Elemente de analiza matematica

pentru economisti

Educatia nu este raspunsul la o intrebare, educatiaeste calea spre raspunsul la toate intrebarile

“Nimic nu costa mai mult decat nestiinta”

Grigore Moisil (1906-1973)

Functii

• Euler (in anul 1794): functia este o marime variabila care depinde de altamarime variabila.

• Definitie: Functia este relatia prin care asociem oricarui element din domeniul de definitie un unic element in codomeniu.

• Notatie: f: A → B, unde A=domeniul de definitie, B=codomeniul, A si B sunt multiminevide.

• x f(x) y

• x = argument, variabila independenta, punct;

• y=f(x) = imaginea lui x prin functia f, variabila dependenta dex, valoarea lui f in punctul x;

• Definitie: Graficul functiei f :A → B este multimea

• Observatie:

( , ) / , , ( )fG x y x A y B y f x

fG A B

Notatie

Output

InputNumele

functiei

y f x

Functii reale

Fie functia f: A→ B

Daca A si B sunt multimi de numere reale, atunci f se numeste functie reala de o variabilareala.

Daca , atunci f se numestefunctie reala de mai multe variabile reale (saude variabila vectoriala).

nA R siB R

Parabolaestereprezentarea grafica a functiei degradul al II- lea

2

:

: , ( )

exeplu

f R R f x x

Dreaptaeste reprezentarea grafica a functiei de gradul I

: , ( ) 3,45 10,2f R R f x x

Testul dreptei verticale

Daca orice verticala intersecteaza graficulin cel mult un punct, atunci relatia este

functie

functie functie Nu e functie

Nu e functieFUNCTIE!

FUNCTIE

Nu e functie

Fiind dat h(z) = z2 - 4z + 9, calculati h(-3)

(-3)2-4(-3)+9-3 30

9 + 12 + 9

h(-3) = 30

Fiind dat f(x) = 3x - 2, gasiti:1) f(3)

2) f(-2)

3(3)-23 7

3(-2)-2-2 -8

= 7

= -8

Functii reale de mai multe variabilereale

z

y

x

f(x, y) = x2 + y2

x2 + y2 = 0

x2 + y2 = 1

x2 + y2 = 4

x2 + y2 = 9

x2 + y2 = 16

Functii reale de doua variabile reale

Moduri de a descrie o functie reala de douavariabile reale:

Grafic sau diagrama

Tabel de valori

Exprimare prin text

Analitic (printr-o formula sau ecuatiealgebrica)

O functie reala de doua variabile reale este o functie definita pe o submultime cu valori in R prin care asociem oricarei perechiordonate (x,y) din D un unic numar real notatz= f(x,y)

D R R

Exemple1. Fie functia f definita prin

• Calculati f(0, 0), f(1, 2), si f(2, 1).Solutie:

• Domeniul de definitie al unei functii reale de douavariabile reale este o submultime a planului xOy, iarreprezentarea grafica a functiei este o multime de puncte in spatiul fizic .

2( , ) 2f x y x xy y

2(0,0) 0 (0)(0) 0 2 2f

2(1,2) 1 (1)(2) 2 2 9f

2(2,1) 2 (2)(1) 1 2 7f

Example 1, page 536

16

2.2 3( , ) 3 2f x y x y y

2 3

(0,3) 3 0 (3) 2 3f

25

2 3

(2, 1) 3 2 ( 1) 2 1f

15

17

3.

Se da functia f sub forma tabelara .Calculati:f(20, 10) = ? f(40, 20) = ? f(10, 20) f(20, 10) = ?

Solutie:

x

y

10 20 30 40

10 1 107 162 3

20 6 194 294 14

30 11 281 426 25

40 16 368 558 36

1071020 ,f

142040 ,f

113107610202010 ,, ff

4. In regions with severe winter weather, the wind-chill index is often used to describe the apparent severity of the cold.

• This index W is a subjective temperature that depends on the actual temperature T and the wind speed v.

• So W is a function of T and v, and we can write W = f (T, v).

• Table 1 records values of W compiled by the National Weather Service of the US and the Meteorological Service of Canada.

Wind-chill index as a function of air temperature and wind speed

Table 1

Domeniul de definitie al functiilor de doua variabile

1. Aflati domeniul de definitie al functiei

Solutie: Domeniul este intregul plan xOy.

3( , ) 2 0,3 7f x y x xy y y

Reprezentarea grafica a functiei3( , ) 2 0,3 7f x y x xy y y

Exemplul 2

Domeniul de definitie al functiei

este planul xOy mai putin dreapta y=x

1( , )f x y

x y

Reprezentarea grafica a functiei1

( , )f x yx y

Exemplul 3

Solutie:

• Observam ca 1 – x2 – y2 0 este echivalent cu x2 + y2 1 care este multimea punctelor (x, y)ce se afla in interiorul cercului de raza 1 cu centrul in origine:

2 2( , ) 1h x y x y

x

y

x2 + y2 = 1

–1 1

1

–1

Example 2, page 536

Reprezentarea grafica a functiilor realede doua variabile reale

• Reprezentarea grafica a functiei z=f(x,y) este o suprafata in spatiu.

(x, y)

(x, y, z)

Pentru fiecare(x, y) din domeniul lui f, exista o valoare z pesuprafata.

z

y

x

z = f(x, y)

Derivate partiale

ff

x

x

y

y

f

x

f

x

f

y

f

y

x

x

y

y

2f f

x y x y

2f f

x y x y

2

2

f f

y y y

2

2

f f

y y y

x

x

y

y

2

2

f f

x x x

2

2

f f

x x x

2f f

y x y x

2f f

y x y x

2 2f f

y x x y

2 2f f

y x x y

When both are continuous

Derivate partiale de ordinul intai

• Presupunem ca f(x, y) este o functie de douavariabile x si y.

• Atunci, derivata partiala a lui f in raport cu x in punctul (x, y) este

presupunand ca limita exista.• Derivata partiala a lui f in raport cu y in

punctul (x, y) este

daca limita exista.

0

( , ) ( , )limh

f f x h y f x y

x h

0

( , ) ( , )limk

f f x y k f x y

y k

z

Interpretarea geometrica aderivatelorpartiale

f(x, y)

y = b plan

a

x

yb

(a, b)

( , )f

panta f x bx

dreptei

f(x, b)

f

x

Ce inseamna ?

x

y

Interpretarea geometrica aderivatelorpartiale

f(x, y)

c(c, d)

x = c plan

f(c, y) ( , )f

panta dreptei f c yy

f

y

Ce inseamna ?

z

d