ING. FLAVIO PARRA T

1

1. RECTAS

Para trazar una recta necesita de dos puntos de coordenadas y ,x . La caracterstica principal de las rectas es su inclinacin llamada pendiente;

definida como la variacin vertical y respecto a la variacin horizontal x .

x

y

2x1x

2y

1y

12 yyy

12 xxx

1.1 PENDIENTE DE UNA RECTA

Definicin.- Sean (x1, y1); (x2, y2) dos puntos conocidos sobre una lnea recta

no vertical, la pendiente de la recta es el nmero m dado por la relacin entre

el cambio vertical y y el cambio horizontal x, (ordenadas sobre abscisas).

x-x

y-ym ;

x

y

horizontalVariacin

verticalVariacin (m) Pendiente

12

12

Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre

ella deben tener x1 = x2 que da un denominador cero en la ecuacin.

m = =

0

y

ING. FLAVIO PARRA T

2

Para una recta horizontal cualesquiera dos puntos deben tener y1 = y2, esto

significa que el numerador es cero en la ecuacin, por lo tanto la pendiente

es cero.

m = ; m = = 0

Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5, 6) y

(2 ,3)

m = =

2. FORMAS DE ECUACIN DE LA RECTA.

Existen varios tipos de presentacin de la ecuacin de la recta, as: conocida

la pendiente y un punto, se puede aplicar la ecuacin en la forma punto-

pendiente; analice las distintas formas de ecuacin de lneas rectas.

11 x-x myy Punto pendiente bmxy Pendiente y ordenada al origen

0CByAx General

ax Recta vertical by Recta Horizontal

Ejemplo1: Escribir la ecuacin de una recta que pasa por el punto P (-4, 5) y cuya pendiente es -3. Exprese su respuesta en la forma lineal general.

Sustituimos estos valores en la ecuacin de la recta punto-pendiente y

tenemos:

y 5 = -3

y 5 = ; y-5= -3x-12

y = -3x 12 + 5 Despejando y

y = -3x 7 Ecuacin de la recta forma:

Nota: el coeficiente numrico que acompaa a x es la pendiente.

x

y

x

0

523

52

63

7

3

4x

43 x

ING. FLAVIO PARRA T

3

Ejemplo 2: Hallar la ecuacin de la recta que tiene pendiente 3 y su interseccin con el eje y es 2 ; (la ordenada al origen b es la interseccin

con el eje y)

En este caso m = 3 y b = 2 Por lo tanto:

Reemplazamos estos valores en la forma y = mx + b

y =3x + 2

Ejemplo3: Determinar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos 4 , 2 By 4- , 3-A . Exprese su respuesta en la forma lineal general y

grafique.

5

8

(-3)-2

(-4)-4m ;

x-x

y-ym

12

12

2-x

5

84-y ; x-x myy 11

0

5

4y-x

5

8 ;

5

4x

5

8y ; 4

5

16x

5

8y

) 4- , (-3A

) 4 , (2 B

5

4x

5

8y

ING. FLAVIO PARRA T

4

Ejemplo 4: Determine la ecuacin de la recta que tiene pendiente -2 y la interseccin con el eje vertical es 3. Grafique.

3-2xy ; bmxy

x

y

3x2y

3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

RECTAS PARALELAS: Dos rectas son paralelas si la pendiente de la recta 1 es igual a la pendiente de la recta 2.

Matemticamente: m1 = m2

RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares cuando forman un ngulo de 90 entre ellas y el producto de las pendientes es

igual a -1.

Matemticamente: m1 . m2= -1

EJERCICIOS.

1. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto ) 1 , 3- ( y es paralela

a la recta 3x2y . Grafique:

ING. FLAVIO PARRA T

5

paralelas" Rectas" 2mm 21

5--2xy ; 3x -21-y ; x-x my-y 11

x

y

3x2y

5x2y

2. Determine la ecuacin de la recta que pasa por el punto 1- , 2- y es

perpendicular a la recta 3x2y . Grafique.

2

1m ;

2-

1m ; -1m2- ; -2m

lares"perpendicu Rectas" -1mm

2221

21

x 2

1y ; 2x

2

11y ; x-x my-y 11

ING. FLAVIO PARRA T

6

x

y

3x2y

x2

1y

4. FUNCIONES LINEALES

Varias aplicaciones administrativas y econmicas, estn relacionadas con

modelaciones lineales. Una funcin lineal puede expresarse como ( ) con y est representado por una recta.

Ejemplo: Suponga que f es una funcin lineal de pendiente -3 y ( ) . Determine f(x).

Tenemos como datos ( )

( ) ( )

4.1 APLICACIONES DE FUNCIONES LINEALES

Para encontrar una funcin lineal tome en cuenta lo siguiente:

Lea con detenimiento el ejercicio, defina la funcin lineal, frases como: el costo est relacionado linealmente con el nmero de unidades

c , q )q(fc ; el peso (W) est relacionado con el tiempo (d) ) W , d ( )d(fW .

ING. FLAVIO PARRA T

7

Encuentre dos puntos de coordenadas definidas en el punto anterior, calcule la pendiente. En ocasiones hay ejercicios en los que le dan

directamente la pendiente como por ejemplo: La propiedad se aprecia (p)

$30000 cada ao (t).

Con la pendiente y cualquiera de los puntos, determine la ecuacin de la funcin lineal aplicando la forma punto-pendiente.

EJERCICIOS

1. Ecuacin de oferta. Suponga que un fabricante de zapatos colocar en el mercado 50 mil pares cuando el precio es $35 por par y 35 mil pares de

zapatos cuando el precio es $30. Determine la ecuacin de oferta suponiendo

que el precio p y la cantidad q estn relacionados de manera lineal.

30 , 35 35 50, ; p , q q fp

3

1m ;

15-

5-

50-35

35-30m ;

q-q

p-pm

12

12

3

55q

3

1 p

35-q 3

130-p ; q-q mpp 11

2. Precios por reparacin. Una compaa que repara copiadoras comerciales, cobra por un servicio una cantidad fija ms una tarifa por hora. Si un cliente

tiene una factura de $150 por un servicio de una hora y $280 por un servicio

de tres horas, determine una funcin lineal que describa el precio de un

servicio, en donde x es el nmero de horas de servicio.

280 , 3 150 , 1 ; p ,x f(x)p

65m ; 2

130

1-3

150-280m ;

x-x

p-pm

12

12

8565xp ; 1-x 65150-p ; x-x mp-p 11

ING. FLAVIO PARRA T

8

3. Depreciacin. Un televisor nuevo se deprecia $120 por ao, y tiene un valor de $340 despus de 4 aos. Determine una funcin que describa el valor de

este televisor, si x es la edad, en aos, de la televisin.

340 4, 120m ; f(x)p

820-120xp ; 4-x 120340-p ; x-x mp-p 11

4.2 CURVAS DE OFERTA Y DEMANDA

La curva de demanda desciende de izquierda a derecha, esto significa que al

incrementarse la cantidad demanda el precio disminuye y el valor de la

pendiente es negativa.

La curva de oferta asciende de izquierda a derecha y esto significa que al

incrementarse la cantidad ofertada, el precio aumenta y el valor de la

pendiente es positiva.

Ejemplo: Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100

unidades cuando el precio es de $ 58 por unidad y 200 unidades cuando el

precio es de $ 51 .Determinar la ecuacin de demanda suponiendo que es

lineal

Como la demanda es lineal, el precio p est en funcin del nmero de unidades demandadas, debe encontrar dos puntos de coordenadas ( ).

De la lectura del ejercicio tenemos los siguientes puntos:( ) y ( ) . Calculamos la pendiente y su ecuacin.

( )

( )

ING. FLAVIO PARRA T

9

p

q

65q100

7p

4.3 PRODUCCIN Y PUNTOS DE EQUILIBRIO.

1. Negocios. Un fabricante produce un producto cuyo costo por material es $4, mano de obra $2 y los costos fijos $4000. Si el producto se vende a $8. Determine:

El punto de equilibrio.

(C) totalCosto (r) totalIngreso Punto de equilibrio

40006q8q ; Cf(q) Cv q p

16000Cr ; (2000) 8Cr ; 2000q

ING. FLAVIO PARRA T

10

q

C,r

q8r 4000q6C

Determine el nivel de produccin para tener una utilidad de $3000

C -rU ; totalCosto - totalIngreso U

3500q ; 40006q q83000

Determine el nivel de produccin para tener una prdida de $2000

1000q 4000q6q82000

5. FUNCIONES CUADRTICAS

Una funcin f que puede escribirse de la forma y = f(x) = ax2 + bx + c, donde

a, b y c son constantes y a0; es llamada funcin cuadrtica porque la variable independiente x est elevada a la segunda potencia.

ING. FLAVIO PARRA T

11

5.1 LA PARABOLA.

El objetivo es estudiar la parbola que es la representacin grfica de la

funcin cuadrtica, muy utilizada en distintos anlisis experimentales y

econmicos. Para graficar la parbola considere lo siguiente:

a) Identifique las constantes numricas a, b, c.

b) Si a > 0, la parbola es cncava hacia arriba . Si a < 0, la parbola es cncava hacia abajo .

c) El punto (x, y) ms alto o ms bajo de la parbola se denomina vrtice.

Que tiene como coordenadas: (

(

)). Por el vrtice de la

parbola pasa un eje de simetra.

d) Intersecciones con los ejes.

Ejemplo1: Para la funcin: ( ) . Encontrar el vrtice, las intersecciones con los ejes, dominio y rango. Graficar la

parbola.

a) Coeficientes: )

c) Vrtice:

( )

( )

( ) ( )

( )

d) Interseccin con los ejes.

Interseccin eje t: ( )( )

( ) ( )

ING. FLAVIO PARRA T

12

Interseccin con eje S: t = 0

( ) ( ) ( )

e) Dominio y rango de la funcin: Df: R; el rango determinamos con el

grafico: [ )

f) Grfica:

0 , 1- 0 , 5

9 , 2 V

s

t

5-4t-ts 2

Eje

de s

imetr

a

5.2 APLICACIONES DE FUNCIONES CUADRATICAS

Ejemplo 1: Si el precio (en dlares) de una videocinta es

,

entonces se vendern q cintas.

a) Encuentre una expresin para el ingreso total por la venta de q cintas. b) Encuentre el nmero de cintas que producir el ingreso mximo. c) Encuentre el ingreso mximo.

a) Ingreso:

(

)

ING. FLAVIO PARRA T

13

b) Nmero de cintas (q) para ingreso mximo.

(

)

c) Ingreso mximo (R).

( ) ( )

Ejemplo 2. Suponga que la demanda y la oferta de cierto producto est

dado por las ecuaciones: ( ) ( ); donde p es el precio en cientos de dlares y q el nmero de unidades producidas. Determine el punto de equilibrio. Grafique.

Punto de equilibrio:

( )( )

( ) ( )

Grafica: Se trata de 2 parbolas, donde nicamente interesa los valores de

Grafico:

ING. FLAVIO PARRA T

14

x

y

) 96 , 3 (

2q6150p

q2q10p 2

6. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Cuando una situacin debe describirse matemticamente, no es raro que

surja un conjunto de ecuaciones, como:

(2) 54y3x8

(1) 36y2x5

A este conjunto de ecuaciones le llamamos sistema de dos ecuaciones

lineales en las variables (o incgnitas) x y y. La solucin consiste en

encontrar los valores x y y para las cuales las dos ecuaciones sean

verdaderas de manera simultnea. Estos valores se llaman soluciones del

sistema.

Como las ecuaciones (1) y (2) son lineales, sus grficas son lneas rectas;

llammoslas L1 y L2, si stas se dibujan en el mismo plano, existen tres

posibles situaciones:

a) 21 Ly L pueden intersecarse en exactamente un punto, digamos )y,x( oo. Por lo tanto, el sistema tiene como solucin nica oxx y oyy .

ING. FLAVIO PARRA T

15

b) 21 Ly L pueden ser paralelas y no tener puntos en comn. En este caso

no existe solucin.

c) 21 Ly L pueden ser la misma recta. Por tanto, las coordenadas de

cualquier punto sobre la recta son una solucin del sistema. En

consecuencia, existe un nmero infinito de soluciones.

Para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales puede utilizar tres

mtodos:

a) Mtodo de sustitucin.

L1

L2

(xo,yo)

L1

L2

L1

L2

ING. FLAVIO PARRA T

16

Utilicemos el sistema de ecuaciones del ejemplo para explicar el mtodo

de solucin.

(2) 54y3x8

(1) 36y2x5

b) Mtodo de eliminacin o suma y resta. El mtodo consiste en multiplicar o dividir a las ecuaciones por valores

apropiados para que sumados se elimine una de las variables. Usemos el

mismo ejemplo para explicar el mtodo.

1. Despeje en una de las

ecuaciones una de las

variables

en funcin de la otra.

2

x536y

de (1)

2. Sustituya esta expresin (y) en

la ecuacin (2) 542

x5363x8

; 54

2

x15108x16

0 x; 031x ; 108)2(54x31

3. Sustituya la solucin

encontrada en la ecuacin del

paso 1,

18y ; 2

)0(536y

4. Compruebe, sustituyendo los

valores de x y y en las

ecuaciones originales.

362(18)5(0) :(1) En

-543(18)-8(0) :(2) En

1. Elimine una de las variables multiplicando

o dividiendo por valores apropiados sobre

toda la ecuacin y eliminar una de las

variables.

55831y

27015y40x- (2)x(-5)

28816y40x (1)x(8)

1818558y

2. Sustituya la variable encontrada en

cualquiera de las ecuaciones.

0 x; 05x

36-365x

362(18)5x :(1) En

3. Compruebe, sustituyendo los valores de x

y y en las ecuaciones originales. 362(18)5(0) :(1) En

-543(18)-8(0) :(2) En

ING. FLAVIO PARRA T

17

6.1 Sistemas de ecuaciones con tres variables.

Para la solucin de sistemas de tres ecuaciones y tres incgnitas

utilizamos el conocimiento en la solucin de sistemas de 2 ecuaciones.

Ejemplo:

(3) 4z3yx2

(2) 3z2y2x3

(1) 2z4y7x5

1. Elija que variable va eliminar y trabaje combinando las ecuaciones por ejemplo la (1) con (2) o (1) y (3) o (2) y (3).

(4) -922z31y-

-1510z10y-15x- (2).(-5)

612z21y-15x (1).(3)

(5) -613z-7y

-129z-3y6x- (3).(-3)

64z-4y6x )2).(2(

2. Ahora tiene 2 ecuaciones con dos incgnitas con las mismas variables, elimine una de ellas.

1z ; -249249z-

-186403z-217y (5).(31)

-63154z217y- )7).(4(

3. La solucin encontrada, reemplace en las ecuaciones (4) o (5)

1y ; 77y

13-67y ; -613(1)-7y :(5) En

4. Con las soluciones encontradas, reemplace en cualquiera de las ecuaciones originales.

1 x ; 22x

2-42x ; 43(1)(1)-2x :(3) En

ING. FLAVIO PARRA T

18

5. Compruebe en las ecuaciones originales.

4)1(3)1()1(2

3)1(2)1(2)1(3

2)1(4)1(7)1(5

7. APLICACIN DE ECUACIONES LINEALES

1. Mezcla de caf. Un comerciante de caf mezcla tres tipos de caf que

cuestan $2.20, $2.30 y $2.60 por libra, para obtener 100lb de caf que

vende a $2.40 por libra. Si utiliza la misma cantidad de los dos cafs ms

caros, cunto de cada tipo debe utilizar en la mezcla?

Solucin:

100zyx Ecuacin de cantidad

)100(4.2z6.2y3.2x2.2 Ecuacin de precio

zy Condicin, utilizar la misma cantidad de los cafs ms caros

Sistema de ecuaciones:

(3)

(2) 2406.23.22.2

(1) 100

zy

zyx

zyx

Ecuacin (3) en (1) y (2)

(4) 1002z x; 100zzx

(5) 2404.9z2.2x ; 240z6.2z3.2x2.2

De (4) (6) z2100x

(6) sustituimos en (5)

2404.9z4.4z-2200 ; 240z9.4)z2100(2.2

ING. FLAVIO PARRA T

19

40z ; 20z5.0

z en (4) 20 x; )40(2100x

Solucin: 40zy ; 20x

Comprobacin en (2): 240)40(6.2)40(3.2)20(2.2

2. Contratacin de trabajadores. Una compaa paga a sus trabajadores

calificados $15 por hora en su departamento de ensamblado. Los

trabajadores semicalificados en ese departamento ganan $9 por hora. A

los empleados de envos se les paga $10 por hora. A causa de un

incremento en los pedidos, la compaa necesita contratar un total de de

70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y de envos. Pagar

un total de $760 por hora a estos empleados. A causa de un contrato con el

sindicato, deben emplearse el doble de trabajadores semicalificados que

de trabajadores calificados, Cuntos trabajadores semicalificados,

calificados y trabajadores de envos debe contratar la compaa?

ENVOS (z)

CALIFICADOS (x)

SEMICALIFICADOS (y)

TR

AB

AJA

DO

RE

S=70

CO

STO

PO

R H

OR

A=$760

$15

$9

$10

Sistema de ecuaciones: Con la ayuda del grfico modelemos la

situacin.

sindicato"con Contrato " (3) 2x y

" horapor costo deEcuacin " (2) 76010z9y15x

res" trabajadode cantidad deEcuacin " (1) 70zyx

Resolucin:

ING. FLAVIO PARRA T

20

Ecuacin (3) en (1) y (2)

(4) 70z3x ; 70zx2x

(5) 76010z33x ; 760z10)x2(9x15

De (4): (6) x370z

(6) en (5): 76030x-70033x ; 760)x370(10x33

20 x; 60x3 Calificados

x en (6): 10z ; )20(370z Envos

x en 3: 40y ; )20(2y Semicalificados

Comprobacin en (1): 70104020

3. Produccin. Una compaa produce tres tipos de muebles: sillas,

mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de madera, plstico y

aluminio, como se indica en la tabla siguiente. La compaa tiene en

existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plstico y 1500

unidades de aluminio. Para la corrida de fin de temporada, la compaa

quiere utilizar todas sus existencias. Para hacer esto, cuntas sillas,

mecedoras y sillones debe fabricar?

Madera Plstico Aluminio

Silla 1 unidad 1 unidad 2

unidades

Mecedora 1 unidad 1 unidad 3

unidades

Silln reclinable 1 unidad 2

unidades

5

unidades

a) Le piden encontrar cul es nmero de sillas mecedoras y sillones reclinables que se debe fabricar con los materiales existentes. Ubiquemos

en la tabla de informacin, las incgnitas y los requerimientos.

ING. FLAVIO PARRA T

21

Madera Plstico Aluminio

Silla (x) 1 unidad 1 unidad 2

unidades

Mecedora (y) 1 unidad 1 unidad 3

unidades

Silln reclinable

(z)

1 unidad 2

unidades

5

unidades

Requerimientos 400 600 1500

b) Plantee el sistema de ecuaciones.

(3) 1500z5y3x2

(2) 600z2yx

(1) 400zyx

Ecuaciones: (1) (2)

200z -200z-

6002zyx-

400 z y x

z en (1) y (3)

(4) 200y x; 400200yx

(5) 5003y2x ; 1500)200(5y3x2

De (4): (6) x200y

(6) en (5): 5003x-6002x ; 500)x200(3x2

100 x; 100x

x en (6): 100y ; 100200y

c) Comprobacin: en (3)

1500)200(5)100(3)100(2

ING. FLAVIO PARRA T

22

6. DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES

Una desigualdad lineal con dos variables x , y puede escribirse en la forma:

) , , ( o 0cbyax

Donde a, b y c son constantes; a y b no son ambas igual a cero.

En forma geomtrica la solucin grfica de una desigualdad lineal en x y y consiste en todos los puntos (x , y) en el plano, cuyas coordenadas

satisfacen la desigualdad.

La solucin no es nica, existe un nmero infinito de soluciones que consiste en un semiplano o una regin que satisface la desigualdad dada.

Estudie los ejemplos del texto, no tendr dificultad en la comprensin del

tema.

Ejemplo: Resolver la desigualdad 93y-2x

1. Despeje la variable y (recuerde las propiedades de las desigualdades lineales, pg55). Encuentre las intersecciones con los ejes (eje x: 0y ;

eje y: 0x )

0 , 29 3- , 0 3x3

2y

2. Grafique la recta. Como y es menor que 3x 32 ; la solucin ser todos

los puntos que estn bajo la recta, que es la regin solucin.

ING. FLAVIO PARRA T

23

La solucin de un sistema de desigualdades: consiste en todos los puntos

cuyas coordenadas satisfacen simultneamente todas las desigualdades

dadas; geomtricamente es la regin comn para todas las desigualdades.

Ejemplo.

Resolver el sistema de desigualdades.

50y2x

30 y x

482yx

Despeje la variable y, encuentre las intersecciones.

0) , (25 50) , (0 2x -50 y

0) , (30 30) , (0 x -30y

0) , (48 24) , (0 2

x-24y

Grafique e identifique las rectas, realice un anlisis de las desigualdades y encuentre la solucin si existe.

ING. FLAVIO PARRA T

24

Ejemplo. Administracin. Una compaa elabora dos productos, A y B. Cada uno de estos productos requiere cierta cantidad de tiempo, en dos

mquinas en su elaboracin. Cada unidad del producto A requiere 1 hora

en la mquina I y 2 horas en la mquina II; cada unidad del producto B

demanda 3 horas en la mquina I y 2 horas en la mquina II. La compaa

dispone de 100 horas en la semana en cada mquina. Si x unidades del

producto A y y unidades del producto B se producen a la semana, d las

desigualdades que satisfacen x y y. Represntalas en forma grfica.

Organice la informacin de forma matricial.

Producto A Producto B Disponibilidad

(x) (y)

Mquina I 1 3 100

Mquina II 2 2 100

Establezca el sistema de desigualdades lineales

ING. FLAVIO PARRA T

25

{

La condicin ; son condiciones de no negatividad pues productos, materiales, mano de obra nunca pueden ser negativos.

Utilice el mtodo para resolver un sistema de desigualdades.

(

) ( )

( ) ( )