of 89 /89
1. Site periferni agli vo edna kru`nica {to se nad ist kru`en lak se ___________________ 2. Zbirot na site nadvore{ni agli vo eden konveksen n – agolnik iznesuva ________________ 3. Kako }e se promeni plo{tinata na eden triagolnik, ako negovata osnova se namali 6 pati, a visinata se nagolemi 2 pati. Odgovor : _________________________________________________________________ ____________ 4. Kako }e se promeni plo{tinata na eden krug ako negoviot radius se zgolemi 3 pati? Odgovor : _________________________________________________________________ ____________ 5. Visinata na eden ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ______________________ 6. Plo{tinata na triagolnik so strani a, b i c e dadena so __________________________ , kade _________________________________________________________________ __________________ 7. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 8 cm se se~at, pri {to tangentata na ednata kru`nica vo edna od prese~nite to~ki minuva niz centarot na drugata kru`nica. Presmetaj go rastojanieto me|u centrite na dvete kru`nici. Odgovor: _________________________________ 8. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako dvete pomali strani zafa}aat agol od 60O i imaat dol`ina 3 cm, a podolgata dijagonala ima dol`ina 8 cm. Odgovor: _________________________________ Rabotna tetratka po

zbirka donco1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: zbirka donco1

1. Site periferni agli vo edna kru`nica {to se nad ist kru`en lak se ___________________2. Zbirot na site nadvore{ni agli vo eden konveksen n – agolnik iznesuva ________________3. Kako }e se promeni plo{tinata na eden triagolnik, ako negovata osnova se namali 6pati, a visinata se nagolemi 2 pati.Odgovor : _____________________________________________________________________________

4. Kako }e se promeni plo{tinata na eden krug ako negoviot radius se zgolemi 3 pati?Odgovor : _____________________________________________________________________________

5. Visinata na eden ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ______________________6. Plo{tinata na triagolnik so strani a, b i c e dadena so __________________________ , kade___________________________________________________________________________________7. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 8 cm se se~at, pri {to tangentata na ednata kru`nica voedna od prese~nite to~ki minuva niz centarot na drugata kru`nica. Presmetaj go rastojanietome|u centrite na dvete kru`nici.Odgovor: _________________________________8. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako dvete pomali strani zafa}aat agol od 60O

iimaat dol`ina 3 cm, a podolgata dijagonala ima dol`ina 8 cm.Odgovor: _________________________________

Rabotna tetratkapo

MATEMATIKAza VII oddelenie

PREDGOVORPri izu~uvaweto na matematikata vo VII oddelenie ti pomaga u~ebnikot po

Page 2: zbirka donco1

matematika od koj mo`e{ da razbere{ i nau~i{ mnogu novi poimi, kako i da sepotseti{ na ve}e izu~enite, da se zapoznae{ so mnogu pravila {to ti ovozmo`u-вaat da navleze{ vo tajnite na matematikata.Rabotnata tetratka po matematika za VII oddelenie, kako sostaven del nau~ebnikot ti pomaga da gi prodlabo~i{, pro{iri{ i proveri{ so kakvi i kolkaviznaewa si se steknal vo nastavata.Rabotnata tetratka isto kako i u~ebnikot e podelena na пет delovi soglasnotemite so nastavnata programa po matematika za VII oddelenie.Taa sodr`i:• Tematski ve`bi za sekoja od nastavnite sodr`ini so po 10 zada~i (nekadei pomalku) zavisno od obemnosta na sodr`inata.• Testovi za samoproverka za sekoja tema, {to se dadeni na krajot od sekojatema.Во тестовите од тема I, тема IV и тема V, prvite 5 pra{awa (zada~i, koi sere{avaat usno ili bez pogolemi pote{kotii), predlagame da se vrednuvaat so 6bodovi, dodeka pak vtorite 5 zada~i od testot da se vrednuvaat so 14 bodovi. Sitezada~i od testovite vo tema II se vrednuvaat so 20 bodovi, a site zada~i odtestovite vo tema III se vrednuvaat so 10 bodovi. Zna~i vo sekoj test vkupniot brojna mo`ni bodovi e 100.Za pretvorawe na bodovite od testot vo ocenki ja predlagame slednava tabela:Bodovi 85 – 100 65 – 84 45 – 64 25 – 44 0 – 24Ocenka Odli~en(5)Mnogudobar (4)Dobar (3) Dovolen(2)Nedovolen(1)5Tema IVEKTORI.TRANSLACIJA1. PRAVEC I NASOKA. NASO^ENA OTSE^KA - VEKTOR1. Relacijata R: “pravata p e paralelna na ...” gi ima slednite svojstva:a) Pravata p e ________________________________________________________ sama na sebe.

Page 3: zbirka donco1

b) Ako pravata p e paralelna na pravata q, toga{ ___________________________________ .v) Ako p II q i q II r, toga{ i ________________________________________________________ .2. a) [ to e pravec opredelen so dadena prava?b) Kolku nasoki ima daden pravec?Odgovor: a) Mno`estvoto ______________________________________________________________________________________________________________________________________b) Sekoj pravec _______________________________________________________________________________________________________________________________________3. Kolku pravi minuvaat niz:a) edna to~ka; b) dve razli~ni to~ki.Odgovor: a) Niz edna to~ka _____________________________________________________________________________________________________________________________________b) Niz dve razli~ni to~ki _____________________________________________________________________________________________________________________________4. Dadeni se pravite a, b, c i d, taka {to a II b, a ја сече правата c, i pravata d gi se~e tritepravi. Vo vrska so tie pravi, dadeni se nekolku iskazi. Koj od niv e to~en?a) O1A2 ↑↑ O1A3 g) O2B1 ↑↓ O1Ab) O3

1A3 ↑↓ O1A1 _________ d) O2B2 ↑↑ O3Cv) O2

1A1 ↑↑ O3C3 |) O1A1 ↑↓ O3C1

Odgovor: To~ni se slednite iskazi: ___________________________________________________5. Koja otse~ka se vika vektor?Odgovor: Otse~kata ___________________________________________________________________________________________________________________________________________ .66. Izberi tri razli~ni to~ki A, B i C. Kolku vektori mo`at da se formiraat so po~etok voedna, a krajot vo druga dadena to~ka? Kolku vkupno vektori obrazuvaat dadenite to~ki?Odgovor: Mo`e da se formiraat ____________________ vektori.Ima vkupno ____________________ vektori.7. Dadeni se vektorite a b c d e f , , , , , . Koi od niv se:a) kolinearni;b) istonaso~eni;v) sprotivnonaso~eni?Odgovor: a) Kolinearni se: __________, __________ . b) Istonaso~eni se: __________.v) Sprotivnonaso~eni se: __________, __________ .8. Vektorot ae napolno (ednozna~no) opredelen so:Odgovor: a) ________________________________________________________________________ .b) _______________________________________________________________________ .v) ________________________________________________________________________ .9. Neka to~kite M i N se sovpa|aat vo edna ramnina.

Page 4: zbirka donco1

a) Zapi{i vektor so po~etna to~ka M i krajna N;b) Zapi{i ja goleminata na toj vektor;v) Koja otse~ka se narekuva nulti vektor?Odgovor: a) ________________________________________________________________________ .b) _______________________________________________________________________ .v) ________________________________________________________________________ .72. EDNAKVOST NA VEKTORI1. Na crte`ot se dadeni pove}e vektori:a) Istonaso~eni se vektorite _________________ .b) Sprotivnonaso~eni se vektorite ___________ .v) Ednakvi se vektorite _______________________ .2. Koga dva vektora ai bse ednakvi?Odgovor: Vektorite ai bse ednakvi ako:a) ______________________________________________________________________________ .b) ______________________________________________________________________________ .3. Za koi dva vektori m i nvelime deka se sprotivni?Odgovor: Vektorite m i nse sprotivni ako:a) _______________________________________________________________________ .b) ________________________________________________________________________ .4. Daden e vektorot MN (MN = 3 cm). Prenesi go vektorot MN , taka {to to~kata M ≡ S .Kolku takvi vektori ima?Odgovor: __________________________________________________________________________ .5. Daden e vektorot AB. Konstruiraj:a) VektorMN ednakov na AB,b) Vektor EF sprotiven na AB.Odgovor:a) b)86. Daden e paralelogramot ABCD (AB II CD i AD II BC) i to~kata S, presek na dijagonaliteAC i BD.a) Koi vektori se kolinearni, a ne se ednakvi?b) Koi vektori se ednakvi?v) Koi vektori se sprotivni?Odgovor: a) _____________________________ . b) _______________________________ .v) _____________________________ .

Page 5: zbirka donco1

7. Dadena e kru`nicata k (O,r) i na nea se ozna~eni vektorite OP iMN . Konstruiraj vektor,a) Sprotiven na vektorOP ?b) Ednakov na vektorMN ?8. Proveri ja to~nosta na iskazot:Ako vektorot MN = EF, toga{ i vektorot ME = NF . (Napravi crte`!).9. Ako vektorite AB = CD i AM = CN, toga{ sleduva i vektorot BM = DN . Doka`i!Dadeno: AB = CD i AM = CNTvrdime: BM = DNDokaz:93. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA1. Najdi go zbirot, konstruktivno, na kolinearnite vektori:a) a b + , b) a b c + +Odgovor: a) b)2. Najdi go zbirot na vektorite ABiCD, konstruktivno, po praviloto na triagolnikot.3. Konstruiraj go zbirot na nekolinearnite vektori m , nip so nadovrzuvawe i po~etnato~ka S.4. Na {to e ednakov zbirot na vektorite:a) AB+ BC + CA b) AB+ BC + CD + DAOdgovor:a) AB+ BC + CA = _______________ b) AB+ BC + CD + DA = _______________105. Konstruiraj go zbirot na vektorite MN i PQ po praviloto na paralelogram so po~etnato~ka S.6. Poka`i deka za koi bilo vektori m i nva`i m n n m + = + (koristi go praviloto na paralelogramza sobirawe na vektori).7. Neka vektorite ei fse sprotivni. Konstruiraj go nivniot zbir e f + .8. Daden e trapezot ABCD (ABIICD). To~kite M i N se sredini na kracite AD i BC soodvetno.Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektorot ABi CD(obrazlo`i go odgovorot).Odgovor: MN = _____________________9. Daden e ~etiriagolnikot ABCD kako na crte`ot. Izrazi go vektorot:a) ACso pomo{ na vektorite ai b;b) BDso pomo{ na vektorite bi c;v) AD so pomo{ na vektorite ACi c;g) AD so pomo{ na vektorite a

Page 6: zbirka donco1

i BD;[to zaklu~uva{ za operacijata sobirawe vektori:a) _________________ b) ___________________ v) ___________________ g) ________________Odgovor: Operacijata sobirawe vektori e ____________________________________________114. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ1. Opredeli go zbirot na sprotivnonaso~enite vektori ai b:a) a b + ako a b > , b) a b + ako a b < .2. Opredeli ja, konstruktivno, razlikata na kolinearnite vektori m i n:a) m n − ako m n > , b) m n − ako m n < .3. [to zna~i vektorot bda se odzeme od vektorot a?Odgovor: Da se odzeme vektorot bod vektorot a__________________________________________________________________________________________________________________4. Dadeni se nekolinearnite vektori ABiCD. Konstruiraj ja razlikata AB− CDso po~etnato~ka S.5. Neka ne proizvolen vektor. Opredeli ja razlikata:a) n o − b) n n − v) n m − kade m n = −126. Daden e paralelogramot ABCD (ABIICD i ADIIBC) i S prese~na to~ka na dijagonalite AC iBD. Razlikata na vektorite e:a) AB− AD = ______________b) BC − BD = _______________v) AB− BC = _______________g) AS − SC = _______________7. Vo koi slu~ai va`i ravenstvoto:a) a b a b + = + b) a b a b + = − v) a b a b − = −Odgovor: a) _________________________________________________________________________b) ________________________________________________________________________v) _________________________________________________________________________8. Neka ae proizvolen vektor. Opredeli go, konstruktivno, vektorot:a) m a = 3 b) n a

Page 7: zbirka donco1

4= 39. Opredeli go, konstruktivno, vektorot:a) a b 2 + 3 b) a b 3 − 2 ako ai bse dadeni vektori.135. TRANSLACIJA1. Neka vagon~eto se dvi`i pravoliniski po{inite na prugata, pri {to vo sekoja narednapolo`ba ostanuva paralelno so prvobitnatai pritoa formata i goleminataostanuvaat postojani. Vakvoto dvi`ewese vika paralelno pomestuvawe ili______________________________________2. Koe preslikuvawe se vika translacija?Odgovor: Translacija za vektorot ase vika_____________________________________________________________________________________3. So pomo{ na translacija nacrtaj:a) prava a paralelna na dadena prava p,b) prava b paralelna na dadena prava p i minuva niz dadena to~ka B.4. a) Pri translacija τ a , vektorot ase vika __________________________________________

to~kata M1 a (M) =τ e _________________________________ na originalot ________________b) Translacijata a τ − se narekuva _________________________ za translacijata _________5. Dadeni se nekolinearnite to~ki A, B i C. Konstruiraj gi slikite na ovie to~ki pritranslacijaAB

τ .146. Dadena e pravata p i to~kite M, N, P i Q od taa prava. Konstruiraj gi slikite na tie to~-ki pri translacijaPN

τ .Odgovor:PN

τ (M) = _________;PN

τ (N) = _________;PN

τ (P) = _________;PN

τ (Q) = _________.7. Dadena e otse~kata MN i vektorot n. Konstruiraj ja slikata M1N1

τ n

na otse~kata MN pritranslacija .

Page 8: zbirka donco1

Odgovor: nτ (MN) = _________8. Konstruiraj ja slikata na ΔABC pri translacija τ za vektorot a.Odgovor: aτ (ΔABC) = _________9. Neka ai bse dva nekolinearni vektora i M dadena to~ka. Da se konstruiraat to~kiteM1 a b

+ = τ (M) i M2 b a

+ = τ (M). Dali to~kite M1 i M2 se sovpa|aat?Odgovor: To~kite M1 i M2

_________________________________________________________ .156. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA1. Osnovni svojstva na translacijata τ a se:a) Translacijata go zapazuva ________________________________________________________b) Ako to~kata M le`i me|u to~kite A i B, toga{ i __________________________________v) Sekoja figura F pri translacija aτ se preslikuva vo _______________________________2. Izvr{i translacija τ za vektorot a

na otse~kata MN. Ako = a (Μ) M1 τ i N1 a (N) =τ , toga{sporedi gi otse~kite MN i M1N1

.Odgovor: MN __________________ M1N1

3. Dadena e otse~kata AB i to~kata P sredina na AB. Konstruiraj ja slikata na AB pritranslacija nτ . Sporedi go redosledot na to~kite A, M i B i nivnite sliki.Odgovor: Redosledot na slikite od to~kite A, M i B e ______________________________redosledot na to~kite A, M i B.4. Daden e ΔABC i vektor a. Konstruiraj ja slikata na ΔABC pri translacija aτ . [to mo-`e{ da zaklu~i{ za ΔABC i negovata slika pri translacija aτ .Odgovor: ΔABC i negovata slika ________________________________________________________165. Nacrtaj proizvolen ostar agol, a potoa konstruiraj ja slikata pri translacija τ za dadeniotvektor a.6. Konstruiraj ja slikata na pravata p pri translacija τ za vektorot a, ako a || p.Odgovor: Pri ovaa translacija pravata p se preslikuva vo_______________________________7. Dadeni se paralelnite pravi p i q i to~kite P i Q taka {to P∈ p i Q∈q . Izvr{i translacijana pravite p i q za vektorot PQ.Odgovor: Pravata p priPQ

τ se preslikuva vo ____________, a pravata q vo _____________ .8. Konstruiraj ja slikata na pravoagolnikot ABCD pri translacija τ za vektorotx = AD+ DC

Page 9: zbirka donco1

.9. Izvr{i translacija τ na kru`nicata k (O,r = 2 sm) za vektorot а = ОP , P to~ka od kru`-nicata k.177. PRIMENA NA TRANSLACIJA1. Izvr{i translacija na kru`nicata k (O,r = 2,5 cm) pri translacija τ za vektor xso dol-`ina x = 2r , pravec i nasoka po tvoj izbor.2. Dadeni se pravata a, b i vektorot n. Konstruiraj ja slikata M1

nτ na pravata b pri translacijana to~ka M od pravata a.3. Dadeni se dva agla so zaemno paralelni i sprotivnonaso~eni kraci. So pomo{ na translacijadoka`i deka tie se ednakvi.Dadeno: OA↑↓O1A1 i OB↑↓O1BTvrdime:1

∠AOB ≅ ∠A1O1B1

Dokaz:4. So pomo{ na translacija, doka`i deka sosednite agli kaj rombot se suplementni.185. Konstruiraj kru`nica koja minuva niz dadena to~ka P i dopira dve paralelni pravi p i q.6. Ako pravite a, b se zaemno normalni i ako a1=τ n (a) i b1 n=τ (b), toga{ i pravite a1 i b1

se,isto taka, zaemno normalni. Doka`i!

Dadeno: a ⊥ b a n (a) b n (b) i 1 =τ , 1 =τ Tvrdime: a1 ⊥ b1

Dokaz:7. Konstruiraj ramnokrak trapez ABCD (AB||CD), ako se dadeni osnovite a, b i krakot c.Dadeno Skica Konstrukcija8. Dadena e kru`nica k (0,r), pravata p i vektorot a. Konstruiraj ja to~kata M1

aτ na pravata p,slika na to~kata M {to le`i na kru`nicata k pri translacijata .29Tema IISTEPENI.KVADRATEN KOREN1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ.1. Zapi{i gi najkratko slednive izrazi:a) 4 + 4 + 4 = i 4 ⋅ 4 ⋅ 4 =b) x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = i x + x + x + x =v) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =2 2 2 2 2a a a a a

Page 10: zbirka donco1

g) ( ) ( ) ( ) ( ) 10−mno`iteli

2x ⋅ 2x ⋅ 2x ⋅..... 2x =2. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednite stepeni:

a) ( ) = − 3 4 b) ( ) = 4 2x v) = 24

3 g) (a − 3)5 =3. Popolni ja tablicava:Stepen 232

42 (2x)4

(− 5)2

53 −(x +1)0 (− 3)7

Osnova −3 −3,1 n3 3⋅ 2Eksponent 1 0 5 44. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) 32 − 23 ; b) 52 + (− 2)5 ; v) 2x2 − 3x3 ; za x∈{− 2,−1,0,1,2}305. Odredi go znakot na brojot:

a) (− 1)20 ; b) (−1)15 ; v) (− 3)3 ; g) (− 4)100 .6. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 10 broevite:a) 1000; b) 100 000; v) 1500; g) 74 000 000.7. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 0,1 broevite:a) 0,001; b) 0,000001; v) 0,0000001; g) 0,1.8. Presmetaj ja vrednosta na sekoj od izrazite:a) ⋅ − + ⋅ ⋅ =6410,4 103 74 : 49 43 b) 200 − 82 : 43 +103 =312. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI.STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN1. Izvr{i go mno`eweto na stepenite:

a) 42 ⋅ 4 = b) (− 3)2 ⋅ (− 3)5 = v) x4 ⋅ x ⋅ x3 = g) (a − 2)0 ⋅ (a − 2)⋅ (a − 2)2 =2. Za koj broj n Ν∈ e to~no tvrdeweto:a) 22 ⋅ 2n = 27 ; b) x ⋅ x2 ⋅ x3 = xn ?

Page 11: zbirka donco1

3. Poka`i deka:a) izrazot 125 −124 e deliv so 11; b) izrazot 512 − 510 e deliv so 24.4. Presmetaj gi slednive koli~nici:a) = 2 4 3 : 3 b) = − −10 3

5: 45

4 v) a30 : a12 = g) (x − 3)5 : (x − 3)5 =5. Presmetaj:

a) (x5 : x2 )⋅ x3 ; b) y10 : (y2 ⋅ y3 ); v) ( )138 3 2

aa ⋅ a ⋅ a

; g) ( )554 ⋅ 55 ⋅50

.326. Izrazi go stepenuvaweto:

a) (4xy)2 ; b) (− axy)3 ; v)43 2

21 − a x ; g)3 3 2

52 x y .7. Stepenuvaj gi dropkite:a)3

43 ; b)

Page 12: zbirka donco1

2

2 a ; v)3

127 − ; g)55 33 4

32 a ya y.8. Zapi{i go izrazot vo vid na stepen so osnova a:

a) (a3 )2 ; b) (a4 )2 ⋅ (a2 )4 ; v) (a3 ⋅ a8 )2 ; g) ( )73 3 2

aa ⋅ a ⋅ a.

9. Presmetaj ja vrednosta na izrazot ( )105 2 3

xx ⋅ xza x = −4,2 .333. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ.POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ1. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednive stepeni:

a) 42 ; b) (− 3)2 ; v) (− 0,5) 2 ; g)2

74 .2. Zapi{i gi proizvodite vo vid na kvadrat (stepen) na broj:

a) 3⋅ 3 ; b) (− 4)⋅ (− 4); v)32

Page 13: zbirka donco1

32 ⋅ ; g) 0 ⋅ 0 .3. Popolni ja tablicata:x213− 1 −1 1 0 −0,473 0,01 10 −3 2x2

4. Presmetaj go kvadratot na broevite: -6, 6, -2, -10, 7, -5.5. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) (− 4)2 − (− 3)2 ; b) 4 ⋅ (− 3)2 +14 ; v) 0 ⋅ (− 7)2 + 32 ⋅ 0 ; g)2 2

4131 − − .346. Re{i gi ravenkite:a) a2 = 49 ; b) x2 = 64 ; v) a2 = 1; g) x2 = 100.7. Presmetaj ja vrednosta na kvadratniot koren:a) 9 ; b) 144 ; v) 6,25 ; g)225169.8. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:a) 4 ⋅ 25 ; b) − 2 100 ; v) −10 0,01 ; g)5625 .9. Odredi ja vrednosta na izrazot:a) 62 ; b)2

74 ; v) 100 ⋅ 0,25 ; g) 64 : 0,04 .10. Uprosti go izrazot:a) 64a2 ; b) 100x2 ; v) 22

6425ba ; g) 36x2 : 81y2 .35

Page 14: zbirka donco1

4. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ5. POIM ZA IRACIONALEN BROJ.6. REALNI BROEVI.7. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA.1. Presmetaj:a) 256 ; b) 3600 ; v) 12,25 ; g) 27,04 .2. So pomo{ na tablica ili digitron odredi ja pribli`nata vrednost na broevite na dvedecimali:a) 28 ; b) 280 ; v) 12,5 ; g) 47,8 .3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:a) 64 − 6,25 + 7,52 ; b) 2 ⋅ 25 − 3⋅ 25 − 3 2,25 − 0,62 .4. So pomo{ na tablica ili digitron odredi ja vrednosta na:a) 2 ; b) 3 ; v) 10 ; g) 200 so to~nost od 0,01.5. Na brojnata oska pretstavi gi iracionalnite broevi:a) − 5 ; b) 7 ; v) − 6 ; g) 13 .366. Re{i gi ravenkite:a) x2 = 10 ; b) x2 = 25 ; v) a2 = 50 ; g) b2 = 100 .7. Dadeno e mno`estvoto: = − − − , 3,2, 53R 3, 3, 2, 1 . Zapi{i gi mno`estvata tabelarno:

A = {x x∈R i x∈Q} i B = {x x∈R i x∈J}.8. Odredi gi decimalnite zapisi na broevite ;10; 2;15100141 a potoa sredi gi.9. Na brojnata oska Ox , pretstavi gi realnite broevi:a)31 ; b) 17 ; v) 3,75; g) 10 .10. Na brojnata oska na crte`ot pretstavi gi to~kite:A(-2), B(+4), C(-3,5), D( − 2 ), E( 2 ) i F(1+ 2 )43Tema IIIPOLINOMI1. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ(BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI)1. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot:a) 23 − 4 ⋅ 2 ; b) 2 22

20 8 : 4−+; v)0,1(−4)2 + 82 : 64; g) 24 ⋅32 − 5⋅62 + 8: 4⋅ 2 .2. Odredi koj od dadenite brojni izrazi nemaat (brojna vrednost) smisla i zo{to:a)

Page 15: zbirka donco1

45 20 114 3 0,5− ⋅− ⋅; b)7 5 358 16− ⋅ +−; v)2 1 110 0,1 10032

⋅ +− ⋅; g) 2 42

4 217 4 1 1−− ⋅ +.3. Odredi ja brojnata vrednost na algebarskiot izraz:a) 2x3 − 3x − 2 za x = −1; b) 22

35b aa b−+za a = −1 i b = −3 .4. Za racionalniot izrazxx x−−=3A( ) 13

, odredi A(−2) i A(0) .445. Na polesen na~in opredeli ja vrednosta na izrazot:a)354 3

⋅⋅a aa a za a = −2 ; b)23

Page 16: zbirka donco1

4 5

⋅bb b za b = −2 ; v) 5 44 3 2

x xx x x⋅⋅ ⋅za x = −1.6. Daden e izrazot P12 222

−− + −=a

a a . Odredi ja negovata brojna vrednost za a∈(− 2,−1,0,1,24).Za koi od dadenite vrednosti na promenlivata a izrazot ne e definiran?7. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: x3 − 3x ⋅ y , za:a) x = 2, y = −1 ; b) x = −2, y = 0 ; v) x = 0, y = −1; g)3x = 1 y = −2.8. Popolni ja tablicata na vrednosta na izrazite:(a,b) a − b b − a 2a − b 2b − a(1,2)(3,−1)(−2,−4); 1,5)2(1 −[to zabele`uva{? Kakvi se vrednosite na izrazite a − b i b − a t.e. 2a − b i 2b − a za istpar vrednosti na promenlivite a i b ?452. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI1. Dovedi gi vo normalen vid monomite:a) 2a ⋅ a4 ; b) − 0,5ab3 ⋅ (−6a2b2 ) ; v) )5( 2 241 a2 ⋅ − a ; g) )210 ( 152 x ⋅ x2 y ⋅ − y3 .2. Odredi ja glavnata vrednost i koeficientot na monomot:a) 5x ⋅ (−2y4 ) ; b) )4( 33− 2 a2b3 ⋅ − a ; v) − 4axy3 ; g) 2ab2 ⋅ 3a4 .

Page 17: zbirka donco1

3. Napi{i monomi so:a) glavna vrednost xy2 i koeficient2− 1 ; b) koeficient a31 i glavna vrednost − x3 y2 ;v) koeficient −1i glavna vrednost − x3 y ; g) glavna vrednost a3b2 i koeficient 1.4. Presmetaj ja brojnata vrednost na monomot:a) − 4a2b3 za a = −1i b = 2 ; b) x2 y2− 1 za2x = − 1 i y = −4 .465. Popolni ja tablicata:monom sprotiven monom sli~en monom− 3axy2

bxy3+ 1− 0,5x2 y4

axy24 16. Odredi koi, od dadenive monomi se sli~ni:a) 2xy3 ; b) −3xy ; v) xy3− 1 ; g) 0,2xy3 .7. Odredi koi od slednive monomi se sprotivni:a) ab3− 1 ; b) + 0,2a2b3 ; v) ab31 ; g) −0,2ab .473. BINOM. TRINOM. POLINOM.4. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT.1. Od monomite: 4ax; − 2a2 x, 7ay, − x2 , −8, −3x, formuliraj edena) binom; b) trinom; v) polinom.2. Dovedi go polinomot vo normalen vid:a) 2x ⋅ (3y2 ) − x2 y − 4x(−3y) ; b) 1,5a2 y3 + 2,5ay2 − 4,3ay2 + 2,4a2 y3 .3. Pretstavi gi vo vid na polinom broevite:a) xy ; b) yx ; v) xyz ; g) abcd .4. Odredi ja definicionata oblast na polinomot:a) 2a3 − 2a2 + 3 ; b) 231 x2 y − x − ; v)54a + 3b −1 .5. Svedi go polinomot vo normalen vid:a) 3a ⋅ ab ⋅ −a ⋅ 7b2 + 4a ⋅ 3b2 − 5a2b ; b) 3 3 3 3

10351 x y − x y + a2b a2b

Page 18: zbirka donco1

2143 − .486. Odredi ja brojnata vrednost na polinomot:a) 2a2 + 3a − 5 za a = −5 ; b) − 4xy2 − 3xy + x2 + 2y za x = −2 i y = −57. Odredi go stepenot na monomot:a) 232 1 xy ; b) − a2 ; v) − 2x3 y2 ; g)54 1 .8. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot:a) 2x3 − 2x2 + x −1; b) − 0,2xy2 +1,5x2 y2 − 4,3x3 y .9. Odredi go stepenot na sekoj od dadenite polinomi so promenliva x i ya) − 3 − 2y3 + 4y5 + 6xy7 ; b) − 0,5x6 + 4,6x3 y5 − 2xy2 − 4x .10. Podredi gi spored stepenot na promenlivata x , po~nuvaj}i od najvisokiot stepen polinomite:a) − 3x2 − 4x + 5x5 − 2x3 + 3 ; b) 12x3 y4 −1,2x5 y + 0,5x7 .495. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI6. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI1. Odredi go zbirot na monomite:a) 2xy2 , − xy2 , − 3xy2 , 0,5xy2 ; b) − 4x2 y3 , −2xy , x y , 2xy2+ 1 2 2 + .2. Od monomot − 3x3 y2 odzemi go monomot:a) − 5x3 y2 ; b) + 3x3 y2 ; v) − 3x3 y2 ; g) x3 y2 .3. Odredi go monomot x za koj e to~no ravenstvoto:a) 3 2 3 2

412x − 3 1 a b = a b ; b) 4,5a2b − x = −3,2a2b .4. Odredi momom {to e ednakov na izrazot:a) 4,5xy2 − 3xy2 + 5,5xy2 − 2xy2 ; b) 2 2 2

3141 a b − a b + ba .5. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot:a) 2x3 − 2x2 + x −1; b) − 0,2xy2 +1,5x2 y2 − 4,3x3 y .506. Transformiraj go izrazot vo polimom od normalen vid:a) (2 − 2x) + (x2 − 3x); b) (a3 − a − 4) − (−a + a3 − 4) .7. Uprosti go izrazot:a) (x3 + x2 − x + 2) + (−x3 + 2x2 − 2) ; b) (2x2 − 4x + 3) − (2x2 − 4x + 3) .8. Re{i gi ravenkite:a) 4 + 2a − (3a − 4) = 7 ; b) (4 + 3x) − (7x −10) = 100 .9. Doka`i deka vrednosta na izrazot:(3a − 2b +1) − (5a + 3b − 2) − (2a − 5b −1) ne zavisi od a i b .10. Pretstavi go trinomot:a) 2a2 − 4a + 2 ; b) 3x2 + 3x − 2 vo vid na zbir od dva binoma.51

Page 19: zbirka donco1

7. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI1. Transformiraj go vo normalen vid, polinomot:a) (2x2 + x −1) + (−x2 − x +1) = b) (4a2b − 3ab2 ) − (2a2b − 3ab2 ) =2. Dadeni se polinomite: A = 2x2 − 3x +1, B = x2 + 2x −1, i C = x2 − 3.Poka`i deka va`at zakonite:a) A + B = B + A; b) (A + B) + C = A + (B + C)3. Odredi polinom A , koj e ednakov na zbirot na polinomite:a) 2x3 y − 4xy2 + xy i x3 y + 2xy2 − xy ; b) 33141 a2b − ab − i 54121 a2b + ab + .4. Odredi polinom M , koj e ednakov na razlikata na polinomite:a) − 4 + x − 2x2 i 3x2 − 2x − 4 ; b) ax3 − 2x2 + x − 5 i − ax3 + 4x2 − x + 5 .525. Za polinomite: A = x3 − 2x2 + 3x −1 , B = −2x3 + 2x2 + x − 4 i C = 2x3 − x2

+ 2x + 5 odredi:a)A + B+ C ; b) A + (B + C) ; v) A − (B + C) ; g) A − (B − C) .6. Poka`i deka e to~no ravenstvoto:a) (3x − 2x2 + 4) + (2x2 − 3x − 4) = 0 ; b) (−3a3x2 + 2,4a2x3 ) − (−3a3x2 − 2,4a2x3 ) = 4,8a2x3 .7. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot (4x + 5) − (−x − 5) e ednakva na 0.8. Doka`i deka zbirot od koj bilo dvocifren broj i brojot napi{an so isti cifri, no poobraten red e deliv so 11.538. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI9. STEPENUVAWE NA MONOMI10. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM1. Presmetaj go proizvodot na monomite:a) a4 ⋅ a3 ; b) 4ab2 ⋅ (−3ab) ; v) 2x2 ⋅ (−3x) ; g) (−4xy2 ) ⋅ (−0,5x2 ) .2. Presmetaj:a) x y xy4− 4 4 2 ⋅ 3 ; b) 6abx2 ⋅ (−4ab2 ) ; v) (−0,6x2 y3 ) ⋅ (−0,5x3 y2 ) .3. Odredi gi slednive proizvodi:a) 3xn y2 ⋅3xyn ; b) xn 1 y2 xn 2 y2n

5441 + ⋅ + .4. Izvr{i go nazna~enoto delewe na monomite:a) 24x5 y4c : (−6xyc) ; b) 3,6x4 y2 : 0,12x4 y ; v) 4 4 2 2 2 2

2:113−11 a x y a x y .5. Presmetaj:a) 0,4x7 y5z4 : (−0,5x3 y3z3 ) ; b) )2: ( 1

Page 20: zbirka donco1

3− 2 a4x3 y2 − a3xy2 .546. Stepenuvaj gi monomite:a) (2x)2 ; b) (−3abx3 )2 ; v) (−xy2 z)3 ; g) 2 4 )3

2(− 1 a b .7. Presmetaj:a) (4xy)2 ; b) 2 2 ( 2 2 )3

4− 3 a b ⋅ − ab ; v) (4x2 y3 )2 ⋅ (−xy2 ) .8. Presmetaj:a) (2x − 3y) ⋅ 2x ; b) (6ab − 4ab2 + 3a) ⋅ (−2ab) .9. Odredi go polinomot P , taka {to:a) (a2 +1) ⋅ a + a2 ⋅ (a +1) = P + a2 ; b) P − (2x2 − x) = 3x ⋅ (x2 − 2x −1) .10. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot:a) 3(x + 2) + 6 e ednakva na 10; b) 2(x −1) + 3(x + 2) e ednakva na 8?5511. MNO@EWE NA POLINOMI1. Presmetaj gi proizvodite:a) (2a −1) ⋅ (a + 5) ; b) (x −1) ⋅ (3x2 − x + 3) ; v) (4xy + 2x) ⋅ (3xy − 5y) .2. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) (x −1) ⋅ (x + 3) − (x + 2) ⋅ (x − 2) + (−4x) ⋅ (x + 2) ; b) (x2 − 2x +1) ⋅ (x +1) − 4x ⋅ (x2 − 3x −1) .3. Dadeni se polinomite: A = x +1, B = 3x + 2 , C = 2x − 3 . Presmetaj:a) A⋅C ; b) B⋅C ; v) A⋅B⋅C; g) (C⋅A) ⋅ (−B) .4. Pretstavi go, kako polinom vo normalen vid, izrazot:a) (6a2 − 2a +1)(3a − 2) − (2a2 + 3) ⋅ (x − 4) −10 ; b) (a4 − a3 + a2 − a +1) ⋅ (a +1) .565. Poka`i deka ravenstvoto e to~no:(a2 − a +1) ⋅ (a +1) = (a2 + a +1)(a −1) + 2 .6. Odredi ja vrednosta na x za koja izrazot:6x2 − (2x − 3)(3x − 2) ima vrednost 7.7. Doka`i deka za a∈ N izrazot:a ⋅ (a + 5) − (a −11)(a + 5) e deliv so 11.8. Odredi A(x) − B(x) ⋅C(x) ako A(x) + (2x +1) = x +1 .B(x) − (x +1) = 2x2 −1 i x2 − C(x) = x + 29. Doka`i deka, pri sekoja vrednost na n, izrazot(n + 3) ⋅ (n − 2) + 5(n2 − 2n +1) + 3(3n + 2) e sekoga{ pozitiven.5712. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE1. Presmetaj gi proizvodite:a) (a − 2)(a + 2) ; b) (2x −1)(2x −1) ; v) (5x − 3y)(3y + 5x) .2. Uprosti go izrazot:a) (x − y)(x + y) ⋅ (x2 + y2 ), b) (1+ a)(1− a) ⋅ (1+ a2 ) .3. Transformiraj go izrazot vo vid na polinom vo normalen vid:a) (x + 3) ⋅ (x − 3) − x(x − 2) ; b) ( x − 2y)(x + 2y) − 2x(x − y) + 2xy .4. Presmetaj gi proizvodite:a) 23⋅17 ; b) 7,5⋅6,5 ; v) 98⋅102 ; g)29 1210 1 ⋅ .5. So koristewe na formulata za kvadrat na binom, presmetaj:a) (x + 3)2 ; b) (4 − a)2 ; v) 1)2

Page 21: zbirka donco1

2(1 x + ; g) (3a − 2b)2.586. Odredi go monomot M , taka {to ravenstvoto da bide to~no:a) (4a2 − b)2 = M− 8a2b + b2 , b) (3 +M)2 = 9 +12x2 + 4x4 .7. Uprosti go izrazot:a) (2x − 5)2 − (2 + 3x)2 + (3 − x)(3 + x) ; b) (a −1)2 − 4(a +1)2 − 6(a +1)(a −1) .8. Re{i gi ravenkite:a) 2(x +1)2 − 2x(x − 5) = 20 ; b) (2x +1)2 − 4(x −1)(x +1) = 22 .9. So pomo{ na formulata za kvadrat na binom kvadriraj gi broevite:a) 512 ; b) 199,52 ; v) 1012 + 992 ; g) 1052 .5913. DELEWE NA POLINOM SO MONOM.14. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM1. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) (6x +18y) : 3 ; b) (25x3 y4 −15x2 y2 ) : (−5xy) ; v) (0,4x3 −1,2x2 + 2x) : 0,8x .2. Transformiraj gi vo polinom vo normalen vid izrazite:a) (10x −15) : 5 + 6 ⋅ (2x − 4) ; b) − − − ⋅ − ) ⋅432(16a2 8a) : ( 4a) 4 (1 a3. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot:(169a4b3 − 78a3b4 +13a3b3 ) : (−13a3b3 ) za a = −1 i b = 2 .4. Re{i ja ravenkata:92−10x3 : (−2x2 ) − (2x2 − 3x) : 1 x = .5. Odredi go koli~nikot:a) (a2 + a −12) : (a − 3) ; b) (x2 − 2x +1) : (x −1) .606. Prvo, podredi go polinomot, a potoa izvr{i go deleweto:

(20x − 41x4 +16x3 + 20x7 −10): (5x4 − 4).7. Presmetaj gi koli~nicite:a) (a2 −1) : (a −1) ; b) (a5 +1) : (a +1) ; v) (x9 +1) : (x +1) .8. Re{i gi ravenkite:a) (2a2 + 5a − 3) : (2a −1) = 4 ; b) (6x2 −13x + 6) : (2x − 3) = 4 .9. Ako A(x) ⋅B(x) = 8x3 −12x2 y − 4xy2 + 2y3 i B(x) = 2x + y . Opredeli go A(x) .10. Izvr{i go nazna~enoto delewe na polinomot so ostatok:a) (15a2 − 4a + 4) : (3a − 2) ; b) (x4 + x3 + 7x2 + 3x + 25) : (2x2 + 3x + 5) .6115. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI1. Odredi koi od slednive racionalni izrazi se celi, a koi drobni racionalni izrazi:a) 2x ; b)42x − y; v)y2 ; g)12 3−−

Page 22: zbirka donco1

aa .2. Zapi{i dva algebarski izraza:a) koi se racionalni;b) koi ne se racionalni.3. Odredi ja definicionata oblast na drobno-racionalniot izraz:a)12x −x ; b)y2a − 1 ; v)( 1)( 2)2x − x +; g)aa a1 32 1−− −.4. Skrati gi dropkite:a) 22

( 1)1−−xx ; b)( 3)( 3)2 9− +−x xx ; v) 2 2

( )2

a ba b−+.625. Za koja vrednost na a izrazot ne e definiran:a)aa1 34−−; b)aa

Page 23: zbirka donco1

2 21++; v)aa1 53+−; g)( + 3)(3 − 2)+a aa b ?6. Odredi go mno`estvoto na dopu{tenite vrednosti na promenlivata, za koi racionalniteizrazi imaat smisla:a)2 11a +; b)42a2 −a ; v)( + 3)(3 − 2)+a aa b .7. Za koja vrednost na promenlivata x dadeniot izraz ima smisla?a)xx2 34−−; b)xx2 22++; v)xx1 71−−; g)6

Page 24: zbirka donco1

5−+xx .6316. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI1. Izvle~i gi zaedni~kite mno`iteli pred zagrada:a) 2a − 2 ; b) 2x − xy ; v) 3ay − 6ax ; g) −3x − 4xa .2. Razlo`i gi polinomite na mno`iteli:a) xy3 − 4xy + xy2 ; b) 10x2 y3 −15xy + 20x3 y4 ; v) 6a3b4 −12a2b2 + 24ab .3. Skrati ja dropkata:a) ( )2

2 2x yx y++; b)xx27 9( 3)2

−−; v)x y yx x y xy+ ⋅− +( )( ) 2 ; g)3( )2( ) 2a ba b ab a++ + +.4. So razlo`uvawe na mno`iteli poka`i deka izrazot:a) 86 − 85 + 84 e deliv so 57; b) 367 − 613 + 612 e deliv so 31.5. Razlo`i go na prosti mno`iteli izrazot ax + bx + cx , a potoa presmetaj ja brojnata vrednostza: a = 41, b = 34 , c = 25 i x = 0,55 .6. Razlo`i gi slednive binomi na mno`iteli:a) 9a2b2 −1; b) x2 − 25x2y2 ; v) 100x2 − 9y2 .647. Presmetaj:a) 392 −192 ; b) 1112 − 392 ; v) 2 )2

4) (5 24(7 3 − .8. Skrati gi dropkite:a)25

Page 25: zbirka donco1

522

−−aa a ; b)44 22 −−xx ; v)11 2−−xx .9. Doka`i deka, za koj bilo a∈ N vrednosta na izrazot:a) (a +11)2 − a2 e deliv so 11, b) (4a + 7)2 −1 e deliv so 4.10. Razlo`i gi na mno`iteli polinomite:a) 9 + 6x + x2 ; b) x2 − 4xy + 4y2 ; v) 23291 + a + a ; g) 16a2 + 24ab + 9b2 .11. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:a) x2 + 6x + 9 za x = −2 ; b) 9a2 −12ab + 4b2 za3a = 1 i2b = − 1 .12. Presmetaj ja na najednostaven na~in vrednosta na izrazot:a) 692 + 2 ⋅ 69 ⋅ 23 + 232 = b) 8,32 − 2 ⋅8,3⋅ 5,8 + 5,82 =13. Skrati ja dropkata:a)9 6 13− +−y yxy x ; b) 22

25 99 15 25xx x−− +.79Tema IVKRU@NICA I MNOGUAGOLNIK.PLO[TINA1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA1. Eden kru`en lak pretstavuva:

Page 26: zbirka donco1

a)125 ; b)53 ; od kru`nicata.Odredi go soodvetniot centralen agol, a potoa nacrtaj go vo dadenata kru`nica.a). b).2. Kolkav centralen agol odgovara na edna polukru`nica kako del od kru`nica?Odgovor: ________________________________3. Kolkav del od kru`nicata zafa}a eden centralen agol so golemina od 135O

?Odgovor: ________________________________4. Centralniot agol na dadenata kru`nica razdeli go na tri agli, ~ii golemini se odnesuvaatkako 1 : 2 : 3.5. Neka ABCDEF e {estagolnik ~ii temiwa le`at na edna kru`nica so centar vo to~ka O ipritoa AB = CD = EF i BC = DE = FA . Doka`i deka ∠AOC = 120O

.802. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA1. Vo dadena kru`nica ozna~i periferen agol so golemina:a) 70O; b) 130O; v) 90O

.2. Kolkav periferen agol odgovara na eden centralen agol so golemina:a) 180O; b) 43O; v) 235O

25’ 36”?Odgovor:a) __________ ; b) __________ ; v) __________3. Doka`i deka perifernite agli nad dva skladni kru`ni laka vo edna kru`nica se skladni.4. Doka`i deka bisektrisite na site periferni agli nad ist kru`en lak se se~at vo sredinataS na toj lak.5. Konstruiraj pravoagolen triagolnik, ako se poznati hipotenuzata c i visinata hc

konnea.813. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA1. Konstruiraj tangenta od to~kata A kon dadenata kru`nica k.a) b)2. Kakvo mno`estvo od to~ki obrazuvaat centrite na kru`nicite koi se dopiraat:a) do kracite na daden konveksen agol, b) do dve paralelni pravi ?Odgovor: a) ____________________ b) ____________________3. Neka pravite p i q se tangenti na kru`nica k pri {to p ≠ q i p || q. Doka`i deka dopirniteto~ki p ∩ k i q ∩ k se dijametralno sprotivni to~ki na kru`nicata.4. Dadena e kru`nicata k i dve zaemnonormalni tangenti p i q na k. Kakvo mno`estvo od to~-ki obrazuvaat presecite p ∩ q na site pravi p i q so toa svojstvo?5. Neka ∠AOB e centralen agol na kru`nicata k. Ako a i b se tangenti na kru`nicata k voto~kite A i B, kolkav e agolot me|u to~kite A i B?

Page 27: zbirka donco1

824. TETIVEN ^ETIRIAGOLNIK1. Dali okolu pravoagolen trapez mo`e da se opi{e kru`nica? Obrazlo`i go odgovorot inapravi crte`.Odgovor: _________________________________2. Dali okolu eden ~etiriagolnik ~ii tri agli se:a) ∠A = 50O, ∠B = 70O, ∠C = 130O, b) ∠A = 65O, ∠B = 115O, ∠D = 80O

v) ∠B = 50,O, ∠C = 60O, ∠D = 80O,mo`e da se opi{e kru`nica?Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________.3. Dali mo`e da se konstruira tetiven ~etiriagolnik, ako zbirot na tri negovi agli se ednakvina:a) 80O, 56O, 124O, b) 130O, 150O, 40O, v) 20O, 70O, 160O

?Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ .4. Dali okolu deltoid mo`e da se opi{e kru`nica? Obrazlo`i go odgovorot?Odgovor: _________________________________5. Vo dadenata kru`nica vpi{i ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni agli se 70O, 80O i140O

.835. TANGENTEN ^ETIRIAGOLNIK1. Vo koi paralelogrami mo`e da se vpi{e kru`nica? Zo{to?Odgovor: ________________________________2. Odredi ja dol`inata na ~etvrtata strana na eden ~etiriagolnik ABCD, za toj da bide tangenten,ako:a) AB= 5 cm, CD= 7 cm i AD = 8 cm ; b) BC = 6 cm, CD= 8 cm i DA = 5 cm .Odgovor: a) __________ ; b) __________ ;3. Dali postoi tangenten ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni strani imaat dol`ini2 cm, 8 cm i 5 cm? Zo{to?Odgovor: ________________________________4. Doka`i deka vo pravoagolnik {to ne e kvadrat ne mo`e da se vpi{e kru`nica!5. Nacrtaj trapez vo koj mo`e da se vpi{e i se opi{e kru`nica.846. OP[TO ZA MNOGUAGOLNIKOT1. Nacrtaj konveksen ~etiriagolnik i nekonveksen petagolnik.2. Kolku dijagonali mo`e da se povle~at:a) od edno teme, b) od site temiwa na eden sedumagolnik?Odgovor: a) __________ ; b) __________ .3. Eden n – agolnik e takov {to vo nego mo`e da se povle~at vkupno n dijagonali. Koja evrednosta na n?Odgovor: _________________________________4. Odredi go {estiot agol na eden {estagolnik, ako pet negovi agli imaat golemini: 165O,148O, 172O, 155O i 163O

.

Page 28: zbirka donco1

5. Dali postoi konveksen n – agolnik, ako osum negovi vnatre{ni agli se ednakvi na 130O

?Zo{to? (Upatstvo: Razgledaj gi nadvore{nite agli!)Odgovor: _________________________________857. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI1. Nacrtaj mnoguagolnik so ednakvi:a) agli, b) strani, koj ne e pravilen mnoguagolnik.2. Kaj koj pravilen mnoguagolnik eden nadvore{en agol iznesuva 45O

?3. Doka`i deka kaj sekoj pravilen mnoguagolnik, negoviot centralen agol e ednakov so nadvore{niot agol.4. Neka za petagolnikot ABCDE, triagolnicite ABC, BCD, CDE, DEA i EAB se skladni ramnokrakitriagolnici so temiwa vo B, C, D, E i A, soodvetno. Dali ABCDE e pravilen petagolnik?Odgovor: ________________________________5. Ako A1A2A3A4 ..... An e pravilen n – agolnik, doka`i deka A1A4|| A2A3

.868. OPI[ANA I VPI[ANA KRU@NICA1. Odredi go mno`estvoto od site to~ki vo ramninata koi se ednakvo oddale~eni od:a) temiwata, b) sredinite na stranite, na eden pravilen mnoguagolnik.Odgovor: a) __________ ; b) __________ .2. Za koj pravilen n – agolnik karakteristi~niot triagolnik e ramnostran triagolnik?Odgovor: n = __________3. Ako A1A2A3 ..... A2k e pravilen 2k – agolnik (k > 2), poka`i deka A1A3A5 ..... A2k-1

epravilen k – agolnik.4. Eden pravilen n – agolnik ima 9 oski na simetrija. Kolkav e negoviot centralen agol?Odgovor: _________________________________5. Vo koj pravilen mnoguagolnik vnatre{niot agol e za 108O

pogolem od centralniot agol?Odgovor: _________________________________879. KONSTRUKCIJA NA NEKOIPRAVILNI MNOGUAGOLNICI1. Konstruiraj ramnostran (pravilen) triagolnik koj e vpi{an vo dadenata kru`nica.2. Okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen {estagolnik.3. So pomo{ na aglomer, okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen petagolnik.4. So pomo{ na aglomer, konstruiraj pravilen petagolnik so strana a = 1,5 cm.5. Vo dadenata kru`nica so pomo{ na aglomer vpi{i pravilen desetagolnik.8810. PITAGOROVA TEOREMA1. Najdi ja dol`inata na ednata kateta, ako se dadeni hipotenuzata i drugata kateta:a) c = 20 cm, b = 16 cm ; b) c = 29 cm, b = 21 cm ; v) c = 7 cm, b = 3 cm .Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________.

Page 29: zbirka donco1

2. Strelkite na eden ~asovnik se dolgi 2,4 cm i 1,8 cm. Kolku se oddale~eni vrvovite nastrelkite koga tie poka`uvaat 3 ~asot?Odgovor: _________________________________3. Kolkav e dijametarot na opi{anata kru`nica okolu pravoagolen triagolnik, ~ii katetise dolgi: a = 6 cm, b = 2,5 cm?4. Katetite na eden pravoagolen triagolnik se dolgi 2,4 dm i 7 dm. Odredi ja dol`inata nate`i{nata linija {to e povle~ena kon hipotenuzata.Odgovor: _________________________________5. Dali triagolnikot so strani:a) 15 cm, 2 dm i 2,5 dm ; b) 5 cm, 1 cm i 14 cm, e pravoagolen?89Odgovor: a) __________ ; b) __________ .11. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA1. Odredi ja katetata na ramnokrak pravoagolen triagolnik so hipotenuza c = 20 cm.Odgovor: ________________________________2. Vo pravilen {estagolnik so strana 4 cm vpi{ana e kru`nica. Presmetaj go radiusot nataa kru`nica.Odgovor: ________________________________3. Presmetaj go perimetarot na pravoagolen trapez, ako se poznati negovite osnovi a = 5,7cm, b = 1,9 cm i visinata h = 2,5 cm.Odgovor: ________________________________4. Centrite na dve ednakvi kru`nici so radius 3,9 cm se na rastojanie eden od drug 7,2 cm.Presmetajte ja dol`inata na nivnata zaedni~ka tetiva.Odgovor: ________________________________5. Vo edna kru`nica so radius 5 cm e vpi{an ramnokrak triagolnik, kaj koj visinata kaj osnovatae dolga 6,4 cm. Odredete gi dol`inite na stranite na triagolnikot.90Odgovor: _________________________________12. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKAKOI ODGOVARAAT NA BROEVITE 2 , 3 , 5 , ...1. Da se konstruira otse~ka so dol`ina:a) 10 cm; b) 13 cm.2. Da se konstruira otse~ka so dol`ina:a) 15 cm; b) 21 cm.3. Dadeni se otse~ki so dol`ini a i b. Da se konstruira otse~ka so dol`ina a2 + 9b2 .4. Dadeni se otse~ki so dol`ini a i b. Da se konstruira otse~ka so dol`ina 4b2

− a2 .5. Dadeni se otse~ki so dol`ini a i b. Da se konstruira otse~ka so dol`ina 4ab .

(Upatstvo: 4ab = (a + b)2 − (a − b)2 )9113. POIM ZA PLO[TINA1. Nacrtaj eden triagolnik i eden ~etiriaglonik koi se ednakvoplo{ni.2. Plo{tinata od 4 m 2

a) cm, izrazi ja vo:

Page 30: zbirka donco1

2 ; b) mm 2

.Odgovor: a) __________ ; b) __________ .3. Daden e paralelogram ABCD. Na polupravata AB odredi to~ka M, taka {to triagolnikotAMB e ednakvoplo{ten so paralelogramot ABCD.4. Dadeniot triagolnik ABC razdeli go na 4 ednakvoplo{ni delovi.5. Neka F1 i F2

P (Fse dve geometriski figuri. Obidi se da doka`e{ deka:1 ∪ F2) = P (F1) + P (F2) - P (F1 ∩ F2

).9214. PLO[TINA NA PRAVOAGOLNIK1. Edna niva vo forma na pravoagolnik so strani 240 m i 180 m treba da se nasadi so lozje.Kolku lozi }e se nasadat na taa niva, ako rastojanieto na lozite vo redot e 1 m, arastojanieto me|u redovite e 1,2 m?Odgovor: _________________________________2. Kvadrat so strana 12 cm i pravoagolnik so edna strana 8 cm imaat ednakvi plo{tini. Kojaod tie dve figuri ima pogolem perimetar?Odgovor: _________________________________3. Konstruiraj kvadrat ~ija plo{tina e ednakva na zbirot od plo{tinite na dva dadenikvadrata so strani a i b.4. Vo kvadrat ABCD so strana 8 cm vpi{an e drug kvadrat MNKL, ~ii temiwa le`at na stranitena kvadratot ABCD. Presmetaj ja plo{tinata na kvadratot MNKL.Odgovor: ________________________________5. Vo kru`nica so radius 6,5 cm vpi{an e pravoagolnik na koj ednata strana mu e dolga 5 cm.Presmetaj go perimetarot i plo{tinata na toj pravoagolnik.Odgovor: _____________________________________________________________________________9315. PLO[TINA NA PARALELOGRAM1. Ako dol`inata na osnovata na paralelogramot ja zgolemime 3 pati, kako treba da ja promenimesoodvetnata visina pri {to plo{tinata na paralelogramot da ostane nepromeneta?Odgovor: ________________________________2. Romb so strana a = 8 cm ima plo{tina 43,2 cm 2

. Presmetaj ja visinata na rombot.Odgovor: ________________________________3. Edna niva ima forma na paralelogram so osnova 500 m i soodvetna visina 280 m. Za kolkudena taa }e bide izorana:a) so dva kowa koi za eden den izoruvaat 40 ari;b) od eden traktor koj izoruva po 3,5 ha dnevno?Odgovor: a) __________ ; b) __________ .4. Da se presmeta plo{tinata na eden romb ako se znae deka negovata strana ima dol`ina 6cm, a pomaliot agol me|u stranite iznesuva 60O

.

Page 31: zbirka donco1

Odgovor: ________________________________5. Presekot na dijagonalite na eden paralelogram e na rastojanie 2,5 cm i 3 cm od pravitena koi le`at negovite strani. Presmetaj go perimetarot na toj paralelogram, ako negovataplo{tina iznesuva 60 cm 2

.Odgovor: ________________________________9416. PLO[TINA NA TRIAGOLNIK1. Stranata i soodvetnata visina na eden triagolnik se dolgi 5 cm i 8 cm. Mo`e li negovataplo{tina da bide ednakva na:a) 16 cm 2; b) 20 cm 2; v) 25 cm 2

Zo{to??Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ .2. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak triagolnik ~ij krak e b = 4,8 cm, a visinata {to íodgovara na osnovata ima dol`ina 3,6 cm.Odgovor: _________________________________3. Vo kru`nica so radius 6,6 cm vpi{an e ramnostran triagolnik. Presmetaj gi perimetaroti plo{tinata na triagolnikot.Odgovor: _________________________________4. Eden dvor vo forma na triagolnik ima strani 15 m, 10 m i 12 m. Presmetaj ja plo{tinatana dvorot.Odgovor: _________________________________5. Poznato e deka triagolnikot ABC ima plo{tina P = 10 cm2

i perimetar 20 cm. Presmetajgo radiusot na vpi{anata kru`nica.95Odgovor: ________________________________17. PLO[TINA NA TRAPEZ1. Da se presmeta plo{tinata na trapez ako negovite osnovi se 7 cm i 5 cm, a visinata mu e5,5 cm.Odgovor: ________________________________2. Osnovite na pravoagolen trapez se dolgi 2 dm i 2,5 dm, a podolgiot krak e 13 cm. Presmetajtego perimetarot i plo{tinata na toj trapez.Odgovor: ________________________________3. Presmetajte ja plo{tinata na ramnokrak trapez, ako se poznati negovite osnovi: a = 26cm, b = 12 cm i krakot c = 17 cm.Odgovor: ________________________________4. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez e P = 68 cm 2

, a osnovite mu se dolgi 13 cm i 4 cm.Presmetaj go negoviot perimetar.Odgovor: ________________________________5. Perimetarot na eden ramnokrak trapez iznesuva 149 cm, a osnovite mu se dolgi 63 cm i 32cm. Presmetaj ja negovata plo{tina.96Odgovor: _________________________________

Page 32: zbirka donco1

18. PLO[TINA NA DELTOID1. Dijagonalite na eden romb se dolgi d1 = 7,3 dm i d2

= 5,6 dm. Presmetaj ja negovata plo{-tina.Odgovor: _________________________________2. Plo{tinata na eden deltoid e 256 cm2

. Presmetaj gi dol`inite na negovite dijagonali,ako se znae deka ednata dijagonala e dvapati podolga od drugata dijagonala.Odgovor: _________________________________3. Presmetaj ja plo{tinata na eden tetiven deltoid, ako se znae deka podolgata strana imadol`ina 3 cm, a pokratkata dijagonala isto taka ima dol`ina 3 cm.Odgovor: _________________________________4. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako pokratkata negova strana ima dol`ina 2 cmi ako se znae deka dijagonalata koja ne e simetrala na deltoidot zafa}a agli od 45O i 60O

so pomalata i pogolemata strana, soodvetno.Odgovor: _________________________________5. Presmetaj ja plo{tinata na eden ~etiriagolnik so normalni dijagonali, ako negovite dijagonaliimaat dol`ini d1 = 7 cm i d2

= 11 cm.97Odgovor: ________________________________19. PLO[TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK1. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo ramnostran triagolnik e r = 2,5 cm. Presmetaj gi perimetaroti plo{tinata na triagolnikot.Odgovor: ________________________________2. Stranata na pravilen {estagolnik e 3,4 cm. Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na{es tagolnikot.Odgovor: ________________________________3. Stranata na eden pravilen osumagolnik e a = 2 cm. Da se presmeta plo{tinata na osumagolnikot,

ako se znae deka radiusot na vpi{anata kru`nicata ima dol`ina r = (1+ 2) cm.Odgovor: ________________________________4. Okolu kru`nica so radius r opi{ani se ramnostran triagolnik, kvadrat i pravilen{es tagolnik. Koj od opi{anite mnoguagolnici ima najgolema, a koj najmala plo{tina?Odgovor: ________________________________5. Okolu kru`nica so radius 3 cm opi{an e petagolnik so perimetar 32 cm. Presmetaj japlo{tinata na petagolnikot.Odgovor: ________________________________9820. DOL@INA NA KRU@NICA1. Presmetaj ja dol`inata na edna kru`nica so radius r = 3,14 cm.Odgovor: _________________________________2. Okolu kvadrat so dijagonala d = 4,6 cm opi{ana e kru`nica. Presmetaj ja dol`inata nataa kru`nica.

Page 33: zbirka donco1

Odgovor: _________________________________3. Trkalata na eden avtomobil imaat dijametar 0,6 m. Kolku zavrtuvawa }e napravi ednototrkalo otkako avtomobilot }e izmine pat dolg 17 km?Odgovor: _________________________________4. Edna trka~ka pateka ima radius 350 m. Eden motociklist taa kru`na pateka ja obikoluva6 pati za 11 minuti. Presmetaj ja brzinata na motociklistot vo:a) metri vo sekunda,b) kilometri na ~as.Odgovor: _________________________________5. Eden kru`en stolb mo`e da se namota to~no 4 pati so edno ja`e ~ija dol`ina e 5 m. Presmetajgo radiusot na stolbot.99Odgovor: ________________________________21. DOL@INA NA KRU@EN LAK1. Presmetaj ja dol`inata na kru`en lak od kru`nicata so radius r = 6,8 cm, {to odgovarana centralen agol od 75O

.Odgovor: ________________________________2. Eden kru`en obra~ so radius r = 0,7 m e prese~en i od nego e napraven kru`en lak {to odgovarana kru`nica so radius 0,9 m. Presmetaj go centralniot agol {to odgovara na tojkru`en lak.Odgovor: ________________________________3. Pri vrteweto na Zemjata okolu svojata oska, kolkav pat izminuva sekoja to~ka od ekvatorotza vreme od:a) 1 ~as, b) 1 minuta, v) 1 sekunda? (Radiusot na Zemjata e 6370 km.)Odgovor: ________________________________4. Ohrid i Belgrad se nao|aat pribli`no na ist meridijan. Presmetaj ja nivnata me|usebnaoddale~enost, ako e poznato deka geografskata {irina na Ohrid e α1 = 41O7’, a na Belgrade α2 = 44O

48’. (Radiusot na Zemjata e 6370 km.)Odgovor: ________________________________5. Eden gumen kai{ opfa}a tri kru`nici so radiusi 1 cm koi me|usebno se dopiraat (vidigo crte`ot). Presmetaj ja dol`inata na kai{ot.100Odgovor: _____________________________________22. PLO[TINA NA KRUG1. Presmetaj ja plo{tinata na eden kru`en bazen, ako perimetarot na bazenot e 100 m.Odgovor: _________________________________2. Kvadrat so strana 15,7 cm i eden krug imaat pribli`no ednakvi perimetri. Koja od tiedve figuri ima pogolema plo{tina i za kolku?Odgovor: _________________________________3. Zemjotresot se {iri so brzina od 800 m/s. Presmetaj kolkava povr{ina mo`e da zafatizemjotresot po 5 sekundi od negoviot po~etok?Odgovor: _________________________________

Page 34: zbirka donco1

4. Edna {uma ima forma na krug so radius 2 km. Drvjata vo {umata se rasporedeni pribli`-no po 3 drva na sekoi 10 m2

. Presmetaj go pribli`no brojot na drvata vo taa {uma.Odgovor: _________________________________5. Edna kru`na sala so radius r = 10 m e poplo~ena so plo~ki vo forma na pravilen {estagolnik.Kolku plo~ki pribli`no se koristeni za poplo~uvawe, ako stranata na sekojaplo~ka iznesuva 10 cm ?Odgovor: _________________________________10123. PLO[TINA NA KRU@EN ISE^OK I KRU@EN PRSTEN1. Plo{tina na eden krug e P = 140 cm 2. Presmetaj ja plo{tinata na kru`en ise~ok, {to muodgovara na centralen agol od 70O

.Odgovor: ________________________________2. Perimetarot na eden krug e L = 25,2 cm, a dol`inata na lakot na eden kru`en ise~ok odnego e l = 8,4 cm. Odredi go centralniot agol i plo{tinata na kru`niot ise~ok.Odgovor: ________________________________3. Dve koncentri~ni kru`nici imaat dol`ini L1 = 9,42 dm i L2

= 6,28 dm. Presmetaj japlo{tinata i {irinata na kru`niot prsten, {to tie go obrazuvaat.Odgovor: ________________________________4. ^etiri kru`nici so ednakvi radiusi r = 2,8 cm se dopiraat edna so druga odnadvor. Presmetajja plo{tinata na delot od ramninata me|u niv. Napravi crte`.Odgovor: ________________________________5. Presmetaj go radiusot na kru`nicata, koja razdeluva daden krug so radius r na dve ednakvoplo{ni figuri – kru`en prsten i krug.102Odgovor: _________________________________24. DIJAGRAMI1. Eden zemjodelec posadil 3 dekari so zelen~uk, 2,6 dekari so ovo{je, a 3,5 dekari posadilso `itarici. Ovie podatoci pretstavi gi so:a) stolbest dijagram, b) sektoren dijagram.2. Podatocite od sektorniot dijagram pretstavi gi so stolbest dijagram.3. Vo edna fabrika vo poslednite 5 godini se proizvedeni slednite koli~estva na hrana:1997 1998 1999 2000 20011600 toni 1750 toni 1870 toni 1720 toni 1690 toniOvie podatoci pretstavi gi so dijagram. Koj dijagram }e go izbere{?4. Na eden natprevar na koj u~estvuvale 163 sportisti dodeleni se 5 zlatni, 16 srebreni i 40bronzeni medali. Pretstavi gi ovie podatoci so sektoren dijagram. Na kolku delovi }ego podeli{ krugot?5. Edna fabrika ima proizvedeno 105

proizvodi. 9% od proizvodite se so lo{ kvalitet, 53%se so zadovoluva~ki kvalitet, a ostanatite proizvodi se so prvoklasen kvalitet. Pretstavigi ovie podatoci so sektoren i stolbest dijagram.103

Page 35: zbirka donco1

115Tema VFUNKCIJA.PROPORCIONALNOST.1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA1. Vo podredeniot par (x, y) , prva komponenta e _________ , a vtora komponenta e _________ .2. Zapi{i gi site podredeni parovi koi mo`at da se formiraat od elementite na mno`estvoto

A = {2,4,6}Odgovor: ____________________________________________________________________________3. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta mu pripa|a na mno`estvoto

A = {2,5,6}, a vtora komponenta na mno`estvoto B = {a,b}.Odgovor: ____________________________________________________________________________4. Pretstavi gi so graf podredenite parovi:a) (4,5); b) (6,2); v) (3,3).Odgovor:

5. Dadeni se mno`estvata A = {3,5,7} i B = {2,4}. Zapi{i go tabelarno i pretstavi go so grafmno`estvoto:

a) A×B = { b)116

6. Dadeni se mno`estvata A = {a,b}i B = {3,4,5}. Pretstavi go: tabelarno i so koordinantna{ema mno`estvoto B× A =Re{enie:

a) B×A = { b)

7. Dadeno e mno`estvoto A = {x x∈N i 4 < x ≤ 7}. Pretstavi go na a) tabelaren na~in i b) sograf mno`estvoto A×A = A2

Re{enie:a) A2 = b)

8. Dadeno e mno`estvoto A× B = {(3,8),(5,4),(2,4),(3,4),(2,8),(5,9)}. Zapi{i gi tabelarno mno-`estvata:

A = { B = {9. Dadeni se mno`estvata M = {1,3,5} i B = {2,4}. Formiraj gi mno`estvata A×B i B× A iobrazlo`i zo{to A×B ≠ B×ARe{enie:

a)A×B = { b) B×A = {v) A×B ≠ B×A bidej}i ____________________________________________________________

10. Dadeni se mno`estvata A = {0,1,2}, B = {2,3} i C = {4,5}. Poka`i deka e to~no slednovoravenstvo: (A ∪B)×C = (A×C)∪(B×C)1172. PRAVOAGOLEN KOORDINATEN SISTEM1. Na brojnata oska odredi ja mestopolo`bata na to~kite: ) 5 , 2 ( A ,

Page 36: zbirka donco1

4B 13 ; C(−3) ; 0(0) .Odgovor:2. Odredi go rastojanieto na to~kata Mod pravite Ox i Oy na crte`ot.Odgovor:To~kata M:od Ox e oddale~ena _____ edinici.od Oy e oddale~ena _____ edinici.3. Odredi gi apscisata i ordinatata nato~kata ;2,5)2A(− 1Odgovor:apscisa e: ___________________________ordinata e: _________________________4. Vo koj kvadrant se nao|aatto~kite M,T,N i K , crte` 2.Odgovor:M se nao|a vo ___________________T se nao|a vo ____________________N se nao|a vo ___________________K se nao|a vo ___________________5. Zapi{i gi koordinatite nato~kite M,T,N i K , crte` 2.Odgovor:M( , ); T( , ); N( , ); K( , ).6. Vo pravoagolniot koordinatensistem pretstavi gi to~kite:A(−3,2) ; B(1,−4) ; C(3;3) ;D(0;−2) ; E(−1;0)1187. Vo pravoagolen koordinaten sistempretstavi ja otse~kata AB, ako:A(−2;−1) i B(3;4)8. Vo pravoagolen koordinaten sistempretstavi go triagolnikot ⌠ABC, akoA(1;−2) B(−1;2) i C(3,3)9. Vo pravoagolen koordinatensistem dadeni se koordinatitena to~kite A(−4;−2) i D(−2;3) .Konstruiraj go trapezot ABCD ,na koj temiwata B i C sesimetri~ni so A i D soodvetnovo odnos na koordinatnite oski.10. Odredi gi koordinatite natemiwata na kvadrat na kojednoto teme e to~kata A(−1;−2) ,dve po dve strani mu se paralelniso koordinantnite oski istranata mu e dolga 4 edinici.119

Page 37: zbirka donco1

3. RELACIJA1. Ako A i B se neprazni mno`estva, sekoe podmno`estvo od Dekartoviot proizvod A× B sevika_______________________ od A vo B .2. Vo mno`estvoto M so graf zadadena e relacijata R . Zapi{i ja tabelarno relacijata R .Odgovor: R = ______________________________________________

3. Vo mno`estvoto A = {1,2,3,4,5,6,7,8}zadadena e relacijata R “...... e za dva pogolemo od ..... “.Pretstavi ja relacijata :a) na tabelaren na~in; b) na opisen na~in.Odgovor: a) R = _______________________ b) R = _______________________

4. Od mno`estvoto A = {2,4,6,8,10} kon mno`estvoto B = {1,2,3,4,5} dadena e relacijata:R ”..... e dva pati pomal od ..... “.a) Relacijata R pretstavi ja so graf;b) Grafikonot na relacijata R zapi{i go na tabelaren na~in.Odgovor:a)b) R = _______________________

5. Vo mno`estvoto M = {2,4,6} сe dadenи relaciите: а) 1 :" " R ≤ и б) 2 :" " R = .Пretstavi ги овие релации табеларно.Odgovor:a) b)1204. FUNKCIJA1. Na crte`ot so graf dadeni se tri relacii.Opredeli: a) koja od tie relacii e funkcija; b) domenot i kodomenot na funkcijata.Odgovor: a) Funkcija e _______ ; b) Domen e mno`estvo _________________________________ ;v) Kodomen e mno`estvo ___________________ .2. Kaj funkcijata f :A→B , simbolot x∈A se vika ___________, a y ili f (x)∈Bse vika___________.

3. Od mno`estvoto A = {x x∈N i x ≤ 8} kon mno`estvoto B = {a,b,c} dadeno e preslikuvawetof : ... ako x e prost broj, toga{ x→a , ako x e slo`en broj, toga{ x→b , ako x ne e niprost ni slo`en broj, toga{ x→c . Preslikuvaweto treba da se pretstavi so graf.4. Sekoja to~ka K(x, y) od koordinatnata ramnina se preslikuva vo to~ka K'( y, x) .Pri toa preslikuvawe, vo koja to~ka }e se preslika sekoja od to~kite:A(−1,3);B(3,4);C(0,−2);D(−5,0) . Napravi crte`i:Odgovor:5. Funkcijata f e zadadena so grafikonot:

f = {(−3,0),(−2,1),(−1,2),(0,3),(1,4),(2,5)}. Opredeli gi :a) domenot na f ; b) kodomenot na f .Odgovor:a) D = ____________________ ; b) B = ____________________ ;1215. ZADAVAWE NA FUNKCII

Page 38: zbirka donco1

1. Zadadeni se funkciite: f = {(1,a)(2,b)(3,c)(4,a)} q = {(1,a)(2,b)(3,c)}i h =

{(1,b)(2,c)(3,a)(4,c)}.Koi od ovie funkcii se ednakvi:Odgovor: Ednakvi se funkciite ______________________________________________________2. Za edna funkcija f :A→B velime deka e zadadena, ako se poznati:__________________________________________________________________________________3. Traktor pri orawe pominuva prese~no po 4,5 km na ~as. Izrazi ja zavisnosta pome|u pominatiotpat i potro{enoto vreme:Odgovor:

4. Grafikot na funkcijata e f = {(−1,−1),(−2,0),(3,−1),(5,4),(2,1)}.Pretstavi ja funkcijata so tablica.Odgovor:xf(x)5. Dnevnata temperatura vo edno mesto se meri sekoi 3 ~asa i e dobiena slednata tablica.~as 6 9 12 15 18 21 24tem -6 -2 8 6 2 0 -4Od tablicata odredi:a) f (9); f (18) f (24) . b) vo kolku ~asot temperaturata bila najvisokaOdgovor: a) f (9) = _______________; f (18) = _______________; f (24) = _______________;b) Temperaturata bila najvisoka vo _________ ~asot.

6. Grafikot na edna funkcija e f = {(−2,5),(−1,3)(1,−1),(2,−3),(0,1)} .Pretstavi ja funkcijata f (x) : a) tabelarno , b) grafi~ki.Re{enie:a) b)xf(x)1227. Zapi{i ja analiti~ki funkcijata definirana vo mno`estvoto Z so koja e izrazeno:“sekoj argument x e za tri pogolem od vrednosta na funkcijata”.Odgovor: f (x) = ___________________________8. Pretstavi ja tabelarno i grafi~ki funkcijataf :A→Z f (x) = x − 2 , ako definicionataoblast na funkcijata e mno`estvoto

A = {− 3;−2;−1;0;1;2}xf(x)9. Dadena e funkcijata q : (A → Z) : x → x −1. Opredeli go mno`estvoto podredeni parovi

(x, y)∈q , ako A = {− 5;−3;−1;0;2;4}Odgovor: Γq = ____________________________10. Funkcijata h e zadadena so tablica.x -2 -1 0 1 2h(x) 5 3 1 -1 -3Pretstavi ja grafi~ki.1236. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA1. Koi od slednive koli~nici se razmeri

Page 39: zbirka donco1

a) 7 : 9; b)5: 443 ; v) 9 m : 5 km ; g) 0,7 : 2 kg ; d) g g20,1 : 1 .Odgovor: Razmeri se: __________________________________________________________________2. Zapi{i go obratniot razmer na razmerotyx .Odgovor: Obratniot razmer e: _________________________________________________________3. Napi{i gi to~no slednite odnosi:a) 64 km : 8 m; b) 5 ~asa : 2 min; v) 1,2m2:4dm2.

Odgovor:a) _____________ b)_______________ v)_________________4. Slednive razmeri pretstavi gi so celi broevi:a) 0,6 : 0,7; b)4: 132 ; v) : 0,448 3 .Re{enie:Odgovor:a) _____________ b)_______________ v)_________________5. Presmetaj go nepoznatiot ~len na razmerot:a) 72 : x = 6 b)5114x : 2 1 =Odgovor:a) x = _____________ ; b) x =_______________ .1246. Sostavi proporcija od slednive ravenstva na proizvodite:a) 20 ⋅ 30 = 50 ⋅12 b) 2 ⋅ 4 =1,6 ⋅ 5Odgovor:a) 20 : 50 = b) 2 : 1,6 =7. Kolku treba da iznesuva x vo ravenstvoto: 4,5: x = 9 : 20Odgovor:x = _____________ ;8. Presmetaj go x vo slednata proporcija: 18 : (x + 2) = 42 : 21Odgovor:x = _____________ ;9. Vo edno u~ili{te brojot na mомчиња sprema brojot na девојчиња se odnesuva kako 4 : 5.Opredeli kolku bile mомочиња, a kolku девојчиња, ako vo u~ili{teto imalo vkupno 990u~enici.Re{enie:Odgovor: mомчиња bile _________________________девојчиња ____________________________

Page 40: zbirka donco1

10. Opredeli gi vnatre{nite agli na triagolnikot, ako nivnite golemini se odnesuvaat kako3 : 4 : 5.Re{enie:Odgovor: α= ____________ ; β= ____________ ; ν= ____________ ;1257. PRAVA PROPORCIONALNOST1. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta32 .Zapi{i ja zavisnosta so formula.Odgovor:2. Ako elementot x od mno`estvoto A (domen) se preslikuva vo elementot y od mno`estvotoB (kodomen) po formulata y = kx , toga{ zavisnosta me|u tie dve veli~ini e__________________________________________________________________________________________3. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y se dadeni so podredenite parovi: (2,8),(3,12), (5,20). Odredi go koeficientot na proporcionalnosta:Odgovor: k = ______ _________4. Eden avtobus se dvi`i so 75 km na ~as. Kolkav pat }e pomine za t ~asa.Odgovor: Za t ~asa }e pomine_______ km.5. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost k = 4 .

Opredeli go mno`estvoto na vrednosta y , ako x∈{− 3,−2,−1,0,4,5}.Re{enie:

Odgovor: y∈{6. Opredeli koi od veli~inite dadeni so tablicata se pravoproporcionalni.a) b) v)x 3 6 9 12 x 4 8 12 16 x 9 12 15 18y 5 10 15 20 y 6 12 8 4 y 3 4 5 6Odgovor: Pravoproporcionalni veli~ini se: __________________________________________1267. Popolni ja tablicata, ako veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient naporcionalnosta k = 0,4 .x 0.5 1,2521 181 2y8. Popolni ja tablicata, ako e poznato deka veli~inite x i y se pravoproporcionalni:x -3 -2 5 8y -10 10 25 509. Pretstavi ja grafi~ki pravata proporcionalnost y = −2xx -2 -1 0 1 2 3y10. Koeficientot na pravoproporciolanost e22 1 .Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik

Page 41: zbirka donco1

x -4 -2 0 2 4y1278. OBRATNA PROPORCIONALNOST1. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni. Zapi{i ja taa zavisnost so formula ako koeficientotna proporcionalnost e 5.Odgovor:2. So koja od slednite formuli e pretstavena obratnata proporcionalnost.a)xy = − 2 ; b) y x4= 3 ; v)xy = 2 ⋅ 1Odgovor: Obratnoproporcionalni se: _________________.3. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost2k = 1 .Odredi ja vrednosta na y , ako x = 0,6Odgovor: y = _________4. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta52 .Odredi ja vrednosta x ako y = 0,4 .Odgovor: x = _______ _____5. Odnosot na dve proizvolni vrednosti od domenot e ednakov na obratniot odnos na :__________________________________________________________________________________6. Veli~inite x i y se obratno proporcionalni so koeficient na proporcionalnost 4.

Sostavi tablica za ovie veli~ini ako x∈{− 5,−2,−1,0,1,2,5}.Re{enie:x -5 -2 -1 0 1 2 5y1287. Ako x i y se obratnoproporcionalni veli~ini. Popolni ja tablicata otkako }e go odredi{koeficientot na proporcionalnosta.Re{enie: k = _____________________x 4 6 8 24y 8 48. Veli~inite x i y zadadeni so tablicata se obratnoproporcionalni. Od tablicata opredeligo koeficientot na proporcionalnost i zapi{i ja formulata so koja e izrazena zavisnostame|u x i y .x 24 12 6 3y 2 12141Odgovor: a) k = ______ b) y =

Page 42: zbirka donco1

9. Popolni ja tablicata i nacrtaj go grafot na funkcijataxy = 4x 1 2 21 -21 -1 -2 -4 4y10. Nacrtaj go grafikot na funkcijataxy = − 8xy1299. PROSTO TROJNO PRAVILO1. Za {iewe na 12 ma{ki kostumi upotrebeno e 36 m {tof. Kolku metri e potrebno za {iewena 16 takvi kostumi.Odgovor: Potrebni se _________ metri {tof.2. Od 0,5 toni sve`i jabolka se dobivaat 95 kg suvi jabolka. Kolku kilogrami suvi jabolka}e se dobijat od 2,1 ton sve`i jabolka.Odgovor: ] e se dobijat _________ jabolka.3. Edna pumpa za voda dava 72 m3 voda za 4 ~asa i 12 minuti. Za kolku vreme pumpata }e dade2143 m3

voda?Odgovor: Za vreme od ____________4. 24 kravi se hranat so nekoja hrana 6 dena. Kolku dolgo }e se hranat so istata hrana 36kravi?Odgovor: 36 kravi }e se hranat _________ dena.5. Eden avtomobil na 120 km vozewe tro{i 9 litri benzin. Kolku benzin }e potro{i na patod 216 km?Odgovor: ] e potro{i _________ litri benzin.1306. Edno ni{alo pravi 67 oscilacii (ni{awa) vo edna minuta. Za kolku sekundi }e napravi2278 oscilacii?Odgovor: ] e napravi za ________ oscilacii ___________ minuti.7. Eden traktor so tri pluga mo`e da izora 84 dekari zemja. Kolku dekari zemja }e izoraako raboti so 4 pluga so ista brzina.Odgovor: ] e izora ________ dekari zemja.8. Eden zap~enik so 30 zapci pravi 80 zavrtuvawa vo minuta. Kolku zapci ima drug zap~enikkoj e svrzan so nego, ako za isto vreme pravi 60 zavrtuvawa.Odgovor: Ima ________ zapci.9. Edna rabota ja zapo~nale 33 rabotnici, i po planot bi ja zavr{ile za 80 dena. Me|utoaposle 16 dena rabotewe, 9 rabotnici se premesteni na drugo gradili{te. Za kolku dena ezavr{ena rabotata.Odgovor: Rabotata }e se zavr{i za ________ dena.

Page 43: zbirka donco1

10. 32 rabotnika mo`at da asfaltiraat edna ulica za 12 dena. Brojot na rabotnicite sezgolemil za 16. Za kolku dena }e se zavr{i istata rabota.Odgovor: Istata rabota }e se zavr{i za _______ dena.13110. RABOTA SO PODATOCI1. Prose~nata temperatura vo tekot na edna nedela vo mesec januari iznesuva:-9OC, -11,5 OC, -7,8 OC, -3,2 OC, 2 OC, 5,5 OC i 6 Ovozduhot vo taa nedela:C. Presmetaj ja srednata temperatura naRe{enie:Odgovor: Srednata temperatura e: _____ OC2. Odredi ja geometriskata sredina na broevitea) 3 i 27 b)365 i54Odgovor: a) _______________ ; b) _______________.3. Vo nizata (podatoci) broevi: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7 opredeli go modot.Odgovor: Mod _________4. Dadena e nizata broevi 2; ;32 1 3; 3,5; 4; 5; 6. Opredeli go rangot.Odgovor: Rang _________5. Opredeli go rangot, modot i medijanata na podatoci. 2; ;4;6 323 1 8; 8; 9; 9; 9; 12.Odgovor: a) Rang ___________ ; b) Mod ___________ ; v) Medijana ___________1326. Vo edna kutija ima 15 beli, 25 crveni i 20 sini top~iwa. Koлку проценти од топчињатабиле а) бели, б) црвени, в) сини?Odgovor: а) __________ ; б) __________ ; в) __________ .7. Една коцка за играње фрли ја 100 пати и запиши ги добиените броеви. Потоа, врз основа на тиеподатоци, најди ја аритметичката средина, модот и медијаната.Odgovor: ________________________________________________________________________8. Од еден шпил на карти извлечи 20 карти по случаен избор, а потоа запиши ги добиените броевиод тој избор (за џандар запишувај број 12, за дама - број 13, а за поп - број 14). Од добиенитеподатоци најди го рангот, аритметичката средина, модот и медијаната.Odgovor: ________________________________________________________________________9. Нека 0<a<b. Обиди се да докажeш дека за aритметичката средина А и геометриската средина G,важат неравенствата: a < A < G < b.10. Најди низа од седум броеви, така што аритметичката средина да биде 5, медијаната да биде 5,модот да биде 6, а рангот да биде 10.

Page 44: zbirka donco1

Odgovor: ___________________________________________19TEST - 11. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -a) Mno`estvoto P od site pravi {to se ___________________________________ so pravata ase vika ____________________________________ zadaden so pravata a.b) Dva vektora se sprotivni samo, ako _______________________________________________2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:a) AC + CB b) AD+ DC + CBOdgovor: a) AC + CB = ________________ b) AD+ DC + CB= ________________3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:a) AB− AD b) AC − ABOdgovor: a) AB− AD=________________ b) AC − AB= ________________4. Vo paralelogramot ADPN vektorite n = = = CD BC AB i m AM = MN = .Izrazi go vektorot AP so pomo{ na vektorite m i n.Odgovor: AP= _________________________________________5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -Pri translacija aτ pravata se preslikuva ______________________________________________________________________________________________________________________________6. Daden e trapezot ABCD (AB 7 CD), to~kite M i N sredini na kracite AD i BC, soodvetnoi MP 7 BC. Izrazi go zbirot MN +MP so pomo{ na vektorite AB, DCiCB .Odgovor: MN +MP = ___________________________________207. Dadeni se nekolinearnite vektori m i n.Konstruiraj go vektorot:a) m + nb) m - nOdgovor:a) m + n= ________________b) m - n= ________________8. Dadeni se pravite p, q i vektorot a. Konstruiraj otse~ka AB, taka {to A ∈ p, B ∈ q iAB = a .9. Nacrtaj kru`nica k(O,r=2,5cm), a potoa preslikaj ja so pomo{ na транслација за даденвектор AB, чија должина е 2,5cm.10. Nacrtaj произволен триаголник ABC, а потоа транслтирај го за вектор АТ , каде што Т етежиштето на дадениот триаголник.21TEST - 2

Page 45: zbirka donco1

1. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -a) Dve polupravi se istonaso~eni, ako le`at na edna prava i imaat ___________________________________________ili le`at na razli~ni paralelni pravi, ako ______________________________________________________________________________________________________b) Dva vektora se ednakvi, ako ______________________________________________________2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:a) AC + CB b) DC + DAOdgovor: a) AC + CB = ________________ b) DC + DA = ________________3. Spored crte`ot opredeli go vektorot:a) AC − AB b) AD− ACOdgovor: a) AC − AB= ________________ b) AD− AC= ________________4. Vo ΔABC vektorite a AM = MN = NB = ibAP = PC = . Izrazi go vektorot CB sopomo{ na vektorite ai b.Odgovor: CB = ___________________________________5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -Pri translacijata aτ agolot se preslikuva vo __________________________________________________________________________________________________________________________6. Neka m , nip se tri proizvolni vektori. Poka`i ja konstruktivno to~nosta na ravenstvoto

(m n) p m (n p) + + = + + - asocijativniot zakon.227. Dadeni se kolinearnite vektori ai b.Konstruiraj go vektorot:a) a b +b) a b −Odgovor:a) a b + = ________________b) a b − = ________________8. Nacrtaj kru`nica k(O,r). So pomo{ na translacija m τ preslikaj ja kru`nicata, akoOP 2 ⋅ = m i P to~ka od kru`nicata.9. Nacrtaj две прави што се сечат, а потоа транслатирај ги за даден вектор AB .10. Naцртај квадрат ABCD со центар во точка О. Транслатирај го квадратот за вектор CО .

Page 46: zbirka donco1

23TEST - 31. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -a) Podredeniot par to~ki (A,B) go opredeluva ________________________________________b) Vektorite m i nse kolinearni, ako ______________________________________________2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorota) AB+ BD b) BC + CDOdgovor: a) AB+ BD = ________________ b) BC + CD= ________________3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorota) MN −MQ b) MN − QPOdgovor: a) MN −MQ = ________________ b) MN − QP = ________________4. Daden e trapezot ABCD (AB||CD). Neka M i Nse sredini na kracite AD i BC, soodvetno.Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektoritea AB = i bDC = .Odgovor: MN = ___________________________________5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -Translacija τ za vektorot ase vika ____________________________pri koe na sekojato~ka M i se pridru`uva ___________________________________________________________6. Otse~kite AA1, BB1 i CC1

AA1 + BB1 + CC1

se тежишни линии naΔABC. Izrazi go vektorot sopomo{ na vektorite c a b AB = ,BC = ,CA = .Odgovor: AA1 + BB1 + CC1 = _______________________247. Dadeni se nekolinearnite vektori ai b.Opredeli go konstruktivno vektorot:a) a b +b) a b −Odgovor:a) a b + = ________________b) a b − = ________________8. Preslikaj go ramnokrakiot ΔABC so pomo{ natranslacijata aτ , kade vektorot a = AM i M esredi{na to~ka na stranata BC od ΔABC.9. Daden e pravoagolnikot ABCD i to~kata Okako presek na dijagonalite AC i BD. Izvr{iтранслација на правоаголникот за вектор OB .

Page 47: zbirka donco1

10. Nad stranite AB i CD od paralelogramot ABCD konstruirani se kvadratite ABB1A1 iDCC1D1, taka {to vektorite AA1 i DD1 se istonaso~ni. Ako prese~nite to~ki od dijagonalitena tie kvadrati se M i N, toga{ doka`i deka MN = BC.Dadeno: ABB1A1 i DCC1D1

M=AB1∩BA1; N=DC1∩CDTvrdime:1

MN = BCDokaz:25TEST - 41. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -a) Vektorot e napolno opredelen so _________________________________________________b) Niz sekoja to~ka od ramninata _______________________________________ daden pravec.2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorota) AB+ BC b) AP +MNOdgovor: a) AB+ BC = ________________ b) AP +MN= ________________3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorota) AB− AD b). AB− DCOdgovor: a) AB− AD= ________________ b) AB− DC = ________________4. Dadena e otse~kata MN, to~kata P sredina naMN i to~kata S ∉ AB. Izrazi go vektorot SP sopomo{ na vektorot SM i SN .Odgovor: SP = ___________________________________5. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -Translacijata aτ gi ima slednite svojstva:- __________________________________________________________________________________- __________________________________________________________________________________- __________________________________________________________________________________6. Vo ΔABC, to~kite M, N i P se sredini nastranite AB, BC i AC, soodvetno.Izrazi go vektorot PN + PM so vektorite ABiCB .Odgovor: PN + PM= _____________________________267. Dadeni se nekolinearnite vektori ai b.Konstruiraj go vektorot:a) a b +b) a b −Odgovor:

Page 48: zbirka donco1

a) a b + = ________________b) a b − = ________________8. So pomo{ na translacija aτ preslikaj gorombot ABCD za vektorot a = AB− AD .9. Konstruiraj ramnostran triagolnik ΔABC so strana 3 cm. Потоа тој триаголниктранслатирај го така што темето С да дојде во центарот О на рамностраниот триаголник.10. So pomo{ na translacija konstruiraj trapez ABCD, ako se dadeni site strani, t.e. AB = a ,BC = d , CD = b i AD = cDadeno Skica Konstrukcija27TEST - 51. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -a) Za sekoi dva vektora va`i ____________________________ zakon, a za sekoi tri vektoriva`i ____________________________ zakon.b) Proizvod na nenulti vektor aso brojot K ≠ 0 se vika ______________________________2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorota) AB+ BC b) AB+ BC + CDOdgovor: a) AB+ BC = ________________ b) AB+ BC + CD = ________________3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot -a) AC − AB b) AD− ACOdgovor: a) AC − AB= ________________ b) AD− AC= ________________4. Po te~enieto na edna reka se dvi`i brod so brzina 42 km/h, a sproti te~enieto na rekataso brzina 28 km/h. Kolkava e brzinata samo na brodot, a kolkava na vodata na rekata.Odgovor: Brzinata na brodot e _______________________, a na vodata e _____________________5. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -a) Translacijata τ za vektorot - a, t.e. a τ − e _______________________ na translacija aτ .b) Скаларни величини се: ____________________________________________________________Векторски величини се: ____________________________________________________________6. Neka vektorot AB = CD i AS = CT . Doka`i deka SB = TD.Dadeno: AB = CD i AS = CTTvrdime: SB = TDDokaz:287. Dadeni se nekolinearnite vektori a, bi c.Odredi go konstruktivno vektorot:a) a b c + +b) a c −Odgovor:a) a b c + + = ______________________b) a c − = ______________________

Page 49: zbirka donco1

8. Dadeni se dva agla so zaemnoparalelni kraci od koi edniot par kraci se isto naso~eni, adrugiot sprotivno naso~eni. Doka`i so pomo{ na translacija deka tie agli se suplementni.Dadeno: OA↑↓O1A1 i OB↑↑O1BTvrdime:1

∠AOB + ∠A1O1B1 = 180o

Dokaz:9. Daden e trapezot ABCD (AB||CD). Izvr{i translacijana trapezot za vektorot x = AD+ DC .10. Dadeni se dve skladni kru`nici k1(S1,r) i k2(S2,r). Odredi go векторот на транслација aтаков што aτ (k2) = k1

.Odgovor:Векторот на транслација е _________.37TEST - 11. Izvr{i gi nazna~enite operacii so sistemi:a) a ⋅ a3 ⋅ a0 ⋅ a5 =b) (a3 )7 =v) = 24

63xxg) =⋅ ⋅⋅ ⋅ 23 23 8

( )x x xx x x2. Presmetaj i izvr{i proverka:a) 3600 = b) 12,25 =3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:22 ⋅ 4,5 − 52 ⋅ (−0,8)2 =4. Докажи дека 5 е ирационален број.5. Нацртај бројна права и нанеси ги броевите: 2,6; -1,4; 2 +1; 3 −1;3− 2 ; 2,5,a potoa zapi{i gi ovie broevi po golemina, po~nuvaj}i od najmaliot.38TEST - 21. Zapi{i gi kako stepen so osnova x, slednive izrazi:a) x3 ⋅ x ⋅ x2 =b) (x6 )4 =v) = 312

xxg) 22 35 4

( )

Page 50: zbirka donco1

x xx x x⋅⋅ ⋅ =2. Presmetaj со помош на таблица i izvr{i proverka:a) 2116 = b) 27,04 =3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:2 ⋅ − 3 − )3 ⋅ 42 =2) ( 2) (14(34. Dali ima pove}e santimetri vo eden kilometer ili ima pove}e kubni santimetri vo edenkuben metar?Re{enie:5. Zaokru`i gi to~nite iskazi:a) Sekoj priroden broj e cel i racionalen, no ne e iracionelen broj.b) Sekoj cel broj e racionalen, no ne e realen broj.v) Postoi realen broj koj e racionelen i iracionalen broj.g) Ne postoi iracionalen broj koj e i cel broj.d) Sekoj realen broj e racionalen ili iracionalen broj, no ne mo`e da bide i racionaleni iracionalen broj.|) Zbirot na dva iracionalni broja e sekoga{ iracionalen broj.e) Proizvodot na dva iracionalni broja e sekoga{ racionalen broj.39TEST - 31. Izvr{i gi nazna~enite operacii so stepeni:a) x6 ⋅ x5 ⋅ x0 =b) x10 : x15 =v) (x3 )5 =g) =⋅⋅6 3 27 2 3

( )( )x xx x2. Presmetaj i izvr{i proverka:a) 57 ; b) 38,5 .3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:392 + 4 ⋅ (29 ⋅5 + 72 ) =4. Uprosti go izrazot 55 ⋅ 57 , a potoa odgovori dali toj izraz pretstavuva racionalenili iracionalen broj.Re{enie:5. Daden e izrazot12 3 1( ) −− +=aa a

Page 51: zbirka donco1

A a . Оdredi:a) A(−2) , b) A(2)

40TEST - 41. Zapi{i gi kako stepen so osnova a izrazite:a) a5 ⋅ a3 ⋅ a0 ⋅ a =b) (a4 )8 =v) =⋅ ⋅⋅ ⋅ 33 4 52 3

( )a a aa a ag) = 1020

aa2. Presmetaj (со дигитрон или таблица) i izvr{i proverka:a) 13600 = b) 2,25 =3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:23 + (−3)3 − (−2)3 + (−1)5 =4. Daden e izrazot1C 1 423

( ) −− −=yy yy . Odredi:a) C(−2) , b))2( 1

C5. Odговори на следните прашања:а) Колку грами има во еден тон?б) Колку нанометри има во еден милиметар?Одговор: а) б)41TEST - 51. Presmetaj:a) x5 ⋅ x8 ⋅ x0 =b) (2x3 ⋅ y4 )2 =v) x14 : x7 =g) =⋅⋅ 23 4

(2 )x yx y2. Presmetaj i izvr{i proverka:a) 625 = b) 94,437 =3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:5 − (−2)3 ⋅3+ 32 : 9 − 4⋅12 : 23 =

Page 52: zbirka donco1

4. Daden e izrazot2A 2 2 22

( ) −− −=xx xx . Odredi:a) A(−4) ; b) A(0) .5. Докажи дека 3 +1 е ирационален број.Решение:42TEST - 61. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:a) (−2)3 =b) 106 =v) (−1)100 =g) (0,1)4 =2. Presmetaj i izvr{i proverka:a) 961 = b) 42,25=

3. Daden e izrazot ( )1B 2 3 22

+− +=xx x x . Odredi:

a) B(0); b) B(−1).4. Presmetaj ja vrednosta na изразот:a) (−1)200 =b) (0,1)4 =5. Daden e izrazot1522

( ) −− +=xC x x x . Odredi:a))21(

C ; b) (−2) C .65TEST - 11. Od monomite: xy , − 2x2 y2 , −3xy i 2 2

21 x ya) sostavi polinom -b) svedi go vo normalen vid -v) odredi go stepenot na polinomot po (x) -

Page 53: zbirka donco1

г) одреди го спротивниот полином -2. Za polinomite: A = 2x3 − x2 + x −1 , B = −x2 + 2x − 4 i C = x3 + 4x2 − x − 2 , odredi C − (A + B) .3. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) )3: ( 243 x5 y4 z − x2 y3 =b) (−6x2 y3 )3 =v) (4x3 − 2ax2 ) ⋅ (−3ax2 ) =g) (6xy2 − 3xy + 2)(−2x2 y2 + 3xy) =4. Daden e monomot 3 4

21 x y . Оdredi:a) sli~en monom -b) sprotiven monom -v) stepen na monomot -g) koeficient na monomot -5. Zbirot na polinomite: 4x2 − 3x + 2 i 5 − 4x2 − 4x namali go za trinomot x2

− 6x + 4 .666. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) 2 3 2

322− 1 x y ⋅ xy =b) 2 4 )3

2(− 1 a b =v) a2 (2a3 − a2 − 2a) =g) (5x2 − 2x +1)(2x − 2) =7. Pretstavi go so polinom vo normalen vid, proizvodot:a) (x − 3)(x + 3) =b) (x − 2)2 =v) 722 =8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) ab a b ab3) : 2874(3 2− 2 3 ; b) (9x5 −13x2 +12 + 6x7 − 7x4 ) : (−7x2 + 4 + 3x5 ) .9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:a) a3 + 4a2 + 4a +16 ; b) 4ab +12ac −8ad ; v) b(x − 3) + c(x − 3) + 3− x .10. Doka`i go identitetot:(10n + 5)2 =100n(n +1) + 25 .67TEST - 21. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:a) (5 − 3a)2 =b) 7,5⋅6,5 =v) (4x2 + 3)2 =2. Izvr{i gi nazna~enite operacii:

Page 54: zbirka donco1

a) + − =2(a b 1) : 1 b) (a2 + 5ab + 6b2 ) : (a + 2b) =3. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:a) 9a(2y − 3) + 7b(3− 2y) =b) 6xy2 −18x2 y +12x2 y2 =v) xa + yb + xb + ya =4. Daden e monomot − 0,5a3xy2 . Оdredi:a) sli~en monom -b) sprotiven monom -v) stepen na monomot -g) koeficient na monomot -5. Od polinomot 2a3 − 4a2 + 6a − 3 odzemi go zbirot na polinomite:− a3 + 4a − 2a2 + 5 i a3 − 2a2 + 3a −1 .686. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) 0,1ax ⋅12ax2 y =b) (−0,2x2 y3 )2 =v) 2x2 y(2x2 − 2x − y) =g) (a2 + 2a − 7) ⋅ (a −1) =7. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid proizvodot:a) (a + 5)(a − 5) =b) (a − 3)2 =v) (2a + 3)2 =8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) (16x3 y −18x4 y2 ) : 4x = b) (−8 + 22x −12x2 −12x3 + 9x4 ) : (3x − 4) =9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:a) 9a3b2 − 6a2b +12a2b3 ; b) n(x − y) + nx − ny ; v) a2x + a2 y − ax − ay + x + y .10. Doka`i go identitetot:2

6( 1)(2 1)6n(n 1)(2n 1) n n n = n− − ⋅−+ + .69TEST - 31. Od monomite: − a2b3 ; −3ab ; ab21 i − 7a2b3

a) sostavi polinom -b) svedi go vo normalen vid -v) odredi go stepenot na polinomot po (a,b) -g) odredi go sprotivniot polinom -2. Odredi go polinomot M , taka {to: (2x2 − x + 3x3 +1) −M = 2x3 − 2x2 − x − 4 .3. Doka`i deka za sekoja vrednost na x izrazot:(3x − 4)(7x + 8) −1,5x ⋅ (24x + 4) − 5(1− 2x) e negativen.4. Daden e monomot 2 4

4− 3 a b . Оdredi:a) koeficient na monomot -b) stepen na monomot -

Page 55: zbirka donco1

v) sli~en monom -g) sprotiven monom -5. Na polinomot − 3x3 − 5x2 + 6x − 3 , dodaj ja razlikata na polinomite: 2x2 − 5x + 4x3 − 5 i1− x3 + 2x2 − 3x .706. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) (2xy) ⋅ (−3xy2 ) =b) (x2 y3 )n =v) 4⋅ (2a − 3b + c) =g) (x − 2y) ⋅ (x2 − xy − y2 ) =7. Pretstavi go vo normalen vid proizvodot:a) (2x + 5)2 =b) (2x − 7)(2x + 7) =v) 692

=8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) (25ax2 y −15x2 y3b) : (−5ab) ; b) (9x2 −15x −10x3 + 6x4 ) : (2x2 + 3) .9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:a) − m3x − 6m2 x + 3mx ; b) p(x + y +1) − q(x + y +1) + r(x + y +1) ; v) az 2

+ bz 2 + az + bz + a + b .10. Doka`i go identitetot:4) ( 1) 12(a + 1 2 = a a + + .71TEST - 41. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) − 7x3 y2 z ⋅ (−5x2 y2 ) =b) 3 )2

4(− 3 xy c =v) (4a3 − 2ax2 ) ⋅3ax3 =g) (12x3 + x2 − 9) ⋅ (4x + 3) =2. Pretstavi go kako polinomot vo normalen vid, proizvodot:a) (2a − 3b)2 =b) + )2 =432(1 x yv) 98 ⋅102 =3. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) (2,4x4 − 0,04x3 +1,32x2 ) : 0,4x2 = b) (3x3 − 5x2 + 9x −15) : (3x − 5) =4. Dovedi go vo normalen vid monomot − x2 y3 ⋅ (−2x3 ) ⋅ (−y3 ) , a potoa odredi:a) sprotiven monom -b) sli~en monom -v) stepen na monomot -g) koeficient na monomot -5. Od zbirot na polinomite 4ab − b2 + 2a2 i 2a2 − 5ab + 5b2 , odzemi ja razlikata na polinomite2ab + 3a2 − 4b2 i − 3b2 + 2ab + 3a2 .726. Izvr{i gi nazna~enite operacii:

Page 56: zbirka donco1

a) )3: ( 244x2 y2 ⋅ 1 xy − x3 y =b) (−0,5xy)2 ⋅ (4xy2 )3 =v) − 4x(−2ax + 3ax2 − x3 ) =g) (x2 − x +1) ⋅ (x2 − 4xy + 3y2 ) =7. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) (2a − 3)2 =b) (3x − y)(3x + y) =v) 732 =8. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid proizvodot:a) (−4,8a3b5 + 6a2b4 − 2ab3 ) : 2ab3 =b) (a7 −1) : (a −1) =9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:a) 6xy4 +12x2 y3 − 3xy2 ; b) a(x +1) − b(x +1) ; v) 4a2 + 2ab + 2ac + bc .10. Ako b + c =10 , toga{ (10a + b)(10a + c) =100a(a +1) + bc . Doka`i!73TEST - 51. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:a) 3 4 + 4 2 − 2 2 =33 132 195 m n m n m nb) 4x2 y(a + 2) −8xy2 (a + 2) =v) a2 x − b2 y − a2 y + b2 x =2. Od monomite: 2

21 ac , −4ac , 22− 1 ac i 10aca) sostavi polinom -b) svedi go vo normalen vid -v) odredi go stepenot na polinomot po (a,c) -g) odredi go sprotivniot polinom -3. Doka`i deka ravenstvoto e to~no:(4m+ n)2 − 2(m+ n)(m− n) −8mn =14m2 + 3n2 .4. Dovedi go vo normalen vid monomot 9 ( 2 )31 x2 y ⋅ x − xy2 , a potoa odredi:a) koeficient na monomot -b) stepen na monomot -v) sprotiven monom -g) sli~en monom -5. Presmetaj A + (B − C) , ako e:A = 2x3 − 6x2 + 5x − 2 ; B = −x3 − 4x2 + 3x − 6 i C = −2x3 + 2x2 + 4x −1.746. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) 2a2 xy ⋅ (−2ax2 ) : (−axy2 ) =b) 2 3 4 )2

2(−x y ) ⋅ (1 xy =

Page 57: zbirka donco1

v) (−5x + 6x2 − 7x3 ) ⋅ 2ax =g) (2x − 4)(3− x) =7. Pretstavi go kako binom vo normalen vid, proizvodot:a) (4a + 3y) ⋅ (3y − 4a) =b) (2x + 7y)2 =v) 982 =8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) − (6a4b + 4a2b) : (−2ab) =b) (a9 +1) : (a +1) =9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:a) 30a2b2 − 36a3b3 − 42a4b2 ; b) 5x(a − b) − 4xy(a − b) ; v) xa + yb + xb + ya .10. Doka`i deka izrazot 2a2 + 2b2 mo`e da se pretstavi kako zbir od dva kvadrata.75TEST - 61. Odredi go polinomot N , taka {to:N + (a3 + 2a2 − 2a −1) = 2a3 − 4a2 + a − 3.2. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) −16x8 y6 : (−4x2 y3 ) =b) (−3xy3z)4 =v) − 4x ⋅ (2x2 − 3x + 5) =g) (7a + 2) ⋅ (4a2 − 5a + 3) =3. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:a) 10,5⋅9,5 =b) (3x2 + 5x)2 =v) (2a − 3c)2 =4. Od monomite: − 2xy3;−4xy;−xy3 i 7xya) sostavi polinom -b) svedi go vo normalen vid -v) odredi go stepenot na polinomot po ( y) -g) odredi go sprotivniot polinom -5. Presmetaj ja tretata strana na triagolnikot, ako perimetarot e 40a − 3b , a dvete stranise 17a + 3b i 11b − 3a .766. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) − 2a5b ⋅ (−3ab2 ) =b) )2(−4x5 y3 )2 ⋅ (− 1 a2 x =v) (2x − 5) ⋅ (3+ x) =g) )2− 4x2 (−x3 + 2x − 1 =7. Pretstavi go proizvodot vo normalen vid:a) (5x − 3y) ⋅ (3y + 5x) =b) (3a − 5b)2 =v) 842 =8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) 4 4 − 3 5 + 2 3 2 3 =2(9c p 3c p 6c p ) : 3 c pb) (x7 +1) : (x +1) =9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:a) 3 4 4 2 2 2

Page 58: zbirka donco1

33 132 195 x y + x y − x y ; b) (a + 2)4x2 y − (a + 2)(8xy2 ) ; v) a2 x − b2 y − a2 y − b2 y .10. Doka`i go identitetot:(ax + by)2 − (ay + bx)2 = (a2 − b2 )(x2 − y2 )77TEST - 71. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) (24x5 y4 − 32x2 y5 +16xy) : 4xy = b) ( y3 − 4y2 + 7y − 6) : ( y2 − 2y + 3) =2. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:a) 5 + 4 2 − 3 3 =10541122 1 a b a b a bb) 9x2 (a − b) +18x3 y(a − b) =v) 2ax + 3ay + 2bx + 3by =3. Doka`i deka ravenstvoto e to~no:(x2 − 2)(x2 2x +1) − x ⋅ (x3 − 2x2 − 3x + 4) = 2x2 − 2 .4. Od monomite: 2x3 y ; − 2x2 y2 ; + xy3 ; − 4x3 ya) sostavi polinom -b) svedi go vo normalen vid -v) odredi go stepenot na polinomot po (xy) -g) odredi go sprotivniot polinom -5. Zbirot 73x + 20 denari e podelen na tri lica, taka {to liceto A dobilo 31x + 5 denari,liceto B dobilo 20x − 5 denari, a tretoto lice go dobilo ostatokot. Po kolku denaridobile licata A, B i C.786. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) 24x3 y4 : (3x2 y) =b) 3 )3

4(− 3 xy =v) − 2ax ⋅ (4x2 − 3x + 5) =g) (8x3 − 5x2 + 4) ⋅ (3x2 − 2x) =7. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:a) 24⋅16 =b) +1)2 =2(1 av) (2x − 3y)2 =8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:a) (6a6 − 5,2a5 + 4a3 ) : 4a2 =b) (x9 −1) : (x −1) =9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:a) 1,6a4 x3 + 8a5 y2 = b) −12a(x + y) + 3ab(x + y) = v) 2 p2 + x − p − 2 px =10. Doka`i deka ravenstvoto e to~no:2 3 2 5 4 2 ) 6 4

Page 59: zbirka donco1

6) 6( 3 133c (2c − 4c + 1 − c − c + c = c .

Page 60: zbirka donco1

TEST - 11. Neka ABCDE e pravilen petagolnik. Negovite vnatre{ni agli se __________,nadvore{nite agli se __________, a centralnite agli se __________.2. Proizvolen pravilen n – agolnik ima _______________ oski na simetrija.3. Dve figuri koi imaat ednakvi plo{tini se vikaat ___________________________________4. [irinata (R - r) na eden kru`en prsten e 1 cm, a negovata plo{tina e 5π cm 2. Radiusite nadvete koncentri~ni kru`nici se ____________________________________________________5. Dali postoi pravilen n – agolnik so nadvore{en agol 37?Odgovor: ___________________________ , bidej}i ______________________________________6. Obratnata na Pitagorinata teorema glasi: _________________________________________________________________________________________________________________________7. Konstruiraj otse~ka so dol`ina 13 , ako e dadena edini~na dol`ina 1.8. Presmetaj ja plo{tinata na eden triagolnik, ako dve negovi strani imaat dol`ini 3 cm I 6 cm, a agolot me|u niv e 60.Odgovor: _________________________________9. Daden e krug so centar vo O i radius 6 cm. Presmetaj go radiusot na krug so centar voistata to~ka O, takov {to, plo{tinata na kru`niot prsten e 8 pati pogolema od plo{tinatana toj krug.Odgovor: _________________________________10. Konstruiraj pravoagolen triagolnik ABC so prav agol vo to~kata C, ako se poznati otse~kite c1 i c2 na koi visinata spu{tena od praviot agol ja razdeluva hipotenuzata.

Page 61: zbirka donco1

TEST - 21. Neka ABCDEF e pravilen {estagolnik so centar vo to~kata O. Goleminata na agolot BAD e ____________________________________ .2. Neka aglite na eden tetiven ~etiriagolnik se 60, 80, 100, 120. Toga{ eden mo`en posledovatelen redosled na goleminite na negovite agli e ____________________________3. Perimetarot na eden deltoid iznesuva 30 cm, a radiusot na vpi{anata kru`nica e 1,5 cm.Plo{tinata na deltoidot e _________________________________________________________4. Dol`inata na kru`en lak {to odgovara na centralen agol α i radius r e ednakva na ________________________________________________________________________________________5. Plo{tinata na pravilen {estagolnik so strana 2 cm iznesuva _________________________6. Da se presmeta plo{tinata na eden triagolnik ako se poznati dol`inite na negovitestrani: a=10cm, b=15cm i c=12cm.Re{enie:1067. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 10 cm se dopiraat odnadvor. Presmetaj ja dol`inata nanivnata zaedni~ka tangenta, {to e zaklu~ena me|u to~kite na dopir.Odgovor: _________________________________8. Edna kru`na sala so dijametar 15 m pokriena e so parket. Dimenziite na edno par~e parketse 4 cm × 22 cm. Kolku takvi par~iwa pribli`no se potrebni za pokrivawe na salata?Odgovor: _________________________________9. Vo dadenata kru`nica vpi{i deltoid,a potoa vo deltoidot vpi{i kru`nica.10. Tri strani na eden tangenten ~etiriagolnik imaat dol`ini 12cm, 14cm i 16cm. Odredi gisite mo`ni vrednosti na dol`inite na ~etvrtata strana.Odgovor: _________________________________TEST - 31. Site periferni agli vo edna kru`nica {to se nad ist kru`en lak se ___________________2. Zbirot na site nadvore{ni agli vo eden konveksen n – agolnik iznesuva ________________3. Kako }e se promeni plo{tinata na eden triagolnik, ako negovata osnova se namali 6pati, a visinata se nagolemi 2 pati.Odgovor : _____________________________________________________________________________4. Kako }e se promeni plo{tinata na eden krug ako negoviot radius se zgolemi 3 pati?

Page 62: zbirka donco1

Odgovor : _____________________________________________________________________________5. Visinata na eden ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ______________________6. Plo{tinata na triagolnik so strani a, b i c e dadena so __________________________ , kade___________________________________________________________________________________1087. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 8 cm se se~at, pri {to tangentata na ednata kru`nica voedna od prese~nite to~ki minuva niz centarot na drugata kru`nica. Presmetaj go rastojanietome|u centrite na dvete kru`nici.Odgovor: _________________________________8. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako dvete pomali strani zafa}aat agol od 60O

iimaat dol`ina 3 cm, a podolgata dijagonala ima dol`ina 8 cm.Odgovor: _________________________________9. Od kru`en lak od edna kru`nica so radius 20 cm {to odgovara na centralen agol od 72O

napravena e kru`nica. Kolkava e plo{tinata na taka dobienata kru`nica?Odgovor: _________________________________10. ^etiri agli na eden petagolnik se ednakvi na 110O, 111O, 112O, 113O

. Najdi go pettiot agolna petagolnikot.Odgovor: _________________________________109TEST - 41. Neka radiusite na OA i OB na kru`nicata k (O,r) zafa}aat agol α. Toga{ agolot pome|utangentite ta i tb

na kru`nicata k vo to~kite A i B e __________________________________2. Pravilen mnoguagolnik e takov mnoguagolnik na koj ____________________________________________________________________________________________________________________3. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez so normalni dijagonali so dol`ini 8 cm iznesuva___________________________________________________________________________________4. Dol`inata na kru`en lak iznesuva 4,5 cm, a radiusot na kru`nicata e 6 cm. Plo{tinatana soodvetniot kru`en ise~ok e _____________________________________________________5. Eden pravilen n – agolnik ima neparen broj oski na simetrija. Dali toj e centralnosimetri~en?Odgovor: _____________________________________________________________________________6. Nabroj gi vidovite dijagrami koi gi poznava{:___________________________________________________________________________________110

Page 63: zbirka donco1

7. Neka triagolnikot ABC e pravoagolen so prav agol vo temeto C. Nad stranite AB, BC iCA od nadvore{nata strana na triagolnikot nacrtani se polukrugovi so dijametri AB,BC i CA. Doka`i deka PAB = PAC + PBC, kade PAB

e plo{tina na polukrugot so dijametarAB itn.8. Najdi ja plo{tinata na eden paralelogram so strani 6 cm i 2 cm, ako agolot me|u osnovitee ednakov na 60O

.Odgovor: _________________________________9. Plo{tinata na kru`en ise~ok {to odgovara na centralen agol od 130O e 25 cm2

. Presmetajgo radiusot na kru`nicata.Odgovor: _________________________________10. Neka ABCDE e pravilen petagolnik. Presmetaj gi aglite na triagolnikot ACD.Odgovor: _________________________________111TEST - 51. Centralen agol {to odgovara na85 od kru`nicata iznesuva ___________________________2. Neka dol`inite na stranite na eden ~etiriagolnik se 6 cm, 7 cm, 9 cm i 4 cm. Toga{ edenmo`en posledovatelen redosled na dol`inite na negovite strani e _______________________3. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo pravilen {estagolnik so strana 6 cm iznesuva___________________________________________________________________________________4. Kako }e se promeni dol`inata na eden kru`en lak, ako centralniot agol se namali 9 pati,a radiusot se zgolemi 3 pati?Odgovor: _____________________________________________________________________________5. Dijagonalata na eden pravoagolnik iznesuva 10 cm, a ednata strana e dolga 8 cm. Drugatastrana ima dol`ina ________________________________________________________________6. Dva od aglite na eden tetiven ~etiriagolnik se ednakvi na 55 O i 45 O. Najdi gi ostanatitedva agla na ~etiriagolnikot.Odgovor: ____________________________________________________________________________1127. Presmetaj ja plo{tinata na eden pravoagolnik ako edna negova strana ima dol`ina 21 cm,a dijagonalata ima dol`ina 29 cm.Odgovor: _________________________________8. Dol`inata na edna kru`nica e za 5 cm podolga od nejziniot dijametar. Presmetaj ja plo{-tinata na krugot.Odgovor: _________________________________

Page 64: zbirka donco1

9. Najdi go vkupniot broj dijagonali vo konveksen mnoguagolnik so:a) 7 strani, b) 9 strani.Odgovor: _________________________________10. Eden zemjodelec posadil 3 dekari so lozje, 2 dekari so praski i 2,5 dekari so kajsii.Pretstavi go toa so sektoren dijagram.113TEST - 61. Goleminata na eden centralen agol e 146O

. Soodvetniot periferen agol e ______________2. Brojot na site dijagonali vo eden n – agolnik iznesuva ________________________________3. Plo{tinata na ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ________________________4. Ako dol`inata na kru`en lak e l, a soodvetniot centralen agol e α, toga{ radiusot nakru`nicata iznesuva ______________________________5. Dijagonalite na eden romb imaat dol`ini 6 cm i 8 cm. Stranata na rombot iznesuva__________________________6. Plo{tinata na eden mnoguagolnik so perimetar L, vo koj mo`e da se vpi{e kru`nica soradius r, e ednakva na _______________________________________________________________1147. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 2 cm i 10 cm, a krakot ima dol`ina5 cm.Odgovor: _________________________________8. Eden kai{ povrzuva tri kruga so centri vo to~kite A, B i C so radius 1 cm. Presmetaj jadol`inata na kai{ot ako se znae deka AB = 3 cm, BC = 4 cm i CA = 5 cm.Odgovor: _________________________________9. Vo deltoid eden od vnatre{nite agli obrazuvan od neednakvi strani e 40O

. Odredi gi drugiteagli, ako deltoidot e tetiven.Odgovor: _________________________________10. Tri posledovatelni strani na eden tangenten ~etiriagolnik imaat dol`ini 5 cm, 10 cm, 8cm. Najdi ja dol`inata na ~etvrtata strana.Odgovor: _________________________________133TEST - 11. Mno`estvo R od podredenite parovi na relacijata R, go vikame _______________________2. Нека е дадено множеството М={1,2,3,4} и во него е зададена релација R на следниот начин:(x,y)∈R ако и само ако |x−y|≤1. Apretstavi ja ovaa relacija so graf.Re{enie:3. Razmerite 24 : 6 i 16 : x se ednakvi za x = _____________________________________________

4. Daden e grafikot na funkcijata f = {(−1,−2);(0,0);(1,2);(2,4)(3,6)}.Nejziniot analiti~ki zapis e: f (x) = _______________________________5. Popolni ja tablicata vo koja x i y se obratnoproporcionalni veli~ini:x 2 3 6

Page 65: zbirka donco1

y 12 46. Presmetaj ja geometriskata sredina za broevite 8 i 18.Re{enie:Odgovor: Geometriskata sredina e brojot ____________ .

7. Dadeno e mno`estvoto A = {1,3,5}. Zapi{i go so graf i tabelarno mno`estvoto A2

.Odgovor: a) b)

A2 = {1348. Presekot na dijagonalite na kvadratot le`i vokoordinatniot po~etok. Temeto A ima koordinati(-4,-4). Opredeli gi koordinatite na ostanatitetri temiwa na kvadratot.9. Vo eden den dvi`eweto na temperaturata na vozduhot bilo zapi{ano so sledniov grafik.~as 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24temp. OCKoristej}i go grafikot popolni ja tablicata, a potoa opredeli ja najniskata i najvisokatatemperatura na denot:Odgovor: Тemperaturata bila najvisoka vo _______ ~asot, a najniska vo _______ ~asot.10. Masata na `elezoto od 120 m3 e 93,6 g. Kolkava e masata na `elezoto od 20 cm3

?Re{enie:Odgovor: Masata na `elezoto od 20 cm3 e ________ g.135TEST - 21. Mno`estvoto od podredenite parovi na koi prvata komponenta e od mno`estvoto A, avtorata od B se vika __________________ na mno`estvoto A i B i se ozna~uva so _________.2. Vrednostite na apscisata i ordinatata na edna to~ka so edno ime se vikaat _____________na to~kata.3. Izrazi ja so formula zavisnosta me|u stranite i perimetarot na kvadrat.Odgovor:4. Kolku treba da iznesuva h vo ravenstvoto 3 : h = 6 : 8, za ravenstvoto da bide proporcija.Odgovor: h=_________5. Popolni ja tablicata vo koja x i y se pravoproporcionalni veli~ini so koeficient naproporcionalnost k =12 .Odgovor:x 2 3 4y6. Opredeli go procentot na sol vo rastvor, ako vo 5 kg rastvor ima 250 g sol.Re{enie:Odgovor: Vo rastvorot ima _________% sol.

7. Vo mno`estvoto A = {x x∈N i x <13} zadadena e relacijata R = {(x, y) x∈A i y∈A i

x ⋅ y = 12}.

Page 66: zbirka donco1

Пretstavi ja relacijata tabelarno.Re{enie:Odgovor: a) R = ______________________________________________________________b) Relacijata R e ____________________________________________________1368. Vodostojot na rekata od 1 do 6 juni se menuva spored dadenata tablica. Nacrtaj go grafikotna vodostojot na rekata vo ovoj vremenski period.Datum 1 2 3 4 5 6Vodostoj 4 0 -2 -3 -5 -69. Veli~inite x i y vo dadenata tablica se obratnoproporcionalni. Odredi go koeficientotna proporcionalnosta, a potoa popolni ja tablicata.Odgovor:a)k = ______ ;b)x 8 4 1 0,5y 5 20 2110. ^etiri traktori mo`at da izoraat edna niva za 12 dena. Za kolku dena istata niva }e jaizoraat 6 traktori so ista mo}nost.Re{enie:Re{enie: [este traktori }e ja izoraat nivata za __________ dena.137TEST - 31. Mno`estvoto A×Ase vika________________________________ i se ozna~uva so __________.2. Kako od grafot na edna relacija se utvrduva deka taa e simetri~na?Odgovor: _____________________________________________________________________________

3. Нека grafikot na funkcijata e f = {0,2), (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7)}. Zapi{i ja funkcijataanaliti~ki.Odgovor: f (x) =4. So formulata = 3xy iska`ana e _______________________ proporcionalnost me|u veli~inatax i y so koeficient na proporcionalnosta k = ______ ____.5. Popolni ja tablicata vo koja veli~inite x i y se vo obratna proporcionalnost.x 1 3 9y 18 6 16. Konstruiraj go grafikot na prvata proporcionalnost y = −2x .Re{enie:xy1387. Grafikot na edna funkcija e f = {(−1,1),(−2,4),(−3,0),(0,0),(1,1),(2,4),

(3,6)}.Pretstavi ja grafi~ki funkcijata.Re{enie:xy

Page 67: zbirka donco1

8. Opredeli ja vrednosta m vo proporcijata (m + 3) : 9 = 14 : 2 .Re{enie:Odgovor: m = ____________9. Na slikata grafi~ki e pretstavena zavisnosta na vremeto t i brzinata v na telo koe sedvi`i od mestoto A do mestoto B. So pomo{ na grafikot opredeli so koja brzina }e sedvi`i teloto na patot od A do B, ako mu e potrebno vreme od: a) 1 ~as; b) 2 ~asa; v) 4 ~asa;g) 8 ~asa.Odgovor:a)________km,b)________km,v)________km,g)________km10. Eden patnik za 11 ~asa }e pomine 55 km. Kolku km pat, patnikot }e pomine za 9 ~asa, akose dvi`i so ista brzina?Re{enie:Odgovor: Za 9 ~asa }e pomine ________ km.139TEST - 41. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija{to prva komponenta mu pripa|a na mno`estvoto

A = {2,5,8}, a vtorata na mno`estvoto B = {a,b}.Odgovor:2. Vo grafot docrtaj dve strelki za relacijata dabide relacija za podreduvawe.3. Dopolni ja re~enicata za tvrdeweto da bide to~no. Za edna relacija R od mno`estvoto Akon mno`estvoto B velime deka e preslikuvawe (funkcija), ako ___________________________________________________________________________________________________________4. Od broevite 3, 5, 9 i 15 sostavi edna proporcija.Odgovor:5. So formulataxy = 6 opredlena e ________________________ proporcionalnost so koeficientna proporcionalnost k = _________6. Vo edno oddelenie imalo 30 u~enici, od koi 6 bile odli~ni. Izrazi go brojot na drugiteu~enici vo procent.Re{enie:Odgovor: Procentot na drugite u~enici bil_________%.

7. Funkcijata f e zadadena so mno`estvoto parovi, {(−4,1), (−3,2), (−2,1), (−1,0),

(0,1), (1,2), (2,3)} .Opredeli:a) definiciona oblast (mno`estvo) i b) mno`estvo na vrednostiOdgovor:

a) D = {b) V = {1408. Dadena e funkcijata y = −x + 2, x R .∈

Page 68: zbirka donco1

Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik.Re{enie:x -2 -1 0 1 2y9. Opredeli dali se pravoproporcionalni veli~inite dadeni vo tabelata, a potoa opredeligo koeficientot na proporcionalnost ako go ima.x 3 -4 -3 2,5 -6,1y 9 -12 -9 7,5 -18,3Odgovor:a) Veli~inite se: _______________ ; b) Koeficient na proporcionalnosta e k = ________ .10. Edna rabota 72 rabotnika }e ja zavr{at za 45 dena. Za kolku dena istata rabota }e ja zavr-{at 60 rabotnici?Re{enie:Odgovor: 60 rabotnici rabotata }e ja zavr{at za ___________ dena.141TEST - 51. Dadeno e mno`estvo A×B = {(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)}. Zapi{i gi na tabelaren na~inmno`estvata:

A = { B = {2. To~kata A (-3,-2) le`i vo _____________________ kvadrat od koordinatnata ramnina.3. Od mno`estvoto A kon mno`estvoto B so graf zadadena e funkcijata fOd grafot odredi: f (1) = _______ ; f (3) = _____ __; f (4) = _____ ___Odgovor:f (1) = _______ ; f (3) = _____ __; f (4) = _____ ___

4. Funkcijata f zadadena e so mno`estvo poredeni parovi {(−5,−2),(−3,0),(−1,2),

(1,4),(2,5)}.Pretstavi ja funkcijata so tablica:xy5. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y dadena e so podredenite parovi (2,8);(3,12); (4,16); (6,24). Odredi go koeficientot na proporcionalnost?Odgovor:k = _______1426. Konstruiraj go grafot na obratna proporcionalnostxy = 8 .X -1 -2 -4 -8 1 2 4 8Y7. Vo mno`estvoto M = {A,B,V,G,D,\ ,E} e zadadena relacijataR, “.... e sestra na ....”.a) relacijata pretstavi ja na tabelaren na~inR =________________________________________b) zapi{i go mno`estvoto na mомчињаA = ________________________________________8. Vo edno u~ili{te brojot na u~enici ~lenovi na grupite, mladi matemati~ari, mladi fizi~ari i mladi biolozi se odnesuva kako 5 : 4 : 2 soodvetno, a nivniot vkupen broj e 55.

Page 69: zbirka donco1

Opredeli go brojot na ~lenovite vo sekoja grupa:Re{enie:Odgovor: matemati~ari: ________; fizi~ari: ________ ; biolozi: ________ .9. Se znae deka veli~inite x i y se obratnoproporcionalni.a) Пopolni ja slednava tabela.x 1 2 4 8 -1 -2 -4y -2b) Нapi{i ja formulata {to ja izrazuva proporcionalnosta me|u veli~inite x i y .f (x) = ___________________________________10. 32 rabotnika mo`at da asfaltiraat edna ulica za 12 dena. Brojot na rabotnicite sezgolemil za 16. Za kolku dena }e bide zavr{ena istata rabota?Re{enie:Odgovor: Rabotata }e bide zavr{ena za _________ dena.143SODR@INATEMA I - VEKTORI. TRANSLACIJA1. PRAVEC I NASOKA. NASO^ENA OTSE^KA – VEKTOR ....................................................................................... 52. EDNAKVOST NA VEKTORI .................................................................................................................................... 73. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA ................................................................................................................. 94. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ ...................................................................... 115. TRANSLACIJA ...................................................................................................................................................... 136. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA ........................................................................................................................ 157. PRIMENA NA TRANSLACIJA .............................................................................................................................. 17TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 19TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 21TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 23TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 25TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 27TEMA II – STEPENI. KVADRATEN KOREN1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ ..................................................................................... 292. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI.STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN .................................................................................. 313. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ.POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ ................................................................................... 334. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ ..................................................................... 355. POIM ZA IRACIONALEN BROJ ......................................................................................................................... 356. REALNI BROEVI .................................................................................................................................................. 357. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA ....................................................................... 35TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 37

Page 70: zbirka donco1

TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 38TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 39TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 40TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 41TEST 6 ............................................................................................................................................................................ 42TEMA III – POLINOMI1. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ(BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI) ................................................................................................ 432. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI .................................................................................... 453. BINOM. TRINOM. POLINOM .............................................................................................................................. 474. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT ............................................................................................................. 475. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI ........................................................................................................... 496. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI ............................................................................ 497. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI ....................................................................................................... 518. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI .................................................................................................................. 539. STEPENUVAWE NA MONOMI .............................................................................................................................. 5310. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM ............................................................................................................... 5311. MNO@EWE NA POLINOMI ................................................................................................................................ 5512. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE ................................................................................................................ 5713. DELEWE NA POLINOM SO MONOM ................................................................................................................... 5914. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM ............................................................................................................... 5915. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI ......................................................................................................................... 6116. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI ...................................................................... 63

144TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 65TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 67TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 69TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 71TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 73TEST 6 ............................................................................................................................................................................ 75TEST 7 ............................................................................................................................................................................ 77TEMA IV – KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK. PLO[TINA1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA ............................................................................................................................ 79

Page 71: zbirka donco1

2. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA ......................................................................................................... 803. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA ............................................................................................... 814. TETIVEN ^ETIRIAGOLNIK ................................................................................................................................ 825. TANGENTEN ^ETIRIAGOLNIK ........................................................................................................................... 836. OP[TO ZA MNOGUAGOLNIKOT .......................................................................................................................... 847. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI ............................................................................................................................ 858. OPI[ANA I VPI[ANA KRU@NICA .................................................................................................................. 869. KONSTRUKCIJA NA NEKOI PRAVILNI MNOGUAGOLNICI ........................................................................... 8710. PITAGOROVA TEOREMA ....................................................................................................................................... 8811. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA .............................................................................................................. 8912. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKAKOI ODGOVARAAT NA BROEVITE 2 , 3 , 5 , .. ......................................................................................... 9013. POIM ZA PLO[TINA............................................................................................................................................ 9114. PLO[TINA NA PRAVOAGOLNIK ......................................................................................................................... 9215. PLO[TINA NA PARALELOGRAM ......................................................................................................................... 9316. PLO[TINA NA TRIAGOLNIK .............................................................................................................................. 9417. PLO[TINA NA TRAPEZ ........................................................................................................................................ 9518. PLO[TINA NA DELTOID ..................................................................................................................................... 9619. PLO[TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK .................................................................................................... 9720. DOL@INA NA KRU@NICA .................................................................................................................................... 9821. DOL@INA NA KRU@EN LAK ................................................................................................................................. 9922. PLO[TINA NA KRUG ........................................................................................................................................... 10023. PLO[TINA NA KRU@EN ISE^OK I KRU@EN PRSTEN ................................................................................. 10124. DIJAGRAMI .......................................................................................................................................................... 102TEST 1 .......................................................................................................................................................................... 103TEST 2 .......................................................................................................................................................................... 105TEST 3 .......................................................................................................................................................................... 107TEST 4 .......................................................................................................................................................................... 109TEST 5 .......................................................................................................................................................................... 111TEST 6 .......................................................................................................................................................................... 113TEMA V – FUNKCIJA. PROPORCIONALNOST1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA ........................................................................................................ 1152. PRAVOAGOLEN KOORDINATIVEN SISTEM ................................................................................................... 1173. RELACIJA ............................................................................................................................................................ 119

Page 72: zbirka donco1

4. FUNKCIJA ........................................................................................................................................................... 1205. ZADAVAWE NA FUNKCII .................................................................................................................................. 1216. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA ................................................................................ 1237. PRAVA PRAPORCIONALNOST .......................................................................................................................... 1258. OBRATNA PROPORCIONALNOST .................................................................................................................... 1279. PROSTO TROJNO PRAVILO .............................................................................................................................. 12910. RABOTA SO PODATOCI ..................................................................................................................................... 131TEST 1 .......................................................................................................................................................................... 133TEST 2 .......................................................................................................................................................................... 135TEST 3 .......................................................................................................................................................................... 137TEST 4 .......................................................................................................................................................................... 139TEST 5 .......................................................................................................................................................................... 141