2011
Christiam Huertas
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21/05/2011
Teoremas sobre ecuaciones polinomiales
TEOREMAS SOBRE ECUACIONES POLINOMIALES Mathema
Prof.: Christiam Huertas 2
Introducción
La búsqueda de fórmulas que permitan hallar las raíces de los polinomios fue un problema central del álgebra durante siglos.
Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1499-1557), Cardano (1501-1576) mostraron como resolver ecuaciones de tercer grado, y Ferrari (1522-1565) encontró un método para calcular las raíces de las ecuaciones de cuarto grado
del Ferro Tartaglia Cardano Ferrari
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El objetivo del álgebra clásica es expresar las raíces de la ecuación de grado �
���� � �� � ��
� �⋯� � � � � � 0
en términos de los coeficientes ��, ��, ��, … , � que pertenecen a un cuerpo �. La resolución de ecuaciones polinomiales es un tema que ha sido muy estudiado a lo largo de los años a causa de las distintas aplicaciones, provenientes de diversas áreas de la ciencia y de la tecnología, en las que este tipo de ecuaciones aparecen.
Ordenador cuántico
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Ecuación polinomial de grado superior
Forma general
���� � �� � ��
� �⋯+ � � + � = 0
donde �� ≠ 0 y � ≥ 3.
Ejemplos
• � − � − 2 + 2 = 0
• � − 4� + 5� − 16 + 4 = 0
• � − � − 8� + 8 = 0
• ! − 4� − � + 4 = 0
Para resolver estas ecuaciones generalmente se utiliza las técnicas de
factorización sobre ℂ; aunque a veces no es muy sencillo.
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Ejemplo 1.
Resuelva la ecuación polinomial � − � − 2 + 2 = 0.
Solución
Factorizamos la ecuación y obtenemos
� − �$%%&%%'−2 + 2$%%&%%'= 0
→�� − 1� − 2� − 1� = 0
→ � − 1��� − 2� = 0
→ � − 1�) − √2+) + √2+ = 0
→ = 1 ∨ = √2∨ = −√2 son las soluciones de la ecuación
∴ CS = 01;√2;−√22
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Ejemplo 2.
Resuelva la ecuación polinomial � − 4� + 5� − 16 + 4 = 0.
Solución
Factorizamos la ecuación por el método de aspa doble especial. � − 4� + 5� − 16 + 4 = 0
� −4 1
� 0 4
→ �� − 4 + 1��� + 4� = 0 → �� − 4 + 1�$%%%&%%%'� + 23�� − 23� = 0
Aplicamos la fórmula general �;� = −�−4� ± √122 ,� = −23,� = 23 ∴ CS = 02 − √3,2 + √3,− 23,232
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Teorema fundamental del álgebra
Toda ecuación polinomial de grado �, con coeficientes complejos, posee al menos
una raíz compleja.
Por ejemplo, la ecuación 5 − � + � + 2 � 1 � 0 posee al menos una raíz.
Gauss en su disertación doctoral (1799) dio la
primera demostración rigurosa del Teorema
Fundamental del Álgebra.
D’Alembert había tratado de
dar una demostración en
1746.
Gauss dio dos demostraciones más. En la tercera prueba
(1816) uso integrales complejas y mostro la gran maestría de
Gauss en la teoría de los números complejos.
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Corolario
Toda ecuación polinomial de grado � con coeficientes complejos, tiene
exactamente � raíces contadas cada una de ellas según lo indique su multiplicidad.
Ejemplos
• � − � − 2 + 2 = 0 Tiene exactamente 3 raíces.
• � − 4� + 5� − 16 + 4 = 0 Tiene exactamente 4 raíces.
• � − � − 8� + 8 = 0 Tiene exactamente 5 raíces.
• �� + 1 = 0 Tiene exactamente 12 raíces.
Observación.
Si la ecuación polinomial ���� = 0 tiene raíces �, �, �, … , ; entonces, la ecuación
se puede expresar como: ���� = �� − ��� − ��� − ��… � − � = 0
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La ecuación de tercer grado: fórmula de Cardano-Tar taglia
El matemático italiano Scipione del Ferro (1465-
1526) resolvió la ecuación general de grado 3,
pero sus descubrimientos no fueron publicados.
Otro matemático italiano, Tartaglia (1499-1557),
encontró un método para resolver cualquier
ecuación cúbica de la forma � + 6 + 7 = 0
y sus resultados fueron publicados por Cardano (1501-1576) en su obra Ars
Magna.
La fórmula se deduce de la siguiente manera. En primer lugar la ecuación cubica
� � ��� � �� � �� � 0
se puede llevar a una de la forma
8� � 68 � 7 � 0
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mediante la sustitución 8 = + 9:�
La sustitución anterior se llama de Tchirnhausen.
Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (o Tschirnhausen)
(1651-1708) fue un matemático, físico, médico y
filósofo alemán.
Es bien conocida la transformación de Tschirnhaus,
mediante la cual eliminaba ciertos términos intermedios
de una ecuación algebraica dada; fue publicada en su
Acta Eruditorum en 1683.
Por ejemplo, para la ecuación � − 3� � 9 � 5 � 0
Hacemos el cambio de variable: 8 � � �
�� � 1 de donde, � 8 � 1
Al reemplazar obtenemos: 8� � 68 � 2 � 0.
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Es decir; vamos a resolver la ecuación � + 6 + 7 = 0
Sea = < + = y reemplacemos en la ecuación �< + =�� + 6�< + =� + 7 = 0
Esto es, <� + =� + �3<= + 6��< + =� + 7 = 0
Supongamos que las incógnitas < y = satisfacen además la ecuación 3<= + 6 = 0.
Nuestro problema se reduce a encontrar < y = tales que
><� + =� = −7<�=� = − 6�27
Como se conoce <� + =� y <�=� , sabemos que <� y =� son las raíces de la
ecuación cuadrática
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@� + 7@ − 6�27 = 0
Resolviendo la ecuación se obtiene
<� = −72 + A7�4 + 6�27 , =� = −72 − A7�4 + 6�27
y así llegamos a la fórmula de Cardano:
= B−72+AC72D� + C63D�E + B−72−AC72D� + C63D�E
Denotemos ∆= C72D� + C63D�
es el discriminante de la ecuación cubica � + 6 + 7 = 0.
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Sean G = H−72+√∆E yJ = H−72−√∆E
Luego, las tres raíces de la ecuación � + 6 + 7 = 0 están dadas por � = G + J � = GK + JK� � = GK� + JK
donde K = − ��+ √�� 3
Propiedades
Dada la ecuación � + 6 + 7 = 0 donde 6 y 7 son números reales.
i. Si ∆< 0, entonces, las tres raíces son reales y diferentes.
ii. Si ∆= 0, entonces, las tres raíces son reales y dos de ellas iguales.
iii. Si ∆> 0, entonces, una raíz es real y las otras dos son imaginarias.
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Ejemplo . Resuelva la ecuación cúbica � + 3 − 2 = 0.
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La ecuación de cuarto grado
La ecuación de grado 4 fue resuelta por Ludovico Ferrari (1522-
1565).
Fue un estudioso de las matemáticas que se dedicaba
principalmente al estudio del álgebra, con lo que le llegó al
descubrimiento de la resolución algebraica de la ecuación general
de cuarto grado.
Lagrange encontró un método distinto para resolver las
ecuaciones de grado 2, 3 y 4, que no dependía de un cambio
de variables con ciertas condiciones, sino que era el final de
una sucesión de razonamientos ordenados y profundos que
utilizaban la teoría de los polinomios simétricos, la teoría de
las permutaciones de las raíces y la teoría de las resolventes.
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Teorema de Cardano - Viette
Relaciona los coeficientes de una ecuación polinomial con sus raíces.
1. Para una ecuación cuadrática. �� + N + O = 0 de raíces � y �.
Suma de raíces
� � � � �N
�
Producto de raíces
� ⋅ � �O
�
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2. Para una ecuación cúbica. �� + N� + O + Q = 0 de raíces �; � y �
Suma de raíces R� = � + � + � = −N�
Suma de productos binarios R� = �� + �� + �� = O�
Producto de raíces R� = ��� = −Q�
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Ejemplo
1. Dada la ecuación 2� − 5� + 3 − 7 = 0.
Entonces, R� = � + � + � = −−52 = 52
R� = �� + �� + �� = 32 R� = ��� = −−72 = 72
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3. Para una ecuación cuártica. �� + N� + O� + Q + S = 0 de raíces �; �; � y �.
Suma de raíces R� = � + � + � + � = −N�
Suma de productos binarios R� = �� + �� + �� + �� + �� + �� = O�
Suma de productos ternarios R� = ��� + ��� + ��� + ��� = −Q�
Producto de raíces R� = ���� = S�
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Ejemplo
1. Si la ecuación � − 12 − 5 = 0 tiene dos raíces que suman dos, calcule la
suma de las inversas de las otras dos raíces.
Solución
Sean las raíces �; �; � y �. Por dato, � + � = 2.
Se pide calcular ��E + ��T.
Por Cardano
R� = � + �$%&%'+ � + � = 0 → � + � = −2
2
R� = �� + �� + �� + �� + �� + �� = 0 → �� + � �� + ��$%%&%%'� + � �� + ��$%%&%%'� + �� = 0
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→ �� + �� + 2 �� + ��$%%&%%' � = 0
→ �� + �� = 4
R� = ��� + ��� + ��� + ��� = 12
→ �� �� + ��$%%&%%' � + �� �� + ��$%%&%%'� = 12
→−2�� + 2�� = 12 →−�� + �� = 6
Sumando 2�� = 10 → �� = 5 ∴ 1� + 1� = � + ��� = −25
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4. Para una ecuación polinomial de grado U.
Dada la ecuación polinomial de grano � ���� = �� + �� � +⋯+ � � + � = 0
de raíces �; �; �; … ; .
Suma de raíces R� = � + � + � +⋯+ = −����
Suma de productos binarios R� = �� + �� + �� +⋯+ � = ����
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Suma de productos ternarios R� = ��� + ��� +⋯+ � � = −����
Producto de raíces R = ���… = �−1� ⋅ ���
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Teorema de paridad de raíces
Teorema 1.
En toda ecuación polinomial de coeficientes reales y grado � ≥ 2, si una raíz es � = � + N3, N ≠ 0, entonces otra raíz es � = � − N3.
Teorema 2.
En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y grado � ≥ 2, si una raíz es � = � + √N, entonces otra raíz es � = � − √N.
(Se considera � ∈ ℚ y √N ∈ ℚ′)
Teorema 3.
En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y grado � ≥ 4, si una raíz es � = √� + √N; con 0√�, √N2 ⊂ ℚ′ y √�√N ∈ ℚ′, entonces, � = √� − √N; � = −√� +√N y � = −√� − √N tambien son raices.
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