Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach...Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach Paulo Raimundo Stering Malta Monogra a de Gradua˘c~ao apresentada ao Colegiado

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matematica - IM

Colegiado do Curso de Matematica - COLMAT

Monografia de Graduacao

Sobre os teoremas de ponto fixode Tarski e Banach

Paulo Raimundo Stering Malta

Salvador-Bahia

Dezembro de 2011



Monografia de Graduacao apresentada ao

Colegiado do Curso de Matematica da

Universidade Federal da Bahia como requisito

parcial para obtencao do tıtulo de Bacharel

em Matematica.

Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard

Michael Brunner.

Salvador-Bahia

Dezembro de 2011

Malta, Paulo Raimundo Stering.

Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach /

Paulo Raimundo Stering Malta. – Salvador, 2011.

29 f.

Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner.

Monografia (graduacao) – Universidade Federal da Bahia, Instituto

de Matematica, Colegiado do Curso de Matematica, 2011.

Referencias bibliograficas.

1. Logica matematica. 2. Categorias 3. Espacos metricos gerais

I. Brunner, Andreas Bernhard Michael. II. Universidade Federal da

Bahia, Instituto de Matematica. III. Tıtulo.

CDU : 512.58



Monografia de Graduacao apresentada ao

Colegiado do Curso de Matematica da

Universidade Federal da Bahia como requisito

parcial para obtencao do tıtulo de Bacharel em

Matematica, aprovada em 09 de dezembro de

2011.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner (Orientador)

UFBA

Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva

UFBA

Prof. Dr. Edson Alberto Coayla Teran

UFBA

A meus pais e meus amigos.

Agradecimentos

Gostaria de agradecer primeiramente aos meus pais, cuja educacao permitiu atin-

gir mais esta etapa em minha vida, aos quais serei eternamente grato.

Quanto a minha formacao gostaria de agradecer imensamente ao Laboratorio

de Ensino de Matematica e a todos os seus membros, em especial Elinalva Vergasta.

Todas as experiencias proporcionadas, desde monitor no meu primeiro ano, oficinas e

exposicoes realizadas foram unicas, cuja recıproca do publico permitiu constatar o quanto

a matematica e bela e humana.

Aos orientadores gostaria de agradecer a Jose Fernandes Andrade ao grande con-

hecimento proporcionado, desde a orientacao no LEMA ate as quatro disciplinas min-

istradas, cujos conselhos me acompanharam durante toda a graduacao. A Paulo Varandas

serei eternamente grato por ter tido a oportunidade de realizar minha primeira iniciacao

cientıfica, ao qual obtive grande aprendizado e a Andreas Brunner pela orientacao e ded-

icacao este ano, cujo resultado se apresenta atraves desta monografia.

Aos professores, colegas de turma e a todos que tive o prazer de estar ao lado

durante estes quatro anos, muito obrigado!

“Pedimos o mundo, nos deram o in-

finito.”

(Vitor Serravale)

Resumo

Neste trabalho apresentaremos a teoria dos Espacos Metricos gerais, com esta

nova estrutura estaremos aptos a generalizar tanto espacos metricos quanto ordens par-

ciais. Para estas teorias temos dois teoremas de ponto fixo: O teorema do ponto fixo de

Banach para espacos metricos e o teorema do ponto fixo de Knaster-Tarski para ordens

parciais. Em espacos metricos gerais provaremos construtivamente um unico teorema

que possui como corolario os teoremas do ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski, cujas

hipoteses generalizam espacos metricos completos e reticulados completos.

Palavras-chave: Espacos metricos gerais; Teoremas de ponto fixo; Espacos metricos.

Abstract

In this work we will present the Generalized Metric Space theory, with this new

structure we will be able to generalize both metric and partially ordered spaces. For

these theories there are two distinct fixed point theorems: Banach’s fixed point theorem

for metric spaces and Knaster-Tarski’s fixed point theorem for partially ordered sets. In

generalized metric spaces we will prove constructively a single theorem that has both

Knaster-Tarski and Banach’s fixed point theorem as corolaries, whose hyphotesis gener-

alizes complete metric spaces and complete lattices.

Keywords: Generalized metric spaces; Fixed point theorems; Metric spaces.

Sumario

Introducao 1

1 Preliminares 3

1.1 Ordens Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Reticulados e CPOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Famılias, sequencias e redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Categorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Espacos metricos gerais 10

2.1 Redes de Cauchy e limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 O mergulho de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Completamento de espacos metricos gerais 16

3.1 Completude comum para ordens parciais e espacos metricos . . . . . . . . 17

3.2 Completamento de direcionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Teoremas de ponto fixo 24

4.1 O teorema do Ponto Fixo de Pataraia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Os teoremas de Banach e Knaster-Tarski para espacos metricos gerais . . . 26

Referencias 29

Introducao

Problemas de ponto fixo surgem com frequencia em matematica, um exemplo

simples seria a obtencao de raızes para uma determinada funcao real, que pode ser con-

vertido para um problema deste tipo. Conforme este exemplo, a questao que surge e a

existencia de raızes, e por coseguinte a existencia de pontos fixos. Em geral problemas de

ponto surgem nesse sentido, situacoes em que problemas de existencia possam ser traduzi-

das para esse contexto. Assim, hipoteses que permitam obter teoremas de ponto fixo sao

de grande valia para solucao destes problemas.

Em espacos metricos e bem conhecido o teorema do ponto fixo de Banach, o

qual garante que toda contracao em um espaco metrico completo possui um unico ponto

fixo. Suas aplicacoes sao diversas, na literatura e bem conhecido o teorema de Picard

para equacoes diferenciais ordinarias, o qual sob algumas hipoteses garante a existencia

e unicidade de solucao para um problema de valor inicial. Em ordens parciais e bem

conhecido o teorema do ponto fixo de Knaster-Tarski, que garante a existencia de pontos

fixos para toda funcao que preserva ordem em um reticulado completo. Uma aplicacao

bem conhecida e o teorema de Schroder-Bernstein, que garante a existencia de uma bijecao

entre conjuntos A e B caso existam funcoes injetivas de A em B e de B em A.

Neste trabalho vamos mostrar que tanto o teorema de Banach quanto Knaster-

Tarski sao corolarios de um unico teorema, cujas hipoteses serao tomadas em espacos

metricos gerais, teoria esta que permite generalizar espacos metricos e ordens parciais.

Desta maneira, este trabalho se organiza do seguinte modo:

Capıtulo 1: Apresentaremos todos os recursos necessarios para a compreensao

do presente texto, onde trataremos definicoes basicas para teoria das ordens e categorias.

Tambem serao apresentadas proposicoes que comumente serao utilizados o texto.

Capıtulo 2: Neste capıtulo sera introduzida a teoria dos espacos metricos gerais.

Apresentaremos nocoes de convergencia neste ambiente e demonstraremos o mergulho de

Yoneda, que permitira obter uma isometria de qualquer espaco metrico geral em seu

espaco de funcoes nao-expansivas.

Capıtulo 3: Com a linguagem de categorias por funtores sera introduzida a

nocao de completamento de espacos metricos gerais, cujos resultados permitirao obter

1

Introducao 2

equivalencias de espacos metricos gerais com espacos metricos e ordens parciais.

Capıtulo 4: Devido a Pataraia, demonstraremos de forma construtiva um bem

conhecido teorema para ordens parciais que garante a existencia de pontos fixos para

funcoes que preservam ordem em um CPO. Desta maneira, sera demonstrado um teorema

de ponto fixo para espacos metricos gerais cujas hipoteses permitirao obter os teoremas

de Banach e Knaster-Tarski.

Este trabalho foi desenvolvido atraves do recente artigo publicado por Pawel

Waszkiewicz em [6]. Conforme o desenvolvido, acreditamos que estas ideias permitirao

traduzir de uma unica maneira problemas de espacos metricos e ordens parciais.

Capıtulo 1

Preliminares

Para a boa compreensao do presente texto, neste capıtulo introduziremos todo o

recurso matematico necessario. Na secao 1.1 e 1.2 serao tratadas definicoes e exemplos

basicos acerca da Teoria da Ordem, na secao 1.4 serao introduzidas categorias. Para um

tratamento mais profundo acerca destes topicos e sugerida a leitura de [3] e [4].

1.1 Ordens Parciais

Seja P um conjunto. P e dito um conjunto ordenado, ou uma ordem parcial, se

existe uma relacao binaria ≤ em P que satisfaz:

i) x ≤ x, ∀x ∈ P ; (reflexiva)

ii) Se x ≤ y e y ≤ x, entao x = y; (antissimetrica)

iii) Se x ≤ y e y ≤ z, entao x ≤ z. (transitiva)

Denotamos atraves do par (P,≤) afim de tornar claro a ordem utilizada.

Intuitivamente associamos ordens aos numeros naturais N ou a reta real R. De

fato, estes dois conjuntos sao ordens parciais, porem estes estao munidos com uma quarta

propriedade mais forte, que permite compararmos qualquer elemento:

iv) ∀x, y ∈ P , ou x ≤ y ou y ≤ x

Caso um conjunto P seja ordem parcial e tambem satisfaca iv), dizemos que P e

totalmente ordenado.

Tomando X um conjunto, podemos definir uma ordem em P(X) = {A;A ⊆ X}pela inclusao ⊆. E facil ver que esta e uma relacao de ordem, porem nem sempre podemos

comparar dois conjuntos, isto e, se X possui mais de dois elementos entao P(X) nao e

totalmente ordenado.3

Preliminares 4

Um subconjunto S ⊆ P e dito uma cadeia se com a ordem herdada de P e

totalmente ordenado.

Em geral, quando lidamos com estruturas nos interessamos por aplicacoes que

preservem esta estrutura. Em nosso caso, para ordens parciais, estaremos interessados

em aplicacoes que preservem a ordem. Desta maneira, sejam (P,≤) e (Q,≤′) ordens

parciais e f : P → Q uma aplicacao:

i) f preserva ordem se dados x ≤ y, tem-se f(x) ≤′ f(y);

ii) f e dita um mergulho se preserva ordem e e injetiva;

iii) f e dita um isomorfismo se preserva ordem e e bijetiva.

Observe que se tivermos um mergulho f : P → Q, entao temos um isomorfismo

entre P e sua imagem por f , e neste caso toda sua estrutura e preservada. Por exemplo,

se A ⊆ P e uma cadeia, sua imagem tambem o sera.

Dada uma ordem parcial (P,≤), podemos definir uma ordem dual em P por

(P,≤op), onde x ≤op y se, e somente se, y ≤ x. Afim de simplificar a notacao, denotamos

por P op o conjunto P munido da ordem dual. Esta definicao em nada altera as pro-

priedades anteriores da ordem em P, exceto pelo fato de estarem “trocadas”. Em geral, o

princıpio da dualidade nos permite concluir:

Proposicao 1.1 (Princıpio da Dualidade). Consideremos uma linguagem ≤. Se φ e

uma proposicao (ou propriedade) na linguagem de primeira ordem L := {≤}, qual vale na

ordem (P,≤), entao φop vale em (P,≤op), onde φop e a proposicao obtida de φ substituindo

≤ por ≤op.

Demonstracao. Inducao na complexidade das L-formulas. Para maiores detalhes, veja

[2]. �

1.2 Reticulados e CPOs

Dentre as ordens parciais, vamos nos interessar por algumas que possuam algu-

mas propriedades particulares. Para isto iremos buscar alguns elementos especiais nestes

conjuntos. Seja Q ⊆ P ordem parcial:

i) a ∈ Q e dito um elemento maximal se a ≤ x ∈ Q, entao a = x;

ii) Se a ∈ Q e tal que x ≤ a, ∀x ∈ Q, a e dito o maior elemento de Q.

Preliminares 5

Observe que o maior elemento, caso exista, e unico. De maneira analoga definimos

um elemento minimal e o menor elemento, levando em consideracao a ordem dual de P .

O maior elemento de P , caso exista, e dito top e denotaremos por >. Analogamente, caso

exista o menor elemento em P, o chamaremos de bottom, denotado por ⊥.

Dizemos que Q e up-set se Q =↑ Q = {y ∈ P ; (∃x ∈ Q) x ≤ y}. De maneira

analoga definimos ↓ Q = {y ∈ P ; (∃x ∈ Q) y ≤ x}, caso Q =↓ Q, Q e dito down-set. Um

elemento x ∈ P e dito uma barreira superior de Q se a ≤ x, ∀a ∈ Q, de maneira dual

definimos uma barreira inferior. Denotamos o conjunto das barreiras superiores de Q por

Qu e as barreiras inferiores por Ql, observe que estes sempre sao respectivamente up-set

e down-set. Caso Qu possua menor elemento, dizemos que Q tem sup ou supremo. De

maneira analoga o ınfimo de Q, ou inf, sera o maior elemento de Ql, caso exista. Empre-

garemos a notacao sup Q ou∨Q para denotar o supremo e inf Q ou

∧Q, para denotar o

ınfimo. Para dois elementos x, y ∈ P , denotaremos sup{x, y} = x ∨ y e inf{x, y} = x ∧ y.

Note que em virtude do maior elemento ser unico, segue que o supremo e o ınfimo sao

unicos, caso existam.

A luz das definicoes anteriores, dado um conjunto ordenado P nao-vazio:

i) Se x ∨ y e x ∧ y existe, para todo x, y ∈ P . Dizemos que P e um reticulado;

ii) Se∨Q e

∧Q existe, para todo Q ⊆ P . Dizemos que P e um reticulado completo.

Observe que se P e um reticulado completo, P possui bottom e top. Assim com

a ordem usual Q,R sao reticulados, porem nao sao completos, uma vez que nao possuem

bottom nem top. Por outro lado, se I ⊆ R e um intervalo fechado, com a ordem herdada

de R este e um reticulado completo. Tambem para X conjunto, P(X) e um reticulado

completo, com∨{Ai}i∈I =

⋃i∈IAi e

∧{Ai}i∈I =

⋂i∈IAi, em que {Ai}i∈I e uma famılia de

subconjuntos quaisquer de X.

A partir da proxima proposicao e possıvel simplificar a definicao de reticulado

completo, observando apenas que o mesmo vale apenas se ocorrer para ınfimo ou o

supremo. A demonstracao e simples, para verificar a existencia do ınfimo de um conjunto

A basta observar que este e igual ao supremo do conjunto de suas barreiras inferiores Al.

Proposicao 1.2. Uma ordem parcial (P ;≤) e um reticulado completo se, e somente se,

para todo A ⊆ P , existe∨A. Em particular, temos que

∨A =

∨(↓ A). �

Um conjunto Q ⊆ P nao vazio e direcionado se para todo x, y ∈ Q, ∃ h ∈ Q tal

que x ≤ h e y ≤ h. Observe que se Q ⊆ P e direcionado, qualquer subconjunto finito

F ⊆f Q possui barreira superior em Q. Assim, todo cadeia Q ⊆ P e direcionado. A luz

destas definicoes, P e dito CPO ou ordem parcial completa se:

Preliminares 6

i) P possui bottom ⊥;

ii)∨D existe, para todo D ⊆ P direcionado.

Denotaremos∨D =

⊔D para fazer mencao ao sup de um conjunto direcionado. Ao

omitirmos i), dizemos que P e pre-CPO.

E bem sabido da Analise que se uma funcao e contınua, entao esta preserva

limites. Esta mesma nocao podemos traduzir para pre-CPOs, considerando conjuntos

direcionados. Assim se P, S sao pre-CPOS, uma funcao f : P → S e dita contınua

se f(⊔D) =

⊔f(D), para todo D ⊆ P direcionado. Observe que qualquer funcao

contınua preserva ordem, porem a recıproca nao e verdadeira, apenas podemos garantir

que⊔f(D) ≤ f(

⊔D).

1.3 Famılias, sequencias e redes

Seja X um conjunto. Uma famılia (xi)i∈I e uma funcao x : I → X, cuja imagem

x(i) e denotada por xi, para todo i ∈ I, onde I e um conjunto de ındices. Para I = N,

(xn)n∈N e dita uma sequencia em X. Se (I,≤) e ordem parcial direcionado, (xi)i∈I e dita

uma rede em X.

Para X espaco metrico, dizemos que uma rede (xi)i∈I converge para x ∈ X,

denotado por limxi = x, quando para todo ε > 0 for sempre possıvel obter N ∈ I de

modo que para todo j ≥ N tenha-se d(xj, x) < ε. Uma rede (xi)i∈I e dita de Cauchy

caso dado ε > 0 seja possıvel obter N ∈ I de modo que para todo i ≥ j ≥ N tenha-se

d(xi, xj) < ε.

A convergencia de uma rede de Cauchy nem sempre e garantida em um espaco

metrico qualquer, conforme a seguinte proposicao, considerando-se a completude de um

espaco metrico apenas por sequencias de Cauchy, sera possıvel obter convergencia de redes

de Cauchy.

Proposicao 1.3. Seja X espaco metrico. X e completo se, e somente se, toda rede de

Cauchy converge.

Demonstracao. Seja (xi)i∈I rede de Cauchy. Para cada εn = 1n+1

tome N(εn) de modo

que para todo i ≥ j ≥ N(εn) tenha-se d(xi, xj) < εn. Desta maneira, defina µ : N → I

recursivamente por:

µ(n) =

{N(ε0) se n = 0

max{N(εn), µ(n− 1)} para n > 0

Temos que (xµ(n))n∈N e sequencia de Cauchy pois dado ε > 0, tomando n0 ∈ N de modo

que εn0 < ε, teremos para todo m ≥ n ≥ n0: µ(m) ≥ µ(n) ≥ µ(n0) ≥ N(n0). Assim

Preliminares 7

d(xµ(m), xµ(n)) < εn0 < ε. Em virtude da completude de X a sequencia (xµ(n))n∈N converge,

digamos para x ∈ X. Vamos mostrar que (xi)i∈I converge para x. Ora, dado ε > 0, tome

m ∈ N de modo que 1m+1

< ε2. Como (xµ(n))n∈N converge a x podemos obter n0 ∈ N

de modo que para todo m ≥ n0 tenha-se d(xµ(m), x) < ε2. Assim, para todo i ≥ N(εm)

teremos:

d(xi, x) ≤ d(xi, xµ(m)) + d(xµ(m)), x <1

m+ 1+ε

2<ε

2+ε

2= ε

Portanto (xi)i∈I converge a x. A recıproca e imediata. �

Preliminares 8

1.4 Categorias

Em Matematica, quando lidamos com teorias abstratas, e comum associar a esta

classe funcoes que preservem sua estrutura. Por exemplo, conforme vimos na primeira

secao, para Teoria das ordens estas se caracterizam pelas funcoes que preservam ordem;

em Topologia as funcoes contınuas. Na Teoria das Categorias sao estudadas classes de

estruturas, ditas objetos, munidas dos morfismos que preservem estas estruturas. Em

termos precisos dizemos que uma classe C e uma categoria quando satisfaz os seguintes

axiomas:

1. Possui uma colecao de C-objetos;

2. Possui uma colecao de C-morfismos;

3. Uma operacao que associa a cada morfismo f um C-objeto a = dom f (dito domınio

de f) e um C-objeto b = cod f (dito contradomınio de f);

Notacao: f : a→ b

4. Uma operacao que associa a cada par de morfismos (g, f) com dom g = cod f

um morfismo g ◦ f , dito a composicao de f e g, valendo dom (g ◦ f) = dom f e

cod (g ◦ f) = cod g que satisfaz:

Lei Associativa: Se f, g, h sao morfismos tais que cod f = dom g e cod g = dom h,

entao h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f ;

5. Cada C-objeto b possui um C-morfismo 1b : b→ b que satisfaz:

Lei da Identidade: Para todo C-morfismo f : a → b e g : b → c vale: 1b ◦ f = f e

g ◦ 1b = g

Atraves da tabela abaixo seguem alguns exemplos de categorias:

Categoria Objetos Morfismos

Set Conjuntos funcoes

Top Espacos Topologicos funcoes contınuas

Vect Espacos Vetoriais transformacoes lineares

Grp Grupos homomorfismos de grupos

Pos Ordens parciais funcoes que preservam ordem

Conforme os morfismos das categorias dadas pela tabela anterior, estes funcionam

como uma maneira de preservar as estruturas de dois objetos distintos. De maneira

analoga podemos definir o mesmo para categorias, atraves dos funtores.

Um funtor F de uma categoria C para uma categoria D e uma lei que associa:

Preliminares 9

i) a cada C-objeto a um D-objeto F (a);

ii) a cada C-morfismo f : a→ b um D-morfismo F (f) : F (a)→ F (b) que satisfaz:

a) F (1a) = 1F (a), para todo C-objeto a;

b) F (g ◦ f) = F (g) ◦ F (f).

Neste caso F e dito um funtor covariante. Podemos substituir b) por:

b*) F (g ◦ f) = F (f) ◦ F (g).

Caso satisfaca b*), F e dito funtor contravariante.

Por exemplo, podemos definir F : Grp → Set, que associa a cada grupo G o

conjunto F(G), cujos elementos sao os mesmos e a cada homomorfismo f a funcao F (f),

que associa os mesmos elementos. Este funtor e dito funtor esquecimento, cuja lei omite

toda a estrutura de grupo inicial do conjunto. Para qualquer categoria cujos objetos sejam

conjuntos e cujos morfismos sejam funcoes pode-se definir um funtor analogo.

Capıtulo 2

Espacos metricos gerais

Conforme o objetivo desta monografia, a partir deste capıtulo vamos buscar

hipoteses que satisfacam tanto ordens parciais quanto espacos metricos. A primeira via

para isto sera a introducao dos espacos metricos gerais, estrutura esta que sua flexibilidade

com respeito a simetria nos permitira induzir uma ordem parcial.

Um conjunto X e dito um espaco metrico geral ou gms quando munido de uma

aplicacao X(−,−) : X ×X → R+ ∪ {+∞} que satisfaz:

i) X(x, x) = 0, para todo x ∈ X

ii) X(x, z) ≤ X(x, y) +X(y, z) (Desigualdade triangular)

iii) Se X(x, y) = 0 e X(y, x) = 0, entao x = y (Simetria fraca)

Neste caso diremos que X(−,−) e uma quase-metrica em X. Caso esta aplicacao nao

satisfaca iii), podemos induzir um espaco metrico geral [X] pela relacao de equivalencia

x ≈ y se, e somente se, X(x, y) = 0 e X(y, x) = 0. Desta maneira, trataremos do caso

mais geral. Para simplificar a notacao, denotaremos R+ ∪ {+∞} = [0,∞].

Se tivermos uma ordem parcial (P,≤), podemos induzir uma quase-metrica por:

P (x, y) =

{0 se x ≤ y

∞ caso contrario

Reciprocamente, se X e espaco metrico geral podemos induzir uma ordem parcial (X,≤X)

por x ≤X y se, e somente se, X(x, y) = 0. Assim as ordens ≤ e ≤P coincidem.

O proprio conjunto [0,∞] e espaco metrico geral, munido da quase-metrica:

[0,∞](x, y) = y−x =

{0 se x ≥ y

y − x se x < y

10

Espacos metricos gerais 11

Como usual, temos x +∞ = ∞ + x = ∞, para todo x ∈ [0,∞]. Observe que a ordem

usual de R nao coincide com a ordem induzida por [0,∞](−,−), temos x ≤[0,∞] y se, e

somente se, y ≤ x.

Para X, Y espacos metricos gerais, uma funcao f : X → Y e dita nao-expansiva

se Y (f(x), f(y)) ≤ X(x, y), quaisquer que sejam x, y ∈ X. Observe que f e nao-expansiva

se, e somente se, f preserva ordem com respeito a ≤X . As funcoes nao-expansivas sao

de fundamental importancia para a teoria dos espacos metricos gerais, a partir destas

construimos a categoria Gms, cujos Gms-objetos sao dados por espacos metricos gerais

e cujos Gms-morfismos por funcoes nao-expansivas.

Conforme observamos para ordens parciais, uma vez que podemos identificar

espacos metricos gerais como ordens parciais, dado X espaco metrico geral podemos obter

uma quase-metrica dual definida por Xop(x, y) = X(y, x), quaisquer que sejam x, y ∈ X.

Dizemos que Xop e o espaco metrico geral dual a X.

2.1 Redes de Cauchy e limites

Como espacos metricos gerais carecem da simetria, a nocao de redes de Cauchy

e convergencia devem ser introduzidas com cautela.

Dizemos que uma rede (xi)i∈I em X e Cauchy a direita se:

∀ε > 0, ∃ N ∈ I; ∀i ≥ j ≥ N ⇒ X(xj, xi) < ε

De modo analogo uma rede (xi) em X e dita Cauchy a esquerda se:

∀ε > 0,∃ N ∈ N; ∀i ≥ j ≥ N ⇒ X(xi, xj) < ε

Observe que se X e espaco metrico a definicao usual e mantida. Vale observar que se

X e ordem parcial decorre da definicao que para (xi)i∈I Cauchy a direita, levando em

consideracao a quase-metrica induzida, podemos obter N ∈ I de modo que para todo

i ≥ j ≥ N tenha-se xj ≤ xi. Assim em um dado momento (xi)i∈I e cadeia, entao fara

sentido se perguntar o limite⊔xi.

A seguinte proposicao nos permitira verificar o comportamento de rede de Cauchy

quando induzidas a [0,∞].

Proposicao 2.1. Sejam X espaco metrico geral e (xi)i∈I Cauchy a direita em X. Entao

dado x ∈ X:

1. A rede (X(x, xi))i∈I e Cauchy a direita em [0,∞].

2. A rede (X(xi, x))i∈I e Cauchy a esquerda em [0,∞].


Demonstracao. Dado ε > 0, tome N ∈ I tal que ∀i ≥ j ≥ N tenha-se X(xj, xi) < ε.

Assim em virtude da desigualdade triangular segue que:

1. [0,∞](X(x, xj), X(x, xi)) = X(x, xi)−X(x, xj) ≤ X(xj, xi) < ε

2. [0,∞](X(xi, x), X(xj, x)) = X(xj, x)−X(xi, x) ≤ X(xj, xi) < ε

Logo (X(x, xi))i∈I e Cauchy a direita e (X(xi, x))i∈I e Cauchy a esquerda em [0,∞]. �

Afim de introduzir limites de redes de Cauchy para espacos metricos gerais, o

faremos inicialmente em [0,∞].

Para (ri)i∈I Cauchy a direita em [0,∞], definimos o limite a direita de (ri) por:

lim→ri = sup

i∈Iinfj≥i

rj

Analogamente, se (ri)i∈I e Cauchy a esquerda em [0,∞] o seu limite a esquerda e definido

por:

lim←ri = inf

i∈Isupj≥i

rj

Conforme a definicao, poderemos a partir da proposicao seguinte estabelecer relacao entre

limites a direita e a esquerda em [0,∞].

Proposicao 2.2. Seja (ri)i∈I Cauchy a direita em [0,∞]. Entao para todo r ∈ [0,∞]

vale:

i) [0,∞](r, lim→ri) = lim

→[0,∞](r, ri)

ii) [0,∞](lim→ri, r) = lim

←[0,∞](ri, r)

Se (ri) e Cauchy a esquerda em [0,∞] entao vale:

iii) [0,∞](r, lim←ri) = lim

←[0,∞](r, ri)

iv) [0,∞](lim←ri, r) = lim

→[0,∞](ri, r)

Para a demonstracao desta proposicao sera feito uso do seguinte lema:

Lema 2.3. Sejam A,B ⊆ R, −A = {−x; x ∈ A} e A + B = {x + y; x ∈ A e y ∈ B}.Valem as seguintes afirmativas:

1. Se A e limitado inferiormente, entao sup(−A) = − inf A

2. Se A e limitado superiormente, entao inf(−A) = − supA

3. Se A e B sao limitados, entao sup(A+B) = supA+ supB e inf(A+B) = inf A+

inf B


Demonstracao. Os detalhes da demonstracao serao dados para ii). As ideias sao

analogas para os demais itens. Teremos de analisar dois casos:

1. lim→ri = sup

i∈Iinfj≥i

rj ≥ r

Neste caso poderemos obter N ∈ I de modo que r ≤ infj≥N

rj ≤ supi∈I

infj≥i

rj. Logo [0,∞](rj, r) = 0,

para todo j ≥ N. Assim supj≥i

[0,∞](rj, r) = 0, para todo i ≥ N . Logo lim←

[0,∞](ri, r) = 0.

Como [0,∞](lim→ri, r) = 0. Segue que [0,∞](lim

→ri, r) = lim

←[0,∞](ri, r).

2. lim→ri = sup

i∈Iinfj≥i

rj < r

Observe que infj≥i

rj < r, para todo i ∈ I. Logo e limitada superiormente, assim:

[0,∞](supi∈I

infj≥i

rj, r) = r− supi∈I

infj≥i

rj =︸︷︷︸2.

r+ infi∈I

[− infj≥i

rj] =︸︷︷︸1.

r+ infi∈I

supj≥i

[−rj] =

infi∈I

supj≥i

r + infi∈I

supj≥i

[−rj] =︸︷︷︸3.

infi∈I

supj≥i

[r − rj] = lim←

[0,∞](ri, r)

Logo [0,∞](lim→ri, r) = lim

←[0,∞](ri, r) �

Em virtude das proposicoes 2.1 e 2.2 poderemos definir o limite de uma rede em

um espaco metrico geral X qualquer. Para (xi)i∈I Cauchy a direita em um espaco metrico

geral X, dizemos que x ∈ X e um limite a direita da rede (xi) quando vale:

x = lim→xi se, e somente se, ∀ y ∈ X, X(x, y) = lim

←X(xi, y) (2.A)

Observe que esta definicao coincide com os limites definidos em [0,∞], em virtude de

2.2 e esta bem definido conforme 2.1. Vale ressaltar que este limite, caso exista, esta

unicamente determinado em virtude da simetria fraca, caso contrario apenas poderıamos

concluir que os limites possuem distancia 0.

Se X e ordem parcial e (xi)i∈I e cadeia, entao lim→xn =

⊔xn. De fato, seja y tal que xi ≤ y,

para todo i ∈ I, logo X(xi, y) = 0, ∀ i ∈ I. Por outro lado X(lim→xi, y) = lim

←X(xi, y) = 0.

Assim lim→xi ≤ y e portanto lim

→xi =

⊔xi.

Alem disso, esta definicao coincide a usual de espacos metricos. De fato, seja ε > 0 dado,

observe que:

x = lim→xi ⇒ 0 = X(lim

→xi, x) = lim

←X(xi, x) = inf

i∈Isupj≥i

X(xi, x) < ε. Logo poderemos

obter N ∈ I de modo que 0 ≤ supj≥N

X(xj, x) < ε. Portanto X(xi, x) < ε, ∀i ≥ N.


2.2 O mergulho de Yoneda

A partir desta secao vamos buscar introduzir a nocao de completude para espacos

metricos gerais, para isto considere o conjunto X = {f : Xop → [0,∞]; f e nao-expansiva}.Munindo-o com a quase metrica X(φ, ψ) = supz∈X [0,∞](φ(z), ψ(z)) temos que X e um

espaco metrico geral. Neste caminho, a seguinte proposicao nos permitira identificar X

em X, o importantıssimo:

Lema 2.4 (Yoneda Lema). Seja X espaco metrico geral. Para cada x ∈ X defina

X(−, x) : Xop → [0,∞], y 7→ X(y, x). Esta funcao e nao-expansiva e portanto um

elemento de X. Alem disto, para qualquer elemento φ ∈ X, tem-se X(X(−, x), φ) = φ(x).

Demonstracao. Primeiramente, X(−, x) e nao-expansiva, pois para todo a, b ∈ X,

considerando sem perda de generalidade X(a, x) < X(b, x), tem-se:

[0,∞](X(a, x), X(b, x)) = X(b, x)−X(a, x) ≤ X(b, a) = Xop(a, b)

Agora tome φ ∈ X. Teremos:

φ(x) = [0,∞](X(x, x), φ(x)) ≤ supz∈X

[0,∞](X(z, x), φ(z)) = X(X(−, x), φ)

Por outro lado, uma vez que φ e nao-expansiva tem-se para qualquer y ∈ X:

[0,∞](φ(x), φ(y)) ≤ Xop(x, y) = X(y, x)

Vamos mostrar que para qualquer y ∈ X tem-se [0,∞](X(y, x), φ(y)) ≤ φ(x). Para isto

considere os seguintes casos:

i) X(y, x) =∞

Neste caso [0,∞](X(y, x), φ(y)) = 0 ≤ φ(x).

ii) X(y, x) <∞ e φ(x) =∞

De imediato [0,∞](X(y, x), φ(y)) ≤ φ(x).

iii) X(y, x) <∞ e φ(x) <∞

Como [0,∞](φ(x), φ(y)) ≤ X(y, x) teremos φ(y) < ∞, assim φ(y) − φ(x) ≤[0,∞](φ(x), φ(y)) ≤ X(y, x) e portanto φ(y)−X(y, x) ≤ φ(x). Logo, independente

da ordem de φ(y) e X(y, x), segue que [0,∞](X(y, x), φ(y)) ≤ φ(x).

Portanto em qualquer dos casos vale a desigualdade, uma vez que y ∈ X e arbitrario

segue que:

φ(x) ≥ supy∈X

[0,∞](X(y, x), φ(y)) = X(X(−, x), φ)

Logo φ(x) = X(X(−, x), φ). �


Corolario 2.5. Seja X espaco metrico geral. Para cada x ∈ X, defina o mergulho de

Yoneda por y : X ↪→ X, x 7→ yx = X(−, x). Para todo x, x′ ∈ X tem-se que y e uma

isometria, isto e, X(x, x′) = X(yx,yx′).

Demonstracao. A isometria e imediata a 2.4. Se yx = yx′ , temos 0 = X(yx,yx′)

= X(x, x′) e 0 = X(yx′ ,yx) = X(x′, x). Assim, em virtude da simetria fraca, segue que

x = x′ e portanto y e injetiva. �

A luz do lema anterior podemos a partir de agora identificar qualquer espaco

metrico geral X em um maior, X. Atraves da seguinte proposicao, com o mesmo objetivo,

poderemos identificar as funcoes nao-expansivas:

Proposicao 2.6. Sejam X, Y espacos metricos gerais e f : X → Y nao-expansiva. Defina

f ∗ : X → Y por f ∗(φ)(y) = infx∈X(φ(x) + Y (y, f(x))). Neste caso, f ∗ e nao-expansiva.

Demonstracao. Sejam φ, ψ ∈ X, teremos:

X(φ, ψ) + f ∗(φ)(y) = supx∈X

[0,∞](φ, ψ) + infx∈X

(φ(x) + Y (y, f(x))) ≥

infx∈X

(ψ(x)−φ(x)) + infx∈X

(φ(x) + Y (y, f(x))) ≥ infx∈X

(ψ(x) + Y (y, f(x))) = f ∗(ψ)(y)

Logo X(φ, ψ) ≥ f ∗(ψ)(y) − f ∗(φ)(y). Se f ∗(ψ)(y) > f ∗(φ)(y) teremos X(φ, ψ) ≥[0,∞](φ(y), ψ(y)), caso contrario X(φ, ψ) ≥ 0 = [0,∞](φ(y), ψ(y)). Em qualquer caso

teremos X(φ, ψ) ≥ [0,∞](φ(y), ψ(y)) e assim X(φ, ψ) ≥ supy∈X [0,∞](φ(y), ψ(y)).

Segue que X(φ, ψ) ≥ Y (f ∗(φ), f ∗(ψ)). �

Capıtulo 3

Completamento de espacos metricos

gerais

Em posse dos resultados obtidos anteriormente, podemos a partir deste momento

considerar completude em espacos metricos gerais. Dizemos que um funtor J : Gms →Gms e um funtor completamento caso satisfaca as seguintes propriedades:

i) JX ⊆ X, qualquer que seja X gms;

ii) {yx;x ∈ X} ⊆ JX;

iii) Quaisquer que sejam X, Y gms, se f : Y → X e uma funcao nao-expansiva, entao

J (f) := f ∗|J Y satisfaz f ∗|J Y (J Y ) ⊆ JX, isto e, f ∗|J Y : J Y → JX esta bem definida.

Note que em virtude de i) e ii) obtemos uma regra para os Gms-objetos, a qual

esta determina uma margem para o completamento. A alınea iii) define uma regra para

os Gms-morfismos, que garante que qualquer funcao nao-expansiva admite uma extensao

que ainda e nao-expansiva. Em virtude da proposicao 2.6 segue que J e funtor covariante.

Seja X espaco metrico geral, dizemos que φ ∈ X possui supremo S(φ) ∈ X

quando para todo x ∈ X satisfaca a seguinte igualdade:

X(S(φ), x) = X(φ,yx) (3.A)

Caso qualquer elemento φ ∈ JX possua supremo, dizemos que X e J -completo.

Conforme a definicao acima e natural considerar S como uma aplicacao, o seguinte

lema vira em nosso auxılio neste sentido:

Lema 3.1. Seja X espaco metrico geral J -completo. Entao a aplicacao S : JX → X

esta bem definida e e nao-expansiva. Alem disso vale a seguinte desigualdade:

X(x,S(φ)) ≤ X(yx, φ), quaisquer que sejam φ ∈ JX, x ∈ X (3.B)

16

Completamento de espacos metricos gerais 17

Demonstracao. Sejam φ, ψ ∈ JX. Assim teremos:

X(S(φ),S(ψ)) =︸︷︷︸(3.A)

X(φ,yS(ψ)) ≤ X(φ, ψ)+X(ψ,yS(ψ)) =︸︷︷︸(3.A)

X(φ, ψ)+X(S(ψ),S(ψ)) = X(φ, ψ)

Segue da desigualdade acima e da simetria fraca que S nao depende da escolha de φ e

ψ, portanto esta bem definida e e nao-expansiva. Alem disso, qualquer que seja x ∈ Xteremos:

X(x,S(φ)) =︸︷︷︸2.5

X(yx,yS(φ)) =︸︷︷︸(3.A)

X(S(yx),S(φ)) ≤︸︷︷︸S nao-expansiva

X(yx, φ)

�

Exemplo 3.2. [0,∞] e J -completo, independente da escolha de J . Para observar isso,

dado φ ∈ J [0,∞] defina S(φ) = infz∈[0,∞](φ(z) + z), teremos:

[0,∞](S(φ), x) = x− infz∈[0,∞]

(φ(z)+z) = supz∈[0,∞]

(x−z−φ(x)) = supz∈[0,∞]

([0,∞](z, x)−φ(z)) =

supz∈[0,∞]

[0,∞](φ(z),yx(z)) = [0,∞](φ,yx)

Logo S e de fato supremo.

3.1 Completude comum para ordens parciais e espacos

metricos

Com a nocao de completude introduzida anteriormente podemos a partir de uma

escolha adequada de J generalizar as nocoes de completude usuais para espacos metricos,

ordens parciais e reticulados. Neste sentido, para X espaco metrico geral, defina o funtor

completamento A : JX → X por φ ∈ AX se, e somente se, existe (xi)i∈I rede de Cauchy

de modo que φ = infi∈I supj≥iX(−, xj).

Proposicao 3.3. O funtor A : Gms→ Gms e de fato funtor completamento.

Demonstracao. Sejam X, Y espacos metricos gerais. Verifiquemos que A e funtor com-

pletamento:

i) E claro que AX ⊆ X, pois se φ ∈ AX entao φ : Xop → [0,∞] esta bem definida.

ii) Para cada x ∈ X, tome a rede constante xi = x, para todo i ∈ I, que claramente e

Cauchy a direita. Desta maneira yx = infi∈I supj≥iX(−, xj).


iii) Seja f : X → Y nao-expansiva. Tome φ ∈ AX, entao existe (xi)i∈I Cauchy a direita

tal que φ = infi∈I supj≥iX(−, xj). Vamos mostrar que f ∗(φ) = infi∈I supj≥i Y (−, f(xj)).

Ora, para todo xj ∈ (xi),y ∈ Y e x ∈ X teremos:

Y (y, f(x))+X(x, xj) ≥ Y (y, f(x))+Y (f(x), f(xj)) ≥ Y (y, f(xj))⇒

infi∈I

supj≥i

X(x, xj) + Y (y, f(x)) ≥ infi∈I

supj≥i

Y (y, f(xj))

Como x e arbitrario segue que f ∗(φ)(y) ≥ infi∈I supj≥i Y (y, f(xj)). Para mostrar a

desigualdade oposta tome ε > infi∈I supj≥i Y (y, f(xj)), para este ε tome δ1, δ2 > 0

de modo que δ1+δ2 < ε e δ1 > infi∈I supj≥i Y (y, f(xj)). Como δ1 nao e uma barreira

inferior para infi∈I supj≥i Y (y, f(xj)), podemos obter N1 ∈ I de modo que:

δ1 > supj≥N1

Y (y, f(xj)) ≥ Y (y, f(xj)), ∀j ≥ N1

Uma vez que (xi) e Cauchy a direita podemos obter N2 ∈ I tal que para todo

j′ ≥ j ≥ N2 tenha-se X(xj, xj′) < δ2. Assim φ(xj) ≤ δ2, qualquer que seja j ≥ N2.

Como I e direcionado, tomando N ≥ N1 e N ≥ N2 segue que para todo j ≥ N :

ε > δ1 + δ2 > Y (y, f(xj)) + φ(xj) ≥ f ∗(φ)(y)

Uma vez que ε foi tomado arbitrario segue que infi∈I supj≥i Y (y, f(xj)) ≥ f ∗(φ)(y).

Portanto f ∗(φ)(y) = infi∈I supj≥i Y (y, f(xj)). �

Desta maneira, conforme as seguintes proposicoes, poderemos atraves do funtor

A resgatar a completude de espacos metricos e ordens parciais.

Proposicao 3.4. Seja X espaco metrico. X e completo se, e somente se, X e A-completo.

Alem disto, a funcao S : AX → X e isometria e vale a seguinte igualdade:

X(x,S(φ)) = X(yx, φ), quaisquer que sejam φ ∈ JX, x ∈ X (3.C)

Demonstracao. Como X e espaco metrico, podemos fazer uso da simetria quando

conveniente. Suponha X completo, tome φ = infi∈I supj≥iX(−, xj). Fazendo uso da

proposicao 1.3 temos que (xi)i∈I converge, digamos para x. Em virtude da equacao (2.A)

teremos para todo y ∈ X:

X(y, x) = X(x, y) =︸︷︷︸(2.A)

lim←X(xi, y) = lim

←X(y, xi) = inf

i∈Isupj≥i

X(y, xj)

Logo yx = φ. Desta maneira defina S(φ) = x. Assim para todo z ∈ X:

X(S(φ), z) = X(x, z) = X(yx,yz) = X(φ,yz)


Portanto S e supremo, como φ ∈ AX foi tomado arbitrario segue que X e A-completo.

Alem disso, para φ = infi∈I supj≥iX(−, xj) e ψ = infi∈I supj≥iX(−, yj) teremos:

X(φ, ψ) = supa∈X

[0,∞](φ(a), ψ(a)) = supa∈X

[0,∞](lim←X(a, xj), lim←

X(a, yj)) =

supa∈X

[0,∞](lim←X(xj, a), lim

←X(yj, a)) = sup

a∈X[0,∞](X(S(φ), a), X(S(ψ), a)) =

X(yS(φ))),yS(ψ)) = X(S(φ),S(ψ))

Portanto S : AX → X e isometria e desta maneira conforme a demonstracao do lema 3.1

segue que vale a equacao (3.C).

Reciprocamente, seja (xn)n∈N sequencia de Cauchy. Tome φ = infn∈N supk≥nX(−, xn).

Como X e A-completo existe o supremo S(φ). Assim para todo z ∈ X:

X(S(φ), z) = X(z,S(φ)) =︸︷︷︸(3.C)

X(yz, φ) = supa∈X

[0,∞](yz(a), lim←X(a, xn)) =︸︷︷︸

2.2(iii)

supa∈X

lim←

[0,∞](yz(a), X(a, xn)) = lim←

supa∈X

[0,∞](yz(a),yxn(a)) = lim←X(yz,yxn) =

lim←X(z, xn) = lim

←X(xn, z)

Segue da equacao 2.A que lim→xn = S(φ) e portanto X e completo. �

Proposicao 3.5. Seja X ordem parcial. Entao X e CPO se, e somente se, X e

A-completo.

Demonstracao. Seja (X,≤) ordem parcial. Entao vejamos que vale ⇐. Para isso, seja

D ⊆ X direcionado. Observe que (xd)d∈D, com xd := d e uma rede de Cauchy. Tomemos

agora φ o ideal associado a esta rede (xd)d∈D, i.e., φ(x) := infd∈Dsupm≥dX(x;xm). Temos

o seguinte

Fato 1: φ(x) =

{0 se x ∈↓ D∞ caso contrario

e funcao caracterıstica.

Prova. Seja x ∈↓ D, i.e., existe z ∈ D tal que x ≤ z. Como X(x; z) = 0, temos que

supm≥zX(x;m) = 0, temos que infd∈Dsupm≥dX(x;m) = 0.

Se x 6∈↓ D, i.e., para todo z ∈ D tal que x 6≤ z, temos que X(x; z) =∞, para todo z ∈ D.

Consequentemente, X(x; y) =∞ para todo y ∈↓ D, terminando a prova do Fato 1.

Como (X;≤) e A-completo, φ tem supremo, ou seja, existe S(φ) tal que para

todo x ∈ X,

X(S(φ);x) = X(φ; yx)

Observe que temos as seguintes equivalencias

S(φ) ≤ x sse X(S(φ);x) = 0 sse X(φ; yx) = 0.

Pela definicao de X(φ; yx) temos para todo z ∈ X que


X(φ; yx) = 0 sse yx(z) = X(z;x) ≤ φ(z). (∗)Vamos mostrar o seguinte

Fato 2: X(φ; yx) = 0 sse ↓ D ⊆↓ x.

Prova. Seja z ∈↓ D, i.e., existe y ∈ D tal que z ≤ y. Entao, φ(z) = 0. Se z 6≤ x entao

X(z;x) =∞. Mas aı, temos uma contradicao a (∗). Logo z ∈↓ x.

Reciprocamente, seja z ∈ X. Se z ∈↓ D, entao z ∈↓ x, e consequentemente, X(z;x) = 0.

Caso contrario, φ(z) =∞. Em ambos os casos, temos X(φ; yx) = 0, terminando a prova

do Fato 2.

O proximo fato e

Fato 3: ↓ D ⊆↓ x sse D ⊆↓ x.

Prova. Como D ⊆↓ D, vale ⇒. A volta, segue do fato que ↓ e um operador de fecho de

Tarski, onde vale em particular, ↓↓ D =↓ D.

Usando os Fatos 1, 2 e 3, obtemos que

S(φ) ≤ x sse D ⊆↓ x. ∀x ∈ X.

Assim, S(φ) =⊔D, e (X;≤) e uma CPO.

Vejamos agora⇒, ou seja, X(;≤) e A-completo. Seja para isso, φ(x) := infi∈Isupj≥iX(x;xj)

para alguma rede de Cauchy.

Sabemos que existe i0 ∈ I tal que xn ≤ xm para todo i0 ≤ n ≤ m. (∗∗).Tomemos Di0 := {xi| i ∈ I & i0 ≤ i}. Assim, sendo Di0 uma cadeia, Di0 e direcionado.

Seja agora D :=↓ Di0 . Como (X;≤) e CPO, existe⊔D em X.

Agora observe que φ(x) =

{0 se x ∈↓ Di0

∞ caso contrario

Para ver isso, seja x ∈ D. Logo existe k ∈ I tal que x ≤ xk e i0 ≤ k. Por (∗∗), temos

que x ≤ xk ≤ xn para todo n ≥ k. Portanto, X(x;xn) = 0, para todo n ≥ k. Assim,

supn≥kX(x;xn) = 0.Pela definicao de φ, temos que φ(x) = 0, neste caso.

Seja agora x 6∈ D, ou seja, x 6≤ z para todo z ∈ Di0 . Temos entao X(x; z) = ∞,

∀z ∈ Di0 e portanto φ(x) =∞. Assim temos as seguintes equivalencias⊔D ≤ x sse X(

⊔D;x) = 0 sse D ⊆↓ x sse

Di0 ⊆↓ x sse X(φ; yx) = 0.

Logo⊔D e o supremo de φ. �

Para ordens parciais podemos considerar o funtor (.)X = X, observe que e imedi-

ato que este funtor e de fato um funtor completamento. Conforme a seguinte proposicao,

esta escolha nos permitira resgatar a completude de reticulados.

Proposicao 3.6. Seja X ordem parcial. X e um reticulado completo se, e somente se,

X e (.)-completo.

Demonstracao. Suponha X (.)-completo. Para cada A ⊆ X, defina φ : Xop → [0,∞]


por:

φ(z) =

{0 se z ∈ ↓ A∞ caso contrario

Uma vez que X e (.)-completo, vamos mostrar que∨↓ A = S(φ).

Ora, seja x ∈↓ A, pela definicao de φ e aplicando o Lema de Yoneda teremos 0 = φ(x) =

X(yx, φ) ≥︸︷︷︸3.B

X(x,S(φ)). Logo X(x,S(φ)) = 0 e portanto x ≤ S(φ).

Por outro lado, se z ∈ X e tal que x ≤ z, qualquer que seja x ∈ ↓ A, teremos:

X(S(φ), z) = X(φ,yz) = supa∈X

[0,∞](φ(a), X(a, z))

Se a ∈ ↓ A, pela escolha de z temos X(a, z) = 0, assim [0,∞](φ(a), X(a, z)) = 0.

Por outro lado, se a /∈ ↓ A teremos que φ(a) =∞ e portanto [0,∞](φ(a), X(a, z)) = 0.

Desta maneira, qualquer que seja a ∈ X temos [0,∞](φ(a), X(a, z)) = 0, logoX(S(φ), z) =

0 e assim S(φ) ≤ z.

Portanto concluimos que existe∨↓ A, uma vez que A ⊆ X foi tomado arbitrario segue

da proposicao 1.2 que X e reticulado completo.

Reciprocamente, suponha X reticulado completo. Para φ ∈ X, tome A =

φ−1(∞). Observe que A = ↑ A, pois se z ∈ ↑ A podemos obter h ∈ A tal que h ≤ z, como

φ e nao-expansiva φ(h) ≤ φ(z) e assim φ(z) =∞. Desta maneira defina S(φ) =∨X\ ↑ A,

vamos mostrar que S e supremo.

Ora, para cada x ∈ X teremos:

0 = X(S(φ), x) = X(∨

X\ ↑ A, x)⇔ X\ ↑ A ⊆ ↓ {x} ⇔ X\ ↓ {x} ⊆ ↑ A

Se a ∈ ↓ {x} temosX(a, x) = 0, caso contrario teremos a ∈ ↑ A e assim φ(a) =∞, logo em

qualquer caso teremos [0,∞](φ(a), X(a, x)) = 0. Por outro lado, se [0,∞](φ(a), X(a, x)) =

0,∀ a ∈ X, isto significa que sempre X(a, x) ≤ φ(a), em particular para a /∈↓ {x} valera

X(a, x) =∞ e assim φ(a) =∞. Desta maneira, teremos:

X\ ↓ {x} ⊆ ↑ A⇔ [0,∞](φ(a), X(a, x)) = 0, ∀ a ∈ X ⇔ X(φ,yx) = 0

Logo X(S(φ), x) = 0⇔ X(φ,yx) = 0, qualquer que seja x ∈ X. Como X e ordem parcial

X(−,−) so assume valores 0 e ∞, desta maneira X(S(φ), x) = ∞ ⇔ X(φ,yx) 6= 0, mas

neste caso podemos obter a ∈ X de modo que yx(a) − φ(a) 6= 0, novamente levando

em consideracao que X e ordem parcial tera que ocorrer yx(a) − φ(a) = ∞ e assim

X(S(φ), x) = ∞ ⇔ X(φ,yx) = ∞. Assim X(S(φ), x) = X(φ,yx), qualquer que seja

x ∈ X. Uma vez que φ foi tomado arbitrario segue que S e supremo. �


3.2 Completamento de direcionados

Conforme a nocao de completude introduzida no capıtulo anterior, dado um

espaco metrico geral X podemos nos questionar a completude de conjuntos direciona-

dos com respeito a ordem ≤X herdada da metrica de X. Neste caminho, dizemos que um

funtor completamento J e admissıvel se para qualquer que seja X espaco metrico geral

J -completo, tenha-se (X,≤X) pre-CPO.

Exemplo 3.7. Para X espaco metrico geral, considere o funtor YX = {yx; x ∈ X}.Observe que Y e funtor completamento pois:

f ∗(X(−, z)) = infx∈X

(X(x, z) + Y (−, f(x))) = Y (−, f(z))

Definindo S(yz) = z, qualquer que seja z ∈ X, em virtude do Lema de Yoneda teremos

que X e Y-completo. Em particular, tomando X = N e considerando a ordem usual,

teremos que N e Y-completo, mas nao e pre-CPO. Logo Y nao e admissıvel.

O funtor anterior conforme mostrado nao e admissıvel. Para nosso auxılio, con-

forme as seguintes proposicoes, vamos verificar que tanto A quanto (.) sao admissıveis.

Proposicao 3.8. O funtor A e admissıvel.

Demonstracao. Sejam X espaco metrico geral A-completo e I ⊆ X direcionado com

respeito a ≤X . Defina xi = i, i ∈ I, observe que (xi)i∈I e rede de Cauchy a direita.

Para esta rede tome φ = infi∈I supj≥iX(−, xj), uma vez que X e A-completo existe S(φ).

Vamos mostrar que⊔I = S(φ).

Seja k ∈ I, temos φ(xk) ≤ supj≥kX(xk, xj) = 0. Logo pelos lemas de Yoneda e

(3.1) temos 0 = φ(xk) = X(yxk , φ) ≥ X(xk,S(φ)), assim xk ≤X S(φ). Se u ∈ X e tal que

xi ≤X u, qualquer que seja i ∈ I, teremos X(xi, u) = 0 e assim:

0 = lim→X(xi, u) = lim

→X(yxi ,yu) = lim

→supa∈X

[0,∞](yxi(a),yu)(a) = supa∈X

lim→

[0,∞](yxi(a),yu(a))

=︸︷︷︸(2.2)(iv)

supa∈X

[0,∞](lim←

yxi(a),yu(a)) = X(φ,yu) = X(S(φ), u)

Portanto S(φ) ≤X u. �

Proposicao 3.9. Seja X espaco metrico geral (.)-completo, entao (X,≤X) e reticulado

completo. Em particular (.) e admissıvel.

Demonstracao. Primeiramente observe que X e um reticulado completo com respeito

a ≤X , para observar isto dado Y ⊆ X tome∨Y (x) =

∨{φ(a), φ ∈ Y & a ∈ [0,∞]}, para

todo x ∈ [0,∞]. Desta maneira∨Y e nao-expansiva, ja que e constante e e a maior das


barreiras superiores com respeito a ≤X . Alem disso ⊥X(a) =∞, para todo a ∈ [0,∞], e

o menor elemento de X e assim ⊥X ∈ X. Vamos mostrar agora que (X,≤X) e reticulado

completo.

Seja A ⊆ X, defina y[A] = {ya; a ∈ A}, verifiquemos que S(∨X y[A]) e supremo

de A. Dado a ∈ A, temos ya ≤X∨X y[A], uma vez que S e nao-expansiva teremos

a = S(ya) ≤X S(∨X y[A]). Por outro lado, se u ∈ X e tal que a ≤X u, para todo a ∈ A,

em virtude da isometria de y teremos ya ≤X yu e assim∨X y[A] ≤X yu, portanto segue

que S(∨X y[A]) ≤X S(yu) = u. Conforme observado anteriormente temos que ⊥X e o

menor elemento de X, como S e nao-expansiva segue que S(⊥X) e o menor elemento de

X. �

Capıtulo 4

Teoremas de ponto fixo

Dado um conjunto X e uma aplicacao f : X → X, podemos nos questionar a

existencia de pontos x ∈ X tais que f(x) = x, quais sao ditos pontos fixos. A existencia

de tais pontos podem ter diversas consequencias, por exemplo, se Ax = 0 e um sistema de

equacoes, a existencia de pontos fixos para A + I garante a solucao deste sistema. Alem

disso, sob algumas hipoteses acerca da aplicacao f e a estrutura de X, pontos fixos podem

implicar convergencia.

Para espacos metricos e ordens parciais sao bem conhecidos os teoremas de ponto

fixo de Banach e Knaster-Tarski, conforme enunciado:

Teorema 4.1 (Banach). Seja X espaco metrico completo. Se f : X → X e uma con-

tracao, isto e, existe 0 < λ < 1 tal que d(f(x), f(y)) ≤ λd(x, y), quaisquer que sejam

x, y ∈ X. Entao f tem um unico ponto fixo.

Teorema 4.2 (Knaster-Tarski). Seja X um reticulado completo. Se f : X → X preserva

ordem, entao f tem menor e maior ponto fixo.

Atraves do teorema do Ponto Fixo de Banach pode-se demonstrar os conhecidos

Teorema de Picard, que garante existencia e unicidade de solucoes para equacoes difer-

encias, e o Teorema da Funcao Inversa para aplicacoes diferenciaveis. Como aplicacao

do Teorema do Ponto Fixo de Knaster-Tarski tem o conhecido Teorema de Schroder-

Bernstein, que garante a existencia de uma bijecao entre conjuntos A e B caso exista uma

funcao injetiva de A em B e de B em A.

Nas proximas secoes, vamos mostrar que ambos sao corolarios de um unico teo-

rema, cujas hipoteses sao impostas em espacos metricos gerais.

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Teoremas de ponto fixo 25

4.1 O teorema do Ponto Fixo de Pataraia

Conforme e conhecido para ordens parciais, pelo teorema (4.15) em [3], dado X

CPO e f : X → X preservando ordem e possıvel obter ponto fixo para f . Como mostrado

por Pataraia [6], este teorema possui uma demonstracao construtiva, como segue:

Teorema 4.3. Seja (X,≤) CPO e suponha que f : X → X preserva ordem. Entao f

tem menor ponto fixo.

Demonstracao. Seja H = {A ⊆ X; f(A) ⊆ A e A e sub-CPO de X}, observe que

Y = {x ∈ X; x ≤ f(x)} ∈ H. Tome C =⋂{A; A ∈ H}, C 6= ∅ pois ⊥ ∈ C, observe

que f : C → C esta bem definida e alem disto x ≤ f(x), para todo x ∈ C, uma vez que

C ⊆ Y .

Defina E(C) = {ϕ : C → C; x ≤ ϕ(x) ,∀x ∈ C e ϕ preserva ordem }, temos que

E(C) 6= ∅ pois f ∈ E(C), alem disto munido com a ordem por coordenadas ≤′ definida

por φ ≤′ ψ se, e somente se, φ(a) ≤′ ψ(a), para todo a ∈ C, temos que (E(C),≤′) e

ordem parcial. Vamos mostrar que E(C) e pre-CPO.

Seja {ϕi}i∈I famılia direcionada, defina (⊔ϕi)(x) =

⊔ϕi(x), para todo x ∈

C. Esta funcao esta bem definida pois, uma vez que {ϕi}i∈I e direcionado, temos que

{ϕi(x)}i∈I e direcionado e como C e CPO segue que⊔ϕi(x) ∈ C. Resta mostrar que⊔

ϕi ∈ E(C). Ora, se x, y ∈ C e tal que x ≤ y, uma vez que ϕi preserva ordem

temos que ϕi(x) ≤ ϕi(y), para todo i ∈ I, assim⊔ϕi(x) ≤

⊔ϕi(y). Alem disto temos

x ≤ ϕi(x) ≤⊔ϕi(x) = (

⊔ϕi)(x). Assim

⊔ϕi ∈ E(C).

O grande passo desta demonstracao e observar que E(C) e direcionado. Para

verificar isto dados φ, ψ ∈ E(C), tome h = φ ◦ ψ. E claro que h preserva ordem, como

x ≤ φ(x) e x ≤ ψ(x), para todo x ∈ C, segue que x ≤ ψ(x) ≤ φ(ψ(x)) = h(x) e assim

h ∈ E(C). Alem disto, conforme a desigualdade anterior, temos ψ(x) ≤ h(x) e x ≤ ψ(x),

para todo x ∈ C, como φ preserva ordem teremos tambem φ(x) ≤ φ(ψ(x)) = h(x) e

portanto φ ≤′ h e ψ ≤′ h, assim E(C) e direcionado. Uma vez que E(C) e pre-CPO,

temos entao que E(C) tem > =∨E(C), o denotemos por m : C → C. Vamos mostrar

que m(⊥) e o menor ponto fixo de f .

Ora, como m e o maior elemento de E(C), temos que f ◦ m ≤′ m, conforme

observado anteriormente sempre vale m ≤′ f ◦m, assim f ◦m = m e portanto f(m(⊥)) =

m(⊥). Alem disto seja x ∈ X outro ponto fixo de f , observe que ↓ {x} ∈ H, logo

C ⊆ ↓ {x} e como m(⊥) ∈ C, segue que m(⊥) ≤ x. �

Teorema 4.3 (bis). Seja (X,≤) pre-CPO e f : X → X. Suponha que f preserva ordem

e existe x∗ ∈ X tal que x∗ ≤ f(x∗). Entao f tem ponto fixo, qual e o menor acima de

x∗.


Demonstracao. Os passos sao analogos a demonstracao anterior, exceto pelo fato de

usar a hipotese de x∗ ≤ f(x∗) ao inves das propriedades de ⊥. �

Fazendo uso do Teorema de Pataraia, obteremos o seguinte teorema para espacos

metricos gerais, cujas hipoteses permitirao obter os teoremas do ponto fixo de Banach e

Knaster-Tarski para espacos metricos gerais.

Teorema 4.4. Sejam J admissıvel , X espaco metrico geral J -completo e f : X → X

nao-expansiva. Se existe φ ∈ JX tal que f ∗(φ) = φ, entao f tem ponto fixo, qual e o

menor acima de S(φ) com respeito a ≤X .

Demonstracao. Seja φ ∈ JX tal que f ∗(φ) = φ, uma vez que X e J -completo, existe

S(φ). Desta maneira temos que:

X(S(f ∗(φ)), f(S(φ))) = X(f ∗(φ),yf(S(φ))) = supa∈X

[yf(S(φ))(a)−f ∗(φ(a))]

= supa∈X

[yf(S(φ))− infb∈X

(φ(b)+X(a, f(b)))]

= supa∈X

[supb∈X

(X(a, f(S(φ)))− φ(b)−X(a, f(b)))] [Lema 2.3]

≤ supa∈X

supb∈X

[X(f(b), f(S(φ)))− φ(b)] [Desigualdade Triangular]

≤ supb∈X

[X(b,S(φ))− φ(b)] [f nao-expansiva]

= supb∈X

[X(b,S(φ))− X(yb, φ)] [Lema de Yoneda]

≤ supb∈X

[X(b,S(φ))−X(b,S(φ))] = 0 [Lema 3.1]

Logo X(S(f ∗(φ)), f(S(φ))) = 0 e portanto S(f ∗(φ)) ≤X f(S(φ)). Por hipotese J e

admissıvel, assim (X,≤X) e pre-CPO, uma vez que f e nao-expansiva e f ∗(φ) = φ temos

que f preserva ordem com respeito a ≤X e S(φ) ≤X f(S(φ)). Aplicando o teorema 4.3

bis segue que f tem ponto fixo, qual e o menor acima de S(φ) com respeito a ≤X . �

4.2 Os teoremas de Banach e Knaster-Tarski para

espacos metricos gerais

Conforme as hipoteses do teorema anterior, para a obtencao de pontos fixos para

uma funcao f e suficiente a existencia destes para f ∗. Neste caminho a seguinte proposicao

vira em auxılio:

Proposicao 4.5. Sejam X espaco metrico geral e f : X → X nao-expansiva. Se para al-

gum x0 ∈ X a sequencia (fn(x0))n∈N e Cauchy a direita, entao φ = infn∈N supk≥nX(−, fk(x0))e um ponto fixo para f ∗.


Demonstracao. Para mostrar a igualdade f ∗(φ) = φ, vamos verificar ambas desigual-

dades com respeito a ≤X .

Sejam n ∈ N, z ∈ X e ε > 0 fixados. Uma vez que (fn(x0))n∈N e Cauchy a

direita, tome m ∈ N de modo que para todo k ≥ m ≥ n tenha-se X(fm(x0), fk(x0)) < ε.

Assim supk≥mX(fm(x0), fk(x0)) ≤ ε. Logo teremos:

supk≥n

X(z, fk(x0)) + ε ≥ supk≥m

X(z, fk(x0)) + ε ≥ X(z, fm+1(x0)) + supk≥m

X(fm(x0), fk(x0)) ≥

infa∈X

[X(z, f(a)) + supk≥m

X(a, fk(x0))] ≥ infa∈X

[X(z, f(a)) + infm∈N

supk≥m

X(a, fk(x0))] = f ∗(φ)(z)

Uma vez que ε > 0 foi tomado arbitrario teremos f ∗(φ)(z) ≤ supk≥nX(z, fk(x0)). Como

n ∈ N foi tomado arbitrario obtemos f ∗(φ)(z) ≤ infn∈N supk≥nX(z, fk(x0)) = φ(z).

Logo f ∗(φ)(z) − φ(z) ≤ 0, uma vez que a escolha de z ∈ X foi arbitraria segue que

supz∈X [f ∗(φ)(z)− φ(z)] ≤ 0 e assim X(φ, f ∗(φ)) = 0. Portanto φ ≤X f ∗(φ).

Para mostrar a desigualdade oposta, sejam y, z ∈ X e n ∈ N fixados. Tome

k ≥ n, uma vez que f e nao-expansiva teremos:

X(y, f(z)) +X(z, fk(x0)) ≥ X(y, f(z)) +X(f(z), fk+1(x0)) ≥ X(y, fk+1(x0)). Assim:

X(y, f(z))+supk≥n

X(z, fk(x0)) ≥ supk≥n

X(y, fk+1(x0)). Como n foi tomado arbitrario vale:

X(y, f(z))+infn∈N

supk≥n

X(z, fk(x0)) ≥ infn∈N

supk≥n

X(y, fk+1(x0)) e assim: X(y, f(z))+φ(z) ≥ φ(y)

Uma vez que z foi tomado arbitrario teremos infz∈X

[X(y, f(z)+φ(z))] ≥ φ(y) e assim

f ∗(φ)(y) ≥ φ(y). Como y foi tomado arbitrario segue que f ∗(φ) ≤X φ. �

Em virtude do Teorema 4.4 e fazendo uso da proposicao anterior, estaremos em

condicoes de demonstrar os teoremas de Banach e Knaster-Tarski, cujas hipoteses tomadas

em espacos metricos gerais coincidem com as hipoteses dos teoremas originais, em virtude

das proposicoes 3.4, 3.6, 3.8 e 3.9.

Teorema 4.6 (Banach). Sejam X espaco metrico geral A-completo e f : X → X con-

tracao, isto e, existe 0 < λ < 1 tal que X(f(x), f(y)) ≤ λ.X(x, y) < ∞, para todo

x, y ∈ X. Entao f tem um unico ponto fixo.

Demonstracao. Seja x0 ∈ X, vamos mostrar que fn(x0) e Cauchy a direita. Ora, para

cada p ∈ N teremos:

X(fn(x0), fn+p(x0)) ≤

p−1∑i=0

X(fn+i(x0), fn+i+1(x0)) ≤

p−1∑i=0

λn+iX(x0, f(x0))


= λnX(x0, f(x0))

p−1∑i=0

λi < λn.X(x0, f(x0))∞∑i=0

λi =λn

1− λX(x0, f(x0))

Uma vez que 0 < λ < 1 temos que λn

1−λX(x0, f(x0)) → 0, assim dado ε > 0 podemos

tomar n0 ∈ N de modo que para todo n ≥ n0 tenha-se X(fn(x0), fn+p(x0)) < ε. Como

p ∈ N foi tomado arbitrario segue que X(fn(x0), fm(x0)) < ε, para todo m ≥ n ≥ n0.

Portanto fn(x0) e Cauchy a direita.

Desta maneira, pela proposicao 4.5 φ = infn∈N supk≥nX(−, fk(x0)) e um ponto

fixo para f ∗, qual pertence a AX. Pela proposicao 3.8 temos que o funtor A e admissıvel,

uma vez que X e A-completo segue pelo teorema 4.4 que f possui ponto fixo.

Se a, b ∈ X sao pontos fixos para f , teremos X(a, b) = X(f(a), f(b)) ≤ λX(a, b)

e assim (1− λ)X(a, b) ≤ 0. Como (1 − λ) > 0 segue que X(a, b) = 0. De modo analogo

X(b, a) = 0 e assim em virtude da simetria fraca a = b.

Portanto f possui um unico ponto fixo. �

Teorema 4.7 (Knaster-Tarski). Seja X espaco metrico geral (.)-completo. Se f : X → X

e nao-expansiva, entao f tem menor e maior ponto fixo.

Demonstracao. Por hipotese temos que X e (.)-completo, logo pela proposicao 3.9

(X,≤X) e um reticulado completo, desta maneira teremos que fn(⊥) e Cauchy a direita,

pois como f e nao-expansiva vale:

⊥ ≤X f(⊥) ≤X f 2(⊥) ≤X ... ≤X fn(⊥) ≤X ...

E assim para qualquer ε > 0 se n ≥ m ≥ 0 teremos X(fm(⊥), fn(⊥)) = 0 < ε. Logo pela

proposicao [4.5] φ = infn∈N supk≥nX(−, fk(⊥)) e ponto fixo para f ∗, por 3.9 temos que

(.) e admissıvel e portanto pelo teorema [4.4] segue que f tem menor ponto fixo, digamos

x1, qual e o menor acima de S(φ).

Por outro lado, conforme a demonstracao do lema 3.8, temos que S(φ) =∨n∈N f

n(⊥).

Se x2 for outro ponto fixo para f , temos sempre que ⊥ ≤X x2, e assim como f e nao-

expansiva teremos fn(⊥) ≤X fn(x2) = x2, para todo n ∈ N, daı∨n∈N f

n(⊥) ≤X x2.

Como x1 e o menor ponto fixo de f acima de∨n∈N f

n(⊥), segue que x1 ≤X x2. Portanto

x1 e o menor ponto fixo de f em X.

Uma vez que f e nao-expansiva em X se, e somente se, e nao-expansiva em Xop

a mesma construcao levara a obter o menor ponto fixo para f em Xop, consequentemente

o maior ponto fixo para f em X. �

Referencias

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tion, topology, and power domains via the Yoneda embedding Theoretical Computer

Science. 193, p. 1-51.

[2] Dalen, Dirk van Logic and structure. 3rd augm. ed. Berlin: Springer, 1997.

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Press, 1990.

[4] Goldblatt, R. Topoi, The Categorial Analysis of Logic. Revised edition. Elsevier Sci-

ence Publishers B. V., 1984.

[5] Kostanek M., Waszkiewicz, P. (2011) Reconciliation of elementary order and metric

fixpoint theorems. Pre-print, disponıvel em: http://tcs.uj.edu.pl/Waszkiewicz

[6] Waszkiewicz, P. (2010) Common patterns for metric and ordered fixed point theorems.

In Proceedings of the 7th Workshop on Fixed Points in Computer Science (Luigi

Santocanale ed.), pp. 83-87.

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Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach...Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach Paulo Raimundo Stering Malta Monogra a de Gradua˘c~ao apresentada ao Colegiado