of 39 /39
Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem ´ atica - IM Colegiado do Curso de Matem´ atica - COLMAT Monografia de Graduac ¸˜ ao Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach Paulo Raimundo Stering Malta Salvador-Bahia Dezembro de 2011

Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach...Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach Paulo Raimundo Stering Malta Monogra a de Gradua˘c~ao apresentada ao Colegiado

  • Author
    hanhan

  • View
    215

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach...Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e...

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matematica - IM

Colegiado do Curso de Matematica - COLMAT

Monografia de Graduacao

Sobre os teoremas de ponto fixode Tarski e Banach

Paulo Raimundo Stering Malta

Salvador-Bahia

Dezembro de 2011

Sobre os teoremas de ponto fixode Tarski e Banach

Paulo Raimundo Stering Malta

Monografia de Graduacao apresentada ao

Colegiado do Curso de Matematica da

Universidade Federal da Bahia como requisito

parcial para obtencao do ttulo de Bacharel

em Matematica.

Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard

Michael Brunner.

Salvador-Bahia

Dezembro de 2011

Malta, Paulo Raimundo Stering.

Sobre os teoremas de ponto fixo de Tarski e Banach /

Paulo Raimundo Stering Malta. Salvador, 2011.

29 f.

Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner.

Monografia (graduacao) Universidade Federal da Bahia, Instituto

de Matematica, Colegiado do Curso de Matematica, 2011.

Referencias bibliograficas.

1. Logica matematica. 2. Categorias 3. Espacos metricos gerais

I. Brunner, Andreas Bernhard Michael. II. Universidade Federal da

Bahia, Instituto de Matematica. III. Ttulo.

CDU : 512.58

Sobre os teoremas de ponto fixode Tarski e Banach

Paulo Raimundo Stering Malta

Monografia de Graduacao apresentada ao

Colegiado do Curso de Matematica da

Universidade Federal da Bahia como requisito

parcial para obtencao do ttulo de Bacharel em

Matematica, aprovada em 09 de dezembro de

2011.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner (Orientador)

UFBA

Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva

UFBA

Prof. Dr. Edson Alberto Coayla Teran

UFBA

A meus pais e meus amigos.

Agradecimentos

Gostaria de agradecer primeiramente aos meus pais, cuja educacao permitiu atin-

gir mais esta etapa em minha vida, aos quais serei eternamente grato.

Quanto a minha formacao gostaria de agradecer imensamente ao Laboratorio

de Ensino de Matematica e a todos os seus membros, em especial Elinalva Vergasta.

Todas as experiencias proporcionadas, desde monitor no meu primeiro ano, oficinas e

exposicoes realizadas foram unicas, cuja recproca do publico permitiu constatar o quanto

a matematica e bela e humana.

Aos orientadores gostaria de agradecer a Jose Fernandes Andrade ao grande con-

hecimento proporcionado, desde a orientacao no LEMA ate as quatro disciplinas min-

istradas, cujos conselhos me acompanharam durante toda a graduacao. A Paulo Varandas

serei eternamente grato por ter tido a oportunidade de realizar minha primeira iniciacao

cientfica, ao qual obtive grande aprendizado e a Andreas Brunner pela orientacao e ded-

icacao este ano, cujo resultado se apresenta atraves desta monografia.

Aos professores, colegas de turma e a todos que tive o prazer de estar ao lado

durante estes quatro anos, muito obrigado!

Pedimos o mundo, nos deram o in-

finito.

(Vitor Serravale)

Resumo

Neste trabalho apresentaremos a teoria dos Espacos Metricos gerais, com esta

nova estrutura estaremos aptos a generalizar tanto espacos metricos quanto ordens par-

ciais. Para estas teorias temos dois teoremas de ponto fixo: O teorema do ponto fixo de

Banach para espacos metricos e o teorema do ponto fixo de Knaster-Tarski para ordens

parciais. Em espacos metricos gerais provaremos construtivamente um unico teorema

que possui como corolario os teoremas do ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski, cujas

hipoteses generalizam espacos metricos completos e reticulados completos.

Palavras-chave: Espacos metricos gerais; Teoremas de ponto fixo; Espacos metricos.

Abstract

In this work we will present the Generalized Metric Space theory, with this new

structure we will be able to generalize both metric and partially ordered spaces. For

these theories there are two distinct fixed point theorems: Banachs fixed point theorem

for metric spaces and Knaster-Tarskis fixed point theorem for partially ordered sets. In

generalized metric spaces we will prove constructively a single theorem that has both

Knaster-Tarski and Banachs fixed point theorem as corolaries, whose hyphotesis gener-

alizes complete metric spaces and complete lattices.

Keywords: Generalized metric spaces; Fixed point theorems; Metric spaces.

Sumario

Introducao 1

1 Preliminares 3

1.1 Ordens Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Reticulados e CPOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Famlias, sequencias e redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Categorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Espacos metricos gerais 10

2.1 Redes de Cauchy e limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 O mergulho de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Completamento de espacos metricos gerais 16

3.1 Completude comum para ordens parciais e espacos metricos . . . . . . . . 17

3.2 Completamento de direcionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Teoremas de ponto fixo 24

4.1 O teorema do Ponto Fixo de Pataraia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Os teoremas de Banach e Knaster-Tarski para espacos metricos gerais . . . 26

Referencias 29

Introducao

Problemas de ponto fixo surgem com frequencia em matematica, um exemplo

simples seria a obtencao de razes para uma determinada funcao real, que pode ser con-

vertido para um problema deste tipo. Conforme este exemplo, a questao que surge e a

existencia de razes, e por coseguinte a existencia de pontos fixos. Em geral problemas de

ponto surgem nesse sentido, situacoes em que problemas de existencia possam ser traduzi-

das para esse contexto. Assim, hipoteses que permitam obter teoremas de ponto fixo sao

de grande valia para solucao destes problemas.

Em espacos metricos e bem conhecido o teorema do ponto fixo de Banach, o

qual garante que toda contracao em um espaco metrico completo possui um unico ponto

fixo. Suas aplicacoes sao diversas, na literatura e bem conhecido o teorema de Picard

para equacoes diferenciais ordinarias, o qual sob algumas hipoteses garante a existencia

e unicidade de solucao para um problema de valor inicial. Em ordens parciais e bem

conhecido o teorema do ponto fixo de Knaster-Tarski, que garante a existencia de pontos

fixos para toda funcao que preserva ordem em um reticulado completo. Uma aplicacao

bem conhecida e o teorema de Schroder-Bernstein, que garante a existencia de uma bijecao

entre conjuntos A e B caso existam funcoes injetivas de A em B e de B em A.

Neste trabalho vamos mostrar que tanto o teorema de Banach quanto Knaster-

Tarski sao corolarios de um unico teorema, cujas hipoteses serao tomadas em espacos

metricos gerais, teoria esta que permite generalizar espacos metricos e ordens parciais.

Desta maneira, este trabalho se organiza do seguinte modo:

Captulo 1: Apresentaremos todos os recursos necessarios para a compreensao

do presente texto, onde trataremos definicoes basicas para teoria das ordens e categorias.

Tambem serao apresentadas proposicoes que comumente serao utilizados o texto.

Captulo 2: Neste captulo sera introduzida a teoria dos espacos metricos gerais.

Apresentaremos nocoes de convergencia neste ambiente e demonstraremos o mergulho de

Yoneda, que permitira obter uma isometria de qualquer espaco metrico geral em seu

espaco de funcoes nao-expansivas.

Captulo 3: Com a linguagem de categorias por funtores sera introduzida a

nocao de completamento de espacos metricos gerais, cujos resultados permitirao obter

1

Introducao 2

equivalencias de espacos metricos gerais com espacos metricos e ordens parciais.

Captulo 4: Devido a Pataraia, demonstraremos de forma construtiva um bem

conhecido teorema para ordens parciais que garante a existencia de pontos fixos para

funcoes que preservam ordem em um CPO. Desta maneira, sera demonstrado um teorema

de ponto fixo para espacos metricos gerais cujas hipoteses permitirao obter os teoremas

de Banach e Knaster-Tarski.

Este trabalho foi desenvolvido atraves do recente artigo publicado por Pawel

Waszkiewicz em [6]. Conforme o desenvolvido, acreditamos que estas ideias permitirao

traduzir de uma unica maneira problemas de espacos metricos e ordens parciais.

Captulo 1

Preliminares

Para a boa compreensao do presente texto, neste captulo introduziremos todo o

recurso matematico necessario. Na secao 1.1 e 1.2 serao tratadas definicoes e exemplos

basicos acerca da Teoria da Ordem, na secao 1.4 serao introduzidas categorias. Para um

tratamento mais profundo acerca destes topicos e sugerida a leitura de [3] e [4].

1.1 Ordens Parciais

Seja P um conjunto. P e dito um conjunto ordenado, ou uma ordem parcial, se

existe uma relacao binaria em P que satisfaz:

i) x x, x P ; (reflexiva)

ii) Se x y e y x, entao x = y; (antissimetrica)

iii) Se x y e y z, entao x z. (transitiva)

Denotamos atraves do par (P,) afim de tornar claro a ordem utilizada.Intuitivamente associamos ordens aos numeros naturais N ou a reta real R. De

fato, estes dois conjuntos sao ordens parciais, porem estes estao munidos com uma quarta

propriedade mais forte, que permite compararmos qualquer elemento:

iv) x, y P , ou x y ou y x

Caso um conjunto P seja ordem parcial e tambem satisfaca iv), dizemos que P e

totalmente ordenado.

Tomando X um conjunto, podemos definir uma ordem em P(X) = {A;A X}pela inclusao . E facil ver que esta e uma relacao de ordem, porem nem sempre podemoscomparar dois conjuntos, isto e, se X possui mais de dois elementos entao P(X) nao etotalmente ordenado.

3

Preliminares 4

Um subconjunto S P e dito uma cadeia se com a ordem herdada de P etotalmente ordenado.

Em geral, quando lidamos com estruturas nos interessamos por aplicacoes que

preservem esta estrutura. Em nosso caso, para ordens parciais, estaremos interessados

em aplicacoes que preservem a ordem. Desta maneira, sejam (P,) e (Q,) ordensparciais e f : P Q uma aplicacao:

i) f preserva ordem se dados x y, tem-se f(x) f(y);

ii) f e dita um mergulho se preserva ordem e e injetiva;

iii) f e dita um isomorfismo se preserva ordem e e bijetiva.

Observe que se tivermos um mergulho f : P Q, entao temos um isomorfismoentre P e sua imagem por f , e neste caso toda sua estrutura e preservada. Por exemplo,

se A P e uma cadeia, sua imagem tambem o sera.Dada uma ordem parcial (P,), podemos definir uma ordem dual em P por

(P,op), onde x op y se, e somente se, y x. Afim de simplificar a notacao, denotamospor P op o conjunto P munido da ordem dual. Esta definicao em nada altera as pro-

priedades anteriores da ordem em P, exceto pelo fato de estarem trocadas. Em geral, o

princpio da dualidade nos permite concluir:

Proposicao 1.1 (Princpio da Dualidade). Consideremos uma linguagem . Se euma proposicao (ou propriedade) na linguagem de primeira ordem L := {}, qual vale naordem (P,), entao op vale em (P,op), onde op e a proposicao obtida de substituindo por op.

Demonstracao. Inducao na complexidade das L-formulas. Para maiores detalhes, veja

[2].

1.2 Reticulados e CPOs

Dentre as ordens parciais, vamos nos interessar por algumas que possuam algu-

mas propriedades particulares. Para isto iremos buscar alguns elementos especiais nestes

conjuntos. Seja Q P ordem parcial:

i) a Q e dito um elemento maximal se a x Q, entao a = x;

ii) Se a Q e tal que x a, x Q, a e dito o maior elemento de Q.

Preliminares 5

Observe que o maior elemento, caso exista, e unico. De maneira analoga definimos

um elemento minimal e o menor elemento, levando em consideracao a ordem dual de P .

O maior elemento de P , caso exista, e dito top e denotaremos por >. Analogamente, casoexista o menor elemento em P, o chamaremos de bottom, denotado por .

Dizemos que Q e up-set se Q = Q = {y P ; (x Q) x y}. De maneiraanaloga definimos Q = {y P ; (x Q) y x}, caso Q = Q, Q e dito down-set. Umelemento x P e dito uma barreira superior de Q se a x, a Q, de maneira dualdefinimos uma barreira inferior. Denotamos o conjunto das barreiras superiores de Q por

Qu e as barreiras inferiores por Ql, observe que estes sempre sao respectivamente up-set

e down-set. Caso Qu possua menor elemento, dizemos que Q tem sup ou supremo. De

maneira analoga o nfimo de Q, ou inf, sera o maior elemento de Ql, caso exista. Empre-

garemos a notacao sup Q ouQ para denotar o supremo e inf Q ou

Q, para denotar o

nfimo. Para dois elementos x, y P , denotaremos sup{x, y} = x y e inf{x, y} = x y.Note que em virtude do maior elemento ser unico, segue que o supremo e o nfimo sao

unicos, caso existam.

A luz das definicoes anteriores, dado um conjunto ordenado P nao-vazio:

i) Se x y e x y existe, para todo x, y P . Dizemos que P e um reticulado;

ii) SeQ e

Q existe, para todo Q P . Dizemos que P e um reticulado completo.

Observe que se P e um reticulado completo, P possui bottom e top. Assim com

a ordem usual Q,R sao reticulados, porem nao sao completos, uma vez que nao possuembottom nem top. Por outro lado, se I R e um intervalo fechado, com a ordem herdadade R este e um reticulado completo. Tambem para X conjunto, P(X) e um reticuladocompleto, com

{Ai}iI =

iIAi e

{Ai}iI =

iIAi, em que {Ai}iI e uma famlia de

subconjuntos quaisquer de X.

A partir da proxima proposicao e possvel simplificar a definicao de reticulado

completo, observando apenas que o mesmo vale apenas se ocorrer para nfimo ou o

supremo. A demonstracao e simples, para verificar a existencia do nfimo de um conjunto

A basta observar que este e igual ao supremo do conjunto de suas barreiras inferiores Al.

Proposicao 1.2. Uma ordem parcial (P ;) e um reticulado completo se, e somente se,para todo A P , existe

A. Em particular, temos que

A =

( A).

Um conjunto Q P nao vazio e direcionado se para todo x, y Q, h Q talque x h e y h. Observe que se Q P e direcionado, qualquer subconjunto finitoF f Q possui barreira superior em Q. Assim, todo cadeia Q P e direcionado. A luzdestas definicoes, P e dito CPO ou ordem parcial completa se:

Preliminares 6

i) P possui bottom ;

ii)D existe, para todo D P direcionado.

DenotaremosD =

D para fazer mencao ao sup de um conjunto direcionado. Ao

omitirmos i), dizemos que P e pre-CPO.

E bem sabido da Analise que se uma funcao e contnua, entao esta preserva

limites. Esta mesma nocao podemos traduzir para pre-CPOs, considerando conjuntos

direcionados. Assim se P, S sao pre-CPOS, uma funcao f : P S e dita contnuase f(

D) =

f(D), para todo D P direcionado. Observe que qualquer funcao

contnua preserva ordem, porem a recproca nao e verdadeira, apenas podemos garantir

quef(D) f(

D).

1.3 Famlias, sequencias e redes

Seja X um conjunto. Uma famlia (xi)iI e uma funcao x : I X, cuja imagemx(i) e denotada por xi, para todo i I, onde I e um conjunto de ndices. Para I = N,(xn)nN e dita uma sequencia em X. Se (I,) e ordem parcial direcionado, (xi)iI e ditauma rede em X.

Para X espaco metrico, dizemos que uma rede (xi)iI converge para x X,denotado por limxi = x, quando para todo > 0 for sempre possvel obter N I demodo que para todo j N tenha-se d(xj, x) < . Uma rede (xi)iI e dita de Cauchycaso dado > 0 seja possvel obter N I de modo que para todo i j N tenha-sed(xi, xj) < .

A convergencia de uma rede de Cauchy nem sempre e garantida em um espaco

metrico qualquer, conforme a seguinte proposicao, considerando-se a completude de um

espaco metrico apenas por sequencias de Cauchy, sera possvel obter convergencia de redes

de Cauchy.

Proposicao 1.3. Seja X espaco metrico. X e completo se, e somente se, toda rede de

Cauchy converge.

Demonstracao. Seja (xi)iI rede de Cauchy. Para cada n =1

n+1tome N(n) de modo

que para todo i j N(n) tenha-se d(xi, xj) < n. Desta maneira, defina : N Irecursivamente por:

(n) =

{N(0) se n = 0

max{N(n), (n 1)} para n > 0

Temos que (x(n))nN e sequencia de Cauchy pois dado > 0, tomando n0 N de modoque n0 < , teremos para todo m n n0: (m) (n) (n0) N(n0). Assim

Preliminares 7

d(x(m), x(n)) < n0 < . Em virtude da completude de X a sequencia (x(n))nN converge,

digamos para x X. Vamos mostrar que (xi)iI converge para x. Ora, dado > 0, tomem N de modo que 1

m+1<

2. Como (x(n))nN converge a x podemos obter n0 N

de modo que para todo m n0 tenha-se d(x(m), x) < 2 . Assim, para todo i N(m)teremos:

d(xi, x) d(xi, x(m)) + d(x(m)), x 0, N N; i j N X(xi, xj) <

Observe que se X e espaco metrico a definicao usual e mantida. Vale observar que se

X e ordem parcial decorre da definicao que para (xi)iI Cauchy a direita, levando em

consideracao a quase-metrica induzida, podemos obter N I de modo que para todoi j N tenha-se xj xi. Assim em um dado momento (xi)iI e cadeia, entao farasentido se perguntar o limite

xi.

A seguinte proposicao nos permitira verificar o comportamento de rede de Cauchy

quando induzidas a [0,].

Proposicao 2.1. Sejam X espaco metrico geral e (xi)iI Cauchy a direita em X. Entao

dado x X:

1. A rede (X(x, xi))iI e Cauchy a direita em [0,].

2. A rede (X(xi, x))iI e Cauchy a esquerda em [0,].

Espacos metricos gerais 12

Demonstracao. Dado > 0, tome N I tal que i j N tenha-se X(xj, xi) < .Assim em virtude da desigualdade triangular segue que:

1. [0,](X(x, xj), X(x, xi)) = X(x, xi)X(x, xj) X(xj, xi) <

2. [0,](X(xi, x), X(xj, x)) = X(xj, x)X(xi, x) X(xj, xi) <

Logo (X(x, xi))iI e Cauchy a direita e (X(xi, x))iI e Cauchy a esquerda em [0,].

Afim de introduzir limites de redes de Cauchy para espacos metricos gerais, o

faremos inicialmente em [0,].Para (ri)iI Cauchy a direita em [0,], definimos o limite a direita de (ri) por:

limri = sup

iIinfji

rj

Analogamente, se (ri)iI e Cauchy a esquerda em [0,] o seu limite a esquerda e definidopor:

limri = inf

iIsupji

rj

Conforme a definicao, poderemos a partir da proposicao seguinte estabelecer relacao entre

limites a direita e a esquerda em [0,].

Proposicao 2.2. Seja (ri)iI Cauchy a direita em [0,]. Entao para todo r [0,]vale:

i) [0,](r, limri) = lim

[0,](r, ri)

ii) [0,](limri, r) = lim

[0,](ri, r)

Se (ri) e Cauchy a esquerda em [0,] entao vale:

iii) [0,](r, limri) = lim

[0,](r, ri)

iv) [0,](limri, r) = lim

[0,](ri, r)

Para a demonstracao desta proposicao sera feito uso do seguinte lema:

Lema 2.3. Sejam A,B R, A = {x; x A} e A + B = {x + y; x A e y B}.Valem as seguintes afirmativas:

1. Se A e limitado inferiormente, entao sup(A) = inf A

2. Se A e limitado superiormente, entao inf(A) = supA

3. Se A e B sao limitados, entao sup(A+B) = supA+ supB e inf(A+B) = inf A+

inf B

Espacos metricos gerais 13

Demonstracao. Os detalhes da demonstracao serao dados para ii). As ideias sao

analogas para os demais itens. Teremos de analisar dois casos:

1. limri = sup

iIinfji

rj r

Neste caso poderemos obter N I de modo que r infjN

rj supiI

infji

rj. Logo [0,](rj, r) = 0,

para todo j N. Assim supji

[0,](rj, r) = 0, para todo i N . Logo lim [0,](ri, r) = 0.

Como [0,](limri, r) = 0. Segue que [0,](lim ri, r) = lim [0,](ri, r).

2. limri = sup

iIinfji

rj < r

Observe que infji

rj < r, para todo i I. Logo e limitada superiormente, assim:

[0,](supiI

infji

rj, r) = r supiI

infji

rj =2.

r+ infiI

[ infji

rj] =1.

r+ infiI

supji

[rj] =

infiI

supji

r + infiI

supji

[rj] =3.

infiI

supji

[r rj] = lim [0,](ri, r)

Logo [0,](limri, r) = lim

[0,](ri, r)

Em virtude das proposicoes 2.1 e 2.2 poderemos definir o limite de uma rede em

um espaco metrico geral X qualquer. Para (xi)iI Cauchy a direita em um espaco metrico

geral X, dizemos que x X e um limite a direita da rede (xi) quando vale:

x = limxi se, e somente se, y X, X(x, y) = lim X(xi, y) (2.A)

Observe que esta definicao coincide com os limites definidos em [0,], em virtude de2.2 e esta bem definido conforme 2.1. Vale ressaltar que este limite, caso exista, esta

unicamente determinado em virtude da simetria fraca, caso contrario apenas poderamos

concluir que os limites possuem distancia 0.

Se X e ordem parcial e (xi)iI e cadeia, entao limxn =

xn. De fato, seja y tal que xi y,

para todo i I, logo X(xi, y) = 0, i I. Por outro lado X(lim xi, y) = lim X(xi, y) = 0.

Assim limxi y e portanto lim xi =

xi.

Alem disso, esta definicao coincide a usual de espacos metricos. De fato, seja > 0 dado,

observe que:

x = limxi 0 = X(lim xi, x) = lim X(xi, x) = infiI supji

X(xi, x) < . Logo poderemos

obter N I de modo que 0 supjN

X(xj, x) < . Portanto X(xi, x) < , i N.

Espacos metricos gerais 14

2.2 O mergulho de Yoneda

A partir desta secao vamos buscar introduzir a nocao de completude para espacos

metricos gerais, para isto considere o conjunto X = {f : Xop [0,]; f e nao-expansiva}.Munindo-o com a quase metrica X(, ) = supzX [0,]((z), (z)) temos que X e umespaco metrico geral. Neste caminho, a seguinte proposicao nos permitira identificar X

em X, o importantssimo:

Lema 2.4 (Yoneda Lema). Seja X espaco metrico geral. Para cada x X definaX(, x) : Xop [0,], y 7 X(y, x). Esta funcao e nao-expansiva e portanto umelemento de X. Alem disto, para qualquer elemento X, tem-se X(X(, x), ) = (x).

Demonstracao. Primeiramente, X(, x) e nao-expansiva, pois para todo a, b X,considerando sem perda de generalidade X(a, x) < X(b, x), tem-se:

[0,](X(a, x), X(b, x)) = X(b, x)X(a, x) X(b, a) = Xop(a, b)

Agora tome X. Teremos:

(x) = [0,](X(x, x), (x)) supzX

[0,](X(z, x), (z)) = X(X(, x), )

Por outro lado, uma vez que e nao-expansiva tem-se para qualquer y X:

[0,]((x), (y)) Xop(x, y) = X(y, x)

Vamos mostrar que para qualquer y X tem-se [0,](X(y, x), (y)) (x). Para istoconsidere os seguintes casos:

i) X(y, x) =

Neste caso [0,](X(y, x), (y)) = 0 (x).

ii) X(y, x)

Espacos metricos gerais 15

Corolario 2.5. Seja X espaco metrico geral. Para cada x X, defina o mergulho deYoneda por y : X X, x 7 yx = X(, x). Para todo x, x X tem-se que y e umaisometria, isto e, X(x, x) = X(yx,yx).

Demonstracao. A isometria e imediata a 2.4. Se yx = yx , temos 0 = X(yx,yx)

= X(x, x) e 0 = X(yx ,yx) = X(x, x). Assim, em virtude da simetria fraca, segue que

x = x e portanto y e injetiva.

A luz do lema anterior podemos a partir de agora identificar qualquer espaco

metrico geral X em um maior, X. Atraves da seguinte proposicao, com o mesmo objetivo,

poderemos identificar as funcoes nao-expansivas:

Proposicao 2.6. Sejam X, Y espacos metricos gerais e f : X Y nao-expansiva. Definaf : X Y por f ()(y) = infxX((x) + Y (y, f(x))). Neste caso, f e nao-expansiva.

Demonstracao. Sejam , X, teremos:

X(, ) + f ()(y) = supxX

[0,](, ) + infxX

((x) + Y (y, f(x)))

infxX

((x)(x)) + infxX

((x) + Y (y, f(x))) infxX

((x) + Y (y, f(x))) = f ()(y)

Logo X(, ) f ()(y) f ()(y). Se f ()(y) > f ()(y) teremos X(, ) [0,]((y), (y)), caso contrario X(, ) 0 = [0,]((y), (y)). Em qualquer casoteremos X(, ) [0,]((y), (y)) e assim X(, ) supyX [0,]((y), (y)).Segue que X(, ) Y (f (), f ()).

Captulo 3

Completamento de espacos metricos

gerais

Em posse dos resultados obtidos anteriormente, podemos a partir deste momento

considerar completude em espacos metricos gerais. Dizemos que um funtor J : Gms Gms e um funtor completamento caso satisfaca as seguintes propriedades:

i) JX X, qualquer que seja X gms;

ii) {yx;x X} JX;

iii) Quaisquer que sejam X, Y gms, se f : Y X e uma funcao nao-expansiva, entaoJ (f) := f |J Y satisfaz f |J Y (J Y ) JX, isto e, f |J Y : J Y JX esta bem definida.

Note que em virtude de i) e ii) obtemos uma regra para os Gms-objetos, a qual

esta determina uma margem para o completamento. A alnea iii) define uma regra para

os Gms-morfismos, que garante que qualquer funcao nao-expansiva admite uma extensao

que ainda e nao-expansiva. Em virtude da proposicao 2.6 segue que J e funtor covariante.Seja X espaco metrico geral, dizemos que X possui supremo S() X

quando para todo x X satisfaca a seguinte igualdade:

X(S(), x) = X(,yx) (3.A)

Caso qualquer elemento JX possua supremo, dizemos que X e J -completo.Conforme a definicao acima e natural considerar S como uma aplicacao, o seguinte

lema vira em nosso auxlio neste sentido:

Lema 3.1. Seja X espaco metrico geral J -completo. Entao a aplicacao S : JX Xesta bem definida e e nao-expansiva. Alem disso vale a seguinte desigualdade:

X(x,S()) X(yx, ), quaisquer que sejam JX, x X (3.B)16

Completamento de espacos metricos gerais 17

Demonstracao. Sejam , JX. Assim teremos:

X(S(),S()) =(3.A)

X(,yS()) X(, )+X(,yS()) =(3.A)

X(, )+X(S(),S()) = X(, )

Segue da desigualdade acima e da simetria fraca que S nao depende da escolha de e, portanto esta bem definida e e nao-expansiva. Alem disso, qualquer que seja x Xteremos:

X(x,S()) =2.5

X(yx,yS()) =(3.A)

X(S(yx),S()) S nao-expansiva

X(yx, )

Exemplo 3.2. [0,] e J -completo, independente da escolha de J . Para observar isso,dado J [0,] defina S() = infz[0,]((z) + z), teremos:

[0,](S(), x) = x infz[0,]

((z)+z) = supz[0,]

(xz(x)) = supz[0,]

([0,](z, x)(z)) =

supz[0,]

[0,]((z),yx(z)) = [0,](,yx)

Logo S e de fato supremo.

3.1 Completude comum para ordens parciais e espacos

metricos

Com a nocao de completude introduzida anteriormente podemos a partir de uma

escolha adequada de J generalizar as nocoes de completude usuais para espacos metricos,ordens parciais e reticulados. Neste sentido, para X espaco metrico geral, defina o funtor

completamento A : JX X por AX se, e somente se, existe (xi)iI rede de Cauchyde modo que = infiI supjiX(, xj).

Proposicao 3.3. O funtor A : Gms Gms e de fato funtor completamento.

Demonstracao. Sejam X, Y espacos metricos gerais. Verifiquemos que A e funtor com-pletamento:

i) E claro que AX X, pois se AX entao : Xop [0,] esta bem definida.

ii) Para cada x X, tome a rede constante xi = x, para todo i I, que claramente eCauchy a direita. Desta maneira yx = infiI supjiX(, xj).

Completamento de espacos metricos gerais 18

iii) Seja f : X Y nao-expansiva. Tome AX, entao existe (xi)iI Cauchy a direitatal que = infiI supjiX(, xj). Vamos mostrar que f () = infiI supji Y (, f(xj)).Ora, para todo xj (xi),y Y e x X teremos:

Y (y, f(x))+X(x, xj) Y (y, f(x))+Y (f(x), f(xj)) Y (y, f(xj))

infiI

supji

X(x, xj) + Y (y, f(x)) infiI

supji

Y (y, f(xj))

Como x e arbitrario segue que f ()(y) infiI supji Y (y, f(xj)). Para mostrar adesigualdade oposta tome > infiI supji Y (y, f(xj)), para este tome 1, 2 > 0

de modo que 1+2 < e 1 > infiI supji Y (y, f(xj)). Como 1 nao e uma barreira

inferior para infiI supji Y (y, f(xj)), podemos obter N1 I de modo que:

1 > supjN1

Y (y, f(xj)) Y (y, f(xj)), j N1

Uma vez que (xi) e Cauchy a direita podemos obter N2 I tal que para todoj j N2 tenha-se X(xj, xj) < 2. Assim (xj) 2, qualquer que seja j N2.Como I e direcionado, tomando N N1 e N N2 segue que para todo j N :

> 1 + 2 > Y (y, f(xj)) + (xj) f ()(y)

Uma vez que foi tomado arbitrario segue que infiI supji Y (y, f(xj)) f ()(y).Portanto f ()(y) = infiI supji Y (y, f(xj)).

Desta maneira, conforme as seguintes proposicoes, poderemos atraves do funtor

A resgatar a completude de espacos metricos e ordens parciais.

Proposicao 3.4. Seja X espaco metrico. X e completo se, e somente se, X e A-completo.Alem disto, a funcao S : AX X e isometria e vale a seguinte igualdade:

X(x,S()) = X(yx, ), quaisquer que sejam JX, x X (3.C)

Demonstracao. Como X e espaco metrico, podemos fazer uso da simetria quando

conveniente. Suponha X completo, tome = infiI supjiX(, xj). Fazendo uso daproposicao 1.3 temos que (xi)iI converge, digamos para x. Em virtude da equacao (2.A)

teremos para todo y X:

X(y, x) = X(x, y) =(2.A)

limX(xi, y) = lim

X(y, xi) = infiI

supji

X(y, xj)

Logo yx = . Desta maneira defina S() = x. Assim para todo z X:

X(S(), z) = X(x, z) = X(yx,yz) = X(,yz)

Completamento de espacos metricos gerais 19

Portanto S e supremo, como AX foi tomado arbitrario segue que X e A-completo.Alem disso, para = infiI supjiX(, xj) e = infiI supjiX(, yj) teremos:

X(, ) = supaX

[0,]((a), (a)) = supaX

[0,](limX(a, xj), lim

X(a, yj)) =

supaX

[0,](limX(xj, a), lim

X(yj, a)) = supaX

[0,](X(S(), a), X(S(), a)) =

X(yS())),yS()) = X(S(),S())

Portanto S : AX X e isometria e desta maneira conforme a demonstracao do lema 3.1segue que vale a equacao (3.C).

Reciprocamente, seja (xn)nN sequencia de Cauchy. Tome = infnN supknX(, xn).Como X e A-completo existe o supremo S(). Assim para todo z X:

X(S(), z) = X(z,S()) =(3.C)

X(yz, ) = supaX

[0,](yz(a), lim X(a, xn)) =2.2(iii)

supaX

lim

[0,](yz(a), X(a, xn)) = lim supaX[0,](yz(a),yxn(a)) = lim X(yz,yxn) =

limX(z, xn) = lim

X(xn, z)

Segue da equacao 2.A que limxn = S() e portanto X e completo.

Proposicao 3.5. Seja X ordem parcial. Entao X e CPO se, e somente se, X e

A-completo.

Demonstracao. Seja (X,) ordem parcial. Entao vejamos que vale . Para isso, sejaD X direcionado. Observe que (xd)dD, com xd := d e uma rede de Cauchy. Tomemosagora o ideal associado a esta rede (xd)dD, i.e., (x) := infdDsupmdX(x;xm). Temos

o seguinte

Fato 1: (x) =

{0 se x D caso contrario

e funcao caracterstica.

Prova. Seja x D, i.e., existe z D tal que x z. Como X(x; z) = 0, temos quesupmzX(x;m) = 0, temos que infdDsupmdX(x;m) = 0.

Se x 6 D, i.e., para todo z D tal que x 6 z, temos que X(x; z) =, para todo z D.Consequentemente, X(x; y) = para todo y D, terminando a prova do Fato 1.

Como (X;) e A-completo, tem supremo, ou seja, existe S() tal que paratodo x X,

X(S();x) = X(; yx)

Observe que temos as seguintes equivalencias

S() x sse X(S();x) = 0 sse X(; yx) = 0.Pela definicao de X(; yx) temos para todo z X que

Completamento de espacos metricos gerais 20

X(; yx) = 0 sse yx(z) = X(z;x) (z). ()Vamos mostrar o seguinte

Fato 2: X(; yx) = 0 sse D x.Prova. Seja z D, i.e., existe y D tal que z y. Entao, (z) = 0. Se z 6 x entaoX(z;x) =. Mas a, temos uma contradicao a (). Logo z x.Reciprocamente, seja z X. Se z D, entao z x, e consequentemente, X(z;x) = 0.Caso contrario, (z) =. Em ambos os casos, temos X(; yx) = 0, terminando a provado Fato 2.

O proximo fato e

Fato 3: D x sse D x.Prova. Como D D, vale . A volta, segue do fato que e um operador de fecho deTarski, onde vale em particular, D = D.Usando os Fatos 1, 2 e 3, obtemos que

S() x sse D x. x X.Assim, S() =

D, e (X;) e uma CPO.

Vejamos agora, ou seja, X(;) e A-completo. Seja para isso, (x) := infiIsupjiX(x;xj)para alguma rede de Cauchy.

Sabemos que existe i0 I tal que xn xm para todo i0 n m. ().Tomemos Di0 := {xi| i I & i0 i}. Assim, sendo Di0 uma cadeia, Di0 e direcionado.Seja agora D := Di0 . Como (X;) e CPO, existe

D em X.

Agora observe que (x) =

{0 se x Di0 caso contrario

Para ver isso, seja x D. Logo existe k I tal que x xk e i0 k. Por (), temosque x xk xn para todo n k. Portanto, X(x;xn) = 0, para todo n k. Assim,supnkX(x;xn) = 0.Pela definicao de , temos que (x) = 0, neste caso.

Seja agora x 6 D, ou seja, x 6 z para todo z Di0 . Temos entao X(x; z) = ,z Di0 e portanto (x) =. Assim temos as seguintes equivalencias

D x sse X(D;x) = 0 sse D x sse

Di0 x sse X(; yx) = 0.Logo

D e o supremo de .

Para ordens parciais podemos considerar o funtor (.)X = X, observe que e imedi-

ato que este funtor e de fato um funtor completamento. Conforme a seguinte proposicao,

esta escolha nos permitira resgatar a completude de reticulados.

Proposicao 3.6. Seja X ordem parcial. X e um reticulado completo se, e somente se,

X e (.)-completo.

Demonstracao. Suponha X (.)-completo. Para cada A X, defina : Xop [0,]

Completamento de espacos metricos gerais 21

por:

(z) =

{0 se z A caso contrario

Uma vez que X e (.)-completo, vamos mostrar que A = S().

Ora, seja x A, pela definicao de e aplicando o Lema de Yoneda teremos 0 = (x) =X(yx, )

3.B

X(x,S()). Logo X(x,S()) = 0 e portanto x S().

Por outro lado, se z X e tal que x z, qualquer que seja x A, teremos:

X(S(), z) = X(,yz) = supaX

[0,]((a), X(a, z))

Se a A, pela escolha de z temos X(a, z) = 0, assim [0,]((a), X(a, z)) = 0.Por outro lado, se a / A teremos que (a) = e portanto [0,]((a), X(a, z)) = 0.Desta maneira, qualquer que seja a X temos [0,]((a), X(a, z)) = 0, logoX(S(), z) =0 e assim S() z.Portanto concluimos que existe

A, uma vez que A X foi tomado arbitrario segue

da proposicao 1.2 que X e reticulado completo.

Reciprocamente, suponha X reticulado completo. Para X, tome A =1(). Observe que A = A, pois se z A podemos obter h A tal que h z, como e nao-expansiva (h) (z) e assim (z) =. Desta maneira defina S() =

X\ A,

vamos mostrar que S e supremo.Ora, para cada x X teremos:

0 = X(S(), x) = X(

X\ A, x) X\ A {x} X\ {x} A

Se a {x} temosX(a, x) = 0, caso contrario teremos a A e assim (a) =, logo emqualquer caso teremos [0,]((a), X(a, x)) = 0. Por outro lado, se [0,]((a), X(a, x)) =0, a X, isto significa que sempre X(a, x) (a), em particular para a / {x} valeraX(a, x) = e assim (a) =. Desta maneira, teremos:

X\ {x} A [0,]((a), X(a, x)) = 0, a X X(,yx) = 0

Logo X(S(), x) = 0 X(,yx) = 0, qualquer que seja x X. Como X e ordem parcialX(,) so assume valores 0 e , desta maneira X(S(), x) = X(,yx) 6= 0, masneste caso podemos obter a X de modo que yx(a) (a) 6= 0, novamente levandoem consideracao que X e ordem parcial tera que ocorrer yx(a) (a) = e assimX(S(), x) = X(,yx) = . Assim X(S(), x) = X(,yx), qualquer que sejax X. Uma vez que foi tomado arbitrario segue que S e supremo.

Completamento de espacos metricos gerais 22

3.2 Completamento de direcionados

Conforme a nocao de completude introduzida no captulo anterior, dado um

espaco metrico geral X podemos nos questionar a completude de conjuntos direciona-

dos com respeito a ordem X herdada da metrica de X. Neste caminho, dizemos que umfuntor completamento J e admissvel se para qualquer que seja X espaco metrico geralJ -completo, tenha-se (X,X) pre-CPO.

Exemplo 3.7. Para X espaco metrico geral, considere o funtor YX = {yx; x X}.Observe que Y e funtor completamento pois:

f (X(, z)) = infxX

(X(x, z) + Y (, f(x))) = Y (, f(z))

Definindo S(yz) = z, qualquer que seja z X, em virtude do Lema de Yoneda teremosque X e Y-completo. Em particular, tomando X = N e considerando a ordem usual,teremos que N e Y-completo, mas nao e pre-CPO. Logo Y nao e admissvel.

O funtor anterior conforme mostrado nao e admissvel. Para nosso auxlio, con-

forme as seguintes proposicoes, vamos verificar que tanto A quanto (.) sao admissveis.

Proposicao 3.8. O funtor A e admissvel.

Demonstracao. Sejam X espaco metrico geral A-completo e I X direcionado comrespeito a X . Defina xi = i, i I, observe que (xi)iI e rede de Cauchy a direita.Para esta rede tome = infiI supjiX(, xj), uma vez que X e A-completo existe S().Vamos mostrar que

I = S().

Seja k I, temos (xk) supjkX(xk, xj) = 0. Logo pelos lemas de Yoneda e(3.1) temos 0 = (xk) = X(yxk , ) X(xk,S()), assim xk X S(). Se u X e tal quexi X u, qualquer que seja i I, teremos X(xi, u) = 0 e assim:

0 = limX(xi, u) = lim

X(yxi ,yu) = limsupaX

[0,](yxi(a),yu)(a) = supaX

lim

[0,](yxi(a),yu(a))

=(2.2)(iv)

supaX

[0,](lim

yxi(a),yu(a)) = X(,yu) = X(S(), u)

Portanto S() X u.

Proposicao 3.9. Seja X espaco metrico geral (.)-completo, entao (X,X) e reticuladocompleto. Em particular (.) e admissvel.

Demonstracao. Primeiramente observe que X e um reticulado completo com respeito

a X , para observar isto dado Y X tomeY (x) =

{(a), Y & a [0,]}, para

todo x [0,]. Desta maneiraY e nao-expansiva, ja que e constante e e a maior das

Completamento de espacos metricos gerais 23

barreiras superiores com respeito a X . Alem disso X(a) =, para todo a [0,], eo menor elemento de X e assim X X. Vamos mostrar agora que (X,X) e reticuladocompleto.

Seja A X, defina y[A] = {ya; a A}, verifiquemos que S(X y[A]) e supremo

de A. Dado a A, temos ya XX y[A], uma vez que S e nao-expansiva teremos

a = S(ya) X S(X y[A]). Por outro lado, se u X e tal que a X u, para todo a A,

em virtude da isometria de y teremos ya X yu e assimX y[A] X yu, portanto segue

que S(X y[A]) X S(yu) = u. Conforme observado anteriormente temos que X e o

menor elemento de X, como S e nao-expansiva segue que S(X) e o menor elemento deX.

Captulo 4

Teoremas de ponto fixo

Dado um conjunto X e uma aplicacao f : X X, podemos nos questionar aexistencia de pontos x X tais que f(x) = x, quais sao ditos pontos fixos. A existenciade tais pontos podem ter diversas consequencias, por exemplo, se Ax = 0 e um sistema de

equacoes, a existencia de pontos fixos para A + I garante a solucao deste sistema. Alem

disso, sob algumas hipoteses acerca da aplicacao f e a estrutura de X, pontos fixos podem

implicar convergencia.

Para espacos metricos e ordens parciais sao bem conhecidos os teoremas de ponto

fixo de Banach e Knaster-Tarski, conforme enunciado:

Teorema 4.1 (Banach). Seja X espaco metrico completo. Se f : X X e uma con-tracao, isto e, existe 0 < < 1 tal que d(f(x), f(y)) d(x, y), quaisquer que sejamx, y X. Entao f tem um unico ponto fixo.

Teorema 4.2 (Knaster-Tarski). Seja X um reticulado completo. Se f : X X preservaordem, entao f tem menor e maior ponto fixo.

Atraves do teorema do Ponto Fixo de Banach pode-se demonstrar os conhecidos

Teorema de Picard, que garante existencia e unicidade de solucoes para equacoes difer-

encias, e o Teorema da Funcao Inversa para aplicacoes diferenciaveis. Como aplicacao

do Teorema do Ponto Fixo de Knaster-Tarski tem o conhecido Teorema de Schroder-

Bernstein, que garante a existencia de uma bijecao entre conjuntos A e B caso exista uma

funcao injetiva de A em B e de B em A.

Nas proximas secoes, vamos mostrar que ambos sao corolarios de um unico teo-

rema, cujas hipoteses sao impostas em espacos metricos gerais.

24

Teoremas de ponto fixo 25

4.1 O teorema do Ponto Fixo de Pataraia

Conforme e conhecido para ordens parciais, pelo teorema (4.15) em [3], dado X

CPO e f : X X preservando ordem e possvel obter ponto fixo para f . Como mostradopor Pataraia [6], este teorema possui uma demonstracao construtiva, como segue:

Teorema 4.3. Seja (X,) CPO e suponha que f : X X preserva ordem. Entao ftem menor ponto fixo.

Demonstracao. Seja H = {A X; f(A) A e A e sub-CPO de X}, observe queY = {x X; x f(x)} H. Tome C =

{A; A H}, C 6= pois C, observe

que f : C C esta bem definida e alem disto x f(x), para todo x C, uma vez queC Y .

Defina E(C) = { : C C; x (x) ,x C e preserva ordem }, temos queE(C) 6= pois f E(C), alem disto munido com a ordem por coordenadas definidapor se, e somente se, (a) (a), para todo a C, temos que (E(C),) eordem parcial. Vamos mostrar que E(C) e pre-CPO.

Seja {i}iI famlia direcionada, defina (i)(x) =

i(x), para todo x

C. Esta funcao esta bem definida pois, uma vez que {i}iI e direcionado, temos que{i(x)}iI e direcionado e como C e CPO segue que

i(x) C. Resta mostrar que

i E(C). Ora, se x, y C e tal que x y, uma vez que i preserva ordemtemos que i(x) i(y), para todo i I, assim

i(x)

i(y). Alem disto temos

x i(x) i(x) = (

i)(x). Assim

i E(C).

O grande passo desta demonstracao e observar que E(C) e direcionado. Para

verificar isto dados , E(C), tome h = . E claro que h preserva ordem, comox (x) e x (x), para todo x C, segue que x (x) ((x)) = h(x) e assimh E(C). Alem disto, conforme a desigualdade anterior, temos (x) h(x) e x (x),para todo x C, como preserva ordem teremos tambem (x) ((x)) = h(x) eportanto h e h, assim E(C) e direcionado. Uma vez que E(C) e pre-CPO,temos entao que E(C) tem > =

E(C), o denotemos por m : C C. Vamos mostrar

que m() e o menor ponto fixo de f .Ora, como m e o maior elemento de E(C), temos que f m m, conforme

observado anteriormente sempre vale m f m, assim f m = m e portanto f(m()) =m(). Alem disto seja x X outro ponto fixo de f , observe que {x} H, logoC {x} e como m() C, segue que m() x.

Teorema 4.3 (bis). Seja (X,) pre-CPO e f : X X. Suponha que f preserva ordeme existe x X tal que x f(x). Entao f tem ponto fixo, qual e o menor acima dex.

Teoremas de ponto fixo 26

Demonstracao. Os passos sao analogos a demonstracao anterior, exceto pelo fato de

usar a hipotese de x f(x) ao inves das propriedades de . Fazendo uso do Teorema de Pataraia, obteremos o seguinte teorema para espacos

metricos gerais, cujas hipoteses permitirao obter os teoremas do ponto fixo de Banach e

Knaster-Tarski para espacos metricos gerais.

Teorema 4.4. Sejam J admissvel , X espaco metrico geral J -completo e f : X Xnao-expansiva. Se existe JX tal que f () = , entao f tem ponto fixo, qual e omenor acima de S() com respeito a X .

Demonstracao. Seja JX tal que f () = , uma vez que X e J -completo, existeS(). Desta maneira temos que:

X(S(f ()), f(S())) = X(f (),yf(S())) = supaX

[yf(S())(a)f ((a))]

= supaX

[yf(S()) infbX

((b)+X(a, f(b)))]

= supaX

[supbX

(X(a, f(S())) (b)X(a, f(b)))] [Lema 2.3]

supaX

supbX

[X(f(b), f(S())) (b)] [Desigualdade Triangular]

supbX

[X(b,S()) (b)] [f nao-expansiva]

= supbX

[X(b,S()) X(yb, )] [Lema de Yoneda]

supbX

[X(b,S())X(b,S())] = 0 [Lema 3.1]

Logo X(S(f ()), f(S())) = 0 e portanto S(f ()) X f(S()). Por hipotese J eadmissvel, assim (X,X) e pre-CPO, uma vez que f e nao-expansiva e f () = temosque f preserva ordem com respeito a X e S() X f(S()). Aplicando o teorema 4.3bis segue que f tem ponto fixo, qual e o menor acima de S() com respeito a X .

4.2 Os teoremas de Banach e Knaster-Tarski para

espacos metricos gerais

Conforme as hipoteses do teorema anterior, para a obtencao de pontos fixos para

uma funcao f e suficiente a existencia destes para f . Neste caminho a seguinte proposicao

vira em auxlio:

Proposicao 4.5. Sejam X espaco metrico geral e f : X X nao-expansiva. Se para al-gum x0 X a sequencia (fn(x0))nN e Cauchy a direita, entao = infnN supknX(, fk(x0))e um ponto fixo para f .

Teoremas de ponto fixo 27

Demonstracao. Para mostrar a igualdade f () = , vamos verificar ambas desigual-

dades com respeito a X .Sejam n N, z X e > 0 fixados. Uma vez que (fn(x0))nN e Cauchy a

direita, tome m N de modo que para todo k m n tenha-se X(fm(x0), fk(x0)) < .Assim supkmX(f

m(x0), fk(x0)) . Logo teremos:

supkn

X(z, fk(x0)) + supkm

X(z, fk(x0)) + X(z, fm+1(x0)) + supkm

X(fm(x0), fk(x0))

infaX

[X(z, f(a)) + supkm

X(a, fk(x0))] infaX

[X(z, f(a)) + infmN

supkm

X(a, fk(x0))] = f()(z)

Uma vez que > 0 foi tomado arbitrario teremos f ()(z) supknX(z, fk(x0)). Comon N foi tomado arbitrario obtemos f ()(z) infnN supknX(z, fk(x0)) = (z).Logo f ()(z) (z) 0, uma vez que a escolha de z X foi arbitraria segue quesupzX [f

()(z) (z)] 0 e assim X(, f ()) = 0. Portanto X f ().Para mostrar a desigualdade oposta, sejam y, z X e n N fixados. Tome

k n, uma vez que f e nao-expansiva teremos:

X(y, f(z)) +X(z, fk(x0)) X(y, f(z)) +X(f(z), fk+1(x0)) X(y, fk+1(x0)). Assim:

X(y, f(z))+supkn

X(z, fk(x0)) supkn

X(y, fk+1(x0)). Como n foi tomado arbitrario vale:

X(y, f(z))+infnN

supkn

X(z, fk(x0)) infnN

supkn

X(y, fk+1(x0)) e assim: X(y, f(z))+(z) (y)

Uma vez que z foi tomado arbitrario teremos infzX

[X(y, f(z)+(z))] (y) e assim

f ()(y) (y). Como y foi tomado arbitrario segue que f () X .

Em virtude do Teorema 4.4 e fazendo uso da proposicao anterior, estaremos em

condicoes de demonstrar os teoremas de Banach e Knaster-Tarski, cujas hipoteses tomadas

em espacos metricos gerais coincidem com as hipoteses dos teoremas originais, em virtude

das proposicoes 3.4, 3.6, 3.8 e 3.9.

Teorema 4.6 (Banach). Sejam X espaco metrico geral A-completo e f : X X con-tracao, isto e, existe 0 < < 1 tal que X(f(x), f(y)) .X(x, y) < , para todox, y X. Entao f tem um unico ponto fixo.

Demonstracao. Seja x0 X, vamos mostrar que fn(x0) e Cauchy a direita. Ora, paracada p N teremos:

X(fn(x0), fn+p(x0))

p1i=0

X(fn+i(x0), fn+i+1(x0))

p1i=0

n+iX(x0, f(x0))

Teoremas de ponto fixo 28

= nX(x0, f(x0))

p1i=0

i < n.X(x0, f(x0))i=0

i =n

1 X(x0, f(x0))

Uma vez que 0 < < 1 temos que n

1X(x0, f(x0)) 0, assim dado > 0 podemostomar n0 N de modo que para todo n n0 tenha-se X(fn(x0), fn+p(x0)) < . Comop N foi tomado arbitrario segue que X(fn(x0), fm(x0)) < , para todo m n n0.Portanto fn(x0) e Cauchy a direita.

Desta maneira, pela proposicao 4.5 = infnN supknX(, fk(x0)) e um pontofixo para f , qual pertence a AX. Pela proposicao 3.8 temos que o funtor A e admissvel,uma vez que X e A-completo segue pelo teorema 4.4 que f possui ponto fixo.

Se a, b X sao pontos fixos para f , teremos X(a, b) = X(f(a), f(b)) X(a, b)e assim (1 )X(a, b) 0. Como (1 ) > 0 segue que X(a, b) = 0. De modo analogoX(b, a) = 0 e assim em virtude da simetria fraca a = b.

Portanto f possui um unico ponto fixo.

Teorema 4.7 (Knaster-Tarski). Seja X espaco metrico geral (.)-completo. Se f : X Xe nao-expansiva, entao f tem menor e maior ponto fixo.

Demonstracao. Por hipotese temos que X e (.)-completo, logo pela proposicao 3.9

(X,X) e um reticulado completo, desta maneira teremos que fn() e Cauchy a direita,pois como f e nao-expansiva vale:

X f() X f 2() X ... X fn() X ...

E assim para qualquer > 0 se n m 0 teremos X(fm(), fn()) = 0 < . Logo pelaproposicao [4.5] = infnN supknX(, fk()) e ponto fixo para f , por 3.9 temos que(.) e admissvel e portanto pelo teorema [4.4] segue que f tem menor ponto fixo, digamos

x1, qual e o menor acima de S().Por outro lado, conforme a demonstracao do lema 3.8, temos que S() =

nN f

n().Se x2 for outro ponto fixo para f , temos sempre que X x2, e assim como f e nao-expansiva teremos fn() X fn(x2) = x2, para todo n N, da

nN f

n() X x2.Como x1 e o menor ponto fixo de f acima de

nN f

n(), segue que x1 X x2. Portantox1 e o menor ponto fixo de f em X.

Uma vez que f e nao-expansiva em X se, e somente se, e nao-expansiva em Xop

a mesma construcao levara a obter o menor ponto fixo para f em Xop, consequentemente

o maior ponto fixo para f em X.

Referencias

[1] Bonsangue, M., van Breugel, F., Rutten, J. (1998) Generalized metric spaces: comple-

tion, topology, and power domains via the Yoneda embedding Theoretical Computer

Science. 193, p. 1-51.

[2] Dalen, Dirk van Logic and structure. 3rd augm. ed. Berlin: Springer, 1997.

[3] Davey, B. A, Priesley H. A. Introduction to Lattices and Order. Cambridge University

Press, 1990.

[4] Goldblatt, R. Topoi, The Categorial Analysis of Logic. Revised edition. Elsevier Sci-

ence Publishers B. V., 1984.

[5] Kostanek M., Waszkiewicz, P. (2011) Reconciliation of elementary order and metric

fixpoint theorems. Pre-print, disponvel em: http://tcs.uj.edu.pl/Waszkiewicz

[6] Waszkiewicz, P. (2010) Common patterns for metric and ordered fixed point theorems.

In Proceedings of the 7th Workshop on Fixed Points in Computer Science (Luigi

Santocanale ed.), pp. 83-87.

29