Uvod u KGG

TEHNIČKA DOKUMENTACIJA

1

1 UVOD

1.1. UVOD

Nacrtna geometrija (deskriptivna geometrija, deskriptiva) je matematička disciplina koja se bavi metodama projiciranja. To je grana geometrije koja posredstvom projiciranja, konstruktivno-geometrijskom metodom u ravnini rješava stereometrijske zadatke, odnosno bavi se proučavanjem trodimenzionalnih (3D) objekata prevođenjem u dvodimenzionalne (2D) projekcije (ortogonalne projekcije), pri čemu se nudi uvid u geometrijsku strukturu i metrička svojstva prostornih objekata. Ako je crtanje/modeliranje jezik inženjerskog dizajna, onda nacrtna geometrija predstavlja "gramatiku" tog jezika. Crteži nas vode kroz geometriju, ali nisu njen glavni cilj 1.

1.2. DEFINICIJA NACRTNE GEOMETRIJE

Gaspard Monge (1746-1818.) smatra se osnivačem i utemeljiteljem znanstvene nacrtne geometrije, a svoju prvu Nacrtnu geometriju (Geometrie descriptive) objavio je 1789. godine. U istoj se nalazi postupak ortogonalnog projiciranja i opći metodi za rješavanje stereometrijskih zadataka konstruktivnim postupcima. Objašnjenje upotrebe nacrtne geometrije može se predstaviti sljedećim2 iskazima: "Nacrtna geometrija ima dva cilja:

prvo, ona treba dati metode po kojima se na crtaćem papiru, koji ima samo dvije dimenzije, duljinu i širinu, mogu prikazati sve prostorne tvorevine, koje imaju tri dimenzije, duljinu, širinu i visinu, a uz pretpostavku da se te tvorevine mogu točno definirati;

drugo, ona treba dati postupak, po kojem se iz tačnog crteža neke prostorne tvorevine može upoznati njezin oblik, te mogu izvesti svi zakoni koji izlaze iz oblika i međusobnog položaja njezinih dijelova.

Data definicija pokazuje da zadatak nacrtne geometrije, da omogući da inženjer dizajner/ konstruktor svoje zamisli prikaže, analizira i predstavi u konačnoj jasnoj i preciznoj formi, potiče još od njenog osnivanja. Neke od definicija koje označavaju suštinu primjene nacrtne geometrije date su u nastavku:

• J. KRAMES dao je svoju definiciju [3]:

”Darstellende Geometrie” ist die Hohe Schule des räumlichen Denkens und der bildhaften Wiedergabe.

1 UVOD

2

[(u slobodnom prijevodu): "Nacrtna geometrija je visoko umijeće promišljanja prostora i njegovoga grafičkog predočavanja."];

• H. BRAUNER je dao prednost nazivu Konstruktivna geometrija, umjesto Nacrtna geometrija. U [4] je dao slijedeću definiciju:

”Konstruktive Geometrie” unfasst das Studium von Objekten des Anschauungsraumes unter Verwendung jener Methode, die an der graphisch darstellten Figur durch Konstruktion und Rechnung operiert.

["Konstruktivna geometrija analizira 3D objekte sredstvima grafičkih ili matematičkih metoda primijenjenih na 2D slike." ];

• F. HOHENBERG je u svom udžbeniku [5] usmjeren na primjenu nacrtne geometrije u tehnologiji:

”Konstruktive Geometrie” soll geometrische Formen und Vorg¨ange verstehen, vorstellen, gestalten und zeichnen lehren.

["Konstruktivna geometrija uči kako razumjeti, zamišljati, odrediti i crtati geometrijske oblike."];

• W.-D. KLIX u [6] daje prošireno objašnjenje značenja nacrtne geometrije:

”Darstellende Geometrie” ist wie kaum ein anderes Lehrgebiet geeignet, das für jede ingenieurmässige konstruktiv-schöpferische Tätigkeit notwendige räumliche Vorstellungsvermägen zu entwickeln sowie die Fähigkeit auszubilden, räumlich Gedachtes richtig und damit auch anderen verständlich darzustellen.

["Nacrtna geometrija je jedinstvena u unapređivanju prostornog razmišljanja, temeljnog za svaku stvaralačku inženjersku aktivnost, i vježbanju sposobnosti grafičkog izražavanja prostornih ideja kako bi bile svakome razumljive" ].

Cilj izučavanja nacrtne geometrije je da kod studenata razvije sposobnost logičkog razmišljanja, vizualnog sagledavanja trodimenzionalnog prostora i sposobnost zamišljanja (imaginacije). Izučavanjem nacrtne geometrije, usvajaju se pravila kojima se omogućava primjena konstruktivno-geometrijskih postupaka za izvođenje i prikazivanje trodimenzionalnog prostora, tj. prostornih trodimenzionalnih geometrijskih formi i njihovih međusobnih odnosa, na dvodimenzionalnoj ravni–crtežu.

Prije svega, nacrtna geometrija treba da razvije slijedeće sposobnosti: • shvaćanje i crtanje prostornih predmeta (objekata) iz datih osnovnih

ortogonalnih projekcija (osnovnih pogleda) i • obrnuto, projiciranje trodimenziono predstavljenih objekata za dobivanje

glavnih ortogonalnih projekcija u dvije ravni.

NACRTNA GEOMETRIJA

3

2 VRSTE PROJEKCIJA

Projekcija tijela na neku ravan je njegov izgled u toj ravni, kako ga vidi promatrač sa mjesta odakle izvodi projekciju, radi čega se povlače projekcijski zraci iz svake tačke geometrijskog tijela do projekcijske ravni – ravni crteža. Ravan na koju projiciramo nazivamo projekcijska ravan. Označavamo je sa grčkim slovom .

Vrste projekcija date su slikom 2.1.

Slika 2.1. Vrste projekcija

Projekcije

Linearna projekcija

Perspektiva ili centralna projekcija

Paralelna projekcija

Kosa projekcija

Normalna projekcija

Mongeove (pravougle)

izometrija

trimetrija

dimetrija

Aksonometrijske projekcije

Visinska projekcija

2 VRSTE PROJEKCIJA

4

2.1. CENTRALNA PROJEKCIJA (PERSPEKTIVA)

Perspektiva (od latinske riječi perspicere, jasno vidjeti) u grafičkoj umjetnosti, kao što je crtanje, predstavlja prikaz na ravnoj (dvodimenzionalnoj) površini (recimo papiru) trodimenzionalnu sliku, onako kako je vidi naše oko. Dvije najvažnije karakteristike perspektive su:

Objekti se crtaju sve manji sa porastom udaljenosti od promatrača. Što se više odmičemo, objekti se čine sve manjim.

Prostorno smanjenje, predstavlja u stvari deformisanje, iskrivljavanje objekata kada ih promatramo sa strane. Ugao promatranje mora biti dosta velik da bi došlo do takvih deformacija.

Najbolju predstavu o obliku tijela i njegovu položaju u prostoru daje centralna projekcija ili perspektiva (slika 2.2), kod koje je presjecište zraka projiciranja (centar projiciranja) na konačnoj udaljenosti od tijela koje se projicira. Projekcijske zrake, koje dolaze iz središta O do pojedinačnih tačaka tijela prodiru projekcijsku ravan u projicirajućim tačkama 1, 2, 3 i 4. Položaj središta projiciranja ne smije se podudarati sa projekcijskom ravni.

Slika 2.2. Prikaz centralnog projiciranja (perspektiva)

Na slikama 2.3., 2.4 i 2.5 predstavljen je način konstruiranja centralne projekcije sa jednom, dvije i tri tačke gledišta.

1 2

3 4

O

presjecište projicirajući zraka

projekcijska ravan

1 2

3 4

projekcija

projicirajući zraci

objekt projiciranja

NACRTNA GEOMETRIJA

5

Slika 2.3. Perspektiva sa jednom tačkom gledišta

Slika 2.4. Perspektiva sa dvije tačke gledišta

Slika 2.5. Perspektiva sa tri tačke gledišta

2 VRSTE PROJEKCIJA

6

2.2. PARALELNA PROJEKCIJA

U slučaju projiciranja sa položajem središnje tačke O u beskonačnosti (slika 2.3), projekcijski zraci postaju međusobno paralelni, a dobivena projekcija se zove paralelna projekcija. Prostorno paralelne i po veličini jednake duži u paralelnoj projekciji zadržavaju ista svojstva, tj. ostaju paralelne i jednake. Ovo su osobine koje paralelnoj projekciji daju prednost u primjeni kod izrade mašinskih crteža pred centralnom projekcijom, iako posljednja daje bolju predstavu o obliku projiciranog predmeta.

Prema položaju pravca projekcijskih zraka, u odnosu na projekcijske ravni, paralelna projekcija može biti: normalna (ortogonalna ili pravougla) i kosa (klinagonalna ili kosougla) projekcija.

Slika 2.3. Prikaz paralelne projekcije

2.2.1. Kosa paralelna projekcija

Zraci mogu padati koso na projekcijsku ravan i to pod bilo kojim uglom različitim od 90 (slika 2.4). Dobivena projekcija ovim postupkom paralelnog projektovanja se naziva kosa (kosougla, klinagonalna) projekcija.

Paralelno koso projiciranje se često upotrebljava za jasnije predstavljanje oblika predmeta.

1

2

3 4

projekcijska ravan

projekcija

projicirajući zraci

objekt projiciranja

1 2

3 4

NACRTNA GEOMETRIJA

7

Slika 2.4. Prikaz projekcije tijela kosouglom paralelnom projekcijom

2.2.2. Paralelna normalna projekcija

Ukoliko su projekcijski zraci normalni (okomiti) na projekcijsku ravan, tada govorimo o normalnoj (pravougloj, ortogonalnoj) projekciji (slika 2.5).

Slika 2.5. Prikaz projekcije tijela paralelnom normalnom projekcijom

3 KVADRANTI I OKTANTI

8


3.1. KVADRANTI

Zamišljena horizontalna ravnina u prostoru dijeli cijeli prostor na dva dijela, koji se nazivaju gornji i donji poluprostor. Ta ravnina naziva se horizontalnica ili prva projekcijska ravnina i obilježava se sa 1. Ako se ovoj ravnini doda druga, okomito na nju, cijeli prostor će biti podijeljen na četiri dijela, koji se nazivaju kvadranti. Ta ravnina okrenuta frontalno prema promatraču zove se frontalnica ili druga projekcijska ravninaina i obilježava se sa 2. Numerisanje i obilježavanje kvadranata je stvar sporazuma. Ovdje će se označavati kako je prikazano na slici 3.1.

Slika 3.1. Prostorni projekcijski sistem sa 4 kvadranta

Prostorna orijentacija kvadranata u odnosu na koordinate y i z su date u tabeli 3.1.

Tabela 3.1. Prostorna orijentacija kvadranata u odnosu na koordinate y i z

Kvadrant y z I + + II - + III - - IV + -

y

z

O


9

Slika 3.2. Prostorni projekcijska tačke P u prvom kvadrantu i njena ortogonalna projekcija

3.2. OKTANTI

Postavljanjem treće ravnine okomito na prethodne dvije, prostor će biti podijeljen na osam dijelova koji se nazivaju oktanti. Ta ravnina se naziva profilnica ili treća projekcijska ravnina i obilježava se sa 3. Obilježavanje i numeriranje je također stvar sporazuma, a ovdje će se obilježavati kako je prikazano na slici 3.3.

Slika 3.3. Prostorni projekcijski sistem sa 8 oktanata

1

P

P''

P'P' P'

P' P'

2

x

P'

P''

z P

y P

xP

2

1

x

12

32


10

Prostorna orijentacija oktanata u odnosu na koordinate x, y i z su date u tabeli 3.3.

Presjek ravnine 1 i 2 daje x- osu, koja je desno od ravnine 3 pozitivna, a lijevo negativna. Presjek ravnine 2 i 3 daje z - osu, koja je iznad ravnine 1 pozitivna, a ispod ravnine 1 negativna. Presjek ravnine 1 i 3 daje y - osu, koja je ispred ravnine 2 pozitivna, a iza ravnine 2 negativna.

Presjek x, y i z – ose daje tačku O kao početak ortogonalnog koordinatnog sistema.

Tabela 3.2. Predzanak koordinata tačaka po pojedinačnim oktantima

Predznak koordinate Broj oktanta x y z y0

I + + + + II + - + - III + - - - IV + + - + V - + + + VI - - + - VII - - - - VIII - + - +

Ako se posmatraju x, y i z - ose, može se konstatovati sljedeće:

1 = xy = prva projekcijska ravnina, horizontalnica = tlocrtna ravnina 2 = xz = druga projekcijska ravnina, vertikalnica = nacrtna ravnina 3 = yz = treća projekcijska ravnina, profilnica = bokocrtna ravnina

Koordinatne ose predstavljaju:

x- osa; presječnicu ravnina 1 i 2 y- osa; presječnicu ravnina 1 i 3 z- osa; presječnicu ravnina 2 i 3

Pošto se prva projekcija tačke nalazi u horizontalnici (1), druga projekcija u vertikalnici (2), a treća u profilnici (3), da se ne bi crtale sve te projekcije u 1, 2 i 3 ravnini koje su međusobno okomite u prostoru, vrši se tzv. obaranje projekcijskih ravnina 1, 2 i 3 u jednu od njih. Pri tom je svejedno u koju će se projekcijsku ravninu oboriti preostale dvije ravnine. To je stvar sporazuma. Obično se ravnine 1 i 3 obaraju u ravninu 2. Smjerovi obrtanja ravnina dati su na slici 3.2.

Da bi se 1 oborila u 2, obrće se oko x- ose suprotno smjeru kretanja kazaljke na satu, gledajući oktante sa desne strane. U tom slučaju prednji


11

dio 1 spušta se dole, a zadnji dio 1 diže se gore, pri čemu se pozitivni dio y – ose spušta dole, a negativni dio y – ose diže gore, kao što je prikazano na slici 3.4.

Da bi se 3 oborili u 2, obrće se oko z- ose u smjeru kretanja kazaljke na satu, gledajući oktante odozgo. U tom slučaju prednji dio 3 obrće se ulijevo, a zadnji dio udesno, pri čemu se pozitivni dio y – ose obrće ulijevo, a negativni dio y – ose udesno, kao što je prikazano na slici 3.3. Dobije se ortogonalni koordinatni sistem prikazan na slici 3.4.

Slika 3.4. Ortogonalni koodinatni sistem

2 (-1,3) 2 (-1,-3)

-2 (1,-3) -2 (1,3)

o -X X

Y0 -Y0

-Z Y

Z -Y

o -X X

Y0 -Y0

-Z Y

Z -Y

4 PROJEKCIJA TAČKE I PRAVE

12

4 PROJEKCIJA TAČKE

4.1. ORTOGONALNA PROJEKCIJA TAČKE

Ortogonalna projekcija tačke A na neku projekcijsku ravan dobije se kada se kroz tačku postavi zraka normalno na tu ravan (slika 4.1). Zraka normalna na projekcijsku ravan naziva se projektna zraka, a njen prodor kroz projekcijsku ravan daje odgovarajuću ortogonalnu projekciju te tačke A. Kao posljedica projiciranja tačke A u prostoru dobije se :

)y,x(A = prva projekcija tačke A u ravnini 1 (tlocrt tačke A)

)z,x(A = druga projekcija tačke A u ravnini 2 (nacrt tačke A)

)z,y(A = treća projekcija tačke A u ravnini 3 (bokocrt tačke A).

Slika 4.1. Prostorno predstavljanje projektovanja tačke A u prvom oktantu


13

Položaj tačke A u prostoru (ortogonalnom koordinatnom trijedru) može biti dat na dva načina i to :

- svojim rastojanjem od projekcijskih ravni 1, 2 i 3 ili

- svojim koordinatama x, y i z.

Rastojanje tačke A od ravnine 1 predstavlja se z - koordinatom, rastojanje tačke A od 2 predstavlja se y - koordinatom, a rastojanje tačke A od 3 predstavlja se sa x - koordinatom.

Obaranjem ravnine 1 i 3 sa odgovarajućim projekcijama A i A u 2 dobije se rasklopljeni ortogonalni koordinatni trijedar O-x-y-z-y0 sa odgovarajućim projekcijama A , A i A tačke A, kao što je prikazano na slici 4.2. Sa dvije projekcije tačke može se odrediti preostala tražena projekcija tačke .

Slika 4.2. Projekcija tačke A u ortogonalnom koordinatnom sistemu Ivice tijela se presijecaju u vrhovima (rogljevima) koje se u prostoru definišu kao odgovarajuće tačke. Projiciranjem pojedinačnih vrhova tijela u ortogonalnoj projekciji definiše se cjelokupna projekciju tijela (slika 4.3).


14

Slika 4.3. Prostorna projekcija piramide u tri projicirajući ravnine

Slika 4.4. Ortogonalna projekcija piramide


15

Kao što je ranije navedeno, svaka tačka definiše se sa tri podatka – koji se nazivaju koordinatama tih tačaka. Koordinata x predstavlja udaljenost tačke od koordinatnog početka po x-osi, odnosno udaljenost tačke od projicirajuće ravnine 3. Koordinata y predstavlja udaljenost tačke od ravnine 2, a koordinata z udaljenost tačke od ravnine 1, odnosno udaljenost od koordinatnog početka po z-osi.

Za dati primjer na slici 4.5, a prema podacima iz zadatka br.1 mogu se zapisati sljedeće prostorne koordinate tačaka:

A (x,y,z) = tačka A prostorna smještena u I. oktantu

B (x,-y,z) = tačka B prostorno smještena u II. oktantu

C (x,-y,-z) = tačka C prostorno smještena u III. oktantu

D (x,y,-z) = tačka D prostorno smještena u IV. oktantu

E (-x,y,z) = tačka E prostorna smještena u V. oktantu

F (-x,-y,z) = tačka F prostorno smještena u VI. oktantu

G (-x,-y,-z) = tačka G prostorno smještena u VII. oktantu

H (-x,y,-z) = tačka H prostorno smještena u VIII. oktantu.

Slika 4.5. Prostorno predstavljanje projekcije tačaka po pojedinačnim

oktantima (prostorna predođba)


16

Zavisno od toga u kojem se oktantu nalazi tačka u prostoru, dobivaju se različiti položaji prve, druge i treće projekcije tačaka u odnosu na x, y i z-osu. Tako, za navedene tačke vrijedi:

- kada se tačka A nalazi u I oktantu, njena prva projekcija A je ispod x-ose, a druga projekcija A iznad x-ose, a treća projekcija A lijevo od z-ose (slika 4.6a);

- kada se tačka B nalazi u II oktantu, njena i prva B i druga projekcija B su iznad x-ose, a treća projekcija B desno od z-ose (slika 4.6b);

- kada se tačka C nalazi u III oktantu, njena prva projekcija C je iznad x-ose, a druga projekcija C ispod x-ose, a treća projekcija C desno od z-ose (slika 4.6c);

- kada se tačka D nalazi u IV oktantu, njena i prva D i druga projekcija D su ispod x-ose, a treća projekcija B lijevo od z-ose (slika 4.6d).

- kada se tačka E nalazi u V oktantu, njena prva projekcija E je ispod x-ose, a druga projekcija E iznad x-ose, a treća projekcija E lijevo od z-ose (slika 4.6e);

- kada se tačka F nalazi u VI oktantu, njena i prva F i druga projekcija F su iznad x-ose, a treća projekcija F desno od z-ose (slika 4.6f);

- kada se tačka G nalazi u VII oktantu, njena prva projekcija G je iznad x-ose, a druga projekcija G ispod x-ose, a treća projekcija G desno od z-ose (slika 4.6g);

- kada se tačka H nalazi u VIII oktantu, njena i prva H i druga projekcija H su ispod x-ose, a treća projekcija H lijevo od z-ose (slika 4.6h).


17

Slika 4.6. Položaj pojedinačnih tačaka u ortogonalnoj projekciji


18

Zadaci

1. Nacrtati sve tri projekcije tačaka A, B, C, D, E, F, G i H i odrediti u kom se oktantu nalaze.

Podaci: A (1,4,3) E (-3.5,2.5,2.5)

B (2.5,-2.5,5) F (-4,-3.5,3.5) C (3,-4.5,-4.5) G (-5,-3.5,-3.5) D (4.5,-2.5,-4) H (-5,2.5,-4)

NAPOMENA: Za kosu projekciju osa y u odnosu na osu x zaklapa ugao 30. Razdvojiti oktante u kosoj projekcije prema shemi na slici. U ortogonalnoj projekcije svaku tačku crtati u poseban koordinatni sistem.

Rješenje dato na slikama 4.5 i 4.6., a prema pravilima obrađenim u poglavlju 2. Nacrtati sve tri projekcije tačaka A, B, C, D, a prema zadatim koordinatama (tačke leže

u ravnini 1) A (3,5,3,0) C (-5,-5,0) B (2,-3,0) D (-4,2,0)

Slika 4.7. Položaj tačaka u kosoj projekciji


19

Slika 4.8. Položaj tačaka u ortogonalnoj projekciji

3. Odredi sve tri projekcije navedenih tačaka koje su za naznačen broj jedinica udaljene od ravnina projekcija i osa ortogonalnog koordinatnog trijedra. Napiši koordinate tih tačaka i njihov položaj u prostoru. (O=11,19)

Udaljenost od 1 2 3

Tačka A 2 3 1

Tačka B 0 2 3

Tačka C 4 0 4

Tačka D 3 4 0

Tačka E 0 0 6

Tačka F 0 5 0

Tačka G 6 0 0

Tačka H 0 0 0

Rješenje: Prva i druga projekcija bilo koje tačke se nalazi na vertikalnoj sponi, dok se druga i treća projekcija nalaze na horizontalnoj sponi, bez obzira gdje je tačka smještena u prostoru.


20

Udaljenost tačke od ravnine 1, predstavlja z-koordinatu te tačke, udaljenost tačke od ravnine 2, predstavlja y-koordinatu te tačke, a udaljenost tačke od ravnine 3 njenu x-koordinatu.

Ako tačka leži na ravnini, tu je njen prostorni položaj i jedna od projekcija, a ostale projekcije se dobiju povlačenjem normala prema ravninama projekcije iz prostornog položaja, to jest dobiju se u osama.

prvi oktant

Slika 4.9. Prostorna projekcija tačaka u specijalnom položaju Koordinate tačaka x y z Položaj u prostoru Koordinate tačaka

Tačka A 1 3 2 proizvoljan položaj A(2,3,1)

Tačka B 3 2 0 leži u ravnini 1 B(0,2,3)

Tačka C 4 0 4 leži u ravnini 2 C(4,0,4)

Tačka D 0 4 3 u ravnini 3 D(3,4,0)

Tačka E 6 0 0 leži na x-osi E(0,0,6)

Tačka F 0 5 0 leži na x-osi F(0,5,0)

Tačka G 0 0 6 leži na x-osi G(6,0,0)

Tačka H 0 0 0 u koordinatnom početku H(0,0,0)


21

Slika 4.10. Ortogonalna projekcija tačaka u specijalnom položaju

4. Dat je trougao sa tri tačke A, B, i C. Odredi sve tri projekcije tog trougla. (O=8;8). Podaci: A(7,5,6) B(5,-2,5) C(2, 3.5,-1 ) (slika 4.11)


22

Slika 4.11. Ortogonalna projekcija zadatog trougla

ZADACI ZA VJEŽBU

1. Nacrtati sve tri projekcije tačaka A, B, C, D, E, F, G i H i odrediti u kom se oktantu nalaze. ( O=8;8)

Podaci: A (1,3,3) E (-3.5,4,2) B (2.5,-2,5) F (-4.5,-4.5,4) C (3,-3,-4.5) G (-5,-5.5,-2.5) D (4.5,4,-4) H (-4,4,-4)


23

2. Nacrtati sve tri projekcije tačaka A, B, C, D, E, F, G i H i odrediti u kom se oktantu nalaze. ( O=8;8) Podaci: A (2;2;1) E (8,4,0)

B (3.5,-1,2) F (9.5,-1,4) C (5,-3,-4) G (11,0,4) D (6.5,3,-5) H (125,0,-6)

3. Nacrtati u ortogonalnoj projekciji tačke.(O=14;13) Podaci: A (5.5,-6,4) E (7,1,-4)

B (-2.5,3,2) F (-5,-7.5,-5) C (-6,-7,-2) G ( 5,-6,-3) D ( 2,6,0) H (9,0,3)

4. Nacrtati u ortogonalnoj projekciji tačke.(O=11;11) Podaci: A (5.5,-6,0) A (5.5,5,5)

B (-2.5,-3,2) B (-2.5,-3,3) C (-4,-4,4) C (4,-2,6) D (5.5,-6,4) B (-2.5,3,2)

5. Nacrtaj u sve tri projekcije tačaka A( 5,-6,-3); B(7,1,-4); C(-5,-7.5,-5). Napiši u kojim se oktantima tačke nalaze. Crtati u ortogonalnoj projekciji. (O=12;13)

6. Nacrtaj u sve tri projekcije tačaka A( 2,6,0); B(9,0,3); C(-2,-6,-4). Crtati u

ortogonalnoj projekciji. (O=10;12)

7. Nacrtati u ortogonalnoj projekciji tačke A (5.5,-6,0) B (-2.5,-3,2) C (-4,-4,4)

Napisati u kojim se oktantima tačke nalaze. 8. Nacrtati u kosoj i ortogonalnoj projekciji tačke

A (5.5,5,5) B (-2.5,-3,3) C (4,-2,6)

Napisati u kojim se oktantima tačke nalaze.

26

5. PROJEKCIJA PRAVE

5.1. ORTOGONALNA PROJEKCIJA PRAVE

Uzastopni niz tačaka u prostoru na jednom pravcu čini pravu liniju. Ortogonalna projekcija prave na neku projekcijsku ravninu dobije se kada se kroz pravu postavi ravninu normalno na tu projekcijsku ravninu (slika 5.1). Ravnina normalna na projekcijsku ravninu naziva se projektna ravninu, a njen presjek sa projekcijskom ravni daje odgovarajuću ortogonalnu projekciju prave.

Projekcija prave koja se nalazi u prostoru, na neku od projicirajući ravnina je također prava, ukoliko prava nije okomita na njih. Pravougla (ortogonalna) projekcija prave je kraća od same prave ili je jednake dužine kao prava. Projekcija prave je kraća od same prave kada zauzima proizvoljni položaj u prostoru (slika 5.2), a jednake dužine kao i prava kada prava leži u ravnini ili je paralelna sa projicirajućom ravninom. U slučaju da je prava u prostoru okomita na neku od ravnina, a paralelna sa preostale dvije, tada je jedna njena projekcija tačka.

Za pravu koja zauzima proizvoljan položaj u prostoru u odnosu na projekcijske ravnine 1, 2 i 3 kaže se da se nalazi u proizvoljnom položaju u prostoru (slika 5.1), a za pravu koja leži, normalna je ili paralelna sa jednom od projekcijskih ravni, ili sa jednom od projekcijskih osa, kaže se da se nalazi u specijalnom položaju u prostoru (slika 4.9 i 4.10).

Slika 5.1. Prava g u proizvoljnom položaju

g

27

Na slici 5.2 prikazan je položaj prave g u projekcijama, za koju je bilo potrebno definisati samo dvije projekcije njenih tačaka A i B. Kako je svaka tačka u prostoru određena na osnovu svoje dvije projekcije, to je i prava u prostoru potpuno definisana pomoću dvije projekcije tačaka ( A,A i BB ), (slika 5.1 i 5.2).

Slika 5.2. Projekcija prave g u ortogonalnoj projekciji

Ukoliko prava g prodire kroz ravninu 1 u tački 11 SS , a ravninu 2 u tački

22 SS , tada se te tačke zovu projekcijski prodori (tragovi) ili probodišta (slika 5.1).

Na slikama 5.3 i 5.4 prikazane su prave u specijalnom položaju. U prvom primjeru je prava g paralelna sa projicirajućom ravninom 1, a u proizvoljnom položaju prema projicirajućim ravninama 2 i 3. Kada je prava g paralelna sa 1, njena prva projekcija m je proizvoljna i pokazuje položaj prave u prostoru, a druga projekcija g paralelna sa x-osom, a treća projekcija prave g paralelna sa y - osom (slika 5.3).

Na slici 5.4 prava n je u paralelnom položaju u odnosu na projicirajuću ravninu 2, a u proizvoljnom položaju u odnosu na projicirajuće ravninu 1 i

28

3 . U tom slučaju njena prva projekcija n je paralelna sa x-osom, a druga projekcija n proizvoljna, a treća projekcija n paralelna sa z-osom..

Slika 5.3. Prostorna i ortogonalna projekcija pravca g 1

Slika 5.4. Prostorna i ortogonalna projekcija pravca n 2

29

4.3. MEĐUSOBNI POLOŽAJ DVIJE PRAVE

Dvije prave u prostoru mogu se međusobno sjeći (presijecati) ili mimoilaziti (ukrštati). Ako se dvije prave sijeku u konačnosti, kaže se da su to dvije presječne prave u užem smislu riječi, a ako se one sijeku u beskonačnosti, kaže se da su to dvije paralelne prave.

4.3.1. Dvije prave koje se sijeku

Ako se dvije prave g1 i g2, date u proizvoljnom položaju u prostoru (slika

4.11), sijeku se u tački P, vidljivo je da se i njihove prve projekcije 1g i

2g

sijeku u tački P , a druge projekcije 1g i

2g u tački P . Također, može se uočiti sa slike u ortogonalnoj projekciji da dvije pridružene projekcije zajedničke tačke P leže na istoj sponi, pa se može reći da se prave u prostoru sijeku, ako presječne tačke istoimenih projekcija tih pravih vezuje ista vertikalna spona kroz dvije pridružene projekcije.

4.3.2. Dvije prave koje su paralelne

Dvije prave u prostoru su paralelne, ako su i njihove istoimene projekcije međusobno paralelne (slika 4.12).

Slika 4.11. Projekcije dvije prave Slika 4.12. Projekcija dvije paralelne koja se sijeku g1 i g2 prave g1 i g2, g1װ g2

30

4.3.3. Dvije prave koje se mimoilaze

Dvije prave se ukrštaju (mimoilaze) u prostoru ako se ne sijeku ni u konačnosti, ni u beskonačnosti (slika 4.13).

Slika 4.13. Projekcija dvije prave koja se mimoilaze g1 i g2

4.4. ODREĐIVANJE PRAVE VELIČINE DUŽI I VELIČINE UGLA NAGIBA

Prava veličina duži AB općenito će se dobiti ako se duž dovede u položaj da je paralelna sa projicirajućom ravni 1, 2 ili 3, ili da leži u nekoj od projicirajućih ravni.

4.4.1. Određivanje prave veličine duži i veličine ugla nagiba rotacijom u položaj paralelan sa 1

31

Slika 4.14. Koso predstavljanje rotacije duži u položaj

paralelan ravnini 1

Slika 4.15. Koso i ortogonalno predstavljanje rotacije duži u položaj paralelan ravnini 1

32

Prava veličina duži AB može se dobiti njenom rotacijom dok se ne dovede u položaj paralelan sa ravninom 1.

Druga projekcija duži AB rotira se oko druge projekcije tačke )A(B sa

radijusom BAr , tako da se dovede u položaj paralelan ravnini 1, a s obzirom na osnovnu osu 1x2. Položaj tačke )A(B ostaje pri rotaciji nepomičan. Tračka )B(A se projicira u )B(A 00

i )B(A u )B(A 00 .

Spajanjem tačaka 0AB odnosno )AB( 0 dobiva se prava veličina duži AB

(slika 4.14 i 4.15).

Prava dužina duži i usporednica sa nacrtnom projekcijskom ravninom 1 s obzirom na osnovnu osu 1x2, a koja prolazi kroz tlocrt tačke )A(B , predstavlja prikloni ugao 0. Taj ugao predstavlja pravu veličinu nagiba dužine AB prema nacrtnoj projekcijskoj ravnini 2 (slika 4.14 i 4.15).


Slika 4.16. Koso i oktogonalno predstavljanje rotacije duži u položaj paralelan ravnini 2

33

Slika 4.17. Koso i oktogonalno predstavljanje rotacije duži u položaj

paralelan ravnini 2

Druga projekcija duži AB rotira se oko druge projekcije tačke )A(B sa

radijusom BAr , tako da se dovede u položaj paralelan ravnini 1, a s obzirom na osnovnu osu 1x2. Položaj tačke )A(B ostaje pri rotaciji nepomičan. Tačka )B(A se projicira u )B(A 00

i )B(A u )B(A 00 .

Spajanjem tačaka 0AB , odnosno )AB( 0 dobiva se prava veličina duži

AB .

Prikloni ugao predstavlja pravu veličinu nagiba dužine AB prema projekcijskoj ravnini 1.


Kod rotacije duži AB u položaj paralelan sa projicirajućom ravninom 3 (slika 4.18), duž se rotira oko tačke )A(B sa radijusom BAr , tako da

je dužine 0AB )B(A paralelna sa projicirajućom ravninom 3, u odnosu na

34

osu 1x3. Centar rotacije je tačka )A(B , koja je u toku rotacije nepomična tačka.

Slika 4.18. Prostorno predstavljanje rotacije duži u položaj paralelan ravnini 3

Prva projekcija tačke A se rotira u 0A , a u trećoj projekciji A u 0A .

Povezivanje tačaka AiB predstavlja pravu veličinu duži AB (slika 4.19).

35

Slika 4.19. Ortogonalno predstavljanje rotacije duži u položaj paralelan ravnini 3

4.4.4. Metoda obaranja projicirajućeg trapeza

Između dužine AB i njenih projekcija BA i BA nastaju dva geometrijska lika, koji se nazivaju projicirajući trapezi (trapez ABAB i trapez ABAB ). Duž AB je u oba slučaja na projicirajućim zrakama koje su povučene normalno kroz krajnje tačke A i B. Ako se trapez obori za 90 oko tlocrta dužine na ravninu 1, udaljenosti tačaka od ravnine 1 (zA i zB) u obrnutom položaju zadržavaju normalnost na tlocrt (zA i zB BA ) dužine (slika 4.20).

Obaranje projicirajućeg trapeza oko tlocrta dužine u projicirajuću ravninu 1 naziva se prvo obaranje. U tom slučaju nanosi se veličina udaljenosti tačaka A i B od ravnine 1 (zA i zB) na krajnje tačke A i B na normalnoj zraci, koja se povlači kroz tlocrtne projekcije A i B okomito (normalno) na tlocrt dužine. Tako se dobiju oborene tačke 0A i 0B . Dužina 00BA

predstavlja pravu dužinu duži AB (slika 4.21). Ugao 0 između paralelne

spone koja je za zB udaljena od tlocrta dužine BA , i prave veličine dužine

00BA je prava veličina ugla koji duž AB zaklapa sa tlocrtnom ravninom 1.

36

Obaranje projicirajućeg trapeza oko nacrta dužine BA u projicirajuću ravninu 2 naziva se drugo obaranje. U tom slučaju nanosi se na normalne zrake, povučene iz krajnjih tačaka dužine u drugoj projekciji (nacrt duži BA ), udaljenost tačaka od projicirajuće ravnine 2 (yA i yB). Dobivena duž 00BA predstavlja pravu dužinu duži AB .

Slika 4.20. Prostorno predstavljanje dobivanja prave veličine duži sa obaranjem u ravnini 1 (tlocrtna ravninu)

37

Slika 4.21. Ortogonalno predstavljanje dobivanja prave veličine duži sa

obaranjem na ravninu 1 (tlocrtna ravninu)

38

Zadaci 1. Nacrtati i odrediti u kosoj i ortogonalnoj projekciji:

- prodore pravca a= AB A(2.5,6,1); B(-4,0,5), kroz projicirajuće ravnine 1, 2, 3; - oktante kroz koje pravac a prolazi; - vidljivost pravca a i njegovih projekcija (a, a, a), smatrajući projicirajuće

ravnine neprozirne; - pravu veličinu duži AB ; - priklone uglove 1, 2, 3.

39

40

2. Nacrtati i odrediti u kosoj i ortogonalnoj projekciji:

- prodore pravca a= AB A(3,1,4); B(-4,3.5,0.5), kroz projicirajuće ravnine 1, 2, 3;

- oktante kroz koje pravac a prolazi; - vidljivost pravca a i njegovih projekcija (a, a, a), smatrajući projicirajuće


41

42

3. Nacrtati i odrediti u kosoj i ortogonalnoj projekciji: - prodore pravca m= AB A(4,1,2); B(1,4,-2.5), kroz projicirajuće ravnine 1, 2,

3; - oktante kroz koje pravac a prolazi; - vidljivost pravca m i njegovih projekcija (m, m, m), smatrajući projicirajuće


43

44

4. Nacrtaj u sve tri projekcije dužinu ),,(B);,,(AAB 122668 , njezinu vidljivost i prodore kroz ravnine projekcija. U kojim se oktantima nalaze tačke AiB zadate dužine. (O=12;15)

45

5. Odrediti projekcije, vidljivost, pravu veličinu i uglove nagiba 1, 2, 3 dužine ),,(B);,,(AAB 718312 . Napšisati kakav položaj zauzima zadata dužina prema

ravninama projekcija i u kojem oktantu se ona nalazi. (O=10;15)

Dužina AB II 2, a kosa prema 1 i 3 (na y). Dužina AB je u II. oktantu.

yA=yB A'A0=A''Ax=zA B'B0=B''Bx=zB

A'''A0=A'Ay= A''Az= xA

B'''B0=B'By= B''By=xB

46

6. Nacrtati i odrediti u kosoj i ortogonalnoj projekciji: - prodore pravca n= MN A(3,1,-3); B(-4,5,-3), kroz projicirajuće ravnine 1, 2,

3; - oktante kroz koje pravac a prolazi; - vidljivost pravca n i njegovih projekcija (n, n, n), smatrajući projicirajuće

ravnine neprozirne; - pravu veličinu duži MN; - priklone uglove 1, 2, 3.

47

48

7. Odrediti sva tri prodora i vidljivost pravca ),,(B);,,(AABa 732767 kroz ravnine projekcija i napisati kroz koje oktante pravac prolazi. (O=11;12)

49

8. Nacrtati u sve tri projekcije dužinu ),,(B);,,(AAB 533888 , njezinu vidljivost u projekcijama i prodor kroz ravnine projekcija. NApisati u kojim se oktantima nalaze tačke A i B zadate dužine i u kojoj se projekciji dužina potpuno vidi, a u kojoj potpuno ne vidi. (O=14;13)

Tačka A u VIII. oktantu. Tačka B u V. oktantu. Dužina se potpuno vidi u drugoj projekciji (=A''B'') Dužina se potpuno ne vidi u trećoj projekciji (=A'''B''')

50

9. Odrediti prodor pravca ),,(N);,,(MMNa 437917 kroz ravnine projekcija. Odredi i projekcije tačaka koje leže na zadatom pravcu. Napiši, kakav položaj zauzima pravac prema ravninama projekcija i kroz koje oktante prolazi. (O=14;12)

Pravac a II 3, a kos prema 2 i 1. Projekcije a' i a'' se poklapaju. Pravac a prolazi kroz VII, VI i V oktant.

51

10. Odrediti prodor pravca a koji je paralelan ravnini 3, a prolazi tačkom A(3,6.5,4.5). Pravac a prodire ravninu 2 na udaljenosti z=1 od ravnine 1. (O=12;13)

52

11. Odrediti sva tri prodora pravca ),,(N);,,(MMNa 128518 kroz ravnine projekcija.

123. Napisati kroz koje oktante zadati pravac prolazi. (O= 8;13)

53

12. Odrediti prodore pravca ),,(B);,,(AABa .5774414 kroz ravnine projekcija.Napisati kroz koje oktante pravac prolazi. (O=10;15)

6 RAVAN

54

6 RAVAN

Uzastopni niz paralelnih linija u prostoru na jednom pravcu čini ravan. Položaj ravni u prostoru u potpunosti je određen sa tri tačke koje nisu na istom pravcu (koje nisu kolinearne). U prostoru ravan može biti u općem i specijalnom položaju.

Proizvoljna ravan u općem slučaju sječe sve tri projekcijske ravni po pravim linijama koje se nazivaju tragovi ravni i to:

- presjek ravni sa projicirajućom ravninom 1 daje prvi trag a1 ravni ;

- presjek ravni sa projicirajućom ravninom 2 daje drugi trag a2 ravni ;

- presjek ravni sa projicirajućom ravninom 3 daje treći trag a3 ravni .

Tačke u kojima ose koordinatnog trijedra x, y i z prodiru ravan nazivaju se osni prodori (osni tragovi) i to:

- prodor x-ose kroz ravan daje osni trag x;

- prodor y-ose kroz ravan daje osni trag y;

- prodor z-ose kroz ravan daje osni trag z.

Iz toga slijedi da odgovarajući tragovi prolaze kroz odgovarajuće osne tragove:

- prvi trag a1 prolazi kroz osne tragove x i y;

- drugi trag a2 prolazi kroz osne tragove x i z;

- treći trag a3 prolazi kroz osne tragove y i z.

Prvi i drugi trag ravni mogu međusobno zaklapati oštar ili tup ugao. Ravan čiji tragovi zaklapaju oštar ugao imaju konvergentne tragove i pri njenom projiciranju na 1 i 2 vidi se uvijek ista, gornja, odnosno prednja strana (slika 6.1 i 6.2). Ravan čiji tragovi zaklapaju tup ugao ima divergentne tragove i pri projiciranju ovakve ravni na 1 i 2 vide se njene suprotne strane kao na slici 6.3.


55

Slika 6.1. Prostorno predstavljanje proizvodne ravnine sa konvergentnim tragovima

Slika 6.2. Tragovi ravnine u ortogonalnoj projekciji

6 RAVAN

56

Slika 6.3. Prostorno predstavljanje proizvodne ravnine sa divergentnim tragovima

6.1. PROIZVOLJAN I SPECIJALAN POLOŽAJ RAVNI

Za ravan koja zauzima proizvoljan položaj u prostoru u odnosu na projekcijske ravni 1, 2 i 3 i ose koordinatnog trijedra x, y i z kaže se da se nalaze u proizvoljnom položaju u prostoru (slike 6.1 do 6.3), a za ravan koja zauzima specifičan položaj u prostoru u odnosu na projekcijske ravni i ose koordinatnog trijedra kaže se da se nalaze u specijalnom položaju u prostoru. Zavisno od toga kakav specijalan položaj u prostoru zauzimaju ravani u prostoru dijele se na: - projektne ravni i - simetralne ravni.

6.1.1. Projektne ravni

Projektna ravan je ona ravan koja je okomita bar na jednu projekcijsku ravan. U slučaju da je ravan okomita na projicirajuću ravan 1(slika 6.4), naziva se prva projektna ravan, a ako je okomita na projicirajuću ravan 2(slika 6.5), druga projektna ravan. Prva projektna ravan (slika 6.4), okomita je na ravan 1, a sa ravninom 2 i 3 zauzima proizvoljan položaj. Prvi trag te ravni a1 je proizvoljan, a njen drugi a2 i treći trag a3 paralelan je sa z-osom. Osni tragovi ove ravni su: (x; y;).

Druga projektna ravan (slika 6.5), okomita je na ravan 2, a sa ravninom 1 i 3 zauzima proizvoljan položaj. Prvi trag e1 te ravni je okomit na x-osu,


57

njen drugi trag e2 je proizvoljan, a treći trag e3 je okomit na sa z-osom. Osni tragovi ove ravni su: (x; ;z). Sve što se nalazi na ovoj ravnini ima drugu projekciju na drugom tragu e2 ravni .

Slika 6.4. Ravan (x, y,) okomita na ravan 1

Slika 6.5. Ravan (x, , z) okomita na ravan 2 Za ravan koja je okomita na profilnicu, odnosno projicirajuću ravan 3 (slika 6.6), prvi trag g1 je okomit na y-osu, a drugi trag g2 okomit na z-osu, a treći trag g3 je proizvoljan, tj. trag g1 i g2 su paralelni sa x-osom. Osni tragovi ove ravni su: (;y;z).

6 RAVAN

58

Slika 6.6. Ravan (, y, z) okomita na ravan 3 Kada je ravan paralelna sa 3, a istovremeno okomita na 1 i 2, tada se dobiva profilna ravan (slika 6.7). Njen prvi trag b1 je paralelan sa y-osom, a drugi trag b2 je paralelan sa z-osom, treći trag b3 je u beskonačnosti. Osni tragovi ove ravni su: (x,,). Sve što se nalazi u ovoj ravni ima prvu projekciju na prvom tragu b1, drugu projekciju na drugom tragu b2, a treću projekciju u pravoj veličini u 3.

Slika 6.7. Ravan (x,,) okomita na ravni 1 i 2

(profilna ravan paralelna sa 3)


59

Kada je ravan paralelna sa 2, a istovremeno okomita na 1 i 3, tada se dobiva frontalna ravan (slika 6.8). Njen prvi trag d1 je paralelan sa x-osom, a drugi trag d2 je u beskonačnosti, treći trag d3 je paralelan sa z-osom. Osni tragovi ove ravni su: (, y, ). Sve što se nalazi u ovoj ravni ima prvu projekciju na prvom tragu d1, drugu projekciju u pravoj veličini u 2, a treću projekciju na trećem tragu d3.

Slika 6.8. Ravan (, y, ) okomita na 1 i 3 (frontalna ravan paralelna sa 2 )

Slika 6.9. Ravan okomita na 2 i 3 (horizontalna ravan paralelna sa 1)

6 RAVAN

60

Kada je ravan paralelna sa 1, a istovremeno okomita na 2 i 3, tada se dobiva horizontalna ravan (slika 6.9). Njen prvi trag c1 je u beskonačnosti, drugi trag c2 je paralelan sa x-osom, treći trag c3 je paralelan sa y-osom. Osni tragovi ove ravni su: (, , z)

6.1.2. Simetralne ravni

Ravni koje sijeku projekcijske ravni 1 i 2 po njihovoj presječnoj osi x i polove oktante kroz koje prolaze, zovu se simetralne ravni (slika 6.10). Kroz neparne oktante prolazi prva simetralna ravan (prva simetralnica, ravnina simetrije), a kroz parne oktante druga simetralna ravan (druga simetralnica, ravnina koincidencije ili istovjetnosti).

Slika 6.10. Prva simetralna ravan (ravan simetrije)

Slika 6.11. Druga simetralana ravan (ravan istovjetnosti)


61

6.2. PRAVA NA RAVNI

Ako ravni , danoj prema slici 6.12, pripada prava g, najmanje dvije tačke te prave moraju ležati na danoj ravni. Produžavanjem prave g do njenih prodora V1 i V2 uočava se da ona u svojim projekcijskim prodorima siječe tragove ravni kojoj pripada. Zato se može tvrditi: prava je na ravni ako su njeni projekcijski prodori na odgovarajućim tragovima ravni, tj. prvi prodor V1 na prvom tragu 1, drugi prodor V2 na drugom tragu 2 ravni . Pomoću ovih prodornih tačaka, kao tačaka prave g riješene su i njene projekcije g', g" (slika 6.13).

Slika 6.12. Prostorno predstavljanje pravi g1 i g2 koji leže na ravni

Slika 6.13. Ortogonalana projekcija pravi g1 i g2 na ravni

6 RAVAN

62

Kroz dvije prave date pomoću tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, može se položiti samo jedna ravan. Za takve dvije prave kaže se da ravan određuju jednoznačno.

Slika 6.12 i 6.13 predstavlja dvije prave g1 i g2 koje se sijeku u tački S. Određivanjem projekcijskih prodora za ove prave, određuju se tragovi ravni koju one određuju. Oznake H1 i V1 su uzete za prodore prave g1, dok su H2 i V2 uzete za prodore prave g2. Kroz prve projekcije prvih prodora H1' i H2', prolazi prvi trag e1, a kroz druge projekcije drugih prodora, V1" i V2", prolazi drugi trag e2 ravni .

Uz tačno rješavanje i crtanje moraju se oba traga sjeći na x-osi u jednoj tački na osnom prodoru x.


63

ZADACI

1. Odrediti bez upotrebe tragova prodor pravca ),,(F);,,(EEFe .. 107351 55 sa

ravninom koja je zadata sa dva paralelna pravca ),,(B);,,(AABa .. 052240 55 i

D),,,(CCDb .5111 . (O=9;14)

6 RAVAN

64

2.


65

3.

6 RAVAN

66

4.


67

5.

6 RAVAN

68

6.3. SUTRAŽNICE

Među različitim pravcima u ravnini naročito su značajne sutražnjice. Sutražnice su prave posmatrane ravni, koje su paralelne sa jednom od projekcijskih ravni. Postoje prva, druga i treća sutražnica, ali su u upotrebi najčešće samo prva i druga. Prva sutražnica h (prva paralela ili horizontala) je prava ravni paralelna sa prvom projekcijskom ravni 1, a time i sa prvim tragom e1 ravni kojoj pripada (slika 5.14). Njen drugi projekcijski prodor V leži na drugom tragu 2 pripadajuće ravni, dok je prvi prodor na prvom tragu u beskonačnosti. Prva projekcija h' je paralelna sa prvim tragom e1, a druga h" sa x-osom (slika 6.14).

Slika 5.14. Prostorna i ortogonalna projekcija prve sutražnice

Druga sutražnica f (druga paralela ili frontala) je prava ravni paralelna sa drugom projekcijskom ravni 2, a time i sa drugim tragom e2 ravni kojoj pripada (slika 6.15). Pošto je frontala f paralelna sa 2, to ona prodire samo ravan 1 u tački H. Prva projekcija f frontale f paralelna je sa x-osom, a druga projekcija f frontale f paralelna je sa drugim tragom e2 ravni .


69

Slika 6.15. Druga sutražnica (druga paralela, frontala, vertikala)

6.4. NAGIBNICE I NAGIBNI UGAO RAVNINE Prave, koje leže u proizvoljnoj ravni i okomite su na jedan od tragova te ravni, nazivaju se nagibnice. To su dakle, specijalne prave u ravni koje pokazuju nagibne uglove ravni prema projekcijskim ravninama.

Slika 6.16. Prostorno i ortogonalno predstavljanje prve nagibnice i nagibnog ugla 0

Prva nagibnica k (slika 6.16) nastaje kada se proizvoljna ravan presječe sa ravni koja je okomita na prvi trag e1 zadate ravni . Prema tome, prva nagibnica je specijalna prava na ravni okomita na prvi trag e1 zadate ravni . Iz toga slijedi da je prva projekcija k prve nagibnice k okomita na prvi trag

6 RAVAN

70

e1 ravni , a druga projekcija k se dobije na osnovu njenih prodora kroz projicirajuće ravnine 1 i 2, tj. tačaka H i V (slika 6.16).

Druga nagibnica l (slika 6.17) je prava na ravnini, koja je okomita na drugi trag e2 zadate ravni . Druga projekcija l druge nagibnice l okomita je na drugi trag e2 ravni , a prva projekcija l se dobije na osnovu njenih prodora kroz projicirajuće ravnine 1 i 2, tj. tačaka H i V (slika 6.19).

Najmanji ugao, koji ravan zaklapa sa projicirajućim ravninama 1 i 2, je ugao između nagibnice i njenih projekcija. Označavaju se na sljedeći način: 0 = prvi nagibni ugao ravnine je ugao između prve nagibnice k i njene

prve projekcije k 0 = drugi nagibni ugao ravnine je ugao između druge nagibnice l i njene

druge projekcije l

Slika 6.17. Prostorno i ortogonalno predstavljanje druge nagibnice i nagibnog ugla 0

Prvi nagibni ugao ravnine je ugao koji ravan zaklapa sa prvom projicirajućom ravninom. Prava veličina tog ugla 0 definiše se obaranjem prve nagibnice u u projicirajuću ravan 1. Drugi nagibni ugao ravni definiše njena druga nagibnica. Prava veličina 0 dobiva se obaranjem druge nagibnice oko njenog nacrta (druge projekcije l) u projicirajuću ravan 2.

6.5. TAČKA NA RAVNI

Tačka leži na ravni onda, kada leži na bilo kojoj sutražnjici te ravni. Projekcija tačke na ravni, u općem slučaju, može se odrediti pomoću sutražnjice, koja pripada toj ravni i prolazi kroz tu tačku (slika 5.18). Ako


71

tačka P leži u ravni , onda prva projekcija te tačke P nalazi se na prvoj projekciji prve, odnosno druge sutražnjice (h tj. f), a druga projekcija P nalazi se na drugoj projekciji prve, odnosno druge sutražnjice (h tj. f ). U tom slučaju je udaljenost između P i ose 1x2 prava veličina udaljenosti tačke od ravni 1 i udaljenost P od ose 1x2 prava veličina udaljenosti tačke od ravni 2.

Slika 6.18. Prostorno i ortogonalno predstavljanje tačke P na ravni pomoću sutražnjica

Slika 5.19. Predstavljanje mogućih položaja tačke s obzirom na položaj

ravni

a) tačka na ravni b) tačka iznad ravni c) tačka ispod ravni

6 RAVAN

72

ZADATAK 1. Nacrtaj projekcije tačaka A(2,3,z); B(4,y,1); C(3,y,5.5) i D(7,y,-2) koje leže u ravnini

P(9,6,7). Da li tačka E(1.5, 1.5, 5) leži u zadatoj ravnini.


73

2. Paralelogram ABCD )D);z,,(C);z,,(B);z,,(A . 107033 5 leži u ravnini P(-8,7,6). Nacrtaj projekcije paralelograma, ako mu jedna dijagonala spaja vrhove B i C.

6 RAVAN

74

3. Nacrtaj projekcije tačaka A(6,2.5,z); B(4,y,6); C(3,y,10) i D(2,8.5,z) koje leže u ravnini P(,6,8). Provjeri i napiši da li i tačka E(7.5,4.5,3) leži u zadatoj ravnini.

(O=12;15)


75

6.6. PRESJEK DVIJE RAVNI

Dvije ravni koje se u prostoru ne poklapaju niti su paralelne sijeku se po pravoj liniji. Presjek tri ravni u prostoru daje jednu tačku. Proizvoljne ravni i sijeku se po pravcu s – presječnici (slika 6.20). Kako su ravni date sa tragovima, presječnica predstavlja spojnicu presječnih tačaka H1 i V1, u kojima se sijeku odgovarajući tragovi obje ravni. U tački H1 nalazi se presjek prvih tragova e1 i f1, a u tački V1 oba druga traga ravni i . Probodišta leže u presjecištu istoimenih tragova obje presječne ravni i ista se projektuju na osu 1x2 čime se određuju prva, odnosno druga projekciju presječnice s (slika 6.21). Iz toga slijedi da H1V1 i H1V1 određuju tlocrt s(prva projekcija) i nacrt s (druga projekcija) presječnice s.

Slika 6.20. Prostorno predstavljanje presjeka ravni i

Slika 6.21. Ortogonalno predstavljanje presječnice ravni i

6 RAVAN

76

Posebno je važno određivanje presjeka dvije ravni, kod kojih se projekcije tragova ne sijeku na projicirajućim ravninama . U tom primjeru presiječemo date ravni i sa dvjema novim ravninama 3 i 4, koje su paralelne sa projecirajućom ravninom 1 (slika 6.22).

Presječnice dati ravni sa ravni 3 su prve sutražnjice ravni i , koje se sijeku u tački P1. Tlocrt tačke P1 leži na presjeku tlocrta sutražnjica h1 i h1. Nacrt tačke P1 leži na presjeku nacrta sutražnjica h1 i h1. Presječnica dati ravni sa ravni 4 su druge dvije sutražnjice h2 i h2 sa presjekom u tački P2. Tlocrt tačke P2 leži na presjeku tlocrta sutražnjica h2 i h2. Nacrt tačke P2 takođe leži na presjeku ucrtanih sutražnjica h2 i h2 (slika 6.23). Povezivanjem P1 P2 i P1 P2 određujemo nacrt s i tlocrt s presječnice s.

Slika 6.22. Prostorno predstavljanje presjeka dvije proizvoljne ravni i pomoću pomoćnih ravni 3 i 4


77

Slika 6.23. Konstrukcija projekcija presječnice pomoću pomoćni ravni 6.7. ODREĐIVANJE UGLA IZMEĐU DVIJE PROIZVOLJNE RAVNI i

Da bi se za date ravni i odredila pravu veličina ugla između njih, potrebno je odrediti najprije presječnicu s te dvije ravni. Na presječnici s se izabere proizvoljna tačka A i kroz nju položi ravan okomito na presječnicu s. Ta ravan siječe ravni i po presječnim dužima AB i AC. Trougao CAB se rotira u tlocrtnu projekcijsku ravan 1 ( CAB 0 ). Ugao u vrhu A0

predstavlja pravu veličinu ugla 0 između dvije proizvoljne presječne ravni (slika 6.24).

Konstrukcija ortogonalnog predstavljanja određivanja stvarnog ugla između dvije proizvoljne ravni prikazana je na slikama 6.25 i 6.26. Prvo je potrebno definisati prvu i drugu projekciju ( sis ) projekciju presječnice s. To je

moguće povezivanjem tlocrta 1V i nacrta tačke

1H sa presjecištima 1V i

1H .Preslikavanjem presjecišta

1V oko nacrtne projekcije iste tačke 1V

6 RAVAN

78

dobije se tačka 10v . Povezivanjem te tačke sa presjecištem 1H dobiva se

prava veličina 0s presječnice s. Na pravoj veličini presječnice 0s izabere se proizvoljna tačka A kroz koju se provuče normala do tlocrtne projekcije s presječnice s i dobije se tačku P. Zatim, kroz proizvoljnu tačku P koja leži na tlocrtnoj projekciji presječnice s , povuče se normala do prvih tragova ravni i (e1 i f1), te se dobiju tačke B i C i trougao CAB . Vrh A0 trougla CAB 0 na tlocrtnoj projekcijskoj ravni 1 nastaje rotacijom tačke A

oko projekcije proizvoljne tačke P.

Ugao 0 u vrhu A0 je stvarna veličina ugla između dvije proizvodne ravni i , koje se sijeku.

Slika 6.24. Prostorno predstavljanje određivanja stvarnog ugla između

dvije proizvoljne ravni


79

Slika 6.25. Ortogonalno predstavljanje faze određivanja stvarnog ugla

između ravni i

Slika 6.26. Ortogonalno predstavljanje presječnog ugla između dvije

proizvoljne ravni i

6 RAVAN

80

6.8. PRODOR PRAVE KROZ ZADATU RAVAN

Svaka prava koja ne leži na ravni niti je sa njom paralelna, prodire datu ravan u jednoj tački.

Da bi se odredilo prodor prave g kroz neku proizvoljnu ravan , kroz datu pravu postavi se pomoćna ravan i nađe presječnica između date i pomoćne ravni. Pomoćna ravan treba da zadovoljava dva uslova: da je okomita na jednu od projicirajućih ravni i da sadrži pravac u prostoru. Kako se prava i presječnica nalaze u pomoćnoj ravni, one se sijeku u jednoj tački (tačka P). Tačka P predstavlja prodor prave g kroz zadatu ravan .

Najbrže i najjednostavnije se dolazi do rezultata kada se koristi prva (slika 6.27) i druga projektna ravan (slika 6.28). U tom slučaju je kroz pravac g položena prva ili druga projektna ravan tako, da se tlocrt s odnosno nacrt s njene presječnice s poklapa sa tlocrtom (g=s) odnosno u drugom slučaju nacrtom (g= s) pravaca g. Presječnica s siječe u nacrtu (sg) odnosno tlocrtu (sg) pravac g u tački P odnosno P, koja predstavlja prodor pravca g kroz ravan .

Slika 6.27. Prostorno predstavljanje određivanja prodorne tačke P prodora pravca g kroz ravan


81

Slika 6.28. Ortogonalno predstavljanje prodora ravani sa pravcem g

korištenjem prve projektne ravni

Slika 6.29. Ortogonalno predstavljanje prodora ravani sa pravcem g korištenjem druge projektne ravni

6.9. NORMALA NA RAVAN

Pravac koji se nalazi van ravni i normalan je na ravan naziva se normalom ravnine. Taj pravac se projicira u svakoj projekciji normalno na odgovarajuće tragove i sutražnjice date ravni, na koju je pravac okomit. Ukoliko je pravac n okomit na ravan , tada su njegove projekcije okomite

6 RAVAN

82

na oba njena traga e1 i e2. Tlocrt pravca n okomit je na trag e1, a nacrt pravca n na trag e2 (slika 6.30).

Prodorna tačka P, u prvom slučaju (slika 6.30) definisana je povlačenjem pomoćne ravni okomito na ravan . Druga mogućnost nastaje u slučaju kada je poznata tačka P koja se nalazi na ravni , a kroz koju se povlači normala n. Ako je pravac n normalan na ravan , tada su i njegove projekcije n i n okomite na tragove e1 i e2, te na sutražnjice h i f (slika 6.31).

6.10. PRODOR RAVANSKOG LIKA SA PRAVCEM

Problem se rješava na isti način kao u prethodnim primjerima, kada je ravan bila zadana sa tragovima. Na slici 6.32 data je ravnina trougla ABC , koja se presijeca sa pomoćnom ravninom koja se postavlja kroz pravac g. Na mjestu gdje presječnica u nacrtu presijeca nacrt pravca g, definiše se nacrt presječne tačke P. Radi veće jasnoće pretpostavit će se da je trougao ABC neproziran, a zatim će se definisati vidljivost pravca g. Kako je trougao jednoznačnog položaja, u nacrtu je vidljiv isti dio pravca kao i u tlocrtu slika (6.33). Pomoćna ravan koja je postavljena je kroz g i okomita je na 1, sječe ivice trougla CA u tački E, a BA u tački D. Spuštanjem ovih prodora do odgovarajućih ivica u nacrtu CA i BA dobijaju se odgovarajući prodori u nacrtu E i D. Spajanjem tačaka E i D dobije se

Slika 6.30. Normala na ravan koja prolazi kroz tačku P

Slika 6.31. Normala na ravan koja prolazi kroz tačku P


83

presječnica s u nacrtu. Prodorna tačka prave g u nacrtu P nalazi se na presjeku nacrta g prave g i nacrta s presječnice s.

Slika 6.32. Prostorno predstavljanje prodora pravca g

kroz ravan trougla

Slika 6.33. Određivanje prodorne tačke ravanskog lika sa pravcem g

6 RAVAN

84

ZADACI 1. Odrediti prodor pravca a= AB A(6,0,-4); B(0,4,5), kroz ravninu (8,10.5,6) i

projicirajuće ravnine 1, 2, 3 . Odrediti vidljivost pravca a (a, a, a), smatrajući ravninu i projicirajuće ravnine 1, 2, 3 neprozirne. Crtati u kosoj i ortogonalnoj projekciji.


85

6 RAVAN

86

2. Odrediti prodor i vidljivost pravca )3,1,7();7,6,2( BAABa kroz ravninu P(, 4,6).


87

3. Odrediti prodor i vidljivost pravca )4,2,8();4,2,1( BAABa kroz ravninu

)9,7,9( 5.P . (O=10;13)

6 RAVAN

88

4. Odrediti prodor i vidljivost pravca )3,5,6();9,1,3( FEEFg sa ravninom četverougla

)3,0,5();9,2,9();7,5,2();1,3,2( DCBAABCD . (O=7;17)


89

5. Odredi međusobni presjek dva paralelograma DCBAABCD );6,0,5();0,0,3();0,5,0( 5.

i HGFEEFGH );4,4,3();2,4,2();2,1,6( 5.5.5.5. (O=11;15)


65

7 TRANSFORMACIJA

Zadati geometrijski oblici često imaju takav geometrijski položaj prema projekcijskim ravnima 1 i 2, da se na osnovu projekcija na njima ne može dobiti jasna predstava o njihovom izgledu u prostoru ili je otežana mogućnost rješavanja nekih zadataka u vezi s postavljenim elementima.

Do sada se uvijek u cilju dobivanja što jednostavnijih izgleda projekcija tačaka, pravih linija, geometrijskih slika i tijela mijenjao njihov položaj u odnosu na projekcijske ravni 1, 2 i 3 koje su zadržavale uvijek isti položaj. Međutim, ponekad je baš usvojeni standardni položaj projekcijskih ravni 1, 2 i 3 nepovoljan za rješavanje postavljanih zadataka. Zbog toga često u rješavanju zadataka položaj prve tlocrtne 1 i druge nacrtne 2 projekcijske ravni ostaje stalan, a položaj treće 3 projekcijske ravni se mijenja tako da ostaje upravna samo na 1 ili 2 (do sada je položaj treće projekcijske ravni 3 bio istovremeno upravan na 1 i na 2). Ovo slobodno pomjeranje – transformiranje treće projekcijske ravni 3 naziva se transformacija. U slučaju potrebe može se uvesti četvrta 4, peta 5 itd. projekcijska ravan tako da je uvijek okomita na prethodnu.

7.1. TRANSFORMACIJA TAČKE

Prostornom skicom na slici 8.1 prikazana je transformacija tačke A do novouvedene četvrte ravni 4. Prvo je postavljena nova treća projekcijska ravan 3 normalno na 1, kao zamjena vertikalnoj ravni 2, čime se dobio novi sklop projekcijskih ravni 1 i 3 sa presječnom osom 1x3 (prve i treće ravni), umjesto prethodnog sklopa ravni u kojem je bilo 1 normalno na 2, a 1x2 presječna osa (prve i druge projekcijske ravni). Treća projekcija posmatrane tačke A je riješena prodorom normalnog projekcijskog zraka kroz ravan 3 položajem A'''. Kako je horizontalna ravan 1 ostala ista i za stari i za novi sklop ravni, to se udaljenost tačke A od nje, date koordinatom z, u projekcijama vidi kao duž iste veličine na obje vertikalne ravni, kako na prethodnoj ravni 2, tako i na novouvedenoj ravni 3, pa je zato AA' = A"L = A'''M. Gledajući ovu udaljenost kao duž između presječne ose i projekcije tačke, može se zaključiti da je: udaljenost nove projekcije tačke (A''' na novoj ravni) od posljednje ose (1x3) jednaka udaljenosti prethodne projekcije tačke (A" na zamijenjenoj ravni) do stare ose (1x2).

8 TRANSFORMACIJA

66

Slika 7.1. Transformacija tačke prikazana u prostoru

Pri daljoj transformaciji tačke uvedena je naredna četvrta ravan 4 kao zamjena prvoj 1, normalna na treću, sa posljednjom presječnom osom 3x4. Četvrta projekcija tačke AIV je u prodoru normalnog projekcijskog zraka tačke A kroz ravan 4. Kako je ravan 3 zajednička za oba posljednja sklopa normalnih ravni (1 normalno na 3 i 3 normalno na 4 ), upravo udaljenost tačke A od nje se ponavlja kao ista duž, kako na prethodnoj (1), tako i na narednoj četvrtoj ravni. Pošto je AA''' = A'M = AIVN, zaključuje se da je udaljenost nove projekcije AIV tačke A od posljednje ose (3x4) jednaka udaljenosti od stare ose 1x3 do projekcije A' na zamijenjenoj (prethodnoj) ravni.

Nakon izvršenog prostornog projiciranja na date ravni, za dobivanje slike u projekcijama, vrši se preklapanje ravni ovim redoslijedom: 4 na 3, obje na 1 i na kraju sve tri do položaja ravni 2. Pri tome je spona kroz AIV i A''' normala na 3x4, kroz A''' i A' normala na 1x3 i spona kroz A' i A" normala na osu 1x2. Po istom principu bi se određivale i naredne projekcije tačke, ukoliko bi bilo potrebno dalje uvođenje novih ravni.


67

Slika 7.2. Transformacija tačke u projekcijama

Transformacija tačke A do ravni 4 u projekcijama prikazana je na slici 8.2. Poznate su projekcije A' i A" tačke A i položaj osa 1x3 i 3x4. Projiciranje je početo povlačenjem spone iz tačke A' normalno na 1x3 osu, a udaljenost nove projekcije A''' na njoj od 1x3 data je udaljenošću druge projekcije A" od ose 1x2. Prelaz od treće do četvrte ravni prikazan je sponom koja povezuje A''' i AIV i normalna je na presječnu osu (3x4) ravni čije projekcije tačaka vezuje. Udaljenost AIV od posljednje 3x4 ose je jednaka udaljenosti prethodne projekcije A' od stare ose 1x3, a udaljenost AIII od 1x3 ose jednaka je udaljenosti druge projekcije A" od ose 1x2.

7.2. TRANSFORMACIJA PRAVE

Na slici 7.3 je prikazan u rasklopnoj projekciji postupak transformacije prave a (sa tačkama A i B). Za izvršenje ovog zadatka postupkom transformacije, potrebno je postaviti projekcijsku ravan normalno na samu pravu a, kako bi projekcija date prave na tu ravan bila predstavljena tačkom.

8 TRANSFORMACIJA

68

Slika 7.3. Prikaz postupka transformacije prave a

Kao što se vidi iz slike 7.3, prethodno je postavljena projekcijska ravan 3 paralelna pravoj a, i osa 1x3 je paralelna prvoj projekciji a' prave a. Pošto je nađena treća projekcija a''' prave a, postavljena je četvrta projekcijska ravan 4 sa položajem normalnim kako na samu projekcijsku ravan 3 tako i na treću projekciju a''' prave a. Tako će četvrta projekcija aIV prave a biti predstavljena u vidu tačke.

Iz same slike vidi se da prava a ima sasvim proizvoljan položaj prema osi 1x2, tj. u odnosu na projekcijske ravni 1 i 2. Za osu 1x3, tj. za projekcijske ravni 1 i 3 specijalan položaj bi zauzimala prava paralelna s trećom projekcijskom ravni 3.

A'B' 1x3 (a') A'A"' 1x3 3x4 A"'B"' (a"')


69

7.3. TRANSFORMACIJA GEOMETRIJSKOG OBLIKA

Slika 7.4. Prikaz postupka transformacije geometrijskog oblika

u vidu paralelograma ABCD Na slici 7.4 prikazan je u rasklopnoj projekciji postupak transformacije geometrijskog oblika u vidu paralelograma ABCD koji je svojim položajem normalan na prvu projekcijsku ravan 1, a istovremeno je paralelan sa drugom projekcijskom ravni 2. Kao što se vidi iz slike, izvršena je transformacija paralelograma i to iz prve projekcijske ravni 1 u treću projekcijsku ravan 3, a iz treće u četvrtu projekcijsku ravan 4.

8 TRANSFORMACIJA

70

7.4. TRANSFORMACIJA TIJELA

Slika 7.5. Postupak transformacije paralelopipeda

Na slici 7.5 je prikazan u rasklopnoj projekciji postupak transformacije tijela u vidu paralelopipeda ABCDEFGH čije su duže ivice paralelne sa osom 1x2, tako da mu je prva i druga projekcija predstavljena pravougaonikom. Da bi se iz prve i druge projekcije dobili jasnu predstavu o prostornom tijelu, kao što se sa slike vidi, izvršena je transformacija paralelopipeda, i to iz prve projekcijske ravni 1 u treću projekcijsku ravan 3, a iz treće u četvrtu projekcijsku ravan 4.

Kao što se vidi na slici 7.5, u trećoj projekcijskoj ravni 3 vidljiva je ivica CG, jer je ista najudaljenija od iste projekcijske ravni, a što se vidi iz same prve projekcije danog paralelopipeda sa istovremenim i danim smjerom gledanja u vidu strelice. Kako je u prvoj projekcijskoj ravni


71

projekcija ivice A'E' najbliža trećoj projekcijskoj ravni, tj. najudaljenija od oka posmatrača, to je u trećoj projekciji ista ivica prikazana kao nevidljiva AE. Dalje, sama vidljivost ivica paralelopipeda u četvrtoj projekcijskoj ravni određuje se prema odstojanjima istih od iste projekcijske ravni, a posredstvom direktnog čitanja u trećoj projekcijskoj ravni, uz istovremeno korištenje smjera gledanja za četvrtu projekcijsku ravan, koji je dat strelicom u trećoj projekcijskoj ravni. Tako se vidi da će tjeme H koje je najudaljenije od četvrte projekcijske ravni, biti prikazano u četvrtoj projekcijskoj ravni 4 kao vidljivo, a tjeme B, koje je najbliže četvrtoj projekcijskoj ravni 4, prikazati u istoj kao nevidljivo, a što znači i ivice BIVFIV, BIVCIV i BIVAIV, koje iz istog polaze u četvrtoj projekcijskoj ravni, prikazaće se također kao nevidljive.

Dalje, iz prikazanih projekcija se vidi da sve ivice koje su kod paralelopipeda međusobno paralelne, ostale su paralelne međusobno i u svim novim projekcijskim ravnima. Kako četvrta projekcijska ravan 4 daje potpuno jasno predstavu o samom izgledu prostornog paralelopipeda, to će se na ovoj projekcijskoj ravni i zadržati, tj. nema potrebe za uvođenjem daljih projekcijskih ravni.

8 TRANSFORMACIJA

72

ZADACI

1. Izvršiti transformaciju tijela sa tjemenima od 1-16. Prva transformacija je iz prve projekcije u treću, a druga transformacija iz treće projekcije u četvrtu. Osa transformacije 1x3 povučena je u tački x=9 cm pod uglom od 60 prema x-osi, a druga osa transformacije 3x4 povučena je kroz tačku x=12 cm pod uglom 90 prema x-osi.

Tok rada: Treća projekcija od 1 - 12 tijela od 1 - 12 nalazi se na osnovu rastojanja njegovih tjemena u drugoj projekciji od 1" - 12" od 1x2 – ose, a četvrta projekcija 1IV – 12IV tijela 1 – 12 nalazi se na osnovu njihovih rastojanja u prvoj projekciji od 1 - 12 od 1x3 – ose.

Vidljivost tijela u trećoj projekciji od 1 - 12 određuje se na osnovu njihove susjedne – u ovom slučaju prve projekcije, a vidljivost tijela u četvrtoj projekciji od 1IV – 12IV određuje se na osnovu njegove susjedne - u ovom slučaju treće projekcije.

Unutrašnje ivice tijela koje polaze iz onih tjemena koja su u susjednoj projekciji najbliže osi transformacije u sljedećoj projekcijskoj ravni su nevidljive. U ovom slučaju u trećoj projekciji nevidljive su ivice 23 i 45, a u četvrtoj projekciji nevidljive ivice su one koje prolaze iz sljedećih tjemena: 11IV, 12IV, 13IV, 14IV i 15IV.


73

2. Izvršiti dvije transformacije trostrane prizme kojoj su osnove paralelne sa ravninom 2. Jedna osnova prizme je )4,7,3();1,7,6();0,7,1( 5.5.5. CBAABC , bočni brid )0,1,1(DAD . Osa 1x3 siječe osu 1x2 u tački x=10.5, a zaklapa sa njom ugao od 60, dok osa 3x4 siječe osu 1x2 u istoj tački i zaklapa sa 1x2 ugao od 120. (O=1;12)

8 TRANSFORMACIJA

74

3. Izvršiti dvije transformacije kocke ABCDEFGH kojoj je zadat brid )5,1,0();5,6,0( BAAB .

Osa 2x3 siječe osu 1x2 u tački x=8.5 i sa njom zaklapa ugao od 60, a osa 3x4 siječe osu 1x2 u istoj tački i zaklapa sa osom 1x2 ugao od 135. (O=18;1)


75

8 ROTACIJA

Jasnija predstava o izgledu nekog prostornog oblika ili mogućnost sagledavanja njegovih elemenata u željenom položaju i veličini, osim transformacijom, može se postići postupkom rotacije (obrtanja, okretanja). Za razliku od transformacije, gdje je željeni oblik zadržavao stalno isti položaj, a mijenjale su se novouvedene ravni, kod rotacije on mijenja svoj položaj prema dvjema osnovnim ravnima projiciranja 1 i 2, dok one ostaju stalno u nepromijenjenom položaju.

Osa rotacije oko koje se vrši obrtanje nekog geometrijskog oblika može biti: * normalna na jednu od ravni projekcija * paralelna sa jednom od ravni projekcija * u proizvoljnom položaju, zašto treba vršiti i određene transformacije tog geometrijskog oblika.

8.1. ROTACIJA TAČKE

Slika 8.1. Rotacija tačke oko ose normalne na ravan 1

8 ROTACIJA

76

Na slici 8.1 je izvedena rotacija tačke A za ugao u položaj A0 (A obrnuto) oko ose a normalne na 1. Zbog paralelnosti ravni kruga rotacije kA sa 1 u prvoj projekciji se on (kA') vidi u pravoj veličini, dok je u drugoj projekciji (kA") duž paralelna sa x-osom i normalna na osu rotacije (kA" je paralelno sa x osom i normalno na a" - slika 8.2). Tačka A' se obrće za ugao u položaj A0' (A prvo obrnuto), dok se A0" (A drugo obrnuto) određuje povlačenjem spone do druge projekcije kruga (kA") po kojem se rotira.

Slika 8.2. Rotacija tačke oko ose normalne na ravan 1


77

Slika 8.3. Obrtanje tačke oko ose normalne na 2

Slika 8.3 pokazuje obrtanje tačke B oko ose b normalne na 2. Ovdje se krug rotacije vidi u pravoj veličini u drugoj projekciji, a u prvoj projekciji je paralelan sa x-osom i normalan na osu rotacije (kB' je paralelno sa x osom i normalno na b' - slika 8.4). Uz poznate projekcije (B'B") tačke B, rotira se B" za određeni ugao do položaja B0", odakle se povlačenjem spone do presjeka sa kB' dobiva položaj i prve projekcije (B0') obrnutog položaja tačke B.

8 ROTACIJA

78

Slika 8.4. Obrtanje tačke oko ose normalne na 2

8.2. ROTACIJA PRAVE

Rotacija neke proizvoljne prave a oko prave b, normalne na 1 ili 2 sa kojom se siječe u tački S, vrši se obrtanjem bilo koje tačke proizvoljne prave a oko prave b, kako je to izvedeno na slikama 8.5, 8.6 i 8.7. Kako zajednička tačka leži na samoj osi rotacije, ona će uvijek ostati u istom položaju, za bilo kako izvedenu rotaciju prave a (odnosno tačke A), zato se obrnuti položaj prave a dobiva uvijek spajanjem te tačke na osi sa obrnutim položajem proizvoljno uzete tačke.


79

Slika 8.5. Rotacija duži AB (b 1)

Slika 8.6. Rotacija proizvoljne prave a oko prave b u specijalnom

položaju (b 1)

8 ROTACIJA

80

Slika 8.7. Rotacija proizvoljne prave a oko prave b u specijalnom

položaju (b 2) ZADACI

1. Rotiraj tačku A(2,4,4) oko pravca )6,5,8();5.1,2,3( NMMNa za ugao 60 u smjeru kretanja kazaljke na satu i odrediti projekcije rotirane tačke. Koristiti transformaciju 1x3 i 3x4. (O=7;8)

Na slici 8.8 dat je primjer rotacije tačke A oko pravca a koji se nalazi u općem (proizvoljnom) položaju za ugao od 60 u smjeru kretanja kazaljke na satu, kao i definisanje projekcija rotirane tačke. Da bi se dobila kružnica rotacije u pravoj veličini, moraju se izvršiti dvije transformacije. Prva ravan transformacije 3 normalna je na ravan 1, paralelna osi rotacije a', odnosno pravcu a u prostoru. Naredna ravan 4 je normalna na ravan 3 odnosno osu rotacije (a"' je okomita sa osom transformacije 3x4). U prvoj i drugoj projekciji se kružnica rotacije vidi kao elipsa, u trećoj kao duž normalna na a"', a u četvrtoj projekciji u pravoj veličini. Rotiranu tačku A0

IV poznatom metodom transformacije vratimo u treću A0"', prvu A0' i drugu A0" projekciju.


81

Slika 8.8. Osa rotacije (a) u proizvoljnom položaju

8 ROTACIJA

82

8.3. ROTACIJA TIJELA

Na slici 9.9 prikazana je prava kvadratna prizma sa svojim osnovama ABCD i A1B1C1D1 u dvije projekcije. Rotacijom ovog tijela treba da se dobije jasnija predstava o njemu. Rotacija je vršena oko ose b normalne na 2 (u drugoj projekciji se osa b projektuje kao tačka, tj. imamo središte rotacije) za ugao . Svi vrhovi tijela zaokrenuti su po kružnim lukovima u drugoj projekciji za isti ugao oko položaja b" kao središta rotacije. No, ovim se zakretanjem nije izmijenio izgled, nego samo položaj projekcije i izvjesne ravni se i dalje vide kao duži.

Tek u obrnutom položaju prve projekcije tijelo mijenja izgled, jer se sada površi sagledavaju kao površi i time puno jasnije uobličava njegov izgled.

Slika 8.9. Rotacija prizme oko prave


83

ZADATAK

1. Rotiraj zadato tijelo sa tjemenima od 1-14, oko prave a za ugao od 135, ako je prava a paralelana sa ravninom 2 i od nje udaljena 10 mm, a sa ravninom 1 zaklapa ugao od 60. Koristiti transformaciju 2x3 .


81

10 PRESJECI I MREŽE

10.1. RAVANSKI PRESJEK

Ravan presijeca tijelo u obliku koji se naziva presjek tijela. Kod uglastih tijela presjek je poligon s istim brojem strana koliko ima poligon baze. Svakoj tački baze odgovaraće po jedna tačka presjeka i to ona tačka u kojoj izvodnica iz te tačke prodire kroz ravan. Spajanjem probodišta svih izvodnica dobiva se presječni poligon.

Kod oblih tijela presječni likovi ograničeni su krivim linijama ili krivim i ravnim linijama ili samo sa ravnim linijama. Tako na primjer, presjek kupe (stožca), koji prolazi kroz vrh je trougao.

Presječni lik uglatog tijela, koji presijeca projektna ravan (ravan koja je okomita na jednu od projicirajućih ravnina 1, 2, ili 3) projektuje se kao duž i poklapa se sa jednim tragom ravni presijecanja. Ako se tijelo presijeca sa prvom projektnom ravni, presječeni lik je duž u tlocrtnoj ravni (ravan 1). Ukoliko se tijelo presijeca sa drugom projektnom ravni, presječena ploha se projektuje kao duž u nacrtu i leži na drugom tragu ravnine presijecanja (slika 10.1).

Slika 10.1. Prostorno predstavljanje presjeka prizme sa trećom projektnom ravni ( ravan 3 )


82

Presjek tijela sa ravni koja je paralelna projicirajućoj ravni i ravni baze tijela je lik koji se podudara sa bazom.

10.1.1. Presjek uspravne prizme, presječene sa ravninom okomitom na 2

Pri presjeku četverostrane prizme sa drugom projektnom ravni dobiva se presjek koji u projekcijama ne daje stvarni oblik ni veličinu tog presjeka (slika 10.1). Prava veličina i oblik presjeka dobije se obaranjem ravnine u tlocrtnu projekcijsku ravan 1. Time se i presjek prizme sa ravninom obara u projicirajuću ravan 1. Uspravna prizma je u položaju da njena baza leži u projekcijskoj ravan 1, tako da je tlocrt presjeka omeđen tačkama DCBA poklapa se sa vrhovima baze u tlocrtnoj projekciji. Nacrt vrhova DCBA je na drugom tragu e2 ravni . Tragovi ravni e1 i e2 se sijeku u tački M na osi 1x2. Nacrt vrhova DCBA na tragu e2 se rotira oko osnog traga x od ose 1x2, pa produži do presjeka sa horizontalnim sponama povučenim iz tlocrta vrhova DCBA . Na taj način definišu se tačke 0000 DiCBA koje

predstavljaju pravu veličinu i oblik presjeka prizme sa ravninom (slika 10.2). Pomoću projekcija u nacrtu i tlocrtu vrhova lako će se odrediti i njihova treća projekcija DCBA .

Slika 10.2. Ortogonalna projekcija presjeka prizme sa ravni i prava veličina presjeka


83

10.1.2. Presjek uspravne prizme, presječene sa proizvoljnom ravni

Pri presjeku četvorostrane uspravne prizme sa proizvoljnom ravni nastaje lik, koji je omeđen sa tačkama A, B, C i D (slika 10.3). Ravan presijeca tlocrtnu projekcijsku ravan 1 u tragu e1, a nacrtnu projekcijsku ravan u tragu e2.

Projekcija prizme na 1 određena je sa tačkama A, B, C i D. Na dužini CB i DA postavljaju se pomoćne ravni, koje su okomite na tlocrtnu

projekcijsku ravan 1. Pomoćne ravni presijecaju ravan u dvije zasebne presječnice 11VH i 22VH . One na presjecištu sa prizmom određuju

presječnice AD i BC (slika 10.3).

Slika 10.3. Prostorno predstavljanje presjeka prizme sa proizvoljnom ravni


84

Pojedinačne stranice i oblik presjeka u nacrtu dobivaju se projekcijom presječnih tačaka u tlocrtu. Stranica CB određuje se pomoću poznatih

presječnih tačaka 1H na e1 i

1V na osi 1x2. Tačka

1H se pomoću vertikalne spone projiciramo na osu 1x2 ( tačka H1 nalazi se na tragu e1, odnosno leži

u ravni 1, pa je njena nacrtna projekcija 1H na osi 1x2), a

1V na trag e2 u

1V . Spajanjem nacrtnih tačaka 1H i

1V dobiva se presječnica koja u

presjeku sa projekcijom prizme određuje stranicu CB .

Na isti način, projiciranjem 2H i

2V i spajanjem projekcija tih tačaka u

nacrtu, tj. 2H i

2V dobiva se presječnica koja određuje stranicu DA .

Produženjem stranica BA i CD dobivaju se preostala kolineacijska

središta 4H i

3H , koja leže na produžetku prvog traga e1. Kolineacijska središta su potrebna da se u ovom slučaju odrede prava veličina i oblik presjeka ABCD prizme sa proizvoljnom ravni . Kroz vrhove DCBA povlače se u tlocrtu afinitetne zrake koje su okomite na prvi trag ravni e1. Udaljenost tačke od e1 se određuje pomoću pomoćne ravni 3.

Ona leži okomito na 1 i tvori sa njom osu 1x4, a u presjeku sa proizvoljnom ravni definiše trag e4. Pravac traga e4 definisan je sa nagibnim uglom proizvoljne ravni 0, kao i razdaljinom hc jedne od tački presjeka, npr. tačke C. Projekcijom prizme na ravan 4 dobivaju se četvrte projekcije presječnih tačaka DCBA . Tačka D se zarotira oko tačke M do ose 1x3, zatim se sponom produži do presjeka sa afinitetnom zrakom iz tačke D , na čijem presjeku se definiše oborena (rotirana) tačka D0.

Sa kolineacijskim zrakom, koji prolazi kroz središte 3H i D0, određuje se

tačka C0, a povezivanjem sa 1H tačka B0. Preostala tačka A0 leži na

presjeku kolineacijskog 04 BH i afinitetnog zraka, koji prolazi kroz tačku A (slika 10.4).


85

Slika 10.4. Ortogonalno predstavljanje određivanja prave veličine presjeka prizme sa proizvoljnom ravni

10.1.3. Presjek piramide sa proizvoljnom ravni

Pri presjeku piramide sa proizvoljnom ravni postoji između ravni i tlocrta piramide na 1 srodnost tačaka – kolineacija, koja predstavlja geometrijsku srodnost između tačaka presjeka i tlocrtnih tačaka piramide (slika 10.5).

Ta srodnost se ogleda u sljedećem:

1. Ivice piramide se sijeku u jednoj tački, koja predstavlja kolineacijski centar S.

2. Određene tačke, npr. A i F, leže na istoj ivici piramide (tačka baze E i tačka presjeka A), istom kolineacijskom zraku, koji prolazi kroz centar S.


86

3. Produženjem duži se među sobom sijeku u istim tačkama I, II, III ili IV na prvom tragu e1, koji je ujedno kolineacijska osa, npr. FG i AB u tački I,...

Slika 10.5. Prostorno predstavljanje presjeka piramide sa proizvoljnom ravni

10.1.3.1. Presjek piramide sa drugom projektnom ravni

Iz prostornog predstavljanja na slici 10.6, kada je presječna ravan okomita na 2 (druga projektna ravan), sve što je u ravni ima svoju nacrtnu projekciju na drugom tragu e2. Stoga će i tačke ABCD, u kojima pojedine ivice prodiru kroz ravan, imati svoje nacrtne projekcije na tragu e2. To znači da je traženi presjek već određen i treba još samo da se spomenute tačke odrede u tlocrtu i to ordinatom (vertikalnom sponom) svaku spustiti na svoju ivicu (slika 10.6). Na kraju se pomoću afiniteta provjeri da li su sve tačke dovoljno tačno određene.

Prava veličina i oblik presjeka 0000 DCBA može se odrediti upotrebom afiniteta. Prvi trag e1 je u ovom slučaju i afinitetna osa, do kojeg produžavamo zrake iz pojedinačnih presječnih tačaka .D,C,B,A Rotacijom nacrta presječne tačake A oko tačke M do ose 1x2, dobiva se na presjeku afinitetnog zraka i ordinate od ose 1x2 tačka A0. Na presjeku spone

0IA i afinitetnog zraka kroz E definisana je tačka E0 (slika 10.7).


87

Slika 10.6. Prostorno predstavljanje presjeka piramide sa drugom projektnom ravni


88

Slika 10.7. Ortogonalno predstavljanje određivanja prave veličine presjeka piramide sa drugom projektnom ravni


89

10.1.3.2. Presjek piramide sa proizvoljnom ravni

Za dobivanje presjeka kako prizme tako i piramide sa nekom ravni koriste se sljedeće metode: metoda direktnog prodora, metoda transformacije i metoda kolineacije (afiniteta).

METOD DIREKTNOG PRODORA

Na primjeru presjeka četvorostrane kose piramide sa proizvoljnom ravni , poznato je unaprijed da će presjek biti četvorugao u ravni i da će taj četverougao biti kolinearan sa četveruglom bazisa. Svakom vrhu A, B, C, D četvorougla bazisa odgovaraće po jedan, TTTT DCBA vrh četvorougla presjeka. Kako su zraci kolineacije izvodnice, odnosno ivice piramide, to će se presiječni četverougao odrediti na taj način, što će se konstruirati prodori pojedinih ivica prizme kroz presječnu ravan .

Kroz ivicu AS piramide postavi se pomoćna ravan normalno na ravan 2, tako da je prvi trag a1 te pomoćne ravni normalan na osu 1x2 dok se drugi trag a2 poklapa sa drugom projekcijom AS ivice piramide. Kao što se vidi sa slike 10.8. presjek pomoćne ravni i ravni je prava p sa prodornim tačkama 4 i 5. U presjeku prave p i ivice AS u tlocrtu (p i AS), dobije se

tlocrt TA tačke prodora ivice AS kroz ravan . Prenošenje ove tačke

ordinalom u nacrtnu projekciju do presjeka sa istom ivicom u nacrtu, tj. do

presjeka sa AS, dobije se druga projekcija TA . Ponavljanjem ovog

postupka i za ostale tri ivice koje prolaze iz vrhova B, C i D, dobije se na isti način i ostale tačke prodora.

Spajanjem dobivenih tačaka TTT C,B,A i

TD u prvoj projekciji i

TTT C,B,A i TD u drugoj projekciji, dobije se u prvoj i drugoj projekciji

projekcije presječnog poligona TTTT DCBA između date piramide i presječne

ravni , koji je kolinearan sa poligonom osnove ABCD. Osa kolineacije je prava po kojoj se sijeku ravni dva poligona, tj. trag e1, zraci kolineacije su ivice piramide, a centar kolineacije je vrh piramide S. Kako je presječni poligon kolinearan sa osnovom, lako se može provjeriti tačnost dobivanja

presječnog poligona. Tačka TA presječnog poligona odgovara tački A

poligona osnove, itd. , to znači da će strani TT BA presječnog poligona

odgovarati strana BA poligona osnove. Produženjem strana osnove BA do presječne tačke 1 sa osom kolineacije, tj. prvim tragom ravni trag e1,

mora se sječi u istoj tački sa produženom stranom TT BA presječnog

poligona. Istim postupkom, posredstvom tačaka 2 i 3, može se provjeriti da li su tačno određene i ostale strane presječnog poligona.


90

Na isti način provjerava se i tačnost dobivanja druge projekcije presječnog poligona, a posredstvom druge projekcije 1, 2 i 3 tačaka 1, 2 i 3 istih poligona.

Prava veličina i oblik presjeka TTTT DCBA određeni su obaranjem tog

presjeka, u ovom slučaju oko prvog traga e1 u projecirajuću ravan 1. Za određivanje oborenog traga korištena je proizvoljna tačka N (N, N) na drugom tragu e2 (slika 10.8). Njena oborena projekcija određuje oboreni

trag ravni e20. Povlačenjem sutražnjica kroz presječne tačke TTT C,B,A i

TD određuje se prava veličina presjeka TTTT DCBA .

Slika 10.8. Ortogonalno predstavljanje određivanja presjeka kose četvorostrane piramide sa proizvoljnom ravni

postupkom direktnog prodora


91

METOD TRANSFORMACIJA

Na slici 10.9 prikazan je postupak transformacije za dobivanje presjeka jedne kose trostrane piramide ABCS ( sa osnovom u projekcijskoj ravni 1) sa proizvoljnom ravni .

Slika 10.9. Ortogonalno predstavljanje određivanja presjeka piramide sa proizvoljnom ravni postupkom transformacije


92

Prvo se formira trag e3 ravni , posredstvom proizvoljne tačke V na drugom tragu e2 ravni , tj. posredstvom rastojanja zv. Spajanjem tačke V sa tačkom e1 dobije se položaj trećeg traga e3 ravni , a korištenjem odstojanja tačke vrha S od ose 1x2 tj. odstojanja zs dobijemo treću projekciju S tačke vrha date piramide. Treće projekcije poligona presjeka piramide sa ravni dobije se na samom tragu e3, a iz dobivene treće projekcije presječnog poligona povratnim projekcijskim zrakama dobije se tlocrtna projekcija istog.

Po izvršenoj provjeri tačnosti položaja presječnog poligona u tlocrtnoj projekcijskoj ravni 1, a posredstvom postupka kolineacije, povratnim zracima iz tlocrtne projekcije presječnog poligona dobije se nacrtna projekcija istog.

Prvi trag e1 je u primjeru i osa afiniteta, u koji se projiciraju zrake afiniteta odgovarajućih vrhova DCBA . Sa rotacijom tačaka u trećoj projekciji do ose 1x3, npr. D u 0D oko tačke M, dobiva se na presjeku afinitetnog zraka

i normale na osu 1x3 tačka D0. Na presjeku spone 0ID i afinitetnog zraka

kroz C je određena tačka 0C .

10.2. MREŽE GEOMETRIJSKIH TIJELA

10.2.1. Mreža prizme

A0

A B C D A

A D

1

2=20

3=30

4

1

10

Slika 10.10. Mreža presječene uspravne prizme


93

Tijela kod kojih su baze paralelne sa 1 (2), te se baze projiciraju u nacrtu (tlocrtu) u pravoj veličini i obliku, a u tlocrtu (nacrtu) kao duži, paralelne sa osom 1x2. Kod uspravne prizme, u tom slučaju se visina projicira u nacrtu (tlocrtu) u svojoj pravoj veličini.

Prizma je uspravna, to znači da ivice prizme zaklapaju sa ravni bazisa pravi ugao. Prema tome, ivica koja prolazi kroz A zaklapa pravi ugao sa stranom AB bazisa, a isto tako i sa stranom AD. Na mreži se pokazuje sve u pravoj veličini, pa će i taj pravi ugao ostati prav, to znači da će se na mreži strane AB i AD pokazati kao jedna prava okomita na ivicu iz A.

Što važi za ivicu A, važi i za sve ostale ivice prizme. Iz toga slijedi da će se linija bazisa kod prave prizme pokazati na mreži kao prava okomita na ivice prizme.

Pošto je i bazis samo jedan presjek prizme, može se konstatovati sljedeće:

Presječeni poligon neke prizme sa ravni okomitom na ivice prizme pokazuje se na mreži kao prava okomita na ivice.

Konstrukcija mreže u prethodnom slučaju je vrlo jednostavna (slika 10.10). Povuče se jednu prava i na njoj od tačke A nanesu se redom strane bazisa AB do DA. Njihove prave veličine su u tlocrtu. Time je ucrtana linija bazisa. Iz dobivenih tačaka povuku se prave okomite na liniju bazisa, koje na mreži predstavljaju ivice prizme. Sve su ivice podjednake dužine i pokazuju se u nacrtu u svojoj pravoj veličini. Njihove dužine nanose se od tačaka donjeg bazisa, a time i linije gornjeg bazisa na mreži.

Mreža omotača je u ovom slučaju pravougaonik koji je sastavljen od četiri pravougaonika, tj. četiri strane prizme.

Linija presjeka određuje se vrlo lako, jer se odstojanja tačaka presjeka 1, 2, 3, 4 do tačaka bazisa A-D pokazuju u nacrtu u svojoj pravoj veličini, odnosno leže na drugom tragu e2 druge projektne ravni . Odmjere se direktno i nanesu na mrežu. Prava veličina presjeka se definiše upotrebom afiniteta (slika 10.11). Potrebno je provjeri da li se tako određene prave veličine strana slažu sa pravom veličinom u oborenoj ravni.

Na kraju se ucrtaju na mreži poligoni bazisa i presjeka.


94

Slika 10.11. Određivanje prave veličine i oblika presjeka

10.2.2. Kontura i vidljivost ivica

Pošto su geometrijska tijela ograničena površinama, ivicama i rogljevima, to će se projekcije tih tijela na projekcijske ravni dobiti projiciranjima njihovih površina, ivica i rogljeva i njihovim spajanjem onako kako su spojeni i u prostoru. Radi veće preglednosti i razumljivosti tijela se predstavljaju kao neprozirna, tako da se razlikuje vidljivi i nevidljivi dio njihovih kontura. Kod projekcije tijela na ravan vidljive su samo one površine, ivice i rogljevi koji su bliži posmatraču, odnosno dalji od projekcijske ravni. Ivice koje dijele vidljivi dio površina od nevidljivog zovu se konturne ivice tijela u toj projekciji. Konturne ivice tijela su uvijek vidljive. Ako je rogalj (vrh) unutar konture vidljiv, onda su vidljive i sve ivice koje iz njega izlaze i obrnuto.


95

10.2.3. Mreža piramide

Kao primjer za određivanje mreže piramide izrađen je zadatak na slici 10.12. Najprije je metodom kolineacije određen presjek četvorostrane uspravne piramide sa drugom projektnom ravni (ravan koja je okomita na projicirajuću ravan 2).

Pri razvoju omotača (plašta) piramide razvije se najprije nepresječena piramida. Mreža se sastoji od četvorougla bazisa i od omotača sastavljenog od četiri trougla. Pošto se mreža crta upotrebom pravih veličina potrebnih elemenata, to je potrebno da se odrede prave veličine svih duži. Pravu veličinu bazisa nalazi se u tlocrtu, pošto piramida prostorno bazisom leži u projicirajućoj ravni 1. Da bi se odredile prave veličine pojedinih bridova piramide, bridovi se rotiraju da budu paralelni sa projicirajućom ravani 2.

Sada se može pristupiti konstruiranju mreže omotača. Povuče se proizvoljna prava i označi na njoj tačka S. Tada se nanese od S na pravoj prava veličina brida SG(=SG0). Pretpostavi se da je SG jedna strana plohe GFS piramide, pa se konstruira taj trougao. Iz G se opiše krug r=GF, a iz S krug r=SF0. U presjeku tih krugova je tačka F, što omogućava da se nacrta trougao. Zatim, na isti način na strani SF se docrta trougao FSE i tako redom sve ostali trouglovi omotača. Izlomljena liniju GFEHG se naziva linijom bazisa. Na bilo koju stranu te linije doda se poligon bazisa. Na navedenoj slici poligon bazisa dodan je na stranu HG, a kako je taj poligon u nacrtu već u pravoj veličini, najlakše se prenese pomoću strana i dijagonala.

Pošto na mreži već postoje sve ivice piramide, treba samo ucrtati na njima tačke od A0 do D0. Stoga će se odrediti prave veličine duži od tačke bazisa do tačke presjeka. Za tačku A0 na primjer, pošto je već određena okretanjem prave veličine ivice ES, dovoljno je da se nađe u okrenutom položaju i tačka A0. Kako ta tačka pri okretaju ne mijenja visinu, biće A0 na horizontalnoj pravoj povučenoj iz A. Na ivici ES mreže se nanesu duži E0A0 i time se na mreži odredi presječna tačka. Isto se uradi i za preostale tačke presjeka. Dobivene tačke se spoje, što na mreži definiše liniju presjeka.

Na kraju se treba dodati prava veličina presjeka, koji se doda na bilo koju stranu linije presjeka.

Prava veličina presjeka A0B0C0D0 odredi se sa poznatim metodama obaranja, kolineacijom ili afinitetom.


96

Slika 10.12. Određivanje prave veličine dužine ivica presječene piramide

Slika 10.13. Mreža presječene piramide


97

10.3. PRESJEK I MREŽA VALJKA (OBLICE)

Presjek uspravnog valjka sa ravninom je krug, pravougaonik ili elipsa. Presjek je krug onda kada je ravan presijecanja paralelna sa krugom bazisa. Kada je ravan presijecanja paralelna sa izvodnicama valjka, presjek je pravougaonik. Ukoliko ravan koja presijeca valjak, zaklapa sa izvodnicama valjka ugao koji je manji od 90, a veći od 0, presjek je onda elipsa.

10.3.1. Kosi presjek valjka

Slika 10.14 i slika 10.15 prikazuje eliptički presjek uspravnog valjka. Izveden je presjek uspravnog valjka (sa krugom bazisa na tlocrtnoj projekcijskoj ravni 1) sa drugom projektnom ravni . Presjek je elipsa koja se u nacrtu projektuje u duž 60 . Tlocrt te elipse poklapa se sa tlocrtom kruga bazisa valjka. Prava veličina udaljenosti pojedinačnih tačaka presjeka od ose 1x2 vidljiva je u nacrtu, što također omogućava da se prikaže projekcija elipse u bokocrtnoj ravni 3.

Slika 10.14. Prostorno predstavljanje kosog presjeka uspravnog valjka


98

Slika 10.15. Kosi presjek uspravnog valjka

Slika 10.16. Presjek uspravnog valjka sa više ravni presijecanja


99

Na slici 10.16 dat je presjek uspravnog valjka, koji se presijeca više puta. Plašt presječenog valjka razdjeli se na više jednakih dijelova, npr. 8, koji ravan (e2) presjeca u osam tačaka.To znači da se povezuju 4 produžetka do presjeka e2 u 4". Ravan (f2) je presječena u 5 tačaka. Tako dobivene presječne tačke na e2 i f2 prenesu se u bokocrt (3) i povežu se u presječne krivulje.

10.3.2. Određivanje prave veličine i oblika presjeka

10.3.1. Određivanje prave veličine i presjeka pomoću afiniteta

Slika 10.17. Određivanje prave veličine presjeka pomoću afiniteta

Na slici 10.17 prikazan je afinitet između kruga baze i presjeka elipse. Prvi trag presječne ravni e1 je osa afiniteta, a središta M0 i M odgovarajući par tačaka. Središnja tačka M0 prave veličine presjeka odredi se obaranjem


100

drugog traga druge projektne ravni u projicirajuću ravan 1. Na proizvoljno izabranoj dužini koja povezuju tačke kružnice i ista takva na drugom dijelu pravougaonika, npr. BF i DH , dobije se pomoću metode afiniteta prečnika elipse 00BF i 00DH , koji više nisu između sebe okomiti. Proizvoljno

izabrana tetiva na krug baze, koja je paralelna sa DH , npr. EG , CA , daje u elipsi pravu veličinu također paralelnih tetiva 00EG , 00 C,A .

10.3.2.2. Određivanje prave veličine i oblika presjeka pomoću obrtanja

Pri obrtanju presjeka rotiraju se po obodu tačke plašta, koje su u nacrtu na drugom tragu ravni e2 (slika 10.18). Rotacija se izvodi oko tačke x u ravan projiciranja 1. Tačke 00,10,20,... u produžetku tlocrtne projekcije su definisane na presjecištima spona (okomice na e1) iz tačaka u tlocrtu i okomica povučene kroz rotirane tačke sa ose 1x2. Povezivanjem dobivenih tačaka dobiva se krivulja koja predstavlja pravu veličinu i oblik presjeka.

Slika 10.18. Određivanje prave veličine presjeka pomoću obaranja presjeka

Isti postupak se može izvesti rotacijom tačaka u nacrtnoj ravni. Tačke na krugu baze (tlocrt) projiciraju se okomito na prvi trag e1, a zatim rotiraju oko središta x, do oborenog traga e10.


101

Na presjeku spona povučenih iz obrnutih tačaka iz tlocrta paralelno sa tragom e2, te okomica povučenih iz istih tačaka na trag e2, određuju se obrnute tačke u nacrtu (00,10,20,...). U prvom slučaju prava veličina male ose elipse 2060 jednaka je dužini ose 62 , dok je u drugom slučaju velika osa elipse 0040 jednaka dužini ose u nacrtu 40 .

10.3.3. Presjek uspravnog valjka sa proizvoljnom ravni

Slika 10.19 prikazuje presjek valjka sa ravni u proizvoljnom položaju. U tom slučaju poznati su tragovi ravni e1 i e2, te tlocrtna projekcija kruga baze koji leži u tlocrtnoj ravni 1. Elipsu u nacrtu, sa pomoćnim tačkama 0", 1", ..., se dobije tako, da se obim kruga u tlocrtu podjeli na jednak broj dijelova, a iz graničnih tačka 0, 1, 2, ... sutražnjicama i normalama na osu 1x2 projiciraju se u nacrtu.

Slika 10.19. Presjek valjka sa proizvoljnom ravni


102

Prava veličina i oblik presjeka odredi se pomoću afiniteta, preko traga e1 koji određuje osu afiniteta i definisanim parom središnjih tačaka 0MM . Pri

tome kao pomoć koristi se ravan 3, koja je okomita na 1 i na ravan , a osa 1x3 okomita je na prvi trag e1.

10.3.4. Mreža valjka

Na slici 10.20 dana je mreža donji dio presječenog valjka. Prvo se mora konstruirati dužina kojoj bi duljina bila približno jednaka obimu kruga (2r), što se može uraditi pomoću metode Kochanskega (r). Osnovni krug valjka se podjeli u 12 jednakih dijelova i upiše na dužini jednak broj dijelova. Iz tačaka 01 ... povlače se normale na dužinu i nanose prave dužine izvodnica čija se odstojanja nanose iz nacrta, gdje su već u pravoj veličini, npr. h4/h8 na normale iz tačaka 4 i 8. Dobivena krivulja koja nastaje spajanjem tih tačaka je gornja granica razvijenog plašta valjka.

Slika 10.20. Mreža presječenog valjka


103

10.4. PRESJEK I MREŽA KONUSA (STOŽCA)

Slika 10.21. Šematski prikaz presječnih krivulja uspravnog konusa

10.4.1. Presječne ravni

Presjek konusa sa nekom ravni je kriva istog reda kojeg je i sam konus. Presjek konusa drugog reda je kriva drugog reda. Svakoj tački baze odgovara jedna tačka krive presjeka i to ona koja prolazi kroz tu tačku baze. Presjek nekog kružnog konusa može da ima pet različitih oblika. Četiri od njih su krivulje koje se nazivaju stožernice i peti oblik mogućeg presjeka konusa je trougao. Moguće presječne krivulje su elipsa, krug, parabola ili hiperbola što zavisi od položaja presječne ravni prema konusu (slika 10.22) 1. Krug

Presjek uspravnog kružnog konusa sa ravninom je krug onda kada je presječna ravan paralelna sa ravninom baze. Kod uspravnog konusa ta ravan je istodobno okomita na osu konusa.

2. Elipsa

Ako je presječna ravan postavljena koso prema ravni baze, ali tako da ipak sječe sve izvodnice konusa, presječna kriva je elipsa (središtu kruga baze ne odgovara središte elipse presjeka i obrnuto), (slika 10.22).


104

3. Hiperbola

Presjek konusa sa ravni je hiperbola, ako je presječna ravan okomita na krug baze, odnosno paralelna sa dvjema izvodnicama (slika 10.23).

4. Parabola

Ako je presječna ravan paralelna sa jednom izvodnicom konusa, tada ta ravan presjeca sve izvodnice u konačnosti, samo tu jednu sa kojom je paralelna sječe u beskonačnosti. Presječna kriva ima jednu tačku u beskonačnosti, a to znači da je parabola (slika 10.24).

10.4.1.1. Presjek konusa sa drugom projektnom ravni- eliptički presjek

Uspravni konus na slici 10.22, čija osnova leži u 1, je presječena sa drugom projektnom ravni . Dužina BA je nacrt elipse presjeka. BA predstavlja veliku osu te elipse i kako je ona paralelna sa ravni 2, njen tlocrt je paralelan sa osom 1x2. Tlocrt A i B određuje se na osi obrtnog konusa, odnosno tlocrtu konturnih linija ( S0 i S4 ) (slika 10.23). Na polovini ose BA nalazi se središte elipse. Kroz tlocrt te tačke okomito na

BA nanosi se osa tlocrta presjeka DC . Dužina male ose određuje se najtačnije, ako se konus presječe sa ravninom koja se položi kroz središte elipse paralelno sa krugom baze konusa. Prenošenje presjeka u bokocrt se ostvaruje već navedenim metodama projiciranja.

Slika 10.22. Prostorno predstavljanje presjeka konusa


105

Slika 10.23. Ortogonalna projekcija određivanja presjeka uspravnog konusa

Na slici 10.24 i 10.25 predstavljena je druga mogućnost za određivanje presjeka konusa, pri kojoj se upotrebljavaju pomoćne ravni, paralelne sa tlocrtnom ravni 1. U tlocrtu nastaju krugovi poluprečnika r, koji se u nacrtu vide kao uporednice sa osom 1x2. Njihova dodirna tačka sa tragom druge projektne ravni predstavlja tačku tražene krive, koja se projicira u tlocrtnu 1 odnosno bokocrtnu ravan 3 pomoću odgovarajućih spona (slika 10.24). Presječne tačke 40 su krajnje tačke elipse.


106

Slika 10.24. Prostorno predstavljanje određivanja presjeka

Slika 10.25. Definisanje presječne krivulje sa paralelnim pomoćnim presjecima


107

10.4.1.2. Hiperbolični presjek konusa

Kada presječna ravan presijeca konus okomito na krug osnove, presječna krivulja je u obliku hiperbole. Takav slučaj vidi se na slici 10.26. Optimalna konstrukcija krivulje postiže se upotrebom pomoćnih presjeka, koji su paralelni sa tlocrtnom ravni 1.

Slika 10.26. Prostorno predstavljanje hiperboličkog presjeka konusa

Slika 10.27. Hiperbolički presjek


108

10.4.1.3. Parabolični presjek konusa

Druga projektna ravan na slici 10.28 je paralelna sa izvodnicom uspravnog konusa. Dužina 1121 / je nacrt parabole. Njen tlocrt određuje se najjednostavnije tako da se nekoliko puta presječe konus ravninama koje su paralelne sa osnovnim krugom. Ti presjeci su opet krugovi , koji sijeku parabolu u tačkama 1/2", ¾", ... Te tačke projiciraju se u tlocrtu i bokocrtu. Pravu veličinu parabole definiše se obaranjem nacrta parabole u projicirajuću ravan 1 ili obrnuto (slika 10.29).

Slika 10.28. Prostorno predstavljanje paraboličnog presjeka konusa

Slika 10.29. Parabolični presjek konusa


109

10.4.1.4. Presjek konusa proizvoljnom ravni

U slučaju presjeka konusa sa ravni u proizvoljnom položaju (slika 10.30) koristiće se metoda transformacije da se odredi presječna krivulja.

Uvodi se ravan 3 okomito postavljena na ravan 1 i na prvi trag zadane ravni e1. Pomoću nagiba proizvoljne ravni 0 određuje se položaj traga e3 pomoćne ravni 3. Presjek konusa (elipsa) u toj projekciji se projektuje kao duž, na kojoj leže tačke od 0III do 8III. Tako određene tačke prenesu se u ravan 1. Oblik presjeka u nacrtu dobije se sa projekcijom tlocrta tačaka koristeći sutražnjice zadate ravni .

Slika 10.30. Presjek konusa sa proizvoljnom ravni


110

Za crtanje presjeka dovoljno je poznavati tačke 0, 4, 2 i 6. Prvo je potrebno definisati obje ose elipse u projekcijama 40 i 62 , kao i 40 i 62 u 2. S time je definisan pravac HV i obje ivice konusa QS i RS , koji ograničavaju presjek u tačkama 0 i 4 . Prava veličina i oblik elipse određuje se obaranjem u tlocrtnu ravan 1.

10.4.2. Mreža uspravnog konusa

Slika 10.31. Mreža presječenog konusa

Mreža presječenog konusa (slika 10.31) razvije se tako da se najprije podjeli krug osnove na 12 jednakih dijelova. S poluprečnikom, jednakim stranici konusa, opiše se luk i nanese na njega dvanaest oboda kruga osnove. Tako dobivene tačke spoje se sa tačkom S0. Prava veličina udaljenosti izvodnice do presjeka sa ravni prenosi se na razvijeni plašt, npr.

00A ... 012A . Plaštu se još doda osnova krug i prava veličina presjeka –elipsa.

Documents

Uvod u KGG