WYKŁAD 3WYKŁAD 3

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGOI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

1. Zasady Dynamiki Newtona (I, II i III).1. Zasady Dynamiki Newtona (I, II i III).

2. Dynamika ruchu punktu materialnego po 2. Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu.okręgu.

3.3. Praca. Praca.

4.4. Moc.Moc.

5.5. Energia.Energia.

II. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJII. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

1.1. Pojęcie bryły sztywnej. Rodzaje ruchów bryły Pojęcie bryły sztywnej. Rodzaje ruchów bryły sztywnej.sztywnej.

2.2. Moment siły. Moment bezwładności. Moment siły. Moment bezwładności. Twierdzenie Steinera.Twierdzenie Steinera.

3.3. Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego.Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego.

4.4. Moment pędu.Moment pędu.

5.5. Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego.Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego.

6.6. Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego.Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego.

7.7. Energia kinetyczna ruchu obrotowego.Energia kinetyczna ruchu obrotowego.

8.8. Analogie pomiędzy ruchem prostoliniowym i Analogie pomiędzy ruchem prostoliniowym i obrotowym.obrotowym.

III. ZASADY ZACHOWANIA W MECHANICE III. ZASADY ZACHOWANIA W MECHANICE

1.1. Zasada zachowania pędu.Zasada zachowania pędu.

2.2. Zasada zachowania momentu pędu.Zasada zachowania momentu pędu.

3.3. Zasada zachowania energii.Zasada zachowania energii.

IV. Druga młodość nadprzewodników – IV. Druga młodość nadprzewodników – nadprzewodniki wysokotemperaturowenadprzewodniki wysokotemperaturowe

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGOI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

DynamikaDynamikaZajmuje się warunkami i przyczynami ruchu ciał. Podstawę Zajmuje się warunkami i przyczynami ruchu ciał. Podstawę dynamiki stanowią trzy zasady podane przez Izaaka dynamiki stanowią trzy zasady podane przez Izaaka Newtona w 1687 r. Newtona w 1687 r.

Pierwsza zasada dynamiki (zasada bezwładności)Pierwsza zasada dynamiki (zasada bezwładności)Istnieje taki układ odniesienia, w którym jeżeli na ciało nie Istnieje taki układ odniesienia, w którym jeżeli na ciało nie działa żadna siła, lub siły działające na to ciało równoważą działa żadna siła, lub siły działające na to ciało równoważą się, to ciało zachowuje stan spoczynku lub porusza się się, to ciało zachowuje stan spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.ruchem jednostajnym po linii prostej.

Taki układ nazywamy Taki układ nazywamy inercyjnyminercyjnym..Prawo to orzeka, że ciało nie przyspiesza samo z siebie; Prawo to orzeka, że ciało nie przyspiesza samo z siebie; przyspieszenie musi być narzucone z zewnątrz. Ciała przyspieszenie musi być narzucone z zewnątrz. Ciała spoczywające dążą do przebywania w stanie spoczynku, spoczywające dążą do przebywania w stanie spoczynku, ciała poruszające się dążą do utrzymania tego ruchu bez ciała poruszające się dążą do utrzymania tego ruchu bez zmiany prędkości. Ten opór ciał wobec zmian stanu ruchu zmiany prędkości. Ten opór ciał wobec zmian stanu ruchu nazywa się nazywa się bezwładnością (inercją)bezwładnością (inercją)..

0.0F i

constv

I zasada jest przełamaniem dogmatu Arystotelowskiego, że wszystkie ciała muszą się zatrzymać gdy nie ma sił zewnętrznych.

I zasadę dynamiki nazywa się też zasadą bezwładności. Bezwładnością nazywamy własność ciała objawiającą się tym, że ciało nie zmienia ani kierunku, ani wartości swej prędkości, gdy nic na nie nie oddziałuje.

Przykładybezwładności

Druga zasada dynamikiDruga zasada dynamikiJeżeli na ciało o masie m działają siły niezrównoważone o Jeżeli na ciało o masie m działają siły niezrównoważone o wypadkowej F, to ciało porusza się ruchem przyspieszonym z wypadkowej F, to ciało porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem a, takim że a = F/m.przyspieszeniem a, takim że a = F/m.

Korzystając z pojęcia pędu (p = mv) równanie drugiej zasady Korzystając z pojęcia pędu (p = mv) równanie drugiej zasady dynamiki Newtona można zapisać w postaci:dynamiki Newtona można zapisać w postaci:

Czyli siła działająca na ciało jest równa pochodnej pędu Czyli siła działająca na ciało jest równa pochodnej pędu względem czasu. Jest to bardziej ogólna postać II zasady względem czasu. Jest to bardziej ogólna postać II zasady dynamiki. Istnieją bowiem zjawiska fizyczne w których masa dynamiki. Istnieją bowiem zjawiska fizyczne w których masa zmienia się podczas ruchu (np. masa rakiety maleje w miarę zmienia się podczas ruchu (np. masa rakiety maleje w miarę ubywania paliwa).ubywania paliwa).

m

FaF

0F i

dt

dp

dt

mvd

dt

dvmma F

Trzecia zasada dynamikiTrzecia zasada dynamikiJeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą FJeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą FABAB, to ciało B , to ciało B

działa na ciało A siłą Fdziała na ciało A siłą FBABA równą co do wartości bezwzględnej, równą co do wartości bezwzględnej,

lecz przeciwnie skierowaną, co wyrażamy wzorem:lecz przeciwnie skierowaną, co wyrażamy wzorem:

Siły te są jednakowe co do Siły te są jednakowe co do wielkości i skierowane wielkości i skierowane przeciwnie, lecz nie znosząprzeciwnie, lecz nie znosząsię ani nie równoważą, się ani nie równoważą, gdyż przyłożone są do gdyż przyłożone są do różnych ciał.różnych ciał.

Siły akcji i reakcjiSiły akcji i reakcji

BAAB FF

Dynamika ruchu punktu materialnego po okręguDynamika ruchu punktu materialnego po okręguZgodnie z I zasadą dynamiki tylko ruch jednostajny prostoliniowy może zachodzić bez działania sił, zatem ruch po okręgu wymaga istnienia siły (także ruch jednostajny po okręgu). W ruchu po okręgu musi wystąpić niezrównoważona siła skierowana do środka toru ruchu (do środka okręgu).W ruchu ciała po okręgu występuje przyspieszenie normalne (dośrodkowe):

Zgodnie zatem z II zasadą dynamik na ciało poruszające się jednostajnie po okręgu musi działać siła:

Siła ta skierowana do środka okręgu, nazywa się siłą dośrodkową.

r

vrn

22 a

r

vmrmmaF nn

22

Dynamika ruchu punktu materialnego po okręguDynamika ruchu punktu materialnego po okręguWe wszystkich przypadkach ruchu po okręgu stwierdza się istnienie siły dośrodkowej.

Inne przykłady:• gdy pociąg porusza się po zakrzywionym torze, to siłę

dośrodkową stanowi sprężyste oddziaływanie zewnętrznej szyny;

• w ruchu Księżyca wokół Ziemi siłą dośrodkową jest przyciąganie grawitacyjne Ziemi.

Na odważnik przymocowany do sznurka i wprawiony w ruch po okręgu działa siła dośrodkowa za pośrednictwem napiętego sznurka.

Siła dośrodkowa jest podstawą działania wszystkich wirówek. Np. na bieliznę działa siła dośrodkowa, a na wodę nie.

Siła dośrodkowa jest za mała, by utrzymać błoto na oponie i dlatego odrywa się ono wzdłuż linii prostych.

Dynamika ruchu punktu materialnego po okręguDynamika ruchu punktu materialnego po okręgu Gdy na ciało poruszające się po okręgu w pewnej chwili przestaje działać siła dośrodkowa, to zgodnie z I zasadą dynamiki ruch ciała nie ustaje, lecz trwa dalej jako ruch jednostajny i prostoliniowy wzdłuż stycznej do toru kołowego; np. grudki błota odlatują od koła rowerowego po stycznej, podobnie jak iskry z tarczy szlifierskiej.

Zgodnie z III zasadą dynamik działaniu siły dośrodkowej na ciało poruszające się po okręgu musi towarzyszyć działanie siły o tej samej wartości na więzy. Przez więzy rozumiemy te ciała, które wymuszają ruch ciała po okręgu (ręka, szyna kolejowa, Ziemia). Siłę działającą na więzy nazywamy siłą odśrodkową reakcji Fr. Siła ta jest przyczyną zużywania się łożysk .

PracaPracaPraca W stałej siły F wyraża się iloczynem skalarnym siły F i Praca W stałej siły F wyraża się iloczynem skalarnym siły F i wektora przesunięcia s czyli:wektora przesunięcia s czyli:

Jest więc wielkością skalarnąJest więc wielkością skalarną

Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego: Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego:

gdzie gdzie kąt między kierunkami siły i przesunięcia kąt między kierunkami siły i przesunięcia

Pracę wykonuje tylko składowa FPracę wykonuje tylko składowa Ftt styczna do przesunięcia sstyczna do przesunięcia s

sF W

sFsF t cos W

Praca może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.Praca jest dodatnia, gdy < 90o, a ujemna – gdy > 90o. Praca jest równa 0, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesunięcia ( = 90o).Np. praca wykonana przez siłę ciężkości jest dodatnia przy spadku ciała, ujemna – przy podnoszeniu do góry, a równa zeru – przy przesuwaniu ciała po torze poziomym.Jeżeli wartość Ft nie jest stała, lecz zależy od położenia ciała, wówczas należy rozpatrywać różniczkę pracy dW, będącą iloczynem siły Ft i różniczki przesunięcia ds:

W przypadku najogólniejszym, gdy tor, po którym się przesuwa ciało, jest krzywoliniowy, pracę definiuje się za pomocą całki krzywoliniowej jako:

gdzie A i B – punkty początkowy i końcowy toru.

dsFt dW

dsFB

A

W

PracaPracaJednostką pracy w układzie SI jest dżul J:Jednostką pracy w układzie SI jest dżul J:Dżul jest to praca wykonana podczas przesunięcia punktu Dżul jest to praca wykonana podczas przesunięcia punktu materialnego pod wpływem działania siły 1 N na odległość materialnego pod wpływem działania siły 1 N na odległość 1 m w kierunku działania siły.1 m w kierunku działania siły.

Jednostki pracy stosowane w innych układach:Jednostki pracy stosowane w innych układach:1 kGm = 9,80665 J1 kGm = 9,80665 J1 erg = 1 dyna x 1 cm = 101 erg = 1 dyna x 1 cm = 10-7-7 J J

Gdyby sztangista był wyższy, musiałbyGdyby sztangista był wyższy, musiałbywykonać większą pracę, aby podnieśćwykonać większą pracę, aby podnieśćsztangę.sztangę.

2

2

111J s

mkgmN

MocMocJest to wielkość wskazująca jaka pracę może wykonać dany Jest to wielkość wskazująca jaka pracę może wykonać dany układ w jednostce czasu.układ w jednostce czasu.Moc średnia:Moc średnia:

Moc chwilowa:Moc chwilowa:

Jednostką mocy w układzie SI jest wat [W]: moc jest równa Jednostką mocy w układzie SI jest wat [W]: moc jest równa jednemu watowi, jeżeli stała siła wykonuje pracę jednego jednemu watowi, jeżeli stała siła wykonuje pracę jednego dżula w czasie 1 sekundy: 1 W = 1 J/1 s = 1 J/sdżula w czasie 1 sekundy: 1 W = 1 J/1 s = 1 J/sInne jednostki spoza układu SI:Inne jednostki spoza układu SI:

1 kGm/s = 9,80655 W1 kGm/s = 9,80655 W1 KM = 75 kGm/s = 736 W1 KM = 75 kGm/s = 736 W

t

W

P

vFdt

dsF

dt

dW

t

Wt

t

t

0

limP

EnergiaEnergiaEnergia kinetyczna

Rozważmy ruch prostoliniowy punktu materialnego, zachodzący pod wpływem działania siły F. Ruch ten jest jednostajnie przyspieszony, z prędkością początkową v1 i po przebyciu drogi s prędkością końcową v2. Praca siły F:

Energię kinetyczną punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określamy wzorem:

Praca siły powodującej ruch punktu jest równa przyrostowi jego energii kinetycznej: W = Ek2 – Ek1

222

21

22

21

22 mvmv

a

vvmamassFW t

2

2mvEk

Siły zachowawczeW polu siły ciężkości (skierowanym pionowo w dół) przesuwa się punkt materialny po torze zamkniętym ABCDA. Chcemy obliczyć pracę tej siły po torze zamkniętym ABCDA:

WAB = -mgh; WBC = 0;

WCD = mgh; WDA = 0.

Zatem: WABCDA = 0.Siłę nazywamy zachowawczą albo potencjalną, jeżeli jej praca po dowolnym torze zamkniętym jest równa zeru. Siła ciężkości jest siłą zachowawczą. Zachowawczą jest też siła sprężystości. Nie jest siłą zachowawczą siła tarcia, siła oporu powietrza, siła oporu (lepkość) cieczy.Z faktu, że praca siły zachowawczej po drodze zamkniętej równa się zeru, wynika ważny wniosek:Praca siły zachowawczej nie zależy od kształtu drogi, a tylko od wyboru punktu początkowego i końcowego.

Energia potencjalnaEnergia potencjalnaEnergią potencjalną ciała w punkcie P względem punktu O nazywamy pracę, jaką wykonuje siła zachowawcza przy przesunięciu tego ciała od punktu P do punktu O.Wartość energii potencjalnej zależy od wyboru punktu odniesienia O.Grawitacyjną energię potencjalną określamy jako pracę siły ciężkości mg na pionowym torze o wysokości h, zatem:

Energia potencjalna sprężystości jest równa:

gdzie x oznacza dowolne odkształcenie ciała (wydłużenie, skrócenie itp.).

mghEp

2

2

1kxEp

Energia potencjalnaEnergia potencjalna

Energia potencjalna kuli o ciężarze 10 N jest taka sama (i równa 30 J) we wszystkich trzech przypadkach, gdyż praca podniesienia jej na wysokość 3 m jest niezależna od tego, czy:(a) została podniesiona siłą 10 N;(b) została wtoczona siłą 6 N po równi pochyłej o długości 5 m;(c) została wniesiona siłą 10 N po trzech schodach o wysokości 1 m każdy. W ruchu poziomym (przy braku tarcia) nie jest wykonywana żadna praca.

II. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJII. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Pojęcie bryły sztywnejPojęcie bryły sztywnejBryła sztywna to ciało, które pod działaniem sił nie ulega Bryła sztywna to ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom, tzn. odległości dwóch dowolnych odkształceniom, tzn. odległości dwóch dowolnych punktów takiego ciała pozostają stałe. punktów takiego ciała pozostają stałe. Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i zależności słuszne dla układu punktów materialnych.zależności słuszne dla układu punktów materialnych.

Rodzaje ruchów bryły sztywnejRodzaje ruchów bryły sztywnejBryła sztywna może wykonywać dwa rodzaje ruchów Bryła sztywna może wykonywać dwa rodzaje ruchów prostych: prostych: postępowy i obrotowypostępowy i obrotowy..Ruchem postępowymRuchem postępowym bryły sztywnej nazywamy ruch, w bryły sztywnej nazywamy ruch, w którym dowolny odcinek łączący dwa punkty bryły , np. A i którym dowolny odcinek łączący dwa punkty bryły , np. A i B, zachowuje stale położenie do siebie równoległe. B, zachowuje stale położenie do siebie równoległe. Wszystkie punkty bryłyWszystkie punkty bryłyzakreślają takie samezakreślają takie sametory, mają jednakowetory, mają jednakoweprędkości i przyspieszenia.prędkości i przyspieszenia.Ruch bryły sztywnejRuch bryły sztywnejsprowadza się do sprowadza się do ruchu punkturuchu punktumaterialnego (najczęściejmaterialnego (najczęściejjest to środek masy).jest to środek masy).

Ruch obrotowyRuch obrotowy bryły charakteryzuje się tym, że wszystkie bryły charakteryzuje się tym, że wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach, których środki punkty bryły poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej prostej.leżą na jednej prostej.Prostą tą nazywamy osią obrotu. Punkty znajdujące się na Prostą tą nazywamy osią obrotu. Punkty znajdujące się na osi obrotu są nieruchome, a pozostałe punkty poruszają osi obrotu są nieruchome, a pozostałe punkty poruszają się po łukach okręgów. się po łukach okręgów. Poszczególne punkty bryły charakteryzuje ta sama Poszczególne punkty bryły charakteryzuje ta sama prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe.prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe.Natomiast prędkości liniowe punktów bryły sztywnej są Natomiast prędkości liniowe punktów bryły sztywnej są proporcjonalne do odległości punktu od osi obrotu (v = proporcjonalne do odległości punktu od osi obrotu (v = r).r).

W życiu codziennym najczęściej W życiu codziennym najczęściej mamy do czynienia z ruchamimamy do czynienia z ruchamizłożonymi. Możemy je rozłożyćzłożonymi. Możemy je rozłożyćna ruch postępowy i obrotowy,na ruch postępowy i obrotowy,względem odpowiedniowzględem odpowiedniowybranego układu odniesienia.wybranego układu odniesienia.Przykładem takiego ruchuPrzykładem takiego ruchumoże być ruch toczącej sięmoże być ruch toczącej siępo podłodze piłki.po podłodze piłki.

W ruchu obrotowym ważna jest nie tylko wartość siły, ale także jej kierunek i punkt przyłożenia.Wielkość wywołującą ruch obrotowy nazywamy momentem siły, który definiujemy następująco:Momentem siły F względem punktu O osi obrotu nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r punktu przyłożenia siły F i tej siły (początek r leży w punkcie O).

Wartość bezwzględna momentu siły wynosi:

Moment siły bywa też nazywany momentem obrotowym.Jednostką momentu siły jest niutonometr (Nm).

FrM

sinM rF

Moment bezwładnościMoment bezwładnościW ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę odgrywa W ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę odgrywa sposób rozmieszczenia masy bryły wokół osi obrotu. sposób rozmieszczenia masy bryły wokół osi obrotu. Wielkością charakteryzującą tę własność bryły jest Wielkością charakteryzującą tę własność bryły jest moment bezwładności.moment bezwładności.Momentem bezwładności I bryły względem danej osi Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi, a więc:bryły i kwadratów ich odległości od danej osi, a więc:

Jednostką momentu bezwładności jest 1 kg mJednostką momentu bezwładności jest 1 kg m22. .

Moment bezwładności ciał o tej samej masie i tym samym Moment bezwładności ciał o tej samej masie i tym samym promieniu zależy od ich kształtu.promieniu zależy od ich kształtu.

2

1

I i

n

iirm

Moment bezwładnościMoment bezwładnościIm większy moment bezwładności, Im większy moment bezwładności, tym trudniej zmienić stan ruchutym trudniej zmienić stan ruchuobrotowego, zatrzymać obrótobrotowego, zatrzymać obrótlub wprawić w ruch obrotowy.lub wprawić w ruch obrotowy.Fakt ten jest np. wykorzystywanyFakt ten jest np. wykorzystywanyprzez cyrkowych linoskoczków,przez cyrkowych linoskoczków,którzy dla utrzymania równowagiktórzy dla utrzymania równowagiposługują się długimi drążkami.posługują się długimi drążkami.

Podczas biegu mocno zginamy Podczas biegu mocno zginamy nogi w kolanach, zmniejszając nogi w kolanach, zmniejszając tym samym ich moment tym samym ich moment bezwładności.bezwładności.

Moment bezwładnościMoment bezwładnościMomenty bezwładności niektórych bryłMomenty bezwładności niektórych brył

Moment bezwładnościMoment bezwładnościCiała mające większe momenty bezwładności (przy tej samej Ciała mające większe momenty bezwładności (przy tej samej masie) silniej przeciwstawiają się ruchowi obrotowemu.masie) silniej przeciwstawiają się ruchowi obrotowemu.

Które ciało stoczy się szybciej po równi pochyłej: pełny Które ciało stoczy się szybciej po równi pochyłej: pełny walec czy pierścień o tej samej masie i tej samej średnicy walec czy pierścień o tej samej masie i tej samej średnicy zewnętrznej?zewnętrznej?

Pełny walec stacza się po równi pochyłej szybciej niż Pełny walec stacza się po równi pochyłej szybciej niż pierścień o tej samej masie i tej samej średnicy zewnętrznej, pierścień o tej samej masie i tej samej średnicy zewnętrznej, ponieważ pierścień ma większy moment bezwładności (masa ponieważ pierścień ma większy moment bezwładności (masa pierścienia skupiona na jego obwodzie, daleko od osi obrotu) pierścienia skupiona na jego obwodzie, daleko od osi obrotu) i jego przyspieszenie jest mniejsze.i jego przyspieszenie jest mniejsze.

Twierdzenie SteineraTwierdzenie SteineraAby obliczyć moment bezwładnościAby obliczyć moment bezwładnościwzględem dowolnej osi, nie przecho-względem dowolnej osi, nie przecho-dzącej przez środek masy bryły,dzącej przez środek masy bryły,posługujemy sięposługujemy siętwierdzeniem Steineratwierdzeniem Steinera::

Moment bezwładności Moment bezwładności II bryły bryływzględem dowolnej osi jest równywzględem dowolnej osi jest równysumie momentu bezwładności sumie momentu bezwładności II00

względem osi równoległejwzględem osi równoległejprzechodzącej przez środekprzechodzącej przez środekmasy bryły oraz iloczynumasy bryły oraz iloczynumasy tej bryły masy tej bryły mm i kwadratu i kwadratu odległości odległości a a obu osi, czyli:obu osi, czyli:

Jakob Steiner (1796-1863), Jakob Steiner (1796-1863), szwajcarski matematyk.szwajcarski matematyk.

W 1834 na uniwersytecie w W 1834 na uniwersytecie w Berlinie Berlinie została utworzona została utworzona dla niego katedra geometrii.dla niego katedra geometrii.

20I maI

Druga zasada dynamiki ruchu obrotowegoDruga zasada dynamiki ruchu obrotowego Rozważmy obracającą się bryłę sztywną, składającą się z punktów materialnych m1, m2, ... , mn, na które działają siły F1, F2, ... , Fn, a r1, r2, ... , rn są promieniami punktów materialnych. Wypadkowy moment sił M działających na rozważaną bryłę wyniesie:

Słownie drugą zasadę dynamiki Newtona ruchu obrotowego można wyrazić następująco:

Jeśli na pewne ciało, które posiada pewien swój moment bezwładności I zadziałają zewnętrzne siły, które wywrą na to ciało pewien wypadkowy moment siły M, to w wyniku tego działania ciało będzie obracać się z przyspieszeniem kątowym takim, że

IrmrmrmramrFr iiiiiiiiiiii22M

IM

IM

Moment pędu (kręt)Moment pędu (kręt)Moment pędu L punktu materialnego o masie m i wektorze wodzącym r, poruszającego się z prędkością v względem osi obrotu odległej o r od tego punktu definiujemy wzorem:

Moment pędu bryły jest sumą momentów pędu wszystkich jego punktów, czyli:

Moment pędu bryły równa się iloczynowi jej prędkości kątowej i momentu bezwładności I.

Jednostką momentu pędu jest 1 kgm2/s.

Irmrm iiii 22LIL

2mrrmvprL

Moment pędu (kręt)Moment pędu (kręt)Posługując sie pojęciem momentu pędu można inaczej wyrazić drugą zasadę dynamiki Newtona:

Pochodna momentu pędu L bryły względem czasu t jest równa momentowi siły M działającej na tę bryłę.

Mamy bowiem:

Dlaczego łatwiej zachować równowagę na rowerze jadącym niż stojącym?

Podczas ruchu koła roweru mają pewien moment pędu. Przewrócić rower znaczy: zmienić jego moment pędu, a to wymaga przyłożenia znacznie większego momentu sił niż w przypadku roweru nieruchomego.

dt

dL

dt

Id

dt

IdIM

Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowegoPierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego

Rozważmy bryłę sztywną mogącą się obracać bez tarcia wokół stałej osi. Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego (M=I), jeżeli na bryłę tę będzie działał moment siły M, to wywoła on ruch obrotowy bryły z określonym przyspieszeniem kątowym .Przypuśćmy, że na obracającą się bryłę nie działa żaden moment siły, tzn. M=0. Wtedy, ponieważ bryła jest sztywna i jej moment bezwładności jest stały i różny od zera, przyspieszenie kątowe musi być równe zeru. Oznacza to, że prędkość kątowa obracającej się bryły, na którą nie działa moment siły, nie ulega zmianie.

Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego mówi, że:

Bryła sztywna nie poddana działaniu momentu siły pozostaje nieruchoma lub wykonuje ruch obrotowy jednostajny.

Słuszność tej zasady można sprawdzić obserwując koło o dużej masie, zamocowane na łożyskach. Koło takie wprawione w ruch obrotowy, zachowuje ten ruch bez zmiany tym dłużej, im lepsze są łożyska.

Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowegoTrzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego

Istnienie momentu siły działającego na daną bryłę jest zawsze wynikiem oddziaływania na nią innej bryły.

Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego mówi, że:

Jeżeli na bryłę A działa bryła B pewnym momentem siły MAB, to bryła B działa na A momentem MBA równym co do wartości, lecz przeciwnie skierowanym:

Słuszność tej zasady można sprawdzić obserwując działanie silników; np. w chwili uruchomienia silnika samochodu można zauważyć, że blok silnika ulega pewnemu skręceniu w kierunku przeciwnym do obrotu wału. Dzieje się tak dlatego, że wprawienie w ruch obrotowy wału silnika wymaga działania momentu siły, jednocześnie zaś działa przeciwnie skierowany moment na korpus silnika.

BAAB MM

Energia kinetyczna ruchu obrotowegoEnergia kinetyczna ruchu obrotowegoBryła sztywna wprawiona w ruch obrotowy ma energię kinetyczną. Energie tę obliczamy, sumując energie kinetyczne poszczególnych punktów bryły. Energia dowolnego i-tego punktu bryły o masie mi wynosi:

Energia kinetyczna całej bryły:

Energia kinetyczna ruchu obrotowego jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności i kwadratu prędkości kątowej.Analogia do wzoru na energię kinetyczną punktu materialn.

2222k 2

1

2

1E iiiii rmrmE

2k 2

1E I

222

2

1

2

1 iiiii rmvmE

Analogia między ruchem postępowym i obrotowymAnalogia między ruchem postępowym i obrotowym

Analogia między ruchem postępowym i obrotowymAnalogia między ruchem postępowym i obrotowym

III. ZASADY ZACHOWANIA W MECHANICEIII. ZASADY ZACHOWANIA W MECHANICE

ZASADY ZACHOWANIA W MECHANICEZASADY ZACHOWANIA W MECHANICEZasadami zachowania nazywa się prawa stwierdzające, że jakaś wielkość fizyczna pozostaje stała w czasie.

(iii) energiiW mechanice znamy trzy zasady zachowania: (i) pędu (ii) momentu pędu

Zasada zachowania pęduZasada zachowania pęduRozważmy układ punktów materialnych o masach mRozważmy układ punktów materialnych o masach m11, m, m22, ,

…, m…, mnn, na które działają siły zewnętrzne F, na które działają siły zewnętrzne F11, F, F22, …, F, …, Fnn. .

Według II zasady dynamiki Newtona dla dowolnego (i-tego) Według II zasady dynamiki Newtona dla dowolnego (i-tego) punktu zachodzi zależność:punktu zachodzi zależność:

,,

która dla wszystkich punktów (sumowanie) przyjmuje która dla wszystkich punktów (sumowanie) przyjmuje postać:postać:

,,

tzn. suma wszystkich sił zewnętrznych działających na tzn. suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ (suma sił wewnętrznych jest równa 0) jest równa układ (suma sił wewnętrznych jest równa 0) jest równa sumie zmian w czasie pędów punktów materialnych (pędu sumie zmian w czasie pędów punktów materialnych (pędu całkowitego układu). Czyli:całkowitego układu). Czyli:

dt

dpamF iiii

n

ii

n

i

in

ii p

dt

d

dt

dpF

111

dt

dpFz

Zasada zachowania pęduZasada zachowania pęduJest to twierdzenie o pędzie całkowitym:Jest to twierdzenie o pędzie całkowitym:

Pochodna pędu całkowitego p układu względem czasu t Pochodna pędu całkowitego p układu względem czasu t jest równa wypadkowej sił zewnętrznych Fjest równa wypadkowej sił zewnętrznych Fzz działających na działających na

układ.układ.

Konsekwencją tego jest następująca relacja:Konsekwencją tego jest następująca relacja:

gdy Fgdy Fzz = 0, to p = const = 0, to p = const

Zależność ta wyraża Zależność ta wyraża zasadę zachowania pęduzasadę zachowania pędu, która mówi, , która mówi, że:że:

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ punktów materialnych jest równa zeru, to pęd całkowity punktów materialnych jest równa zeru, to pęd całkowity tego układu jest stały.tego układu jest stały.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu:Zgodnie z zasadą zachowania pędu:

Jeżeli wypadkowa sił wewnętrznych działających na układ Jeżeli wypadkowa sił wewnętrznych działających na układ jest równa zeru, to pęd układu w stanie początkowym jest jest równa zeru, to pęd układu w stanie początkowym jest równy pędowi układu w stanie końcowym.równy pędowi układu w stanie końcowym.

Zasada zachowania pęduZasada zachowania pędu

PRZYKŁADYPRZYKŁADY

Człowiek wyskakujący na ląd ze stojącej na wodzie łódki – pęd układu (łódka-człowiek) pozostaje stały (równy zeru).

Działanie śruby okrętowej – nadanie wodzie pędu skierowanego w tył, wskutek czego statek uzyskuje pęd skierowany do przodu. Podobnie działa śmigło samolotu i śmigłowca;

Zasada zachowania pęduZasada zachowania pędu

PRZYKŁADYPRZYKŁADYZjawisko odrzutu przy użyciu broni palnej (pęd uzyskany przez karabin w chwili wystrzału jest równy co do wartości bezwzglę-dnej pędowi pocisku);

Działanie silników odrzuto-wych i rakietowych (pęd unoszony przez gazy spalinowe jest równy co do wartości bezwzględnej pędowi uzyskanemu przez samolot lub rakietę).

Zasada zachowania momentu pędu (krętu)Zasada zachowania momentu pędu (krętu)

Twierdzenie o momencie pędu (kręcie) całkowitym:Twierdzenie o momencie pędu (kręcie) całkowitym:

Pochodna momentu pędu (krętu) całkowitego układu Pochodna momentu pędu (krętu) całkowitego układu względem czasu jest równa momentowi wypadkowemu sił względem czasu jest równa momentowi wypadkowemu sił zewnętrznych: zewnętrznych:

Natomiast siły wewnętrzne układu nie mają wpływu na Natomiast siły wewnętrzne układu nie mają wpływu na całkowity moment pędu układu (podobnie jak w zasadzie całkowity moment pędu układu (podobnie jak w zasadzie zachowania pędu).zachowania pędu).

Konsekwencją powyższego równania jest następująca Konsekwencją powyższego równania jest następująca relacja:relacja:

gdy Mgdy Mzz = 0, to L = const. = 0, to L = const.

dt

dLM z

Zasada zachowania momentu pędu (krętu)Zasada zachowania momentu pędu (krętu)

Konsekwencją powyższego równania Konsekwencją powyższego równania

jest następująca relacja:jest następująca relacja:

gdy Mgdy Mzz = 0, to L = const. = 0, to L = const.

Zależność ta wyraża zasadę zachowania momentu pędu Zależność ta wyraża zasadę zachowania momentu pędu (krętu), która mówi, że:(krętu), która mówi, że:

Jeżeli moment wypadkowy sił zewnętrznych działających Jeżeli moment wypadkowy sił zewnętrznych działających na układ równa się zeru, to moment pędu (kręt) całkowity na układ równa się zeru, to moment pędu (kręt) całkowity tego układu jest stały.tego układu jest stały.

Całkowity kręt układu wyraża się sumą: Całkowity kręt układu wyraża się sumą: , ,

a gdy prędkości kątowe poszczególnych brył są równe, to: a gdy prędkości kątowe poszczególnych brył są równe, to:

dt

dLM z

iiIL

IIL i

Zasada zachowania momentu pędu (krętu)Zasada zachowania momentu pędu (krętu)

PRZYKŁADYPRZYKŁADY

Zmiany rozłożenia masy ciała wokół osi obrotu umożliwiają skoczkowi regulację prędko-ści obracania się jego ciała.Podobne zjawisko obserwu-jemy w jeździe na lodzie przy wykonywaniu piruetów.

Obrotowy stołek: kręt układu (człowiek + hantle) pozostaje stały: zmniejszenie momentu bezwładności (I=mr2) wskutek zbliżenia han-tli przyspiesza obrót).

Zasada zachowania momentu pędu (krętu)Zasada zachowania momentu pędu (krętu)PRZYKŁADYPRZYKŁADY

Kot spadając wielokrotnie przemieszcza swoje kończyny i ogon, tak aby nastąpiła zmiana momentu bezwładności. Nastąpi obrót ciała, ale prędkość kątowa nie ulegnie zmianie.

Gimnastyk może zmieniać prędkość obrotową przez odpowiednią zmianę momentu bezwładności ciała, gdyż moment pędu musi być zachowany.

Zasada zachowania energiiZasada zachowania energii

Układ odosobnionyUkład odosobniony – układ na który nie dzia- – układ na który nie dzia-łają żadne siły zewnętrzne; w układzie odoso-łają żadne siły zewnętrzne; w układzie odoso-bnionym działają więc tylko siły wewnętrzne. bnionym działają więc tylko siły wewnętrzne.

Jeżeli założymy, że siły te są zachowawcze,Jeżeli założymy, że siły te są zachowawcze, to takie układy nazywamy to takie układy nazywamy zachowawczymizachowawczymi..

Siła zachowawcza Siła zachowawcza – jeśli jej praca po– jeśli jej praca podowolnym torze zamkniętym jest równa zeru.dowolnym torze zamkniętym jest równa zeru.

Energia mechanicznaEnergia mechaniczna – suma energii – suma energiikinetycznej i potencjalnej.kinetycznej i potencjalnej.

Zasada zachowania energii:Zasada zachowania energii:

Energia mechaniczna układu odosobnionego i Energia mechaniczna układu odosobnionego i

zachowawczego jest stała, to znaczy:zachowawczego jest stała, to znaczy:

EEkk + E + Epp = const. = const.

Zasada zachowania energiiZasada zachowania energii

W przypadku układów niezachowawczych, energia W przypadku układów niezachowawczych, energia mechaniczna tych układów nie jest stała.mechaniczna tych układów nie jest stała.

Przykład:Przykład:

metalowa kulka wrzucona z pewnej wysokości do zbiornika metalowa kulka wrzucona z pewnej wysokości do zbiornika z gęsta smołą. Analiza makroskopowa i mikroskopowa.z gęsta smołą. Analiza makroskopowa i mikroskopowa.

Ogólna zasada zachowania energii mówi, że:Ogólna zasada zachowania energii mówi, że:

Całkowita energia (mechaniczna, elektryczna, Całkowita energia (mechaniczna, elektryczna, magnetyczna chemiczna, jądrowa itp.) układu magnetyczna chemiczna, jądrowa itp.) układu odosobnionego jest wielkością stałą.odosobnionego jest wielkością stałą.

W układzie odosobnionym zachodzą tylko przemiany W układzie odosobnionym zachodzą tylko przemiany jednych form energii w inne.jednych form energii w inne.