MF semin 2011/2012 - vodon-line materily:http://fyzika.feld.cvut.cz/ ~zacek/ zde lze sthnout tuto prezentaci

Rozsah: 2890 minut, celkem 2620 minut (42 hodin)Vyuujc: Ilona Ali-Blhov, Jan Slma, Martin ekE-mail na vaeho vyuujcho: zacekm@fel.cvut.cz

Npl celho semestru: algebraick vrazy, matematick logika, mnoiny a funkce (1-5) rovnice a nerovnice (6-10) komplexn sla (11-15) posloupnosti (16-19) analytick geometrie v rovin (20-24) diferenciln a integrln poet (25-28)

Literatura: skripta M. Hynkov, V. Sedlkov: Matematicko-fyzikln semin. Matematika (http://math.feld.cvut.cz/0educ/priprava/) ve skriptech vak nen integrln a diferenciln poet, algebraick vrazy, mnoiny a matematick logika, je v nich zase kombinatorika, kter se v tomto kurzu nebude probrat

Vrazy, funkce (1-5)Podrobn obsah:

pravy algebraickch vraz,matematick symboly, operace s vroky,funkce a jejich vlastnosti obecn,linern funkce,kvadratick funkce,linern lomen funkce,mocninn funkce,logaritmick funkce, logaritmus a jeho vyuit,goniometrick funkce, vzjemn vztahy.

pravy algebraickch vrazCo je to algebra? Je to st matematiky, v n je ureno s jakmi objekty pracujeme (mnoina) a jak s nimi pracujeme (oparece + jejich vlastnosti).

Napklad algebra s relnmi sly a s operacemi + a .

Co je to vraz? Je to seln nebo symbolick vyjden matematickch operac, ze kterho poznme, jak operace, v jakm poad a na jakch objektech mme provst, abychom zskali vsledek.

Nutno si nacviit a zafixovat rzn pravidla, matematick (komutativita, asociativita, ) nebo konvenn, tkajc se jen zpisu (rzn zpisy te operace, ab = a.b = ab = ab, zlomky, priorita opertor, zvorky, ).

Matematika by se dala pirovnat k jazyku, kde mnoina, se kterou pracujeme, pedstavuje slova, operace se svmi vlastnostmi odpovdaj gramatickcm pravidlm, jak meme slova skloovat a adit do vt a konvence zpisu vraz odpovd pravopisu.

Mocniny a jejich vlastnosti

xn celoseln mocnina = x.xx n krt pronsoben x evidentn plat xa xb = xa+ b a plat tak (xa )b = xa.b (dky prvnmu vztahu meme zavst zpornou mocninu, zvolme-li b = a a dostaneme xa xa = xaa = x0 = 1 a tedy xa = 1/xa ... chceme inverzn operaci: lze umocnit levou a pravou stranu 1/n ? y1/n = (xn ) 1/n = xn.1/n = xn/n = x1 = x zavedli jsme tak odmocninu, jako inverzn funkci k mocnin

Mocninu s racionlnm exponentem a = m/n zavedeme jako xa= xm/n = (xm )1/n = (x1/n )m kde obecn mus bt Lze dodefinovat pro vechna reln a.

PolynomyPolynom (mnoholen) je obecn vraz typu anxn + an1xn1 + + a1x1 + a0 . n stupe polynomu, ai koeficienty, x promnn.

S polynomy meme provdt adu operac, lze je stat, odtat, nsobit, dlit, pi dlen polynom vak ji nemus bt vsledkem polynom.

vod do matematick logikyKvantifiktory:

Obecn kvantifiktor x teme Pro vechna x plat: Existenn kvantifiktor x teme Existuje alespo jedno x, pro kter plat

Obecn a existenn kvantifiktory jsou vlastn obrcen psmena A a E.

Kvantifiktory v matematice pouvme pro tvrzen, v nich potebujeme vymezit pro jak velkou mnoinu uveden vlastnost plat.

Pklady:

Kad cel slo, pokud nen prvoslo, lze napsat jako souin dvou celch sel.Kad polynom stupn alespo prvnho m alespo jeden komplexn koen.

(Jde o dv dleit vty v matematice, jmenuj se zkladn vta aritmetiky a zkladn vta algebry).

Vroky Co je vrok?

Vrok je vta, u n lze jednoznan urit, zda je pravdiv nebo nepravdiv. I teba tehdy, pokud to v dan situaci nememe zjistit (vrok o budoucnosti, o vlastnosti vci, kterou nemme k dispozici apod.).

Pklady:

Dvejte pozor! Stj! Kolik je hodin? nejsou vrokyKda je zelen. Dv a dv jsou ti. Stroj je sputn. jsou vroky

Pozor, mnoho vrok je subjektivnch, neplnch (dal podmnky jsou nevyen a je nutno si je domyslet z kontextu, za kterho jsou proneseny) nebo nejednoznanch (nejsou dobe definovan pojmy, nebo jsou opt ureny z kontextu). Napklad:

Pr. Je mi zima. Je 12 hodin. Otevrme v sobotu. Matematika je skvl. Vesmr je nekonen. ivot m smysl. Bh existuje.

V matematice takovto tvrzen jako vroky nepouvme, tam potebujeme pesnost a jednoznanost.

Sloen vroky, logick opertory Jsou opertory v poad negace, logick a (konjunkce), logick nebo (disjunkce), implikace (AB teme jestlie A pak B) a ekvivalence (AB teme A prv tehdy kdy B nebo tak A tehdy a jen tehdy kdy B).

Opertory spojuj dva vroky v jeden sloen vrok (krom negace, ta je unrnm opertorem, lze jej aplikovat pouze na jedin vrok). Pravdivost a nepravdivost sloench vrok uvd nsledujc tabulka (p oznauje pravdiv vrok, n oznauje nepravdiv vrok):

Sloen vrokyPklady (zjistte pravdivost sloench vrok):

n n 1. Prvn tvereek je erven a druh tvereek je modr. 2. Prvn tvereek je lut nebo druh tvereek je modr.3. Jestlie prvn tvereek je lut, pak druh tvereek je zelen.4. Jestlie prvn tvereek je lut, pak druh tvereek je modr.5. Jestlie prvn tvereek je erven, pak druh tvereek je lut.6. Prvn tvereek je zelen prv tehdy, kdy druh je lut.7. 2 + 3 = 6 1 + 1 = 3

Odpovdi:

pravda,pravda,pravda,pravda,nepravda,pravda,pravda.

Mnoiny a intervalyZpis mnoinyKonen a nekonen mnoinyIntervaly (oteven, uzaven, grafick znzornn na ose, )

Funkce a jejich vlastnostiPojem funkce y = f(x), reln funkce (jedn) reln promnn, piazuje jednoznan hodnotu y hodnot x. - definin obor Df (mnoina vech x, pro kter existuje obraz) - obor funknch hodnot Hf (mnoina vech y, kter jsou obrazem njakho x)Vlastnosti: - rostouc - klesajc - nerostouc - neklesajc - prost (vzjemn jednoznan piazen x y, existuje inverzn funkce) (uveden vlastnosti mohou platit jen na njakm intervalu) - sud (m symetrick graf podle osy y) - lich (m symetrick graf podle potku)Graf funkcePklady funkc (konstantn, linern, kvadratick, linern lomen, )

Prost funkceFunkce f(x) je prost, plat-li podmnka:

.

Prost funkce tedy nikdy nepiazuje dvma rznm bodm tent bod.Nkdy funkce nemus bt prost na celm defininm oboru, me bt vak prost na njak podmnoin z defininho oboru. Napklad funkce x2 nen prost na celm

Je-li f(x) prost funkce, existuje k n funkce inverzn f1(x).

Mocninn funkceMocninu s racionlnm exponentem a = m/n zavedeme jako xa= xm/n = (xm )1/n = (x1/n )m, kde obecn mus bt .

Spojit lze dodefinovat (avak ne stedokolskmi metodami, za vyuit tzv. analytick funkce) pro vechna reln x:

mocninn funkce.

Nulovost a zavdme proto, abychom vylouili konstantn funkci jako speciln ppad mocninn funkce. Nebo x0 = 1 pro vechna x a tedy konstanta.

Mocninn funkcea = 2; 1; 0,5; 0; 0,2; 0,5; 1; 2; 5Poznte, kter koeficient nle kter kivce?

Exponenciln funkce Zavede se podobn jako mocninn funkce, kterou u znme, promnn vak bude v exponentu:

exponenciln funkce se zkladem a.

Eulerovo slo: zskme kdy pipisujeme rok x za njak obdob n krt.Na konci obdob budeme mt na tu (1 + x/n)n korun a pro rostouc n do nekonena,tj. jakoby se roilo neustle, dostaneme prv Eulerovo slo (pi potenm vkladu 1 K a roku 1, tj. 100 %). e = 2,718281828459. (jde o iracionln slo)

Zavedeme exponenciln funkce o zkladu e

m obzvl hezk vlastnosti, napklad: - smrnice teny v bod x = 0 je rovna 1, - derivovnm dostaneme tut funkci

Exponenciln funkce , prost na celm Df.

Logaritmick funkce Zavede se jako inverzn funkce k exponenciln funkci:

logaritmick funkce o zkladu a

Vlastnosti:

Uiten vztahy: Logaritmus a exponenciln funkce jsou prost na celm defininm oboru a jedn se o inverzn funkce, kter lze pout pi pravch rovnic jako ekvivalentn pravy.

Goniometrick funkcesin x, cos x tg x, cotg x

Vlastnosti: jsou periodick, sin x a cos x jsou definovan na celm , sin x lich, cos x sud.

tg x m definin obor a cotg x .Uiten vzorce:

Cyklometrick funkceVlastnosti:

arcsin x :

lich,

arccos x :

arctan x :

lich.

arcsin x, arcos x

arctan x

Rovnice a nerovniceeen rovnic obecn, ekvivalentn pravyLinern rovniceNerovniceRovnice s absolutn hodnotouSoustava linernch rovnicKvadratick rovnice

Postup pi provdn neekvivalentnch prav: Pozor na ppady, kdy si bu si nechtn vygenerujeme domnl een navc (napklad pi umocovn nutno provst zkouku), nebo se naopak o njak een pipravme (napklad pi odmocovn, kdy je nutno doplnit zpornou vtev odmocniny).

Pklady viz http://math.feld.cvut.cz/0educ/priprava/, na semini budeme eit neeen pklady z tohoto textu.

Soustavy linernch rovnicJsou rovnice typu ... koeficienty ... promnn ... koeficienty prav strany a) Metoda stac b) Metoda porovnvac c) Metoda eliminanMetody een:Rovnice vynsobme vhodnmi koeficienty tak, aby se po jejich seten jedna z promnnch odeetla. Zskme tak jednu rovnici o jedn neznm. Po jejm vyeen dosadme toto een do libovoln z pvodnch rovnic a vyeme zbvajc promnnou.leny s jednou promnnou pevedeme na jednu stranu a vynsobme rovnice vhodnmi koeficienty tak, aby ob rovnice mly na jedn stran tent vraz. Druh strany pak polome sob rovny, m zskme jednu rovnici pro jednu neznmou. Dle viz a).Z jedn rovnice vyjdme jednu promnnou, zskan vraz dosadme do druh rovnice, m dostaneme jednu rovnici pro jednu neznmou. Dal postup je shodn s postupem v bod a). Tuto metodu je mon pout nkdy i pro sloitj rovnice ne linern.Pklad:Pklad:Pklad:

Soustavy linernch rovnic - determinantNabz se otzky typu:

- Existuje vdy een? - Neme vpoet pi uritch hodnotch koeficient selhat? - Neme existovat vce een? Apod.

Zkusme soustavu vyeit zcela obecn.

een (viz vpoet vpravo) meme napsat ve tvaru , kde je determinant. Ten mus bt nenulov, jinak uveden vzorce nemohouplatit.

Vznam determinantu: 1. Soustava rovnic m jedin een, kter lze vyjdit pedchozmi nalezenmi vzorci, 2. Soustava me mt nekonen mnoho een nebo een nemus existovat. O tom, kter ppad nastane, rozhoduj koeficienty na prav stran u a v.

Komplexn slaFormln zaveden komplexnch sel, axiomy,Oven e (a, 0).(b, 0) = (ab, 0), tj. e prvn sloka se chov z hlediska souinu jako reln slo,Oven, e (0, 1)2 = ( 1, 0),Motivace, pro byla komplexn sla zavedena, oznaen 1 = (1, 0), j = (0, 1),Algebraick tvar komplexnho sla c = a + jb, zkladn operace a pravy,Komplexn sdruen slo, , vzorec ,geometrick reprezentace komplexnho sla,goniometrick tvar komplexnho sla, modul, argument, hlavn hodnota argumentu,Moivreova vta, nsoben a dlen komplexnch sel v goniometrickm tvaru,odmocnina z komplexnho sla, nejednoznanost vsledku,binomick rovnice.

PosloupnostiPosloupnost meme zavst jako mnoinu oslovatelnch prvk, tj. ale kvli oslovn je lpe ji zavst jako funkci s defininm oboremomezenm na mnoinu pirozench sel , nezapisujeme vak f(i) ale indexujeme .Vyjden posloupnosti: zkladnm vzorcem, napklad rekurentnm vzorcem, napklad (zde musme zadat prvn len posloupnosti)

(oba vzorce definuj stejnou posloupnost, 1, 3, 7, 15, 31, .)

Vlastnosti posloupnost: konstantn, rostouc, klesajc, nerostouc, neklesajc, (intuitivn snadno pochopiteln, o co jde) omezen:

slo L je limita posloupnosti ai, existuje-li pro kad slo n takov, e plat .

Posloupnost konverguje, m-li limitu, posloupnost diverguje, nem-li limitu.

Limitu oznaujeme symbolem .

Limita soutu, rozdlu, souinu a podlu posloupnost (operace provdme po lenech, napklad ci = ai + bi)se rovna soutu, rozdlu, souinu a podlu limit jednotli-vch posloupnost, mus vak jednotliv limity existovata limita posloupnosti v podlu nesm bt nulov.

adyNekonen ada je souet len nekonen posloupnosti, tj.

Nekonen ada konverguje, pokud konverguje posloupnost stench sout sn = a1 + a2 + + an.Pak existuje souet ady jako limita posloupnosti stench sout a oznaujeme

,

Kde s je souet ady.

Pklady: ada s konstantn posloupnosti 1 + 1 + 1 + diverguje, protoe posloupnost sn neomezen roste ada 1 + 2 + 3 + 4 + diverguje, protoe posloupnost stench sout sn neomezen roste, ada 1 1 + 1 1 + diverguje, protoe sn nem limitu, ada 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + konverguje, jak se najde jej souet viz dal slajd.

Aritmetick a geometrick posloupnostAritmetick posloupnost m konstantn rozdl mezi leny, tj. ai+1 ai = d napklad 1, 4, 7, 10, 13, 16, zde diference d je rovna 3

aritmetick posloupnost je rostouc, je-li d > 0 , klesajc, je-li d < 0 pm vzorec: ai = id + b rekurentn vzorec: ai+1 = ai + d sn = sn = a1 + a2 + + an = (a1 + an) Tento vzorec nael matematik Carl Friedrich Gauss (17771855) ji na zkladn kole, kdy se jeho uitel pokouel zabavit ky na njakou dobu tak, e jim zadal sest vechna cel sla od 1 do 100. Gauss ohlsil pekvapenmu uiteli vsledek za nkolik vtein.

Geometrick posloupnost m konstantn podl mezi leny, tj. ai+1 / ai = q napklad 1, 5, 25, 125, 625, zde kvocient q je roven 5

geometrick posloupnost je rostouc, je-li q > 0 , klesajc, je-li 0 < q < 1, oscilujc, je-li q < 0 pm vzorec: ai = a1qi1 rekurentn vzorec: ai+1 = ai q

(lze odvodit ze snadno oviteln identity (1 + q + q2 + + qn)(1 q) = 1 qn+1 Pokud je |q| < 1, ada sn konverguje a plat: (uiten a asto potebn vzorec pro souet geometrick posloupnosti)

Pklad na souet geometrick ady

Zadn: Spotejte souet nekonen ady .

een: Kvocient je , prvn len je tak , dosazenm do vzorce pro souet geometrick dy dostaneme

.

Pote s nekonnou adou v anticeDoene Achiles elvu?Zenon Elejsk 450 p.n.l.:

Rychlej Achilles nikdy nedohon pomalej elvu! Uspodejme zvod Achilla a elvy za podmnek: - elva m 100 metrov nskok ped Achilem- Achiles, je 10 x rychlej ne elva.- elva a Achiles vybhnou ve stejn okamik 1. Achilles - 10 m, elva - 1 m2. Achilles - 1 m, elva 0,1 m3. Achilles 0,1 m, elva 0,01 m4. Achilles 0,01 m, elva 0,001 m5. Achilles 0,001 m, elva 0,0001 m6. Achilles 0,0001 m, elva 0,00001 m7. Achilles 0,00001 m, elva 0,000001 m8. Achilles 0,000001 m, elva 0,0000001 m9. Achilles 0,0000001 m, elva 0,00000001 m10. Achilles 0,00000001 m, elva 0,000000001 m11. Achilles 0,000000001 m, elva 0,0000000001 m12. Achilles 0,0000000001 m, elva 0,00000000001 m13. Achilles 0,00000000001 m, elva 0,000000000001 m14. Achilles 0,000000000001 m, elva 0,0000000000001 m

een: Achilles doene elvu po uraen drhySouet nekonenho potu sel me bt konenAchilleselva

loha o psoviZbodu Asmrem kbodu B (dom), vyjde mu se psem na 12km dlouhou cestu rychlost 4km za hodinu. Spolen snm vybhne pes a b a kdomovu. Tam se oto a b zpt naproti pnovi, kter za tu dobu popoel okus dle. Upna se opt oto a b kdomovu a zpt a tak pod dokola. Pes bh rychlost 15km za hodinu. Kolik kilometr nabhpes?AB

Dkaz matematickou indukcPklad:Dokame vzorec pro souet prvnch n tverc pirozench sel .

1. Pro n = 1 vzorec evidentn plat, po dosazen 1 = 1.2. Rekurentn vzorec je (pidn dalho tverce): sn+1 = sn + (n + 1). Dosame do dokazovanho vzahu:

.

Vraz napravo se rovn dokazovanmu vztahu pro n + 1 msto n a tedy mus platit pro vechna n ponaje n = 1. Tm je dkaz hotov. el: Potebujeme dokzat sprvnost vzorce pro n-t len posloupnosti z rekurentnho vzorce.

Postup:1.Dokeme platnost pro n = 1.2.Ze vztahu pro an odvodme dosazenm rekurentnho vztahu a algebraickmi pravami t vztah, kde msto n je n + 1. Protoe za n si meme dosadit postupn 2 (pro n = 1 je ji platnost dokzna), 3, 4, , vztah tedy mus platit pro vechna n a tm je dkaz hotov.

Pklady na plnou indukci

Dokate, e n rovnmi ezy mete rozznout pizzu na kousk.

(Npovda: uvaujte, e n-tm ezem, vhodn vedenm, mete zvtit poet kousk o n.)

Dokate, e souet posloupnosti tetch mocnin celch sel ponaje 1 je .

Dokate Gaussv vzorec, e souet prvnch n pirozench sel je .

Dokate, e . Jak bude souet len do nekonena?

Analytick geometrie v rovinGeometrick objekty popisujeme algebraickmi vrazy a rovnicemi, v nich promnn x a ypedstavuj souadnice v kartzsk souadnicov soustav. Geometrick lohy se pevdj na algebraick, napklad prsek(y) dvou objekt lze nalzt jako een soustavy rovnic.

Bod: A = [Ax, Ay]Smrov vektor: u = (ux, uy) nem definovno psobitPmka: Prametrick vyjden: X = A + tu Po slokch: [x, y] = [Ax, Ay] + t(ux, uy) , Po slokch jednotliv: x = Ax + tux y = Ay + tuy vhodn je-li zadn bod a smrov vektor Obecn rovnice pmky: ax + by + c = 0 kompaktnj zpis, neobsahuje parametr t a souadnice x a y jsou nevyjden sekov rovnice pmky: x/p + y/r = 1 p a r jsou body, ve kterch pmka protn osu x a y rovnice nen schopna popsat pmku, kter prochz potkem, pro n by oba parametry byly nulov Smrnicov rovnice pmky: y = kx + q k je smrnice, uruje sklon pmky, q je kvocient, uruje posunut pmky ve smru osy y rovnice nen schopna popsat svislou pmku, pro n by smrnice vychzela nekonen

KuelosekyKuelosekou rozumme krunici, elipsu, parabolu a hyperbolu. Algebraicky jde o takov rovinn tvary, kter spluj algebraickou rovnici obsahuj prvn a druh mocniny x a y.Obecn rovnice kueloseky tedy je: .Omezme se na ppady kdy , jinak bychom dostali rovnici pmky.Meme vak pipustit nulov jeden z obou parametr.

leny na lev stran lze upravit na pln tverec, m dostaneme .

Substitucemi a vydlenm e dostaneme jednodu tvar

.

Poznmka:Substituce za promnn s vlnkou geometricky znamenaj, e pechzme do posunutch promnnch tak, e do msta (x0, y0) polome potek nov souadnicov soustavy s promnnmi .