35
Integral 1. INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU (SUATU PENDAHULUAN) 2. Aplikasi dalam Ekonomi

integral (matematika bisnis)

  • Upload
    yeyepai

  • View
    534

  • Download
    36

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: integral (matematika bisnis)

Integral

1. INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU (SUATU PENDAHULUAN)

2. Aplikasi dalam Ekonomi

Page 2: integral (matematika bisnis)

Integral tak tentu Mengintegralkan suatu fungsi turunan

f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x)

Bentuk umum integral dari f(x) adalah :

kxFdxxf )()(

Dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tentu.

2

Page 3: integral (matematika bisnis)

Integral tak tentu © Contoh

untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5fungsi turunannya : f(x) = dF(x) / dx = 2x

Jika prosesnya dibalik, maka :

kxkxFdxxf 2)()(

3

Page 4: integral (matematika bisnis)

Kaidah- kaidah Integrasi tak tentuKaidah 1. Formula Pangkat

knxdxx

nn

1

1

Kaidah 2. Formula Logaritmis

kxdxx

ln1

4

Page 5: integral (matematika bisnis)

Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu ©

Kaidah 3. Formula Eksponensial

Kaidah 4. Formula Penjumlahan

f(x)u kedue

kedxeuu

xx

kG(x)F(x)

dxxgdxxfdxxgxf

)()()()(

5

Page 6: integral (matematika bisnis)

Kaidah-kaidah Integrasi tak tentu ©

Kaidah 5. Formula Perkalian

Kaidah 6. Formula Substitusi

0 )( ndxxfndxn f(x)

kuFduufdxdxduuf )()()(

6

Page 7: integral (matematika bisnis)

Penerapan EkonomiPendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui.1. Fungsi Biaya2. Fungsi Penerimaan3. Fungsi Produksi

Page 8: integral (matematika bisnis)

Fungsi Biaya Biaya total Biaya marjinal : Biaya total tak lain adalah integral

dari biaya biaya marjinal

𝐶=𝑀𝐶𝑑𝑄= 𝑓 ′ (𝑄 )𝑑𝑄

Page 9: integral (matematika bisnis)

Contoh kasus Biaya marjinal dari suatu perusahaan

ditunjukkan oleh . Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.

Biaya total :

Biaya rata-rata :

Page 10: integral (matematika bisnis)

Konstanta tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut sebesar 4, maka :

Page 11: integral (matematika bisnis)

Fungsi Penerimaan Penerimaan total : Penerimaan marjinal : Penerimaan total tak lain adalah integral

dan penerimaan marjinal

𝑅=𝑀𝑅𝑑𝑄= 𝑓 ′ (𝑄 ) 𝑑𝑄

Page 12: integral (matematika bisnis)

Contoh Kasus Carilah persamaan penerimaan total dan

penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya .

Penerimaan total :

Penerimaan rata-rata: Dalam persamaan penerimaan total

kontanta , sebab penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

Page 13: integral (matematika bisnis)

Fungsi Produksi Produk total : di mana, keluaran; masukan Produk marjinal : Produk total tak lain adalah integral

dari produk marjinal

𝑃=𝑀𝑃𝑑𝑋= 𝑓 ′ ( 𝑋 )𝑑𝑋

Page 14: integral (matematika bisnis)

Contoh kasus Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh

. Carilah persamaan produk total dan produk rata-ratanya.

Produk total :

Produk rata-rata : Dalam persamaan produk total juga konstant , sebab

tidak akan ada barang (P) yang dihasilkn jika tidak ada bahan (X) yang diolah atau digunakan.

Page 15: integral (matematika bisnis)

Integral Tertentu Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang

nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu.

Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas areal yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal – x, dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh x = a dan x =b.

Bentuk umum :

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

ba

15

Page 16: integral (matematika bisnis)

Integral Tertentu ©

∆x1

∆x2

∆xn

0 a x1 x2 xi xi bxn

x

y

y=f(x)

Nilai atau harga masing-masing titik yang mebatasi tiap sub-rentangan adalah :

X0 = a

X1 = a + ∆x

X2 = a + 2 (∆x)

…………………

Xn = a + n (∆x) = b

x0 16

Page 17: integral (matematika bisnis)

Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu

Untuk a < b < c, berlaku :

a

b

b

a

a

b

a

ba

dxxfdxxf

dxxf

aFbFxFdxxf

)()( .3

0)( .2

)()()()( .1

17

Page 18: integral (matematika bisnis)

Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu ©

bc

a

b

c

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfdxxfdxxf

dxxgdxxfdxxgxf

dxxfkdxxkf

)()()( .6

)()()()( .5

)()( .4

18

Page 19: integral (matematika bisnis)

Surplus Konsumen Surplus konsumen atau CS (singkatan dari

Consumer Surplus) Surplus konsumen mencerminkan suatu

keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar.

Fungsi permintaan (P) = f (Q) menunjukkan jumlah suatu barang yang akan dibeli oleh konsumen pada tingkat harga tertentu.

Page 20: integral (matematika bisnis)

Surplus konsumen Jika tingkat harga pasar adalah Pe, maka bagi

konsumen tertentu yang sebetulnya mampu dan bersedia membayar dengan harga yang lebih tinggi dari Pe.

Hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi dengan harga Pe. Secara geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luar daerah di bawah kurva permintaaan tetapi di atas tingkat harga pasar.

Page 21: integral (matematika bisnis)

B (O1,)

𝐶 𝑠

PeE (Qe,Pe)

P=f(Q)

A(,0)

QeQ

Surplus konsumen atau (singkatan dari Consumers’ surplus) tak lain adalah segitiga , dengn rentang wilayah yang dibatasi oleh sebagai batas-bawah dan sebagai batas-atas.

Page 22: integral (matematika bisnis)

Besarnya surplus konsumen adalah :

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk atau

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk ; adalah nilai untuk atau penggal kurva permintaan pada sumbu harga

Page 23: integral (matematika bisnis)

Dengan demikian :

𝐶 𝑠=0

𝑄𝑒

𝑓 (𝑄)𝑑𝑄−𝑄𝑒𝑃𝑒=𝑃 𝑒

�̂�

𝑓 (𝑃 )𝑑𝑃

Page 24: integral (matematika bisnis)

Contoh Kasus Fungsi permintan akan suatu barang

ditunjukkan oleh persamaan . Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30.

Page 25: integral (matematika bisnis)

Jawab

Jika , Jika , Jika ,

=

Page 26: integral (matematika bisnis)

Cs40

30

0 21 48

E

Q

P

Page 27: integral (matematika bisnis)

Surplus Produsen Surplus Produsen atau Ps (singkatan dari

Producers’ Surplus) Mencerminkan suatu keuntungan lebih

atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dngan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan

Fungsi penawaran menunjukkan jumlah suatu barang yang akn dijual oleh produsen pada tingkat harga tertentu

Page 28: integral (matematika bisnis)

Surplus Produsen Jika tingkat harga pasar adalah , maka

bagi produsen tertentu yang sebetulnya bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari

Hal ini merupakan keuntungan baginya, sebab ia dapat menjual barangnya dengan harga . Secara geometri, besarnya surplus produsen ditunjukkan oleh luas area di atas kurva penawaran tetapi di bawah tingkat harga pasar.

Page 29: integral (matematika bisnis)

P

Pe

P=f(Q)

E(Qe,Pe)

D(0,)

QeQ

Surplus produsen (Ps)

0

Surplus produsen atau Ps (singkatan dari Producers’ surplus) tak lain adalah segitiga , dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh sebagai batas bawah dan sebagai batas-atas.

Page 30: integral (matematika bisnis)

Besarnya surplus produsen adalah :

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk ; adalah nilai untuk , atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga

Page 31: integral (matematika bisnis)

Dengan demikian :

𝑃𝑠=𝑄𝑒𝑃𝑒−0

𝑄𝑒

𝑓 (𝑄 )𝑑𝑄=̂𝑃

𝑃𝑒

𝑓 (𝑃 )𝑑𝑃

Page 32: integral (matematika bisnis)

Contoh Kasus Seorang produsen mempunyai fungsi

penawaran . Berapa surplusprodusen itu bila tingkat harga keseimbangan di pasar adalah 10?

Page 33: integral (matematika bisnis)

Cara pertama

Page 34: integral (matematika bisnis)

Cara Kedua

Page 35: integral (matematika bisnis)

P

10

3

0 14 Q

𝑃𝑒