ZBIRKA ZADATAKAIZ MEHANIKE FLUIDAGradjevinski fakultet Univerziteta u BeograduCedo MaksimovicAnita StojimirovicSlobodan DjordjevicDusan ProdanovicAna TomanovicF = ?F = CFAp U2/ 2 rAp = ?sa resenim ispitnim rokovimaVojislav MarinkovicCedoMaksimovicAnitaStojimirovicSlobodanDordevicDusanProdanovicAnaDeleticVojislavMarinkovicZBIRKAZADATAKAIZMEHANIKEFLUIDAsaresenimispitnimrokovimatreceizdanjeGradevinskifakultetUniverzitetauBeograduBeograd,2002ZBIRKAZADATAKA IZMEHANIKEFLUIDASARESENIMISPITNIMROKOVIMA, treceizdanjeAutori:CEDO MAKSIMOVIC, ANITA STOJIMIROVIC,SLOBODAN DORDEVIC, DUSAN PRODANOVIC,ANA DELETIC, VOJISLAV MARINKOVICRecenzenti: GEORGIJE HAJDIN, MARKO IVETICKorektor: MILAN LAZAREVICObradateksta: SLOBODAN DORDEVIC, DUSAN PRODANOVIC,VERA TEJIC, ANA DELETIC, VOJISLAV MARINKOVICObradacrteza: DUSAN PRODANOVIC, VLADIMIR JANKOVICNaslovna strana: ANA DELETICOdobrenoza stampu: na osnovu odluke VECA KATEDARA ZAHIDROTEHNIKU na sednici odrzanoj 18. decembra 2001. godineIzdavac: GRADEVINSKI FAKULTET, Bulevar revolucije 73, BeogradGlavni iodgovorni urednik: BRANISLAVCORICStampa:CIGOJA STAMPA, Studentski trg 15, BeogradCIP Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd532/533(075.8)(076)ZBIRKA zadataka iz mehanike uida /Cedo Maksimovic, Anita Stoji-mirovic, SlobodanDor devic, Dusan Prodanovic, AnaDeletic, VojislavMarinkovic. Beograd : Gra devinski fakultet Univerziteta u Beogradu,1995 (Beograd :Cigoja stampa). VIII, 176 str. : graf. prikazi ; 24cmTiraz 500.ISBN 86800493791. Maksimovic1, Chedoa) Mehanika uida ZadaciID=42913548Sadrzaj1.deoTESTOVI 11 Osnovni pojmovi 12 Osnovnejednacine 93 Vezeizme du naponaideformacija 174 Turbulentnastrujanja 215 Dimenzionalnarazmatranjaislicnoststrujanja 236 Kombinovani zadaci 297 Prakticni zadaci 337.1 Hidrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Otpori trenja u cevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.3 Otpori oblika tela i otpori trenja uz ravnu plocu . . . . . . . 377.4 Tecenje u kanalima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Resenjatestovaiz1.dela 412.deoZADACI 451 Hidrostatika 452 Tecenjepodpritiskom 633 Tecenjesaslobodnompovrsinom 894 Otporitrenjaiotporioblika 107iiiiv3.deoTESTOVIIZADACISAISPITNIHROKOVA 1171 Testovi izadaci 117Ispitni rok 30. IX 1993. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . . 117Ispitni rok 30. IX 1993. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Ispitni rok 17. X 1993. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . . 120Ispitni rok 17. X 1993. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Ispitni rok 27. I 1994. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . . . 125Ispitni rok 27. I 1994. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Ispitni rok 11. VI 1994. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . . 128Ispitni rok 11. VI 1994. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Ispitni rok 25. VIII 1994. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . 132Ispitni rok 25. VIII 1994. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Ispitni rok 23. IX 1994. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . . 137Ispitni rok 23. IX 1994. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Ispitni rok 24. I 1995. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . . . 141Ispitni rok 24. I 1995. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Ispitni rok 28. III 1995. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . . 145Ispitni rok 28. III 1995. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Ispitni rok 11. VI 1995. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . . 149Ispitni rok 11. VI 1995. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Ispitni rok 3. IX 1995. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . . 153Ispitni rok 3. IX 1995. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Ispitni rok 24. IX 1995. teorijski deo ispita . . . . . . . . . . . . . 158Ispitni rok 24. IX 1995. zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612 Resenjatestovaizadatakaiz3.dela 163Ispitni rok 30. IX 1993. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Ispitni rok 17. X 1993. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Ispitni rok 27. I 1994. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Ispitni rok 11. VI 1994. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Ispitni rok 25. VIII 1994. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Ispitni rok 23. IX 1994. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Ispitni rok 24. I 1995. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Ispitni rok 28. III 1995. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Ispitni rok 11. VI 1995. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Ispitni rok 3. IX 1995. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Ispitni rok 24. IX 1995. resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176PredgovorPrethodna dva izdanja knjige Zbirka zadataka iz Mehanike uida, objavlje-na 1993. i 1995. godine u ukupnom tirazu od 1000 primeraka, rasprodata su ito je bio povod za pripremu novog izdanja.Uocen je manji broj stamparskihgresaka i nepreciznosti na slikama, sto je u ovom izdanju otklonjeno. Autorisezahvaljujustudentimanasaradnji uotkrivanjugresaka, kaoi NenaduJacimovicu koji je ove greske ispravio.Knjiga ima tri dela.Prvi deo cine pitanja sa testova, grupisana u sedam oblasti, od kojih su prvihpetanalognepoglavljima uudzbenikuMehanikauidaprofesora GeorgijaHajdina, a preostale dve su: Kombinovani zadaci i Prakticni zadaci.Resenjaovih testova nalaze se na kraju prvog dela (str. 4144).Udrugomdelusuzadaci,grupisaniu cetiri oblasti: Hidrostatika, Tecenjepodpritiskom, Tecenje saslobodnompovrsinomi Otpori trenjai otporioblika. Resenja zadataka data su odmah nakon postavke, s tim da su nestodetaljnija objasnjenja data kod prvih, karakteristicnih problema iz pojedinihoblasti.Treci deo cine kompletni testovi i zadaci sa jedanaest rokova sa ispita iz pe-rioda izme du prva dva izdanja ove knjige. Njihova resenja data su na kraju,i tosamokonacni rezultati, bezdetaljnogobjasnjenja. Timesesugerisestudentima da prvo pokusaju samostalno da rese neki ispitni rok u celini (upredvi denom vremenu), pa tek nakon toga da pogledaju resenja.I ovom prilikom se naglasava da paznju treba usmeriti na razumevanje teo-rijskih osnovazaresavanjezadatakaiprincipakoji seutomeprimenjuju,odnosnovaznojeovladavanjesustinomproblema, stosenajlaksepostizekroz pracenje predavanja i koncentrisan rad na racunskim i laboratorijskimvvivezbanjima. Dakle, ovu Zbirku treba prevashodno koristiti za proveru napre-dovanja uprocesusticanja znanja,jer resavanje velikog broja zadatakaponekakvim sablonima i citanje resenja nemaju mnogo svrhe.Beograd, januara 2002. AutoriPredgovorizdanjuiz1993.godineZa potrebe nastave iz predmeta Mehanika uida na Gra devinskom fakultetuuBeogradudosadajeobjavljenonekolikoizdanjazbirki zadataka1. Svaizdanja objavljena su u vreme dok je nastavom iz ovog predmeta rukovodioprofesor Georgije Hajdin, koji je osnovao predmet, napisao udzbenik koji jedoziveo vise izdanja, i dao pecat daljem toku nastave.Autorismatraju dajeuputnodaseiovomprilikom ponovi deotekstaizPredgovoraknjigeZadaci izMehanikeuidasaispitaodrzanihu1974.god.izdate 1975. godine:. . . Ispitnizadaci i njihovaresenjanemogudabuduneposrednosredstvozaucenje. Nanjimasemozeproveriti vecnauceno,iuztosteci,mozda,izvesno iskustvo za rad na samom ispitu. Kod dela studenata, medutim, po-stoji pogresno shvatanje da ce se iz mnostva ispitnih zadataka sve nauciti, a1Objavljenasusledecaizdanja: Zadaci izMehanikeuidasaispitaodrzanihu1974. god., (autori G. Hajdin, S.Kulacin,C.Maksimovic),1975; Zadaci izMehanikeuidasaispitaodrzanihu1975. god., (autori G. Hajdin, S.Kulacin,C.Maksimovic,M.Ivetic),1977; Zadaci izMehanike uidasaispitaodrzanihu1974. i 1975. god., drugoizdanjeu kome suobjedinjene prethodne dve knjige (autori G. Hajdin, S. Kulacin,C.Maksimovic,M.Ivetic),1978; Zadaci izMehanikeuidasaispitaodrzanihu1974. i 1975. god., treceizdanjeukomejeprimenjenSIme dunarodni sistemjedinica(autori G. Hajdin,C.Mak-simovic,A.Spoljaric),1980; Zadaci izMehanikeuidasaispitaodrzanihu1974. i 1975. god., cetvrtoizdanje(autori G.Hajdin,C.Maksimovic,M.Ivetic,A.Spoljaric),1984; Zadaci iz Mehanike uida sa ispitaodrzanih u1974. i 1975. god., peto izdanje(autori G.Hajdin,C.Maksimovic,M.Ivetic,A.Spoljaric),1990.viiviiiima i tako naivnih koji misle da bi resenje iz nekog ranijeg zadatka mogli isko-ristiti neposredno na ispitu, a i tako neodgovornih da uce samo pregledajuciispitne zadatke. Mozdasuitakvirazlozi nametnulizahtevstudenatadaseizdazbirkaispitnihzadataka. Tobi bilopogresnostogastojeovazbirkanamenjena ozbiljnimstudentimakojima ceonakoristitizaproveruznanjastecenognavezbanjimagdesusavladali oneosnovneprincipekojezadacisamo primenjuju . . . U ovoj knjizi obra deni su novi zadaci (sa ispitnih rokova iz poslednjih neko-liko godina) i to uzizvesne izmene u redosledu materije u odnosuna pret-hodnuZbirku. Knjigaimadvadela. Prvi deocinetestovi, grupisani usedamoblasti, odkojihsuprvihpet analognepoglavljimauudzbenikuMehanika uida prof. G. Hajdina, a preostale dve su: Kombinovanizadacii Prakticnizadaci. Resenja svih testova nalaze sena kraju knjige. U dru-gomdelusuzadaci, grupisani ucetiri oblasti: Hidrostatika, Tecenjepodpritiskom, Tecenjesaslobodnompovrsinom iOtporitrenjaiotporioblika.Resenja zadataka data su odmah nakon postavke, s tim da su nesto detaljnijaobjasnjenja data kod prvih, karakteristicnih problema iz pojedinih oblasti.Uz izvesne izmene u organizaciji vezbanja, autori se nadaju da ce ova knji-gaomoguciti boljerazumevanjei laksesavladavanjematerijeizpredmetaMehanika uida na Gra devinskom fakultetu u Beogradu cijim studentima jeona prvenstveno i namenjena. Tako de, autori se nadaju da ce knjiga korisnoposluziti i studentima drugih gra devinskih i srodnih fakulteta.Recenzenti ove knjige bili su profesor Georgije Hajdin i docent Marko Ivetic,cije susugestije i uocene greske doprinele njenomkvalitetu, atehnickuobradu materijala obavili su,poredtreceg autora (tekst) i cetvrtog autora(tekst, crtezi) i sluzbenici Instituta za hidrotehniku Gra devinskog fakultetau Beogradu Vera Tejic (tekst testova) i Vladimir Jankovic (crtezi), na cemuim se autori iskreno zahvaljuju.Beograd, septembra 1993.C. MaksimovicA. StojimirovicS. Dor devicD. ProdanovicA. Tomanovic1Osnovnipojmovi1.deoTESTOVI1.1KroztackuAsuproslatri delica. Oni susada(posmatrani uistomtrenutku vremena) u tackamaB, CiD. Nijedan od ovih delica, nitije prosao, niti ce proci kroz druge dve tacke (npr. delic koji se nalaziu tacki Cnece proci kroz tacke BiD). Zakljucuje se:1. tacke A iD se nalaze na istoj trajektoriji;2. tacke CiD se nalaze na istoj trajektoriji;3. tacke B,Ci D se nalaze na istoj emisionoj liniji;4. tacke A iBse nalaze na istoj trajektoriji.1.2Trajektorijaprvogdelicajeosax1, adrugogaosax2. Obasekrecujednoliko, brzinomod2 m/s. Prvijebioukoordinatnom pocetkuutrenutkut=0,adrugiutrenutkut=5 s. Naistoj emisionoj linijileze tacka na osi x1 udaljena 20 m od koordinatnog pocetka i tacka naosix2 udaljena od koordinatnog pocetka za rastojanje:x2 =(jedinice)1.3Za jedan primer strujanja, brzina je izrazena sa:u1 = U0_tT+x2L_; u2 = u3 = 0.12 1. Osnovnipojmovia vrednosti konstanti su:U0 = 2 m/s, T= 100 s, L = 0.5 m.Ubrzanje delica, koji se u trenutku t = 20 s nalazi na polozajux2 = 0.25 m, iznosi:(jedinice)1.4Trajektorija delica je data sa:x21 +x22 = r2Komponenta brzine delica u2, u pravcux2, jednaka je nuli u sledecimtackama (x1, x2) trajektorije:(0, 0) (0, r) (0, r) (r, 0) (r, 0) (r, r)1.5U jednoj odre denoj tacki, neprekidno se mere sve tri komponente brzine.Iz tih merenja, pored vektora brzine, moguce je odrediti i:1. parcijalne izvode komponenata brzine po sve tri koordinatne ose;2. parcijalne izvode komponenata brzine po vremenu;3. lokalno ubrzanje;4. usputno (konvektivno) ubrzanje.1.6U nekom ravanskom strujanju u ravni (x1, x2) posmatra se jedna struj-nica. Komponente brzine za tu strujnicu date su sa:u1 = Ux2_x21 + x22; u2 =Ux1_x21 +x22; u3 = 0 ; U = Const.Zakljucuje se da, u svakoj tacki strujnice, intenzitet vektora brzine:1. ima konstantnu vrednost;2. ima vrednostU;33. ima vrednost 2U;4. ima promenljivu vrednost, s tim da zavisi samo odx1;5. ima promenljivu vrednost, s tim da zavisi samo odx2;6. ima promenljivu vrednost, s tim da zavisi odx1 ix2.1.7Zastrujanje datouprethodnomzadatku,jednacina strujnicesemozeizraziti sledecom jednacinom (C= konstanta):1)x21 +x22 = C; 2) x1x2 = C; 3) x2 = Cx1;4)x1 = C; 5) x2 = C.1.8UtrenutkuT =4 ssnimljenajeemisionalinijadelicakoji suproslikroz koordinatni pocetak. Na njoj se nalaze tacke (I) i (II) sa koor-dinatama:(xI1 = 4 m, xI2 = 0) i (xII1= 0, xII2= 2 m).To supolozaji delica cije sutrajektorije apscisna, odnosnoordinatnaosovina i oba delica se krecu jednoliko brzinomciji je intenzitetU= 1 m/s. U koordinatnom pocetku prvi delic (I) bio je u trenutkutI= 0, a drugi u trenutkutII, gde jetIIjednako:1 s 2 s 3 s 4 s 5 s1.9Strujnica jednog delica u ustaljenom strujanju se moze izraziti sa:x2 = Cx1; C = Const > 0, x1 < 0.Komponente brzineu1 iu2 bice jednake, tj. u1 = u2, u tacki (x1, x2):(1, C) (C, 1) (2, C/2) (C,C)1.10Strujanje nestisljivog uida je dato sa:u1 = x2bU ; u2 =x1aU ; u3 = 0.4 1. Osnovnipojmovigde su: U, a, b konstante.Za ovo strujanje, jednacina strujnice se mozenapisati kao:1)x1a+x2b= C2)x21a+x22b= C3) x1 =Cx2gde je: C = Const1.11Za strujanje navedeno u prethodnom zadatku tvrdi se da su od devi-jatorskog dela brzina deformacija jednaki nuli sledeci clanovi:d11121321d22233132d331.12Voda istice iz otvorenog rezervoara konstantnog horizontalnog presekakrozcevsahorizontalnom osovinom. Precnikcevi senizstrujupo-vecava. Nivovodeurezervoarusekrozvremesmanjuje. Posmatrasematerijalni izvodbrzinedelicakojiistice krozcevikonstatujesesledece:1. lokalna komponenta materijalnog izvoda je pozitivna u svim tac-kama cevi;2. lokalna komponenta materijalnog izvoda je negativna u svim tac-kama cevi;3. konvektivna komponenta materijalnog izvoda je negativna;4. konvektivnakomponentamaterijalnogizvodamozebiti i pozi-tivna i negativna;5. materijalni izvod moze biti i pozitivan i negativan i jednak nuli.1.13Zajedanslucaj neustaljenoglaminarnogtecenjanestisljivoguida,kroz cevkruznogpoprecnogpreseka(poluprecnika r =Const), sapravolinijskom osovinom koja se poklapa sa osom 3, za brzine se mozenapisati:u1 = u2 = 0 (osovine 1 i 2 su u ravni poprecnog preseka);5u3 =_U0 U0_x21 +x22r2___1 tt0_ ; U0 =Const.Napisanovazi zavremenski interval 0 A23)A1 < A2152.18Posmatra se koleno (luk) na cevi konstantnog kruznog poprecnog pre-seka koja lezi u horizontalnoj ravni. Koleno predstavlja spoj cevi kojezaklapaju ugao od1200. Poprecni presekcevije1 m2,a protok krozcev iznosi 2 m3/s. Uz zanemarenje gubitka energije na kolenu, pri pije-zometarskoj koti (na mestu kolena) koja je 4 m visa u odnosu na kotuosovine cevi, intenzitet ukupnehorizontalne sile kojom vodena strujadeluje na koleno (deo cevi izme du poprecnih preseka ispred i iza spoja)iznosi (kN):2.19Daje se integral:_Aujuj2uinidAgde su: ujiui= komponente brzine, ni= ort spoljne normale i =gustina uida. Napisani integral, koji se odnosi na zatvorenu povrsinuAkojaogranicavazapreminuV , predstavljarazlikuizme duulazaiizlaza krozA u jedinici vremena sledece velicine:1. mase;2. kolicine kretanja;3. kineticke energije;4. toplote.16 2. Osnovnejednacine3Vezeizme dunaponaideformacija3.1Posmatraselaminarnostrujanjenestisljivog uidaizme dudveravneplocepostavljenename dusobnomrastojanju2h. Problemsemozesmatrati ravanskim i izucava se u ravni (x1, x2). Za ovakvo strujanjeraspored brzina je:u = u1 = U0_1 x22h2_; u2 = u3 = 0; h x2 +hgde je: h = Const1, U0 = Const2. Zakljucuje se da su, u svim tackama,sledece komponente devijatorskog dela napona jednake nuli:1) 12 = 212) 13 = 313) 23 = 324) d115) d226) d333.2Uzcvrsturavnugranicu, polozenunormalnonaosux2, brzinau1, uzavisnosti od rastojanja x2 od zida, odre dena je sa:u1 = U0x2h; u2 = u3 = 0 ; U0 = Const1; h = Const2.Sahjeoznacenorastojanjedokogvazi datazakonitost(taoblastseiposmatra). Strujanjejelaminarno. Fluidjenestisljiv. Mozesezakljuciti:1718 3. Vezeizme dunaponaideformacija1. od devijatorskog dela napona deluju samo naponi21 = 12;2. zajedan primer navedenogstrujanja taj napon(21 =12)imaistu vrednost za celu posmatranu oblast (odx2 = 0 dox2 = h);3. silaodnapona21=12nabilokojuelementarnuzapreminuuida jednaka je nuli.3.3Strujanje je laminarno i ravansko, u ravni (1, 2) i u oblasti 0 x2 2h,sa brzinom:u1 = U0_2x2hx22h2_ ; u2 = 0 ; U0 = Const1; h = Const2.Napon21 = 12, zax2 = h/2, dat je izrazom:12_x2 =h2_= CU0hgde je = dinamicki koecijent viskoznosti. Konstanta Ciznosi:1413121 2 3 43.4Za slucaj strujanja nestisljivog uida komponente brzine su date sa:u1 = Um sin_2x2h_; u2 = 0; u3 = 0; 0 x2 2h.gde jeUm = Const. Od devijatorskog dela napona jednaki su nuli:d11121321d22233132d333.5Datojeravanskostrujanje, uravni (1,2)uoblasti 0 x2H, sabrzinom odre denom sa:u1 =UHx2; u2 = u3 = 0 ; U = Const1; H = Const2Za navedeno strujanje se tvrdi:191. od devijatorskog dela napona deluju samo naponi12 = 21;2. napon12 = 21 ima vrednost nula;3. napon12=21imakonstantnuvrednostucelojoblastistru-janja;4. napon12 = 21 ima promenljivu vrednost, tako da zavisi od x2.3.6Zaravanskotecenjeuravni (x1, x2) izme dudve paralelneploce, narastojanju 2h, raspored brzina je dat sa:u1 = U0_1 x22h2_; u2 = 0; h x2 +h;U0 = Const1; h = Const2.Za navedeno strujanje zakljucuje se:1. svi devijatorski naponi su jednaki nuli;2. od devijatorskog napona deluje samo napon12 = 21;3. napon12 = 21 = Const3 za celo strujno polje.3.7Pri laminarnomtecenjuuravni (x1, x2), uneposrednoj blizini zida(cvrste konture) ostvaruje se linearni raspored brzina:u1 =U x2; 0 x2 ; U= Const1; = Const2.U tacki na rastojanjux2 =b (b < ), gde vazi isti raspored brzina,poznat jetangencijalni napon (b). Gustinatecnosti je . Naos-novupoznatihvrednosti posmatranih velicina, kinematski koecijentviskoznosti iznosi:=(jedinice)20 3. Vezeizme dunaponaideformacija3.8Strujanje nestisljivog uida je dato sa:u1 = 2ULx1; u2 = 2ULx2; u3 = 0 ;U= Const1; L = Const2.Za ovo strujanje tvrdi se da su od devijatorskog dela napona jednakinuli:d11121321d22233132d333.9Posmatraju se dva razlicita slucaja ustaljenog laminarnog strujanja (Ai B) izme du dve paralelne ploce. Rastojanje izme du ploca je kod obaslucajajednako. Izme duplocausvakomodposmatranihslucajevastruje uidi razlicitih gustina (A =B) i razlicitih dinamickih koe-cijenata viskoznosti (A =B). U oba slucaja ostvaruju se ista poljabrzina (u svim tackama sa odgovarajucimkoordinatama, vektori brzinesu za oba uida jednaki). Pri ovim uslovima, za odnos tangencijalnihnapona =21(A)/21(B) u tackama sa istim koordinatama, moze sereci:1. naponi su isti ( = 1);2. odnos napona jednak je odnosu odgovarajucih gustina( = A/B);3. odnos napona jednak je odnosu odgovarajucih dinamickih koe-cijenata viskoznosti ( = A/B).4Turbulentnastrujanja4.1Kada je uktuaciona brzina u

1 pozitivna (u

1 > 0), onda je u

2 negativna(u

2 < 0), a kada jeu

1 < 0, onda jeu

2> 0. Ovo znaci da je:u

1 = 0 u

2 = 0 u

1u

2 = 0 u

1u

2 > 0 u

1u

2 < 04.2Uposmatranoj tackiuktuacioni dodatakzabrzineupravcima(1)i(2), a u zavisnosti od vremena (t), iznosi:u

1 = u

2 = U sintT; U= Const1 ; T= Const2.Nuli su jednake sledece vrednosti:u

1u

2u

1u

2turb12turb21. .naponi turbulencije4.3U jednom strujanju nestisljivog uida proucavaju se karakteristike tur-bulentnogtoka. Zaodre divanjenaponaturbulencijet12=t21is-tovremeno se mere uktuacije brzina u

1 i u

2 u dvema tackama (I) i (II)koje se nalaze na pravcu (2) i me dusobnom rastojanju x2 (xII2> xI2).Utvr denojedajeosrednjeni proizvodu

1u

2>0utacki I, odnosnou

1u

2 0 Pt1< 0 Pt1 = 02122 4. Turbulentnastrujanja4.4Uposmatranojtacki uktuacioni dodatakzakomponentebrzineu1iu2 dat je sa:u

1 = u

2 = U sintT; U = Const1; T= Const2;gde je: t = vreme. Tvrdi se sledece:1. u

1 = u

2 = 0;2. u

1u

2< 0;3. napon turbulencijet12 = t21 < 0.4.5Razmatra se strujanje kod koga je turbulencija razvijena, tj. kod kogaje dejstvo osrednjenih devijatorskih napona zanemarljivo u odnosu nadejstvo napona turbulencije (dij turb). Ovo znaci da je:1. zanemarljiv uticaj viskoznosti na osrednjene vrednosti velicina;2. uizrazimasabezdimenzionalnimvelicinamaneucestvujeRey-nolds-ov broj;3. u ovakva strujanja spada turbulentno tecenje u hrapavoj cevi.4.6Za odre divanje napona turbulencije turb23= turb32= u

2u

3 potrebnoje:1. odrediti veliki nizuzastopnihproizvodaistovremenihvrednostiu

2 i u

3, pa uzeti srednju vrednost tih proizvoda i pomnoziti je sagustinom;2. odrediti posebnou

2 i u

3, tj. srednje vrednosti komponenata uk-tuacije brzine, pa ih onda pomnoziti i sve pomnoziti sa gustinom.5Dimenzionalnarazmatranjaislicnoststrujanja5.1Potopljeno telo je oblikovano tako da, pri kretanju na sopstveni pogonkrozuid, koecijentsileotporanezavisi odReynolds-ovogbroja,odnosnodominantni susamo uticaji inercijalne sile. Da bisebrzinatela povecala 3 puta, potrebno je da se angazuje snaga motora koja cebiti veca:puta.5.2Pravougaona ploca (ploca I) postavljena je upravno na paralelnu, jedno-liku i ustaljenu struju uida. Ploca II, sa istim odnosom duzine i visinekao kod ploce I, ima dvaputa manju povrsinu (od ploce I) i, tako de,postavljena je upravno na paralelnu, jednoliku i ustaljenu struju istoguida, samodvaputavecebrzine. Zaovadvaslucajaostvarujeseslicnost za inercijalne uticaje. Posmatra se odnos sila otpora oblika naploce I i II, tj.FI/FII = mVrednost faktora m je:8 4 2 11214182324 5. Dimenzionalna razmatranja islicnost strujanja5.3Modelise se problem sa dominantnim inercijalnimuticajima. Na modeluinaobjektujeisti uid. Usvojena razmerazaduzinejeL=20,aza brzineU = 5. Ako je na modelu izmeren momenat sile od 0.5 Nm,onda ce odgovarajuci momenat na objektu biti (u kNm):0.2 0.5 2 5 12.5 25 1005.4Istrazujesesnagamotora koji pokrecetelo potopljenouuid. Snagamotorasavladava siluotporatelakojesekrecejednolikom brzinom.Model je napravljen sa zadovoljenjem samo inercijalnih uticaja (ostaliuticaji su zanemarljivi). Duzine na modelu su smanjene u odnosu naobjekat 10 puta,dok subrzinena modeluvece 10 puta uodnosunaobjekat. Sa istim uidom kao na objektu, na modelu je izmerena snagamotora.Smod = 100 Nm/sNa objektu odgovarajuca snaga iznosi (Nm/s):Sobj =5.5Model jenapravljenpremauslovima slicnosti zagravitacione iinerci-jalneuticaje, tj. prema Froude-ovoj slicnosti. Sveduzine namodelusu16 puta manje od odgovarajucih na objektu. Ubrzanje sa objektaod 2 m/s2treba modelisati sa (m/s2):16 8 4 2 0 1/2 1/4 165.6Model je napravljen po nacelima Froude-ove slicnosti sa istimui-domna objektu i na modelu. Uz zahtev da pritisci na modelubudu5putamanjiododgovarajucih naobjektu,razmerazaduzine(L = Lobj/Lmod) mora biti:1/5 1/5 15 5 25255.7Na modelu napravljenom prema Froude-ovoj slicnosti (slicnost za gra-vitacione iinercijalne uticaje) sveduzinesu10 putasmanjeneuod-nosunaodgovarajucenaobjektu. Fluidnaobjektujenafta, gus-tine800 kgm3, anamodeluvoda, gustine1000 kgm3. Izmerenompritiskunamodelupmododgovaracepritisaknaobjektupobjkojijejednak:100pmod80pmod10pmod8pmod1.25pmodpmod0.8pmod5.8Za model, koji treba napraviti po nacelu Froude-ove slicnosti, na raspo-laganju je pumpa sa proticajem Qmod = 120 dm3/s. Moguce je mode-lisati proticaj na objektuQobj = 1000 m3/s ako je razmera za duzineL = Lobj/Lmod jednaka ili veca od:L =5.9U vodenoj struji nalazi se stub koji je ukljesten u dno. Modelskim ispi-tivanjima odre duje se sila (F) koja deluje na stub. Model je nacinjenna principima Froude-ove slicnosti, sa duzinama smanjenim u odnosuna prirodu L puta. Na modelu i objektu je isti uid. Razmera za siluje:F =FobjFmod= LkEksponentk iznosi:151413121 2 3 4 55.10Model je napravljen uz zadovoljenje slicnosti za gravitacione i inerci-jalne uticaje (Froude-ova slicnost). Sve duzine na modelu su 16 putasmanjene u odnosu na duzine na objektu. Na modelu i objektu je istiuid. Najveci ocekivani protok naobjektu je80 m3/s. Odgovarajuciprotok na modelu je:26 5. Dimenzionalna razmatranja islicnost strujanjaQmaxmod =(jedinice)5.11Namodelu, napravljenomponacelima Froude-oveslicnosti (slicnostza inercijalne i uticaje tezine), pri protokuQmod = 50 l/s izmerena jevisina prelivnog mlazaHmod = 15 cm. U prirodi odgovarajuci protokiznosi Qobj=51.2 m3/s. Odgovarajucadubinaprelivnogmlazanaobjektu iznosi:Hobj =(jedinice)5.12Modelise se, uz zadovoljenje uslova Froude-ove slicnosti, mesanje vodeuotvorenom bazenuobrtnom elisom. Duzinenamodelusu25putamanjeododgovarajucih naobjektu(L=25). Fluidnamodeluje,tako de, voda. Na modelu broj obrta u sekundi je 10 (nmod = 10 s1).Broj obrta na objektu (nobj) je (s1):250 50 25 10 5 2.5 2 15.13Na jednom modelu, napravljenom sa zadovoljenjem slicnosti samo zainercijalneisile viskoznosti (Reynolds-ovaslicnost), saistim uidomnamodelui objektu(istagustina, istaviskoznost), asaduzinamanamodelusmanjenim 4putauodnosunaodgovarajuce naobjektu,izmerena je sila Fmod = 10 kN. Odgovarajuca sila na objektu je (kN):10 20 40 80 160 6405.14Model je napravljen po principu Reynolds-ove slicnosti tako da su sveduzinenamodelu5putaveceododgovarajucihduzinanaobjektu.Gustina uidana modeluje 5puta veca ododgovarajuce gustine naobjektu, a kinematski koecijent viskoznosti na modelu je 2 puta veci27ododgovarajuceg koecijenta naobjektu. Namodelujeizmerenza-ustavnipritisakpmod=0.2 kPa. Odgovarajuci zaustavnipritisak naobjektu iznosice:pobj =(jedinice)5.15Model je napravljen po principima Reynolds-ove slicnosti.Sve duzinenamodelusu5putasmanjeneuodnosunaodgovarajuce duzinenaobjektu, a kinematski koecijent viskoznosti uida na objektu je 2 putaveci odistog koecijenta namodelu. NamodelujeizmerenproticajQmod = 3 cm3/s. Odgovarajuci proticaj na objektu je:Qobj =(jedinice)5.16Modelise se prema Reynolds-ovoj slicnosti, sa istim uidom na modelui naobjektu(istagustina, istaviskoznost). Sveduzinenamodelusmanjene su 2 puta u odnosu na odgovarajuce na objektu. Napon namodelu je:1) 16 puta2) 8 puta3) 4 puta4) 2 puta___veci odnaponana objektu5) 16 puta6) 8 puta7) 4 puta8) 2 puta___manji odnaponana objektu5.17Bezdimenzionalni broj za pritisak moze se izraziti na sledeci nacin:1)p2L42)pgH3)pv24)pLvgde je: p = pritisak, = gustina uida, g = gravitaciono ubrzanje, L iH su karakteristicne duzine, v = karakteristicna brzina, = dinamickikoecijent viskoznosti.28 5. Dimenzionalna razmatranja islicnost strujanja5.18Weber-ov broj, dat izrazom:We =U2D(gde su: =gustina uida, U= srednja brzina u cevi, D= precnikcevi i = kapilarna konstanta), predstavlja:1. odnos inercijalne sile i sile kapilarnosti;2. odnos inercijalne sile i sile trenja;3. silu usled uticaja kapilarnosti.6Kombinovanizadaci6.1Za jedan primer strujanja brzina je izrazena sau1 = U0_tT+x2L_; u2 = u3 = 0gde je:U0 = Const1; T= Const2 ; L = Const3.Zakljucuje se:1. strujanje je neustaljeno;2. zapreminska dilatacija delica je jednaka nuli;3. materijalni izvod gustine delica jednak je nuli.6.2Brzine dilatacije odre denog delica date su sa:u1x1= 0.2 s1u2x2=u3x3= 0.1 s1Brzine klizanja su jednake nuli. Za posmatrani delic tvrdi se da:1. ne menja oblik, a menja zapreminu;2. ne menja zapreminu, a menja oblik;3. materijalni izvod gustine je jednak nuli.2930 6. Kombinovani zadaci6.3Daje se raspored brzina u strujnom polju nestisljivog uida:u1 = U0_2x2L_x2L_2_ ; u2 = u3 = 0; 0 x2 2LU0 = Const1; L = Const2Za uid dinamickog koecijenta viskoznosti (), napon12 = 21zax2 = 0 jednak je:(jedinice)6.4Za strujno polje denisano u prethodnom zadatku i za tacku x2 = L/2,deformacioni rad devijatorskog dela napona, po jedinici zapremine i ujedinici vremena, iznosi:(jedinice)6.5Uzcvrsturavnugranicu, polozenunormalnonaosux2, brzinau1uzavisnosti od rastojanja x2 od zida, odre dena je sa:u1 = Ux2h; u2 = u3 = 0 ; U= Const.Sahjeoznacenorastojanje odzidadoklevazidatazakonitost (itaoblast se i posmatra). Tvrdi se da je zax2 =h brzinau1jednakaU.Tvrdi se da je jednak nuli rad devijatorskog dela napona, na bilo kojuelementarnu zapreminu, i to:1. motorni rad;2. deformacioni rad;3. ukupan rad (motorni + deformacioni).316.6Posmatra se strujanje navedeno u zadatku 1.10 i uid ciji je dinamickikoecijent . Za rad povrsinskih sila od devijatorskog dela napona, pojedinici zapremine i u jedinici vremena, tvrdi se sledece:1. motorni rad je jednak nuli;2. motorni rad je razlicit od nule;3. deformacioni rad je jednak nuli;4. deformacioni rad je razlicit od nule i iznosi U2_1a 1b_2.6.7Dinamickajednacinazaelementarnumasu, napisanazapravac (1),glasi:u1t+uiu1xi= f1 1px1+ 1di1xigde je: = gustina uida, p = pritisak iui = komponenta brzine. Zastrujanje dato u zadatku 2.7 i to tako da je pravac (1) horizontalan, aod zapreminskih sila deluje samo tezina, iz navedene jednacine se mozezakljuciti da je:1)px1= 0 2)px1> 0 3)px1< 032 6. Kombinovani zadaci7Prakticni zadaci7.1 Hidrostatika7.1.1Vertikalniziddeli zatvoreni rezervoarnadvadela. Obadelarezer-voara ispunjena su istim uidom, ali do razlicitih nivoa.Zid je otvorenna donjemdelu tako da je ostvaren direktan kontakt uida. Pritisakvazduha u prostorima iznad uida je pozitivan i to takav da je:1. veci u delu u kome je visi nivo uida;2. veci u delu u kome je nizi nivo uida;3. isti u oba dela suda.7.1.2Posmatrasehorizontalnakomponentahidrostaticke silenapravou-gaoni poklopaccijajestranaduzine ahorizontalna, akracastranaduzine b vertikalna.Posmatraju se dva slucaja: prvi, u kome je pritisakutezistu poklopcajednakp1,a odstojanje rezultante odtezista e1;idrugi, u kome je pritisak u tezistu jednak p2, a odstojanje rezultante e2.Ako je pritisakp2jednak dvostrukoj vrednosti pritiskap1(p2 = 2p1),odstojanje rezultante u drugom slucaju (e2) iznosi:0 (nula) e1/6 e1/3 e1/2 e1b/6 b/27.1.3Kocka, napravljena odmaterijala gustinek,plivanapovrsini vodetakodajeuronjenadopolovine. Duzinaivicekockeje a. Odnosgustina kocke (k) i vode (v) je:kv= n3334 7. Prakticni zadaciKonstantan ima vrednost:14121121327.1.4Posmatraju se dve suplje lopte razlicitih precnika (D1 = 3D2), ispu-njene vazduhom. Svaka lopta je usidrena posebnim vertikalnimstapomza dno rezervoara ispunjenog tecnoscu gustine1 od dna do polovine,i tecnoscugustine2odpolovinedovrha. Tezistaobeloptesunapolovini dubinerezervoara (uravni spoja dvetecnosti) i obesupot-punopotopljene. Sopstvenetezine lopti suzanemarljive. OdnossilaF1 (sila u stapu kojim je ksirana lopta precnika D1) i F2 (sila u stapukojim je ksirana lopta precnika D2) je:F1F2=7.1.5Nekaotvorena posudanapunjenajedo polovinevisine vodom(gus-tine 1), aiznadvode je drugatecnost gustine 2, laksaodvode(2 < 1). Za dno posude ucvrscen je vertikalni stap na kome se nalazisferapostavljenatakodajojjecentaruravni izme duvodei gornjetecnosti. Loptajepotpunopotopljena. Pri posmatranomstanjuiodnosu gustina vode, gornje tecnosti i materijala od koga je nacinjenasfera, ustapusejavljasilazatezanja. Akoseusuddolijetecnostgustine2, desice se sledece:1. intenzitet sile zatezanja u stapu ce se povecati;2. intenzitet sile zatezanja u stapu ce se smanjiti;3. intenzitet sile zatezanja u stapu ce ostati nepromenjen.7.1.6Na dva paralelna zida otvorenog rezervoara ispunjenog vodom nalazese ispupcenje i udubljenje u obliku polucilindra jedno prema spolja-snjosti, adrugopremaunutrasnjosti rezervoara. Polucilindri sujed-nakihdimenzijatakvi daimjeprecnikosnove(D)jednakvisini.Osovineovihpolucilindarasuhorizontalnei nalazesenajednakimrastojanjima (2D) od slobodne povrsine.Na osnovu prethodnog mozese zakljuciti sledece:1. horizontalne komponente hidrostaticke sile na omotace oba polu-cilindra su jednakog intenziteta ali suprotnog smera;7.2. Otporitrenja ucevima 352. horizontalne komponente hidrostaticke sile na omotace oba polu-cilindra ne zavise od rastojanja ose polucilindra do pijezometarskekote;3. vertikalnekomponentehidrostatickesilenaomotaceobapolu-cilindra ne zavise od rastojanja ose polucilindra do pijezometarskekote.7.2 Otporitrenjaucevima7.2.1Posmatra se tecenje jednog uida kroz odre denu cev kruznog poprec-nog preseka. Za brzine manje od 0.2 m/s ustanovljeno je da se ostva-rujelinearan zakon otpora (nagib linije energijeproporcionalan jesabrzinom). Zaistu cevi isti domenbrzina,azadrugi uid, koji imaveci kinematski koecijent viskoznosti, moze se tvrditi sledece:1. ostvaruje se, tako de, linearan zakon otpora;2. koecijent trenja () ima konstantnu vrednost;3. strujanje je laminarno.7.2.2U cevi (konstantnog, kruznog preseka) izme du dva rezervoara ostva-rujeselaminarnoustaljenotecenje. Cevjevelikeduzinetakodaselokalnigubici, naulazuucevi izlazuizcevi, moguzanemariti. Prinekoj razlici nivoa u rezervoarima (1) kroz cev protice protokQ1.Akoserazlikanivoa poveca dvaputa, tj.2=21, iakosepouspostavljanju ustaljenog tecenja protoka Q2 i dalje odrzava laminaranrezim tecenja, tada je:Q1 = Q2Q1 > Q2Q2 = 2Q1Q2 =2Q17.2.3Posmatra se tecenje u cevi kruznog poprecnog preseka i to za uslovepod kojima se koecijent trenja moze denisati sa: = 0.115_kD_1/4gdeje: k=apsolutnahrapavosti D=precnikcevi. Upore dujuselinijski gubici na odre denoj duziniL u cevima precnikaD1 iD2. Obecevi suodistogmaterijala, dakle, imajuistuapsolutnuhrapavost.Krozobecevi proticeisti protok, odnosnoQ1=Q2=Q. Odnos36 7. Prakticni zadacigubitaka energije Eizg1(u cevi precnika D1) i Eizg2(u cevi precnika D2)je:Eizg1Eizg2=_D1D2_xgde je eksponentx jednak:4 214 2 0 221447.2.4U jednoj odre denoj cevi kruznog preseka i konstantnog precnika, nagibpijezometarskelinijeIzaobavljeneopiteustaljenogtecenjabiojesrazmeran sa v1.9(v = srednja brzina kroz presek cevi). Ovo znaci dasu obavljeni opiti bili u oblasti:1. laminarnog tecenja;2. turbulentnog tecenja u hrapavoj cevi.7.2.5Krozdvecevi odistogmaterijala i istogprecnikaproticeisti uid.Srednjabrzinauidaucevi (I)jedvaputavecaodsrednjebrzineuidaucevi (II).Tecenje jelaminarno. Tangencijalni naponizme duuida i zida cevi u cevi (I) je:I = KIIgde jeKjednako:0.25 0.5 1.0 1.5 2.0 4.07.2.6Eksperimentalnim ispitivanjem zavisnosti koecijenta tangencijalnognapona(C) jedne odre dene cevi date duzine pri strujanjujednogodre denog uida, utvr deno je da se isti smanjuje sa povecanjem brzinedo neke vrednosti (v0) posle cega ostaje konstantan. Kad se brzina ucevi poveca tako da je v = 3v0, izgubljena energija (Eizg) u cevi ce bitiu sledecem odnosu prema izgubljenoj energiji (Eizg)0za slucaj kad jev = v0:(Eizg)(Eizg)0= 3mgde je:m = 0 m = 2 1 < m < 2 m = 17.3. Otporioblika telai otporitrenja uzravnuplocu 377.2.7Tecenje jednoguida kroz odre denucev odvija se ulaminarnom re-zimu zabrzinemanjeodnekegranicne vrednosti (vgr). Posmatra seodnosizgubljenihenergijanaduzini Ltecevi, Eizg(v1)/Eizg(v2), zadve razlicite brzine: v1 = 0.25 vgr iv2 = 0.75 vgr. On iznosi:19131313 3 97.2.8Ukruznoj cevi laminarnotecenjeuidakinematskeviskoznosti 1odrzavasedobrzine v1. Krozdrugucevistihkarakteristika(istogprecnika i apsolutne hrapavosti), struji drugi uid kinematskog koe-cijenta viskoznosti 2, pri cemu je 21. U ovom slucaju laminarnostrujanje se odrzava do brzine uidav2. Moze se zakljuciti:v1 > v2v1 = v2v1 < v27.3 Otporioblikatelaiotporitrenjauzravnuplocu7.3.1Razmatrasedejstvovetranazgradu. Koecijent pritiskaCpimazaspoljasnju horizontalnu krovnu povrsinu vrednostCp= 0.4, dokje uunutrasnjosti zgrade pritisakpovecanuodnosunapritisakuneporemecenoj struji (Cp = 0.4). Zakljucuje se:1. vetar podize krov;2. vetar pritiskuje krov;3. rezultujuca sila dejstva vetra na krov jednaka je nuli.7.3.2Telo je uronjeno u neogranicenu struju nestisljivog uida, i na njeganailaziravnomernauidnastrujabrzinom: uprvomslucajuUI, audrugom slucajuUII(UII = 0.5UI). Koecijent otpora telaCFje kon-stantan. Sile otpora tela u prvom i drugom slucaju odnose se kao:FIFII= COdnosCje jednak14121 2 4 838 7. Prakticni zadaci7.3.3U vazdusnom tunelu se ispituje sila kojom vazdusna struja deluje naparabolicnu antenu. Konstatovano je da, pri odre denom polozaju an-tene, zabrzineveceodnekegranicnevrednosti (vgr)koecijentsileotpora oblika ostaje konstantan.Odnos sile otpora pri brzini vazdusnestruje tri puta vecoj od granicne (v = 3vgr) i sile otpora pri granicnojbrzini,F(3vgr)/F(vgr), iznosi:19131313 3 97.3.4Kruzni cilindarstojivertikalno(osnovai poklopacsuuhorizontal-nimravnima) uravnomernoj uidnoj struji horizontalnog pravca. Upocetku posmatranja cilindar je potpuno zatvoren i pritisak u njemu jejednak nuli.U jednom trenutku na prednjoj strani cilindra (okrenutojka struji) otvori se mali otvor.U odnosu na pocetno stanje:1. ukupna sila na omotac cilindra ce se povecati;2. ukupna sila na omotac cilindra ce se smanjiti;3. ukupna sila na omotac cilindra ce ostati nepromenjena.7.3.5Ravna ploca je uronjena u ravnomernu, neogranicenu struju nestislji-vog uida usmerenu paralelno sa plocom.Granicni sloj uz plocu lami-naran je celom duzinom ploce. Zadatak se smatra ravanskim. Duzinaploceupravcustrujanjaje L, asilatrenjaizme duplocei uidajeF(L). Za plocu istih karakteristika i iste sirine, ali duzine 0.25L, uro-njenu u istu struju uida (iste brzine, gustine i viskoznosti) sila trenjajeF(0.25L).Odnos sila F(L)/F(0.25L) jednak je:1161814121 2 4 8 167.3.6Posmatra se ravna ploca potopljena u ravnomernu struju tako da jeparalelna sa pravcem struje. Pravac struje je s leva na desno. Duzinaploce upravcustruje je L, azadatakje ravanski. Naodstojanjux1=L/2, pocevodlevogkrajaploce, granicni sloj jeturbulentani izmeren je tangencijalni napon1. Na desnom kraju ploce (x2 = L)tangencijalni napon2 bice:1. 2> 1;2. 2 = 1;3. 2< 1;7.4. Tecenjeukanalima 39i tvrdi se:4. na odstojanju x2 = L granicni sloj je laminaran;5. na odstojanju x2 = L granicni sloj je turbulentan.7.4 Tecenjeukanalima7.4.1U kanalu velike duzine i konstantnog nagiba dna, pri nekom protokuQ ostvaruje se dubina veca od kriticne. Posle postavljanja prepreke ipri istom protoku Q izmerena je, u poprecnom preseku kanala (m-m),dubina manja od kriticne. Presek (m-m) je veoma udaljen od ulaza iizlaza, tesedo njega nepronoseuticaji izazvani naulazuukanal ilina izlazu iz kanala. Moze se zakljuciti sledece:1. prepreka se nalazi uzvodno od preseka (m-m);2. prepreka je nizvodno od preseka (m-m);3. nizvodno od preseka (m-m) dubina nece biti veca od kriticne;4. nizvodno od preseka (m-m) ostvaruje se hidraulicki skok.7.4.2Kanal velike duzinei konstantnog poprecnogpresekanaodre denommestu menja nagib dna. Uzvodno od tog mesta nagib je I1, a nizvodnoI2. Odgovarajuce normalnedubinezajedanodre deni protok suh1ih2, gdeje h1>h2>hK(hK=kriticnadubinazazadati protok).Uticaji nizvodnog i uzvodnog granicnog uslova se ne prenose do mestapromene nagiba dna. Na mestu gde se menja nagib dna dubina jehc.Zakljucuje se:1. hc = hK ;2. hc = h1;3. hc = h2;4. h2< hc< h1 .7.4.3. Ukanalutrougaonog poprecnog preseka(sanagibom bokova1 : 1)ostvarujesejednolikotecenje. Pri normalnojdubini h1teceprotokQ1, a prinormalnoj dubini h2=2h1tece protokQ2. PrimenjujeseManning-ova formula i daje se odnos:Q2Q1= 2c40 7. Prakticni zadaciEksponentc jednak je:231 28337.4.4Dubina i brzina uzvodno od hidraulickog skoka su h1 i v1, a nizvodnood skoka su skokah2 i v2. Zakljucuje se:1. h1 +v212g= h2 +v222g ;2. h1 +v212g> h2 +v222g ;3. h1 +v212g< h2 +v222g .7.4.5Uprizmaticnomkanalu(obliki dimenzijepoprecnogpresekasenemenjajuduztoka), sakonstantnimnagibomdna, prijednolikomte-cenjuodre denogproticajauspostavilabi senormalnadubinahN, akriticnadubinaje hK. UpresekuI kanaladubinaje hI, anegdenizvodno, upresekuII, dubinaje hII. Izme dupresekaI i II linijanivoa je kontinualna.Ako jehI> hN> hK, onda je:1. hII< hI; 2. hII > hI ;3. hII = hI; 4. hII > hN ;5. hII< hN ; 6. hII > hK.7.4.6U kanalu pravougaonog poprecnog preseka,proizvoljne sirineb, pro-secna brzina jev = 1.6 m/s, a dubina 1.5 m.Tvrdi se:1. dubina je veca od kriticne;2. dubina je manja od kriticne;3. dubina je jednaka kriticnoj;4. tecenje je mirno;5. tecenje je burno.7.4.7U istom kanalu i pri istom proticaju posmatraju se dva slucaja hidra-ulickog skoka: sa dubineh1 nah2, i sa dubineh3 nah4. Dubinah3 jemanja odh1. Za dubinuh4 se tvrdi:h4< h2; h4 > h2 ; h4 = h2; h4 > h1.8Resenjatestovaiz1.dela1.1 1, 3, 41.2 x2 = 10m1.3 0.02 ms21.4 (0, r), (0, r)1.5 2, 31.6 1, 21.7 11.8 2 s1.9 (C, C)1.10 21.11 d11,13,d22,23,31,32,d331.12 2, 31.13 2, 31.14 1, 2, 3, 4, 51.15 1, 2, 3, 41.16 1, 2, 3, 5, 6, 71.17 3, 51.18 2, 31.19 0 (nuli)1.20 a) 2b) 31.21 34U00L0Nm2s11.22 21.23 0.06 kNm2s14142 8. Resenjatestova iz1.dela2.1 0.012 kgm3s12.2 12.3 1, 2, 3, 42.4 0.067 kgm3s12.5 1, 32.6 1, 32.7 2 dms12.8 1.442.9 0.024 kgm3s12.10 0 = px1+d21x22.11 2, 3, 42.12 1, 42.13 12.14 4F12.15 22.16 32.17 32.18 43.24 kN2.19 33.1 2, 3, 4, 5, 63.2 1, 2, 33.3 13.4 d11,13,d22, 23, 31,32,d333.5 1, 33.6 23.7bU3.8 12,13,21, 23, 31,32,d333.9 34.1 u

1 = 0, u

2 = 0, u

1u

2 < 04.2 u

1, u

24.3 Pt1> 04.4 1, 34.5 1, 2, 34.6 1435.1 27 puta5.2 1/25.3 1005.4 10 Nms15.5 2 ms25.6 55.7 8pmod5.8 37.015.9 35.10 78.125 dm3s15.11 2.40 m5.12 2 s15.13 10 kN5.14 0.25 kPa5.15 30 cm3s15.16 35.17 2, 35.18 16.1 1, 2, 36.2 2, 36.3 2U0/L6.4 U20/L26.5 16.6 1, 46.7 144 8. Resenjatestova iz1.dela7.1.1 27.1.2 e1/27.1.3 1/27.1.4 277.1.5 37.1.6 1, 37.2.1 1, 37.2.2 Q2 = 2Q17.2.3 21/47.2.4 svi ponu deni odgovori supogresni7.2.5 2.07.2.6 m = 27.2.7 1/37.2.8 v1> v27.3.1 17.3.2 C= 47.3.3 97.3.4 37.3.5 27.3.6 3, 57.4.1 1, 47.4.2 37.4.3 8/37.4.4 27.4.5 2, 4, 67.4.6 1, 47.4.7 h4> h2, h4 > h11Hidrostatika2.deoZADACIZadatak1.1. Plovak, kojisesastojiodvaljka(precnikadV=0.10 mi visinehV=0.10 m) i cevcice (precnika dC=0.02 mi visinehC=1.00 m), nalazi seuvodi gustine 1 = 1.0 kg/dm3. Valjak je is-punjentecnoscu gustine2= 1.2 kg/dm3,acevcicajeispunjenavazduhom. Uticajdebljinezidaplovkanahidrostatickesilese zanemaruje. Pri datim uslovima valjakjepotpunopotopljen uvodu, a samo deocevcice je iznadnivoavode. Sopstvenatezina praznog plovka je GP= 1.0 N.Odrediti koliki deovisinecevcice(hC)senalazi u vodi.Resenje. Visina dela cevcice koji se nalazi u vodi,hC, odre duje se iz uslova ravnoteze svih sila:GP + G2 PZ1 + PZ2 = 0Tezina tecnosti u valjku iznosi:G2 = 2g d2V4hV = 1.2 103 9.81 3.14 0.1240.1 = 9.25 NHidrostaticke sile koje deluju na donju (PZ1) i gornju (PZ2) osnovu valjka su:PZ1= 1g d2V4(hV +hC) = 1 103 9.81 3.14 0.124(0.1 + hC) =4546 1. Hidrostatika=77.05(0.1 + hC)PZ2= 2g (d2Vd2C)4hC ==1 1039.81 3.14(0.120.022)4hC = 73.97hCU gornjim izrazima, vertikalna komponenta hidrostaticke sile je racunata kaoPZ = gVgde je gustina uida koji je u kontaktu sa povrsinom na koju seracuna komponenta sile, aVje zapremina tela izme du povrsine na koju seracuna sila i njene projekcije na horizontalnu ravan na visini pijezometarskekote. Trazena visina dela cevcice koji se nalazi u vodi je:hC =1.0 + 9.25 77.05 0.1077.05 73.97= 0.826 mZadatak1.2 Otvoreni rezervoarispunjenjeuidomnepoznategusti-ne2 i vodom gustine1 = 1.0 kg/dm3. U rezervoar je uronjen valjak gu-stine 3= 0.4 kg/dm3koji moze dase krece bez trenja duz vertikalne o-sovine O. Poluprecnik valjka je r =0.5 m, a visina h = 2.5 m. Na slicije prikazanpocetni polozaj valjka(prikome je njegovatezinauravnotezi sahidrostatickimsilama). Odrediti silu ko-jom treba delovati na valjak da bi se on,u odnosu na pocetni polozaj, spustio zaZ=0.50 m. Zanemariti dimenzijeo-sovine i pretpostaviti da je rezervoar do-voljno velike zapremine da se pri pome-ranju valjka ne menjaju nivoi uida.Resenje. Tezina valjka i sila potiska (vertikalna komponenta hidrostatickesile) na njega su:G = 3gr2h PZ = 1gr2(11.00)Iz uslova ravnoteze ovih sila odre duje se pijezometarska kota za vodu 1:47G = PZ1=3h1+ 1.00 ==0.4 2.51.0+ 1.00 = 2.00 mGustina drugog uida odre duje se pomo-cu pritiska u zajednickoj tacki A:pA = 1g(1ZA) = 2g(2ZA) 2 = 1.0 2.00 1.202.20 1.20 = 0.8 kg/dm3Navaljaktrebadelovatisilom kojajejednakaodgovarajucoj promenisilepotiska:F= PZ = 1gr2Z = 1.0 9.81 3.14 0.52 0.50 = 3.85 kNZadatak1.3. Za dno otvorenog rezervoara, ispunjenog vodom gustine1 = 1.0 kg/dm3, pricvrscena je, preko opruge krutosti k = 4.5 kN/m, kupagustine 3= 0.5 kg/dm3. Ova kupa,visine h =1.50 m, okrenuta je vrhomnadole, takodajoj jeosnovaprecnikad=1.25 mizvanvode. Pri stanjupri-kazanomnaslici, kadajenivovodenanepoznatoj koti Z0, sila u opruzi jednakajenuli. Odrediti zakolikocesepodicikupa(odnosno istegnuti opruga) ukolikose u rezervoar sipa ulje gustine 2=0.85 kg/dm3takodanivouljadostignekotu osnove kupe. Pretpostaviti da je re-zervoardovoljnovelikezapreminedasepri podizanju kupe ne menja nivo vode.Resenje. Tezina kupe i sila potiska na nju su:G= 3g12d2h = 0.5 9.8112 1.252 1.50 = 3.009 kN48 1. HidrostatikaPZ= 1g12_Z0 1.00h_2d2(Z0 1.00) ==1.0 9.81 12_Z0 1.001.50_21.252(Z0 1.00)=1.784(Z0 1.00)3Iz uslova ravnoteze ovih dveju sila odre duje seZ0:G = PZ Z0 =3_3.0091.784 + 1.00 = 2.19 mAko se ulje dolije do kote 2 = 2.50+Z(gde je Z istezanje opruge), tada je:2 =p02g + Z0p0 = 2g(2.50 + Z Z0)Pijezometarska kota za vodu 1 odre dujese pomocu pritiska u zajednickoj tacki nakontaktu vode i ulja:1 =p01g + Z0 =0.851.0(2.50 + Z 2.19) + 2.19 = 0.85 Z + 2.454Sila potiska na deo kupe koji je u vodi je:PZ1 = 1g_d212_Z0 1 Zh_2(Z01 Z)++d24_Z01 Zh_2(1Z0)_Sila potiska na deo kupe koji je u ulju je:PZ2 = 2g_d2h12d212_Z01 Zh_2(Z0 1 Z)d24_Z0 1 Zh_2(2Z0)_Sila kojom opruga vuce kupu je:F= k Z49Trazeno rastojanje Zodre duje se iz uslova ravnoteze svih sila:G+ F= PZ1 + PZ2Zamenom odgovarajucih brojnih vrednosti dobija se jednacina:(Z)33.59 (Z)2+ 21.18 Z 9.60 = 0 (1.1)Analiticko resenje jednacine oblika x3+Ax2+Bx+C= 0 dobija se smenomt=x + A/3, odnosnosvo denjemnajednacinuoblikat3+ 3t + 2=0.Koecijenti i diskriminanta ove jednacine su: = A2+ 3B9 =2A39AB + 27C54 = 3+ 2Ukoliko je> 0, postoji samo jedno realno resenje:x = A3+3_ + +3_ adrugadvasukompleksna. Uslucajukadaje 0, postojetri realnaresenja:xi = A3+ 2cos_13 arccos_3_+ (i 1)23_(i = 1, 2, 3)Zavrednosti A= 3.59, B=21.18i C= 9.60dobijase =5.63i = 6.16, odnosno = 216.2 > 0, pa je:Z = (3.59)3+3_6.16 +216.2 +3_6.16 216.2 = 0.488 mJednacina (1.1) moze da se resi i nekim pribliznim (numerickim) postupkom,npr. metodom iteracije. Ovaj postupak1zasniva se na tome da se jednacinaoblika f(x) = 0 prepise u oblikux = (x), pa se zatim ponavlja rekurentnaformula x(i+1) = (x(i)). Dakle, jednacina (1.1) moze se prepisati u obliku:Z =9.60 (Z)3+ 3.59(Z)221.18odnosno:Z(i+1) =9.60 (Z(i))3+ 3.59(Z(i))221.181Potrebanuslov za konvergencijuovogpostupkaje da u nekomintervalu za vrednostix(uokvirukogasebiraivrednostzaprvuiteracijux1),bude | d/dx | < 1 .50 1. Hidrostatikagdejeiredni brojiteracije. AkoseuprvomkorakuuzmeZ(1)=0,dobija se:Z(2) =9.6021.18 = 0.453Z(3) =9.60 0.4533+ 3.59 0.453221.18= 0.484Z(4) =9.60 0.4843+ 3.59 0.484221.18= 0.488Daljimponavljanjemmozesepokazati dapostupakkonvergiravrednostiZ = 0.488 m.Zadatak1.4. Zatvo-reni rezervoar delimicnoje ispunjen vodom gustine =1.0 kg/dm3. Pritisakna otvorenom manometruiznosi pM=9.81 kPa.Odrediti staticke uticaje(M, T, N) u preseku AApregradnog zida.Zadatakje ravanski (racunati na1 m duzine zida).Resenje. Pijezometarska kota za vodu sa leve strane pregradnog zida, 1,moze se odrediti iz osnovne jednacine hidrostatike za tacku na visini na kojojse nalazi manometar (ZM):1 =pMg+ ZM =9.811.0 9.81 + 1.00 = 0.00 mPritisak na povrsini vode sa leve strane zida (u tacki B) je:pB = g(1 ZB) = 1.0 9.81(0.0 4.0) = 39.24 kPaOvaj pritisak jednak je pritisku vazduhapVAZD, odnosno jednak je pritiskuna povrsini vode sa desne strane zida (pB = pVAZD = pC), pa je:2 =pCg + ZC =39.241.0 9.81 + 1.00 = 3.00 m51Na delu na kome je vazduh sa obe strane zida (desno od racve i na levom deluiznad kote 4 m), sile kojima vazduh deluje na zid me dusobno se ponistavaju.Opterecenja na ostale delove zida su racunata kao za ravanski zadatak i to:horizontalna opterecenja prema izrazuPX = gXL, gde je X po-vrsina dijagrama visine pritiska (tj.dijagrama opterecenja kod koga jeapscisap/g, a ordinata Z) iL duzina zida,vertikalna opterecenja prema izrazuPZ=gZL, gdeje Z povr-sina ome dena konturom na koju se odre duje sila, njenom projekcijomnahorizontalnuravannavisinipijezometarskekoteiodgovarajucimvertikalnim izvodnicama.PX1= 1.0 9.81 4.02/2 = 78.48 kN/mPX2= 1.0 9.81 3.0 1.0 = 29.43 kN/mPX3= 1.0 9.81 1.02/2 = 4.90 kN/mPX4= 39.24 3.0 = 117.72 kN/mPZ1= 39.24 2.0 = 78.48 kN/mPZ2= 1.0 9.81 2.0 3.0 = 58.86 kN/mStaticki uticaji u preseku AA su:MAA=4

i=1PXiZi +2

i=1PZiXi = 78.48 2.667 + 29.43 0.50 ++ 4.90 0.667 + 117.72 2.50 ++ 78.48 1.00 58.86 1.00 = 122.62 kNm/mTAA=4

i=1PXi = 78.48 + 29.43 + 4.90 + 117.72 = 73.57 kN/mNAA=2

i=1PZi = 78.48 58.86 = 19.62 kN/mProracun opterecenja mogao bi se pojednostaviti ako bi se pre proracuna silasabrali dijagrami svih horizontalnih odnosno vertikalnih opterecenja. Ovakodobijeno rezultujuce opterecenje ekvivalentno je onome koje bi delovalo kadabiposmatrani rezervoarbio otvoren,odnosnokadabipijezometarske kotebilenanivoimavode. Utomslucajupotrebnojeracunati svegatri sile(umesto sest).52 1. HidrostatikaSrafura na dijagramima Xi Zukazujena smer delovanja odgovarajucihsila2.Zadatak 1.5. Ustava napravljena od materijala gustine U = 7.0 kg/dm3svojim gornjim krajem okacena je o zglob duz ose cija je projekcija tacka O,a donjim krajem je slobodno oslonjena na dno rezervoara.Zadatak je ravan-ski. Sa obe strane ustave nalazi se voda gustineV = 1.0 kg/dm3. Odrediti2Naslikamasunacrtani pravi smerovi delovanjasila. Znakuizrazimazasileoznacavadaje hidrostatickipritisak utoj tackinegativan,odnosnodaje sila usmerenaodkonturenakojudelujekatecnosti(uidpovlacikonturu). Obrnuto,pozitivanznaksileznaci dajehidrostaticki pritisakumerodavnoj tacki pozitivan, odnosnodasilapritiskakonturu. Ovakvakonvencijausvojenajejeruuidunepostojenegativni naponi (naponizatezanja)paninegativnipritisci. Najnizi pritisak(apsolutni)uuidujepaps,min= 0 Pa,dokjenajnizihidrostatickipritisak:pmin= paps,min patm= patm= 100 kPa(posto je usvojenoda je hidrostaticki pritisak vode nulakada je paps= patm). Naglasavasedajeovakonvencijarazlicitaodkonvencije oznakupresecnihsilakojajeusvojenaupredmetuOtpornost materijala(. . . Normalnasilaje pozitivna ako zateze svojupresecnuravan. Transverzalnasilajepozitivnaakoobrceelementgredeusmeruobrtanjakazaljkenasatu. . . ,V.Brcic, Otpornostmaterijala,1978), odnosnodatedvestvarinetrebamesati.53potrebnu de-bljinu ustaveiz uslova dase onapodize(obrtanjemo-ko ose zgloba)tekkadanivovode levo odustave padneispodprikaza-nog, za kogaje dubina vodeH = 3.0 m.Resenje. Sile koje deluju na ustavu su:PX1= PZ1= 1.0 9.81 3.02/2 = 44.14 kN/mPX2= PZ2= 1.0 9.81 4.02/2 = 78.48 kN/mPX3= PZ3= 1.0 9.81 1.0 4.0 = 39.24 kN/mTezina ustave po 1 m duzine je G = 7.0 9.8142 = 388.46 , gde je debljina ustave. S obzirom da je nepoznata velicina, odredice se iz uslovada je suma momenata svih sila oko tacke O jednaka nuli:M(O) = 0 44.14 3.0 + 78.48 2.667 + 39.24 2.0 54 1. Hidrostatika 44.14 3.0 + 78.48 2.667 + 39.24 2.0 388.46 2.0 = 0 = 0.40 mZadatak 1.6. Armiranobetonski zidpoprecnogpreseka kao naslici pregra dujeotvoreni rezervoar na dva dela. Sa levestranezidanalazesetecnosti gustina1=0.8 kg/dm3i 2=1.2 kg/dm3, asadesnestranejetecnostgustine3=0.8 kg/dm3.Visina koju pokazuje zivin manometar jeHZ= 0.034 m. Gustine betona i zivesu B=2.5 kg/dm3i Z=13.6 kg/dm3.Zadatakjeravanski, aduzinazidaje5 m.Sracunati nivo sa desne strane zida, a zatimodrediti staticke uticaje (M, T, N) u presekuAA (u kome je zid ukljesten).Resenje. Pijezometarskekotezasvetec-nosti odre duju se pomocu pritisaka u zajed-nickim tackama:pC= 1g(1ZC) = 0.8 9.81 (6.00 3.00) = 23.54 kPa2=pC2g + ZC =23.541.2 9.81 + 3.00 = 5.00 mpD= 2g(2ZD) = 1.2 9.81 (5.00 + 0.034) = 59.26 kPaZ=pDZg + ZD =59.2613.6 9.81 + (0.034) = 0.410 mpE= Zg(Z ZE) = 13.6 9.81 (0.410 0.00) = 54.72 kPa3=pE3g + ZE =54.720.8 9.81 + 0.00 = 6.973 mSile koje deluju na zid su:PX1=0.8 9.81 5.0 3.02/2 = 176.6 kNPX2=1.2 9.81 5.0 2.0 3.0 = 353.2 kNPX3=1.2 9.81 5.0 3.02/2 = 264.9 kNPX4=0.8 9.81 5.0 6.9732/2 = 954.0 kNPZ1=0.8 9.81 5.0 0.743 2.973/2 = 43.3 kNPZ2=0.8 9.81 5.0 1.0 2.973 = 116.7 kNPZ3=0.8 9.81 5.0 1.0 4.0/2 = 78.5 kN55Tezina zida je:G = 2.5 9.81 5.0 1.0 8.0/2 = 490.5 kNStaticki uticaji u preseku AA su:MAA= 176.6 4.00 353.2 1.50 264.9 1.00 ++ 954.0 2.324 43.3 0.752 + 116.7 0.50 ++ 78.5 0.333 490.5 0.333 = 604.6 kNmTAA=176.6 + 353.2 + 264.9 954.0 = 159.3 kNNAA= 43.3 + 116.7 + 78.5 490.5 = 338.6 kNZadatak 1.7. Na vertikalnom zidu otvorenog rezervoara nalazi se ustavaoblikajednakokrakogpravouglogtrougla, kojasesastoji izdvadela1(trapez)i2(trougao). Ukupnavisina ustavejeH=6.0 m. Rezervoarjeispunjenvodomgustine = 1.0 kg/dm3, takodajeslobodnapovrsinanavisini gornjeg dela ustave.Odrediti rastojanjeZ(visinutrapeznog dela ustave) takoda intenziteti hidrostatickihsila na delove 1 i 2 budu jed-naki, azatimodrediti tesile(intenzitet, pravac i polozaj)za svaki deo posebno.56 1. HidrostatikaResenje. Horizontalnekomponentehidrostaticke sileracunajusepremaizrazuPX=ghTA, gdeje Apovrsinaprojekcijekonture(nakojuseodre dujesila) navertikalnuravanupravnunapravacXi hTvertikalnorastojanje tezista povrsine A od pijezometarske kote.PX1 = gZ22(H Z)Z + 2Z3Z22Z(2H Z)Z(2H Z) = g Z2(3H 2Z)3PX2 = g [Z + 13(H Z)] (H Z)2= g (2Z + H)(H Z)23PX1 = PX2 Z3+ 3H2Z2+H34= 0 Z39Z2+ 54 = 0Koecijenti i koji se dobijaju redukcijom ove jednacine3su: = [(9)2+ 3 0]/9 = 9 = [2 (9)3 9 (9) 0 + 27 54]/54 = 0pa je = 729 < 0 i postoje tri realna resenja:Zi = 3 + 6 cos_132 + (i 1)23_(i = 1, 2, 3)Z1 = 8.20 m Z2 = 2.20 m Z3 = 3.00 mpri cemu ocigledno samo poslednje resenje zicki ima smisla (0 < Z3< H).Dakle:Z = Z3 = 3.00 mIntenziteti sila su:PX1 = 1.0 9.81 3.02(3 6.0 2 3.0)3= 353.16 kN = PX2Sopstveni momenti inercije za pojedine delove ustave su:IY Y 1 =16Z3(2H +Z) _Z(3H 2Z)3(2H Z)_2Z(2H Z) = 19.50 m43Videtiobjasnjenjenastrani49.57IY Y 2 =1362(H Z)(H Z)3= 4.50 m4Ekscentriciteti sila su:eZ1 = gIY Y 1PX1= 1.0 9.81 19.50353.16= 0.542 meZ2 = gIY Y 2PX2= 1.0 9.81 4.50353.16= 0.125 mZnakugornjimizrazimaozna-cava dasenapadnetacke sila nalazeispododgovarajucih tezista nanave-denim rastojanjima, sto je slucaj kadajepritisakutezistu pozitivan. Obr-nuto, kadaje pritisakutezistune-gativan, napadnatackasilejeiznadtezista narastojanjujednakompozi-tivnomekscentricitetu(znakekscen-tricitetajevezanuzusvojeni poziti-vansmer Z-ose koji je usmeren nagore, pocev od tezista).Zadatak 1.8. Zatvorenirezervoar potpuno je ispu-njentecnostimagustina1=1.0 kg/dm3i2 = 0.8 kg/dm3.Manometar, koji senalazi narastojanju od 0.50 mispod dnarezervoara, pokazuje pritisakpM= 14.715 kPa. Odreditiukupnu hidrostaticku silu kojadeluje na deo rezervoara desnood preseka AA.Resenje.1 =pM1g + ZM =14.7151.0 9.81 + (0.50) = 1.00 m58 1. HidrostatikaPosto je pijezometarska kota 1 u zajednickoj tacki obeju tecnosti, pritisakuovoj tacki jednakjenuli,paje2= 1= 1.00 m. Horizontalne silenaomotac su:PX1=1.0 9.81 0.50 2.0 1.0 = 9.81 kNPX2=0.8 9.81(0.50)2.0 1.0 = 7.85 kNPXR=9.81 7.85 = 1.96 kNIY Y 1= IY Y 2 = 2.0 1.03/12 = 0.167 m4eZ1= 1.0 9.81 0.1679.81= 0.167 meZ2= 0.8 9.81 0.1677.85= 0.167 mIz uslova jednakosti sume momenata svih horizontalnih sila i momenta rezul-tujuce horizontalne sile odre duje se njena napadna tacka:ZR =9.81 0.333 7.85 1.6671.96= 5.00 mVertikalne sile su:PZ1=1.0 9.81 1213 2.02 1.0 = 6.54 kNPZ2= 0.8 9.81 1213 2.021.0 == 5.23 kNPZR=6.54 + 5.23 = 11.77 kNObe vertikalne sile deluju u tezistima odgovarajucihpolupiramida, odnosno na (horizontalnom) rasto-janjuXR=0.25 m odpresekaAA.Ukupnarezul-tanta i njen nagib (u odnosu na horizontalu) su:R =_1.962+ 11.772= 11.93 kN = arctg 11.771.96= 80032

Zadatak1.9. Zatvoreni rezervoar potpuno jeispunjentecnostima gu-stina1=1.0 kg/dm3i 2=0.7 kg/dm3. Nivo upijezometrujenanivouzajednicke tacke dve tecnosti. Odrediti ukupnu hidrostaticku silu koja delujena slozeno telo sastavljeno od polukupe, poluvaljka i cetvrtine lopte.59Resenje. Akosezareferentannivo(Z=0)usvojidnorezervoara, oci-gledno je 1 = 2 = 4.0 m.Horizontalne sile na pojedine delove slozenog tela su:PX1=1.0 9.81_1.0 + 4 1.53 _12 1.52 = 56.74 kNPX2=1.0 9.81 0.5 3.0 1.0 = 14.72 kNPX3=0.7 9.81 (0.5) 3.0 1.0 = 10.30 kNPX4=0.7 9.81_1.0 + 1.53_12 3.0 1.5 = 23.18 kNOdgovarajuci ekscentriciteti su:eZ1= 1.0 9.8156.74_ 3.04128_4 1.53 _212 1.52_== 0.096 meZ2= 1.0 9.8114.723.0 1.0312= 0.167 meZ3= 0.7 9.8110.303.0 1.0312= 0.167 meZ4= 0.7 9.8123.183.0 1.5336= 0.083 m60 1. HidrostatikaUkupna horizontalna sila i polozaj njene napadne tacke su:PXR=56.74 + 14.72 10.30 23.18 = 37.98 kNZR=[ 56.74 (3.0 0.637 0.096) + 14.72 (4.0 0.50 0.167) 10.30 (4.0 + 0.50 + 0.167) 23.18 (5.50 + 0.083) ] /37.98 = 0.005 mVertikalne sile su:PZ1=1.0 9.81 14 3.036= 34.67 kNPZ2=1.0 9.81 12 1.52 1.0 = 34.67 kNPZ3= 0.7 9.81 12 1.52 1.0 = 24.27 kNPZ4= 0.7 9.81 12 3.021.512= 12.13 kNRastojanja tezista odgovarajucih tela optere-cenja (zapremina) od vertikalnog zida su:X1=3 1.58= 0.562 mX2= X3=4 1.53 = 0.637 mX4=1.5= 0.477 mUkupnavertikalnasilai polozaj njene na-padne tacke su:PZR=34.67 + 34.67 + 24.27 ++ 12.13 = 105.74 kNXR=(34.67 0.562 + 34.67 0.637 + 24.27 0.637 ++ 12.13 0.477) / 105.74 ==0.594 mUkupna rezultanta i njen nagib (u odnosu na horizontalu) su:R =_37.982+ 105.742= 112.35 kN = arctg37.98105.74 = 70015

61Zadatak1.10. U otvorenom rezervoaru nalazi se voda gustine0=1.0 kg/dm3. Kruti nosaczanemarljivetezinemozedaseobrcebeztrenja oko ose u tacki O. Sa jedne strane nosaca je kupasti zatvarac gustine1= 2.5 kg/dm3, precnikaosnove dZ= 1.0mi visinehZ=1.0 m, koji zatvaraot-vorprecnikadO=0.5 m. Sadruge strane nosaca je valjka-sti plovak precnika dP = 1.0 mi visinehP=1.5 m. Nasli-ci je prikazan pocetni nivo vo-de.Odrediti gustinu plovka 2iz uslova da se zatvarac otvo-ri ukoliko se nivo vode u sudupodigne iznadpocetnog sta-nja.Resenje. Tezina zatvaracaje:G1 = 1g d2ZhZ12= 2.5 9.81 1.021.012= 6.421 kNHorizontalna hidrostaticka sila na deoomotaca kupekoji je uvodi, cija jevertikalna projekcija kruzni prsten spoljasnjeg precnika dZ i unutrasnjeg dO),ponistava se sa delom sile na osnovu kupe cija je projekcija isti prsten, takoda je ukupna horizontalna sila:PX= 0ghTd2O4= 1.0 9.81 1.5 0.524= 2.889 kNEkscentricitet ove sile je:eZ= 1.0 9.812.889 0.5464= 0.010 mVertikalna sila na gornji deo zarubljene kupeponistava se sa delom sile nadonji deo, tako da je ukupna vertikalna sila na zatvarac:PZ1= 0g12 (d2ZhZd2OhO) ==1.0 9.8112 (1.021.0 0.520.5) = 2.247 kN62 1. HidrostatikaPolozaj napadne tacke ove sile je:X1 =1.041.03(0.5 +0.54) 0.531.03 0.53= 0.196 mVertikalna sila na plovak je:PZ2 = 0gd2P41.0 = 1.0 9.81 0.52 1.0 = 7.705 kNTezina plovka je:G2 = 2gd2P4hP = 2 9.81 0.52 1.5 = 11.557 2Gustinaplovkaodre dujeseizuslovadajesumamomenatasvihsilaokotacke O jednaka nuli:M(O) = 0 6.421 0.25 2.247 0.196 2.889 2.010 11.557 2 2.0 + 7.705 2.0 = 0 2 = 0.466 kg/dm32TecenjepodpritiskomZadatak2.1. Kroz sistemprikazan na slici ostvaruje se proticajQ = 35 l/s, odnosno u rezervoar R utice ista kolicina vodeQ koja iz njegai istice1. Odrediti silupritiskakojomvazduhdeluje nakruzni poklopacrezervoara cilindricnog oblika, precnika5 m. Nacrtati upogodnojrazmerienergetsku i pijezometarsku liniju.Resenje. Energetska (Bernoulli-jeva) jednacina za presek u rezervoaru Ri izlazni presek IZL (kroz koji voda istice) glasi:ER = EIZL + ERIZL(2.1)Rezervoarjerelativnovelikogpoprecnogpreseka, pasebrzinskavisinau1Ovapretpostavkagarantujeustaljenotecenjeivazizasvezadatkeuovompoglavlju.Ukoliko ona nije eksplicitno naznacena na slici (kao u ovom zadatku), pretpostavlja se da jerezervoar dovoljnovelike zapremineda je promenanivoa u njemu kroz vreme zanemarljivomala.6364 2. Tecenjepodpritiskomnjemu moze zanemariti, odnosno energetska kota (u rezervoaru) priblizno jejednaka pijezometarskoj koti:ER = R +v2R2g R(2.2)Pijezometarskakotauizlaznompreseku(gdevodaslobodnoisticepunimpresekom) nalazi se u tezistu preseka (posto je pritisak u svim tackama poobimu mlaza jednak nuli) pa je energetska kota u tom preseku:EIZL = IZL +v222g= 8.00 +v222g(2.3)gde je v2 brzina vode u cevi precnika d2.Izgubljena energija izme du presekaR i IZL je:ERIZL =v212g_UL +Z +18.0D1_+v222g_K +210.02+ 2.02D2_(2.4)Brzine vode kroz pojedine cevi su2:v1 =4 0.0353.14 0.152= 1.98 m/s v2 =4 0.0353.14 0.102= 4.46 m/s(2.5)Zamenom (2.2), (2.3), (2.4) i (2.5) u polaznu jednacinu (2.1) dobija se:R=8.00 + 1.98219.62_0.5 + 2 + 0.022 8.00.15_++ 4.46219.62_1 + 0.1 + 0.02510.200.10_= 12.43 mBrzinske visine su3:v212g=1.98219.62 = 0.200 mv222g=4.46219.62 = 1.012 m2Brzinevodeseizrazavajuu[m/s], i tozaokruzivanjemnadvadecimalnabroja, aliseproracunkrozzadatakuvekobavljasatacnimvrednostima. Sveovomozeimati zaposledicudaseponekadmnozenjemnapisanih(zaokruzenih)brojevanedobijanapisani(tacni)rezultat, vecvrednostkojabi, usledzaokruzivanja, bilaneznatnopogresna. Istanapomenavaziizabroj(= 3.1415926 . . .)3Rastojanjaseizrazavajuu[m], stimedasehorizontalnarastojanjapisusajednimdecimalnimbrojemavertikalnasadva(odnosno pri pisanjuse zaokruzuju). Brzinskevisinesepisusatri decimalnabroja,dabi seistaklodanjihtrebapisati saviseznacajnihcifarauciljusmanjivanjagreskeuproracunuukolikoseradi sazaokruzenimbrojevima(jersepriproracunupojedinacnihgubitakaodgovarajuci koecijentimnozesabrzinskomvisinom).65Na slici su prikazane4energetska i pijezometarska linija5.Naosnovujednacinemirovanjauida, pritisakvazduha(odnosnopritisakna povrsini vode) iznosi:pVAZ = g(R ZA) = 1.0 9.81(12.43 8.00) = 43.44 kPaTrazena sila na poklopac rezervoara je:F= pVAZAPOK = 43.443.14 5.024= 853.0 kN4Slikajenacrtanautzv.distordovanoj razmeri,odnosnorazmerazavertikalneduzinejevecaodrazmerezahorizontalne,stojeinaceuobicajenousistemimasaznatnovecimdimenzijamaujednompravcu(uovomzadatkujeRV= 2RH).5Uovoj Zbirci usvojenajekonvencijadaseenergetske linijecrtajuisprekidanom, apijezometarskepunomlinijom. Ovakavnacincrtanjausvojenjepoanalogijisaotvorenimtokovimagdejelinijanivoaistovremenoi pijezometarskalinija(punalinija), doksee-nergetskalinijacrtaisprekidano. Ovosenaglasavajerjeuprethodnoj zbirci (G. Hajdinsakoautorima, ZadaciizMehanikeuidasaispitaodrzanihu1974. i 1975. god.) biousvojenobrnutnacinobelezavanja.66 2. TecenjepodpritiskomZadatak 2.2. Voda istice iz rezervoara A kroz cev precnika d = 100 mm.Nakon izlaska iz rezervoara cev se racva u dva kraka (istog precnikad), odkojih se prva cev moze zatvoriti zatvaracem Z. Sracunati proticaje kroz sveceviakojezatvaracZotvoren(lokalni gubitaknanjemuiznosi Z=0.7)izataj slucaj nacrtati energetskeipijezometarske linijezasvecevi uod-govarajucoj razmeri. Izracunati za koliko ce sepromeniti proticajQ2krozgornju cev ako se zatvarac Z potpuno zatvori.Resenje. Energetska jednacina za presek A (u rezervoaru A) i izlazni pre-sekizgornjecevi, uzzanemarenjebrzinskevisineurezervoaru(odnosnoEA = A), glasi:67A = 8.00 +v222g +v202g_UL + 2.0d_+v222g_02R+ 2K +16.0d_v22 =19.62(11.00 8.00) v20(0.5 + 0.042.00.10)1 + 0.2 + 2 0.2 + 0.0416.00.10= 7.358 0.1625v20 (2.6)Energetska jednacina za presek u rezervoaruA i za presek u rezervoaruB(kroz prvucev),uzzanemarenjebrzinskihvisina urezervoarima (odnosnoEA = A,EB = B), glasi6:A = B +v202g_UL +2.0d_+v212g_01R+K +Z +10.0d+IZL_ v21 =19.62(11.00 6.00) v20(0.5 + 0.042.00.10)0.6 + 0.2 + 0.7 + 1 + 0.0410.00.10v21 = 15.09 0.20v20(2.7)Jednacina kontinuiteta za racvu glasi:Q0 = Q1 + Q2 v0 = v1 +v2 v20 = v21 + v22 + 2v1v2(2.8)Zamenom (2.6) i (2.7) u (2.8), sledi:v40 26.34v20 + 34.65 = 0 v20 = (26.34) _(26.34)2 4 1 34.652Jedino od cetiri resenja ove jednacine koje zicki ima smisla je:v0 = 5.00 m/sBrzine u cevima su:v1 =_15.09 0.20 5.002= 3.18 m/sv2 =_7.358 0.1625 5.002= 1.82 m/sPovrsina (svih) cevijeA=d2/4 =0.102 3.14/4 =0.007854 m2,pasuproticaji kroz pojedine ceviQi = viA:Q0 = 0.0392 m3/s Q1 = 0.0250 m3/s Q2 = 0.0143 m3/s6Kad voda utice u rezervoar kroz cev kao sto je to slucaj sa donjom cevi u ovom zadatku,tadajeizgubljenaenergijaupravojednakabrzinskoj visini naizlazu, odnosnoIZL=1.Ovajpodatakseuzadacimaobicnonezadaje,vecsepodrazumeva.68 2. TecenjepodpritiskomAko se zatvarac potpuno zatvori, tada jev

1 = 0 iv

0 =v

2, pa se jednacina(2.6) svodi na:A = 8.00 +v222g+v222g_UL +02R+ 2K +18.0d_v

2 =19.62(11.00 8.00)1 + 0.5 + 0.2 + 2 0.2 + 0.0418.00.10= 2.52 m/sTrazeno povecanje brzine u gornjoj cevi je (u procentima):v2 =2.52 1.821.82100% = 38.4%69Zadatak2.3. Proticaj namlazniciprikazanojnasliciodre dujesenaosnovu merenja razlike pritisaka zivinim manometrom. Pod pretpostavkomdaseupresecimaAiB(namestimagdejeprikljucen zivinmanometar)ostvaruje hidrostaticki raspored pritisaka (tj. da je pijezometarska kota kon-stantna za jedan presek) i da su strujnice me dusobno paralelne i upravne napresek, izracunati kotu do koje ce dostici mlaz (pretpostaviti da ce se mlazpopeti iznad otvora mlaznika za 90% brzinske visine mlaza).Resenje. Jednacine hidrostatike za tacke C i D glase:Z =pCZg +ZCZ =pDZg +ZD___ pC pD = Zgh (2.9)odnosno:A =pCVg + ZCB =pDVg +ZD___ AB =pCpDVg h (2.10)70 2. TecenjepodpritiskomZamenom (2.9) u (2.10) dobija se:A B =_ZV 1_h (2.11)Jednacina kontinuiteta glasi:Q1 = Q2 = Q3___v1 =_d2d1_2v2v3 =_d2d3_2v2(2.12)Energetska jednacina za preseke A i B glasi:A +v212g=B +v232g +110.0d1v212g +v222g_K + 210.0d2_++v232g_K + 310.0d3_A B=v212g(110.0d11) +v222g_K +210.0d2_++v232g_1 +K +310.0d3_(2.13)Zamenom (2.11) i (2.12) u (2.13), dobija se:v2=_19.62_13.61.0 1_0.80_0.150.20_4(1.25 1) + 0.3 + 1.8 +_0.150.10_4(1 + 0.3 + 3)==2.87 m/sProticaj kroz cevovod je:Q = 2.870.152 3.144= 0.051 m3/sBrzina na izlaznom delu mlaznice je:vML =_ 0.150.075_22.87 = 11.49 m/sMlaz ce se popeti do kote:KML = 25.0 + 0.911.49219.62= 31.06 m71Zadatak2.4. Na slici je prikazan vodovodni sistem na kome se proticajodre duje iz podataka o pritiscima u presecima neposredno uzvodno od kolenai iz poznatih geometrijskih i hidraulickih karakteristika cevi. Lokalni gubitaknaulazu ucevjezanemarljiv, kao ilokalni gubicinakolenima. Sracunatilokalni gubitak na zatvaracu (izraziti ga u odnosu na brzinsku visinu u cevinizvodno od zatvaraca), kao i kotu otvora cevi. U pogodnoj razmeri nacrtatienergetsku i pijezometarsku liniju.Resenje. Na osnovu poznatih pritisaka na manometrima u presecima uz-vodno odkolena, kao i njihovih polozajnih kota, preko osnovnih jednacinahidrostatike mogu se izracunati pijezometarske kote u tim presecima:M1 =pM1g+ ZM1 =251 9.81 + 110.00 = 107.45 m (2.14)M2 =pM2g+ ZM2 =501 9.81 + 100.00 = 105.10 m (2.15)Energetska jednacina za preseke u kojima je poznata pijezometarska kota je:M1 +v22g= M2 +v22g + 500.02+ 10.02dv22g(2.16)Zamenom (2.14) i (2.15) u (2.16) dobija se:v =_19.62(107.45 105.10)0.02500.02+10.020.2= 0.96 m/s72 2. TecenjepodpritiskomKoecijent lokalnog gubitka na zatvaracu odre duje se iz energetske jednacineza presek u rezervoaru (gde jeER = R) i presek M1:R = M1 +v22g +v22g_Z + 1000.0d_Z =19.62(113.00 107.45)0.9620.021000.00.20 1 = 16.9Kota otvora cevi odre duje se iz energetske jednacine za presek M2 i izlaznipresek7:M2 +v22g= ZOTV +v22g + 500.0dv22gZOTV = 105.10 0.02500.00.200.96219.62 = 102.74 m7Duzinacevi izme dunavedenihpresekaseaproksimirasa500 m, postojecevskorohorizontalna,atacnaduzinacevije500.02+ 2.742= 500.01 m.73Zadatak 2.5. Odreditisnagu turbine u sistemu prikaza-nom na slici, ako je precnik cevid = 100 mm, koecijent linijskihgubitaka = 0.025, a citanje nadiferencijalnom manometru (ra-zlika pritisaka) pM = 3.5 kPa.Resenje. Diferencijalnimanometar M meri razliku pri-tisaka izme du tacke u gor-njem rezervoaru R1 na koti 10.0(+strana)i presekaucevi nakoti 10.0 (strana), uz pret-postavkudasustrujniceucevipravolinijske i normalne na pre-sek, te da je odgovarajucapi-jezometarska kota (M) mero-davna za ceo presek. Utomslucaju,mozesenapisatislede-ce:M+=pM+g+ 10.00M =pMg+ 10.00___M= M+ pMg= 21.00 3.51 9.81 = 20.64 m (2.17)Energetska jednacina za presek u rezervoaru i presek cevi u kome je priklju-cen manometar (a u kome je pijezometarska kota M) glasi:21.00 = M +v22g +v22g(UL + 13.0d+ K) (2.18)Zamenom (2.17) u (2.18) dobija se:v =16.62(21.00 20.64)1 + 1 + 0.02513.00.10 + 0.5 = 1.10 m/s 74 2. TecenjepodpritiskomQ = 1.100.102 3.144= 8.67 103m3/sEnergetska jednacina za preseke u rezervoarima je:21.00 = 1.00 +v22g(UL + 26.0d+ 3K +IZL) + HTgde je HT razlika energetskih kota u presecima neposredno uzvodno i niz-vodno od turbine (uobicajeni termin je pad turbine), koji iznosi:HT = 21.00 1.00 1.10219.62(1 + 0.02526.00.10 + 3 0.5 + 1) = 19.38 mKonacno, snaga turbine je:NT = TgQHT = 0.8 1 9.81 0.00867 19.38 = 1.32 kWZadatak2.6. Posmatra secrpljenjevodeizrezervoaraA urezervoarB crpkomC1(prvi slucaj crpkaC2 je iskljucena i voda neprotice krozdonju cev). Za dato citanje na manometru M1 odrediti snagu crpke, ako jenjen koecijent korisnog dejstva = 0.80. Ukoliko se ukljuci i crpka C2 saistim koecijentom korisnog dejstva (drugi slucaj), pri cemu je sada citanjena manometru M2 isto kao na manometru M1 (a koje je ostalo neprome-njeno, odnosno kao u prvom slucaju), kolikom ce snagom raditi crpkaC1?Pretpostaviti da jekoecijenatcrpkeC1 ostao nepromenjen. Nacrtati upogodnoj razmeri pijezometarsku i energetsku liniju za prvi slucaj.75Resenje. Izcitanja namanometruM1odre dujeseprvopijezometarskakota na mestu gde je manometar prikljucen (presek 1):1 =pM1g+ZM1 =17.371 9.81 + 98.00 = 99.77 ma zatim se pomocu energetske jednacine za preseke u rezervoaru A i 1 racunaproticaj:A = 1 +v212g +v212g_UL + 110.0d1_v1 =19.62(100.00 99.77)1 + 0.5 + 0.0310.00.10= 1.00 m/sQ1 = 1.000.102 3.144= 7.85 103m3/sQ1 = Q2 v2 =_0.100.15_21.00 = 0.44 m/sZa sracunati proticaj, snaga crpke se racuna iz energetske jednacine napisaneza preseke u rezervoarima A i B:A=B +v212g_UL +K1 + 117.0d1_++v222g_R + K2 +IZL +22.0 +25.02+ 10.02d2_HC1gdejeHC1razlikaenergetskihkotaupresecimaneposrednonizvodnoiuzvodno od crpke (uobicajeni naziv je visina dizanja crpke), koja iznosi:HC1=110.00 100.00 + 1.00219.62_0.5 + 0.2 + 0.0317.00.10_++ 0.44219.62_0.3 + 0.1 + 1 + 0.0228.930.15_= 10.35 mSC1 =1gQ1HC1 =10.81000 9.81 0.00785 10.35 = 997 W76 2. TecenjepodpritiskomUslucajukadasuukljuceneobe crpke, krozdonjui gornjuceviduistiproticaji kao kroz gornju cev u prethodnom slucaju. Kroz gornju cev se nemenja proticaj jer je citanje na manometru M1 ostalo nepromenjeno. Krozdonju cev ide isti proticaj kao kroz gornju jer su cevi istog precnika, duzinei oblika, a manometar M2 je postavljen na mestu odgovarajucem onom nakomejepostavljenmanometarM1kodgornjecevi, pajepijezometarskakota za odgovarajuci presek donje cevi 2 = 1 = 99.77m.Proticaj i brzinakroz kosu cev je dva puta veci:Q

2 = 2Q2 v

2 = 2v2 = 2 0.44 = 0.89 m/s H

C1=110.00 100.00 + 1.00219.62_0.5 + 0.2 + 0.0317.00.10_++ 0.89219.62_0.3 + 0.1 + 1 + 0.0228.930.15_= 10.51 m S

C1 =1gQ

1H

C1 =10.81000 9.81 0.00785 10.51 = 1012 WDakle, da bi se trazeni uslov ostvario, potrebno je da se snaga crpke povecaza:SC1 =1017 997997100% = 1.5%77Zadatak 2.7. Zainstalacijuprikazanunaslici, izracunati kolikosepotrosi elektricne energije kojom se napaja motor crpke za 5 sati rada, uko-liko je momenat sile na osovini tocka (poluprecnikar = 1.0 m) konstantan iiznosiM= 800 Nm. Koecijent sile (odnosno odnos sile kojom voda delujenatocak i inercijalnesile naizlazu izcevi)iznosi CF=0.9 i onobuhvatasve gubitke usled trenja, razlike brzina tocka i vodenog mlaza i sl. SracunaticitanjenamanometruM1, koji senalazi neposrednouzvodnoodcrpke.Nacrtati u pogodnoj razmeri pijezometarsku i energetsku liniju.Resenje. Moment sile na osovini tocka jednak je proizvodu sileFkojomvoda deluje na tocak i kraka sile (poluprecnik tocka):M= F r = CFQvr = CFv2d224rIz ove jednacine dobija se:v2 =4 8000.9 1000 0.1023.14 1.0 = 10.64 m/sQ = 10.640.102 3.144= 0.0836 m3/sNa osnovu jednacine kontinuiteta je:v1 =_d2d1_2v2 =_0.100.25_210.64 = 1.70 m/sVisinadizanjacrpke HCodre dujeseizenergetskejednacinezapresekurezervoaru i izlazni presek:78 2. Tecenjepodpritiskom0.80 =2.00 +v222g +v212g_UL +K + 15.02+ 2.02+ 2.0d1_++v222g210.0d2 HCHC=2.0 0.8 + 1.70219.62_0.7 + 0.1 + 0.0207.390.25_++ 10.64219.62_1 + 0.02510.00.10_= 21.59 m79Snaga crpke i energija utrosena za vremet = 5 h su:S =1CgQHC =10.751 9.81 0.0836 21.59 = 23.6 kWE = St = 23.6 5 = 118 kWhPijezometarska kota u preseku ispred crpke dobija se iz energetske jednacineza presek u rezervoaru i presek u kome je prikljucen manometar:0.80 = 1 +v212g +v212g_UL +K +15.02+ 2.02+ 2.0d1_1 = 0.80 1.70219.62_1 + 0.7 + 0.1 + 0.0207.390.25_= 0.46 mTrazeni pritisak na manometru odre duje se iz jednacine hidrostatike:p1 = (M1ZM1)g = (0.46 2.50)1 9.81 = 20.0 kPaZadatak2.8. Izracunatisnagucrpke, akosezavrednostkoecijentalokalnog gubitkana zatvaracuV= 10 ucevcici ABprecnikad1= 1 mmostvaruje laminarno tecenje sa Reynolds-ovim brojem Re = 100. Radi jed-nostavnosti proracuna, zanemariti uticaj proticaja u cevcici AB na jedna-cine kontinuiteta u cvorovima A i B, odnosno zanemariti promenu proticajaduz cevi precnikad2 = 200 mm. Kinematski koecijent viskoznosti vode je = 106m2/s, a gustina vode je = 1.0 kg/dm3.Resenje. Brzina vode u cevcici je:Re =v1d1 v1 =100 1060.001= 0.10 m/s80 2. TecenjepodpritiskomEnergija izgubljena izme du preseka A i B, racunato duz cevcice precnika d1,gdeseostvarujelaminarnostrujanje, uzzanemarivanjelokalnihgubitaka,iznosi:EAB =64Re4.0 + 2(4.0 3.1)d1v212g=641005.80.0010.10219.62 = 1.89 mTaj isti gubitak, racunat duz cevi precnikad2, iznosi:EAB =v2219.62_V +24.0d2_v2 =19.62 1.8910.0 + 0.034.00.20= 1.87 m/sPosto jed2= 200d1,proticaj krozcevd2jeznatnoveci odonoga krozd1(Q2 Q1), pa seQ1 moze zanemariti u jednacini kontinuiteta.Q2 = 1.870.202 3.144= 0.0588 m3/sEnergetska jednacina za struju duz cevi precnikad2 glasi:1.0 = 1.0 +v222g_UL + 2K + V + 212.0 + 2 3.0d2+IZL_ HCHC =1.87219.62(0.5 + 2 0.4 + 10 + 0.0318.00.20 + 1) = 2.68 mS =1gQ2HC =10.81 9.81 0.0588 2.68 = 1.93 kWZadatak2.9. Zazatvoreni sistemcevi i rezervoara(Ai B)odreditiproticajeQ1i Q2i potrebnusnagucrpke. Upogodnoj razmeri nacrtatienergetsku i pijezometarsku liniju za gornju cev.Resenje. Proticaj kroz sistem moze se odrediti iz energetske jednacine zapreseke u rezervoarima duz struje kroz donju cev:B = A +v222g(UL +210.0d2+ IZL) v2 =19.62(5.00 4.50)0.5 + 0.0210.00.20 + 1= 1.98 m/s81Q2 = 1.980.202 3.144= 0.0622 m3/sCevi naprskacusuistihprecnikai hrapavostii postavljenesusimetricnou odnosuna vertikalnu osu, pa su i proticaji kroz ove dvecevi me dusobnojednaki:Q1 =0.06222= 0.0311 m3/s v1 =4 0.03110.052 3.14 = 15.85 m/sVisinadizanjacrpke HCodre dujeseizenergetskejednacinezapresekurezervoaru A i izlazni presek na prskacu:4.50 =5.50 +v212g +v222g(UL +220.0 + 1.5d2+K) ++v212g_R +11.02+ 0.52d1_ HCHC=5.50 4.50 + 1.98219.62(0.5 + 0.02021.500.20+ 0.4) ++ 15.85219.62_1 + 0.2 + 0.0251.120.05_= 24.13 mTrazena snaga crpke je:S =10.851 9.81 0.0622 24.13 = 17.33 kW82 2. TecenjepodpritiskomZadatak2.10. Proticaj kroz cev3 jedva putaveci odproticaja krozcev2 (Q3 = 2Q2). Odrediti precnik otvorad0centralno simetricnog prste-nastog zatvaraca na kraju cevi 3. Voditi racuna o kontrakciji mlaza, odnosnodapresekmlazaAML, koji se uzimakaokontrolni presekzaenergetsku83jednacinu, iznosi 70% od poprecnog preseka otvora zatvaracaA0. Gubitakenergije na zatvaracu iznosi 10% od brzinske visine suzenog mlaza. Sracunatisilu kojom uidna struja deluje na spoj cevi u preseku AA.Resenje.Q3 = 2Q2Q1 = Q2 + Q3_ Q1 = Q2 + 2Q2 = 3Q2v1d214= 3v2d224 v1 = 3_0.100.15_2v2 =43v27.60 =10.03+v222g +v212g_UL + 110.0d1_+v222g__R +22310.0d2__v2=_19.62(7.60 5.77)_43_2_0.5 + 0.02010.00.15_+ 1 + 0.2 ++ 0.02311.550.10= 2.24 m/s Q2 = 2.240.102 3.144= 0.0176 m3/sv3 = 2v2 = 4.49 m/s Q3 = 4.490.1023.144= 0.0352 m3/sv1 =43v2 = 2.99 m/s Q1 = 2.990.1523.144= 0.0529 m3/svMLAML = v3A3 vMLCAd204= v3d2347.60 = 10.03+v2ML2g+v212g_UL + 110.0d1_++v232g__R + 22310.0d2__+Zv2ML2gvML=__19.62(7.60 + 5.77) 2.992_0.5 + 0.02010.00.15_4.492_0.2 + 0.02311.550.10__/(1 + 0.1)_0.5= 13.09 m/s84 2. TecenjepodpritiskomvMLAML = v3A3 vMLCAd204= v3d234d0 = d3_v3vMLCA= 0.104.4913.09 0.7 = 0.070 mUzadatkusetrazidaseodredi uti-caj uidne struje na presek AA,odnosnodaseodredenormalnasila,transverzalnai momenat upreseku.Postocevi 2 i 3desno od presekaAAustatickom smislupredstavlja-ju konzolu, presecne sile usled delova-nja uida, u preseku AA se odre dujupomocukonturnesilevode kojade-luje na konzolu. Ako se posmatra za-preminavodeizme dupresekaAAiizlaznihpresekacevi 2i 3, mozesenapisati jednacina ravnoteze svih sila:

I1 +

PX +

I2 +

IML +

G2 +

G3 +

K = 0gdesuIinercijalnesile, Psilapritiska(upresecima2i3je0), Gtezina vodeu cevi i K sila konture, cevi na vodu. Sila vode na konturu,odnosno na konzolu je:

K =

R =

I1 +

PX +

I2 +

IML +

G2 +

G3I1=1000 0.0529 2.99 = 158.2 NI2=1000 0.0176 2.24 = 39.5 NIML=1000 0.0352 13.09 = 461.4 N7.60 = A +v212g +v212g_UL + 10.0d1_A = 7.60 2.99219.62(0.5 + 0.02010.00.15 + 1) = 6.31 mPX= pAATA1 = 1000 9.81(6.31 0.00)0.1523.144= 1093.3 N85G2 = G3 = 1000 9.810.102 3.14411.55 = 889.7 NPresecne sile u preseku AA su8:MAA = (889.7 + 889.7)5.00 = 8896.7 NmTAA = 889.7 + 889.7 + (39.5 461.4) cos600= 1568.4 NNAA = 158.2 + 1093.3 (39.5 + 461.4) cos300= 817.7 NZadatak 2.11. Posma-trase laminarnotecenje vo-de kroz cev (unutrasnjeg prec-nika d=2 mm. Koecijentkinematske viskoznosti vodeje = 106m2s1. Odre-diti proticaj. Nacrtati pije-zometarskui energetskulini-ju. Sracunati prosecni tan-gencijalni napon izme du vodei zida cevi i ukupnu silu trenjaza celu cev.Resenje. Energetska jednacina za presek u rezervoaru i izlazni presek glasi:REZ = IZL +v22g +v22g_UL + 5.02+ 3.02d_(2.19)Za laminarno tecenje vazi zavisnost: =64Re=64vd(2.20)Zamenom (2.20) u (2.19) dobija se:10.00 = 8.00 +_1 + 0.3 + 64 106v 0.0025.830.002_ v22g8Sila pritiska PAAXnedeluje u tezistupreseka,ali je njen ekscentricitetveomamali paseodgovarajuci momentsilemozezanemariti.86 2. Tecenjepodpritiskom2.00 = 0.06626v2+ 4.755v v = 0.42 m/s Q=0.420.0022 3.144==1.31 106m3/sNakonproracuna proticaja, po-trebno je proveriti pretpostavku olaminarnom tecenju:Re =v d=0.42 0.002106= 840 < ReKRITProsecni tangencijalni napon izme du vode i zida cevi je:= C12v2=412v2=1464 1060.42 0.002121000 0.422= 1.67 PaUkupna sila trenja je:T= OL = 1.67 0.002 3.14 5.83 = 0.062 Ngde jeO okvaseni obim cevi iL ukupna duzina cevi.Zadatak2.12. Naslici jeprikazanastandardnalaboratorijska insta-lacija sa Thompson-ovim ostroivicnim prelivom.Pretpostavljajuci da je do-87nji rezervoar R1 dovoljno veliki da nivo vode u njemu ne zavisi od proticajai da je brzinska visina u gornjem rezervoaru R2 zanemarljiva, odrediti kotuvode u gornjem rezervoaru 2 pri kojoj crpka radi snagom S = 500 W.Resenje. Potrebno je postaviti tri jednacine:prva je energetska jednacinaza preseke u donjem i gornjem rezervoaru, druga je jednacina prelivanja zaThompson-ov preliv a treca je izraz za snagu crpke:1 = 2.00 + hT +v22g(RES +1.6D+IZL) HCQT=516_2gh5T hT =_256Q225 19.62_0.2= 0.878Q0.4S =1gQHC HC =SgQ___1.00 =2.00 + 0.878Q0.4+119.62_4Q0.302 3.14_2(0.5 + 0.021.60.3 ++ 1) 0.8 5009.81 1000 Q1.00 = 0.878Q0.4+ 16.4Q20.0408Q1Ova jednacina, nakon mnozenja sa Q, moze se napisati u obliku:Q = 0.0408 0.878Q1.416.4Q3odnosno, moze se resiti iterativnim postupkom9:Q(i+1) = 0.0408 0.878Q1.4(i) 16.4Q3(i)gde jei redni broj iteracije. Ako se u prvom koraku uzmeQ(1) = 0, do-bija se:Q(2) = 0.0408 0.878 0.00001.416.4 0.00003= 0.0408Q(3) = 0.0408 0.878 0.04081.416.4 0.04083= 0.0300. . .9Videtiobjasnjenjenastrani49.88 2. TecenjepodpritiskomQ(7) = 0.0408 0.878 0.03301.416.4 0.03303= 0.0328Daljimponavljanjemmozesepokazati dapostupakkonvergiravrednostiQ=0.0328 m3/s. Odgovarajuca visinamlazanaThompson-ovomprelivuje:hT = 0.878 0.03280.4= 0.224 mpa je trazena kota vode u gornjem rezervoaru:2 = 2.00 +hT = 2.224 m3TecenjesaslobodnompovrsinomZadatak3.1. Pri ustaljenomjednolikomtecenjuukanalutrapeznogpoprecnog preseka, izmerena je dubina vode H = 1.0 m. Nagib dna kanala jeID = 0.5% a Manning-ov koecijent hrapavosti je n = 0.014 m1/3s. Ispitatirezim tecenja u kanalu (da li je mirno ili burno), uz potrebna obrazlozenja.Resenje. Chezy-Manning-ova jednacina za ustaljeno tecenje glasi:Q =1nAR2/3_IEgde jeIE = I = ID za jednoliko tecenje (3.1)(IEnagiblinijeenergije, Inagiblinijenivoa, odnosno-linije, IDnagib dna kanala, A proticajna povrsina, R hidraulicki radijus denisankaoodnosproticajnepovrsinei okvasenogobimaR=A/O, ndimen-zionalni koecijent trenja poManning-u sa dimenzijom [L1/3T]). Dubinapri kojoj vazi pretpostavka iz jednacine(3.1) o jednolikom tecenju zovese8990 3. Tecenjesaslobodnompovrsinomnormalna dubina, pa se moze napisati:Q =1nANR2/3N_IDIz uslova zadatka da jeH=HN = 1.0 m, moze se sracunati proticajQ, uzzamenu:AN= H(b + 2H) = 7.0 m2RN=ANON=H(b + 2H)b + 2H5= 0.739 mQ =10.0147.0 0.7392/30.005 = 28.9 m3/sDabi seproverio rezimtecenjaukanalu, potrebnojezazadatudubinuidobijeni proticaj sracunati Froude-ov broj:Fr =Q2BgA3=Q2(b + 4H)g[H(b + 2H)]3=28.92(5.0 + 4 1.0)9.81 [ 1.0 (5.0 + 2 1.0)]3= 2.23i uporediti gasa kriticnom vrednoscu (FrK=1). Posto jeFr> 1,tecenjeukanalujeuburnomrezimu. Doistog zakljucka mozesedociukoliko sesracuna kriticna dubina za zadati proticaj Q (odnosno dubinaHK pri kojojje Froude-ov broj jednak jedinici) pa se uporedi sa normalnom dubinom HN.Za zadatu geometriju poprecnog preseka bice:FrK =Q2(b + 4HK)g[HK(b + 2HK)]3= 1 HK =3Q2gb23_1 + 4HK/b1 + 2HK/bPoslednji oblik jednacine pogodan je za resavanje iterativnim postupkom1:H(i+1)K=3Q2gb23_1 + 4H(i)K/b1 + 2H(i)K/bgde jei redni broj iteracije.Ako se u prvom koraku uzmeH(1)K= 0:H(2)K=328.929.81 5.02= 1.50dobija se:H(3)K= 1.503_1 +41.505.01 +21.505.0= 1.22 H(4)K= 1.503_1 +41.225.01 +21.225.0= 1.271Videtiobjasnjenjenastrani49.91H(5)K= 1.503_1 +41.275.01 +21.275.0= 1.26Daljimponavljanjemmozesepokazati dapostupakkonvergiravrednostiHK = 1.26 m. Ako se sracunata kriticna dubina uporedi sa normalnom, vidise da jeHK>HN, odnosno zakljucuje se da je tecenje u kanalu u burnomrezimu.Kriticna dubinamozedaseodre-di i grackitako stose, naosno-vu nekoliko sracunatih vrednostiFroude-ovog broja, nacrta dija-gram Fr(h), a zatim se sa njega o-cita HK.h (m) 1.10 1.20 1.30Fr () 1.61 1.19 0.90Zadatak3.2. U betonskom kanalu sa Manning-ovim koecijentom hra-pavosti n=0.014 m1/3si poprecnogpresekakaonaslici, kotavodeprikojoj sejavljakriticna dubinajeHK=3.0 m. Sracunatipri komnagibudna kanala je normalna dubina jednaka kriticnoj. Ako se proticaj poveca triputa, da li je za tako sracunat nagib tecenje mirno, kriticno ili burno?Resenje. S obzirom da je poznata kriticna dubina i geometrija poprecnogpreseka, mogucejesracunatiproticajukanalu, izuslovadajeFroude-ov92 3. Tecenjesaslobodnompovrsinombroj jednak jedinici:Fr =Q2BgA3= 1 Q =gA3B=9.81 17.0310.0= 69.42 m3/sZa sracunati proticaj, iz Chezy-Manning-ove jednacine se za poznatu dubinuHK = HN dobija trazeni nagib dna (pri kome ce se u ustaljenom jednolikomtecenju ostvariti dubina jednaka kriticnoj):Q =1nAR2/3_IDID =_nQAR2/3_2=_0.014 69.4217.0(17.013.07)2/3_2= 0.0023 = 0.23 %Povecanjemproticajatri puta, Q

=3 69.42=208.27 m3/s, normalnadubina (H

N) postaje:Q

=1nA

R2/3_IDnQ

ID= A

R2/360.76 = [17.0 + 10.0(H

N 3.0)]_17.0 + 10.0(H

N 3.0)13.07 + 2.0(H

N 3.0)_2/3Dobijena jednacina se moze resiti grackim putem, metodom probanja ili nu-merickimputem uz prethodno sre divanje u pogodniji oblik.Ako se jednacinadigne na treci stepen, pa se sredi po nepoznatojH

N iz brojioca, dobija se:H

N =5_(2.0H

N + 7.07)260.763+ 13.010.0= 1.55(H

N + 3.54)0.4+ 1.30Ovaj oblik jednacine pogodan je za resavanje iterativnim postupkom2:H

(i+1)N= 1.55(H

(i)N+ 3.54)0.4+ 1.30gde jei redni broj iteracije. Polazeci od dubineH

(1)N=3.0m, u nekolikoiteracija dolazi se do resenja:H

N = 4.95 m2Videtiobjasnjenjenastrani49.93Kaoi uprethodnomzadatku, zaproverurezimatecenjanijeneophodnoracunati kriticnu dubinu, vecjedovoljno sracunati Froude-ovbroj zanor-malnu dubinu:Fr

=208.262 10.09.81 36.53= 0.91KakojeFr

HK (u deonici 2jemirnotecenje), prelazizburnogumirnotecenjejemogucsamoprekohidraulickog skoka. Dabiseodrediopolozaj skoka,potrebnojesracunatidubinuH

1 koja se sa dubinomH1 moze spregnuti u skok:P1 + I1 = P2 + I2158.15 = 24.525H

21+ 102.30H

1 H

1 = 2.12 mDabi se hidraulicki skokformiraotacnonamestupromene nagibadnakanala, potrebnajenizvodnadubinaH

1=2.12 m. Kakoje HN2 106Gustina vazduhaiznosi = 1.2 kg m3,a dinamicki koecijent viskoznostivazduha = 1.8 105kg m1s1.Resenje. Potrebnoje sracunati vrednosti Reynolds-ovogbrojaza y =0.1Hinavrhudimnjakakako biseproverila pretpostavka dajestrujanjeoko dimnjaka u turbulentnom rezimu:y = 0.1H U= 13.6 m/s d = 18.6 m Re = 17 106> 106y = H U= 20 m/s d = 6 m Re = 8 106> 106Postavljeni uslovdajeReynolds-ovbrojveci od106zadovoljen jenaviseod 90 % visine dimnjaka pa se moze smatrati da je koecijent sile konstan-tani dajehorizontalnasilanadimnjakdataintegralom _H0dF. Silanaelementarnu povrsinu dFdenisana je sa:dF= CF12U2(y) d(y) dy = CF12U20_yH_2/6_D0 (D0D) yH_dypa je ukupna sila na dimnjak (odnosno transverzalna sila u preseku AA):114 4. Otporitrenja iotpori oblikaF = CF12U20__H0D0_yH_1/3dy _H0(D0D)_yH_4/3dy_TAA= CF12U20 3H_14D0 (D0D)17_= 60.5 kNmMoment sile u preseku AA se dobija iz sume elementarnih momenata dM:MAA=_H0dM =_H0y dF== CF12U20 3H2_17D0 (D0D) 110_= 2.35 MNmZadatak4.5. U cev precnikaD = 250 mm postavljen je leptirasti zat-varacZ. Pri proticajuQ=100 l/si otvorenomzatvaracu, nivoi upije-zometarskimcevimaupresecima1, 2i 3su1=10.2 m, 2=10.0 mi 3=9.5 m. Odrediti silukojomuidgustine=1 kg dm3delujenazatvarac Zunjegovom otvorenom polozaju. Koliki jekoecijenatgubitkaenergije na zatvaracu Z?Resenje. Naskici je izdvojen deocevi izme dupreseka2 i 3 sa ucrtanimsilamakojedelujunamasuuidaizme dutadvapreseka. Postavljanjemdinamicke jednacine za konacnu zapreminu izme du tih preseka moze se sra-cunati sila F, sila kojom uid deluje na zatvarac:

P +

I +

T +

K =

0

F=

K =

P +

I +

T115S obziromda je cev konstantnogpreseka i bez usputne promene pro-ticaja,inercijalnesileI2i I3suis-tog intenziteta i pravca, a suprotnogsmera pa se me dusobno potiru. Naosnovupodatakaopritiscima ute-zistima preseka 2 i 3 moguce je sra-cunati (ZT2= ZT3= 5.0 m):P2= pT2A = g(2 ZT2 )A = 2.408 kNP3= pT3A = g(3 ZT3 )A = 2.167 kNPretpostavlja se da se sila trenja (po metru duznom) dobija iz podataka zapreseke 1 i 2 (postavljanjem dinamicke jednacine za ova dva preseka):T12 = T23 = (P1 P2) = g(1 2)A = 96.31 NUkupna sila na zatvarac je:F= P2P3T23 = 0.144 kNDo istog rezultata moze se doci ako se uoci da su za razliku pijezometarskihkota od 2 do 3 odgovorni trenje i gubitak energije na zatvaracu. Ako se zna daje na duzini od 10 m razlika pijezometarskih kota zbog trenja T= 0.2 m(izpreseka1i 2), dobijasedajeZ=0.5 0.2=0.3 mpajesilanazatvaracu F= gZA = 0.144 kN. Koecijenat sile je:CF=F12v2A=gZA12v2A= 2gZv2= 1.42gdejekarakteristicnapovrsinaApovrsinapoprecnogpresekacevi. Akosepadenergijenazatvaracunapiseuoblikuproizvodabrzinskevisineikoecijenta lokalnog gubitka energije, dobija se:EZ = Z = Zv22g Z = 2gZv2= CF= 1.42odnosno, dolazi sedotogadajekoecijenatlokalnoggubitkaenergijenazatvaracu u stvari koecijenat sile koju zatvarac prima od uida.Zadatak4.6. Konstrukcija prikazananasliciizlozena jevetrubrzineU0=7 m/s. Sracunatidodatnemomentesavijanjai torzijeuukljestenjuAAusledopterecenjavetrom. Zanemariti debljinukonstrukcijei uticaj116 4. Otporitrenja iotpori oblikavetranastub. Koecijentpritiskasaprednjestranekonstrukcijejekon-stantani iznosi Cp=0.95asazadnje strane Cp=1.5. Apsolutnahrapavost ploceje k =8 mm, dinamicki koecijent viskoznosti vazduha = 1.8 104gr cm1s1a gustina vazduha = 1.2 kgm3.Resenje. Na levoj ploci je dominantna sila otpora oblika (FL), a na desnojje dominantna sila otpora trenja (FD). Sila na levu plocu je:FL = [Cp1 + (Cp2)]12U20A = 216 NZa proracun sile trenja na desnu plocu potrebno je proveriti da li je granicnisloj ulaminarnom ili u turbulentnom rezimu. Ukoliko jeReynolds-ov brojReX=U0X/(izrazenprekorastojanja odpocetkaplocekaokarakteri-sticne duzine)na kraju ploce manji odkriticnog (ReK=106),tada jeceogranicni sloj ulaminarnom rezimu. Ako jeReynolds-ovbrojvec naprvih10 % duzine veci odkriticnog, moze se usvojiti da je granicni sloj duz celeploce turbulentan.Provera zaX = 0.1L ReX=U00.1L= 93 103< 106Na kraju ploce ReL=U0L= 933 103< 106Zakljucuje se da je granicni sloj duz cele ploce laminaran, pa je sila FD:FD = 2 CF12U20A = 2 1.4ReL12U20A = 0.512 NTrazeni momenti su:MTOR = 538.72 Nm MSAV = 758 Nm1Testoviizadaci3. deo TESTOVI IZADACISAISPITNIHROKOVAIspitnirok30.IX1993.teorijskideoispita1. Posmatra se zbir dva integrala (I1 + I2):_VujtdV. .I1+_VuiujxidV. .I2( gustina, V zapremina i ui, uj komponente brzine). Za taj zbirtvrdi se sledece:(a)u slucaju ustaljenog tecenja drugi clan jednak je nuli (I2 = 0);(b) posmatrani izraz (I1+I2) predstavlja zapreminsku silu na zapre-minuV ;(c) pri ustaljenom tecenju oba clana jednaka su nuli (I1 = I2 = 0).2. Zaslucaj ustaljenogtecenjaintegral I2izprethodnogzadatkamozeseizraziti povrsinskimintegralomI3popovrsini Akojaogranicavaposmatranu zapreminu V(pri izvo denju koristiti i jednacinu kontinui-teta):I3 = I2 =_A(upisati izraz)117118 1. Testovi izadaci3. U otvorenom sudu se nalaze, u stanju mirovanja, dve tecnosti razlici-tihgustina(neizmesane,jednaiznaddruge). Nagranici izme dudvetecnosti nalazi semetalnaloptanatakvompolozajudajoj jecen-taruhorizontalnoj ravnidodiradvetecnosti. Loptajezadnosudapricvrscenakrutimstapom. Slobodni nivogornjetecnosti jeiznadnajvise tacke lopte. Sila u stapu ce se promeniti ako se:(a)u sud dolije tecnost manje gustine (gornja tecnost);(b) u sud dolije tecnost vece gustine (donja tecnost), tako da se ravandodira dve tecnosti pomeri navise;(c) akoseizsudaodlijeizvesnakolicina lakse (gornje) tecnosti, alitako da lopta i dalje ostane potpuno uronjena.4. U kruznoj cevi konstantnog precnika ostvaruje se laminarni rezim tece-nja pri nekoj vrednosti Reynolds-ovog broja (Re1). Pri ovim uslovimagubitak energije po jedinici tezine na nekoj deonici iznosi Eizg1= 27 m.AkoseReynolds-ovbroj smanji 3puta(Re2=Re1/3), i tosamousled smanjenja brzine, gubitak energije na istoj deonici, za isti uid,iznosice:Eizg2= (upisati jedinice)5. Posmatra seustaljeno ijednolikostrujanje,uprav