MATEMATIKA BISNIS Hitung Diferensial

MATEMATIKA BISNISHitung DiferensialKelompok 5Anggota :Nindya Maharani (1410512006)Aditya Fareza (1410512014)Budi Ariyanto (1410512026)Fakultas Ilmu KomputerProgram Studi : Sistem InformasiUniversitas Pembangunan Nasional Veteran JakartaTahun Ajaran 2014/2015Definisi Diferensial

Diferensial adalah turunan yang berarti pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana satu besaran berubah akibat perubahan besar lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi bila fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di setiap titik pada selang tersebut.

Konsep Limit Mengingat pada konsep limit karena konsep turunan dijelaskan lewat limit suatu fungsiTurunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:

Asalkan limit ini ada dan bukan atau -Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi

Turunan Pertama dari Fungsi Aljabar, Fungsi Berantai, Fungsi Kebalikan, Fungsi Logaritma, dan Fungsi ImplisitRumus Turunan Fungsi Aljabar

Turunan dari fungsi

2. Turunan Suatu Konstanta Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta untuk sembarang x, f(x)= 0. Bukti:

3. Turunan Suatu Jumlah Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f+g)(x) = f (x) + g (x). Bukti:

4. Turunan Suatu SelisihJika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f-g)(x) = f (x) - g (x).Bukti: (f-g)(x) = (f+(-1)g) (x) = f(x) g(x)Contoh:F(x) =3x2-x maka f(x) = 6x 1

5. Turunan Suatu Hasil KaliJika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f.g)(x) = f(x).g(x)+f(x).g(x).

Bukti :

6. Turunan Suatu Hasil BagiJika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, dengan g(x) = 0. Bukti

Turunan Fungsi Berantai (fungsi komposit)Yaitu fungsi dari fungsi, misal y = F ( u ) sedang u = f ( x ). Sehingga y adalah juga fungsi dari x

Turunan Fungsi Kebalikan (invers)Y = f(x) x = g (y) merupakan fungsi kebalikan ( x = f-1(y))Rumus :

or Contoh :Y = 5x + 25 = = =

Y = x3 + x =

Turunan Fungsi Logaritma dengan bilangan 10Y=10 log x = log e = 1/xln 10Contoh : y = log 8x y = log 8 + log x= log e = log e

Y = log 2x3y = log 4x2 y = log u

Turunan Fungsi ImplisitFungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz. Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y).

F(x,y) = 0

Contoh : 2x3 xy2 + y2 +12 + = 0

(6x2-2y) + (-2x + 2y) x2 xy -2y2 = 0

+

= 0 menjadi

= -

= -

+ 2yMenentukan Turunan Tingkat Tinggi dari Fungsi Aljabar, Fungsi Berantai, Fungsi Kebalikan, Fungsi Algoritma, dan Fungsi ImplisitTurunan tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke n. Jika f adalah turunan suatu fungsi f, maka f juga merupakan suatu fungsi, f adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari f ada, turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis f. Dengan cara yang sama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari f, jika turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis f. Turunan ke-n dari fungsi f, di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f. Turunan ke n dinyatakan dengan f(n).

Berikut ini adalah tabel cara penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n: