectúa estas operaciones.

a) 4 20

5 8

−

b) 9 8

:10 14

c) 32 18

9 16

−

d) 15 2

:6 4

e) 8 20

12 38

−

f) 6 6

:17 27

−

g) 4 8

:80 46

− −

h) 7 33

22 42

− −


13

Solución

a) 4 20 80

25 8 40

− = − = − .

b) 9 8 126 63

:10 14 80 40

= = .

c) 32 18 576

49 16 144

− = − = − .

d) 15 2 60

: 56 4 12

= = .

e) 8 20 160 20

12 38 456 57

− = − = −

.

f) 6 6 162 27

:17 27 102 17

− = − = −

.

g) 4 8 184 23

:80 46 640 80

− − = =

.

h) 7 33 231 1

22 42 924 4

− − = =

.

30. Calcula y simplifica el resultado.

a) 9 4 7

12 21 33

b) 56 70 6

:14 24 28

−

c) ( )26

538

−

d) ( )2

: 2690

− −

Solución

En este tipo de ejercicios es preferible simplificar, previamente a la realización de operación alguna, aquellas

fracciones que no sean irreducibles, y posteriormente efectuar ya las operaciones correspondientes. Incluso a

veces, es conveniente factorizar antes de operar y eliminar factores comunes del numerador y denominador.

a) 9 4 7 3 4 7 3 4 7 3

12 21 33 4 21 33 4 21 33

= = =

2 2 7

2 2 3 7

1 1

3 11 333 11= =

.

b) 56 70 6 35 3 140 3 35 3 490

: 4 : : :14 24 28 12 14 12 14 3 14 9

− = − = − = − = −

.

c) ( ) ( )26 13 65

5 538 19 19

− = − = − .

d) ( ) ( )2 1 1

: 26 : 2690 45 1170

− − = − − =

.


14


a) 5 3

16 10

+ =

b) 3 10

: 15 10 3

− =

Solución

a) 5 3

16 10

+ =

. Puesto que

5 3 25 9 34 17

6 10 30 30 30 15+ = + = = , la fracción desconocida ha de ser igual a

15

17, para que el producto sea igual a 1:

5 3 15 17 15 17

6 10 17 15 17

+ = =

15

15 171= .

b) 3 10

: 15 10 3

− =

. La operación del paréntesis ha de ser igual a

10

3, para que la dividir otra vez entre

10

3

el resultado sea igual a 1. Es decir:

3 10 3 10 9 50 41 41 10 82

5 10 3 5 3 10 15 15 10 15 10 15 3

x x x xx x

− = − = − = − = = − = −

La operación queda del siguiente modo:

82

3 103 : 15 10 3

−

− =

.

32. Realiza estas operaciones.

a) 3 4 5

2 5 6−

b) 3 4 5

2 5 6

−

c) 7 1 5

2 5 6+

d) 7 1 5

2 5 6

+

e) 5 1 1

:3 9 6

+

f) 5 1 1

:3 9 6

+

g) 2 1 3

:7 4 14

−

h) 2 1 3

:7 4 14

−

i) 4 12 3 5

7 5 4 6

− + − −


15

j) 4 12 3 5

7 5 4 6

− + − −

k) 4 12 3

:7 5 4

+ − −

l) 4 12 3

:7 5 4

+ − −

m) 2 4 8 6

:7 5 3 4

− + −

n) 2 4 8 6

:7 5 3 4

− + −

o) 3 7 8 6

:5 2 5 4

− − −

p) 3 7 8 6

:5 2 5 4

− − −

Solución

a) 3 4 5 3 20 3 2 9 4 5

2 5 6 2 30 2 3 6 6 6− = − = − = − = .

b) 3 4 5 15 8 5 7 5 35 7

2 5 6 10 10 6 10 6 60 12

− = − = = =

.

c) 7 1 5 7 5 7 1 42 2 44 11

2 5 6 2 30 2 6 12 12 12 3+ = + = + = + = = .

d) 7 1 5 35 2 5 37 5 185 37

2 5 6 10 10 6 10 6 60 12

+ = + = = =

.

e) 5 1 1 45 1 90 1 91

:3 9 6 3 6 6 6 6

+ = + = + = .

f) 5 1 1 5 2 3 5 5 90

: : : 63 9 6 3 18 18 3 18 15

+ = + = = =

.

g) 2 1 3 8 3 16 3 13

:7 4 14 7 14 14 14 14

− = − = − = .

h) 2 1 3 2 7 6 2 1 56

: : : 87 4 14 7 28 28 7 28 7

− = − = = =

.

i) 4 12 3 5 4 12 15 4 12 5 160 672 175 687

7 5 4 6 7 5 24 7 5 8 280 280 280 280

− + − − = − + + = − + + = − + + =

.

j) 4 12 3 5 4 48 15 5 4 33 5 4 165 4 11

7 5 4 6 7 20 20 6 7 20 6 7 120 7 8

− + − − = − + − − = − + − = − − = − − =

32 77 109

56 56 56= − − = − .


16

k) 4 12 3 4 48 4 16 20 112 132

:7 5 4 7 15 7 5 35 35 35

+ − − = + = + = + =

.

l) 4 12 3 20 84 3 64 3 256

: : :7 5 4 35 35 4 35 4 105

+ − − = − − = − − =

.

m) 2 4 8 6 10 48 5 5 56 61

: 47 5 3 4 28 12 14 14 14 14

− + − = − − = − − = − − = −

.

n) 2 4 8 6 2 12 40 3 2 28 3 30 3 90 45

: : :7 5 3 4 7 15 15 2 7 15 2 196 2 392 196

− + − = − + − = − = − = − = −

.

o) 3 7 8 6 3 7 32 3 7 16 18 105 32 55 11

:5 2 5 4 5 2 30 5 2 15 30 30 30 30 6

− − − = − + = − + = − + = − = −

.

p) 3 7 8 6 3 35 16 6 3 19 3 3 38 3 19 9 19 28

: : :5 2 5 4 5 10 10 4 5 10 2 5 30 5 15 15 15 15

− − − = − − − = − − = + = + = + =

.

33. Calcula el resultado de las operaciones. Observa los diferentes resultados cuando se modifica la posición de los

paréntesis.

a) 9 3 7 5

2 :5 2 4 6

− +

b) 9 3 7 5

2 :5 2 4 6

− +

c) 9 3 7 5

2 :5 2 4 6

− +

d) 9 3 7 5

2 :5 2 4 6

− +

Solución

a) 9 3 7 5 18 3 21 10 18 3 31 18 36 1116 180 936 468

2 : : :5 2 4 6 5 2 12 12 5 2 12 5 62 310 310 310 155

− + = − + = − = − = − = =

.

b) 9 3 7 5 18 15 7 5 3 7 5 6 7 5 24 5 12 5

2 : 2 : 2 : :5 2 4 6 10 10 4 6 10 4 6 10 4 6 70 6 35 6

− + = − + = + = + = + = + =

72 175 247

210 210 210= + = .

c) 9 3 7 5 18 12 5 18 6 5 18 36 35 18 71

2 :5 2 4 6 5 14 6 5 7 6 5 42 42 5 42

− + = − + = − + = − + = − =

756 355 401

210 210 210= − = .

d) 9 3 7 5 18 3 7 5 36 15 7 5 21 7 5 84 5

2 : : : :5 2 4 6 5 2 4 6 10 10 4 6 10 4 6 70 6

− + = − + = − + = + = + =

6 5 36 25 61

5 6 30 30 30= + = + = .


17


a) 11 1 1

66 4 6

− +

b) 3 1 6

27 2 5

+ −

c) 4 5 1 1

:9 3 6 4

− − +

d) 1 1 6

2 : 42 3 5

− − +

Solución

a) 11 1 1 11 3 2 11 5 11 30 11 15 4 2

6 6 66 4 6 6 12 12 6 12 6 12 6 6 6 3

− + = − + = − = − = − = − = −

.

b) 3 1 6 6 7 6 13 6 78 39 39 70 31

2 2 2 2 27 2 5 14 14 5 14 5 70 35 35 35 35

+ − = + − = − = − = − = − = −

.

c) 4 5 1 1 4 10 1 1 4 9 1 24 1 8 1 32 27 5

: : :9 3 6 4 9 6 6 4 9 6 4 81 4 27 4 108 108 108

− − + = − − = − = − = − = − =

.

d) 1 1 6 4 1 12 1 6 3 13 6 9 6 54 27

2 : 4 : :2 3 5 2 2 3 3 5 2 3 5 26 5 130 65

− − − − − + = − + = = = − = −

.

35. Clasifica estos números decimales.

a) 9,090909

b) 45,7

c) 2,3333

d) 0,0025

e) 321,03333

f) 1,121122111222

g) 5,24678678

h) 3,65−

i) 1,11223344

j) 3,2458458

Solución

a) 9,090909 9,09= . Decimal periódico puro.

b) 45,7 . Decimal exacto.

c) 2,3333 2,3= . Decimal periódico puro.

d) 0,0025 . Decimal exacto.

iPad de Pedro


18

e) 321,03333 321,03= . Decimal periódico mixto.

f) 1,121122111222 . Decimal no exacto y no periódico. Se trata de un número irracional.

g) 5,24678678 5,24678= . Decimal periódico mixto.

h) 3,65− . Decimal exacto.

i) 1,11223344 . Decimal no exacto y no periódico. Se trata de un número irracional.

j) 3,2458458 3,2458 . Decimal periódico mixto.

36. Indica qué números decimales representan estas fracciones.

a) 7

100

b) 13

990

c) 2

3

d) 4

99

Solución

a) 7

0,07100

= . Decimal exacto.

b) 13

0,0131313 0,013990

= = . Decimal periódico mixto.

c) 2

0,6666 0,63= = . Decimal periódico puro.

d) 4

0,040404 0,0499

= = . Decimal periódico puro.

37. Escribe un número decimal no exacto y no periódico con las cifras 3, 5 y 8.

Solución

La respuesta es abierta. Un ejemplo de respuesta puede ser la siguiente.

El número 3,58558855588855558888 es decimal no exacto y no periódico. Se trata, pues, de un número

real no racional (estos números reciben el nombre de irracionales).

84. Razona qué tipo de número (entero, decimal exacto o periódico) expresan las siguientes fracciones.

a) 27

36

b) 44

11−

c) 4

24

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro


19

d) 51

20

e) 34

30

−

f) 15

21

g) 22

1−

h) 21

420

i) 19

90

Solución

a) 27 3

36 4= . Como 24 2= , se trata de un decimal exacto, pues el único factor que aparece en la

descomposición factorial del denominador es el 2 .

b) 44 4

411 1

− = − = − . Se trata pues de un número entero (el numerador el múltiplo del denominador).

c) 4 1

24 6= . Como 6 2 3= , se trata de un decimal periódico, ya que en la descomposición factorial del

denominador aparecen números primos diferentes de 2 o de 5 (en este caso el número 3 ).

d) 51

20. Como 220 2 5= , se trata de un decimal exacto, pues los únicos factores que aparece en la

descomposición factorial del denominador son el 2 y el 5 .

e) 34 17

30 15

− −= . Como 15 3 5= , se trata de un decimal periódico, ya que en la descomposición factorial

del denominador aparecen números primos diferentes de 2 o de 5 (en este caso el número 3 ).

f) 15 5

21 7= . El denominador es el número primo 7 , distinto de 2 o de 5 . Esto quiere decir que

15 5

21 7= es

un número decimal periódico.

g) 22

221= −

−. Se trata pues de un número entero (el numerador el múltiplo del denominador).

h) 21 1

420 20= . Como 220 2 5= , se trata de un decimal exacto, pues los únicos factores que aparece en la

descomposición factorial del denominador son el 2 y el 5 .

i) 19

90. Como 290 2 3 5= , se trata de un decimal periódico, ya que en la descomposición factorial del

denominador aparecen números primos diferentes de 2 o de 5 (en este caso el número 3 ).

42. Encuentra la fracción irreducible que corresponde a estos números decimales.

a) 0,6


20

b) 2,08

c) 12,5

d) 42,06

e) 28,542

f) 5,94

g) 652,5

h) 0,148

i) 100,48

j) 0,0008

Solución

a) 6 3

0,610 5

= = .

b) 208 52

2,08100 25

= = .

c) 125 25

12,510 2

= = .

d) 4206 2103

42,06100 50

= = .

e) 28542 14271

28,5421000 500

= = .

f) 594 297

5,94100 50

= = .

g) 6525 1305

652,510 2

= = .

h) 148 37

0,1481000 250

= = .

i) 10048 2512

100,48100 25

= = .

j) 8 1

0,000810000 1250

= = .

44. Encuentra la fracción generatriz de estos números decimales.

a) 3,45

b) 0,08

c) 24,7

d) 0,007

e) 0,008

iPad de Pedro

iPad de Pedro


21

f) 1,356

g) 0,1258

h) 4,453

i) 5,6005

j) 0,6672

Solución

a) 345 34 311

3,4590 90

−= = .

b) 8

0,0899

= .

c) 247 24 223

24,79 9

−= = .

d) 7

0,007900

= .

e) 8

0,008999

= .

f) 1356 13 1343

1,356990 990

−= = .

g) 1258 12 1246 623

0,12589900 9900 4950

−= = = .

h) 4453 4 4449 1483

4,453999 999 333

−= = = .

i) 56005 56 55949

5,60059990 9990

−= = .

j) 6672 667 6005 1201

0,66729000 9000 1800

−= = = .

88. Expresa estos números decimales exactos como una fracción irreducible.

a) 8,4

b) 76,53

c) 9,235−

d) 13,0062

Solución

a) 84 42

8,410 5

= = .

b) 7653

76,53100

= .

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro


22

c) 9235 1847

9,2351000 200

− = − = − .

d) 130062 65031

13,006210000 5000

= = .

90. Encuentra la fracción que corresponde a estos números decimales.

a) 2,777

b) 5,67878

c) 95,2525

d) 0,076444

Solución

a) 27 2 25

2,777 2,79 9

−= = = .

b) 5678 56 5622 937

5,67878 5,678990 990 165

−= = = = .

c) 9525 95 9430

95,2525 95,2599 99

−= = = .

d) 764 76 688 86

0,076444 0,07649000 9000 1125

−= = = = .

46. Clasifica los siguientes números indicando todos los grupos a los que pertenecen.

a) 4,562−

b) 4

9

−

c) 24,0923

d) 1,23223222322223

e) 5,875

f) 10

5

g) 76,43333333−

h) 4,9

Solución

a) 4562 2281

4,5621000 500

− = − = − . Se trata de un número racional, decimal exacto.

b) 4

0,49

−= − . Se trata de un número racional, decimal periódico puro.

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro


23

c) 240923 2409 238514 119257

24,09239900 9900 4950

−= = = . Se trata de un número racional, decimal periódico

mixto.

d) 1,23223222322223 . Este es un número irracional, pues tiene infinitas cifras decimales que no forman

período. No se puede expresar en forma de fracción.

e) 5875 5 5870

5,875999 999

−= = . Se trata de un número racional, decimal periódico puro.

f) 10

25= . Por tanto, este número es natural, entero y racional.

g) ( )7643 764 6879 2293

76,43333333 76,4390 90 30

− − − − −− = − = = = . Se trata pues de un número

racional, decimal periódico mixto.

h) 49 4 45

4,9 59 9

−= = = . Por tanto, este número es natural, entero y racional.

49. Expresa estos enunciados como una fracción

a) Ocho de cada quince personas utilizan diariamente el teléfono móvil.

b) Juan pide tres trozos de una pizza de diez raciones.

c) De los treinta alumnos de una clase, diecinueve saben tocar un instrumento musical.

d) Mario ha encestado tres de cada cinco lanzamientos.

e) Javier no ha sabido resolver dos de siete problemas.

f) De los nueve bolígrafos que tengo, dos no tienen tinta.

Solución

a) Ocho de cada quince personas utilizan diariamente el teléfono móvil: 8

15.

b) Juan pide tres trozos de una pizza de diez raciones: 3

10.

c) De los treinta alumnos de una clase, diecinueve saben tocar un instrumento musical: 19

30.

d) Mario ha encestado tres de cada cinco lanzamientos: 3

5.

e) Javier no ha sabido resolver dos de siete problemas: 2

7.

f) De los nueve bolígrafos que tengo, dos no tienen tinta: 2

9.

iPad de Pedro

iPad de Pedro


24

53. ¿Qué fracción representa cada letra?

Solución

a) 2 6 2 8

23 3 3 3

− − = − − = − . También se puede hacer así: 1 9 1 8

33 3 3 3

− + = − + = − .

b) 1 5 1 6

15 5 5 5

+ = + = . También se puede hacer así: 4 10 4 6

25 5 5 5

− = − = .

c) 2 36 2 38 19

66 6 6 6 3

+ = + = = . También se puede hacer así: 4 42 4 38 19

76 6 6 6 3

− = − = = .

54. Indica la fracción que representa cada letra.

Solución

3

5A = ,

1 5 1 61

5 5 5 5B = + = + = ,

2 10 2 122

5 5 5 5C = + = + = ,

4 15 4 193

5 5 5 5D = + = + = .

55. Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes.

a) 3

20 y

21

70

b) 3

7 y

21

70

c) 3

8 y

24

64

d) 6

10 y

3

5

e) 7

10 y

21

15

f) 7

5

− y

28

40

−

g) 4

5

− y

20

10

−

h) 2

5 y

8

15


25

Solución

a) 3

10 y

21

70 son equivalentes porque 3 70 210 10 21 = = .

b) 3

7 y

21

70 no son equivalentes porque 3 70 210 7 21 147 = = .

c) 3

8 y

24


d) 6

10 y

3


e) 7

10 y

21


f) 7

5

− y

28

40

− no son equivalentes porque ( )7 40 280 5 28 140− = − − = − .

g) 4

5

− y

20

10

− no son equivalentes porque ( )4 10 40 5 20 100− = − − = − .

h) 2

5 y

8


56. Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes.

a) 6

12 9

x=

b) 9 6

4x=

c) 10

3 15

x=

d) 2 120

5 x=

e) 4 32

16x

−=

f) 1

7 98

x−=

g) 14 42

9x=

h) 6 90

11 x

−=

Solución

a) 6 12 6 72

812 9 9 9

xx x

= = = = .

b) 9 6 9 4 36

64 6 6

x xx

= = = = .


26

c) 10 10 15 150

503 15 3 3

xx x

= = = = .

d) 2 120 5 120 600

3005 2 2

x xx

= = = = .

e) 4 32 4 16 64

216 32 32

x xx

− − −= = = = − .

f) 1 1 98 98

147 98 7 7

xx x

− − −= = = = − .

g) 14 42 14 9 126

39 42 42

x xx

= = = = .

h) 6 90 11 90 990

16511 6 6

x xx

− = = = = −

− −.

61. Halla la fracción irreducible.

a) 20

8

b) 4

48

−

c) 32

12

d) 54

92

−

e) 27

36

−

Solución

a) 20

8. Como ( )mcd 20,8 4= , tenemos:

20 20 : 4 5

8 8 : 4 2= = .

b) 4

48

−. Como ( )mcd 4,48 4= , tenemos

4 4 : 4 1

48 48 : 4 12

− − −= = .

c) 32

12. Como ( )mcd 32,12 4= , tenemos

32 32 : 4 8

12 12 : 4 3= = .

d) 54

92


54 27

92 46

− −= .

e) 27

36


27 3

36 4

− −= .

63. Calcula la fracción irreducible descomponiendo numerador y denominador en factores primos.

a) 36

60

b) 108

48


27

c) 225

125

−

d) 252

441

Solución

a) 2 2

2

36 2 3 2

60 2 3 5

= =

2 3 3

2

2 3

3

55=

.

b) 2 3

4

108 2 3 2 2 3 3 3 9

48 2 3 2 2 2 2 3 4

= = =

.

c) 2 2

3

225 3 5 3 3 5 5 9

125 5 5 5 5 5

− − − −= = =

.

d) 2 2

2 2

252 252 2 3 7 2 2 3

441 441 3 7

= = =

3 7

3 3 7

4

77=

.

64. Señala cuáles de estas simplificaciones están mal hechas y razona por qué.

a) 22 11

13=

11

11

+ 11

22=

+

b) 22 2

14=

11

2

11

77=

c) 20 15

18=

5

15

+ 5

33=

+

d) 40 40 : 20

80=

80 : 20

2

4=

Solución

a) 22 11

13=

11

11

+ 11

22=

+. La simplificación está mal hecha. No se pueden simplificar sumandos del numerador

y del denominador. Además, si fuera cierta, 22 11

22 2 13 11 44 14313 2

= = = , y esto es una

contradicción.

b) 22 2

14=

11

2

11

77=

. Esta simplificación está bien hecha. Sí que se pueden cancelar factores del numerador

y del denominador. Además, observa que 22 11

14 7= ya que 22 7 14 11 154 154 = = .

c) 20 15

18=

5

15

+ 5

33=

+. Esta simplificación está mal hecha. No se pueden simplificar sumandos del numerador

y del denominador. Además, si fuera cierta, 20 5

20 3 18 5 60 9018 3

= = = , y esto es una

contradicción.


28

d) 40 40 : 20

80=

80 : 20

2

4= . Esta simplificación está bien hecha. Sí que se pueden cancelar divisores del

numerador y del denominador. Además, observa que 40 2

80 4= ya que 40 4 80 2 160 160 = = .


6 y otra a

4

7 que tengan el mismo denominador.

Solución

Para escribir una fracción equivalente a 1

6 y otra a

4

7 que tengan el mismo denominador, usaremos el mínimo

común múltiplo de 6 y 7 : ( )mcm 6,7 42= . Entonces 1 7

6 42= y

4 24

7 42= .


3

− y otra a

9

5

− que tengan el mismo numerador.

Solución

Para escribir una fracción equivalente a 7

3

− y otra a

9

5

− que tengan el mismo numerador, usaremos el mínimo

común múltiplo de 7 y 9 : ( )mcm 7,9 63= . Entonces: 7 63

3 27

− −= y

9 63

5 35

− −= .

67. Ordena de menor a mayor estas fracciones.

a) 10

3,

4

3,

16

3,

5

3− y

2

3−

b) 5

4,

3

4− ,

9

4− ,

7

4 y

1

4

c) 12

5,

9

5,

8

5− ,

6

5− y

7

5

d) 5

6− ,

1

6,

1

6− ,

7

6 y

5

6

Solución

En cada caso, como tienen el mismo denominador, basta ordenar de menor a mayor los numeradores.

a) 10

3,

4

3,

16

3,

5

3− y

2

3− . De menor a mayor:

5 2 4 10 16

3 3 3 3 3− − .

b) 5

4,

3

4− ,

9

4− ,

7

4 y

1

4. De menor a mayor:

9 3 1 5 7

4 4 4 4 4− − .

c) 12

5,

9

5,

8

5− ,

6

5− y

7

5. De menor a mayor:

8 6 7 9 12

5 5 5 5 5− − .

d) 5

6− ,

1

6,

1

6− ,

7

6 y

5

6 . De menor a mayor:

5 1 1 5 7

6 6 6 6 6− − .


29

68. Ordena de mayor a menor estas fracciones.

a) 5

9,

5

4,

5

3,

5

7 y

5

8

b) 7

3,

7

2,

7

5,

7

6 y

7

9−

c) 2

9− ,

2

7− ,

2

3− ,

2

15− y

2

11−

d) 3

16− ,

3

4,

3

5− ,

3

7 y

3

10−

Solución

En cada caso, puesto que tienen distinto denominador, lo que haremos será reducir previamente a común

denominador usando el mínimo común múltiplo de los denominadores.

a) 5

9,

5

4,

5

3,

5

7 y

5

8. Puesto que ( )mcm 9,4,3,7,8 504= , las fracciones equivalentes a cada una de las

dadas con el mismo denominador son: 5 280

9 504= ,

5 630

4 504= ,

5 840

3 504= ,

5 360

7 504= ,

5 315

8 504= . Entonces:

280 315 360 630 840 5 5 5 5 5

504 504 504 504 504 9 8 7 4 3 .

b) 7

3,

7

2,

7

5,

7

6 y

7

9− . Puesto que ( )3,2,5,6,9 90mcm = , las fracciones equivalentes a cada una de las

dadas con el mismo denominador son: 7 210

3 90= ,

7 315

2 90= ,

7 126

5 90= ,

7 105

6 90= ,

7 70

9 90− = − . Entonces:

70 105 126 210 315 7 7 7 7 7

90 90 90 90 90 9 6 5 3 2− − .

c) 2

9− ,

2

7− ,

2

3− ,

2

15− y

2

11− . Puesto que ( )mcm 9,7,3,15,11 3465= , las fracciones equivalentes a las

dadas son: 2 770

9 3465− = − ,

2 990

7 3465− = − ,

2 2310

3 3465− = − ,

2 462

15 3465− = − ,

2 630

11 3465− = − . Entonces:

2310 990 770 630 462 2 2 2 2 2

3465 3465 3465 3465 3465 3 7 9 11 15− − − − − − − − − − .

d) 3

16− ,

3

4,

3

5− ,

3

7 y

3

10− . Puesto que ( )mcm 16,4,5,7,10 560= , las fracciones equivalentes a cada

una de las dadas son: 3 105

16 560− = − ,

3 420

4 560= ,

3 336

5 560− = − ,

3 240

7 560= ,

3 168

10 560− = − . Entonces:

336 168 105 240 420 3 3 3 3 3

560 560 560 560 560 5 10 16 7 4− − − − − − .

70. Escribe una fracción comprendida entre

a) 4

5 y

7

8

b) 9

7 y

11

9


30

c) 7

6 y

8

6

d) 3

7− y

2

5−

e) 1

6

− y

1

5

f) 5

9− y

6

9−

Solución

a) 4 32

5 40= y

7 35

8 40= . Entonces

4 32 7 35

5 40 8 40= = , y una fracción comprendida entre ambas será, por

ejemplo, 33

40. También puede valer la fracción

34 17

40 20= .

b) 9 81

7 63= y

11 77

9 63= . Entonces

11 77 9 81

9 63 7 63= = , y una fracción comprendida entre ambas será, por

ejemplo, 78 26

63 21= . También pueden valer

79

63 y

80

63.

c) 7 14

6 12= y

8 16

6 12= . Entonces

7 14 8 16

6 12 6 12= = , y una fracción comprendida entre ambas será

15 5

12 4= .

d) 3 9

7 35− = − y

2 14

5 35− = − . Entonces

2 14 3 9

5 35 7 35− = − − = − , y una fracción comprendida entre ambas

será, por ejemplo, 13

35− . También pueden valer

12

35− ,

11

35− y

10 2

35 7− = − .

e) 1 5

6 30

− −= y

1 6

5 30= . Entonces

1 5 1 6

6 30 5 30

− −= = , y una fracción comprendida entre ambas será, por

ejemplo, 4 2

30 15

− −= . También pueden valer

3 1

30 10

− −= ,

2 1

30 15

− −= ,

1

30,

2 1

30 15= ,

3 1

30 10= ,

4 2

30 15= y

5 1

30 6= .

f) 5 10

9 18− = − y

6 12

9 18− = − . Entonces

6 12 5 10

9 18 9 18− = − − = − , y una fracción comprendida entre ambas

será 11

18− .

74. Halla el resultado de estas operaciones.

a) 5 7 4

29 5 15

− − +

b) 4 9

5 325 2

− − + −

c) 6 5

35 3

− − − −


31

d) 11 1 1

416 6 8

− − + −

Solución

a) 5 7 4 5 42 8 5 34 50 102 180 128 64

2 2 29 5 15 9 30 30 9 30 90 90 90 90 45

− − + = − − + = − + = − + = =

.

b) 4 9 4 9 10 4 19 8 475 150 633

5 3 3 325 2 25 2 2 25 2 50 50 50 50

− − + − = − − + − = − − − = − − − = −

.

c) 6 5 6 5 45 18 25 52

3 35 3 5 3 15 15 15 15

− − − − = − + − = − + − = −

.

d) 11 1 1 11 24 1 1 11 23 1 33 184 6 157

416 6 8 16 6 6 8 16 6 8 48 48 48 48

− − + − = − − − = − − = − − = −

.


a) 1 1

3 4x+ =

b) 3 1

7 21x− = −

c) 5 10

6 3x + =

d) 5 2

12 3x − = −

Solución

a) 1 1 1 1 3 4 1

3 4 4 3 12 12 12x x+ = = − = − = − .

b) 3 1 1 3 1 9 10 10

7 21 21 7 21 21 21 21x x x− = − − = − − = − − = − = .

c) 5 10 10 5 20 5 15 5

6 3 3 6 6 6 6 2x x+ = = − = − = = .

d) 5 2 2 5 8 5 3 1

12 3 3 12 12 12 12 4x x− = − = − + = − + = − = − .

76. Resuelve estas operaciones.

a) 1 4 3

6 :2 5 10

− −

b) 6 5

27 4

− −

c) 4 2 7

:5 3 20

− +


32

d) 1 2 5 1

:4 3 9 6

+ − −

e) 3 7 2

35 6 5

− + −

f) 3 4 1

5 9 6

− −

Solución

a) 1 4 3 1 8 3 1 5 1 1 2

6 : 6 : 6 : 6 : 6 6 1 52 5 10 2 10 10 2 10 2 2 2

− − = − − = − = − = − = − =

.

b) 6 5 6 10 6 5 12 35 47

27 4 7 4 7 2 14 14 14

− − = + = + = + =

.

c) 4 2 7 12 7 6 7 24 7 17

:5 3 20 10 20 5 20 20 20 20

− + = − + = − + = − + = −

.

d) 1 2 5 1 1 6 5 1 1 11 1 1 66 1 22 3 88 85

: : :4 3 9 6 4 9 9 6 4 9 6 4 9 4 3 12 12 12

+ − − = + − − = + − = − = − = − = −

.

e) 3 7 2 18 35 15 2 17 13 221

35 6 5 30 30 5 5 30 5 150

− + − = − + − = =

.

f) 3 4 1 3 8 3 3

5 9 6 5 18 18 5

− − = − − = −

5

3 1

18 18 6= − = − .

77. Calcula.

a) 5 3 1 3

:4 2 4 2

− − −

b) 7 3 9 1

: 12 4 2 8

− −

c) 1 1 3 2

4 :5 8 2 3

− + − +

d) 4 3 2

: 35 10 5

− − −

Solución

a) 5 3 1 3 5 3 2 5 3 1 5 9 1 5 10 15 20 5

:4 2 4 2 4 2 12 4 2 6 4 6 6 4 6 12 12 12

− − − = − + = − + = − + = − = − = −

.

b) 7 3 9 1 28 36 1 14 35 490 245 245 12 233

: 1 1 1 1 12 4 2 8 6 8 8 3 8 24 12 12 12 12

− − = − − = − = − = − = − =

.

c) 1 1 3 2 1 1 3 8 2 1 1 5 2 1 5 2

4 : : : :5 8 2 3 5 8 2 2 3 5 8 2 3 5 16 3

− + − + = − + − + = − + = − + =


33

16 25 2 9 2 27: :

80 80 3 80 3 160

= − + = =

.

d) 4 3 2 8 3 2 15 11 13 55 11

: 3 : :5 10 5 10 10 5 5 10 5 130 26

− − − = + − = − = − = −

.

78. Halla el resultado de estas operaciones entre fracciones.

a) ( )10 1

3 33 4

− + − +

b) 5 7 1

1 2 :3 4 3

− −

c) 9 1 1 1

: 8 :2 6 3 2

− + −

d) 6 2 1 3 11

:5 3 9 2 4

− − +

Solución

a) ( ) ( ) ( )10 1 10 9 1 1 1 3 1 1 4 1 5

3 3 3 3 13 4 3 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4

− + − + = − + − + = − − + = + = + = + =

.

b) 5 7 1 20 21 1 1 1 24 1 24

1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 1 1 8 93 4 3 12 12 3 12 3 1 3 3

− − = − − = − − = + = + = + =

.

c) 9 1 1 1 27 1 2 26 24 2 13 22 13 3

: 8 : : 8 : :2 6 3 2 6 6 3 6 3 3 3 3

− + − = − − = − = =

3

13

2222=

.

d) 6 2 1 3 11 6 6 1 6 11 6 5 5 30 5 2 5 8

: : : : :5 3 9 2 4 5 9 9 4 4 5 9 4 45 4 3 4 15

− − + = − − + = = = =

.

79. Resuelve estas operaciones.

a) 2 10 1 4

:5 3 9 3

−

b) 5 2 3

1 23 5 5

+ − −

c) 7 1 2 3

2 3 9 4

− + −

d) 2 3 4

27 10 5

− − − −

Solución

a) 2 10 1 4 20 3 4 1 16 1 15 5

:5 3 9 3 15 36 3 12 12 12 12 4

− = − = − = − = =

.

b) 5 2 3 3 5 6 8 6 200 18 150 32

1 2 2 23 5 5 3 3 25 3 25 75 75 75 75

+ − − = + − − = − − = − − =

.


34

c) 7 1 2 3 7 3 2 3 7 1 3 7 3 14 27 13

2 3 9 4 2 9 9 4 2 9 4 18 4 36 36 36

− + − = − − = − = − = − = −

.

d) 2 3 4 2 3 4 10 2 3 6 2 18 2 9

27 10 5 7 10 5 5 7 10 5 7 50 7 25

− − − − = − + − = − + − = − − = − − =

50 63 113

175 175 175= − − = − .

80. Completa los huecos en tu cuaderno.

Solución

Cada hueco representa una fracción, y la vamos a representar con la letra x .

a) 1 1 1 1 3 3 3

3 33 4 3 4 3 4 4

x x x x = = = = .

b) 4 4

:5

x−

=1 1 1 1 1 1 6

6 66 5 6 5 6 5 6 5

x x xx

− − − = = − = − = − .

c) 3 3 3 9 1 56 9 56 1 56

7 8 9 56 3 9 56 9 3 27x x x x = = = = .

d) 1 1 1 5 1 5 1 5 1 5 1 30 15

: : : 6 64 5 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 2

x x x x x xx

= = = = = = = .

e) ( ) ( )10 1 1 10 10 2

5 53 5 5 3 15 3

x x x x

− = − − − = − − = =

.

f) ( )4 4 4 1 4 1 4 2

: 2 2 2 25 5 5 2 5 2 10 5

x x x x xx

= − = − = − − = − − − = = − .


a) 1 1 5 3

: 3 :6 4 9 2

− + −

b) 1 1 5 3

: 3 :6 4 9 2

− + −

c) 1 1 5 3

: 3 :6 4 9 2

− + −

d) 1 1 5 3

: 3 :6 4 9 2

− + −


35

Solución

a) 1 1 5 3 1 1 5 27 3 1 1 22 3 1 9 3

: 3 : : : : : :6 4 9 2 6 4 9 9 2 6 4 9 2 6 88 2

− + − = − + − = − + − = − − =

1 18 1 3 22 9 31

6 264 6 44 132 132 132= − − = − − = − − = − .

b) 1 1 5 3 2 3 5 27 3 1 22 3 9 3

: 3 : : : : : :6 4 9 2 12 12 9 9 2 12 9 2 264 2

− + − = − + − = − = − =

3 3 6 1:

88 2 264 44− = − = − .

c) 1 1 5 3 1 9 3 1 9 60 3 1 51 3

: 3 : 3 : : :6 4 9 2 6 20 2 6 20 20 2 6 20 2

− + − = − + − = − + − = − + − =

1 102 10 102 112 28

6 60 60 60 60 15= − − = − − = − = − .

d) 1 1 5 3 1 9 6 10 27 17 17 120 103

: 3: 2 26 4 9 2 6 20 3 60 60 60 60 60 60

− + − = − + − = − + − = − = − = −

.

82. Calcula el resultado de estas operaciones con fracciones.

a) 5 3 2 2

: 42 4 9 3

+ − −

b) 5 3 2 2

: 42 4 9 3

+ − −

c) 5 3 2 2

: 42 4 9 3

+ − −

d) 5 3 2 2

: 42 4 9 3

+ − −

Solución

a) 5 3 2 2 5 6 12 2 5 1 10 15 1 10 14 10 42 7

: 4 : : : :2 4 9 3 2 36 3 3 2 6 3 6 6 3 6 3 60 10

+ − − = − − = − = − = = =

.

b) 5 3 2 2 10 3 2 2 13 2 2 26 2

: 4 : 4 : 4 : 42 4 9 3 4 4 9 3 4 9 3 36 3

+ − − = + − − = − − = − − =

13 2 13 2 13 48 61: 4

18 3 72 3 72 72 72= − − = − − = − − = − .

c) 5 3 2 2 5 6 2 5 1 2 5 1 2

: 4 : 4 : 42 4 9 3 2 36 3 2 6 3 2 24 3

+ − − = − − = − − = − − =

60 1 2 59 2 59 16 43

24 24 3 24 3 24 24 24

= − − = − = − =

.


36

d) 5 3 2 2 5 3 2 2 5 3 1 2 5 3 1 12

: 42 4 9 3 2 4 36 3 2 4 18 3 2 4 18 18

+ − − = + − − = + − − = + − − =

5 3 13 5 39 5 13 60 13 47

2 4 18 2 72 2 24 24 24 24

= + − = − = − = − =

.

85. Clasifica estos números decimales en racionales e irracionales indicando el criterio que utilizas.

a) 4,565656

b) 3,123456−

c) 5

9

d) 0,040044000

e) 1,285−

f) 6

5

−

g) 53

90

h) 13

99

Solución

a) 4,565656 4,56= . Es racional por ser decimal periódico puro.

b) 3,123456− Es irracional por tratarse de un decimal con infinitas cifras decimales no periódicas (no

exacto y no periódico).

c) 5

0,59= . Es racional por ser decimal periódico puro. Además, la fracción es irreducible.

d) 0,040044000 Es irracional por tratarse de un decimal con infinitas cifras decimales no periódicas (no

exacto y no periódico).

e) 1,285− . Es racional por tratarse de un decimal exacto.

f) 6

1,25

−= − . Es racional por ser decimal exacto. Además, la fracción es irreducible.

g) 53

0,5890

= . Es racional por ser decimal periódico mixto. Además, la fracción es irreducible.

h) 13

0,1399

= . Es racional por ser decimal periódico puro. Además, la fracción es irreducible.

86. Expresa en forma decimal estas fracciones.

a) 1

30

b) 2

9

−

iPad de Pedro

iPad de Pedro


37

c) 4

5

d) 7

12

e) 3

8

−

f) 25

99

g) 377

100

h) 1

990

−

i) 9

50

Solución

a) 1

0,0330

= .

b) 2

0,29

−= − .

c) 4

0,85= .

d) 7

0,58312

.

e) 3

0,3758

−= − .

f) 25

0,2599

= .

g) 377

3,77100

= .

h) 1

0,001990

−= − .

i) 9

0,1850

= .

87. Expresa, mediante una fracción y mediante un número decimal,

la parte coloreada de cada una de las figuras de la derecha.

Solución

a) 1

0,52= .

iPad de Pedro

iPad de Pedro


38

b) 3

0,754= .

c) 1

0,52= .

d) 1

0,166= .

89. Ordena de menor a mayor los números de cada uno de los grupos.

a) 4

7; 0,54 ;

5

9;

1

2; 0,554

b) 6

5; 1,24 ;

5

6;

13

9; 1,234

Solución

a) 4

7; 0,54 ;

5

9;

1

2; 0,554 . Expresemos todos en forma de fracción:

4

7;

6

11;

5

9;

1

2;

61

110. Ahora

reduzcamos a común denominador. Puesto que el mcm de 7 , 11, 9 , 2 y 110 es 6930 , tenemos:

3960

6930;

3780

6930;

3850

6930;

3465

6930;

3843

6930. Entonces:

3465 3780 3843 3850 3960 1 6 61 5 4 1 5 40,54 0,554

6930 6930 6930 6930 6930 2 11 110 9 7 2 9 7 .

b) 6

5; 1,24 ;

5

6;

13

9; 1,234 . Expresemos todos en forma de fracción:

6

5;

41

33;

5

6;

13

9;

611

495. Ahora

reduzcamos a común denominador. Puesto que el mcm de 5 , 33 , 6 , 9 y 495 es 990 , tenemos:

1188

990;

1230

990;

825

990;

1430

990;

1222

990. Entonces:

825 1188 1222 1230 1430 5 6 611 41 13 5 6 131,234 1,24

990 990 990 990 990 6 5 495 33 9 6 5 9 .

91. Expresa en forma de fracción estos números.

a) 5−

b) 8,7

c) 5,634

d) 5,84

e) 0, 456

f) 0,752−

g) 74

h) 2,6825

i) 0,0125

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro


39

Solución

a) 5 10 15

51 2 3

− − −− = = = = .

b) 87 8 79

8,79 9

−= = .

c) 5634 56 5578 2789

5,634990 990 495

−= = = .

d) 584 146

5,84100 25

= = .

e) 456 45 411 137

0,456900 900 300

−= = = .

f) 752 94

0,7521000 125

− = − = − .

g) 74 148 222

741 2 3

= = = = .

h) 26825 268 26557

2,68259900 9900

−= = .

i) 125

0,01259999

= .

93. Transforma estos números decimales en fracciones y realiza la operación.

a) 5,9 8,333+

b) 2,333 56,444+

c) 34,666 7,888−

d) 9,5777 3,75+

e) 4,8999 2,565656+

f) 3,1818 0,0606+

Solución

a) 59 75 59 25 177 250 427

5,9 8,33310 9 10 3 30 30 30

+ = + = + = + = .

b) 21 508 529

2,333 56,4449 9 9

+ = + = .

c) 312 71 241

34,666 7,8889 9 9

− = − = .

d) 862 375 431 15 1724 675 2399

9,5777 3,7590 100 45 4 180 180 180

+ = + = + = + = .

e) 441 254 49 254 4851 2540 7391

4,8999 2,56565690 99 10 99 990 990 990

+ = + = + = + = .

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro


40

f) 315 6 321 107

3,1818 0,060699 99 99 33

+ = + = = .

94. Calcula el resultado en forma de fracción.

a) 4,7 2,83 1,5− .

b) ( )5,724 1,9 : 0,54+

c) 12,64 4,2 : 0,6+ .

d) ( )15,75 1,86 0,2 3,8− −

Solución

a) 43 281 15 13 4215 4730 515 103

4,7 2,83 1,59 99 10 9 990 990 990 198

− = − = − = − = .

b) ( ) 5667 54 5667 1980 54 7647 54 7647 99 7647 25495,724 1,9 : 0,54 2 : : :

990 99 990 990 99 990 99 990 54 540 180

+ = + = + = = = =

c) 1138 38 6 569 380 569 190 1707 950 2657

12,64 4,2 : 0,6 :90 9 10 45 54 45 27 135 135 135

+ = + = + = + = + = .

d) ( )1575 168 2 38 63 168 20 19 63 148 19

15,75 1,86 0,2 3,8100 90 9 10 4 90 90 5 4 90 5

− − = − − = − − = − =

63 74 19 63 1406 14175 5624 8551

4 45 5 4 225 900 900 900= − = − = − = .

95. Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, justificando tu respuesta.

a) Cualquier número decimal puede expresarse en forma de fracción.

b) Un número entero se puede expresar como una fracción.

c) En un número decimal periódico, las cifras decimales se repiten indefinidamente después de la coma.

d) Si un número decimal tiene como período 0 , es un número decimal exacto.

Solución

a) Cualquier número decimal puede expresarse en forma de fracción.

Falso. Hay números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas (llamados irracionales). Y estos

no se pueden expresar en forma de fracción.

b) Un número entero se puede expresar como una fracción.

Verdadero. Cualquier número entero se puede expresar como una fracción con denominador igual a uno.

c) En un número decimal periódico, las cifras decimales se repiten indefinidamente después de la coma.

Es verdadero en el caso de los decimales periódicos puros. Pero es falso en el caso de los números

decimales periódicos mixtos. Estos tienen un grupo de cifras tras la coma (llamado anteperíodo) que no

se repiten. Tras este grupo viene ya el período, que son las cifras decimales que se repiten

indefinidamente de manera periódica.

d) Si un número decimal tiene como período 0 , es un número decimal exacto.

Verdadero. En este caso se trata de un número entero, y se puede eliminar la parte decimal.

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro

iPad de Pedro


41

96. Alejandro y sus 13 amigos han comido cada uno 2 raciones de tarta. Las tartas se sirven divididas en 10

raciones. Escribe, con una fracción, la cantidad de tartas que han comido.

Solución

Alejandro y sus 13 amigos hacen un total de 14 personas. Como todos han comido 2 raciones, en total han

comido 28 raciones. Y, puesto que las tartas se sirven divididas en 10 raciones, en total han comido una

cantidad de tartas igual, en forma de fracción, a 28 14

10 5= .

97. Un profesor propone 5 actividades y asigna un cuarto de hora para realizarlas. Escribe con una fracción el

tiempo, en horas, que le corresponde a cada actividad.

Solución

El tiempo, en horas, que le corresponde a cada actividad será igual a un cuarto de hora dividido entre 5

actividades que hay. Es decir: 1 1 5 1

:5 :4 4 1 20

= = horas (la vigésima parte de una hora).

Aunque no se pide en el enunciado, si hubiera que expresar esta cantidad en minutos, como una hora tiene 60

minutos, tendríamos que la cantidad sería igual a 1 60

60 320 20

= = minutos.

99. Según las estadísticas, 7 de cada 12 pacientes mejoran con el primer tratamiento asignado por su médico.

Calcula cuántos pacientes no mejorarán con el primer tratamiento si cada médico pasa consulta a 540

enfermos.

Solución

Como mejoran 7 de cada 12 pacientes, resulta que no mejoran 5 de cada 12, que se corresponde con la fracción

5

12. Entonces de los 540 pacientes, no mejorarán con el primer tratamiento

5 2700540 225

12 12 = = pacientes.

100. Cuatro de cada cinco electrodomésticos que se venden son de color blanco, y una décima parte son negros.

Calcula cuántos electrodomésticos blancos y cuántos negros se han vendido en un establecimiento de un total

de 140 aparatos.

Solución

En forma de fracción se vende 4

5 de electrodomésticos de color blanco y

1

10 de color negro. Entonces, de color

blanco se han vendido 4 560

140 1125 5 = = electrodomésticos. Y de color negro

1 140140 14

10 10 = =

electrodomésticos.

101. Unos amigos recorren 105 km en bicicleta. El primer día hacen 1

3 del camino, y el segundo día

4

15, dejando el

resto para el tercero. ¿Cuántos kilómetros recorren cada día?

Solución

El primer día recorren 1

3 de 105 km, es decir,

1 105105 35

3 3 = = km.

El segundo día recorren 4

15 de 105 , es decir,

4 4 105 420105 28

15 15 15

= = = km.


42

El tercer día recorren, por tanto, ( )105 35 28 105 63 42− + = − = km.

Supongamos que nos pidieran la fracción del recorrido que hacen el tercer día. Esto se haría del siguiente modo.

Durante los dos primeros días han recorrido una fracción del camino igual a 1 4 5 4 9 3

3 15 15 15 15 5+ = + = = . Por

tanto, el tercer día, en el que recorren el resto del camino, supone una fracción igual a 2

5. Esto permite calcular

la distancia recorrida el tercer día: 2 2 105 210

105 425 5 5

= = = km.

103. La octava parte del huerto de Pedro está sembrada con tomates. Si la superficie que no lo está es de 982,5 m2,

¿qué superficie total tiene el huerto?

Solución

Según el enunciado 1

8 del huerto de Pedro está sembrado con tomates. Por tanto, la fracción del huerto que no

está sembrada con tomates es 7

8, que son 982,5 m2. De aquí podemos deducir claramente que

1

8 del huerto

se corresponderá con 982,5 : 7 140,36 m2.

Entonces, la superficie total del huerto es 982,5 140,36 1122,86+ = m2.

También se puede hacer planteando una ecuación. Si llamamos x a la superficie total del huerto, sabemos que

7

8 de x es igual a 982,5 , con lo que

7982,5

8x = . Despejando x :

982,5 8 78601122,86

7 7x x

= = = m2.

104. Una piscina que está llena hasta los 10

13 de su capacidad, necesita 720 litros para estar completamente llena.

Calcula la capacidad de la piscina.

Solución

Como la piscina está llena hasta los 10

13 de su capacidad, para que se llene completamente falta una fracción

igual a 3

13, que son 720 litros. Esto quiere decir que la fracción

1

13, en litros, es igual a 720:3 240= litros.

Esto supone que la capacidad de la piscina es 240 13 3120 = litros.

También se puede hacer del siguiente modo. Si llamamos x a la capacidad de la piscina, se sabe que los 3

13 de

x es igual a 720 litros, con lo que se puede plantear la siguiente ecuación: 3

72013

x = . Despejando x se tiene

que 720 13 9360

31203 3

x x

= = = litros.

105. Un trozo de tela mide 5,4 m y representa las tres séptimas partes del total. ¿Cuál es la longitud total de la tela?

Solución

Como 5,4 metros de tela representan la 3

7 partes del total, podemos deducir que

1

7 parte se corresponde con

5,4 :3 1,8= metros. Por tanto, la longitud total de la tela es 1,8 7 12,6 = metros.


43

También se puede hacer planteando una ecuación. Si llamamos x a la longitud de la tela, como sabemos que

3

7 de x es igual a 5,4 , tenemos que

3 5,4 7 37,85,4 12,6

7 3 3x x x

= = = = m.

106. Una barrica de 12000 litros de capacidad se vacía hasta que quedan sus tres décimas partes. ¿Cuántos litros se

han extraído?

Solución

Puesto que la barrica de 12000 litros de capacidad se vacía hasta que quedan sus 3

10 partes, se ha extraído una

fracción igual a 7

10. Dividiendo entre 10 la capacidad de la barrica sabremos los litros que se corresponde con

1

10 de la misma. Como 12000:10 1200= litros, resulta que se han extraído 1200 7 8400 = litros.

Evidentemente, también se puede hacer del siguiente modo, mucho más fácil. Como se han extraído 7

10 partes,

tenemos que hacer 7

10 de 12000 parar obtener los litros que se han extraído. Es decir:

7 7 12000 8400012000 8400

10 10 10

= = = litros.

107. Los cinco doceavos del total de los alumnos de un instituto son hijos únicos. Si 322 tienen algún hermano,

¿cuántos son hijos únicos?

Solución

Como los 5

12 del total son hijos únicos,

7

12 tienen algún hermano, fracción que se corresponde con 322

alumnos. Entonces, la fracción 1

12 se corresponde con 322:7 46= alumnos. Por tanto, son hijos únicos

46 5 230 = alumnos.

Como en ejercicios anteriores, también podemos hacerlo planteando una ecuación. Si llamamos x al número

de alumnos del instituto, se tiene que 7 322 12 3864

322 55212 7 7

x x x

= = = = alumnos. Entonces, son

hijos únicos 552 322 230− = alumnos.

108. En la clase de Marcos llevan gafas 16 alumnos, que representan las cuatro novenas partes del total. ¿Cuántos

alumnos no llevan gafas?

Solución

Llamemos x al número de alumnos de toda la clase. Según el enunciado, 4

9 de x es igual a 16. Es decir:

4 16 9 14416 36

9 4 4x x x

= = = = alumnos tiene la clase. Entonces, los alumnos que no llevan gafas son

36 16 20− = alumnos.

Puesto que la fracción de alumnos que no llevan gafas es igual 5

9, también podemos hacer los

5

9 de 36 para

obtener los alumnos que no llevan gafas: 5 5 36 180

36 209 9 9

= = = alumnos.


44

109. ¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se necesitan para embotellar 600 litros de vino?

Solución

Bastaría dividir 600 entre tres cuartos: 3 600 3 2400

600 : : 8004 1 4 3= = = . Por tanto, hacen falta 800 botellas.

110. ¿Cuántas botellas de un tercio de litro de refresco hay en 7 litros?

Solución

Bastaría dividir 7 entre un tercio: 1 7 1 21

7 : : 213 1 3 1= = = . Por tanto, en 7 litros hay 21 botellas de un tercio

de litro.

111. Si una botella de agua pequeña tiene una capacidad de un quinto de litro, ¿cuántas botellas pequeñas podemos

llenar con 12 litros de agua?

Solución

Bastaría dividir 12 entre un quinto: 1 12 1 60

12 : : 605 1 5 1= = = . Por tanto, con 12 litros de agua podemos llenar

60 botellas de un quinto de litro.

112. El hijo de Isabel tiene la mitad de la séptima parte de la edad de su madre. Si Isabel tiene 42 años, ¿cuántos

años tiene su hijo?

Solución

El resultado es igual a la mitad de la séptima parte de 42 : 1 1 42

42 32 7 14 = = . Por tanto, el hijo de Isabel tiene

3 años.

113. Carlos decide hacer un viaje de 120 km en tres etapas. En la primera recorre dos séptimos del total del trayecto,

y en la segunda, la tercera parte de lo que queda. ¿Qué distancia recorrerá en la tercera etapa?

Solución

En la primera etapa recorre 2 420

210 607 7 = = km. Por tanto, para la segunda y tercera etapas quedan un

total de 210 60 150− = km. De este modo, en la segunda etapa recorrerá 1 150

150 503 3 = = km. Finalmente,

la distancia que recorrerá en la tercera etapa es de 150 50 100− = km.

114. Héctor gastó en la entrada de cine una tercera parte del dinero con el que salió de casa. Con la cuarta parte del

dinero compró una bolsa de palomitas y le quedaron 15 €. ¿Con cuánto dinero salió de casa?

Solución

El gasto que hizo, en forma de fracción, es 1 1 4 3 7

3 4 12 12 12+ = + = . Por tanto, la fracción del dinero que no gastó

es 7 12 7 5

112 12 12 12

− = − = . Llamemos ahora x al dinero con el que salió casa. Entonces:

5 5 18015 15 5 180 36

12 12 5

xx x x x= = = = = .

Es decir, Héctor salió de casa con 36 euros.


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115. En la biblioteca hay 5000 libros. De ellos, una quinta parte son novelas, y del resto, la mitad son literatura

infantil. ¿Cuántos libros de literatura infantil hay?

Solución

Como la quinta parte son novelas, el resto son cuatro quintas partes. La fracción de libros de literatura infantil

será pues 1 4 4 2

2 5 10 5 = = . Por tanto, hay

2 100005000 2000

5 5 = = libros de literatura infantil.

116. En un almacén de fruta, verduras y conservas, se utilizan cinco octavas partes del espacio para almacenar fruta y

dos terceras partes para almacenar verdura. Las conservas ocupan todo el espacio restante. ¿Qué fracción del

total ocupan?

Solución

Como la fruta ocupa 5

8, el resto del espacio en forma de fracción es

5 8 5 31

8 8 8 8− = − = . De aquí deducimos que

la fracción que ocupa la verdura es 2 3 6 1

3 8 24 4 = = . Por tanto, la fracción del total que ocupan las conservas es

igual a 5 1 32 20 8 4 1

18 4 32 32 32 32 8

− − = − − = = .

117. Con la cuarta parte de una botella de 2 litros y una sexta parte de otra botella de tres cuartos de litro se llenan

cinco sextas partes de una vasija. ¿Cuál es la capacidad de la vasija?

Solución

La cuarta parte de una botella de 2 litros y una sexta parte de otra botella de tres cuartos de litro hacen un total

de 1 1 3 2 3 12 3 15 5

24 6 4 4 24 24 24 24 8 + = + = + = = litros. Llamemos x a la capacidad de la vasija. Entonces:

5 5 5 5 30 340 30

6 8 6 8 40 4

xx x x= = = = = .

Por tanto, la capacidad de la vasija es de 3

4 (tres cuartos) de litro ( 75 centilitros).

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Unidad 1: Números reales Matemáticas Académicas 3º ESO