matematici aplicate

  • View
    589

  • Download
    10

Embed Size (px)

Text of matematici aplicate

UNIVERSITATEA DE TIINE AGRICOLE I MEDICIN VETERINAR ION IONESCU DE LA BRAD IAI FACULTATEA DE ZOOTEHNIE NVMNT LA DISTAN Prof. dr. ILIE BURDUJAN MATEMATICI APLICATE 2002 Refereni tiinifici: Prof. dr. Alexandru Neagu Univ. Tehnic Gh. Asachi- Iai Conf. dr. Veronica Teodora Borcea Univ. Tehnic Gh. Asachi- Iai I CUPRINS Capitolul I. MULIMI. RELAII. FUNCII 1. Elemente de teoria mulimilor1 2. Relaii binare2 3. Funcii................................5 1. Moduri de a defini o funcie.5 2. Procedeie de introducere a funciilor n cercetarea din Biologie ...6 a)Ajustarea prin funcii polinomiale.6 b)Construcia de polinoame de interpolare10 4. Frecvene ...11 5. Caracteristici numerice ale mulimii valorilor unei funciireale....15 a) Caracteristici numerice de poziie.....15 1. Media valorilor unei funcii....15 calculul mediei (metoda zeroului fals) ....16 2. Mediana....17 3. Valoarea modal..18 4. Momente ......18 b) Caracteristici numerice de mprtiere....21 1. Amplitudinea...21 2. Dispersia...21 3Cuartile ....22 c) Alte caracteristici numerice ale unei funcii.24 1. Coeficientul de variabilitate...24 2. Coeficientul de asimetrie.....25 3. Coeficientul de aplatizere (boltire) 26 d)Caracteristici numerice pentru familii de funcii...26 1. Covariana a dou funcii (caractere)...26 2. Matricea de covarian a p funcii .......28 4. Regresia liniar ......29 Capitolul II. ELEMENTE DE ALGEBR ABSTRACT ....33 1. Lege de compoziie....33 2. Structuri algebrice de baz..35 3. Ptrate latine.37 Capitolul III. SPAII VECTORIALE..39 1. Spaii vectoriale.39 1.Definiii. Exemple..39 2. Subspaii vectoriale...45 1.Definiii. Exemple.....45 2. Rangul unui sistem de vectori....45 3. Rangul unei matrice46 4. Inversarea matricelor.. .47 II5. Calculul determinanilor....49 6. Rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare........49 Capitolul IV. ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIAR.....................53 1. Metoda simplex de rezolvare a problemelor de programare liniar ...53 1. Probleme care conduc la programe liniare...53 a) Reartiia optim a culturilor agricole.....53 b) Problema dietei .54 2.Descrierea algoritmului Simplex......................................56 2. Problema transporturilor.63 1.Modelul matematic al problemei transporturilor .....63 2.Determinarea unei soluii admisibile de baz nedegenerate .663.Ameliorarea unei soluii admisibile de baznedegenerate .68 4.Rezolvarea unor probleme de transport neechilibrate..70 Capitolul V. ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR...73 1. Grafuri orientate ..73 1.Definiii. Exemple......73 2. Grafuri neorientate...78 .3 Probleme de optim n grafuri...79 1.Problema arborelui parial minimal/maximal79 2.Problema drumului minim/maxim .....80 3.Problema fluxului maxim i a seciunii minime....86 Capitolul VI. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITILOR ...........87 1. Experiene aleatoare. Evenimente aleatoare...............................87 2. Cmpuri de evenimente................................................................92 3. Funcie de probabilitate ...............................................................93 4. Probabiliti condiionate.............................................................94 5. Probabilitatea evenimentelor dependente. Inegalitatea lui Boole..........................................................................................98 6. Formula probabilitii totale. Formula lui Bayes.......................99 7. Scheme probabilistice clasice .....................................................101 Schema Poisson......................................................................101 Schema binomial (Bernoulli)..............................................101 Schema multinomial............................................................102 Schema hipergeometric.......................................................103 8. Variabile aleatoare......................................................................104 Capitolul VII. Procese stochastice. Lanuri Markov ................................107 1. Procese stochastice. Lanuri i procese Markov.......................107 2. Aplicaii n Genetic..............................................................................109 Capitolul I MULIMI. RELAII. FUNCII Prin mulime vom nelege o colecie de obiecte dintr-un univers U ce este consideratcaoentitate(untot).FaptulcunobiectdinuniversulUintrn componenauneimulimiiconferacestuiacalitateadeelement.Deobicei mulimilevornotateculiteremari,iarelementelelorculiteremici;vor exista i excepii motivate de specificul domeniului aplicaiei.Mulimileaparimplicitsauexplicitpretutindeninuniversulncare existm.Populaiile biologice (staionare) sunt exemplele de mulimi cele mai obinuite i mai uor de perceput. 1. ELEMENTE DE TEORIA MULIMILOR Vom presupune cunoscute elementele uzuale de teoria mulimilor (se pot consulta eventual manualele de liceu sau 1 din [1]).Reamintim notaiile standard: - apartenena (unui element la o mulime), - nonapartenena (unui element la o mulime), = - egalitatea (fie a dou elemente, fie a dou mulimi) - contrara situaiei precedente , - incluziunea unei mulimi n alta - nonincluziunea - mulime vid, (M) mulimea prilor unei mulimi, - reuniunea a dou mulimi, UI i- reuniunea unei familii de mulimi - intersecia a dou mulimi, II i- intersecia unei familii de mulimi \ - diferena a dou mulimi, CM(A) complementara mulimii A(M) n M, - diferena simetric a dou mulimi, card M sau |M|- cardinalul unei mulimi finite (adic numrul de elemente din mulime) - produsul cartezian a dou mulimi. Partiiauneimulimi.SenumetepartiieamulimiinevideAoricefamilie { }I i iA(Ifiindofamilieoarecaredeindici)deprinevidealemulimiiAcu proprietile: a) AiAj =,j i , i,j I ,b) A = .Aii I UFamilia de pri nevide{ }I i iA care acoper A (adic satisface b)) este o partiie a mulimii A dac fiecare element al mulimii A aparine cel mult unei pri din aceast familie.Exemplul1.1 .navifaunariinoastre,psriledinfamiliileArdeidae, CiconiidaeiThreskiornitidaedauopartiieamulimiipsrilorordinului Ciconiiformes.2.CulturileC1,C2,...,Cnrealizatedeoexploatareagricolvorconducelao partiie a terenului acestei exploatri. Exerciiul 1. Dai exemple concrete de mulimi i partiii ale unor mulimi care aparnactivitateadumneavoastr.Exemplificaifiecaredintrenoiunileamintite mai sus. Rspuns .................... 2. RELAII BINARE ntre perechile de elemente ale unei populaii se stabilesc diverse relaii. Modelulmatematicgeneralalacestoraestenoiuneaderelaiebinar.Printre relaiilebinarepeomulimesedistingrelaiiledeechivalen(careapar implicit n orice activitate de clasificare) i relaiile de ordine (care se implic 2n orice activitate de ierarhizare). Ambele tipuri de relaii sunt implicit utilizate n taxonomia filogenetic.Definiia1.1.SenumeterelaiebinarntremulimileAiBoricetriplet (ordonat) R = (A, B, G) unde G A B.Denumiri. A = domeniul relaiei RB = codomeniul relaiei RG = graficul relaiei R,DR={xA| yBastfelnct(x,y) G}=domeniulstrictalrelaiei binare R,Im R = {y B |x Aastfel nct (x, y) G} = imaginea relaiei binare R. Notaii. a) Dac (x, y) G scriem : x R y. b) Dac A = B scriem R = (A, G) n loc de R = (A, A, G) ; n acest caz spunem c este dat o relaie ntre elementele mulimii A sau o relaie binar pe A. Exerciiul2.a)Daidefiniiileoperaiiloruzualecurelaiibinare:reuniunea, intersecia.b)Definiirelaiadeincluziunentredourelaii.c)Daidefiniia inversei unei relaii. d) Definii operaia de compunere a dou relaii binare. Verificai-v pe baza definiiilor din [1] pag. 20. Definiia 2. Relaia binar R = (A, G) se numete: a) reflexiv dac (x,x) G oricare ar fi x A (adic AR),b) simetric dac din (x, y) G rezult (y, x) G (adic R = R -1), c) tranzitiv dac din (x, y) G i (y, z) G rezult (x, z) G(adic Ro R R),d)antisimetricdac((x,y)Gi(y,x) G)(x=y)(adicRR -1 ).AExerciiul 3. Precizai, pentru fiecare dintre relaiile urmtoare, care dintre proprietile a), b), c), d) sunt satisfcute: 1. R=(A,G) cu A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, G={(1, 1), (3, 3), (5, 5), (6, 6)}, 2. R=(A,G) cu A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, G={(1, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)}, 3. R=(A,G) cu A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, G={(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 6), (2, 3),(2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6), (5, 3), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 5), (6, 6)}, 4. R=(A,G) cu A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, G={(1, 2), (3, 4), (5, 6)}. 31...a)......,..b)...... ,..c)......,.d)......(marcai csuele corespunztoare rspunsurilor)2....a)......,..b)......,..c)......,.d).....3....a)......,..b)......,..c)......,.d).....4....a)......,..b)......,..c)......,.d)......Definiia 3. Orice relaie R = (A, G) care este reflexiv, simetric i tranzitiv se numete relaie de echivalen pe A. Exemplul2.PemulimeaPatuturorpsrilordintr-unecosistemEsepot defini (verificai!) urmtoarele relaii de echivalen :1) aR1 b dac i numai dac a i b au acelai sex, 2) aR2b dac i numai dac a i b aparin aceleiai specii. MASC este clasa de echivalen a psrilor de sex masculin i FEM - clasa de echivalen a psrilor de sex feminin, deci A/R1={MASC, FEM}.A/R2 este format din mulimea speciilor de psri din ecosistem. Definiia4.OrelaieR=(A,G)careestereflexivitranzitivsenumete relaiedepreordinepeA.OricerelaieR=(A,G)careestereflexiv, antisimetricitranzitivsenumeterelaiedeordinepeA;oricemulime dotat cu o relaie de ordine se numete mulime ordonat. Exerciiul 4. Verificai c relaia binar R = (A, G), unde A={1, 2, 3, 4, 5} i G={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (1, 3) (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2,5),(3,2),(4,5)}esteorelaiedepreordinepeA.Folosiieventual reprezentarea grafic a relaiei R. Apoi, verificai c relaia binar R = (A, G), unde A={1, 2, 3, 4, 5} i G={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (4, 5)} este o relaie de ordine pe A. 01234560 1 2 3 4 5 6 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................