MF semin 2010/2011 - vodRozsah: 1090 minut, celkem 900 minutVyuujc: Ilona Ali-Blhov, Josef Rosenkranz, Martin ekE-mail na vaeho vyuujcho: [email protected]
Npl: elementrn funkce a jejich vlastnosti, rovnice a nerovnice komplexn sla posloupnosti limita posloupnosti analytick geometrie diferenciln a integrln poet
Literatura: skripta M. Hynkov, V. Sedlkov: Matematicko-fyzikln semin. Matematika (http://math.feld.cvut.cz/0educ/priprava/) ve skriptech vak nen integrln a diferenciln poet, je v nich zase kombinatorika, kter se v tomto kurzu nebude probratPpravn kurz matematiky 2012vodn informacehttp://fyzika.feld.cz/~zacek/ www strnka kurzu
Elementrn funkce a jejich vlastnostiObsah tmatu:pravy algebraickch vraz.Matematick symboly, operace s vroky.Funkce a jejich vlastnosti. Limity.Linern funkce.Kvadratick funkce.Linern lomen funkce.Mocninn funkce.Logaritmick funkce, logaritmus a jeho vyuit.Goniometrick funkce, vztahy mezi goniometrickmi funkce, soutov vzorce.
pravy algebraickch vrazObjekty, s nimi v pracujeme (podle historickho vvoje):
Kad krok ve zobecnn vychz z njak nov operace, kter si vynut zaveden obecnj mnoiny sel. Je mnoho krok v dalm zobecovn, komplexn sla, potn se symboly pro sla ap.(opakova- pouitm) nmvcipirozen slacel slaracionln slareln slastnnsobenodtndlenmocnnodmocovnnutnost zavst zporn sla a nulu, aby bylo definovno odetn stejnch sel a vtch sel od mench nutnost zavst racionln sla, jinak by nebyl obecn definovn podl celch selnutnost zavst iracionln sla, jinak by nebyla obecn definovna odmocnina, k odmocnin zpornho sla viz pozdji komplexn sla(opakova- pouitm) nmoperace inverzn operace dsledek pro mnoinu sel
S jakmi sly pracujeme (azeno hierarchicky)Komplexn slaceloseln zlomkycel slaracionln slareln slaImaginrn slairacionln slapirozen slanulazporn sla
S jakmi sly pracujeme (azeno mnoinov)
iracionln sla , 2ryze maginrn sla 4ireln slakomplexn sla cel slaracionln sla3+2inecel sla3,12517/11 3 zporn sla
1, 2, ...nula 0pirozen sla
1, 2, ...nezporn sla
Funkce a jejich vlastnosti (obecn)Pojem funkce: y = f(x), reln funkce (jedn) reln promnn, piazuje jednoznan hodnotu y hodnot x - definin obor Df (mnoina vech x, pro kter existuje obraz) - obor funknch hodnot Hf (mnoina vech y, kter jsou obrazem njakho x)Vlastnosti: - rostouc - klesajc - nerostouc - neklesajc - prost (vzjemn jednoznan piazen x y, existuje inverzn funkce) (uveden vlastnosti mohou platit jen na njakm intervalu) - sud (m symetrick graf podle osy y) - lich (m symetrick graf podle potku)Graf funkcePklady funkc (konstantn, linern, kvadratick, linern lomen, )
Prost funkceFunkce f(x) je prost, plat-li:
.
Prost funkce tedy nikdy nepiazuje dvma rznm bodm tent bod.Nkdy funkce nemus bt prost na celm defininm oboru, me bt vak prost na njak podmnoin z defininho oboru. Napklad funkce x2 nen prost ale na podintervalech cel mnoiny relnch sel, kdy x < 0 nebo x >= 0 je prost.
Je-li f(x) prost funkce, existuje k n funkce inverzn f1(x).
Mocninn funkce(bude to slouit i jako teoretick pprava k exponenciln funkci) y = xn celoseln mocnina = x.xx n krt pronsoben x evidentn plat xa xb = xa+ b a plat tak (xa )b = xa.b (dky prvnmu vztahu meme zavst zpornou mocninu, zvolme-li b = a a dostaneme xa xa = xaa = x0 = 1 a tedy xa = 1/xa ... chceme inverzn funkci: lze umocnit levou a pravou stranu 1/n ? y1/n = (xn ) 1/n = xn.1/n = xn/n = x1 = x zavedli jsme tak odmocninu, jako inverzn funkci k mocnin ale pozor: pro sud n mocnina nen prost, mus bt Mocninu s racionlnm exponentem a = m/n zavedeme jako xa= xm/n = (xm )1/n = (x1/n )m kde obecn mus bt A spojit dodefinujeme pro vechna reln x:
mocninn funkce.
Polynomy a operace s nimipolynom jako funkce nebo jako vraz, Koeny polynomu, algebraick rovnice,operace s polynomy (s drazem na dlen).
Mocninn funkcea = 2; 1; 0,5; 0; 0,2; 0,5; 1; 2; 5Poznte, kter koeficient nle kter kivce?
Exponenciln funkce Zavede se podobn jako mocninn funkce, kterou u znme, promnn vak bude v exponentu:
exponenciln funkce se zkladem a.
Eulerovo slo: zskme kdy pipisujeme rok x za njak obdob n krt.Na konci obdob budeme mt na tu (1 + x/n)n korun a pro rostouc n do nekonena,tj. jakoby se roilo neustle, dostaneme prv Eulerovo slo (pi potenm vkladu 1 K a roku 1, tj. 100 %). e = 2,718281828459. (jde o iracionln slo)
Zavedeme exponenciln funkce o zkladu e
m obzvl hezk vlastnosti, napklad: - smrnice teny v bod x = 0 je rovna 1, - derivovnm dostaneme tut funkci
Exponenciln funkce
Logaritmick funkce zavede se jako inverzn funkce k exponenciln funkci:
logaritmick funkce o zkladu a
Vlastnosti:
Logaritmus a exponenciln funkcejsou prost na celm a jedn se o inverzn funkce, kter lze pout pi pravch rovnic jako ekvivalentn pravy.
Goniometrick funkcesin x, cos x tg x, cotg x
Vlastnosti: jsou periodick, sin x a cos x jsou definovan na celm ,
tg x m definin obor a cotg x .Plat:
Rovnice a nerovniceObsah tmatu:
Linern rovnice a nerovnice, soustavy. Determinant.Rovnice s parametrem.Kvadratick rovnice a nerovnice, vztahy mezi koeny a koeficienty.Iracionln rovnice, rovnice a nerovnice s absolutn hodnotou.Exponenciln a logaritmick rovnice.Goniometrick rovnice.
Rozsah: 2 lekce
Soustavy linernch rovnicJsou rovnice typu ... koeficienty ... promnn ... koeficienty prav strany a) Metoda stac b) Metoda porovnvac c) Metoda eliminanMetody een:Rovnice vynsobme vhodnmi koeficienty tak, aby se po jejich seten jedna z promnnch odeetla. Zskme tak jednu rovnici o jedn neznm. Po jejm vyeen dosadme toto een do libovoln z pvodnch rovnic a vyeme zbvajc promnnou.leny s jednou promnnou pevedeme na jednu stranu a vynsobme rovnice vhodnmi koeficienty tak, aby ob rovnice mly na jedn stran tent vraz. Druh strany pak polome sob rovny, m zskme jednu rovnici pro jednu neznmou. Dle viz a).Z jedn rovnice vyjdme jednu promnnou, zskan vraz dosadme do druh rovnice, m dostaneme jednu rovnici pro jednu neznmou. Dal postup je shodn s postupem v bod a). Tuto metodu je mon pout nkdy i pro sloitj rovnice ne linern.Pklad:Pklad:Pklad:
Soustavy linernch rovnic - determinantNabz se otzky typu:
- Existuje vdy een? - Neme vpoet pi uritch hodnotch koeficient selhat? - Neme existovat vce een? Apod.
Zkusme soustavu vyeit zcela obecn.
een (viz vpoet vpravo) meme napsat ve tvaru , kde je determinant. Ten mus bt nenulov, jinak uveden vzorce nemohouplatit.
Vznam determinantu: 1. Soustava rovnic m jedin een, kter lze vyjdit pedchozmi nalezenmi vzorci, 2. Soustava me mt nekonen mnoho een nebo een nemus existovat. O tom, kter ppad nastane, rozhoduj koeficienty na prav stran u a v.
Rovnice neeiteln konenm potem operacPklad takov rovnice:
Rovnici nelze eit logaritmovnm lev a prav strany, nebo pi takovm postupu obdrme jednu neznmou v logaritmu a druhou mimo logaritmus a pevedeme jen exponenciln rovnici na logaritmickou, stejn obtn eitelnou.
Nalezen piblinho een (tzv. prostou iteran metodou):Z rovnice vyjdme neznmou x, vybereme si jej prvn vskyt v exponencile:
Kdybychom nyn dosadili een (co nememe, jeliko jej neznme), byla by i tato rovnice splnna, nebo je z hlediska een se zadanou rovnic ekvivalentn (pouili jsme jen ekvivalentn pravy). Zkusme nyn njak x zvolit a dosazenm do prav strany ovit, jak se bude een blit. Obdrme novou hodnotu x a tu meme znovu dosadit do lev strany. Postup vpotu je nsledujc:
a) x0 volme libovoln (sname se co nejbl een, pokud jej lze odhadnout),b) dal hodnoty x vypotme z iteran rovnice ,c) pi poadovan pesnosti vpoet ukonme a dan xi prohlsme za piblin vsledek.
Vimnte si, e jsme obdreli po 19 iteracch vsledek s pesnost na 9 platnch mst, pro praxi vce ne dostaujc vsledek.
Rovnice neeiteln konenm potem operacPi een obtnjch rovnic mete pout tak Wolfram Alpha server(server tvrc programu pro symbolick vpoty Mathematica).
Tento server se sna porozumt matematickm, fyziklnm, technickm a ekonomickm zadnm s volnou syntax.
Pedchoz lohu byste napklad zadali takto: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+e%5Ex+-+5x+%3D+1
Zkuste se tak podvat na vzorce pro vpoet koene polynomu 2., 3. a 4. stupn (sta zadat rovnici s obecnmi koeficienty):
Obyejn kvadratick rovnice: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a+x%5E2+%2B+bx+%2Bc++%3D+0 Kubick rovnice: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a+x%5E3+%2B+b+x%5E2+%2Bcx+%2Bd+%3D+0 Rovnice 4. stupn: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a+x%5E4%2B+b+x%5E3+%2Bc+x%5E2+%2Bd+x%2Be+%3D+0 Rovnice 5. stupn (pro n ji pesn vzorec pro een neexistuje): http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a+x%5E5%2B+b+x%5E4+%2Bc+x%5E3+%2Bd+x%5E2%2Be+x+%2Bf%3D+0
Pozor, server pouv odlin oznaen logaritm ne jak se vyskytuje v eskch uebnic
