MF seminář 2011/2012 - úvod

  • View
    32

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

MF seminář 2011/2012 - úvod. Rozsah: 28×90 minut, celkem 2620 minut (42 hodin) Vyučující: Ilona Ali-Bláhová, Jan Sláma, Martin Žáček E-mail na vašeho vyučujícího: zacekm @ fel.cvut.cz Náplň celého semestru: • algebraické výrazy, matematická logika, množiny a funkce (1-5) - PowerPoint PPT Presentation

Text of MF seminář 2011/2012 - úvod

  • MF semin 2011/2012 - vodon-line materily:http://fyzika.feld.cvut.cz/ ~zacek/ zde lze sthnout tuto prezentaci

    Rozsah: 2890 minut, celkem 2620 minut (42 hodin)Vyuujc: Ilona Ali-Blhov, Jan Slma, Martin ekE-mail na vaeho vyuujcho: [email protected]

    Npl celho semestru: algebraick vrazy, matematick logika, mnoiny a funkce (1-5) rovnice a nerovnice (6-10) komplexn sla (11-15) posloupnosti (16-19) analytick geometrie v rovin (20-24) diferenciln a integrln poet (25-28)

    Literatura: skripta M. Hynkov, V. Sedlkov: Matematicko-fyzikln semin. Matematika (http://math.feld.cvut.cz/0educ/priprava/) ve skriptech vak nen integrln a diferenciln poet, algebraick vrazy, mnoiny a matematick logika, je v nich zase kombinatorika, kter se v tomto kurzu nebude probrat

  • Vrazy, funkce (1-5)Podrobn obsah:

    pravy algebraickch vraz,matematick symboly, operace s vroky,funkce a jejich vlastnosti obecn,linern funkce,kvadratick funkce,linern lomen funkce,mocninn funkce,logaritmick funkce, logaritmus a jeho vyuit,goniometrick funkce, vzjemn vztahy.

  • pravy algebraickch vrazCo je to algebra? Je to st matematiky, v n je ureno s jakmi objekty pracujeme (mnoina) a jak s nimi pracujeme (oparece + jejich vlastnosti).

    Napklad algebra s relnmi sly a s operacemi + a .

    Co je to vraz? Je to seln nebo symbolick vyjden matematickch operac, ze kterho poznme, jak operace, v jakm poad a na jakch objektech mme provst, abychom zskali vsledek.

    Nutno si nacviit a zafixovat rzn pravidla, matematick (komutativita, asociativita, ) nebo konvenn, tkajc se jen zpisu (rzn zpisy te operace, ab = a.b = ab = ab, zlomky, priorita opertor, zvorky, ).

    Matematika by se dala pirovnat k jazyku, kde mnoina, se kterou pracujeme, pedstavuje slova, operace se svmi vlastnostmi odpovdaj gramatickcm pravidlm, jak meme slova skloovat a adit do vt a konvence zpisu vraz odpovd pravopisu.

  • Mocniny a jejich vlastnosti

    xn celoseln mocnina = x.xx n krt pronsoben x evidentn plat xa xb = xa+ b a plat tak (xa )b = xa.b (dky prvnmu vztahu meme zavst zpornou mocninu, zvolme-li b = a a dostaneme xa xa = xaa = x0 = 1 a tedy xa = 1/xa ... chceme inverzn operaci: lze umocnit levou a pravou stranu 1/n ? y1/n = (xn ) 1/n = xn.1/n = xn/n = x1 = x zavedli jsme tak odmocninu, jako inverzn funkci k mocnin

    Mocninu s racionlnm exponentem a = m/n zavedeme jako xa= xm/n = (xm )1/n = (x1/n )m kde obecn mus bt Lze dodefinovat pro vechna reln a.

  • PolynomyPolynom (mnoholen) je obecn vraz typu anxn + an1xn1 + + a1x1 + a0 . n stupe polynomu, ai koeficienty, x promnn.

    S polynomy meme provdt adu operac, lze je stat, odtat, nsobit, dlit, pi dlen polynom vak ji nemus bt vsledkem polynom.

  • vod do matematick logikyKvantifiktory:

    Obecn kvantifiktor x teme Pro vechna x plat: Existenn kvantifiktor x teme Existuje alespo jedno x, pro kter plat

    Obecn a existenn kvantifiktory jsou vlastn obrcen psmena A a E.

    Kvantifiktory v matematice pouvme pro tvrzen, v nich potebujeme vymezit pro jak velkou mnoinu uveden vlastnost plat.

    Pklady:

    Kad cel slo, pokud nen prvoslo, lze napsat jako souin dvou celch sel.Kad polynom stupn alespo prvnho m alespo jeden komplexn koen.

    (Jde o dv dleit vty v matematice, jmenuj se zkladn vta aritmetiky a zkladn vta algebry).

  • Vroky Co je vrok?

    Vrok je vta, u n lze jednoznan urit, zda je pravdiv nebo nepravdiv. I teba tehdy, pokud to v dan situaci nememe zjistit (vrok o budoucnosti, o vlastnosti vci, kterou nemme k dispozici apod.).

    Pklady:

    Dvejte pozor! Stj! Kolik je hodin? nejsou vrokyKda je zelen. Dv a dv jsou ti. Stroj je sputn. jsou vroky

    Pozor, mnoho vrok je subjektivnch, neplnch (dal podmnky jsou nevyen a je nutno si je domyslet z kontextu, za kterho jsou proneseny) nebo nejednoznanch (nejsou dobe definovan pojmy, nebo jsou opt ureny z kontextu). Napklad:

    Pr. Je mi zima. Je 12 hodin. Otevrme v sobotu. Matematika je skvl. Vesmr je nekonen. ivot m smysl. Bh existuje.

    V matematice takovto tvrzen jako vroky nepouvme, tam potebujeme pesnost a jednoznanost.

  • Sloen vroky, logick opertory Jsou opertory v poad negace, logick a (konjunkce), logick nebo (disjunkce), implikace (AB teme jestlie A pak B) a ekvivalence (AB teme A prv tehdy kdy B nebo tak A tehdy a jen tehdy kdy B).

    Opertory spojuj dva vroky v jeden sloen vrok (krom negace, ta je unrnm opertorem, lze jej aplikovat pouze na jedin vrok). Pravdivost a nepravdivost sloench vrok uvd nsledujc tabulka (p oznauje pravdiv vrok, n oznauje nepravdiv vrok):

  • Sloen vrokyPklady (zjistte pravdivost sloench vrok):

    n n 1. Prvn tvereek je erven a druh tvereek je modr. 2. Prvn tvereek je lut nebo druh tvereek je modr.3. Jestlie prvn tvereek je lut, pak druh tvereek je zelen.4. Jestlie prvn tvereek je lut, pak druh tvereek je modr.5. Jestlie prvn tvereek je erven, pak druh tvereek je lut.6. Prvn tvereek je zelen prv tehdy, kdy druh je lut.7. 2 + 3 = 6 1 + 1 = 3

    Odpovdi:

    pravda,pravda,pravda,pravda,nepravda,pravda,pravda.

  • Mnoiny a intervalyZpis mnoinyKonen a nekonen mnoinyIntervaly (oteven, uzaven, grafick znzornn na ose, )

  • Funkce a jejich vlastnostiPojem funkce y = f(x), reln funkce (jedn) reln promnn, piazuje jednoznan hodnotu y hodnot x. - definin obor Df (mnoina vech x, pro kter existuje obraz) - obor funknch hodnot Hf (mnoina vech y, kter jsou obrazem njakho x)Vlastnosti: - rostouc - klesajc - nerostouc - neklesajc - prost (vzjemn jednoznan piazen x y, existuje inverzn funkce) (uveden vlastnosti mohou platit jen na njakm intervalu) - sud (m symetrick graf podle osy y) - lich (m symetrick graf podle potku)Graf funkcePklady funkc (konstantn, linern, kvadratick, linern lomen, )

  • Prost funkceFunkce f(x) je prost, plat-li podmnka:

    .

    Prost funkce tedy nikdy nepiazuje dvma rznm bodm tent bod.Nkdy funkce nemus bt prost na celm defininm oboru, me bt vak prost na njak podmnoin z defininho oboru. Napklad funkce x2 nen prost na celm

    Je-li f(x) prost funkce, existuje k n funkce inverzn f1(x).

  • Mocninn funkceMocninu s racionlnm exponentem a = m/n zavedeme jako xa= xm/n = (xm )1/n = (x1/n )m, kde obecn mus bt .

    Spojit lze dodefinovat (avak ne stedokolskmi metodami, za vyuit tzv. analytick funkce) pro vechna reln x:

    mocninn funkce.

    Nulovost a zavdme proto, abychom vylouili konstantn funkci jako speciln ppad mocninn funkce. Nebo x0 = 1 pro vechna x a tedy konstanta.

  • Mocninn funkcea = 2; 1; 0,5; 0; 0,2; 0,5; 1; 2; 5Poznte, kter koeficient nle kter kivce?

  • Exponenciln funkce Zavede se podobn jako mocninn funkce, kterou u znme, promnn vak bude v exponentu:

    exponenciln funkce se zkladem a.

    Eulerovo slo: zskme kdy pipisujeme rok x za njak obdob n krt.Na konci obdob budeme mt na tu (1 + x/n)n korun a pro rostouc n do nekonena,tj. jakoby se roilo neustle, dostaneme prv Eulerovo slo (pi potenm vkladu 1 K a roku 1, tj. 100 %). e = 2,718281828459. (jde o iracionln slo)

    Zavedeme exponenciln funkce o zkladu e

    m obzvl hezk vlastnosti, napklad: - smrnice teny v bod x = 0 je rovna 1, - derivovnm dostaneme tut funkci

  • Exponenciln funkce , prost na celm Df.

  • Logaritmick funkce Zavede se jako inverzn funkce k exponenciln funkci:

    logaritmick funkce o zkladu a

    Vlastnosti:

    Uiten vztahy: Logaritmus a exponenciln funkce jsou prost na celm defininm oboru a jedn se o inverzn funkce, kter lze pout pi pravch rovnic jako ekvivalentn pravy.

  • Goniometrick funkcesin x, cos x tg x, cotg x

    Vlastnosti: jsou periodick, sin x a cos x jsou definovan na celm , sin x lich, cos x sud.

    tg x m definin obor a cotg x .Uiten vzorce:

  • Cyklometrick funkceVlastnosti:

    arcsin x :

    lich,

    arccos x :

    arctan x :

    lich.

    arcsin x, arcos x

    arctan x

  • Rovnice a nerovniceeen rovnic obecn, ekvivalentn pravyLinern rovniceNerovniceRovnice s absolutn hodnotouSoustava linernch rovnicKvadratick rovnice

    Postup pi provdn neekvivalentnch prav: Pozor na ppady, kdy si bu si nechtn vygenerujeme domnl een navc (napklad pi umocovn nutno provst zkouku), nebo se naopak o njak een pipravme (napklad pi odmocovn, kdy je nutno doplnit zpornou vtev odmocniny).

    Pklady viz http://math.feld.cvut.cz/0educ/priprava/, na semini budeme eit neeen pklady z tohoto textu.

  • Soustavy linernch rovnicJsou rovnice typu ... koeficienty ... promnn ... koeficienty prav strany a) Metoda stac b) Metoda porovnvac c) Metoda eliminanMetody een:Rovnice vynsobme vhodnmi koeficienty tak, aby se po jejich seten jedna z promnnch odeetla. Zskme tak jednu rovnici o jedn neznm. Po jejm vyeen dosadme toto een do libovoln z pvodnch rovnic a vyeme zbvajc promnnou.leny s jednou pro

Search related