Vurderingsveiledning Matematikk, sentralt gitt eksamen ... matematikk i videregående opplæring 2010 Side 2 av 36 Vurderingsveiledning til sentralt gitt skriftlig eksamen 2010 Denne

Vurderingsveiledning 2010

Matematikk, sentralt gitt eksamenStudieforberedende og yrkesfaglige utdanningsprogramKunnskapsløftet LK06

Bokmål

Vurderingsveiledning, matematikk i videregående opplæring 2010 Side 2 av 36

Vurderingsveiledning til sentralt gitt skriftlig eksamen 2010

Denne veiledningen består av en felles del (del 1) med informasjon om eksamen somsluttvurdering og en fagspesifikk del (del 2) med informasjon om vurdering i det enkelte fagetog kjennetegn på måloppnåelse i faget til sentralt gitt eksamen.

Målgruppa for veiledningen er lærere, elever, privatister i videregående opplæring, deltakereog privatister i grunnskoleopplæring for voksne, sensorer og foresatte. Veiledningen brukerkonsekvent betegnelsen elev/eleven.

Læreren bør gå gjennom veiledningen sammen med elevene.

Del 1 Fellesinformasjon om eksamen

Hensikten med vurderingsveiledningenDenne vurderingsveiledningen gir informasjon om hvordan sentralt gitt eksamen er organisert,og hva sensorene skal legge vekt på når de vurderer besvarelsene. Både elever, lærere ogforesatte skal ha kjennskap til hva som vektlegges til sentralt gitt eksamen, og hva somkjennetegner kompetanse på ulike nivåer. Sensorene skal bruke vurderingsveiledningen somen felles referanseramme i arbeidet sitt.

Vurderingsveiledningen skal være kjent for alle parter i god tid før eksamen.

KompetanseLæreplanene og forskrift til opplæringsloven er grunndokumenter for vurderingsarbeidet.Forskrift til opplæringsloven, som ble fastsatt av Kunnskapsdepartementet 01.08.2009, sierfølgende om sentralt gitt eksamen (§ 3-25, tredje ledd og § 4-18, femte ledd):

Eksamen skal organiserast slik at eleven/deltakaren eller privatisten kan få vistkompetansen sin i faget. Eksamenskarakteren skal fastsetjast på individuelt grunnlagog gi uttrykk for kompetansen til eleven/deltakaren eller privatisten slik den kjem frampå eksamen.

Kompetanse er i denne sammenhengen definert som evnen til å møte en kompleks utfordringeller utføre en kompleks aktivitet eller oppgave. I St.meld. nr. 30 (2003–2004) Kultur forlæring er kompetanse beskrevet som det man gjør og får til i møte med utfordringer. Ilæreplanene for fag er kompetansen beskrevet som mål for opplæringen.Eksamensoppgavene blir utformet slik at de prøver denne kompetansen.

Grunnleggende ferdigheter er integrert i kompetansemålene i alle læreplanene for fag. Dettebetyr at kompetansemålene for eksempel inneholder krav om å kunne bruke digitale verktøy ifaget og å kunne skrive på måter som er relevante i faget. Derfor vil grunnleggende ferdigheterkunne prøves ved sentralt gitt eksamen, som en integrert del av den fagkompetansen elevenskal ha utviklet.


KaraktererForskriften har generelle karakterbeskrivelser for grunnopplæringen (§ 3-4) og forgrunnskoleopplæring for voksne (§4-4):

Karakterar i fag

Det skal nyttast talkarakterar på ein skala frå 1 til 6. Berre heile talkarakterar skalnyttast. Dei enkelte karaktergradane har dette innhaldet:

Karakteren 6 uttrykkjer at eleven har framifrå kompetanse i faget.

Karakteren 5 uttrykkjer at eleven har mykje god kompetanse i faget.

Karakteren 4 uttrykkjer at eleven har god kompetanse i faget.

Karakteren 3 uttrykkjer at eleven har nokså god kompetanse i faget.

Karakteren 2 uttrykkjer at eleven har låg kompetanse i faget.

Karakteren 1 uttrykkjer at eleven har svært låg kompetanse i faget.

Kjennetegnene på måloppnåelse i den fagspesifikke delen av vurderingsveiledningenebeskriver nærmere hva for eksempel ”god kompetanse i faget” vil si for et bestemt fag tilskriftlig eksamen.

Organisering av sentralt gitt skriftlig eksamenSentralt gitt skriftlig eksamen varer i fem timer. Så langt det er mulig, bør sentralt gitt eksamenkunne være IKT-basert.

Med utgangspunkt i kompetansemålene for de ulike fagene har Utdanningsdirektoratet valgten eksamensform med forberedelsesdel i noen fag, mens andre fag ikke har det.Forberedelsesdelen er begrenset til én dag på skolen. På forberedelsesdagen er allehjelpemidler tillatt, inkludert bruk av Internett.

I fagene matematikk (grunnskolen og videregående opplæring), fysikk, kjemi og biologi(videregående opplæring) består eksamen av én del uten hjelpemidler og én del medhjelpemidler. Den første delen er uten hjelpemidler (skrivesaker, passer, linjal medcentimetermål og vinkelmåler er tillatt), og elevene kan ikke bruke datamaskin. På den andredelen er alle hjelpemidler tillatt, bortsett fra Internett og andre verktøy som kan brukes tilkommunikasjon. Begge delene av prøven er utformet slik at oppgavene kan løses på ulikenivåer. Dermed får alle elever mulighet til å vise hva de kan.

Til eksamen i andre fag er alle hjelpemidler tillatt på eksamensdagen, bortsett fra Internett ogandre verktøy som kan brukes til kommunikasjon. For norsk, samisk, latin 2, gresk 2, finsk somandrespråk og fremmedspråkene er heller ikke oversettelsesprogrammer tillatt.

http://www.udir.no/Artikler/_Eksamen/IKT-basert-eksamen/


HjelpemidlerElevene kan velge å ta med seg ulike hjelpemidler, avhengig av hva som er formålstjenlig forden enkelte.

§ 3-31 og § 4-24 Hjelpemiddel til eksamen

Eksamenen kan organiserast med eller utan hjelpemiddel. Utdanningsdirektoratetfastset kva for hjelpemiddel som er tillatne i kvart fag ved sentralt gitt eksamen.

Ved lokalt gitt eksamen fastset skoleeigaren kva hjelpemiddel som skal tillatast. Deitillatne hjelpemidla må ikkje svekkje grunnlaget for å vurdere kompetansen til eleveneller privatisten.

Når alle hjelpemidler er tillatt til eksamen, krever det at elevene gjennom opplæringen har blittveiledet i å vurdere kritisk hvilke hjelpemidler han/hun vil ha nytte av i arbeidet med å løseulike typer oppgaver.

KilderKilder er tekster som er tilgjengelige for andre, dvs. en publisert tekst. Dersom det er aktueltfor eleven å bruke kilder i sin besvarelse – enten fordi oppgaven krever det, eller fordi elevenvelger å bruke kilder, må disse oppgis på en etterrettelig måte. Det finnes ulike måter å oppgikilder på. Det vesentlige er at alle kilder som blir brukt til eksamen, skal oppgis på en slik måteat leseren kan finne fram til dem.

Eleven skal oppgi forfatter og fullstendig tittel på så vel lærebøker som annen litteratur.Dersom eleven bruker utskrifter eller sitater fra nettsider, skal han/hun oppgi fullstendignettadresse og nedlastingsdato.


Del 2 Vurdering i matematikk ved sentralt gitt skriftligeksamen i videregående opplæring

Denne vurderingsveiledningen gjelder sentralt gitt skriftlig eksamen i disse matematikkfagene ivideregående opplæring:

Studieforberedende utdanningsprogram

MAT1011 Matematikk 1P (ny kode f.o.m. våren 2010)MAT1013 Matematikk 1T (ny kode f.o.m. våren 2010)MAT1003 Matematikk 2P (omfatter både 1P og 2P)MAT1008 Matematikk 2T (omfatter både 1T og 2T)REA3022 Matematikk R1REA3026 Matematikk S1REA3024 Matematikk R2REA3028 Matematikk S2

Yrkesfaglige utdanningsprogram

MAT1005 Matematikk 2P-Y, påbygging til generell studiekompetanse, yrkesfagMAT1010 Matematikk 2T-Y, påbygging til generell studiekompetanse, yrkesfag

V

2.1 Eksamensmodell og eksamensordning

2.1.1 Eksamensmodell

Eksamen varer i fem timer og består av to deler. Denne eksamensmodellen er valgt ut fra enfaglig vurdering av matematikkfagets egenart.

2.1.2 Eksamensordning

2

2

2

2

Uuk

Eksamen har ingen forberedelsesdel.

Del 1 og Del 2 av eksamen deles ut samtidig til elevene.

Etter to timer skal besvarelsen av Del 1 leveres inn. Samtidig kan digitale verktøyog andre hjelpemidler til bruk i Del 2 tas fram.

Besvarelsen av Del 2 skal leveres inn innen fem timer etter eksamensstart.

Eleven kan begynne på Del 2 når som helst (men uten hjelpemidler fram til det

urderingsveiledning, matematikk i videregående opplæring 2010 Side 6 av 36

.2 Hjelpemidler, kommunikasjon og særskilt tilrettelegging

.2.1 Hjelpemidler på Del 1

På Del 1 er skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler eneste tillattehjelpemidler.

På Del 1 er det ikke tillatt å bruke pc.

Merk at ved særskilt tilrettelegging av eksamen er det heller ikke tillatt å bruke andrehjelpemidler enn de som er spesifisert over, jf. avsnitt 2.2.4.

.2.2 Hjelpemidler på Del 2

Alle hjelpemidler er tillatt, bortsett fra Internett og andre verktøy som kan brukes tilkommunikasjon.

.2.3 Kommunikasjon

nder eksamen har elevene ikke anledning til å kommunisere med hverandre ellertenforstående. Det betyr at Internett, mobiltelefoner og alle andre innretninger som tillaterommunikasjon, ikke er tillatt under eksamen.

har gått to timer, og besvarelsen av Del 1 er levert inn).


2.2.4 Særskilt tilrettelegging av eksamen

Når det gjelder særskilt tilrettelegging av eksamen, vises det til rundskriv Udir-4-2010 (somerstatter rundskriv Udir-5-2009), som er publisert på Utdanningsdirektoratets nettsider,www.udir.no.

2.3 Innholdet i eksamensoppgavene

Ved utformingen av eksamensoppgaver tas det utgangspunkt i kompetansemålene ilæreplanen for faget.

Integrert i kompetansemålene finner vi de grunnleggende ferdighetene:

å kunne uttrykke seg muntlig i matematikk (ikke på skriftlig eksamen) å kunne uttrykke seg skriftlig i matematikk å kunne lese i matematikk å kunne regne i matematikk å kunne bruke digitale verktøy i matematikk

Fra formålet for fellesfaget matematikk:

Problemløysing høyrer med til den matematiske kompetansen. Det er å analysere ogomforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig det er. Dettehar òg språklege aspekt, som det å resonnere og kommunisere idear. I det meste avmatematisk aktivitet nyttar ein hjelpemiddel og teknologi. Både det å kunne bruke ogvurdere hjelpemiddel og teknologi og det å kjenne til avgrensinga deira er viktige delarav faget.

Tall- og begrepsforståelse og ferdighetsregning utgjør fundamentet i matematikkfaget.

Oppgavesettene er bygget opp slik at besvarelsen skal gi grunnlag for å vurdere elevenesindividuelle kompetanse i matematikk. Elevene skal få mulighet til å vise i hvilken grad de kanta i bruk sine faglige kunnskaper og ferdigheter i forbindelse med teoretiske problemstillingerog i virkelighetsnære situasjoner.

Oppgavene i både Del 1 og Del 2 av eksamen inneholder derfor elementer av ulik vanskegrad.


2.3.1 Innhold i Del 1

I Del 1 prøves regneferdigheter og grunnleggende matematikkforståelse, begreps- ogtallforståelse, evne til resonnement og fagkunnskap.

Det kan være flere mindre oppgaver med temaer spredt ut over kompetansemålene ilæreplanen. I tillegg kan det eventuelt være en mer sammenhengende oppgave.

Del 1 av eksamen er papirbasert.

2.3.1.1 Formler i Del 1

I vedleggene til denne vurderingsveiledningen er det listet opp formler som skal være kjentmed tanke på Del 1 av eksamen.

Lærebøker kan ha ulike måter å skrive formler og symboler på, og det er selvsagt opp til denenkelte elev og lærer å bruke den skrivemåten de er vant til. Hovedsaken er å kjenne innholdeti formlene og kunne bruke dem. Dersom elevene er vant til å bruke andre formler i tillegg tildem som er nevnt i vedleggene, er det selvfølgelig tillatt å bruke disse.

Merk:

Eksamensoppgavene er laget ut fra kompetansemålene i læreplanen, og utvalget avformler angir derfor ikke begrensninger av kompetansemål som kan prøves i Del 1.

Dersom oppgavetemaet krever det, kan mer kompliserte formler bli oppgitt som en delav oppgaveteksten i Del 1.

Det forutsettes at eleven behersker grunnleggende formler og framgangsmåter fratidligere kurs og skolegang.

2.3.2 Innhold i Del 2

Del 2 inneholder oppgaver med ulik vanskegrad.

Del 2 av oppgavesettet vil kunne løses ved hjelp av grafisk kalkulator.

Én av oppgavene i Del 2 vil normalt komme i to varianter – alternativ I og alternativ II.Alternativ I skal kunne løses ved hjelp av grafisk kalkulator. For å løse alternativ II kan detderimot være en fordel å bruke annet digitalt verktøy. Se ellers avsnitt 2.6.7 nedenfor.

De øvrige oppgavene i Del 2 skal altså kunne løses ved hjelp av grafisk kalkulator. Det kanimidlertid gis oppgaver der eleven kan ha nytte av dynamisk programvare (for eksempel iforbindelse med eventuell konstruksjon og graftegning) eller symbolbehandlende verktøy.


2.4 Språket i eksamensoppgavene

Hvis eleven bruker grafiske løsningsmetoder, må han/hun argumentere og forklare figuren.

I forbindelse med kurvedrøfting kan for eksempel følgende formulering være aktuell:

”Finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f ved regning.” Her skal eleven

finne uttrykket til den deriverte tegne fortegnslinjen eller grafen til den deriverte avgjøre om vi får topp- eller bunnpunkt

Mellomregning og mellomresultater må tas med i rimelig omfang – også når eleven brukerdigitale verktøy.

Flere digitale verktøy inneholder ferdige prosedyrer for løsning av sammensatte problemersom for eksempel å løse likninger og likningssystemer, å finne likningen for en tangent ogliknende. Det finnes også verktøy som har automatiserte prosedyrer knyttet tilfinansfunksjoner, statistikk og sannsynlighetsregning. Hvis slike funksjoner i et digitaltverktøy tas i bruk, er det særlig viktig at eleven redegjør for tankegangen bak løsningen avoppgaven. Det samme gjelder hvis eleven benytter egne programmer som ikke er standard idet digitale verktøyet. I slike tilfeller bør både løsningsmetode og resonnementdokumenteres forholdsvis detaljert.

Dersom det oppstår tvil og ulike oppfatninger av oppgaveteksten, vil sensorene være åpne forrimelige tolkninger.

Del 2 kan inneholde oppgaveformuleringer som ”Finn … ved regning” eller ”Regn ut …”.Dette betyr at løsningen av oppgaven skal redegjøres for algebraisk. Det vil si at eleveneikke kan måle, lese av eller løse oppgaven grafisk. Eleven må løse oppgaven vedutregning. Ved bruk av digitale (CAS-) verktøy ved slike oppgaveformuleringer skaleleven gjøre rede for og begrunne hvilke algebraiske uttrykk, likninger og lignende somer benyttet. Dessuten skal kommandoer og det som er inntastet i programmet kommeklart fram i besvarelsen.

Ved formuleringer som ”finn”, ”løs” og ”bestem” legges det ikke opp til bestemteframgangsmåter eller spesielle hjelpemidler. Eleven kan velge å løse oppgaven grafisk,ved (algebraisk) regning, ved å benytte ulike kommandoer i et digitalt verktøy, eller vedå gjette og deretter verifisere gjennom innsetting. Her har eleven metodefrihet, og énmetode er ikke mer verdt enn en annen metode.


2.5 Framgangsmåte og forklaring

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan eleven velge framgangsmåte oghjelpemidler selv.

Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metodekunne gi noe uttelling.

Framgangsmåte, utregning og forklaring skal belønnes – også selv om resultatet ikkeer riktig. Ved følgefeil skal sensor likevel gi uttelling, dersom den videreframgangsmåten er riktig, og oppgaven ikke blir urimelig forenklet.

Dersom eleven ikke har med framgangsmåten, men bare et korrekt svar, skal det gisnoe uttelling for dette, selv om eleven har vist manglende kommunikasjons-kompetanse. Ved mer åpne oppgaveformuleringer er det spesielt viktig at elevenbegrunner sin tolkning av oppgaven og sitt valg av løsningsstrategi.

Eksempel på framgangsmåte og begrunnelse ved bruk av CAS:

Jf. dokumentene ”Eksempel på løsning” for fagkodene MAT1003 og MAT1008 som erpublisert på Utdanningsdirektoratets hjemmeside, www.udir.no.

Eleven står fritt til å tegne en graf på papir eller bruke et digitalt verktøy for å tegnesamme graf og deretter ta en utskrift. Begge typer besvarelser skal vurderes på lik linjeved sensuren.

Nødvendig mellomregning og forklaring er påkrevd for å vise hva som er gjort,både i Del 1 og i Del 2 av eksamen. Evne til å kommunisere matematikk ansessom viktig her. Eleven skal presentere løsningene på en ryddig, oversiktlig ogtydelig måte. Manglende konklusjon, benevning, bruk av nødvendig notasjon ogliknende kan føre til lavere uttelling for oppgaveløsningen.

Kravet til framgangsmåte og forklaring ved bruk av digitale verktøy er ikkemindre enn ved bruk av andre hjelpemidler – snarere tvert imot. Det er viktigat eleven viser hva som er gjort i alle typer digitale verktøy for å få uttelling vedsensuren.


2.6 Andre kommentarer

2.6.1 Konstruksjon/tegning

Konstruksjonsoppgaver kan i Del 2 løses med passer, blyant og linjal eller ved hjelp avet digitalt verktøy. Det er generelt ikke krav om hjelpefigur, men eleven skal alltid oppgiog legge ved konstruksjonsforklaring.

I Del 1 skal konstruksjonsoppgaver løses med passer, blyant og linjal.

Dersom det i Del 2 av eksamen blir brukt dynamisk verktøy, skal løsningen inkluderehjelpe- og støttelinjer og en konstruksjonsforklaring som viser hvordan konstruksjonener utført i programvaren.

2.6.2 Graftegning og skisse

Tegning av grafer kan gjøres enten manuelt på papiret eller ved å bruke digitale verktøy. Åtegne en graf betyr å lage et så nøyaktig bilde som mulig av grafen.

Det er viktig å skrive enheter og navn på aksene når det blir tegnet grafer ibesvarelsen.

Det er generelt ikke krav om verditabell over utregnede funksjonsverdier, med mindre deter spurt spesielt om det i oppgaven.

Når begrepet ”skisse” brukes i forbindelse med tegninger, grafer og liknende, er det ikkesnakk om en nøyaktig tegning i riktig målestokk. Eleven kan da ikke uten videre måle påselve skissen for å besvare oppgaven.

Hvis eleven blir bedt om å skissere en graf, er det tilstrekkelig at han/hun skissererkurvens form i besvarelsen. Her stilles det ikke så høye krav til nøyaktighet som vedtegning av grafer. På skissen skal avlesninger markeres tydelig.

2.6.3 Digitale verktøy på Del 2 av eksamen

Det forutsettes at elevene er kjent med digitale verktøy (grafisk kalkulator eller andredataprogrammer for matematikk), og at de kan bruke disse på en hensiktsmessig måte undereksamen. Dersom elevene leverer utskrift fra et digitalt verktøy, er det viktig at alle arkene kanidentifiseres.

2.6.3.1 Grafisk kalkulator

Oppgavene i Del 2 skal kunne løses ved hjelp av grafisk kalkulator, men elevene vil også inoen tilfeller kunne ha nytte av dynamisk programvare eller symbolbehandlende verktøy.

Én av oppgavene i Del 2 vil normalt komme i to varianter – alternativ I og alternativ II.Alternativ I skal kunne løses ved hjelp av grafisk kalkulator. For å løse alternativ II kan detvære en fordel å bruke et annet digitalt verktøy.

Ved bruk av grafisk kalkulator skal eleven oppgi hvilke funksjoner som er brukt. Det erikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene.


2.6.3.2 Dynamisk programvare og CAS-verktøy

På Del 2 av eksamen kan det gis oppgaver der eleven kan ha nytte av dynamiskprogramvare i forbindelse med eventuell konstruksjon og graftegning.

Ved bruk av dynamisk programvare kreves det en beskrivelse av det som er gjort iprogramvaren (framgangsmåte), enten det er i forbindelse med konstruksjon ellergraftegning. Programvarens konstruksjonsforklaring må legges ved besvarelsen.

Eleven skal oppgi de programkommandoene som er brukt. Det er ikke nødvendig åoppgi alle tastetrykkene.

Det er viktig å skrive enheter og eventuell benevning på aksene når man tegnergrafer ved hjelp av digitale verktøy. Det er ikke nødvendig å føre inn tabell overutregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt om det i oppgaven.

Elever som bruker CAS-verktøy, må ikke overføre eventuell feilaktig matematisknotasjon fra CAS-verktøyet direkte til besvarelsen, men eventuelt ”oversette” den tilen korrekt matematisk notasjon. Dersom for eksempel et CAS-verktøy opererer mednotasjonen 2x , 3y i forbindelse med løsning av et likningssett, må denne

notasjonen ”oversettes” til for eksempel 3yog2x .

2.6.3.3 Regneark

Ved bruk av regneark bør eleven i størst mulig grad benytte formler slik at løsningen blirdynamisk, dvs. at løsningen endres dersom tallene i en oppgave endres.

Når et regneark skrives ut, skal rad- og kolonneoverskrifter være med på utskriften.

Eleven skal enten ta en formelutskrift av regnearket eller skrive formlene som er brukt ien tekstboks.

Eleven bør tilpasse løsningen på regnearket til ett eller to utskriftsark ved bruk avforhåndsvisning før utskrift.

Selv om det er det faglige innholdet som primært skal vurderes, vil også presentasjonenav løsningen bli vurdert (kommunikasjonskompetanse).

2.6.4 IKT-basert eksamen

Her vises det til informasjon om IKT-basert eksamen på Utdanningsdirektoratetsnettsider under menypunktet Eksamen. Skolen må sette seg grundig inn i denneinformasjonen før Del 2 eventuelt blir avviklet som en IKT-basert eksamen.

Del 1 av eksamen i matematikk arrangeres uansett som en vanlig papirbaserteksamen.


2.6.5 Sensorveiledning

Fra våren 2010 publiserer Utdanningsdirektoratet sensorveiledninger allerede på eksamens-dagen i alle fagkoder i matematikk. Sammen med sensorveiledningene blir det også publisertvurderingsskjemaer som sensorene kan bruke. Hensikten med disse publikasjonene er åstøtte opp om den sentrale sensuren og sikre en rettferdig sensur.

Sensorveiledning og vurderingsskjema publiseres på eksamensdagen, etter at eksamen i denaktuelle fagkoden er avholdt. Disse dokumentene blir lagt ut på Utdanningsdirektoratetsnettsider, nærmere bestemt

http://www.udir.no/Artikler/_Eksamen/Vurderings--og-sensorveiledninger-VGO/

Sensorveiledningen inneholder kommentarer til oppgavene og retningslinjer til sensor omvurderingen. Vi forutsetter at alle sensorer følger veiledningen. Vurderingsskjemaet inneholderforslag til poengfordeling for hver fagkode. NB! Bruk av poeng er bare veiledende i vurderingen.Karakteren fastsettes ut fra en helhetsvurdering av besvarelsen, bruk av kjennetegn påmåloppnåelse og sensors faglige skjønn.

2.6.6 Forhåndssensur og forhåndssensurrapport

Som tidligere avholdes det ved våreksamen forhåndssensur på bakgrunn av førsteinntrykkenefra sensorene noen få dager etter eksamen i faget. På bakgrunn av dette utarbeides det enforhåndssensurrapport som publiseres på Utdanningsdirektoratets nettsider på samme stedsom sensorveiledningen.

Forhåndssensurrapporten kan inneholde justeringer av sensorveiledningene som blir publisertpå eksamensdagen. Vi forutsetter at alle sensorer følger veiledningen iforhåndssensurrapporten. Forhåndssensurrapporten vil vanligvis inneholde forslag tilveiledende poenggrenser. NB! Bruk av poeng er bare veiledende i vurderingen. Karakterenfastsettes på bakgrunn av en helhetsvurdering av besvarelsen, bruk av kjennetegn påmåloppnåelse og sensors faglige skjønn.

2.6.7 Viktig melding for 2011

Fra og med våren 2011 tas alternative oppgaver i Del 2 bort fra alle eksamenskodene i

matematikk. Oppgaven som i 2010 inneholder alternativ I og alternativ II i Del 2, vil dagjøres om til én oppgave som alle elever skal besvare.

Alle eksamensoppgavene skal som før kunne løses med grafisk kalkulator (som ikke ersymbolbehandlende).

Alle hjelpemidler er som før tillatt på Del 2 av eksamen, også andre digitale hjelpemidlerutover grafisk kalkulator, for eksempel symbolbehandlende kalkulator og dynamiskgeometriprogram.

http://www.udir.no/Artikler/_Eksamen/Vurderings--og-sensorveiledninger-VGO/


2.7 Kommentarer til kjennetegn på måloppnåelse

Bakgrunnen for kjennetegn på måloppnåelse er St.meld. nr. 30 (2003–2004) som slår fast atnår det innføres nye læreplaner med mål for elevenes kompetanse (Kunnskapsløftet), vil enstandardbasert (kriteriebasert) vurdering bli lagt til grunn for eksamenskarakterene.

Kjennetegnene på måloppnåelse uttrykker i hvilken grad eleven har nådd kompetansemålene ilæreplanen. Matematikkompetansen som kjennetegnene beskriver, er delt inn i tre kategorier:

begreper, forståelse og ferdigheter problemløsning kommunikasjon

Innholdet i disse kategoriene beskriver matematikkompetanse på tvers av læreplanenskompetansemål og er ment å være til hjelp for sensors faglige skjønn når elevens prestasjonvurderes. De tre kategoriene kan ikke forstås adskilt, men er angitt slik for oversiktens skyldslik at sensor lettere skal få et helhetsinntrykk av besvarelsen. Kjennetegnene for alle trekategoriene gjelder både for Del 1 og Del 2 av eksamen.

Begreper, forståelse og ferdigheterDenne kategorien er en viktig og grunnleggende del av matematikkompetansen. Godkunnskap her er avgjørende for å kunne takle større og mer sammensatte utfordringer.Kjennetegnene i denne kategorien beskriver i hvilken grad eleven kjenner, forstår og håndterermatematiske begreper. Videre forventes det at eleven kan avkode, oversette og behandle blantannet symboler og formler. Det er ikke bare snakk om bokstavregning og likningsløsning, menogså tallsymboler, matematiske tegn og formelle sider ved elementær regning. For eksempeler det ikke lov å skrive 6 5 eller 6 3 . Videre er 2 (3 4) ikke det samme som 2 3 4 ,og 22 er ikke det samme som 2( 2) . I denne kategorien inngår også det å forstå og håndtereulike representasjoner av begreper. For eksempel kan π (pi) representeres ved hjelp avsymbolet π eller som en uendelig desimalbrøk 3,141592265 … eller som en rasjonal

tilnærming (for eksempel brøkene 227 eller 223

71 ) eller geometrisk som omkretsen av en sirkelmed diameter 1 osv. Et annet eksempel er begrepet lineær funksjon som kan representeressom et funksjonsuttrykk eller en regel ( ) 2 1y f x x , som en tegnet graf i etkoordinatsystem, som en verditabell med verdier for x og y, som et geometrisk objekt, foreksempel den rette linjen som går gjennom punktene (0, 1) og (2,3) , eller algebraisk somløsningsmengden til en likning, for eksempel 3 6 3 0 y x .

ProblemløsningDenne kategorien sier noe om elevens evne til å løse ulike problemstillinger. ”Problem” må herforstås vidt – fra enkle, rutinemessige oppgaver til større, mer sammensatte problemer. Det eraltså snakk om hvordan eleven bruker kunnskaper og ferdigheter på ulike matematiskeproblemstillinger og ser sammenhenger i faget og mellom læreplanens hovedområder.”Problem” kan også forstås relativt. Det som er et problem for én elev, kan oppleves somelementært for andre elever, avhengig av på hvilket nivå eleven befinner seg. Dennekategorien vil også beskrive elevens kompetanse når det gjelder modellering – i hvilken gradeleven kan lage, ta i bruk og vurdere modeller. Det kan for eksempel dreie seg om å betrakteen vekstfunksjon eller undersøke kostnadene ved å bruke mobiltelefon. I denne kategorien erdet også naturlig å vurdere i hvilken grad eleven er kjent med ulike hjelpemidler og kan bruke


disse på en hensiktsmessig måte under eksamen. Videre er det her naturlig å vurdere i hvilkengrad eleven viser matematisk tankegang, og om eleven har evne til å vurdere svar i forbindelsemed ulike matematiske problemstillinger.

KommunikasjonDenne kategorien beskriver blant annet i hvilken grad eleven klarer å sette seg inn i enmatematisk tekst, og i hvilken grad eleven kan uttrykke seg i matematikk ved hjelp av detmatematiske symbolspråket. Det er viktig at eleven viser framgangsmåter, argumenterer ogforklarer den matematiske løsningen. Dette er spesielt viktig i forbindelse med bruk av digitaleverktøy.

*******

Kategorien ”problemløsning” er den viktigste kategorien for sensors vurderingsgrunnlag, mendet er viktig at kjennetegnene på måloppnåelse i alle tre kategorier ses i sammenheng og ikkeadskilt fra hverandre. Det er ikke vanntette skott mellom kategoriene, men flytendeoverganger.

Kjennetegnene på måloppnåelse skal gi informasjon om hva som vektlegges i vurderingen avelevens prestasjon. De skal videre beskrive kvalitet på utvist kompetanse (hva som mestres),ikke mangel på kompetanse.

Kjennetegnene beskriver kvaliteten på elevenes matematiske kompetanse på tvers avlæreplanenes hovedområder og deres kompetansemål.

Ved å benytte kjennetegn på måloppnåelse og eventuelt poeng bør sensor kunne danne seg etbilde av eller lage en profil over den matematiske kompetansen eleven har vist. Kategoriene avmatematikkompetanse inneholder kjennetegn knyttet til tre ulike karakternivåer:

”låg” kompetanse (karakteren 2) ”nokså god” / ”god” kompetanse (karakterene 3 og 4) ”mykje god” / ”framifrå” kompetanse (karakterene 5 og 6)

Målet med kjennetegnene er å gi en pekepinn, en retning for hvordan sensor skal bedømmeprestasjonen, og er ikke nødvendigvis en ”millimeterpresis” beskrivelse av ulikekompetansenivåer.


Kjennetegn på måloppnåelseMatematikk fellesfag og programfag i videregående opplæring

Kompetanse Karakteren 2 Karakterene 3 og 4 Karakterene 5 og 6

Begreper,forståelse ogferdigheter

Eleven

– forstår en del grunn-leggende begreper

– behersker en del enkle,standardiserte framgangs-måter

Eleven

– forstår de fleste grunnleggendebegreper og viser eksempler påforståelse av sammenhenger ifaget

– behersker de fleste enkle,standardiserte framgangsmåter,har middels god regneteknikkog bruk av matematiskformspråk, viser eksempler pålogiske resonnementer og brukav ulike matematiskerepresentasjoner

Eleven

– forstår alle grunnleggendebegreper, kombinerer begreperfra ulike områder med sikkerhetog har god forståelse av dyperesammenhenger i faget

– viser sikkerhet i regneteknikk,logiske resonnementer, bruk avmatematisk formspråk og brukav ulike matematiskerepresentasjoner

Problemløsning

Eleven

– viser eksempler på å kunneløse enkle problemstillingermed utgangspunkt i tekster,figurer og praktiske og enklesituasjoner

– klarer iblant å planleggeenkle løsningsmetoder ellerutsnitt av mer komplisertemetoder

– kan avgjøre om svar errimelige i en del enklesituasjoner

– viser eksempler på bruk avhjelpemidler knyttet til enkleproblemstillinger

– kan bruke hjelpemidler til åse en del enkle mønstre

Eleven

– løser de fleste enkle og en delmiddels kompliserte problem-stillinger med utgangspunkt itekster, figurer og praktiskesituasjoner, og viser eksemplerpå bruk av fagkunnskap i nyesituasjoner

– klarer delvis å planleggeløsningsmetoder i flere steg og ågjøre fornuftige antagelser

– kan ofte vurdere om svar errimelige

– bruker hjelpemidler på hensikts-messig måte i en del ulikesammenhenger

– klarer delvis å bruke digitaleverktøy til å finne matematiskesammenhenger

Eleven

– utforsker problemstillinger,stiller opp matematiskemodeller og løser oppgaver medutgangspunkt i tekster, figurerog nye og kompleksesituasjoner

– viser sikkerhet i planlegging avløsningsmetoder i flere steg ogformulering av antagelserknyttet til løsningen, viserkreativitet og originalitet

– viser sikkerhet i vurdering avsvar, kan reflektere over ommetoder er hensiktsmessige

– viser sikkerhet i vurdering avhjelpemidlenes muligheter ogbegrensninger, og i valg mellomhjelpemidler

– kan bruke digitale verktøy til åfinne matematiskesammenhenger, og kan setteopp hypoteser ut fra dette

Kommunikasjon

Eleven

– presenterer løsninger på enenkel måte, for det mestemed uformelleuttrykksformer

Eleven

– presenterer løsninger påforholdsvis sammenhengendemåte med forklarende tekst i etdelvis matematisk formspråk

Eleven

– presenterer løsninger påoversiktlig, systematisk ogoverbevisende måte medforklarende tekst i matematiskformspråk

Karakteren 1 uttrykker at eleven har svært lav kompetanse i faget.


2.8 Vurdering av oppnådd kompetanse

Sensuren av eksamensoppgavene er kriteriebasert. Sensorene skal vurdere hva eleven kan,framfor å finne ut hva eleven ikke kan. Hvis sensor bruker poeng, skal det gis uttelling for deteleven har prestert, ikke poengtrekk for det eleven ikke har fått til.

Det er sjelden uten verdi at eleven løser oppgaven på en annen måte enn den det iutgangspunktet blir bedt om i oppgaveteksten, selv om svaret da ikke kan betraktes somfullgodt.

Dersom det oppstår tvil om ulike oppfatninger av oppgaveteksten, vil sensorene være åpne forrimelige tolkninger.

Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering på grunnlag av Del 1 og Del 2. Sensorvurderer derfor, med utgangspunkt i kjennetegnene på måloppnåelse, i hvilken grad eleven

viser regneferdigheter og matematisk forståelse

gjennomfører logiske resonnementer

ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nyesituasjoner

kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler

vurderer om svar er rimelige

forklarer framgangsmåter og begrunner svar

skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiskeframstillinger

Den endelige karakterfastsettelsen skal bygge på sensors faglige skjønn og på en samletvurdering av elevens prestasjon med kriteriebasert vurdering som prinsipp. Karakter-fastsettelsen kan derfor ikke utelukkende være basert på en poengsum eller på antall feilog mangler ved prestasjonen. Poenggrenser ved sensuren er veiledende og må stå i etrimelig forhold til kjennetegnene på måloppnåelse.


Vedlegg 1

Formler som skal være kjent vedDel 1 av eksamen i MAT1011 Matematikk 1P

(Formelarket kan ikke brukes på Del 1 av eksamen.)

Rektangel A g h

Trekantg h

A

2

Parallellogram A g h

Trapesa b h

A

( )

2

Sirkel A r 2 O r 2

Prisme V G h

Sylinder V r h 2

Geometri

FormlikhetMålestokkPytagorasMønstre som kan fylle planet

ProporsjonalitetProporsjonale størrelserOmvendt proporsjonale størrelser

Rette linjer y ax b

Vekstfaktor

p1

100p

1100

Økonomi

PrisindeksKroneverdiReallønn

Sannsynlighet

Sannsynlighet ved systematiske opptellinger

P A P A ( ) 1 ( )

P A B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A P B A ( ) ( ) ( | )

P A B = P A P B ( ) ( ) ( ) når A og B er uavhengige


Eksamensoppgavene lages ut fra kompetansemålene i læreplanen, og utvalget av formler ovenforangir derfor ikke begrensninger av kompetansemål som kan prøves i Del 1.

Dersom oppgavetemaet krever det, kan mer kompliserte formler bli oppgitt som en del avoppgaveteksten i Del 1.

Det forutsettes at eleven behersker grunnleggende formler og framgangsmåter fra tidligere kurs ogskolegang.


Vedlegg 2

Formler som skal være kjent vedDel 1 av eksamen i MAT1013 Matematikk 1T


Standardform 10 1 10 og er et helt tallna k k n

Vekstfaktor

1100

p

1100

p

Rette linjer

y ax b

2 1

2 1

y ya

x x

y y a x x 1 1( )

Potenser

p q p q

pp q

q

qp p q

p p

p

a a a

aa

a

a a

a a

b b

0 1

1

p p p

p

p

a b a b

a

aa

Kvadratsetningene ogkonjugatsetningen

a b a ab b

a b a ab b

a b a b a b

2 2 2

2 2 2

2 2

( ) 2

( ) 2

( )( )

Likning av andre gradb b ac

ax bx c xa

22 4

02

Logaritmer

x ba b x

a

lg

lgcx c x lg 10

Vekst og derivasjon

Gjennomsnittlig veksthastighetMomentan veksthastighetDefinisjonen av den deriverteDerivasjonsregel for polynomfunksjoner

Trigonometri irettvinklede

trekanter

motstående katetsin

hypotenus

hosliggende katetcos

hypotenus

motstående katettan

hosliggende katet

v

v

v





Geometri

bc A1

Areal sin2

a b c bc A 2 2 2 2 cos

A B C

a b c

sin sin sin

Sannsynlighet

Sannsynlighet ved systematiske oppstillinger

P A P A ( ) 1 ( )

P A B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A P B A ( ) ( ) ( | )



Vedlegg 3

Formler som skal være kjent vedDel 1 av eksamen i MAT1003 Matematikk 1P + 2P


Rektangel A g h

Trekantg h

A

2

Parallellogram A g h

Trapesa b h

A

( )

2

Sirkel A r 2 O r 2

Prisme V G h

Sylinder V r h 2

Geometri

FormlikhetMålestokkPytagorasMønstre som kan fylle planet

Standardformna k k n 10 1 10 og er et helt tall

Plassverdisystemer Enkle omregninger

ProporsjonalitetProporsjonale størrelserOmvendt proporsjonale størrelser

Rette linjer y ax b

Potenser

p q p q

pp q

q

qp p q

p p

p

a a a

aa

a

a a

a a

b b

p p p

p

p

a b a b

a

aa

0 1

1

Vekstfaktor

p1

100p

1100

ØkonomiPrisindeksKroneverdiReallønn

Sannsynlighet Sannsynlighet ved systematiske opptellinger

P A P A ( ) 1 ( )

P A B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A P B A ( ) ( ) ( | )


StatistikkGjennomsnittMedian






Vedlegg 4

Formler som skal være kjent vedDel 1 av eksamen i MAT1005 Matematikk 2P-Yrkesfag

Påbygging til generell studiekompetanse(Formelarket kan ikke brukes på Del 1 av eksamen.)

Standardformna k k n 10 1 10 og er et helt tall

Plassverdisystemer Enkle omregninger

Potenser

p q p q

pp q

q

qp p q

p p

p

a a a

aa

a

a a

a a

b b

0 1

1

p p p

p

p

a b a b

a

aa

Vekstfaktor

1100

p

1100

p

Rette linjer y ax b

Sannsynlighet

Sannsynlighet ved systematiske opptellinger

P A P A ( ) 1 ( )

P A B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A P B A ( ) ( ) ( | )


StatistikkGjennomsnittMedian





Vedlegg 5

Formler som skal være kjent vedDel 1 av eksamen i MAT1008 Matematikk 1T + 2T


Standardform na k k n 10 1 10 og er et helt tall

Vekstfaktor1

100

p

1100

p

Rette linjer

y ax b

2 1

2 1

y ya

x x

y y a x x 1 1( )

Potenser

p q p q

pp q

q

qp p q

p p

p

a a a

aa

a

a a

a a

b b

0 1

1

p p p

p

p

a b a b

a

aa

pq qp pqa a ( a )


a b a ab b

a b a ab b

a b a b a b

2 2 2

2 2 2

2 2

( ) 2

( ) 2

( )( )

Likning av andre grad b b acax bx c x

a

22 4

02

Logaritmer

x ba b x

a

lg

lgcx c x lg 10

Vekst og derivasjon


Trigonometri irettvinkledetrekanter

v

v

v

motstående katetsin

hypotenus

hosliggende katetcos

hypotenus

motstående katettan

hosliggende katet

Geometri bc A1

Areal sin2


a b c bc A 2 2 2 2 cos

A B C

a b c

sin sin sin

Kombinatorikk

n n ! 1 2 3

!( ) ... ( )

( )!

nn P r n n n r

n r

1 1

n nn C r

r n rr

!

! ( )!

Sannsynlighet


P A P A ( ) 1 ( )

P A B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A P B A ( ) ( ) ( | )


P A B P A P B AP A B

P B P B

( ) ( ) ( | )( | )

( ) ( )

Vektorregning

x yx, y xe ye [ ]

t x, y tx ,ty[ ] [ ]

x , y x , y x x , y y 1 1 2 2 1 2 1 2[ ] [ ] [ ]

x , y x , y x x y y 1 1 2 2 1 2 1 2[ ] [ ]

| x, y | x y 2 2[ ]

x , y x , y x x y y 1 1 2 2 1 2 1 2[ ] [ ] og

2 1 2 1[ ]AB x x , y y

fra A x , y1 1( ) til B x , y2 2( )

a b |a| |b| u cos

u er vinkel mellom a

og b

2|a| a

a || b a tb

0a b a b

0

0

x x at

y y bt

x , y

v a,b

0 0( ) er et punkt på linja

[ ] er parallell med linja





Vedlegg 6

Formler som skal være kjent vedDel 1 av eksamen i MAT1010 Matematikk 2T-Yrkesfag

Påbygging til generell studiekompetanse(Formelarket kan ikke brukes på Del 1 av eksamen.)

Vekstfaktor1

100

p

1100

p

Rette linjer

y ax b

2 1

2 1

y ya

x x

y y a x x 1 1( )

Logaritmer

x ba b x

a

lg

lgcx c x lg 10

Vekst og derivasjon


Kombinatorikk

n n ! 1 2 3

!( ) ... ( )

( )!

nn P r n n n r

n r

1 1

n nn C r

r n rr

!

! ( )!

Sannsynlighet


P A P A ( ) 1 ( )

P A B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A P B A ( ) ( ) ( | )



P B P B

( ) ( ) ( | )( | )

( ) ( )

Vektorregning

x yx, y xe ye [ ]

t x, y tx ,ty[ ] [ ]

x , y x , y x x , y y 1 1 2 2 1 2 1 2[ ] [ ] [ ]

x , y x , y x x y y 1 1 2 2 1 2 1 2[ ] [ ]

| x, y | x y 2 2[ ]

x , y x , y x x y y 1 1 2 2 1 2 1 2[ ] [ ] og

AB x x , y y 2 1 2 1[ ]

fra A x , y1 1( ) til B x , y2 2( )

a b |a| |b| u cos


og b

2|a| a


a || b a t b

0a b a b

0

0

x x at

y y bt

x , y

v a,b







Vedlegg 7

Formler som skal være kjent vedDel 1 av eksamen i REA3022 Matematikk R1


Likning av andre grad2

2 40

2

b b acax bx c x

a

Faktorisering avandregradsuttrykk

ax bx c a x x x x 21 2( ) ( )

Polynomer Nullpunkter og polynomdivisjon

Logaritmer

lg10 x x ln x xexa x a

ab a b

aa b

b

lg lg

lg( ) lg lg

lg lg lg

xa x a

ab a b

aa b

b

ln ln

ln( ) ln ln

ln ln ln

x ba b x

a

lg

lgx b

a b xa

ln

ln

10 lgx b x b x b x b e lncx c x lg 10 cx c x ln e

GrenseverdierUtregning av grenseverdierHorisontale og vertikale asymptoter

Derivasjon

Definisjonen av den deriverteDerivasjonsregler for potens-, kvadratrot-, eksponential- oglogaritmefunksjonerDerivasjonsregler for sum, differanse, produkt og kvotientKjerneregel

Kombinatorikk

n n ! 1 2 3

!( ) ... ( )

( )!

nn P r n n n r

n r

1 1

n nn C r

r n rr

!

! ( )!

Sannsynlighet

Sannsynlighet ved systematiske oppstillingerP A B P A P B A ( ) ( ) ( | )



P B P B

( ) ( ) ( | )( | )

( ) ( )

Vektorregning

Regning med vektorer geometrisk som piler i planet

x yx, y xe ye [ ]

t x, y tx ,ty[ ] [ ]

x , y x , y x x , y y 1 1 2 2 1 2 1 2[ ] [ ] [ ]

x , y x , y x x y y 1 1 2 2 1 2 1 2[ ] [ ]

| x, y | x y 2 2[ ]


1 1 2 2 1 2 1 2[ ] [ ] ogx , y x , y x x y y

AB x x , y y 2 1 2 1[ ]

fra A x , y1 1( ) til B x , y2 2( )

a b |a| |b| u cos


og b

2|a| a

a || b a tb

0a b a b

0

0

x x at

y y bt

x , y

v a,b



Vektorfunksjon

( ) [ ( ), ( )]r t x t y t

Vektorfunksjon

( ) '( ) [ '( ), '( )]v t r t x t y t

Fartsvektor

| ( ) |v t

Fart

( ) '( ) [ ''( ), ''( )]a t v t x t y t

Akselerasjonsvektor

| ( ) |a t

Akselerasjon

Geometri

PytagorasFormlikhetPeriferivinklerSkjæringssetninger for høydene, halveringslinjene,midtnormalene og medianene i en trekant





Vedlegg 8

Formler som skal være kjent vedDel 1 av eksamen i REA3026 Matematikk S1


Potenser

p q p q

pp q

q

qp p q

p p

p

a a a

aa

a

a a

a a

b b

0 1

1

p p p

p

p

a b a b

a

aa


a b a ab b

a b a ab b

a b a b a b

2 2 2

2 2 2

2 2

( ) 2

( ) 2

( )( )

Likning av andre grad2

2 40

2

b b acax bx c x

a

Logaritmer

a alg10lg

lgx b

a b xa

xa x a

ab a b

aa b

b

lg lg

lg ( ) lg lg

lg lg lg

lg 10cx c x

Vekst og derivasjon

Gjennomsnittlig veksthastighetMomentan vekstDefinisjonen av den deriverteDerivasjonsregler for polynomfunksjoner

Kombinatorikk

Pascals trekantn n ! 1 2 3

!( ) ... ( )

( )!

nn P r n n n r

n r

1 1

n nn C r

r n rr

!

! ( )!

Sannsynlighet Sannsynlighet ved systematiske opptellinger





Vedlegg 9

Binomisk og hypergeometrisk fordeling

Hvis binomisk eller hypergeometrisk fordeling inngår i Del 1 av eksamen, vil formlene blioppgitt slik:

Binomisk fordeling:

( ) (1 )k n kn

P X k p pk

Antall uavhengige forsøk er n. X er antall ganger A inntreffer.P(A) = p i hvert forsøk.

Hypergeometrisk fordeling:

( )

m n m

k r k

n

r

P X k

m elementer i D. n m elementer i D . r elementer trekkes tilfeldig.X er antall elementer som trekkes fra D.

(Formlene er oppgitt slik som i godkjent formelsamling i matematikk for Reform 94.)


Vedlegg 10

Formler som skal være kjent vedDel 1 av eksamen i REA3024 Matematikk R2


Aritmetiske rekker1 1( )na a n d

1

2n

n

a as n

Geometriske rekker1

1-n

na a k

1 1

1

( )n

na ks

k

når 1k

Uendelige

geometriske rekker

1

1

as

k

når 1 1k

Bestemme konvergensområdet for rekker med variable kvotienter

Induksjonsbevis Gjennomføre og gjøre rede for induksjonsbevis

Derivasjon

Kunne derivere polynomfunksjoner, potensfunksjoner, rasjonalefunksjoner, logaritmefunksjoner og eksponentialfunksjoner og bruke

(sin x) = cos x (cos x) = sin x (tan x) =2

1

cos x= 1 + tan2 x

Kunne derivere sammensetninger av funksjoner

Ubestemt integral

( ) ( ) dF x f x x betyr at ( ) ( )F x f x

11

1dr rx x x C

r

når r –1

1d lnx x C

x

e d ex xx C 1

dln

x xa x a Ca

2

2

cos d sin

sin d cos

i absolutt vinkelmål(1 tan ) d tan

1d tan

cos

x x x C

x x x C

xx x x C

x x Cx

Integrasjonsmetoder

( ( ) ( )) d ( ) d ( ) du x v x x u x x v x x ( ) d ( ) dk u x x k u x x , k er en konstant

Integrasjon ved variabelskifte, substitusjonDelvis integrasjonIntegrasjon ved delbrøkoppspalting med lineære nevnere

Bestemt integral( ) d ( ) ( )

b

a

f x x F b F a der ( ) ( )F x f x

Tolke det bestemte integralet i praktiske situasjonerFormel for volum av omdreiningslegemer


Vektorregning

Regning med vektorer geometrisk som piler i rommet

[ , , ] x y zx y z xe ye ze

[ ] [ ]t x, y, z = tx, ty, tz

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2[ , , ] [ , , ] [ , , ]x y z x y z x x y y z z

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2[ , , ] [ , , ]x y z x y z x x y y z z

2 2 2|[ , , ]|x y z x y z

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2[ , , ] [ , , ] og ogx y z x y z x x y y z z

2 1 2 1 2 1[ , , ]AB x x y y z z

fra 1 1 1( , , )A x y z til 2 2 2( , , )B x y z

Definisjonen av vektorproduktet a b

Kunne regne ut vektorproduktet a b

på koordinatform

Arealet av trekant:1

2a b

Volum av tetraeder:1

( )6

a b c

Linjer, planog kuleflater

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

0 0 0( , , ) er et punkt på linja

[ , , ] er retningsvektor

x y z

v a b c

0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z 0 0 0 0( , , )P x y z er punkt i planet,

[ , , ]n a b c

er normalvektor2 2 2 2

0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r 0 0 0( , , )S x y z er sentrum i kula,

r er radius i kulaAvstand fra punkt til linjeAvstand fra punkt til plan

Differensiallikninger

Kunne løse første ordens differensiallikningerKunne løse separable differensiallikningerKunne løse andre ordens homogene differensiallikninger med konstantekoeffisienter

Trigonometri

Definisjonen av absolutt vinkelmålKunne regne om mellom grader og absolutt vinkelmålKunne den generelle definisjonen av sinus, cosinus og tangensKunne omforme trigonometriske uttrykk av typen sin cosa kx b kx , ogbruke det til å modellere periodiske fenomenerKunne løse trigonometriske likninger





Vedlegg 11

Formler som skal være kjent vedDel 1 av eksamen i REA3028 Matematikk S2


Aritmetiske rekker1 ( 1)na a n d

1

2

n

n

a as n

Geometriske rekker

1

1

n

na a k

1 ( 1)

1

n

n

a ks

k

, når 1k

Uendelige

geometriske rekker1

1

as

k

, når 1 1k

Faktorisering avandregradsuttrykk

ax bx c a x x x x 21 2( ) ( )

Polynomer Nullpunkter, polynomdivisjon og faktorisering

Likninger og likningssettKunne løse likninger med polynomer og rasjonale funksjonerKunne løse lineære likningssett med flere ukjente

Logaritmer

ln x xe og lnex x

ln ln

ln( ) ln ln

ln ln ln

xa x a

ab a b

aa b

b

ln

lnx b

a b xa

e lnx b x b

ln ecx c x

DerivasjonDerivasjonsregler for potens-, eksponential- og logaritmefunksjonerDerivasjonsregler for summer, differanser, produkter og kvotienterKjerneregel

Areal under grafer Kunne tolke arealet under grafer i praktiske situasjoner

ØkonomiGrensekostnad: ( )K x

Grenseinntekt: ( )I x

Sannsynlighetsfordeling

Utregning av forventningsverdi, varians og standardavvik

For en binomisk fordeling X med n forsøk og sannsynlighet p er

( )E x n p og (1 )np p

Summen av n uavhengige stokastiske variabler har forventningsverdi

n og standardavvik n

Kunne regne ut sannsynligheter knyttet til normalfordelinger(Aktuelle deler av tabell over standard normalfordeling vil bli oppgitt iDel 1 av eksamen)




Schweigaards gate 15Postboks 9359 Grønland0135 OSLOTelefon 23 30 12 00www.utdanningsdirektoratet.no

Documents

Vurderingsveiledning Matematikk, sentralt gitt eksamen ... matematikk i videregående opplæring 2010 Side 2 av 36 Vurderingsveiledning til sentralt gitt skriftlig eksamen 2010 Denne