Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

  • View
    234

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

  • 7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

    1/274

    Ivan Slapnicar

    Josipa Baric

    Marina Nincevic

    MATEMATIKA 1

    Zbirka zadataka

    http://www.fesb.hr/mat1

    Sveuciliste u Splitu

    Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

    Split, veljaca 2008.

  • 7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

    2/274

  • 7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

    3/274

    Sadrzaj

    Popis slika xiii

    Predgovor xv

    1. OSNOVE MATEMATIKE 1

    1.1 Nejednadzbe s apsolutnom vrijednoscu . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2 Dokazivanje jednakosti matematickom indukcijom . . . . . . . . . . 3

    1.3 Dokazivanje nejednakosti pomocu matematicke indukcije . . . . . . . 4

    1.4 Binomni poucak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.5 Zbroj koeficijenata u razvoju binoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.6 Osnovne operacije s kompleksnim brojevima . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.7 Realni i imaginarni dio kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.8 Konjugiranje kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.9 Modul kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.10 Algebarski oblik kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.11 Jednakost kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.12 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.13 Potenciranje kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.14 Korjenovanje kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.15 Dijeljenje kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.16 Jednadzbe u skupu kompleksnih bro jeva . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.17 Kompleksna ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.18 Sustav jednadzbi u skupu kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . 17

    1.19 Sustav nejednadzbi u skupu kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . 19

    v

  • 7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

    4/274

    1.20 Zadaci za vjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.21 Rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2. LINEARNA ALGEBRA 29

    2.1 Osnovne operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.2 Mnozenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.3 Matricni polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.4 Komutativnost matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.5 Potenciranje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.6 Sustav linearnih jednadzbi bez rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.7 Sustav linearnih jednadzbi s jedinstvenim rjesenjem . . . . . . . . . . 34

    2.8 Sustav linearnih jednadzbi s beskonacno rjesenja . . . . . . . . . . . 36

    2.9 Homogeni sustav linearnih jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.10 Sustav linearnih jednadzbi ovisan o parametru . . . . . . . . . . . . 39

    2.11 Homogeni sustav jednadzbi ovisan o parametru . . . . . . . . . . . . 42

    2.12 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.13 Rang matrice ovisan o parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.14 Sarrusovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.15 Laplaceov razvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.16 Svojstva determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.17 Racunanje determinante svodenjem na trokutasti oblik . . . . . . . . 47

    2.18 Laplaceov razvoj determinante n-tog reda . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.19 Racunanje determinante n-tog reda svodenjem na trokutasti oblik . 49

    2.20 Regularna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.21 Racunanje inverzne matrice Gauss-Jordanovom metodom . . . . . . 50

    2.22 Racunanje inverzne matrice pomocu determinanti . . . . . . . . . . . 51

    2.23 Formula za inverz matrice drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.24 Cramerovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.25 Matricna jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.26 Jednadzba s kvadratnim matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    2.27 Rjesavanje matricne jednadzbe invertiranjem . . . . . . . . . . . . . 55

    2.28 Rastav matrice na simetricni i antisimetricni dio . . . . . . . . . . . 57

    2.29 Zadaci za vjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    vi

  • 7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

    5/274

    2.30 Rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    3. VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITICKA GEOMETRIJA 65

    3.1 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3.2 Vektorska projekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3.3 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.4 Linearna kombinacija vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    3.5 Povrsina i visina trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    3.6 Povrsina paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    3.7 Povrsina i duljina dijagonala romba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.8 Mjesoviti produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.9 Volumen paralelopipeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    3.10 Visina paralelopipeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    3.11 Volumen tetraedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    3.12 Jednadzba ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3.13 Pramen ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    3.14 Okomite ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.15 Jednadzba pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    3.16 Okomiti pravci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    3.17 Ravnina paralelna pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    3.18 Sjeciste pravca i ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    3.19 Sjeciste dvaju pravaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    3.20 Ortogonalna projekcija tocke na pravac . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    3.21 Ortogonalna projekcija tocke na ravninu . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3.22 Ortogonalna projekcija pravca na ravninu . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3.23 Udaljenost tocaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3.24 Udaljenost ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3.25 Udaljenost pravca od ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    3.26 Udaljenost tocke od pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    3.27 Udaljenost paralelnih pravaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    3.28 Udaljenost mimosmjernih pravaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    3.29 Sjeciste simetrale kuta i simetrale stranice . . . . . . . . . . . . . . . 85

    3.30 Zadaci za vjezbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    vii

  • 7/29/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka Ivan Slapnicar (2008)

    6/274

    3.31 Rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    4. FUNKCIJE REALNE VARIJABLE 93

    4.1 Podrucje definicije funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    4.2 Podrucje definicije sume i ra

Search related