teste matematici

8/9/2019 teste matematici

http://slidepdf.com/reader/full/teste-matematici 1/42

¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ ¡ § ¨ © © ¦ © ¦ ¡ ¦ £ £ ¢

! " " # $ % & ' ( " ) $ 0 ( 1 2 " 3 ( $ 4 ! " " ) ' ( $ % ' 2 ' 5 " % $ % 4 ! " " # $ % & ' ( " ) $

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Fie V o mulime nevidă de elemente şi K un corp de scalari şi fie:

- o lege de compoziie internă (notată aditiv)“+”: V V V →× y x y x +→),(

- o lege de compoziie externă (notată multiplicativ) “. “: V V K →× xk xk ⋅→),(

Spunem că tripletul (V,+,.) este spaiu liniar (sau spaiu vectorial peste corpul K) notat V/K dacă:

1. (V,+) formează o structură de grup abelian2. (V,.) satisface axiomele:

V x x xastfelcacorpulK unitatedinelementul K

x x K V x

x x x K V x

y x y x K V y x

∈∀=⋅∈∃

⋅⋅=⋅⋅⇒∈∈∀

⋅+⋅=⋅+⇒∈∈∀

⋅+⋅=+⇒∈∈∀

)(1)(1)(

)()(,,)(

)(,,)(

)(,,)(

β α β α β α

β α β α β α

α α α α

7 4 $ ( # ! " "

a) Dacă K este identic cu R sau C, atunci spaiul vectorial peste K este real, respectivcomplex.

b) Elementele lui V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari.

8 $ 5 ) 9

==∀∈==≤≤

≤≤ n jmi K aa A K nmM ijn jmiij ,1,,1)(/)();,(

11 cu operaiile:



n jmiijij

def

ba B A≤≤

≤≤+=+11

.

)( unde

n jmiij

n jmiij

b B

a A

≤≤≤≤

≤≤≤≤

=

=

11

11

)(

)(

n jmiij

def

ak Ak ≤≤

≤≤⋅=⋅ 11)(

3 ( & " % 9 ) (

pentru m=1 sau n=1 se obine spaiul matricelor cu o linie sau cu o coloană

¨ 3 ¡ ¢ " £ " 5 $ 2 4 " 9 2 $ 0 © $ ( $ 3 $ 2 & ( $ 9 2 9 " # $ % & ' ( ¤ 2 & ( ¥ ' 7 3 ¡

¥ $ 6 " 2 " ! " $

a) Fiind dai vectorii { }nvv ,...,1 şi scalarii nα α ,...,1 vectorul nnvvvv α α α +++= ...2211 se

numeşte combinaie liniară a vectorilor nivi ,1, =

b) Spunem că v este un vector combinaie liniară a sistemului de vectori { }I iivS ∈= dacă există

în S vectoriiniii vvv ,...,,

21şi scalarii nα α ,...,1 astfel încât

ninii vvvv α α α +++= ...21 21

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Vectorii nvvv ,...,, 21 se numesc liniar independeni dacă pentru orice

K i ∈α , ∑=

=⇒=n

i

iiiv1

00 α α )(∀ ni ,1=

7 4 $ ( # ! " $

Dacă sistemul de vectori { }nvvS ,...,1= este liniar independent, atunci orice

subsistem al său este tot liniar independent.

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Vectorii nvvv ,...,, 21 se numesc liniar dependeni dacă nu sunt liniar independeni, adică există

K i ∈α , nu toi nuli, astfel încât ∑=

=n

i

iiv1

0α .

7 4 $ ( # ! " $

a) Dacă sistemul de vectori { }nvvS ,...,1= este liniar dependent, atunci orice suprasistem al său

este tot liniar dependent.



b) Sistemul de vectori { }vS = este liniar dependent ⇔ 0=v . Orice sistem de vectori care

conine vectorul nul este liniar dependent.

( ' ' 3 " ! " $

a) Vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar dependeni ⇔ cel puin unul este o combinaie liniară

a celorlali. b) Dacă vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar independeni, iar { }121 ,...,, +nvvv sunt liniar

dependeni atunci 1+nv este o combinaie liniară a vectorilor { }.,...,, 21 nvvv

Demonstraie

a) { }n x x x ,...,, 21 liniar dependeni ⇒ )(∃ n scalari ,,...,1 nα α nu toi nuli, astfel încât

∑=

=n

i

ii x1

.0α Fie nn x x x1

21

211 ...0

α

α

α

α α −−−=⇒≠

Reciproc: dacă 0...1... 221221 =−−−⋅⇒++= nnnn x x x x x x α α α α unde coeficienii

nα α −− ,...,,1 2 nu sunt toi nuli );01( ≠

b) { }121 ,...,, +n x x x sunt liniar dependeni 1,1,)( +=∃⇒ niiα nu toi nuli astfel încât

∑+

=

=1

1

0n

i

ii xα

01 ≠+nα altfel ni x i

n

i

ip

ind linii ,1)(00

1

.

..=∀=⇒=∑

=

α α şi se obine contradicie cu ipoteza

Deci: n

n

n

nn

n x x x x

1

2

1

21

1

11 ...

+++

+ −−−−=

α

α

α

α

α

α



¥ $ 6 " 2 " ! " $

Sistemul de vectori { }nii g G ,1== se numeşte sistem de generatori pentru V dacă orice vector din

V este o combinaie liniară finită de vectori din G, adică

K G g g V v nn ∈∈∃∈∀ α α ,...,,,...,)()( 11 astfel încât ∑==

n

iii g v 1α

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Un sistem de vectori { }I iib B ∈= formează o bază a spaiului vectorial V dacă:

i) B este sistem de vectori liniar independeniii) B este sistem de generatori pentru V.

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Spaiul vectorial V se numeşte finit dimensional dacă are o bază finită.

( ' ' 3 " ! " $

Într-un spaiu vectorial, orice vector se scrie în mod unic ca o combinaie liniară de vectori ai

bazei: ∑=

=n

i

iieav1

, unde { }nee E ,...,1= bază.

Demonstraie: Fie V spaiu vectorial cu baza { } .,,...,1 V vee E n ∈= Rezultă că E este sistem de

generatori pentru V şi ∑=

=n

i

iieav1

, ∑=

=n

i

iiebv1

⇒ ∑=

=−⇒=⋅−n

i

iiind lin

iii baeba1

..,00)( adică

niba ii ,1)(, =∀=

¥ $ 6 " 2 " ! " $

naa ,...,1 se numesc coordonatele vectorului v în baza E şi vom nota:

[ ]

==

n

t

n E

a

a

aav

.

.

.

),...,(

1

1



¥ $ 6 " 2 " ! " $

Se numeşte dimensiune a unui spaiu vectorial finit dimensional X, cardinalul unei baze (numărulde vectori al unei baze).

( ' ' 3 " ! " $

Într-un spaiu vectorial de dimensiune n, orice sistem de n vectori liniar independent formează o bază.

Demonstraie

n X =dim şi { }n x xM ,...,1= liniar independent. Rămâne de arătat că M este şi sistem de

generatori. Fie ; X x∈ sistemul de vectori { } x x x n ,,...,1 liniar dependent ⇒ x este o combinaieliniară de vectori .,...,1 n x x

7 4 $ ( # ! " $

Într-un sistem n vectori liniar independeni, condiia de a fi sistem de generatori este înlocuită de

relaia X n dim= .

¢ ' £ " 6 " % ( $ % ' ' ( £ ' 2 & $ ) ' ( 9 2 9 " # $ % & ' ( ) 4 % " 5 7 ( $ 7 3 $ "

În spaiul V considerăm bazele:

{ }niie E ,1== , { }

n j jh H ,1=

=

şi coordonatele [ ] E j E h x , cunoscute.

Să se determine coordonatele [ ] . H x



[ ] n j

c

c

c

h

nj

j

j

E j ,12

1

=

=Μ

[ ]

=

n

E

x

x

x

xΜ

2

1

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Se numeşte matricea de trecere de la baza E la baza H matricea:

( )n jiij

nnnn

n

n

c

ccc

ccc

ccc

C ,1,

21

22221

11211

==

=

Μ

ΜΜΜΜ

Μ

Μ

(are drept coloane coordonatele vectorilor h exprimate în

baza E).

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] H E M hhhC not

E n E E ,,...,,

.

21 ==

Notăm [ ] ( )t

n H y y x ,...,1= coordonatele vectorului x în baza H pe care trebuie să le determinăm.

Avem: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑= = = = ==

=

===

n

i

n

j

n

j

n

i

i

n

j

jij

n

i

iij j j jii e ycec yh ye x x1 1 1 1 11

.

Deoarece scrierea într-o bază este unică, rezultă sistemul liniar:

∑=

==n

j

i jij ni x yc1

,1, ⇔

=+++

=+++

=+++

nnnnnn

nn

nn

x yc yc yc

x yc yc yc

x yc yc yc

...

...

...

2211

22222121

11212111

Μ

sau scris matriceal:



[ ] [ ] [ ] [ ] E H E H xC x x xC ⋅=⇒=⋅ −1 -( $ ( $ 3 " 2 & ¡ ( $ ) ! " £ $ & ( 2 4 6 ' ( 5 ( $ % ' ' ( £ ' 2 & $ ) ' (

9 2 9 " # $ % & ' ( ( " 2 & ( $ % $ ( $ £ $ ) 7 3 % 2 ' 2 " % ¡ 4 ! " 9 ) 9 " ) 9 2 ' ( $ % ( $ 0

În R Rn

/ presupunem ( ) [ ] E t

n x x x x == ,...,1 , E baza canonică şi { } { } niinii g G f F ,1,1 ; == == altedouă baze din .n R Avem: [ ] [ ] E F xC x ⋅= −1 şi [ ] [ ] E G x D x ⋅= −1 cu matricele de trecere notate

),( F E M C = respectiv ),( G E M D = şi se obine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] F GG F E xC D x x D xC x 1−=⇒⋅=⋅=

( $ ( $ 3 " 2 & ¡ ( $ ) ! " £ $ & ( 2 4 6 ' ( 5 ( $ % ' ' ( £ ' 2 & $ ) ' ( 9 2 9 " # $ % & ' ( ( " 2 & ( $ % $ ( $ £ $ ) ' 7 3 ¡

' ( $ % ( $ ) ) &

unde ),(1 F GM C D =− este matricea de trecere la schimbarea bazei.

¢ $ & ' £ $ 2 9 5 $ ( " % $ £ $ ( $ 3 ' ) # ( $ 4 " 4 & $ 5 $ ) ' ( ) " 2 " ( $

¢ $ & ' £ $ ) " 5 " 2 ¡ ( " " % ' 5 ) $ & $ ¡ § 9 4 4 ¢ £ ' ( £ 2 ¤

permite:

• rezolvarea unui sistem compatibil de “n” ecuaii cu „n” necunoscute• determinarea rangului matricei, a matricei inverse• determinarea coordonatelor modificate ale vectorilor odată cu schimbarea bazei.

Sistemul ,b Ax = ( ) ,,1, n jiija A

== ( ) ,,...,1

t

nbbb = ( )t n x x x ,...,1= este adus prin transformări

elementare la forma echivalentă: b A Ix 1−=

Se aplică sistemului o transformare elementară T, astfel încât în etapa i, matricea ataşată

sistemului să aibă coloana i egală cu cea corespunzătoare din matricea unitate .n I

0)( ≠i

iia se numeşte " # ' & 9 ) & ( 2 4 6 ' ( 5 ¡ ( " "

Ecuaia i se împarte la pivot, iar celelalte (n-1) se înlocuiesc cu ecuaia echivalentă, rolultransformării fiind de a anula coeficienii lui i x în aceste ecuaii, ceea ce implică următoarele

etape la o iteraie:

- linia pivotului se împarte la pivot;- coloana pivotului se completează cu 0;- primele (i-1) coloane rămân neschimbate;- elementele celorlalte coloane se calculează cu regula pivotului (regula dreptunghiului)



Schematic,( $ 1 9 ) " # ' & 9 ) 9 "

sau a dreptunghiului este:

xba p

Λ; x devine ( )

pab px x −='

pab x x −='

Pentru linia pivotului 0)( ≠i

iia se fac următoarele operaii:

)()()1( / i

ii

i

ik

i

ik aaa =+ nk ,1= , ;ik ≠

)()()1( / i

ii

i

i

i

i abb =+

iar pentru celelalte linii avem:

)()()()()()1( / i

ii

i

li

i

ik

i

lk

i

ii

i

lk aaaaaa −=+;

)()()()()()1( / i

ii

i

i

i

li

i

l

i

ii

i

l ababab −=+

$ ( & ' ( " ) " 2 " ( " $ 4 ! " " # $ % & ' ( " ) $

Fie , K

X K

Y spaii vectoriale peste acelaşi corp K.

¥ $ 6 " 2 " ! " $

O funcie Y X T →

: se numeşte

' $ ( & ' ( ) " 2 " (

dacă:1) ( ) )()()(:, yT xT y xT X y x +=+∈∀ (funcie aditivă)

2) ( ) )()(:, xT xT X x K ⋅=∈∈∀ α α α (funcie omogenă)

7 4 $ ( # ! " $

Condiiile 1) şi 2) din definiie se pot înlocui cu:

( ) )()()(:,,, yT xT y xT K X y x ⋅+⋅=+∈∈∀ β α β α β α

8 $ 5 ) $

1. X X T →: x xT =)( operator identitate pe X

2. [ ] [ ] X R X RT nn 1: −→ ')( P P T = operatorul de derivare





$ % & ' ( " ¢ " # ) ' ( " ( ' ( " " 0

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Fie V un spaiu vectorial n - dimensional peste corpul de scalari K şi V V T →: o

aplicaie liniară. Un scalar K ∈λ se numeşte# ) ' ( $ ( ' ( " $

pentru aplicaia liniară T dacă

există cel puin un vector nenul V v∈ astfel încât :

vTv λ = (1)

Vectorul nenul V v∈ care verifică relaia (1) se numeşte# $ % & ' ( ( ' ( " 9

pentru aplicaia liniară

T asociat valorii proprii .λ .

¥ $ & $ ( 5 " 2 ( $ # $ % & ' ( " ) ' ( ¢ " # ) ' ( " ) ' ( ( ' ( " " $ 2 & ( 9 ' ) " % ! " $ ) " 2 " ( ¡

Fie ': V V T → o aplicaie liniară cu matricea aplicaiei T A în baza { }naa B ,...,1= . Relaia (1)

se mai scrie:

0=− vTv λ sau: V nT v E A 0)( =− λ (2)

unde:

=

nnn

n

T

aa

aa

A

Λ

ΜΜΜ

Λ

1

111

,

=

10

01

Λ

ΜΜΜ

Λ

n E şi

=

nv

v

v Μ1

Relaia (2) conduce la sistemul:

=−+++

=++−+

=+++−

0)(...

0...)(

0...)(

2211

2222112

1221111

nnnnn

nn

nn

vavava

vavava

vavava

λ

λ

λ

Λ (3)

Deci coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluiile sistemului omogen (3). Soluiilesistemului omogen (3) nu sunt toate nule, numai dacă determinantul sistemului este nul.

Determinantul sistemului (3) este:



λ

λ

λ

λ

−

−

−

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

P

Λ

ΜΜΜΜ Λ

Λ

21

22212

12111

)(

se numeşte polinomul caracteristic asociat aplicaiei liniare T. Ecuaia 0)( =λ P se numeşte

ecuaie caracteristică a aplicaiei T.

¤ $ ' ( $ 5 ¡

Fie V V T →: , K ∈λ este o valoare proprie a aplicaiei liniare T dacă şi numai dacăeste rădăcină a ecuaiei caracteristice.

7 4 $ ( # ! " "

1. Polinomul caracteristic, deci şi ecuaia caracteristică nu depind de baza aleasă.2. Vectorii proprii asociai aplicaiei liniare V V T →: pentru valorile proprii determinate

se obin înlocuind valorile proprii în sistemul (3) şi rezolvând sistemul. Soluiile

sistemului vor fi coordonatele vectorilor proprii asociai aplicaiei T în raport cu baza B.3. Fiecărei valori proprii λ îi corespund o infinitate de vectori proprii. Sistemul omogen (3)

este compatibil nedeterminat, deoarece 0)( =λ P . Mulimea soluiilor formează unsubspaiu numit subspaiu propriu (spectrul) ataşat valorii proprii respective. Se notează:

{ }vTvV vv E λ λ =−∈= },0{/

4. Un vector propriu v poate fi asociat ca vector propriu unei singure valori proprii asociateaplicaiei liniare T. Observaia se demonstrează presupunând că pentru v, vector propriual lui T )(∃ două valori proprii adică: vTv λ = şi vTv β = , V v 0≠ vv β λ =⇒ sau

( ) ⇒==−⇒=− β λ β λ β λ ,00v presupunerea este fals

( 1 2 " 3 ( $ 4 ! " " ) ' ( # $ % & ' ( " ) $ % 4 ! " " 5 $ & ( " % $ ¢ " 4 ! " " 2 ' ( 5 & $

Fie V spaiu vectorial real



¥ $ 6 " 2 " ! " $

Funcia RV V →×:, se numeşte produs scalar pe mulimea V dacă:

1) x y y x ,, = V y x ∈∀ ,)( (simetrie)

2) y x y x y x x ,,, '' +=+ V y x ∈∀ ,)( (aditivitate în prima variabilă)

3) y x y x ,, ⋅=⋅ α α X x R ∈∈∀ ,)( α (omogenitate în prima variabilă)

4) 0, ≥ x x ,)( X x∈∀ 00, =⇔= x x x

7 4 $ ( # ! " $

Produsul scalar , este liniar şi în a doua variabilă, deci este o funcională biliniară

pozitiv definită.

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Se numeşte spaiu euclidian un spaiu pe care s-a definit un produs scalar.

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Funcia RV →:. cu x x x ,= se numeşte normă a spaiului euclidian.

( ' ' 3 " ! " $

Norma are următoarele proprietăi:

1) 0> x şi V x x x ∈∀=⇔= )(,00

2) x x ⋅=⋅ α α , V x R ∈∈∀ ,)( α

3) V y x y x y x ∈∀+≤+ ,)(, (inegalitatea triunghiului)

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Vectorii x şi y se numesc ortogonali dacă 0, = y x

( ' ' 3 " ! " $

Un sistem de vectori nenuli { }m x x ,...,1 şi ortogonali doi câte doi este liniar independent.

¥ $ 6 " 2 " ! " $



O bază a spaiului V se numeşte ortogonală dacă şi numai dacă vectorii ei sunt ortogonali doi câtedoi.

( ' ' 3 " ! " $

Într-un spaiu finit dimensional V există o bază ortogonală.

( ' % $ £ $ 9 ) § ( 5 5 ¢ % 5 " £ & £ $ ' ( & ' 1 ' 2 ) " 3 ( $ 9 2 $ " 7 3 $ ' ( $ % ( $

Se pleacă de la o bază oarecare a spaiului euclidian { }nbbb B ,...,, 21= şi se vor construi vectorii:

11,2211

12122

11

... −−−−−−=

−=

=

nnnnnnn aaaba

aba

ba

λ λ λ

λ

Λ

Scalarii ijλ se vor determina punând condiia ca oricare doi din vectorii naaa ,...,, 21

să fie ortogonali.

22

233223

11

133113

11

122112

,

,0,

,

,0,

,

,0,

aa

abaa

aa

abaa

aa

abaa

=⇒=

=⇒=

=⇒=

λ

λ

λ

Se obine: j j

ji

ijaa

ab

,

,=λ

¥ $ 6 " 2 " ! " $

O bază a spaiului euclidian V se numeşte ortonormală dacă:

- este o bază ortogonală- norma fiecărui vector este 1

8 $ 5 ) 9



În n R baza canonică este ortonormală.

¤ $ ' ( $ 5 ¡

Într-un spaiu euclidian finit dimensional există o bază ortonormală.

Fie o bază ortogonală { }naaa A ,...,, 21= construită prin procedeul Gramm-Schmidt. Se va

construi o bază ortonormală din baza A prin împărirea fiecărui vector la norma sa.

Se obine baza:

n

nn

a

ac

a

ac

a

ac === ,...,,

2

22

1

11

¥ " 4 & 2 ! 4 ! " 9 5 $ & ( " %

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Funcia RV V d →×: , ,),( y x y xd −= V y x ∈∀ ,)( se numeşte distană în V.

Un spaiu vectorial pe care s-a definit o distană se numeşte spaiu metric.

( ' ' 3 " ! " $

Funcia distană are proprietăile:

1) 0),( ≥ y xd şi y x y xd =⇔= 0),(

2) V y x x yd y xd ∈∀= ,)(),,(),(

3) V z y x y z d z xd y xd ∈∀+≤ ,,)(),,(),(),(

£ ¥ ¦ ¢ £ ¤ ¦ © ¦ ¤ ¢ ¦ ¥ ¡ ¡ © © £ © § © ¦ ¢ ¦ © ¡ £ ¦ ©

' ( 5 9 ) ( $ ( ' 7 ) $ 5 $ " £ $ ( ' 1 ( 5 ( $ ) " 2 " ( ¡ ¡ ¡ ¤ ¢ " 5 ' £ $ ) 9 ) 9 " 5 & $ 5 & " %

Modelarea unei probleme cu coninut economic care implică optimizare liniară necesită parcurgerea următoarelor etape:



1. Identificarea variabilelor modelului, a funciei obiectiv (funcia de eficienă) ce se cereoptimizată, a restriciilor cărora le sunt supuse variabilele modelului şi eventualîntocmirea unui tabel de date;

2. Determinarea modelului matematic asociat problemei de programare liniară (PPL),rezultate;

3. Aducerea PPL la forma standard, cea pentru care este elaborat algoritmul de optimizare a

soluiei primal admisibile de bază;4. Determinarea unei baze admisibile;5. Aplicarea Algoritmului Simplex Primal pentru determinarea programului optim de bază

şi a optimului funciei obiectiv şi verificarea rezultatelor;6. Interpretarea rezultatelor din punct de vedere economic şi luarea deciziei optime în plan

economic.

' ( 5 $ 6 9 2 £ 5 $ 2 & ) $ ) $ ¡ 4 ' ) 9 ! " " % ) 4 " 6 " % ( $ " 2 & $ ( ( $ & ( $ $ % ' 2 ' 5 " % ¡ ¡

O problemă de programare matematică reprezintă determinarea optimului (maximului sauminimului) unei funcii de variabilă vectorială care îndeplineşte anumite condiii (restricii,legături) de tip inecuaii sau ecuaii, precum şi condiii de nenegativitate ale variabilelor funciei.

Dacă toate funciile care intervin în formularea problemei de programare matematică sunt liniareatunci problema se numeşte problemă de programare liniară (PPL). În caz contrar se numeşte problemă de programare neliniară.

1) ' ( 5 4 & 2 £ ( £ ¢

este cea care conine restricii de tip ecuaii( )nn xc xc xcoptimz +++=− ...2211

- restricii de tip egalitate

=+++

=+++

=+++

mnmnmm

nn

nn

d xa xa xa

d xa xa xa

d xa xa xa

...

...

...

2211

22222121

11212111

Λ

- condiii de nenegativitate0,...,0,0 21 ≥≥≥ n x x x

Matricial, forma standard poate fi exprimată astfel:



≥

=

0 X

D AX

X optimC T

unde

)

( )

( )

( )T m

T

n

T

n

nmij

d d d D

cccC

x x x X

a A

,...,,

,...,,

,...,,

21

21

21

=

=

=

=×

7 4 $ ( # ! " "

Se poate ca restriciile de tip inegalitate să fie aduse la forma unor restricii de tip egalitate (adicăcele cerute de forma standard) prin adunarea sau scăderea unui termen numit variabilă ecart sauvariabilă de compensare.

∑===

n

j

T j j X C xc x z

1)( - se numeşte funcie obiectiv (funcia economică)

- spaiul n R al vectorului X, respectiv C – se numeşte spaiul activităilor - vectorul m R D∈ se numeşte vectorul resurselor - spaiul m R se numeşte spaiul resurselor

2) ' ( 5 $ % 2 ' 2 " % $

≥

≥

0

min

X

D AX X C

T

sau

≥

≤

0

max

X

D AX X C

T

O problemă este în formă canonică dacă toate restriciile sunt concordante şi toate variabilele suntnenegative.

Pentru problema de minim, concordante sunt inegalităile cu semnul "."≥

Pentru problema de maxim, concordante sunt inegalităile cu semnul "."≤

¦ ) 1 ' ( " & 5 9 ) " 5 ) $ 8 ( " 5 )



Pentru rezolvarea problemelor de programare liniară s-a impus algoritmul simplex datorat luiG.B. Dantzig (1951).Metoda permite explorarea sistematică a mulimii programelor prin trecereade la un program de bază la alt program de bază “vecin” care este „cel puin la fel de bun” ca programul precedent. Metoda furnizează criterii pentru punerea în evidenă a faptului că problema are optim infinit, precum şi a cazului în care mulimea programelor este vidă.

Fie sistemul de m ecuaii liniare cu n necunoscute:

(1) b Ax = unde .,, nm

nm R x RbM A ∈∈∈ ×

Presupunem rang(A)= .nm ≤ Dacă m=n sistemul (1) are soluia unică ,1b A x −= iar dacă nm <

sistemul are o infinitate de soluii.

Fie B o matrice pătratică formată cu m coloane liniar-independente ale matricii A, numită bază:

( ).,...,1 m j j

aa B =

Notăm: B= { }m j j ,...,1 şi { }.,...,1

_

m j j

B

x x x =

Matricea formată cu coloanele lui A care nu sunt în B va fi notată cu R, iar R { }−= n,...,1 B.

Notăm cu R x vectorul format cu componentele lui x care nu se află în . B x

Componentele lui B x se numesc# ( " 7 " ) $ £ $ 7 3 ¡

, iar componentele lui R x se numesc# ( " 7 " ) $ 4 $ % 9 2 £ ( $ 0

Sistemul (1) devine: b Rx Bx R B =+ de unde se obine forma explicită

(2) R B Rx Bb B x 11 −− −=

O soluie n R x∈ a sistemului (1) se numeşte4 ' ) 9 ! " $ £ $ 7 3 ¡

, dacă pentru componentele sale

diferite de zero corespund coloane liniar independente ale lui A. Deoarece nm Arang <=)( , cel

mult m componente ale unei soluii de bază pot fi nenule. Dacă soluia de bază are exact mcomponente nenule , ea se numeşte

2 $ £ $ 1 $ 2 $ ( & ¡

, în caz contrar – £ $ 1 $ 2 $ ( & ¡ 0

O soluie de bază se poate obine din (2) dacă anulăm variabilele secundare:



(3)

=

= −

0

1

R

B

x

b B x

Această soluie de bază corespunde bazei B formată cu m coloane liniar independente ale lui A.

Se asociază în acest mod la fiecare bază o soluie de bază.

Fie ( ).,...,1 m j j aa B = o bază. Consideră forma explicită a sistemului b Ax = :

(4) R B Rx Bb B x 11 −− −= .

unde R este matricea formată cu coloanele lui A care nu sunt în B.

Fie B={ }m j j ,...,1 şi R { }−= n,...,1 B.

Dacă notăm B xb B =−1 şi ,1,1n j ya B B

j

j ≤≤=⋅− (4) devine:

(5) ∑∈

−= R j

j

B

j

B B x y x x , iar pe componente:

(6) ∑∈

∈−= R j

j

B

ij

B

i

B

i Bi x y x x .,

Soluia de bază corespunzătoare bazei B este dată de:

(7)

=

=

0 R

B B

x

x x

Această soluie de bază este program dacă:

(8) .01 ≥− b B

O bază B care verifică relaia (8) se numeşte7 3 ¡ ( " 5 ) £ 5 " 4 " 7 " ) ¡

.

Funcia obiectiv se poate scrie inând seamă de relaia (2):

( ) RT

R

T

B

T

B

RT

R

BT

B xc R Bcb Bc xc xc z −−=+= −− 11



unde Bc şi Rc sunt vectori coloană având componentele Bici ∈, şi respectiv ., Rici ∈

Notăm cu: .1,, n j yc z xc z B

j

T

B

B

j

BT

B

B ≤≤==

Observăm că B reprezintă valoarea funciei obiectiv pentru soluia de bază

.0, == R B B x x x

Cu notaiile de mai sus funcia z devine:

(9) ( )∑∈

−−= R j

j j

B

j

B xc z z z

La fiecare bază utilizată B corespunde un tabel simplex care are în prima coloană variabilele de

bază (vectorul B x ), în a doua coloană valorile variabilelor de bază (vectorul B

x _ ), iar în

următoarele n coloane, vectorii .1, n j y B j ≤≤ Pe o linie suplimentară se trec funcia obiectiv

xc z T = , valoarea sa în baza B (adică B _

), precum şi cantităile n jc z j

B

j ≤≤− 1, , necesare în

aplicarea algoritmului simplex.

Este util să scriem alături de coloana B x vectorul Bc , iar alături de lista variabilelor

,1, n j x j

≤≤ coeficienii ,1, n jc j

≤≤ din funcia obiectiv.

1c jc nc

V.B. V.V.B.1 x …

j x …n x

Bc B x b B x ⋅= −1 B y1 … j B

j a B y ⋅= −1 … B

n y

z BT

B

xc z = 11

c z B − … j

B

j

T

B j

B

j

c ycc z −=− …n

B

n

c z −

Fie problema de minim sub forma standard:



(10)

≥

=

0

)min(

x

b Ax

xcT

¤ $ ' ( $ 5 ¡

Fie B o bază primal admisibilă. Dacă

(11) ,)(,0 R jc z j

B

j ∈∀≤− atunci programul de bază (7) este o soluie optimă a problemei de

programare liniară (10).

Relaia (11) reprezintă& $ 4 & 9 ) £ $ ' & " 5 ) " & & $

.

¤ $ ' ( $ 5 ¡

Fie B o bază primal admisibilă. Dacă există Rk ∈ astfel încât să avem:

0>− k

B

k c z

şi ,0≤ B

k y atunci problema (10) are optim infinit.

¤ $ ' ( $ 5 ¡

Fie B o bază primal admisibilă. Dacă există Rk ∈ astfel încât să avem:

0>− k

B

k c z

şi B

k y >0 şi dacă Br ∈ se determină din condiia:

(12) ,min0/ B

rk

B

r B

ik

B

i yi y

x

y

x Bik

=

> atunci matricea B~ obinută din B prin înlocuirea coloanei r a cu

coloana k a este o bază primal admisibilă, iar programul B x~

este cel puin la fel de bun ca

programul B x adică .~

B B z z ≤

Relaia (12) reprezintă% ( " & $ ( " 9 ) £ $ " $ ¢ " ( $ £ " 2 7 3 ¡

.



¦ ) 1 ' ( " & 5 9 ) 4 " 5 ) $ 8

4 9 )

Se determină o bază primal admisibilă B, se calculează n jc z y z x j B j

B j

B B ≤≤− 1,,,, şise trece la pasul 2.

4 9 ) ¡

Dacă 0≤− j

B

j c z pentru orice R j∈ , STOP: 0, == R B B x x x este program optim.

Dacă există R j∈ pentru care ,0>− j

B

j c z se determină mulimea

{ }0/ >−∈=+ j

B

j c z R j R şi se trece la pasul 3.

4 9 ) ¢

Dacă există +∈ R j astfel încât să avem ,0≤ B

j y STOP: problema are optim infinit.

Dacă pentru orice +∈ R j avem ,0> B j y determinăm +∈ Rk folosind

% ( " & $ ( " 9 ) £ $ " 2 & ( ( $ ¤ 2

7 3 ¡

: (13) { } k

B

k j

B

j R j

c z c z −=−+∈

max şi apoi indicele Br ∈ cu criteriul de ieşire din bază (12) şi

se trece la pasul 4.

4 9 ) £

Se consideră baza B~

obinută din B prin înlocuirea coloanei r a cu coloana k a , se

calculează n jc z y z x j

B

j

B

j

B B ≤≤− 1,,,,~~~~

şi se trece la pasul 2 înlocuind B cu .~ B

7 4 $ ( # ! " $

În cazul unei probleme de maximizare, numai paşii 2 şi 3 ai algoritmului trebuie modificai:

4 9 ) '2 Dacă 0≥− j

B

j c z pentru orice R j∈ (criteriul de optimalitate pentru problema de

maxim), STOP: 0, == R B B x x x este program optim. Altfel, se determină mulimea

{ }0/ <−∈=− j

B

j c z R j R şi se trece la pasul '3 .

4 9 ) '3 Dacă există −∈ R j astfel încât ,0≤ B

j y STOP: problema are optim infinit. Altfel se

determină −∈ Rk folosind criteriul de intrare în bază (14) { } k

B

k j

B

j R j

c z c z −=−−∈

min şi −∈ Rr

folosind criteriul de ieşire din bază (12) şi se trece la pasul 4.



' ( 5 9 ) $ ) $ £ $ 4 % " 5 7 ( $ 7 3 $ "

Calculul elementelor n jc z y z x j

B

j

B

j

B B ≤≤− 1,,,,~~~~

de la pasul 3 al algoritmului simplex,

corespunzător bazei B~

obinută prin înlocuirea coloanei r a cu coloana k a , se face cuelementele tabelului simplex corespunzător bazei B prin aplicarea unor formule.

Pentru obinerea acestor formule, presupunem fără a restrânge generalitatea că baza B esteformată din primele m coloane ale matricei A. Tabelul simplex corespunzător bazei B esteurmătorul:

1c -ic -

r c -mc -

jc -k c -

nc

Bc B x B x 1 x - i x - r x - m x - j x - k x - n x

1c 1 x B x1 1 - 0 - 0 - 0 - B

j y1 - B

k y1 - B

n y1

ic i x B

i x 0 - 1 - 0 - 0 - B

ij y - B

ik y - B

in y

r c r x B

r x 0 - 0 - 1 - 0 - B

rj y - B

rk y - B

rn y

mc m x B

m x 0 - 0 - 0 - 1 - B

mj y - B

mk y - B

mn y

z B z 0 - 0 - 0 - 0 - j

B

j c z − -k

B

k c z − -n

B

n c z −

Elementul B

rk y se numeşte " # ' & 0

Linia r a tabelului simplex este numită) " 2 " " # ' & 9 ) 9 "

, iar

coloana k,% ' ) ' 2 " # ' & 9 ) 9 " 0

Avem următoarele formule:



.1,,~~

n j y

y y

y

x x

B

rk

B

rj B

kj B

rk

B

r B

k ≤≤==

{ }k Bi

y

y y y y

y

y x x x

B

rk

B

ik

B

rj B

ij

B

ij B

rk

B

ik

B

r B

i

B

i \~

,;~~

∈−=−= .

( )

( )( )

.1,~

~

n j y

yc z c z c z

y

xc z z z

B

rk

B

rjk

B

k

j

B

j j

B

j

B

rk

B

r k

B

k B B

≤≤−

−−=−

−−=

Formulele de mai sus se numesc formulele de schimbare a bazei şi sunt echivalente cu

următoarele reguli de transformare a tabelului simplex:

a) elementele situate pe linia pivotului se împart la pivot b) elementele situate pe coloana pivotului devin zero, cu excepia pivotului care devine 1c) celelalte elemente ale tabelului simplex se transformă după

( $ 1 9 ) £ ( $ & 9 2 1 " 9 ) 9 "

: dacă

ne imaginăm dreptunghiul a cărui diagonală este determinată de elementul B

ij y care

trebuie transformat şi pivotul B

rk y , atunci noua valoare B

ij y~

se obine împărind la pivot

diferena dintre produsul Brk

Bij y y ⋅ al elementelor de pe diagonala considerată mai sus şi

produsul B

ik

B

rj y y ⋅ al elementelor situate pe cealaltă diagonală a dreptunghiului.

Pentru ultima linie a tabelului se poate aplica aceeaşi regulă a dreptunghiului sau formuleleiniiale.

' ( 5 £ 9 ) ¡ ¡ 0 ¤ $ ' ( $ 5 £ $ £ 9 ) " & & $ ¢ " % ' 2 ! " 2 9 & 9 ) $ % ' 2 ' 5 " % ) # ( " 7 " ) $ ) ' ( £ 9 ) $

Fie modelele de programare liniară (PL):



( )

=≥

=≥

=

∑

∑

=

=

_

1

_

1

,1,0

,1;

min

nk x

mib xa

xc f

k

n

k

ik

i

k

n

k

k k

(1) ⇔

( )

≥

≥

=

0

min

X

b AX

X c f T

( )

=≥

=≤

=

∑

∑

=

=

_

1

_

1

,1,0

,1;

max

mi y

nk c ya

yb g

i

m

i

k i

k

i

m

i

ii

)2( ⇔

( )

≥

≤

=

0

max

Y

c AY

bY g

T T

T

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Modelele (1) şi (2) sunt modele de programare liniară (P.L.) aflate în relaia de£ 9 ) " & & $

4 " 5 $ & ( " % ¡

(modelul (1) este dualul modelului (2) şi invers).

9 2 % ! " " ( $ ) $ £ $ 5 " 5 9 ) & $ # ( " 7 " ) $ ( $ ) $

Modelarea activităilor economice este realizată prin funcii de producie, de ofertă, de cost, deconsum, de cerere, de venit care sunt exprimate prin funcii de mai multe variabile reale.

Fie o mulime n R A ⊆ . O funcie R A f →: definită prin R y x x f x f n ∈== ),...,()( 1 se

numeşte funcie reală de variabilă vectorială sau funcie reală de mai multe variabile reale.

8 $ 5 ) 9



Funciile de producie exprimă legătura dintre rezultatul unei activităi de producie P (produs

global, venit naional) şi factorii care determină producia respectivă n x x x ,...,, 21 - materii prime,

mijloace fixe, investiii, fora de muncă etc.

Deci ),...,,( 21 n x x x f P = , R R I f n →⊆:

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Fie R R A f n →⊆: şi ),...,( 1 naaa = un punct de acumulare al mulimii de

definiie A. Se spune că Rl ∈ este limita funciei f în punctul a dacă pentru orice 0>ε , există

0)( >ε N astfel încât pentru orice a x ≠ şi )(ε N a x <− avem: ε <− l x x f n ),...,( 1 .

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Fie R R A f n →⊆: şi Aaaa n ∈= ),...,( 1 . Funcia f este continuă în punctul a dacă

există şi este finită limita funciei ),...,( 1 n x x f şi pentru a x → avem:

),...,(),...,(lim 11 nna x

aa f x x f =→

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Fie R R A f n →⊆: şi . Aa∈ Funcia ),...,( 1 n x x f este derivabilă parial în raport

cu variabila k x dacă există şi este finită limita:

k k

nnk k k

a x

a x

aa f aa xaa f

k k

−

−+−

→

),...,(),...,,,,...,(lim 1111

Această limită se notează ),...,( 1'

n x aa f k

sauk x

a f

∂

∂ )(şi se va numi

£ $ ( " # & ( ! " ) ¡ 6 9 2 % ! " $ " 6

¤ 2 ( ' ( & % 9 % ' 5 ' 2 $ 2 &

k x .

7 4 $ ( # ! " "

1. Din definiie rezultă că, atunci când calculăm derivata în raport cu una din variabile, i x ,

toate celelalte variabile sunt considerate constante.2. Funcia de n variabile reale ),...,( 1 n x x f are n derivate pariale de ordinul întâi:

)(),...,(),( '''

21 x f x f x f

n x x x .



3. Regulile de derivare cunoscute de la funcii de o variabilă rămân valabile. Dacă derivatele

pariale de ordinul întâi sunt la rândul lor derivabile parial, vom avea 2n derivate pariale de ordinul doi ce formează o matrice, care se numeşte

5 & ( " % $ $ 4 4 " 2 ¡ 0

=

)()()(

......... )()...()()(''''''

''''''

21

12111

x f x f x f

x f x f x f x H

nnnn

n

x x x x x x

x x x x x x

7 4 $ ( # ! " $

Pentru derivatele de ordinul doi folosim notaiile:

∂

∂

∂

∂),( y x

x

f

xse notează ),()2(

2 y x f x

sau ),(2

2

y x x

f

∂

∂

∂

∂

∂

∂),( y x

y

f

yse notează ),()2(

2 y x f y

sau ),(2

2

y x y

f

∂

∂

∂

∂

∂

∂),( y x

x

f

yse notează ),()2( y x f xy sau ),(

2

y x x y

f

∂∂

∂

∂∂

∂∂ ),( y x

y f

xse notează ),()2( y x f yx sau ),(

2

y x y x f ∂∂

∂

( ' ( " $ & & $

Funciile reale de mai multe variabile reale care admit derivate pariale de ordinul doi continue în

. Aa∈ au derivatele pariale mixte egale. Deci: )()( '''' a f a f i j ji x x x x = , ji ≠

Difereniala unei funcii ),...,()( 1 n x x f x f = în punctul ),...,( 1 naaa = se va calcula astfel:

nn xn xn dx x x f dx x x f x xdf n

),...,(...),...,(),...,( 1'

11'

1 1++=



Difereniala de ordinul n a funciei f este:

n

n

nn

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

nnn

dy y

f C dydx

y x

f C

dydx y x

f C dx

x

f f dy

ydx

x f d

)()(

...)()(

11

1

11

1)(

∂

∂+

∂∂

∂+

+∂∂

∂+∂∂=

∂∂+

∂∂=

−

−

−

−

−

2 & $ ( ( $ & ( $ $ % ' 2 ' 5 " % ¡ £ $ ( " # & $ ) ' ( ( ! " ) $

Derivata parială a unei funcii ),...,( 1 n x x f arată variaia funciei la o creştere i x∆ a variabilei

i x .

Pentru funciile de producie ),...,,( 21 n x x x f P = unde n x x x ,...,, 21 sunt factorii care determină

producia respectivă, derivatele pariale determină eficiena utilizării unei unităi suplimentare a

factorului i x , atunci când ceilali factori rămân neschimbai şi se numesc( 2 £ 5 $ 2 & $

5 ( 1 " 2 ) $

.

Dacă notăm cu Y-venitul naional sau producia în unităi fizice sau produsul social total

L-fora de muncă utilizată sau fondul de salarii sau numărul de muncitori

K-capitalul utilizat sau fondurile fixe se poate scrie funcia

0 ' 7 7 ¢ 0 ¥ ' 9 1 ) 4

prin: ba K L AY ⋅⋅= unde:

A- constantă pozitivă, factor de proporionalitate, iar a,b sunt coeficienii de elasticitate

Să calculăm pentru ba K L AY ⋅⋅= randamentele marginale:

1'

1'

),(

),(−

−

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=ba

K

ba

L

K Lb A K LY

K La A K LY



Difereniala funciei de producie exprimă efectul modificărilor variabilelor.

Difereniala de ordinul întâi a funciei de producie este:

YdK K

bYdL

L

adK Y dLY dY K L +=+= '' - exprimă variaia absolută a produciei

Variaia relativăY

dY exprimată prin:

K

dK b

L

dLa

Y

dY ⋅+⋅= este o combinaie liniară a variaiilor relative ale forei de muncă şi ale

capitalului.

Dacă ⇒= 0dL L este constant şi din dY se poate obine coeficientul:

K

dK

Y

dY b := ca raport între variaia relativă a produciei şi variaia relativă a capitalului

Analog dacă 0=dK se obine L

dL

Y

dY a :=

8 & ( $ 5 $ ) $ 6 9 2 % ! " " ) ' ( £ $ 5 " 5 9 ) & $ # ( " 7 " ) $

Fie R R A f n →⊆: şi ( ) Aaaa n ∈= ,...,1

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Punctul a este un 9 2 % & £ $ 5 8 " 5 ) ' % )

dacă )()( a f x f ≤ pentru orice x ce aparine

unei vecinătăi a lui a, ., AV V x aa ∈∈

Punctul a este un 9 2 % & £ $ 5 " 2 " 5 ) ' % )

dacă )()( a f x f ≥ pentru orice x ce aparine unei

vecinătăi a lui a, ., AV V x aa ∈∈



7 4 $ ( # ! " $

La fel ca pentru funciile de o variabilă, dacă există puncte de extrem, atunciderivatele pariale de ordinul întâi în aceste puncte sunt nule, adică

0)(,...,0)(,0)( '''

21=== a f a f a f

n x x x

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Un punct a pentru care derivatele pariale se anulează se numeşte 9 2 % & 4 & ! " ' 2 ( 0

7 4 $ ( # ! " $

Nu orice punct staionar este şi punct de extrem pentru funcie.

Condiiile suficiente ca un punct staionar să fie punct de extrem local sunt date de următoareateoremă:

¤ $ ' ( $ 5 ¡

Fie R R A f n

→⊆: şi Aa∈ un punct staionar. Punctul a este un punct de minimlocal al funciei dacă matricea hessiană, simetrică este pozitiv definită adică:

=

)()()(

)()()(

)()()(

)(

"""

"""

"""

21

22212

12111

a f a f a f

a f a f a f

a f a f a f

a H

nnnn

n

n

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

Λ

ΛΛΛΛ

Λ

Λ

are minorii:

Λ

0)()(

)()(

0)(

""

""

2

"1

2212

2111

11

>=∆

>=∆

a f a f

a f a f

a f

x x x x

x x x x

x x

0

)()(

)()(

""

""

1

111

>=∆

a f a f

a f a f

nnn

n

x x x x

x x x x

n

Λ

ΛΛΛ

Λ



deci toi minorii hessiani sunt pozitivi în punctul a.

Punctul a va fi un punct de maxim local dacă:

0)1(,...,0,0,0 321 >−∆<∆>∆<∆ nn

7 4 $ ( # ! " $

Dacă 02 =∆ , nu putem preciza natura punctului staionar a prin această metodă.

Este necesar să se determine semnul formei pătratice a diferenialei de ordinul doi a funciei în

punctul a, ).(2 a f d

8 & ( $ 5 $ ) $ 6 9 2 % ! " " ) ' ( £ $ 5 " 5 9 ) & $ # ( " 7 " ) $ % ' 2 £ " ! " ' 2 & $

Dacă se cere să se determine extremele funciei ),...,,( 21 p x x x f y = în care variabilele

p x x x ,...,, 21 sunt supuse unor legături de forma:

,...,0),...,,( 211 = p x x xϕ 0),...,,( 21 = pq x x xϕ , q <

Se construieşte funcia lui Lagrange:

),...,,(...),...,,(),...,,(),...,,( 2121112121 pqq p p p x x x x x x x x x f x x x L ϕ λ ϕ λ +++= unde

qλ λ λ ,...,, 21 sunt multiplicatorii lui Lagrange.

Se formează apoi sistemul de q p + ecuaii:

0),...,,(

0),...,,(

0),...,,;,...,,(

21

211

2121

=

=

=

pq

p

q p

x x x

x x x

x x xdL

ϕ

ϕ

λ λ λ

Μcu q p + necunoscute q p x x x λ λ λ ,...,,,,...,, 2121

O condiie suficientă de extrem este ca: ),...,,( 212

p x x x Ld să păstreze semn constant.

Dacă Ld 2 este pozitiv definită, atunci funcia f are un punct de minim, iar dacă Ld 2 estenegativ definită, funcia f are un punct de maxim condiionat.



2 & $ 1 ( ) $ £ 9 7 ) $

Noiunea de integrală Riemann a unei funcii de o variabilă reală se poate generaliza pentrufuncii de două sau mai multe variabile.

Fie un domeniu D închis şi mărginit, deci domeniu ce poate fi mărginit de un interval

bidimensional [ ] [ ]d cba I ,, ×= care poate fi împărit la rândul său în nm ⋅ intervale

[ ] j jiiij y y x x ,, 11 −− ×=∆ cu ni ,...,1= şi m j ,...,1= .

Definim norma diviziunii astfel: ( ){ }11;max −− −−=∆ j jii y y x x

¥ $ 6 " 2 " ! " $

O funcie R R D f →⊂ 2: mărginită pe D este funcie integrabilă Riemann pe

domeniul D dacă există un număr real I cu proprietatea 0)( >∀ ε , există 0)( >ε N astfel încât

pentru orice diviziune ∆ a domeniului D cu )(ε N <∆ să avem ε σ <−∆ I f )( pentru orice

punct ijijijij y xM ∆∈),( şi sumă Riemann ∑∑= =

∆ =n

i

m

j

ijij y x f 1 1

),(σ

Numărul I se numeşte integrala funciei f pe domeniul D, care se notează ∫∫ = D

dxdy y x f I ),(

7 4 $ ( # ! " $

Calculul integralei duble se reduce la calculul unei inegrale simple.

a) Dacă 2 R D ⊂ este un domeniu simplu în raport cu axa Ox şi cu axa Oy, deci undreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate, b xa ≤≤ şi d yc ≤≤ atunci:

dydx y x f dxdy y x f dxdy y x f d

c

b

a D

b

a

d

c

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

=

= ),(),(),(

b) Dacă 2 R D ⊂ este un domeniu simplu în raport cu una din axe, de exemplu cu axa Oy;adică există [ ] Rba x y x y →,:)(),( 21 continue pe [ ]ba, şi )()( 21 x y x y ≤ atunci

( ) [ ]{ })()(,/, 212 x y y x yba x R y x D ≤≤∈∈= şi:



dxdy y x f dxdy y x f b

a

x y

x y D

∫ ∫ ∫∫

=

)(

)(

2

1

),(),(

c) Dacă f este funcie continuă pe xoy D ⊂ şi dacă există două funcii ),(1 vu f x = şi

),(2 vu f y = care admit derivate pariale de ordinul întâi continue cu determinantulfuncional:

0),(

),(

22

11

≠

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

v

f

u

f v

f

u

f

vu D

y x Dpentru ( ) 1, Dvu ∈ atunci:

∫∫ ∫∫ =1

),(),()).,(),,((),( 21

D D

dudvvu D y x Dvu f vu f f dxdy y x f

Acest caz presupune schimbarea de variabile.

2 & $ 1 ( ) $ " 5 ( ' ( " " ¡ 1 $ 2 $ ( ) " 3 & $ ¤

Noiunea de integrală Riemann ∫

b

a

dx x f )( s-a studiat pe un interval [ ]ba, compact, adică a,b sunt

finite, iar funcia )( x f este mărginită pe acest interval.

Există probleme care conduc la extinderea noiunii de integrală definită la integrală în care unulsau ambele numere a,b sunt infinite.

∫ ∫ ∫ ∞

∞−∞−

dx x f dx x f dx x f bb

a

)(,)(,)(

Fie o funcie Ra f →∞),[: , integrabilă pe [ ]ba, pentru orice ab > . Dacă există şi este finită

limita integralei pe [ ]ba, , atunci integrala pe ),[ ∞a este convergentă şi este egală cu această

limită. Adică: ∫ ∫ ∞

∞→=a

b

ab

dx x f dx x f )()(lim



Dacă limita nu există sau nu este finită, spunem că integrala este divergentă.

Analog:

∫ ∫ ∞−

−∞→=

bb

aa

dx x f dx x f )()(lim şi

∫ ∫ +∞

∞−∞→−∞→

= dx x f dx x f b

aba

)()(lim

2 & $ 1 ( ) $ $ 9 ) $ ( " $ 2 $

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Se numeşte funcie Gama, integrala:

dxe x p x p

∫ ∞

−−=Γ0

1)(

Această integrală este convergentă pentru orice parametru .0> p

( ' ( " $ & ¡ ! "

1) 0),()1( >Γ⋅=+Γ p p p p - reprezintă relaia de recurenă a funciei Γ

2) N nnn ∈=+Γ ,!)1(

3) 1)1( =Γ

4) π =

Γ

21

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Se numeşte funcie Beta, integrala:



0,0,)1(),(1

0

11 >>−= ∫ −− q pdx x xq p q p β

Integrala beta este convergentă pentru orice parametri p şi q strict pozitivi.

( ' ( " $ & ¡ ! "

1) ),(),( pqq p β β =

2))(

)()(),(

q p

q pq p

+Γ

Γ⋅Γ= β

3) Π=

21,21

β

4) ),())(1(

)1,1( q pq pq p

pqq p β β ⋅

+++=++

5) Dacă 10,1 <<−= p pq avem:)sin(

)1()(Π⋅

Π=−Γ⋅Γ

p p p (

6 ' ( 5 9 ) % ' 5 ) $ 5 $ 2 & $ ) ' (

)

7 4 $ ( # ! " $

Aceste integrale ne ajută să calculăm convergena multor integrale improprii.

Cu ajutorul lor se definesc o serie de variabile aleatoare din teoria probabilităilor.

¤ " 9 ( " ( " 2 % " ) $ £ $ $ % 9 ! " " £ " 6 $ ( $ 2 ! " ) $ % 9 ) " % ! " " ¤ 2 $ % ' 2 ' 5 " $

Multe modele matematice din economie, mecanică, fizică exprimate cu ajutorul funciilor şi alderivatelor au condus la necesitatea studierii ecuaiilor difereniale. Modele ale economiei de piaă sunt exprimate prin ecuaii difereniale, adică necesită determinarea unei funcii care segăseşte într-o ecuaie ce conine şi derivate ale funciei.



Fie F o funcie definită pe un domeniu D, din ,2+n R cu valori reale, continuă în acest domeniu.

¥ $ 6 " 2 " ! " $

O relaie de forma

0),...,,,( )(' =n y y y x F (1)

se numeşte$ % 9 ! " $ £ " 6 $ ( $ 2 ! " ) ¡ £ $ ' ( £ " 2 9 ) 2

.

Fie ( ) Rba →,:ϕ o funcie derivabilă de n ori în orice punct al intervalului ( )ba, , unde a poate

fi ∞− , iar b poate fi ∞+

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Se spune că funcia ϕ este4 ' ) 9 ! " $

a ecuaiei difereniale (1), dacă înlocuind în ecuaiadiferenială (1), funcia cu )( xϕ , se obine o identitate, oricare ar fi ( ),,ba x∈ adică

0))(),...,(),(,( )(' = x x x x F nϕ ϕ ϕ

Dacă în sistemul de coordonate xOy se reprezintă grafic funcia ϕ , se obine o curbă de ecuaie

)( x y ϕ = numită şi% 9 ( 7 ¡ " 2 & $ 1 ( ) ¡

a ecuaiei (1).

În unele cazuri, în locul soluiilor )( x y ϕ = se găsesc soluii de forma 0),( = y xG care definesc

soluii implicite cu depinzând de x , iar curbele pe care se definesc se numesc curbe integrale.

Dacă funcia F, ce intră în definiia ecuaiei difereniale (1) , îndeplineşte condiii suficiente

pentru a putea scoate din ecuaia 0),...,,,( )(' =n y y y x F pe )(n y ca funcie de celelalte variabile,

adică

),...,,,()1(')( −

=

nn

y y y x f y (2)

unde R R D f n →⊆ +1: este o funcie de 1+n variabile, definită pe domeniul D, cu valori reale

şi continuă în acest domeniu.



Ecuaia se numeşte tot ecuaie diferenială de ordinul n , dar are o formă particulară faă de

ecuaia (1), deoarece conine pe )(n y , explicitat în raport cu )1(' ,...,,, −n y y y x .

( ' 7 ) $ 5 ) 9 " 9 %

pentru ecuaia diferenială de ordinul n, de forma (2), constă îndeterminarea soluiei ecuaiei, care satisface condiiile iniiale:

100

)1('00

'00 )(,...,)(,)( −− === nn y x y y x y y x y , unde 1)1(' ),...,,,( +− ⊆∈ nn R D y y y x este un

punct constant.

¥ $ 6 " 2 " ! " $

Prin soluie generală a ecuaiei diferniale (2) se înelege o soluie

),...,,,( 21 nccc x y ϕ = a ei ce depinde şi de n constante nccc ,...,, 21 , considerate ca parametri

reali şi cu ajutorul căreia se poate rezolva o problemă Cauchy pentru orice punct din domeniul D.

În cele ce urmează prezentăm câteva tipuri de ecuaii difereniale de ordinul întâi integrabile prinmetode elementare

% 9 ! " " £ " 6 $ ( $ 2 ! " ) $ % 9 # ( " 7 " ) $ 4 $ ( 7 " ) $

Aceste ecuaii sunt de forma:

)()(' y g x f y ⋅= cu 0)( ≠ y g

Dacă vom scrie derivatadx

dy y =' , atunci ecuaia se va putea scrie separând variabila x de y:

dx x f y g

dy y g x f

dx

dy)(

)()()( =⇒⋅=

Soluia generală a ecuaiei se obine integrând membru cu membru ecuaia:

∫ ∫ += C dx x f y g

dy)(

)(

% 9 ! " " ' 5 ' 1 $ 2 $



Sunt ecuaii de forma:

),( y x f dx

dy= (3)

unde f este o funcie omogenă de gradul zero, adică satisface condiia:

),(),( y x f tytx f = ,oricare ar fi t, astfel încât ( )tytx, să fie în domeniul de definiie al funciei f.

Punând x

t 1

= , se obine

=

=

x

y

x

y f y x f ϕ ,1),( de unde rezultă că ecuaia diferenială (3)

este de forma:

=

x

y

dx

dyϕ (4)

Cu schimbarea de funcie y

u = sau ux y = , derivând se obine:dx

du xu

dx

dy+= şi deci ecuaia

(4) se transformă în )(udx

du xu ϕ =+ , ecuaie cu variabile separabile

% 9 ! " " ) " 2 " ( $ £ $ ' ( £ " 2 9 ) ¤ 2 & "

Forma generală a acestor ecuaii este

0)()()( ' =++ xC y x B y x A (5)

Presupunem că funciile A,B,C sunt definite şi continue pe un interval ( )ba, şi că 0)( ≠ x A în

orice punct al acestui interval. Dacă împărim ecuaia (5) prin )( x A obinem:

)()(' xQ y x P y =+ (6)



unde)(

)()(

x A

x B x P = şi

)(

)()(

x A

xC xQ −=

Ecuaia 0)('

=+ y x P y (7)

se numeşte ecuaie liniară omogenă

7 4 $ ( # ! " $

Omogenitatea ecuaiei (7) se referă la absena termenului )( xQ din membrul stâng al ecuaiei (6).

Ecuaia (7) este o ecuaie cu variabile separabile deci: y x P dx

dy)(−= sau dx x P

y

dy)(−=

Integrând fiecare membru avem: ∫ −=+ dx x P c y )(lnln 1 sau ∫ −= dx x P c y )(ln 1

Notăm cc

=±1

1şi soluia generală este: ∫ =

− dx x P ce y

)((8)

Pentru ecuaia (6), se caută o soluie de forma (8), unde c este considerată o funcie de x. Aceastămetodă este cunoscută sub numele de

5 $ & ' £ # ( " ! " $ " % ' 2 4 & 2 & $ " 0

Derivând relaia (8), obinem:

∫ +∫ −=−− dx x P dx x P e xce x P xc y

)(')(' )()()( şi înlocuind în (6), rezultă

)()()()()()()()(')(

xQe x P xce xce x P xcdx x P dx x P dx x P

=∫ +∫ +∫ −−−−

de unde









Documents

teste matematici