of 34/34
Zbirka rješenih zadataka iz matematike za prijemni ispit Univerzitet u Istočnom Sarajevu – Mašinski fakultet 1 Test broj 1 1. a) Izračunati . 0625 , 0 log 30 7 1 : 5 9 : 4 3 5 1 2 2 + + b) Uprostiti ( ) . 4 4 2 2 2 y x y x y y x x + 2. Rješiti jednačine: a) x x x x 2 3 2 5 4 2 5 1 2 + = + + b) () ( ) () () . 2 , 1 2 , 1 je ako , 0 2 < + = = + x x x x x f x f x f 3. Rješiti trigonometrijsku jednačinu: 1 cos sin 3 cos 2 = x x x . 4. Rješiti nejednačinu: 8 1 log 3 log 2 2 2 < + x x x . 5. Nađi jednačine zajedničkih tangenti parabole x y 8 2 = i kružnice 2 2 2 = + y x . 6. Izračunati obim i površinu jednakokrakog trapeza opisanog oko kruga, ako je dužina veće osnovice 3 cm, a jedan njegov unutrašnji ugao 60°. 7. Površina prave kupe je 96π cm 2 , a dužina izvodnice je 10 cm. Izračunati zapreminu kupe. 8. Zbir svih članova beskonačne geometrijske progresije je 16, a zbir kvadrata članova te iste progresije je 153,6. Nađi peti član i količnik te progresije. 9. Izračunati . 80 cos 60 cos 40 cos 20 cos o o o o 10. Od 5 oficira, 4 podoficira i 10 vojnika treba formirati grupu od 4 osobe u kojoj će biti bar po jedan oficir i podoficir. Na koliko načina je to moguće učiniti?

Zbirka , matematika

  • View
    125

  • Download
    8

Embed Size (px)

DESCRIPTION

sdajksdhakjsd

Text of Zbirka , matematika

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    1

    Test broj 1

    1. a) Izraunati .0625,0log3071:

    59:

    43

    51

    2

    2

    +

    +

    b) Uprostiti ( ) .442

    22 yxyxy

    yxx

    +

    2. Rjeiti jednaine:

    a) xxxx 23

    254

    25

    12 +=++

    b) ( )( ) ( ) ( ) .2 ,12 ,1

    je ako ,02

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    2

    Rjeenje testa broj 1

    1. a)

    ( )( ) .04414

    212log22

    3730

    6037

    5,0log23730

    60251225,0log

    3730

    59:

    43

    51

    0625,0log3071:

    59:

    43

    51

    21

    2

    2

    22

    22

    2

    2

    2

    2

    ==+

    =+

    =

    =+

    +=+

    +=

    =+

    +

    b)

    ( ) ( )( )( )( )

    ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

    y. x-y xuslov uz

    ,12222

    22

    2222

    2222

    2

    2244

    2

    22

    +=++

    ++=+++=

    =+++=

    =++=

    +

    yxyxyxyxyxyx

    yxyxyxyyxx

    yxyxyxy

    yxx

    yxyxyxy

    yxx

    yxyxy

    yxx

    2. a) Ako se data jednaina pomnoi sa NZS (3,4,5), tj. sa 60, dobija se:

    ( ) ( ) ( )

    2x 4020189

    1202520215121223

    254

    25

    12

    =+=

    +=+++=++

    xx

    xxxxxxxx

    b) Ako je x < 2, jednaina glasi ( ) ( ) .011 2 =+++ xx Tada je:

    ( ) ( )

    ( )-2x-1x

    2-2x-1x 20132011 22

    ==

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    3

    .2:2:

    2

    1

    =+=xyt

    xyt

    3.) Za Zk ,

    2 xza tj.0,sinx ili 0cos === kx jednaina je nemogua.

    Dalje, data jednaina je ekvivalentna sa :

    ( )

    . ,4

    ,2

    121t2t

    023 032

    )0cos sa mdijeljenje(0cossin3sincos2

    0cossin3cossincos0cossin31cos

    1cossin3cos

    2

    2

    2

    22

    222

    2

    2

    ZllxZkkarctgx

    tgxtgxttgx

    ttttgxtgxxtg

    xxxxx

    xxxxxxxx

    xxx

    +=+===

    ====+=

    =+

    =+=++

    =+=

    4.) Nejednaina 81log3log 222 0. Ako uvedemo smjenu tx =2log , onda je tx 2= , pa dobijamo:

    ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    3013

    03333

    22

    82

    2

    2

    23

    33

    13

    23

    2

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    4

    Slika 2.

    Dakle, ,2 bac += 22

    bac = i a = 3, odakle je

    .21

    333

    3326

    332

    ==

    =

    =

    =+=

    =+=

    cb

    bcb

    bcbb

    bcbc

    Visinu h dobijamo iz pravouglog trougla AED:

    .32

    322

    360sin ==== cch o To znai da je obim trapeza 813222 =++=++= bacO cm, a povrina trapeza je 323

    213

    2=+=+= hbaP cm2.

    7.) Na osnovu formule za povrinu kupe srrMBP +=+= 2

    ( )

    .6 i 09610 je da odnosno,

    ,1096 je da dobijamo

    2 ==+

    +=

    rrr

    rr

    Kako je . 8 je to,222 cmHrsH == Slika 3. Zapreminu kupe izraunavamo po formuli

    . 96 tj.

    8631 je pa ,

    31

    3

    2

    cmV

    VHBV

    ===

    8.) Prema uslovu zadatka je 1q i 16...2111

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    5

    Zbir svih lanova progresije izraunava se po formuli

    :slijedi 153,61

    i 161

    iz pa ,1 2

    2111 === q

    aq

    aq

    aS

    ( )

    ( ) ( )( ) ( )( )

    .4112

    6,4094,102116

    16,1531256116

    6,1531

    1256

    1161

    11

    2

    21

    ==

    ==

    +==

    =

    =q

    a

    qqa

    qqqa

    qq

    qa

    Dakle, .643

    25612

    4112 i

    41 44

    15 ==

    === qaaq

    9.) Znajui da je ( ) sin180sin i sin2 2sincos == o , dobijamo da je

    ( ) ( ) .

    161

    20sin20180sin

    60sin60180sin

    161

    20sin160sin

    60sin120sin

    161

    80sin2160sin

    60sin2120sin

    40sin280sin

    20sin240sin80cos60cos40cos20cos

    ===

    ==

    o

    oo

    o

    oo

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    ooooo

    10. Mogue sastave grupe prikaimo pomou skupova (jer redosled nije bitan): { } { } { } { } { } { },,,, ,,,, ,,,, ,,,, ,,,, ,,,, VPOOVPPOVVPOPPPOPPOOPOOO gdje O oznaava oficira, P podoficira, i V vojnika.

    Od 5 oficira moemo izabrati 3 oficira na 10321345

    35 =

    =

    naina.

    etvrti lan grupe mora biti podoficir, za iji izbor imamo 414

    14 ==

    mogunosti.

    Svakom izboru 3 oficira od 5 oficira odgovaraju 4 izbora podoficira pa za ovu kombinaciju imamo 40410 = mogua naina formiranja grupe. Slino rasuivanje primjenjuje se i u ostalim sluajevima. Ukupan broj traenih naina je:

    .1720400300900206040110

    14

    25

    110

    24

    15

    210

    14

    15

    34

    15

    24

    25

    14

    35

    =+++++==

    +

    +

    +

    +

    +

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    6

    Test broj 2

    1.) a) Izraunati .116

    1:63

    1226

    416

    15+

    ++

    b) Uprostiti .22

    2

    222

    abab

    baba

    abba

    ++

    2.) Rjeiti jednaine: a) ,6

    13

    424

    132

    1 ++=+ xxxx b) ( ) ( ).47124 222 xxxx =+

    3.) Rjeiti trigonometrijsku jednainu: .212cos

    815sincos 66 =+ xxx

    4.) Rjeiti nejednainu: ( ) .4

    1log3log313

    +

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    7

    10.) Izraunati granine vrijednosti:

    a) ,2log...4log2log

    lim 2222

    n

    n

    n

    ++++

    b) 23 2

    0

    11limxx

    x

    +

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    8

    Rjeenje testa broj 2 1. a)

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) .1151216116116 116634262163

    11669

    631246

    26416

    1615

    1161:

    6312

    264

    1615

    ==+==++++=

    =+

    +

    ++=

    =+

    ++

    b)

    ( ) ( )( )( )

    ( ) ( )( )( ) b.a i 0b ,0a uslov uz ,1

    333223

    3322

    2222

    2

    2

    2

    222

    ==

    =++=

    ++=

    =++=+

    +

    baababab

    baabbabbaaba

    baabbababa

    baab

    baba

    abba

    abab

    baba

    abba

    2. a) Ako datu jednainu pomnoimo sa NZS (2,3,4,6), tj. sa 12, dobijamo:

    ( ) ( ) ( ) ( ).1551410915

    12424133166

    13

    424

    132

    1

    ===++=+++=+

    xxxx

    xxxxxxxx

    b) Ako uvedemo smjenu txx = 42 , dobijamo da je:

    ( ) ( )

    ( ).21344034

    44344340127447124

    22

    222

    22222

    ===+=+=====

    =++==+

    xxxxxxxxxxxtttxx

    tttxxxxxx

    3.) Koristei identitete:

    ( )( )( ),cos1sin

    i 2sincossin2,3

    ,

    22

    222224224

    2233

    xxxxx

    bababbaa

    babababa

    ==

    +=+++=+

    transformiemo lijevu stranu jednaine na sledei nain:

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    9

    ( ) ( )( )( )( )[ ]

    ( ).2cos14312sin

    431

    4cossin431sincos3sincos1

    sinsincoscossincossincossincos

    22

    2222222

    422422

    323266

    xx

    xxxxxx

    xxxxxxxxxx

    =

    ==+==++=

    =+=+

    Data jednaina sada ima oblik ( )212cos

    8152cos1

    431 2 = xx , odakle se sreivanjem

    dobija ekvivalentna jednaina, odnosno .022cos52cos2 2 =+ xx Uvoenjem smjene tx =2cos dobija se jednaina 0252 2 =+ tt , ija su rjeenja

    21 ili 2 == tt . Jednaina

    22cos =x je nemogua, a jednaina 212cos =x ima rjeenja . ,2

    6Zkkx +=

    4.) Nejednaina ( )4

    1log3log313

    ++> xx , odnosno ako je ( )3,1x . Kako je aa n

    n

    loglog 1 = bie da je

    .1

    4log4

    1log4

    1log4

    1log 31

    3331 +=

    +=+=+

    xxxx

    Osnova logaritma je vea od 1, pa je logaritamska funkcija rastua, a nejednaina

    ( )1

    4log3log 33 +

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    10

    6.) Kako su poznate sve tri stranice trougla njegovu povrinu moemo izraunati na osnovu Heronovog obrasca ( )( )( )csbsassP = , pri emu je

    2cbas ++= poluobim

    trougla ije su stranice a, b i c. U ovom zadatku je ( )( )( ) .8415211421132121 je pa 21 === ABCPs Na osnovu uslova zadatka, povrinu trougla ABC moemo dobiti i kao zbir povrina trouglova AOC i BOC, gdje je O centar upisanog polukruga (Slika 5.).

    Dakle, BOCAOCABC PPP += , odnosno

    22arbrPABC += , odakle je ( ) 8414132 =+

    r ,

    pa je .956=r

    Slika 5. 7.) Na osnovu Pitagorine teoreme (Slika 6.) dobijamo da je ( ) .4 tj.,222 == HrRsH Prenik donje osnove zarubljene kupe je 2R , a kako je i dijagonala D donje osnove upisane zarubljene piramide takoe jednaka 2R (Slika 7.), to e biti 2102 aRD === , pa je 25=a . Slino se iz 242 brd === dobija da je 22 .

    Slika 6. Slika 7. Slika 8. Povrine baza zarubljene piramide su: 222

    221 8 i 50 cmbBcmaB ==== , pa je zapremnina zarubljene piramide

    ( ) ( ) . 10488505034

    33

    2211 cmBBBBHV =++=++=

    8.) Neka su stranice trougla 4 i 4, +== acaba . Sa slike 8. vidi se da je

    2 i

    23 ayax == . Prema Pitagorinoj teoremi je:

    ( ) ( ) ( )222

    222 4422

    3 je pa 44 +=

    ++

    +=++ aaaaaayx ,

    odakle se sreivanjem dobija jednaina 0202 2 = aa , ija su rjeenja .10 ili 0 == aa Dakle stranice trougla su: .14 i 6 ,10 === cba

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    11

    Do jednaine 0202 2 = aa smo mogli doi i na drugi nain. Na osnovu kosinusne teoreme vai (Slika 8.): ( ) ( ) ( ) o120cos4244 222 +=+ aaaaa . Kako je

    21120cos =o (Slika 9.) sreivanjem prethodne

    jednaine dobija se jednaina 0202 2 = aa . Slika 9.

    9.) Kako je ( )

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    12

    Slika 11.

    Apscise zajednikih taaka grafika funkcija f i g predstavljae rjeenja date jednaine. Na slici 11 to su take A i B. To znai za 0

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    13

    Test broj 3

    1.) a) ta je vee: 13 % od 200 ili 30 % od 90?

    b) Uprostiti izraz .: 2211122

    11

    22

    baba

    abba

    baba

    ++

    +

    2.) Rjeiti jednaine:

    a) 3

    23

    4325

    4431 xxx

    x

    =

    ++

    b) ( ) 12log 231 =+ xx

    3.) Dokazati identitet .cos84cos2cos43 4 =++

    4.) Rjeiti nejednainu ( ) ( ) .1212 166 xxx + + 5.) Odrediti jednainu tangenti elipse 1004 22 =+ yx povuenih iz take A (2,7). 6.) Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamno normalne. Izraunati njegovu povrinu ako je krak cmc 52= , a odnos osnovica je 3:1. 7.) Osnova piramide je trougao ije su stranice cmccmbcma 20 i 16 , 12 === , a bone ivice su jednake i imaju duinu 26 cm. Izraunati zapreminu piramide. 8.) Deveti lan aritmetike progresije je pet puta vei od drugog lana, a pri dijeljenju trinaestog lana sa estim lanom dobija se kolinik 2 i ostatak 5. O kojoj progresiji je rije? 9.) Odrediti najmanju i najveu vrijednost funkcije

    >++

    =0 ,180 ,2

    )(2

    x

    xxxx

    xf na segmentu [-1,8].

    10.) Skicirati grafike funkcija: a) xy sin2= ; b)

    2cos xy = ; c) xy 2log2= ; d) xy

    1= .

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    14

    Rjeenje testa broj 3

    1. a) .10030902726

    10013200 =+ xx tj. za 0x i kako je

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    15

    ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( )

    ( ).cos8coscos8

    sin1cos8cossin8cos8

    cossin8cossinsincos7cossin81sincos7

    cossin6sincos2cossinsincos7

    cossin6sincossincos4cossin3cossin2sincossincos43

    2sin2cossincos434cos2cos43

    4

    22

    22

    222

    222222

    2222

    222222222

    22442222

    222222

    2222

    ==

    ==

    ++=+=

    ++=++++=

    ++=++=

    =++

    4.) Zadatak ima smisla, ako je .1x Tada je:

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( ] [ ).,31,2-x tablicu)i 13. i 12. slike (vidjeti

    01

    3201

    65

    01

    66166

    1) je funkcije jalneeksponenci osnova(

    12121212

    12112

    121121212

    2

    2

    166

    166

    166

    166

    +

    ++++

    +

    ++

    >

    ++

    +++

    ++

    +

    +

    ++

    xxx

    xxx

    xxxxx

    xx

    xxxx

    xx

    x

    xxx

    xx

    Slika 12.

    x ( )1, ( )2 ,1 ( )3 ,2 ( )+ ,3 652 + xx + + - +

    1+x - + + +

    1652

    ++

    xxx - + - +

    Slika 13.

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    16

    5.) Neka je nkxy += jednaina tangente elipse 1004 22 =+ yx , iji je kanonski oblik .1

    510 22

    2

    2

    =+ yx Uslov dodira ove elipse i prave nkxy += je .25100 22 nk =+ Taka A (2,7) pripada pravoj nkxy += , pa je .27 nk += Rjeavanjem sistema jednaina nknk +==+ 2725100 22 dobijamo da je

    425 i

    83 == nk , ili da je

    325 i

    32 == nk , pa su jednaine traenih tangenti:

    0.25-3y2x: i 05083: 21 =+=+ tyxt 6.) Trouglovi ABO i CDO su slini, jer su im odgovarajui uglovi jednaki, pa su im parovi odgovarajuih stranica proporcionalni. Kako je AB:CD = OB:OC, tj. 3:1= OB:OC, bie OB = 3OC. Oznaimo du OB, OC i BC redom sa y, x i c. (Slika 14.). Trougao BOC je pravougli, pa je: ( ) ( ) 2352 2222222 =+=+= xxxyxc iz ega slijedi da je .2=x Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamno normalne i jednake, pa ako oznaimo dijagonale AC i BD sa d, slijedi da je: Slika 14.

    ( ) ( ) ( ) . 16224

    2232

    222

    2222

    cmyxdPABCD ==+=+== 7.) Iz podudarnosti trouglova VOB, VOC i VOA (Slika 15.; podudarne su po dvije odgovarajue stranice i ugao naspram vee od njih) zakljuujemo da se podnoje visine piramide nalazi u centru opisanog kruga oko trougla ABC. Povrina baze moe se izraunati pomou Heronovog obrasca: ( )( )( ) . 96481224 2cmcsbsassPB ABC ====

    Kako je . 10964

    2016124

    je to,4

    cmP

    abcRR

    abcP ====

    Slika 16. Slika 15.

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    17

    Visinu piramide (Slika 16.) izraunavamo pomou Pitagorine teoreme: ( ) ( ) .2464102610261026 2222 ==+=== RdH Sada moemo izraunati zapreminu piramide:

    . 768249631

    31 3cmBHV ===

    Napomena: Ako uoimo da je bazni trougao pravougli, jer je 222 201612 =+ , moemo koristiti formulu .

    2cR =

    8.) Neka je 1a prvi lan, a d razlika date aritmetike progresije. Prema uslovu zadatka slijedi da je:

    ( )

    ( ).

    34

    525243

    5243

    51021258

    525

    11

    1

    1

    11

    11

    613

    29

    ==

    ==

    ==

    ++=++=+

    +==

    ad

    dadd

    adad

    dadadada

    aaaa

    Prvih nekoliko lanova progresije je : 3, 7, 11, 15, 19,... .

    9.) Funkcija xy 2= je rastua i ( ) ( ) 10 ,211 == ff .

    Koordinate tjemena parabole 182 ++= xxy su: .17

    4 i 4

    2====

    aDy

    abx TT

    Grafik funkcije je prikazan na slici 17.

    Najmanja vrijednost funkcije je 21 i postie

    se u taki 1=x , a najvea vrijednost funkcije je 17 i postie se u taki 4=x . Slika 17.

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    18

    10. a)

    = xxy

    x 1/4 1/2 1 2 4 y -1 0 1 2 3

    Slika 20.

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    19

    d)

    =

    0 ,1

    0 ,1

    xx

    xxy

    Slika 21.

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    20

    Test broj 4

    1. a) Izraunati: .2:2 22 22 b) Za a = 0,003 i b = 5,994 odrediti vrijednost izraza ( ) ( ) .

    92:

    96

    31

    31, 2222 ba

    babba

    bbaba

    baI +

    ++= 2.) Rjeiti jednaine a) ;

    31

    2154

    323

    712 +=+ xxx

    b) ( )( ) ( ) ( ) .1 ,1

    1 ,log je ako 0 22

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    21

    Rjeenje testa broj 4

    1. a) .22222:22:2 21

    41

    41

    41

    41

    22 22 ==== b)

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) .26

    12994,5003,02

    125,994 ; 003,0

    .0 ,2

    ,2

    12212

    29

    9633

    92:

    96

    31

    31,

    22

    222222

    ==+=

    +=+=

    =+

    ++=+

    ++=

    I

    bbababab

    bbab

    baba

    bbababa

    babba

    bbaba

    baI

    2. a) Ako jednainu 31

    2154

    323

    712 +=+ xxx pomnoimo sa NZS (7,3), tj. sa 21 dobijamo

    ekvivalentnu jednainu ( ) ( ) 754237123 +=+ xxx , koja se sreivanjem svodi na jednainu 01919 =+ x , a njeno rjeenje je .1=x b) 1 Za ( ) .log je ,1 2 xxfx =

    ( )

    ,211

    1log0log 01loglog0loglog

    22

    22222

    ====

    =+=+

    xx

    xxxxxx

    pa je, zbog uslova 1x , jedino rjeenje ove jednaine .1=x 2 Za ( ) 1 je ,1 =< xxfx

    ( ) ( ) ( ) ( )( ),01

    0x01 0111011 2

    ====

    =+=+

    xxx

    xxxx

    pa je zbog uslova ,1

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    22

    . ,2

    , 510

    ,2

    ,2

    5

    0cos0cos5 0cos2cos5

    06cos4cos

    12

    6cos12

    4113sin2sin 22

    ZllxZkkx

    ZllxZkkx

    xxxx

    xx

    xxcocxx

    +=+=

    +=+===

    ==+

    =+=+

    4.) Da bi rjeenja 1x i 2x jednaine 02 =++ cbxax bila pozitivna, treba da budu ispunjeni

    sledei uslovi: .0 i 0 ,0 2121 >>+ Dxxxx

    (1) ( )

    ( ) ( ).,20, je pa022 tj.,0

    22

    21

    >>==+

    k

    kkk

    kabxx

    (2) ( )( )

    ( ) ( ).,21, je pa,021 tj.,0

    21

    21

    >>

    ==k

    kkkk

    acxx

    (3) ( )( )

    ( ) .,3202-3k4

    081244k ,012444

    22

    22

    +==

    k

    kkkkkacbD

    Presjek skupova rjeenja uslova (1), (2) i (3) je traeno rjeenje i nalazimo ga koristei sliku 22.

    Slika 22.

    Prema tome,

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,2,21,,20,,32

    kkkk

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    23

    5.) Data kriva je hiperbola iji je kanonski oblik .11824

    22

    = yx Dodirna taka hiperbole i njene tangente, paralelne datoj pravoj, bie traena taka. Data prava ima koeficijent

    pravca .23=pk Tangenta mora biti paralelna sa pravom p, pa je .2

    3=tk Uslov dodira

    prave nkxy += i hiperbole . je 1 222222

    2

    2

    nbkaby

    ax ==

    Iz jednaine 22

    182324 n=

    dobija se da je .6 ili 6 == nn Tangente hiperbole, paralelne pravoj p imaju jednaine: 01223: i 01223: 21 =++=+ yxtyxt

    Rjeavanjem sistema

    =++=

    =+=

    012237243

    i 01223

    7243 2222

    yxyx

    yxyx

    dobijaju se take P1(6,-3) i P2 (-6,3). Prema formuli za rastojanje take od prave slijedi:

    ( ) ( ) .13

    1149

    13263, i 13

    1349

    13263, 21 =+++==+

    += pPdpPd Dakle, taka P2 (-6,3) je traena taka.

    6.) Na osnovu sinusne teoreme vai sin8

    215 tj.,

    sinsin== ba (Slika 23.).

    Na osnovu implikacije

    53

    25161cos

    20

    54sin ==

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    24

    Pomou Pitagorine teoreme nalazi se visina zarubljene kupe:

    ( ) . 49252122 cmrrsH === Na osnovu poznatog obrasca za zapremninu zarubljene kupe slijedi da je:

    ( ) ( ) . 5244252534

    33

    2211 cmBBBBHV =++=++=

    8.) .41

    2 je pa ,

    211

    21

    1121

    21 ====+ aPaaa

    .21

    81

    2 je pa ,

    21

    2 122

    21

    221

    22

    22 ======+ PaPaaaaa

    .21

    161

    2 je pa ,

    221

    2

    2

    1

    23

    32

    322

    23

    23

    ======+ P

    aPaaaaa

    Indukcijom se moe dokazati da je niz ,...,...,, 321 nPPPP geometrijski niz sa kolinikom

    21=q .

    Kako je ,211

    21

    211

    211

    41...21

    =

    =++= n

    n

    nn PPPS

    prelaskom na graninu vrijednost, kada se n neogranoneno uveava, dobijamo da je

    .21

    211

    21limlim =

    =

    nnnn S Slika 24.

    9.) Sistem ima smisla za .1 i 1 ,0 ,0 >> yxyx

    ( )

    .022

    1log

    2

    01log

    2

    log21log

    2

    2log

    1log

    2

    2loglog

    222

    2

    2

    2

    22

    ==

    ==

    ==

    ==+

    =

    =+=

    =+

    xxyx

    yx

    x

    yx

    x

    yx

    xx

    yx

    xx

    yx

    yx

    yy

    yyy

    yxy

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    25

    Iz druge jednaine se dobije da je .1 ili 2 == xx Prema uslovu zadatka, jedino rjeenje sistema je .2 ,2 == yx 10.a) Linije u xOy -ravni odreene jednainama Rkkxy += , su prave paralelne sa pravom ,xy = (Slika 25.). Slika 25. b) Jednainu 122 ++= kkxkxy napiimo u obliku ( ) 1122 ++= xxky , odnosno u obliku ( ) .11 2 += xky Sada se vidi da su linije odreene ovim jednainama parabole koje prolaze kroz taku M (1,1) za ,0k i prava ,0 za 1 == ky (Slika 26.).

    Slika 26. Slika 27.

    c) Kako je

    + xx

    x

    5.) Odrediti taku krive 32 22 =+ yx koja je na najkraem odstojanju od prave .042 =+ yx 6.) Kroz proizvoljnu taku u datom trouglu povuene su prave paralelne stranicama i tako su

    dobijena tri manja trougla ije su povrine P1, P2 i P3. Kolika je povrina datog trougla? 7.) U pravu krunu kupu sa poluprenikom osnove cmr 4= i visinom cmH 6= upisan je

    valjak maksimalne zapremine. Izraunati tu zapreminu. 8.) Trei lan aritmetike progresije je 9, a razlika izmeu sedmog i drugog lana je 20.

    Koliko lanova progesije treba sabrati da bi njihova suma bila 91?

    9.) Rjeiti sistem jednaina .84

    14 22

    =++=++

    yxyx

    yxyx

    10.) U xOy - ravni predstaviti skupove odreene relacijama: a) ( ) ( ) 012 ++ xyyx , b) ( ) ( ) 01ln xxy c) ( ) ( ) 0122 ++ xyyx

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    27

    Rjeenje testa broj 5

    1. a)

    ( )

    ( ) .4231

    31223

    312

    3819

    1238192

    41

    4

    2log41

    3log1

    221

    2 322

    =++=++=

    =++=++

    b) ( )( )( )( )

    ( )( ) . ,0 uslov uz ,23:3

    22

    22

    33

    222222

    22

    332

    baabbabababa

    ababbaba

    baba

    abab

    abbabaab

    baba

    ba

    ab

    abba

    =++++=

    =+=+

    +

    2. a) Kako je ( )

    =

    2 ,22 ,2

    2xxxx

    x

    jednainu ,1213 = xx emo rjeavati posebno u sledeim intervalima: ( ).,2 i 2,

    31,

    31, +

    (1) ( ) 122311213

    31 =

    ==+> xxxxxx Prema tome, skup rjeenja date jednaine je { }.1,1 b) Kako zbir lanova beskonane geometrijske progresije postoji samo 1

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    28

    Kako je xq = pozitivno to e biti ,1

    1x

    S = pa vai:

    ( )

    .21

    2505124

    14142

    14

    111

    214

    ...11

    2

    232

    ===+

    ==

    =++++

    xxxx

    xxx

    x

    xxxx

    Prema uslovu zadatka, rjeenje jednaine je samo .21=x

    3.)

    ( )

    . ,2 ,2

    x

    1cos0cos 01-cosxcosx 0coscos

    cossinsincoscossin2cos2

    2222

    ZllxZkk

    xx

    xxxxxxxxx

    =+===

    ==

    =+=+

    4.) Nejednaina 12

    21

    1>+ xx

    x ima smisla za .

    21 i 1 xx

    ( )( )( )

    ( )( ) ( )( )

    ++

    >+>+>+

    .21,101210

    12112

    0121

    12012

    21

    112

    21

    1

    2

    2

    xxxxx

    xxx

    xx

    xxx

    xx

    5.) Traena taka je dodirna taka elipse 32 22 = yx i njene tangente koja je paralelna

    datoj pravoj .042: =+ yxp Koeficijent pravca tangente jednak je koeficijentu pravca p. Eksplicitni oblik jednaine prave p je 42 += xy , iz ega slijedi da je 2=pk pa je i

    .2=tk Iz kanonskog oblika jednaine elipse e: 1323

    22

    =+ yx nalazimo da je

    3 i 23 22 == ba , pa iz uslova dodira 2222 bkan += prave nkxy += i elipse

    122

    2

    2

    =+by

    ax , gdje je 2=k , dobijamo da je 92 =n .

    Jednaine tangenti su .32: i 32: 21 =+= xytxyt

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    29

    Rjeavanjem sistema

    ==+

    ==+

    32 32x

    i 32 32 2222

    yxy

    yxyx

    dobijamo dodirne take ( ) ( ).1,1 i 1,1 21 PP Rastojanja ovih taaka do prave 042 : =+ yxp su:

    ( ) ( ) ( ) .5

    714

    4112, i

    51

    144112

    , 21 =+++==+

    += pPdpPd Dakle, taka ( )1,11 P je taka elipse koja je najblia datoj pravoj p. 6.) Trouglovi MCCMAABMB 122121 i , su slini

    trouglu ABC (Slika 28.), jer su im odgovarajui uglovi jednaki kao uglovi sa paralelnim kracima. Ako je 3122112 i , , aBAaAAaMBaCB ==== , prema uslovu zadatka slijedi da je

    aaaa =++ 321 . Slika 28. Povrine slinih trouglova se odnose kao kvadrati odgovarajuih stranica, pa je:

    (3)

    (2)

    (1)

    332

    23

    32

    233

    222

    22

    22

    222

    112

    21

    12

    211

    PaaP

    aaPP

    aa

    PP

    PaaP

    aaPP

    aa

    PP

    PaaP

    aaPP

    aa

    PP

    ===

    ===

    ===

    Iz (1), (2) i (3) se dobija da je ,321321

    ++=++a

    aaaPPPP

    iz ega slijedi da je ( ) .2321 PPPP ++= 7.) Neka je H1 visina valjka upisanog u kupu (Slika 29). Prema uslovu zadatka, visina kupe , 6 cmH = a poluprenik osnove kupe je . 4 cmr = Na osnovu slinosti trouglova (Slika 29.) slijedi da je .

    4624

    46 1

    11

    1

    1

    1 rHr

    HrH ==

    Zapremina valjka je funkcija od 1r , tj. ( ) i 1rfV =

    .623

    236 21

    311

    211

    2111 rrrrHrHBVV +

    =

    ===

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    30

    Iz ( ) ( )38 00 i 12

    29

    111,

    12

    11, ===+= rrrfrrrf

    slijedi da funkcija f prima svoju maksimalnu vrijednost za 38

    1 =r pa je

    3max 91282

    964 cmV == .

    Slika 29.

    8.) Zbir prvih n lanova aritmetike progresije izraunava se po formuli ( )[ ] . ,12

    2 1NndnanSn +=

    Kako je po uslovu zadatka:

    ,14

    92205

    92 206

    9 20

    111

    11

    3

    27

    ==

    =+=

    =+=+

    ==

    ad

    dad

    dadada

    aaa

    to je ( )[ ],41122

    91 += nn odnosno 0912 2 = nn .

    Rjeenja jednaine su .4

    27 ili 7 == nn Dakle, treba uzeti 7 lanova progresije da bi njihov zbir bio 91. 9.) Sistem ima smisla za .0xy Kako je

    ( )

    ,2282819621421421414

    22

    2222

    xyyxyxxyyxyxyx

    +++==+++=

    to je

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    31

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    .01610

    10

    841010

    10

    8410

    848419628

    8419628

    8422828196

    84

    14

    2

    2222

    2222

    22

    22

    22

    22

    =+=

    =++=

    =++=+

    =+++=+

    =+++=++

    =++

    +++=

    =++=

    yyyx

    yyyy

    yx

    yxyxyx

    yxyxyx

    yxyxyxyxyx

    yxyxxyyxyxxy

    yxyx

    yxxy

    Rjeavanjem druge jednaine sistema dobijamo da je .2 ili 8 == yy Skup rjeenja sistema je ( ) ( ){ }.8,2,2,8 2. Nain Kako je ( ) ,222 xyyxyxyx +=++ to e dati sistem biti ekvivalentan sistemu:

    ( ) .8414

    2

    =+=++

    xyyx

    xyyx

    Uvoenjem smjene xybyxa =+= , dobija se da je

    ( )( ) .410

    614

    8414

    8414

    22

    ==

    ==+

    =+

    =+

    ==+

    ba

    baba

    bababa

    baba

    Prelaskom na stare promjenjive, jednostavno se dolazi do rjeenja sistema. 10. a)

    ( )( )( ) ( )( ) ( ).11

    01001001

    22

    22

    2

    ++++

    ++

    xyxyxyxyxyyxxyyx

    xyyx

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    32

    2xy 1 xy 12 xyxy Slika 30. Slika 31. Slika 32. Presjek skupova prikazanih na slikama 30. i 31. predstavljen je na slici 32.

    2xy 1 xy 12 xyxy Slika 33. Slika 34. Slika 35. Presjek skupova prikazanih na slikama 33 i 34 predstavljen je na slici 35

    . ( ) ( )11 22 xyxyxyxy Slika 36.

    Unija skupova prikazanih na slikama 32. i 35., tj. konano rjeenje prikazano je na slici 36.

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    33

    b) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1ln1ln

    010ln010ln01ln

    xxyxxy

    xxyxxyxxy

    xy ln 1x 1ln xxy Slika 37. Slika 38. Slika 39. Presjek skupova prikazanih na slikama 37. i 38. predstavljen je na slici 39.

    1x xy ln 1ln xxy Slika 40. Slika 41. Slika 42. Presjek skupova prikazanih na slikama 40. i 41. predstavljen je na slici 42.

    . ( ) ( )1ln1ln xxyxxy

    Slika 43.

    Unija skupova prikazanih na slikama 39. i 42. predstavljena je na slici 43., to je i konano rjeenje zadatka.

  • Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit

    Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet

    34

    c)

    ( )( )( ) ( )( ) ( )xyyxxyyx

    xyyxxyyx

    xyyx

    ++++++

    ++

    11

    001001

    01

    2222

    2222

    22

    122 + yx xy xyyx + 122

    Slika 44. Slika 45. Slika 46. Presjek skupova prikazanih na slikama 44. i 45. pretstavljen je na slici 46.

    122 + yx xy xyyx + 122

    Slika 47. Slika 48. Slika 49.

    Presjek skupova prikazanih na slikama 47. i 48. pretstavljen je na slici 49.

    ( ) ( )xyyxxyyx ++ 11 2222 Slika 50.

    Unija skupova prikazanih na slikama 46. i 49. predstavljena je na slici 50., to je i konano rjeenje zadatka.