3. berapakah biaya marginalnya minimum? Jelaskan dan gambarkan grafik fungsi biaya marginal

4. Perusahaan PXR membuat meubel yang dipasarkan seharga p ( x )=10−0,001x dalam ribuan rupiah, dengan x banyaknya produksi tiap bulan. Total biaya bulanan adalah C ( x )=200+4 x−0,01x2. Pada puncak produksi ia dapat membuat 300 satuan. Berapa keuntungan bulanan maksimum dan berapa tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum tersebut?

5. Jika biaya total C ( x )= 140000

(80.000x−400 x2+x3), x menyatakan kuantitas.

Tentukanlah x yang menjadikan biaya rata-rata minimum.

1.15. ELASTISITAS

Misalkan y=f (x ) menyatakan suatu fungsi, y variabel terikat dan x variabel bebas. Elastisitas y terhadap x adalah rasio daripada perubahan relatif y terhadap perubahan relatif x. Dengan demikian elastisitas y terhadap x mengukur kepekaan y terhadap perubahan x. Elastisitas tidak memiliki satuan dengan notasi : η

Elastisitas y terhadap x didefinisikan sebagai :

η=E y

E x

=

∆ yy∆ xx

=xy.∆ y∆ x

Dimana untuk ∆ x→0 maka ∆ y∆ x

→dydx

.

Terdapat dua tipe pengukuran Elastisitas yakni :

A Elastisitas Busur (arc elasticity) yaitu mengukur elastisitas suatu fungsi sepanjang busur diantara dua titik (x1 , y1) dan (x2 , y2).

EyEx

=x1y1.y2− y1x2−x1

=x1y1.∆ y∆ x

, yang merupakan aproksimasi bagi elastisitas titik

pada (x1 , y1)

EyEx

=x2y2.y2− y1x2− x1

=x2y2.∆ y∆ x

, yang merupakan aproksimasi bagi elastisitas titik

pada (x2 , y2)

EyEx

=x1+ x2y1+ y2

.y2− y1x2−x1

=x1+ x2y1+ y2

.∆ y∆ x

, yang memberikan suatu rata-rata bagi

elastisitas diantara dua titik.B Elastisitas Titik (point elasticity) yaitu mengukur elastisitas suatu fungsi pada

sebuah titik. Elastisitas fungsi y=f (x ) pada titik (x1 , y1) adalah :

EyEx

=x1y1.dydx

dan secara umum :

η=E y

E x

=

dyydxx

=xy.dydx

Yang dapat ditulis sebagai turunan logaritmik sebagai berikut :

Ey

Ex

=

ddxln y

ddxln x

=

1ydydx

1xdxdx

=xy.∆ y∆x

Elastisitas Permintaan (Elasticity of Demand)

Elastisitas sering digunakan menganalisa kepekaan permintaan terhadap suatu komoditi akibat perubahan harganya.

Karena kemiringan fungsi permintaan adalah negatif, berarti turunan pertama dari fungsi permintaan tersebut adalah negatif, sehingga η ≤0.Kurva-kurva permintaan mempunyai elastisitas yang berbeda-beda. Karena itu, permintaan sering diklasifikasikan dalam kategori :

Elastis sempurna : η=∞ Elastis secara relatif :η<0 Elastis satuan/unit : η=−1 Inelastis secara relatif :−1<η<0 Inelastis secara sempurna : η=0

Berdasarkan uraian diatas, permintaan elastis jika ¿η∨¿1, elastis satuan jika |η|=1, dan inelastis jika ¿η∨¿1. Jika permintaan bersifat Elastis pada suatu harga tertentu, penurunan harga akan menaikkan kuantitas komoditi yang diminta dengan perbandingan yang lebih besar daripada penurunan harga, sehingga penghasilan total yang merupakan hasil kali dari harga dengan kuantitas akan meningkat.

Hal yang sama, jika permintaan elastis unit, maka penghasilan total tidak berubah akibat penurunan harga. Apabila permintaan Inelastis, penghasilan total akan menurun akibat peningkatan harga.

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu komoditi dinyatakan dengan y=√ 20−x2 untuk

0≤ x≤20, dimana y adalah harga per satuan dan x menyatakan jumlah unit yang diminta. Jika harga turun 6%, tentukan besarnya kenaikan dalam permintaan dan suatu aproksimasi dari elastisitas permintaan pada titik x=12, y=2. Bandingkan nilai itu dengan nilai yang eksak dari elastisitas permintaan pada titik x=12 , y=2,

kemudian hitung nilai aproksimasi elastisitas permintaan dan nilai eksak elastisitas permintaan pada titik setelah terjadi perubahan harga dan kuantitas, dan hitung juga elastisitas busur dengan menggunakan dasar harga dan kuantitas rata-rata.

Penyelasian :

y=√ 20−x2 sehingga y2=12(20−x ) atau x=20−2 y2

Untuk y1=2 maka y2=2−(0,06 ) (2 )=1,88 dan ∆ y=−0,12

Untuk x1=12 maka x2=20−2(1,88)2=12,93 dan ∆ x=0,93

Elastisitas busur permintaan pada x=12 , y=2 adalah :

ExEy

=y1x1.∆ x∆ y

= 212.(−0,930,12 )=−1,29

Elastisitas titik pada x=12 , y=2 adalah :

ExEy

= yxdxdy

= y

20−2 y2(−4 y )=−1,33

Elastisitas busur permintaan pada y2=1,88 , x2=12,93 adalah :

ExEy

=y2x2.∆ x∆ y

= 1,8812,93 (−0,930,12 )=−1,13

Elastisitas titik permintaan pada y2=1,88 , x2=12,93 adalah :

ExEy

= 2 y2

y2−10=−1,09

Elastisitas busur yang berdasar pada harga dan kuantitas rata-rata adalah :

ExEy

=y1+ y2x1+ x2

.x2−x1y2− y1

= 3,8824,93 (−0,930,12 )=−1,21

1.16. PENGHASILAN, PENGHASILAN MARGINAL, DAN ELASTISITAS PERMINTAAN

Jika y=f (x ) adalah fungsi permintaan terhadap sejumlah x komoditi dengan harga per unit y, maka :

Penghasilan total R=x . y=x . f (x ) Penghasilan marginal terhadap permintaan adalah

dRdx

=x dydx

+ y

Elastisitas permintaan terhadap harga : ExEy

= yxdxdy

,sehingga EyEx

= xydydx

. Dengan

demikian :

dRdx

=x dydx

+ y

dRdx

= y ( xy dydx +1)= y (1+ EyEx )= y (1+ 1ExEy

)

Contoh :

Fungsi permintaan suatu komoditi tertentu adalah

y=(12−x )1/2 untuk 0≤ x≤12, x jumlah, dan y harga per unit. Tentukan harga dan kuantitas dimana penghasilannya maksimum dan tunjukkan bahwa pada fungsi permintaan ini, hubungan antara penghasilan marginal dan elastisitas permintaan dapat dipertahankan.

1.17. PENGHASILAN DARI PAJAK

Jika pemerintah menarik pajak, diasumsikan bahwa harga yang dibayar konsumen akan naik, sehingga kuantitas permintaan akan turun. Dengan demikian, penarikan pajak oleh pemerintah akan berdampak terhadap keseimbangan pasar dibawahkondisi sebagai berikut:

Terjadi persaiangan murni, dimana permintaan konsumen hanya bergantung pada harga dengan kata lain, bahwa fungsi permintaan tidak berubah.

Produsen akan menyesuaikan fungsi penawaran terhadap harga baru yang sudah termasuk pajak.

Misalkan fungsi penawaran produsen atas sejumlah x komoditi dengan harga per unit sebesar y adalah : y=g (x). Jika pemerintah menarik pajak sebesar t , maka fungsi penawaran setelah pajak adalah

y t=g ( x )+t

Jika fungsi permintaan adalah y=f (x ), maka keseimbangan pasar :

Sebelum pajak E(xe , ye) diperoleh dari persamaan : f ( x )=g (x) Setelah pajak Et (x t , y t) diperoleh dari persamaan :y= y t atau f ( x )=g ( x )+t

Penghasilan pajak total yang diterima pemerintah adalah

T=t . x t

Contoh :

1. Fungsi permintaan dan penawaran atas suatu komoditi adalah :D :2 y+x=14S :12 y−4 x=9

Tentukan penghasilan maksimum pemerintah dari penarikan pajak sebesar t per unit.Penyelesaian:

Fungsi penawaran setelah dikenakan pajak sebesar t adalah y=34+ x3+ t, sehingga

keseimbangan setelah pengenaan pajak adalah :

y=7− x2= 34+ x3+ t . Dengan demikian t=

254

−56x

T=tx=254x−56x2 dan

dTdx

=254

−53x. Untuk

dTdx

=0 didapat x=154

.

d2Td x2

=−53

<0, sehingga T max pada x=154

dan T max=37532

, dimana besar pajak per

unit adalah t=254

−56 ( 154 )=258 .

2. Fungsi permintaan dan penawaran atas sejumlah x komoditi dengan harga y per unit adalah :

D : y=30−2x2

S : y=3+x2 Tentukan penghasilan maksimum yang mungkin diperoleh pemerintah jika pajak yang dikenakan adalah t per unitPenyelesaian :Fungsi penawaran setelah pajak adalah : y=3+ x2+t . Keseimbangan terjadi pada saat y= y yakni 30−2x2=3+x2+t , dan diperoleh t=27−3 x2.

Total penerimaan dari pajak adalah T=xt=27 x−3 x3 dan dTdx

=27−9x2 .

Untuk dTdx

=0 didapat x=√3. Karena d2Td x2

=−18 x<0 untuk x=√3 maka T max pada

x=√3 . dengan demikian didapat T max=18 √3 untuk t=27−9=18 .

LABA/KEUNTUNGAN DIBAWAH MONOPOLI.

Dalam persaingan tidak sempurna, sering diasumsikan bahwa fungsi permintaan y=f ( x ) diketahui dan harga yang harus dibayar konsumen hanya tergantung pada jumlah komoditi yang diminta.

Dalam situasi monopolistik, produsen sebagai monopolis mengendalikan harga melalui pengaturan penawaran komoditi. Apabila terbatas, harga relatif tinggi, dan apabila penawaran meningkat, harga turun.

Jika yc adalah biaya rata-ratauntuk memproduksi satu unit komoditi, maka biaya total

yc=x yc

Monopolis mengendalikan penawaran x dan harga y (diperoleh melalui fungsi permintaan) untuk memaksimumkan labanya. Penghasilan total yang diterimanya adalah

R=x . y , dimana y=f (x )

Laba total P adalah selisih antara penghasilan dan biaya total, yaitu:

P=R− yc

Laba maksimum jika :

dPdx

=0 Sehingga dRdx

=d ycdx

Dan d2Pd x2

<0

Contoh :

1. Fungsi permintaan atas suatu komoditi adalah y=26−2 x−4 x2 dan biaya rata-rata dari monopolis untuk memproduksi dan pemasaran komoditi tersebut adalah yc=x+8. Tentukan laba maksimum yang dapat diperoleh monopolis.Penyelesaian :Penghasilan R=xy=26 x−2 x2−4 x3

Biaya Total yc=x yc=x2+8x

Laba P=R− yc=18 x−3 x2−4 x3 dan

dPdx

=18−6 x−12x2

Untuk dPdx

=0 maka 18−6 x−12x2=0 sehingga didapat x=1 atau x=−32

. Tetapi

harga x yang berlaku adalah x=1.d2Pd x2

=−6−24 x<0 , untuk x=1, sehingga Pmax pada x=1 dengan Pmax=11.

2. Diketahui Fungsi permintaan y=28−5 x dan biaya total adalah yc=x2+4 x .

Tentukan laba maksimum yang dapat diperoleh monopolis. (kerjakan sebagai latihan)

1.18. DAMPAK PAJAK PADA MONOPOLI

Pengaruh pajak sebesar t per unit menaikkan biaya rata-rata sebesar t dan biaya total sebesar tx. Sehingga :

yc t= y c+tx

Laba setelah pajak adalah :

P=R− yc t=R− yc−tx

P mempunyai nilai maksimum relatif jika dan hanya jika

dPdx

=0

Yaitu

dRdx

=d ycdx

Dan

d2Pdx2

<0 yaitu d2Rd x2

<d2 yctd x2

Karena kurva biaya marginal setelah pajak t adalah hasil pergeseran kurva biaya marginal sebelum pajak ke arah atas sejauh t , maka jumlah komoditi yang diproduksi supaya laba maksimum akan menurun, tetapi harga meningkat.

Penghasilan Total yang diterima pemerintah dari pengutipan pajak adalah

T=t x

Dimana x = jumlah produksi setelah dikenakan pajak.

Pada kenyataannya, dalam keadaan tertentu dan untuk komoditi tertentu, pemerintah memberikan Subsidi yang akan menurunkan harga, sehingga konsumen sanggup mendapatkan komoditi tersebut. Subsidi dapat dipandang sebagai Pajak Negatif dan analisis umumnya tidak berubah, yakni persamaan pendapatan dan biaya total setelah Subsidi mirip dengan persamaan pendapatan dan biaya total setelah pajak, tetapi t bertanda negatif .

Contoh :

Fungsi permintaan atas suatu komoditi adalah y=20−4 x dan biaya rata-rata dari monopolis adalah yc=2.

(a) Jika monopolis dikenakan pajaksebesar t per unit, tentukan laba maksimum yang mungkin dicapai, dan berapa nilai t penghasilan dari pajak maksimum.

(b) Tentukan laba maksimum monopolis jika dikenakan pajak 33,3%

Penyelesaian :

Permintaan : y=20−4 x

Penghasilan R=xy=x (20−4 x )=20 x−4 x2

Biaya rata-rata yc=2, sehingga biaya total yc=2 x

Biaya Total setelah Pajak yct=2 x+ tx

(a) Laba : P=R− yct=20 x−4 x2−2x−tx= (18−t ) x−4 x2

dPdx

=18−t−8 x

Untuk dPdx

=0 maka x=18−t8

dan y=22+t2

d2Pd x2

=−8<0, maka P maksimum pada x=18−t8

dan Pmax=(18−t)2

8−4 (18−t8 )

2

¿(18−t)2

16

Penghasilan pajak T=tx=t (18−t )8

, sehingga dTdx

=18−2t8

=9−t4

.

Jika dTdx

=0 maka t=9. Karena d2Tdx2

=−14

<0 maka T max pada t=9. Dengan

demikian x=18−t8

=98

dan Pmax=(18−9 ) 98−4 .( 9

8)2

=818

.

T max=tx=9.98=818

(b)Fungsi permintaan y=20−4 x, maka penerimaan sebelum pajak adalah R=x . y

yakni R=20x−4 x2. Setelah dikenakan pajak 33,3% dari penjualan yakni 13R, maka

penerimaan setelah pajak adalah Rt=R−13R=2

3R=2

3(20 x−4 x2)

Laba setelah pajak menjadi P=R t− yc=23

(20 x−4 x2 )−2x

P=13(34 x−8x2) dan

dPdx

=343

−163x. Untuk

dPdx

=0maka 343

−163x=0, sehingga

x=178

. Karena d2Pdx2

=−163

<0, maka Pmaxdicapai pada x=178

.

Pmax=13(34. 17

8−8.( 178 )

2

)

Soal :

1. Fungsi permintaan suatu komoditi tertentu adalah y=14−3 x , dan biaya total dari monopolis adalah yc=x

2+5 x.(a) Jika kepada monopolis dikenakan pajak per unit sebesar t , tentukanlah laba

maksimum yang mungkin dicapai monopolis (Pmax), perubahan harga dan penghasilan pajak sebagai fungsi t .

(b) Tentukan penghasilan pajak maksimum yang diperoleh pemerintah (Tmax ¿

2. Diketahui fungsi permintaan y=120−x dan fungsi penawaran y=x+10, dimana x adalah jumlah dan y adalah harga per unit. Tentukan harga dan jumlah keseimbangan :(a) Seandainya pajak sebesar $15 per unit dikenakan kepada penjual

(b) Seandainya sebagai ganti pajak, subsidi sebesar $10 dibayarkan kepada produsen

3. Fungsi permintaan atas suatu komoditi adalah y=50−6 x dan fungsi biaya dari monopolis adalah yc=x

2+9 x.(a) Jika monopolis dikenakan pajaksebesar t per unit, tentukan laba maksimum

yang mungkin dicapai, dan berapa nilai t penghasilan dari pajak maksimum.(b) Tentukan laba maksimum monopolis jika dikenakan pajak 20 %

DIFFERENSIAL PARSIAL

Misalkan z=f (x , y ), suatu fungsi dengan variabel bebas x dan y , dan variabel terikat z, maka

∂ z∂ x

adalah turunan pertama parsial dari z terhadap x dengan memandang y sebagai

konstanta.

∂ zdy

adalah turunan pertama parsial dari z terhadap y dengan memandang x sebagai

konstanta.

Notasi yang sering digunakan untuk menuliskan turunan pertama parsial dari z=f (x , y ) adalah:

∂ z∂ x

= ∂ f∂ x

= ∂∂ x

f ( x , y )= f x ( x , y )=f x=zx

∂ z∂ y

= ∂ f∂ y

= ∂∂ y

f ( x , y )=f y ( x , y )=f y=z y

Contoh 1

Bila z=2 x2+3 xy−6 y2 maka :

∂ z∂ x

=4 x+3 y dan ∂ z∂ y

=3x−12 y

Contoh 2

Bila z=xy+ ln x , maka

∂ z∂ x

= y+ 1x

dan ∂ z∂ y

=x

Contoh 3

Bila z=( x+ y ) sin (3 x− y ) , maka

∂ z∂ x

=sin (3 x− y )+3 ( x+ y ) cos (3x− y)

∂ z∂ y

=sin (3x− y )−3 ( x+ y )cos (3 x− y )

Contoh 4

Jika z= x3− y3

xy, tunjukkanlah bahwa x

∂ z∂ x

+ y ∂ z∂ y

=z

Kalikan penyebut dengan x−1 y−1, sehingga z=x2 y−1−x−1 y2, dan diperoleh

∂ z∂ x

=2 x y−1+x−2 y2

∂ z∂ y

=−x2 y−2−2 x−1 y

x∂ z∂ x

=2x2 y−1+x−1 y2 dany∂ z∂ y

=−x2 y−1−2 x−1 y2Sehingga x∂ z∂ x

+ y ∂ z∂ y

=z

Tafsiran geometris turunan parsial z=f (x , y ) terhadap masing – masing variabel bebas adalah menyatakan tingkat perubahan z terhadap perubahan variabel bebas masing-masing, yakni

∂ z∂ x

adalah menyatakan tingkat perubahan z terhadap perubahan x

∂ z∂ y

adalah menyatakan tingkat perubahan z terhadap perubahan y

Secara umum, fungsi derivatif parsial z=f (x , y ) merupakan fungsi x dan y yang didifferensialkan terhadap x dan y , sehingga menghasilkan derivatif parsial turunan kedua dari z. Hasilnya adalah :

∂∂ x ( ∂ z∂ x )=∂2 z

∂ x2=z xx=

∂2 f∂ x2

=f xx

∂∂ y ( ∂ z∂ y )= ∂2 z

∂ y2=z yy=

∂2 f∂ y2

=f yy

∂∂ y ( ∂ z∂ x )= ∂2 z

∂ y ∂x=z yx=

∂2 f∂ y ∂ x

=f yx

∂∂ x ( ∂ z∂ y )= ∂2 z

∂ x ∂ y=z xy=

∂2 f∂ x ∂ y

=f xy

Catatan :

∂2 z∂ y∂ x

= ∂2 z∂x ∂ y

Atau

f xy=f yx

Contoh 5

Diketahui z=3 x4 y3+4 x2 y−2

Maka :

∂ z∂ x

=12 x3 y3+8 x y−2

∂ z∂ y

=9 x4 y2−16 x2 y−3

∂2 z∂ x2

=36 x2 y2+8 y−2

∂2 z∂ y2

=18 x4 y+48x2 y−4

∂∂ y ( ∂z∂ x )= ∂2 z

∂ y ∂x=36 x3 y2−16 x y−3

∂∂ x ( ∂ z∂ y )= ∂2 z

∂ x ∂ y=36 x3 y2−16 x y−3

Perhatikan bahwa

∂2 z∂ y∂ x

= ∂2 z∂ x ∂ y

=36 x3 y2−16 x y−3

DIFFERENSIAL TOTAL

Differensial Total dari fungsi

w=f (x , y , z)

Adalah

dw=∂w∂ x

dx+ ∂ w∂ y

dy+ ∂w∂ z

dz

Contoh 6

Bila z=2 x3−4 x y2+3 y3

Maka ∂ z∂ x

=6 x2−4 y2 dan ∂ z∂ y

=−8 xy+9 y2 sehingga:

dz= (6 x2−4 y2 )dx+(9 y2−8 xy )dy

Contoh 7

Jika w=x2+ y2+ z2, dimana x=r cos t , y=r sin t , dan z=r

dw=∂w∂ x

dx+ ∂ w∂ y

dy+ ∂w∂ z

dz

¿2 xdx+2 y dy+2 z dz

Karena

dx=cos t dr−r sint dt

dy=sin t dr+r cost dt

dz=dr

Maka:

dw=2 x (cos t dr−r sint dt )+2 y (sin t dr+r cost dt )+2 zdr

¿2 r (cos2t dr+sin2 t dr+dr)

¿2 (r+r )dr

¿4 r dr

Contoh 8

Diketahui u=( x+ y )(x− y)1 /2, hitunglah du jika x=6, y=2, dx=12

dan dy=−1

DERIVATIF TOTAL (TOTAL DERIVATIVE)

Bila w=f (x , y , z) memiliki derivatif parsial dan kontinu, dimana x , y , z adalah fungsi dari t , maka differensial total dari w terhadap x, y dan z adalah

dw=∂w∂ x

dx+ ∂ w∂ y

dy+ ∂w∂ z

dz

Derivatif Total dari w dapat diperoleh dengan membagi dw dengan dt .

Dengan demikian Derivatif total dari w terhadap t , yakni perubahan w bila t berubah adalah :

dwdt

=∂w∂x

dxdt

+ ∂w∂ y

dydt

+ ∂w∂z

dzdt

Contoh 9

Bila w=x2+ y2+ z2, dimana x=t et , y=e3 t dan z=esin t. Maka diperoleh

∂w∂ x

=2 x , ∂w∂ y

=2 y , ∂ w∂ z

=2 z

dxdt

=e t+t e t , dydt

=3e3 t , dan dzdt

=cos t esin t

Dengan demikian diperoleh :

dwdt

=∂w∂x

dxdt

+ ∂w∂ y

dydt

+ ∂w∂z

dzdt

Yaitu:

dwdt

=2 x (et+ t e t )+2 y (3e3t )+2 z (cos t esin t)

Jika x, y dan z masing-masing diganti dalam fungsi t , maka diperoleh :

dwdt

=2 t e t (e t+t e t )+2e3t (3e3 t )+2esin t(cos t esin t)

Apabila w=f (x , y , z), dimana x, y dan z masing-masing merupakan fungsi dari r dan s dan terdifferensialkan terhadap r dan s, maka :

∂w∂r

=∂w∂x

∂x∂r

+ ∂ w∂ y

∂ y∂ r

+ ∂w∂ z

∂ z∂ r

Dan

∂w∂s

=∂w∂x

∂x∂ s

+ ∂ w∂ y

∂ y∂ s

+ ∂w∂ z

∂ z∂ s

Contoh 10

Jika P=x3+6 xy+ y3 , dimana x=r s2 dan y=r2+s2 . Tentukan ∂P∂s

dan ∂P∂r

Penyelesaian

∂P∂ x

=3x2+6 y , ∂ P∂ y

=6 x+3 y2

∂ x∂r

=s2 , ∂ x∂ s

=2 rs , ∂ y∂ r

=2r , ∂ y∂ s

=2 s

Maka

∂P∂r

=∂ P∂x

∂ x∂ r

+ ∂ P∂ y

∂ y∂ r

atau ∂P∂r

= (3x2+6 y ) ( s2 )+(6 x+3 y2 )(2r ).

∂P∂s

=∂ P∂x

∂ x∂ s

+ ∂ P∂ y

∂ y∂ s

atau ∂P∂s

= (3x2+6 y ) (2 rs )+ (6 x+3 y2) (2 s)

Penerapan Derivatif Parsial Dalam Persoalan Bisnis

Derivatif parsial dapat digunakan dalam pemecahan dan pemodelan permasalahan yang mencakup Biaya Marginal, Fungsi Permintaan, Fungsi Produksi dan lainnya.

Biaya Marginal

Misalkan biaya produksi x dan y dinyatakan dengan

C=Q(x , y)

Maka Derivatif Parsial dari C disebut fungsi biaya marginal , yakni ∂C∂ x

adalah biaya Marginal yang berkaitan dengan x

∂C∂ y

adalah biaya Marginal yang berkaitan dengan y

Bidang Permintaan

Misalkan terdapat dua produk yakni x dan y , yang saling berkaitan dengan erat satu sama lainnya dan harga masing-masing produk adalah p dan q. Maka fungsi permintaan dari kedua produk tersebut dapat dinyatakan dengan

x=f (p ,q )dan y=g( p ,q)

dimana jumlah yang diminta yaitu x dan y tergantung pada harga masing-masing, yakni p dan q. Jika fungsi kedua permintaan adalah kontinu, maka grafik dari kedua fungsi tersebut adalah merupakan bidang, yang disebut dengan Bidang Permintaan (Dalam hal ini, harga barang x dan y sering dinotasikan dengan px dan py ¿.

Secara umum x=f (p ,q )dan y=g( p ,q) memiliki sifat dan ciri:

1. x , y , pdanq adalah tidak negatif.2. Bila q konstan, maka x adalah fungsi monoton turun dari p, yang berarti bahwa bila p

naik, maka x akan turun.3. Bila p konstan, maka y adalah fungsi monoton turun, yang berarti bahwa kenaikan q akan

mengakibatkan menurunnya y .4. Fungsi x=f (p ,q )dan y=g( p ,q) kemungkinan dapat dinyatakan sebagai p=F (x , y)

dan q=G(x , y).

Apabila harga p konstan, sedangkan q meningkat, y akan menurun; tetapi x bisa saja meningkat atau menurun. Apabila x meningkat, maka kedua produk saling bersaing , yang diakibatkan penurunan y diiringi denga kenaikan x. Sementara itu, bila harga p konstan, sedangkan q menurun, y meningkat; apabila x juga meningkat, maka kedua produk tersebut bersifat komplementer , sebab meningkatnya permintaan y diikuti dengan meningkatnya permintaan x.

Permintaan Marginal (marginal demand)

Misalkan diketahui fungsi permintaan dua jenis produk, sbb:

x=f ( p ,q) dan y=g (p ,q)

Derivatif parsial dari x dan y menyatakan fungsi permintaan marginal

∂ x∂ p:Permintaanmarginal x terhadap p

∂ x∂q:Permintaanmarginal x terhadapq

∂ y∂ p:Permintaanmarginal y terhadap p

∂ y∂q:Permintaanmarginal y terhadap q

Beberapa hal yang perlu diperhatikan adalah :

Jika ∂ x∂ p

<0 dan ∂ y∂q

<0 untuk setiap nilai p dan q berarti x meningkat bila harga p

menurun, dan y meningkat bila harga q menurun.

Jika ∂ x∂q

<0 dan ∂ y∂ p

<0 untuk nilai p dan q tertentu, berarti barang-barang tersebut

bersifat komplementer, sebab menurunnya harga menyebabkan naiknya permintaan kedua produk tersebut.

Jika ∂ x∂q

dan ∂ y∂ p

adalah positif untuk nilai p dan q tertentu, maka kedua produk bersifat

kompetitif, sebab menurunnya harga produk yang satu, akan menaikkan permintaan produk tersebut, sedangkan permintaan produk yang lainnya akan menurun.

Jika ∂ x∂q

dan ∂ y∂ p

tidak sama tanda, berarti kedua produk tidak bersaing dan tidak

komplementer

Contoh 1:

Jika fungsi permintaan berupa bidang, yang dinyatakan dengan fungsi linear dalam p dan q yaitu : x=a1+b1 p+c1q dan y=a2+b2 p+c2q

Maka fungsi permintaan marginal menjadi:

∂ x∂ p

=b1dan∂ y∂ p

=b2

∂ x∂q

=c1dan∂ y∂q

=c2

Biasanya berlaku b1<0 , c2<0 , dimana x meningkat jika harga p menurun, dan y meningkat

jika harga q menurun. Apabila c1dan b2 adalah positif, berarti kedua barang tersebut adalah

kompetitif, sedangkan jika c1 dan b2 negatif, maka barang-barang tersebut bersifat komplementer.

Contoh 2

Fungsi permintaan untuk dua jenis barang dinyatakan dengan :

x= a

p2qdan y= a

pq,a>0

Fungsi permintaan marginal menjadi :

∂ x∂ p

=−2ap3q

,∂ y∂ p

= −ap2q

∂ x∂q

= −ap2q2

,∂ y∂q

= −apq2

Karena

∂ x∂q

<0dan ∂ y∂ p

<0

Maka kedua barang adalah bersifat komplementer.

Contoh 3

Jika fungsi permintaan dari dua jenis barang yang berhubungan adalah:

x=a eq−pdan y=bep−q ,a>0 , b>0

Maka permintaan marginal adalah:

∂ x∂ p

=−aeq−p ∂ y∂ p

=be p−q

∂ x∂q

=aeq−p ∂ y∂q

=−be p−q

Karena ∂ x∂q

=aeq−p>0dan ∂ y∂ p

=be p−q>0

Maka kedua barang tersebut bersifat kompetitif.