Wykład III

1.Absorpcja światła w półprzewodnikach

2.Gęstość stanów 3D, 2D, 1D, 0D

3.Koncentracja elektronów i dziur

Większość urządzeń półprzewodnikowych pracuje w oparciu o nośniki nadmiarowe:

Nośniki nadmiarowe są generowane dzięki wzbudzeniom optycznym, bombardowaniu elektronami lub wstrzykiwaniem nośników np. w złączu p-n.

• Pomiary przerwy wzbronionej :

- absorpcja fotonów gdy hν Eg; fotony nie są absorbowane, jeśli h Eg

to wyjaśnia, dlaczego niektóre materiały są przezroczyste dla pewnych

długości fal !

- jeśli Eg = ~2 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła czerwonego,

- jeśli Eg = ~3 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła widzialnego,

Jeśli strumień fotonów o energii hν Eg oświetla próbkę Si, to można oszacować jaka część tego strumienia zostanie pochłonięta przez tę próbkę.

Stosunek natężenia światła, które przeszło przez próbkę do natężenia światła padającego zależy od długości fali fotonów (λ) i grubości próbki (l).

Niech I0 (photony/cm2sec) = wiązka fotonów o długości fali λ, skierowana zostaje na próbkę o grubości (l). Zgodnie z prawem Lamberta-Beera spadek natężenia wiązki w odległości (x) od powierzchni na odcinku dx, jest proporcjonalny do natężenia wiązki w (x), grubości warstwy dx i współczynnika opisującego własności optyczne ośrodka :

Jeśli grubość jest mała i można założyć, że =const, to natężenie światła po przejściu przez próbkę o grubości (l) :

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) x

dI x I x dx I x I x dx

I x I e

lt eII 0

Absorpcja w półprzewodnikach

• Dla dłuższej drogi z powyższego wzoru wynika następujące wyrażenie:

2

1

2 1( ) ( ) exp[ ( ) ]x

x

I x I x x dx

Pomiar absorpcji

lt eII 0

Półprzewodniki absorbują fotony o energii hν Eg !

E (eV) = hc / λ (μm)E (eV) = hc / λ (μm)

- Si absorbuje nie tylko fale o długości odpowiadającej przerwie wzbronionej (~1μm) ale również fale krótsze, z zakresu widzialnego.

-Si będzie przezroczysty w podczerwieni (bo h Eg), ale nieprzezroczysty w zakresie UV-VIS (bo tam hν Eg).

W pobliżu k=0 zależność E(k) jest paraboliczna zarówno dla pasma przewodnictwa (e), pasma dziur ciężkich (hh), dziur lekkich (lh) oraz pasma powstałego na skutek oddziaływania spin – orbita (so). Różnica między zależnościami dyspersyjnym dla poszczególnych pasm wynika tylko z innej wartości masy efektywnej.

*

22

2)(

egc

m

kEkE

*

22

2)(

hhhh

m

kkE

*

22

2)(

lhlh

m

kkE

*

22

2)(

soso

m

kkE

Krawędź absorpcji w półprzewodnikach z prostą przerwą wzbronioną ( np. GaAs)

*

22

*

22

22 heg

m

k

m

kE

Z ZZE dla przejść optycznych w GaAs z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa:

*** lub lhhhh mmm gdzie **

111

he mm

i niech

2

22kEg

Łączna gęstość stanów.Gęstość stanów określa rozkład stanów po energii w obrębie jednego pasma. Łączna gęstość stanów uwzględnia fakt, że początkowy i końcowy stan elektronu znajdują się w obrębie kontinuum stanów dozwolonych, różnych pasm. Dla elektronów w paśmie:

D(E)dE=2D(k)dk

g(k) jest gęstością stanów w przestrzeni pędów a mnożnik 2 wynika z tego, że w danym stanie kwantowym mogą się znajdować dwa elektrony o różnych spinach. Stąd:

dkdE

kDED

/

)(2)(

Wiadomo, że gęstość stanów w przestrzeni wektora falowego g(k) jest równa liczbie stanów zawartych w przestrzeni między dwiema sferami o promieniach k i k+dk. Ta zaś jest równa liczbie stanów na jednostkę objętości, tj. 1/(2)3 pomnożonej przez objętość między sferami równą 4k2dk. Tak więc:

2

22

3 2)(4

)2(

1)(

k

kDdkkdkkD

dkdEk

dkdEkD

ED/1

/)(2

)( 2

2

0)(, DEgwtedy dla

2

22kEE g

2

1

2

3

22)()

2(

2

1)(, gg EDE

zaś dla

dla energii fotonów większej niż przerwa wzbroniona łączna gęstość stanów rośnie jak

2

1

)( gE

Łączna gęstość stanów

Prawdopodobieństwo przejścia Wi-f jest proporcjonalne do łącznej gęstości stanów, więc współczynnik absorpcji będzie miał podobną zależność funkcyjną od energii fotonów co łączna gęstość stanów, ponieważ w przybliżeniu dipolowym można założyć, że M =const ( tzn. słabo zależy od k)

0)(, gE

2

1

)(~)(, gg EE

)ωD(M2π

W2

fi

Z ekstrapolacji części liniowej wykresu do przecięcia z osią odciętych można wyznaczyć przerwę wzbronioną Eg

)(2 f

Przejścia skośne Przejścia skośne mogą pojawić się wtedy i tylko wtedy, gdy w procesie oddziaływania foton–elektron bierze udział trzecia cząstka, która umożliwia spełnienie zasady zachowania wektora falowego. Zazwyczaj taką rolę pełni fonon ,

,

c c v v p

c v p

E k E k E

k k K

gdzie Ep, , – energia i pęd fononu. Znak „+” odpowiada procesowi z emisją, „–”

procesowi z absorpcją fononu. pK

Si1. Proces dwuetapowy: elektron jest wzbudzany przy udziale fotonu z pasma walencyjnego do stanu wirtualnego bez zachowania energii ale z zachowaniem wektora falowego. W drugim etapie elektron przechodzi ze stanu do stanu na dnie pasma przewodnictwa przy udziale procesu absorpcji lub emisji fononu.2. Możliwe jest przejście takie, że najpierw jest oddziaływanie z fononem, a potem – z fotonem

i

i1

,022

, 0pvvcc

vkck i i

eRep

i EkEkEE

HiiHf

gdzie: HeR – hamiltonian oddziaływania elektronu z fotonem, Hep – hamiltonian

oddziaływania elektronu z fononem. – stan początkowy układu z zapełnionym pasmem walencyjnym, pustym pasmem przewodnictwa oraz liczbą fononów np,

– stan końcowy układu z elektronem w minimum pasma przewodnictwa, dziurą w maksimum pasma walencyjnego oraz liczbą fononów , – przedstawia dwa możliwe stany pośrednie, opisane wyżej.

0

f1pn

i

Prawdopodobieństwo absorpcji fotonu w jednostce czasu i w jednostce objętości

Element macierzowy oddziaływania elektron – fonon zależy od stopnia obsadzenia stanów fononowych

fononu,emisjązprocesudla

,fononuabsorpcjązprocesudla

1

p

pep n

niHf .1exp

1

kT

En p

pgdzie

Przejścia skośne

W wielu półprzewodnikach elementy macierzowe są stałe. Wtedy wystarczy wykonać sumowanie po kc i kv , które sprowadza się do całkowania po Ec i Ev:

vcpvvccccvvi dEdEEωkEkEδ)(E)D(ED~

Zakładając, że pasma są paraboliczne mamy:

02/1)(00{

vEdlavE

vEdlavD igEcEdlaigEcE

igEcEdlacD

2/1)(

0{

gdzie Eig jest przerwą wzbronioną. Zero energii przyjęto dla wierzchołka pasma walencyjnego. Podstawiając do równania na Ri i całkując po Ev mamy:

c

1/2

ccp

E

0

2/1ci dEkE-Eω)(E~

p

igE

igE

)()()()()( afdxaxafdxaxxf

Przejścia skośne

c

1/2

ccp

E

0

2/1ci dEkE-Eω)(E~

p

igE

igE

Podstawiając

igp

igc

EE

EEx

mamy

dxxx 2/11

0

2/12igpi )1(E-Eω~

Przejścia skośne

, ea

dla procesów z emisją fononu:

,

02

pig

pig

pigpa EE

EE

EECn

dla procesów z absorpcją fononu:

,1

02

pig

pig

pigpe EE

EE

EEnC

Po scałkowaniu mamy:

Przejścia skośne

Schematyczny przebieg krawędzi absorpcji w obszarze przejść skośnych dla dwu temperatur z zaznaczonym sposobem wyznaczenia przerwy energetycznej oraz energii fononu

Przejścia skośne

Wyprowadzenie wzoru na gęstość stanów i koncentrację elektronów w metalu

Stany elektronów swobodnych

r

k

22 2 22 2

22 2

- -( ) + + ( ) = (E - V( )) ( )

2m 2m yx z

r r r r

Dla elektronów swobodnych w metalu V(r) = 0. Stąd rozwiązanie :

Zbiór dozwolonych stanów elektronowych wynika z rozwiązania stacjonarnego r. Schrödingera

exp( )k ( ) i r k r

gdzie -wektor w przestrzeni rzeczywistej zaś wektor falowy

Włączając zależność od czasu mamy

exp( )k ( ) i t r k r

Jest to fala płaska poruszająca się w kierunku r

Kwantyzacja stanów w pudełku

LzzkLyykLxxkizzkyykxxkiee

Rozważmy kryształ w postaci sześcianu o boku LTakie założenie prowadzi do rozwiązania w postaci fali stojącej. Jest ono równoważne periodycznemu warunkowi brzegowemu:

L

Rozwiązanie r. Schrödingera (zaniedbując człon zależny od czasu)

Teraz trzeba uwzględnić rozmiary kryształu.

z)y(xz)Ly(x kk ,,,, z)y(xL)zy(x kk ,,,, z)y(xz)yL(x kk ,,,,

nL

2 = k ; n

L

2 = k ; n

L

2 = k zzyyxx

gdzie nx, ny, i nz = +/- 1,2,3…

exp( )k ( ) i r k r

Jednej trójce liczb nx, ny, nz odpowiada jeden wektor k.

Swobodne elektrony klasycznie: dozwolone stany są zdefiniowane przez położenie (x,y,z) i pęd (px, py, pz)

Stany elektronowe zdefiniowane są przez punkt w przestrzeni k

x

z

y

px

py

pz

Swobodne elektrony kwantowo:

dozwolone stany zdefiniowane są przez wektor falowy (kx, ky, kz)=(px, py, pz)

kx

ky

kz

Jednej trójce liczb nx, ny, nz odpowiada jeden wektor k.2D: - każda kropka reprezentuje jeden stan w przestrzeni k. -wszystkie stany są równomiernie rozłożone w przestrzeni k. -jeden stan zajmuje objętość:

3D: jeden stan zajmuje jednostkową objętość w przestrzeni k:

nL

2 = k ; n

L

2 = k ; n

L

2 = k zzyyxx

gdzie nx, ny, i nz = +/- 1,2,3…

ky

2/L

kx

2/L

Stany w przestrzeni k (3D)

22

L

Stany k są dyskretne, ale zwykle w metalu mamy do dyspozycji 1026 stanów zatem można je traktować jako zbiór ciągły!

3 32 8

L V

zatem liczba stanów na jednostkę objętości: 38

V

Gęstość stanów na jednostkę objętości

Równanie to jest słuszne dla wszystkich kryształów!

32

2

kD(k)dk = dk m2

Gęstość stanów w 3D D(k)dk jest liczbą dozwolonych stanów zawartych pomiędzy k i k+dk (tzn. liczbą stanów zawartych pomiędzy sferą o promieniu k a sferą o promieniu k+dk)= objętość w przestrzeni k x liczba stanów na jednostkę objętości w przestrzeni k:

.

kx

ky

2/L

2/L

k

k+dk

22

3 2( ) 4

8 2

V VkD k dk k dk dk

Gęstość stanów

Dla elektronów swobodnych E = 2k2/2m i dE = (2k/m)dk

stąd

Każdemu stanowi k odpowiada stan o energii E. Gęstość stanów to liczba dozwolonych stanów D(E) energetycznych zawartych w przedziale E do E+dE

Zgodnie z zakazem Pauliego, każdy stan może być obsadzony przez 2 elektrony o przeciwnych spinach.

32

2

kD(k)dk = dk m2

32

2mdE

dE

dk

2k 2 = D(E)dE

dEE2m

2

1 = D(E)dE 2

1

2

3/2

2

E

D(E)dE

Gęstość stanów zajętych elektronami

3 12 2

3

8 2( ) ( ) ( )

1Fo E E kT

m En E dE N E f E dE dE

h e

Aby policzyć no(E)dE, tj. ilość elektronów w jednostce objętości o energiach od E do E+dE w stanie równowagi w temperaturze T, to gęstość stanów należy pomnożyć przez funkcję Fermiego-Diraca:

Gęstość stanów

Gęstość stanówWymiar a własności

kryształu

Based on Bimberg (1999)

3D2D studnia kwant. 1D drut kwant. 0D kropka kwant.

Energy

D(E

)

Energy

D(E

)

1 32 4

Energy

D(E

)

1,1 1,2 1,3

Energy

D(E

)

Uwiezienie elektronu chociażby w jednym wymiarze zmienia gęstość stanów i energie elektronu…

Koncentracja nośników

Przybl. parabol. (swob.elektron):

m*: masa efektywna

Elektrony:

Dziury:

0

21

2

dxex x

32

2/3*

2

)2(

kTm

n n

Koncentracja elektronów i dziur w stanie równowagi termodynamicznej

Niech gęstość stanów = D(E) zaś prawdopodobieństwo, że zostaną zajęte elektronami = f(E), wówczas koncentracja elektronów:

• f(E)D(E) maleje istotnie dla E> EC , więc mało elektronów zajmuje stany powyżej dna pasma przewodnictwa

• efektywna gęstość stanów (NC): wszystkie stany są zastąpione stanami na dnie pasma przewodnictwa

• koncentracja elektronów w pasmie przewodnictwa=(efektywna gęstość stanów NC) x (funkcja Fermiego) :

• koncentracja dziur w paśmie walencyjnym

( ) ( )CE

n f E D E dE

( ) /

( ) /

1( ) (300 )

1C F

C F

E E kTC E E kTf E e K

e

( ) ~D E E

kTEECCC

FCeNEfNn /)(0 )(

2/3

2

*22

h

kTmN n

C

kTEEVVV

VFeNEfNp /)(0 )](1[

2/3

2

*22

h

kTmN p

V

Koncentracja samoistna

• półprzewodnik samoistny EF = Ei :

•

i

( ) /0 ( ) C FE E kT

C C Cn N f E N e ( ) /

0 [1 ( )] F VE E kTV V Vp N f E N e

kTEECi

iCeNn /)( kTEE

ViVieNp /)(

( ) / ( ) /0 0

/( ) /

( )( )C F F V

gC V

E E kT E E kTC V

E kTE E kTC V C V

n p N e N e

N N e N N e

kTEVC

kTEEVC

kTEEV

kTEECii

gVC

ViiC

eNNeNN

eNeNpn//)(

/)(/)( ))((

/ 2gE kT

i C Vn N N e

ponieważ i in p0 0i in p n p

20 0 in p n

kTEVCi

geNNn 2/

Położenie poziomu Fermiegow półprzewodniku samoistnym

kTEECi

iCeNn /)( / 2gE kT

i C Vn N N e

ln2 2

g vi

c

E kT NE

N

EC

EF=Ei

EV

półprz. samoistny dla T=0 lub Nc=Nv

Krzem Eg=1.15eV m*n = 0.2me i m*p = 0.8me w 300K. Stąd:

0.0262

gi

EE eV

( ) /0 ( ) C FE E kT

C C Cn N f E N e

kTEECi

iCeNn /)(

( ) /0

F iE E kTin n e ( ) /

0i FE E kT

ip p e

Koncentracje równowagowe

domieszkowane półprzewodniki

N

iFF EEq

i

DFn

i

diF

kTEEiD

n

NkTq

n

NkTEE

enNn iF

ln

ln

/0

(bo )

P

A

iFp

A

iFi

kTEEiA

N

nkTq

N

nkTEE

enNp Fi

ln

ln

/0

Koncentracja równowagowa nośników w półprzewodniku domieszkowym

/0

/0

F i

i F

E E kTi

E E kTi

n n e

p n e

EC

Ei

EV

EC

Ei

EV

EC

EF=Ei

EV

samoistny

EF

EF

N-typu P-typu

qFn

qFp

Koncentracja równowagowa nośników w półprzewodnikach

Koncentr. nośników w półprzew. domieszkowych.

War. neutralności.:

Warunekneutralności

Czysty półprzewodnik typu n (p-podobnie)

= 0

Donory obsadz. elektronami:

Akceptory obsadz. dziurami:

Przybliżenie

(tylko jeden typ domieszki)

Konc. nośników w półprz. domieszk.

Przykład: Si i niech n=1017 cm-3

gdzie

I) Niskie temperatury

wymrażanie nośników

II) Wysokie temperatury

nasycenie

III) B. wysokie temp. n ~ ni

obszar samoistny

Temperaturowa zależność koncentracji

gorący zimny

Koncentracjaod temperatury