MATEMATICA APLICADA
NUMEROS REALES II
201422014
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Forma General:
Teorema de Cardamo – Viete
Sean: , las “n” raices de
la ecuacion polinomica.
1. Suma de raices :
2. Producto de raices:
METODO DE LOS VALORES CRITICOS
Inecuaciones PolinómicasP(x) =
El método que facilita la solución de las inecuacionespolinómicas es el método de los valores críticos.
Pasos a seguir:
• Se halla los valores críticos factorizando el polinomioP(x).
• Se ubica los valores críticos en la recta.
• Se determinan los signos de los intervalos devariación.
• La solución será la unión de los intervalos positivos siP(x) > 0 y negativo si P(x) < 0.
Sea el polinomio P(x) = donde P(x) puede factorizarse tal como:
P(x) =
entonces se presentan los siguientes casos:
METODO DE LOS VALORES CRITICOS
ii. Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico
tienen signos diferentes.
Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el
conjunto
Solución:
factorizando:
(x + 2) (x – 3) < 0 ; PC = {-2, 1, 3}
- 2 1 3
x ∈ <- ∞, -2 > ∪ < 1 , 3 >
+_+_
METODO DE LOS VALORES CRITICOS
TERCER CASO: Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son
reales, en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de
los intervalos y para dar la solución, se sigue el mismo procedimiento de los
casos anteriores.
Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el
conjunto
Solución:
(x + 3) (x + 1) (x – 2) > 0 ; PC = {- 3, - 1, 2}
El factor = 0 no tiene raíces reales, por lo que > 0x R; podemos prescindir de este factor.
-3 -1 2
+ ++_+_
INECUAIONES POR EL METODO DE LOS VALORES CRITICOS
Inecuaciones FraccionariasSon inecuaciones de la forma
Donde Q(x) 0
Al factorizar P(x) y Q(x), se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en
cuenta que los valores críticos correspondientes al denominador nunca es
cerrado.
NOTA.- Si al factorizar al polinomio, uno de los factores está afectado a un
exponente par, el valor crítico que le corresponde no se toma en cuenta, este
mismo criterio se aplica si el valor crítico es un número imaginario.
( ó con ≥ ó ≤ )
METODO DE LOS VALORES CRITICOS Ejemplo 1 : Resolver:
Solucion.
Multiplicación por (-1)
1 - 1 - 22 40
4 4 12 - 40
1 3 - 10 0
2 2 10
1 5 0
- 5 - 5
1 0
Aplicando Ruffini en el numerador.
INECUACIONES
2. Resolver:
Solución
> 0, positivo si: X 1
> 0, positivo si: X - 4
Entonces la inecuacion se reduce a:
3 – x < 0
3 < X
CS:
METODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
4. Hallar la solución de la siguiente
ecuación:
Solución
1 3 - 5 - 15 4 12
1 1 4 - 1 - 16 - 12
1 4 -1 - 16 - 12
2 2 12 22 12
1 6 11 - 6
- 2 - 2 - 8 6
1 4 3
SISTEMA DE ECUACIONES
Un sistema lineal de es un conjunto de ecuaciones lineales, con dos o
mas variables o incógnitas, que se verifican en forma simultanea
solo para un determinado conjunto de valores que toman dichas
variables , denominadas conjunto solución ( C.S.)
Por el numero de soluciones el sistema de ecuaciones puede ser:
a) Sistema compatible determinado: el sistema tiene solución única.
b) Sistema compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas
soluciones.
c) Sistema incompatible o inconsistente: el sistema no admite
solucion.
Métodos de Solución :
a) Método de igualación.
b) Método de sustitución .
c) Método de reducción.
SISTEMA DE ECUACIONES
1. Resolver el sistema: 4x + 5y = 1 ……………………( 1 )
3x - 2y = 18…………………..( 2 )
Solución
Por el método de la igualacion:
De ( 1 ) : 4x = 1 – 5y De ( 2 ): 3x = 18 + 2y
x = x
=
3 – 15y = 72 + 8y
y = - 3 …………………….( 3)
Reemplazando Ec. ( 3 ) en Ec. ( 2 )
x = 4
CS. { ( 4, -3 )
SISTEMA DE ECUACIONES2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
7 x + 5y = 9 …………………( 1 )
- 2 x + 11 y = - 15 …………….( 2 )
Solución
Por el método de sustitución:
De ( 1 ) .. ……………..( 3 )
Sustituimos ( 3 ) en ( 1 ):
- 2 x + 11 ( ) = - 15
- 10 x + 99 – 77x = - 75
174 = 87 x
x = 2…………………( 4)
Reemplazando Ec.( 4 ) en Ec. ( 3 )
y = - 1
CS. { ( 2, -1) }
SISTEMA DE ECUACIONES
3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
2 x + 3 y = 10………………………( 1 )
8 x + 11y = 38………………………( 2)
Solución
Por el reducción: 2 x + 3 y = 10 ...x ( - 4 )
8 x + 11y = 38
- 8 x - 12 y = - 40
8 x + 11 y = 38
- y = - 2
y = 2 …………….( 3 )
Reemplazando Ec.( 3 ) en Ec. ( 1 ):
x = 2
CS . { ( 2 , 2 ) }
SISTEMA DE ECUACIONES
EJERCICIOS Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
1. 4 x + 3 y = 26
3 x + 4 y = 23
2. 2 x y + 2 y = 1
x y - y = 1
3.
4. 2 x + 3 y + 5 z = 41
3 x + 4 y + 6 z = 52
5 x - 5 y + 3 z = 5
INECUACIONES
Ejercicios:
Hallar la solución del siguiente sistema inecuaciones:
1. Rpta:
2. Rpta:
3. Rpta:
4. Rpta: < -3,
1>
5. Rpta:
6. Rpta:
VALOR ABSOLUTO
El Valor absoluto de un número real x, denotado por , se define así:
Ejemplo:
ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES
1. x = 0
2.
3.
4.
5.
6.
7.
VALOR ABSOLUTO
1. Demostrar que si :
solución
Sabemos que: ;
De la condición: , aplicamos la propiedad y obtenemos:
Sumamos : – 4………… - 6 < x < - 2 , extremos de igual signo
invertimos
Obtenemos: ; sumamos 1
Obtenemos:
Entonces:
SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
Ejemplos:
1. Resolver: Aplicamos el teorema:
( x = y x = - y )
3x – 9 ≥ 0 ( x – 2 = 3x – 9 x – 2 = - ( 3x - 9 ))
x ≥ 3 ( -2x = -7 4x = 11 )
x ≥ 3
2 11/4 3 7/2
SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
Ejemplos:
2. Resolver:
Aplicamos el teorema:
( x = y x = - y )
VALOR ABSOLUTO
3. Resolver :
Solución
Sabemos que: , entonces se cumple:
1 - = 2 1 - = - 2
1 – 2 = 1 + 2 =
- 1 = 3 =
x = - 3 x = 3
solución : { - 3 , 3 }
CS = { - 3 , 3 }
VALOR ABSOLUTO
4. Resolver :
Solución
Propiedad:
x = - 2 x = 1 x = 2 x = -1
- 2 - 1 0 1 2
CS. { 1, 2 }
VALOR ABSOLUTO
7. Resolver :
Solución:
Si:
( - 2x + 3 < x + 5 ) ( x + 5 < 2x – 3 )
( - 2 < 3x ) ( 8 < x )
( - 2/3 < x ) ( 8 < x )
- 2/3 3/2 8
CS : < 8 , >
VALOR ABSOLUTO 8. Resolver:
Solución:
Sabemos que:
( )
( )
( )
[ 0 ( x + 2 ) ( x – 1 ) 0 ( x - 2 ) ( x
+ 1 ) ]
PC : {-2 , 1, 2, -1 }
-2 -1 1 2
CS: < - , - 2 ] [ 2, >
+_+
++ _
VALOR ABSOLUTO
10. Hallar el conjunto solución de:
Solución
Factorizando: )
( ) (
)
( ) R (
)
( ) R
( ) R
x < - 3 x > 9
- 3 9
CS: < - , - 3 > < 9 , >
+ +
VALOR ABSOLUTO11. Resolver: |x + 5/ x|≤ 6
Solución
- 6 ≤ x + 5/x ≤ 6
Esto es equivalente a escribir como sigue:
- 6 ≤ x + 5/x ^ x + 5/x ≤ 6
0 ≤ ( x² + 6x +5)/x ^ (x² - 6x +5)/x ≤ 0
0 ≤ ( x + 5)(x +1)/x ^ (x - 5)(x -1)/x ≤ 0
PC x= - 5 , x= -1 x = 1 , x = 5
-
-5 -1 1 5
+++
_+
VALOR ABSOLUTO12. Resolver :
Solución
^
0 < + 4 ^ - 4 < 0
^
-6 -1 - 2/7
CS: < - ∞, -6 > U < - 2/7 , ∞>
+ +
++