Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

1/274

Ivan Slapnicar

Josipa Baric

Marina Nincevic

MATEMATIKA 1

Zbirka zadataka

http://www.fesb.hr/mat1

Sveuciliste u Splitu

Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

Split, veljaca 2008.

7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

2/274

7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

3/274

Sadrzaj

Popis slika xiii

Predgovor xv

1. OSNOVE MATEMATIKE 1

1.1 Nejednadzbe s apsolutnom vrijednoscu . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Dokazivanje jednakosti matematickom indukcijom . . . . . . . . . . 3

1.3 Dokazivanje nejednakosti pomocu matematicke indukcije . . . . . . . 4

1.4 Binomni poucak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Zbroj koeficijenata u razvoju binoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Osnovne operacije s kompleksnim brojevima . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Realni i imaginarni dio kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.8 Konjugiranje kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.9 Modul kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.10 Algebarski oblik kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.11 Jednakost kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.12 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.13 Potenciranje kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.14 Korjenovanje kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.15 Dijeljenje kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.16 Jednadzbe u skupu kompleksnih bro jeva . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.17 Kompleksna ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.18 Sustav jednadzbi u skupu kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . 17

1.19 Sustav nejednadzbi u skupu kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . 19

v

7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

4/274

1.20 Zadaci za vjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.21 Rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. LINEARNA ALGEBRA 29

2.1 Osnovne operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Mnozenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Matricni polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Komutativnost matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Potenciranje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 Sustav linearnih jednadzbi bez rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7 Sustav linearnih jednadzbi s jedinstvenim rjesenjem . . . . . . . . . . 34

2.8 Sustav linearnih jednadzbi s beskonacno rjesenja . . . . . . . . . . . 36

2.9 Homogeni sustav linearnih jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.10 Sustav linearnih jednadzbi ovisan o parametru . . . . . . . . . . . . 39

2.11 Homogeni sustav jednadzbi ovisan o parametru . . . . . . . . . . . . 42

2.12 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.13 Rang matrice ovisan o parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.14 Sarrusovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.15 Laplaceov razvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.16 Svojstva determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.17 Racunanje determinante svodenjem na trokutasti oblik . . . . . . . . 47

2.18 Laplaceov razvoj determinante n-tog reda . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.19 Racunanje determinante n-tog reda svodenjem na trokutasti oblik . 49

2.20 Regularna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.21 Racunanje inverzne matrice Gauss-Jordanovom metodom . . . . . . 50

2.22 Racunanje inverzne matrice pomocu determinanti . . . . . . . . . . . 51

2.23 Formula za inverz matrice drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.24 Cramerovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.25 Matricna jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.26 Jednadzba s kvadratnim matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.27 Rjesavanje matricne jednadzbe invertiranjem . . . . . . . . . . . . . 55

2.28 Rastav matrice na simetricni i antisimetricni dio . . . . . . . . . . . 57

2.29 Zadaci za vjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

vi

7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

5/274

2.30 Rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITICKA GEOMETRIJA 65

3.1 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Vektorska projekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Linearna kombinacija vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5 Povrsina i visina trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6 Povrsina paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.7 Povrsina i duljina dijagonala romba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.8 Mjesoviti produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.9 Volumen paralelopipeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.10 Visina paralelopipeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.11 Volumen tetraedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.12 Jednadzba ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.13 Pramen ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.14 Okomite ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.15 Jednadzba pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.16 Okomiti pravci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.17 Ravnina paralelna pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.18 Sjeciste pravca i ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.19 Sjeciste dvaju pravaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.20 Ortogonalna projekcija tocke na pravac . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.21 Ortogonalna projekcija tocke na ravninu . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.22 Ortogonalna projekcija pravca na ravninu . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.23 Udaljenost tocaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.24 Udaljenost ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.25 Udaljenost pravca od ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.26 Udaljenost tocke od pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.27 Udaljenost paralelnih pravaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.28 Udaljenost mimosmjernih pravaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.29 Sjeciste simetrale kuta i simetrale stranice . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.30 Zadaci za vjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

vii

7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

6/274

3.31 Rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4. FUNKCIJE REALNE VARIJABLE 93

4.1 Podrucje definicije funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2 Podrucje definicije sume i ra