Click here to load reader

MF seminář 2010/2011 - úvod

  • View
    33

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Přípravný kurz matematiky 2012 úvodní informace. MF seminář 2010/2011 - úvod. http://fyzika.feld.cz/~zacek/ … www stránka kurzu. Rozsah: 10×90 minut, celkem 900 minut Vyučující: Ilona Ali-Bláhová, Josef Rosenkranz, Martin Žáček E-mail na vašeho vyučujícího: zacekm @ fel.cvut.cz - PowerPoint PPT Presentation

Text of MF seminář 2010/2011 - úvod

  • MF semin 2010/2011 - vodRozsah: 1090 minut, celkem 900 minutVyuujc: Ilona Ali-Blhov, Josef Rosenkranz, Martin ekE-mail na vaeho vyuujcho: [email protected]

    Npl: elementrn funkce a jejich vlastnosti, rovnice a nerovnice komplexn sla posloupnosti limita posloupnosti analytick geometrie diferenciln a integrln poet

    Literatura: skripta M. Hynkov, V. Sedlkov: Matematicko-fyzikln semin. Matematika (http://math.feld.cvut.cz/0educ/priprava/) ve skriptech vak nen integrln a diferenciln poet, je v nich zase kombinatorika, kter se v tomto kurzu nebude probratPpravn kurz matematiky 2012vodn informacehttp://fyzika.feld.cz/~zacek/ www strnka kurzu

  • Elementrn funkce a jejich vlastnostiObsah tmatu:pravy algebraickch vraz.Matematick symboly, operace s vroky.Funkce a jejich vlastnosti. Limity.Linern funkce.Kvadratick funkce.Linern lomen funkce.Mocninn funkce.Logaritmick funkce, logaritmus a jeho vyuit.Goniometrick funkce, vztahy mezi goniometrickmi funkce, soutov vzorce.

  • pravy algebraickch vrazObjekty, s nimi v pracujeme (podle historickho vvoje):

    Kad krok ve zobecnn vychz z njak nov operace, kter si vynut zaveden obecnj mnoiny sel. Je mnoho krok v dalm zobecovn, komplexn sla, potn se symboly pro sla ap.(opakova- pouitm) nmvcipirozen slacel slaracionln slareln slastnnsobenodtndlenmocnnodmocovnnutnost zavst zporn sla a nulu, aby bylo definovno odetn stejnch sel a vtch sel od mench nutnost zavst racionln sla, jinak by nebyl obecn definovn podl celch selnutnost zavst iracionln sla, jinak by nebyla obecn definovna odmocnina, k odmocnin zpornho sla viz pozdji komplexn sla(opakova- pouitm) nmoperace inverzn operace dsledek pro mnoinu sel

  • S jakmi sly pracujeme (azeno hierarchicky)Komplexn slaceloseln zlomkycel slaracionln slareln slaImaginrn slairacionln slapirozen slanulazporn sla

  • S jakmi sly pracujeme (azeno mnoinov)

    iracionln sla , 2ryze maginrn sla 4ireln slakomplexn sla cel slaracionln sla3+2inecel sla3,12517/11 3 zporn sla

    1, 2, ...nula 0pirozen sla

    1, 2, ...nezporn sla

  • Funkce a jejich vlastnosti (obecn)Pojem funkce: y = f(x), reln funkce (jedn) reln promnn, piazuje jednoznan hodnotu y hodnot x - definin obor Df (mnoina vech x, pro kter existuje obraz) - obor funknch hodnot Hf (mnoina vech y, kter jsou obrazem njakho x)Vlastnosti: - rostouc - klesajc - nerostouc - neklesajc - prost (vzjemn jednoznan piazen x y, existuje inverzn funkce) (uveden vlastnosti mohou platit jen na njakm intervalu) - sud (m symetrick graf podle osy y) - lich (m symetrick graf podle potku)Graf funkcePklady funkc (konstantn, linern, kvadratick, linern lomen, )

  • Prost funkceFunkce f(x) je prost, plat-li:

    .

    Prost funkce tedy nikdy nepiazuje dvma rznm bodm tent bod.Nkdy funkce nemus bt prost na celm defininm oboru, me bt vak prost na njak podmnoin z defininho oboru. Napklad funkce x2 nen prost ale na podintervalech cel mnoiny relnch sel, kdy x < 0 nebo x >= 0 je prost.

    Je-li f(x) prost funkce, existuje k n funkce inverzn f1(x).

  • Mocninn funkce(bude to slouit i jako teoretick pprava k exponenciln funkci) y = xn celoseln mocnina = x.xx n krt pronsoben x evidentn plat xa xb = xa+ b a plat tak (xa )b = xa.b (dky prvnmu vztahu meme zavst zpornou mocninu, zvolme-li b = a a dostaneme xa xa = xaa = x0 = 1 a tedy xa = 1/xa ... chceme inverzn funkci: lze umocnit levou a pravou stranu 1/n ? y1/n = (xn ) 1/n = xn.1/n = xn/n = x1 = x zavedli jsme tak odmocninu, jako inverzn funkci k mocnin ale pozor: pro sud n mocnina nen prost, mus bt Mocninu s racionlnm exponentem a = m/n zavedeme jako xa= xm/n = (xm )1/n = (x1/n )m kde obecn mus bt A spojit dodefinujeme pro vechna reln x:

    mocninn funkce.

  • Polynomy a operace s nimipolynom jako funkce nebo jako vraz, Koeny polynomu, algebraick rovnice,operace s polynomy (s drazem na dlen).

  • Mocninn funkcea = 2; 1; 0,5; 0; 0,2; 0,5; 1; 2; 5Poznte, kter koeficient nle kter kivce?

  • Exponenciln funkce Zavede se podobn jako mocninn funkce, kterou u znme, promnn vak bude v exponentu:

    exponenciln funkce se zkladem a.

    Eulerovo slo: zskme kdy pipisujeme rok x za njak obdob n krt.Na konci obdob budeme mt na tu (1 + x/n)n korun a pro rostouc n do nekonena,tj. jakoby se roilo neustle, dostaneme prv Eulerovo slo (pi potenm vkladu 1 K a roku 1, tj. 100 %). e = 2,718281828459. (jde o iracionln slo)

    Zavedeme exponenciln funkce o zkladu e

    m obzvl hezk vlastnosti, napklad: - smrnice teny v bod x = 0 je rovna 1, - derivovnm dostaneme tut funkci

  • Exponenciln funkce

  • Logaritmick funkce zavede se jako inverzn funkce k exponenciln funkci:

    logaritmick funkce o zkladu a

    Vlastnosti:

    Logaritmus a exponenciln funkcejsou prost na celm a jedn se o inverzn funkce, kter lze pout pi pravch rovnic jako ekvivalentn pravy.

  • Goniometrick funkcesin x, cos x tg x, cotg x

    Vlastnosti: jsou periodick, sin x a cos x jsou definovan na celm ,

    tg x m definin obor a cotg x .Plat:

  • Rovnice a nerovniceObsah tmatu:

    Linern rovnice a nerovnice, soustavy. Determinant.Rovnice s parametrem.Kvadratick rovnice a nerovnice, vztahy mezi koeny a koeficienty.Iracionln rovnice, rovnice a nerovnice s absolutn hodnotou.Exponenciln a logaritmick rovnice.Goniometrick rovnice.

    Rozsah: 2 lekce

  • Soustavy linernch rovnicJsou rovnice typu ... koeficienty ... promnn ... koeficienty prav strany a) Metoda stac b) Metoda porovnvac c) Metoda eliminanMetody een:Rovnice vynsobme vhodnmi koeficienty tak, aby se po jejich seten jedna z promnnch odeetla. Zskme tak jednu rovnici o jedn neznm. Po jejm vyeen dosadme toto een do libovoln z pvodnch rovnic a vyeme zbvajc promnnou.leny s jednou promnnou pevedeme na jednu stranu a vynsobme rovnice vhodnmi koeficienty tak, aby ob rovnice mly na jedn stran tent vraz. Druh strany pak polome sob rovny, m zskme jednu rovnici pro jednu neznmou. Dle viz a).Z jedn rovnice vyjdme jednu promnnou, zskan vraz dosadme do druh rovnice, m dostaneme jednu rovnici pro jednu neznmou. Dal postup je shodn s postupem v bod a). Tuto metodu je mon pout nkdy i pro sloitj rovnice ne linern.Pklad:Pklad:Pklad:

  • Soustavy linernch rovnic - determinantNabz se otzky typu:

    - Existuje vdy een? - Neme vpoet pi uritch hodnotch koeficient selhat? - Neme existovat vce een? Apod.

    Zkusme soustavu vyeit zcela obecn.

    een (viz vpoet vpravo) meme napsat ve tvaru , kde je determinant. Ten mus bt nenulov, jinak uveden vzorce nemohouplatit.

    Vznam determinantu: 1. Soustava rovnic m jedin een, kter lze vyjdit pedchozmi nalezenmi vzorci, 2. Soustava me mt nekonen mnoho een nebo een nemus existovat. O tom, kter ppad nastane, rozhoduj koeficienty na prav stran u a v.

  • Rovnice neeiteln konenm potem operacPklad takov rovnice:

    Rovnici nelze eit logaritmovnm lev a prav strany, nebo pi takovm postupu obdrme jednu neznmou v logaritmu a druhou mimo logaritmus a pevedeme jen exponenciln rovnici na logaritmickou, stejn obtn eitelnou.

    Nalezen piblinho een (tzv. prostou iteran metodou):Z rovnice vyjdme neznmou x, vybereme si jej prvn vskyt v exponencile:

    Kdybychom nyn dosadili een (co nememe, jeliko jej neznme), byla by i tato rovnice splnna, nebo je z hlediska een se zadanou rovnic ekvivalentn (pouili jsme jen ekvivalentn pravy). Zkusme nyn njak x zvolit a dosazenm do prav strany ovit, jak se bude een blit. Obdrme novou hodnotu x a tu meme znovu dosadit do lev strany. Postup vpotu je nsledujc:

    a) x0 volme libovoln (sname se co nejbl een, pokud jej lze odhadnout),b) dal hodnoty x vypotme z iteran rovnice ,c) pi poadovan pesnosti vpoet ukonme a dan xi prohlsme za piblin vsledek.

    Vimnte si, e jsme obdreli po 19 iteracch vsledek s pesnost na 9 platnch mst, pro praxi vce ne dostaujc vsledek.

  • Rovnice neeiteln konenm potem operacPi een obtnjch rovnic mete pout tak Wolfram Alpha server(server tvrc programu pro symbolick vpoty Mathematica).

    Tento server se sna porozumt matematickm, fyziklnm, technickm a ekonomickm zadnm s volnou syntax.

    Pedchoz lohu byste napklad zadali takto: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+e%5Ex+-+5x+%3D+1

    Zkuste se tak podvat na vzorce pro vpoet koene polynomu 2., 3. a 4. stupn (sta zadat rovnici s obecnmi koeficienty):

    Obyejn kvadratick rovnice: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a+x%5E2+%2B+bx+%2Bc++%3D+0 Kubick rovnice: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a+x%5E3+%2B+b+x%5E2+%2Bcx+%2Bd+%3D+0 Rovnice 4. stupn: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a+x%5E4%2B+b+x%5E3+%2Bc+x%5E2+%2Bd+x%2Be+%3D+0 Rovnice 5. stupn (pro n ji pesn vzorec pro een neexistuje): http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a+x%5E5%2B+b+x%5E4+%2Bc+x%5E3+%2Bd+x%5E2%2Be+x+%2Bf%3D+0

    Pozor, server pouv odlin oznaen logaritm ne jak se vyskytuje v eskch uebnic

Search related