matematici ptr economisti

  • View
    22

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

mate

Text of matematici ptr economisti

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    1/189

    RODICA TRANDAFIR or)I. DUDA (coordonat

    AURORA BACIU RODICA IOAN

    MATEMATICI PENTRU ECONOMITI

    Volumul 1

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    2/189

    2

    Editura FundaieiRomnia de Mine, 2001

    ISBN 973-582-336-5

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    3/189

    UNIVERSITATEA SPIRU HARET

    Facultatea de Management Financiar-Contabil

    Facultatea de Marketing i ComerExterior

    RODICA TRANDAFIR I. DUDA (coordonator)

    AURORA BACIU RODICA IOAN

    MATEMATICI PENTRU ECONOMITI

    Volumul 1

    EDITURA FUNDAIEIROMNIA DE MINE

    3Bucureti, 2001

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    4/189

    4

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    5/189

    5

    CUPRINS

    1.Elemente de algebrliniar(AURORA BACIU) ... 71.1. Sisteme de ecuaii liniare . 71.2. Sisteme de inecuaii liniare .. 111.3. Spaii vectoriale ... 141.4. Spaii euclidiene .. 201.5. Aplicaii liniare 231.6. Valori proprii i vectori proprii asociai unei aplicaii liniare . 251.7. Forme liniare. Forme ptratice 311.8. Reducerea unei forme ptratice la forma canonic. 35

    2.Programare liniar(RODICA TRANDAFIR) 49

    2.1. Introducere ... 492.2. Forma generala problemei de programare liniar. 512.3. Soluiile problemei de programare liniar.. 532.4. Metoda simplex de rezolvare a unui program liniar standard 552.5. Metoda bazei artificiale ... 612.6. Cazul n care sistemul de restricii conine inegaliti . 662.7. Dualitatea n programarea liniar 702.8. Aplicaii n economie .. 742.9. Probleme de transport .. 77

    3.Elemente de teoria grafurilor (RODICA IOAN) 88

    3.1. Introducere. Definiii ... 883.2. Matrici asociate unui graf. Proprietile grafurilor .. 923.3. Flux maxim ntr-o reea de transport ... 111

    4.Elemente de analizmatematic(I. DUDA) .. 125

    4.1. Funcii vectoriale . 1254.2. Limite iterate ... 1304.3. Continuitatea funciilor vectoriale ... 1314.4. Continuitatea spaial.. 1324.5. Derivate pariale .. 1334.6. Interpretarea economica derivatelor pariale 1354.7. Difereniabilitatea funciilor de mai multe variabile ... 1354.8. Derivate pariale de ordin superior .. 140

    4.9. Formula lui Taylor ... 142

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    6/189

    6

    4.10. Extremele funciilor de mai multe variabile .. 1434.11. Funcii implicite 1484.12. Extreme condiionate legate .. 149

    4.13. Funcii omogene de mai multe variabile ... 1514.14. Funcii omogene n economie ... 1524.15. Ecuaii difereniale . 1534.16. Ecuaii difereniale care nu conin variabile independente 1554.17. Ecuaii cu variabile separabile .. 1564.18. Ecuaii omogene 1564.19. Ecuaii reductibile la ecuaii omogene .. 1574.20. Ecuaii liniare de ordinul nti ... 1584.21. Unele aplicaii n economie a ecuaiilor difereniale . 159

    5.Elemente de matematici financiare(AURORA BACIU) ... 1635.1. Dobnda simpl... 1635.2. Dobnda compus... 1645.3. Pli ealonate (rente) .. 1695.4. mprumuturi . 174Probleme propuse (elemente de matematici financiare) 184Bibliografie . 187

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    7/189

    1.ELEMENTE DE ALGEBRLINIAR

    1.1.Sisteme de ecuaii liniare

    Un sistem de m-ecuaii liniare cu n-necunoscute x1, x2. ..., xn, sescriu sub forma:

    1nn1212111 bxa...xaxa =+++

    2n2n222121 bxa...xaxa =+++

    7

    (1.1.1.) .

    ..mnmn22m11m bxa...xaxa =+++

    unde aiji bicu i = 1,2, ..., m i j = 1,2, ..., n sunt constante reale,

    (1.1.2) =

    ==n

    1jijij m1,2,...,ibxa

    sau sub formmatriceal:

    (1.1.3.) AX = b,unde:

    A =

    =

    =

    m

    2

    1

    n

    2

    1

    mn2m1m

    n22221

    n11211

    b

    b

    b

    b

    x

    x

    x

    X

    aaa

    aaa

    aaa

    MM

    L

    LLLL

    L

    L

    Matricea A se numete matricea coeficienilor, b se numetematricea termenilor liberi, iar X matricea necunoscutelor.Studiul sistemelor cu m-ecuaii i n-necunoscute presupune

    determinarea unui sistem de valori (numere) care date necunoscutelorsverifice simultan toate ecuaiile sistemului.

    Sistemul de ecuaii pentru care se gsete un asemenea sistem denumere, sau mai multe asemenea sisteme, care s verifice simultantoate ecuaiile sistemului se numete sistem compatibil unicdeterminat, respectiv, sistem compatibil nedeterminat. n cazul n carenu exist

    nici un sistem de numere cu aceast

    proprietate, sistemul se

    va numi sistem incompatibil.

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    8/189

    TEOREMA CRONKER CAPELLI: Sistemul (1.1.1.) este un sis-tem compatibil dac i numai dac rangul matricei A este egal curangul matricei extinse , unde:

    =

    mmn2m1m

    2n22221

    1n11211

    baaa

    baaabaaa

    L

    LMLLL

    L

    L

    Dac rang A = rang = k = n, numrul necunoscutelor, atuncisistemul (1) este sistem unic determinat.

    Dac rang A = rang = k < n, atunci sistemul (1.1.1.) este

    sistem compatibil nedeterminat.Studiul sistemelor se poate realiza i prin metoda eliminriisuccesive (Metoda lui Gauss), pe lngalte metode cunoscute din liceu.

    Metoda lui Gauss const n transformri elementare succesiveale sistemului ntr-un sistem echivalent, care va elimina pe rnd cte ovariabildin toate ecuaiile sistemului cu excepia unei singure ecuaiin care coeficientul variabilei va fi egal cu unitatea.

    Dac a11 0, atunci variabila x1 din prima ecuaie poate aveacoeficientul 1 dac se mparte aceastecuaie prin a11. Elementul a11

    se va numi pivot. Prima ecuaie va deveni:(1.1.4.)

    11

    1n

    11

    n132

    11

    121 a

    bx

    a

    a...xx

    a

    ax =++++

    11

    13

    a

    a

    Pentru a elimina necunoscuta x1din ecuaiile 2, 3, ..., m, ecuaia(1.1.4.) se nmulete pe rnd cu a21, a31, ..., am1i se scade din ecuaia2, apoi din ecuaia 3 .a.m.d. Se obine ecuaiile:

    ecuaia 2:

    =

    ++

    +

    21

    11

    12n21

    11

    n1n2321

    11

    1323221

    11

    1222 a

    abbxa

    aaa...xa

    aaaxa

    aaa

    .................ecuaia m:

    =

    ++

    +

    1m

    11

    1m21m

    11

    n1mn3m

    11

    133m21m

    11

    122m aa

    bbxa

    a

    aa...xa

    a

    aaxa

    a

    aa

    8

    Se obine astfel un sistem echivalent cu sistemul iniial n carenecunoscuta x1se afldoar n prima ecuaie, cu coeficient unu.

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    9/189

    (1.1.5.)

    =

    +

    =

    ++

    =+++

    m111

    1mnm1

    11

    mnmn2m1

    11

    12m2

    n2111

    1n2n221

    11

    1222

    11

    1

    n11

    1n

    211

    12

    1

    aa

    bbxa

    a

    aa...xa

    a

    aa

    xaa

    aa...xa

    a

    aa

    a

    bx

    a

    a...x

    a

    ax

    L

    2111

    12 aa

    bb

    n etapa urmtoare, dac x2 are coeficientul nenul n ecuaia a

    doua, se va alege acesta pivot i, prin aceeai metod, se va urmrieliminarea necunoscutei x2din toate ecuaiile cu excepia ecuaiei doiunde va avea coeficientul unu.

    Algoritmul va continua pn cnd nu vom mai putea eliminadupprocedeul de mai sus nici o variabil.

    Sistemul (1.1.5.) echivalent cu sistemul (1.1.1.) se poate calculai schematic cu ajutorul metodei dreptunghiului.

    Se scriu coeficienii tuturor necunoscutelor i termenii liberi aisistemului. Calculul unui sistem echivalent se obin astfel: linia nti

    se mparte prin elementula11 0, a11 pivotul se ncadreaz. Elementele coloanei ntisunt zero. Celelalte elemente din celelalte linii se calculeazformndun dreptunghi ce are ca diagonal segmentul ce unete loculelementului de calculat i pivotul. Noul coeficient va fi egal cudiferena dintre produsul coeficienilor de pe diagonala pivotului iprodusul coeficienilor de pe cealalt diagonal, diferena care semparte la pivot.

    S

    chematic obinem:

    a11 a12... a1n b1a21 a22... a2n b2...........am1 am2....amn bm

    1 a'12...a'1n b'10 a'22... a'2n b'2.....0 a'm2... a'mn b'm

    9

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    10/189

    unde: n1,ja

    aa

    11

    j1j1 ==

    11

    i1j1ij11ij a

    aaaaa =

    pentru i = n1,jm,1 =

    11

    1i111ii a

    baabb

    =

    pentru i = m,2

    11

    11 a

    bb =

    n mod similar, n etapele urmtoare se obin sisteme echivalentecu sistemul iniial.

    n etapa a n-a se obine:

    1 0 ... 0 1)-(n11)-(n

    1n)1n(1m,1 ba...a

    +

    0 1 ... 0 1)-(n21)-(nn2)1n( 1m2 ba...a +

    0 0 ... 1 1)-nm1)-(n

    mn1n(

    1m,m ba...a

    +

    Soluia sistemului se citete:

    10

    =

    =

    ++

    +

    +

    n)1n(

    mn1mm)1n(

    mn

    n)1n(

    n11m)1n(1m1

    )1n(11

    xaxabx

    xaxabx

    LK

    L

    1)-(n1m

    Dacm < n i rang A = rang = m, sistemul este compatibilnedeterminat.

    Exemplu. Sse rezolve sistemul:

    =

    =++

    =++

    2x2xx2x

    4x5xxx

    2x4x3xx2

    4321

    4321

    4321

    S

    oluie: Folosind metoda lui Gauss prezentatmai sus, obinem:

  • 5/24/2018 matematici ptr economisti

    11/189

    2 33 44 1 1 221 1 5 1 41 2 1 2 2

    1 3/2 2 1/2 10 1/2 7 3/2 30 1/2 7 3/2 3

    1 0 19/2 4 100 1 14 3 60 0 0 0 0

    Deoarece n ultimul sistem toate elementele a33, a34, b4sunt nule,algoritmul nu mai poate continua. Sistemul este compatibil nedeter-

    minat deoarece rang A = rang = 2 (determinantul maxim nenul ce sepoate forma este de ordin 2). Necunoscute principale sunt x1i x2.S

    oluia sistemului este:

    +=

    =

    Rx

    R

    3x146

    42/1910

    4

    3

    432