Stalne jednosmerne struje

1

Električna struja

2

Električnom strujom se može nazvati svako ureñeno kretanje električnih naelektrisanja, bez obzira na uzroke ovog kretanja i na vrstu električnih naelektrisanja koja učestvuju u ovom kretanju.

Električna struja se može obrazovati u čvrstim, tečnim i gasovitim sredinama, pa čak i u vakuumu.

Pokretna naelektrisanja koja mogu izazvati struju su elektroni i joni (pozitivni i negativni).

Čvrsta tela: slobodna pokretna naelektrisanja su elektroni.

Tečne sredine: struja se može obrazovati u elektrolitskim sredinama, a pokretni nosioci naelektrisanja su joni, kako pozitivni tako i negativni.

Gasovite sredine: po pravilu su dielektrici, ali može doći do pojave struje (neonske cevi i fluoroscentne svetiljke); nosioci mogu biti i elektroni i joni.

Vakuum: elektronske cevi sa vakuumom; elektroni su nosioci (nastaju zagrevanjem katode).

3

S obzirom na vrstu pokretnih naelektrisanja koja učestvuju u pojavi električne struje, struje se mogu podeliti na:

elektronske (ne dolazi do materijalne promene sredine) jonske (dolazi do hemijske promene sredine).

Sem postojanja slobodnih nosilaca naelektrisanja, za pojavu i održavanje struje potreban je i neki agens:

električno polje (najvažniji i najčešći) mehanički uzroci (pr. kaiš kod Van de Grafovog generatora) gravitacija

Razmatraćemo struje koje su nastale isključivo pod dejstvom električnog polja, a najviše pažnje posvetićemo strujama u čvrstim provodnicima, koje se još nazivaju i kondukcione struje.

4

Za uspostavljanje i održavanje kondukcione struje potrebno je električno polje; pod dejstvom sila električnog polja slobodna naelektrisanja se ureñeno kreću i obrazuju struju. Da bi ta struja imala stacionarni karakter, potrebno je i da polje bude stacionarno −stacionarno električno polje. Osnovna razlika ovog polja u odnosu na elektrostatičko polje jeste u tome što stacionarno električno polje postoji u unutrašnjosti provodnika i za njegovo održavanje je potreban stalan utrošak energije.

+++++++++++

−−−−−−−−−−−

i

V1 V2

U prostoru oko elektroda postoji statičko električno polje; izmeñu elektroda je razlika potencijala . Rad koji je izvršen prilikom naelektrisavanja elektroda transformisao se u energiju elektrostatičkog polja. Sistem je u stanju elektrostatičke ravnoteže. Meñutim, ako se unošenjem neke provodne materije formira provodan put, pod dejstvom električnog polja će se uspostaviti električna struja. Pomeranje naelektrisanja izazvano strujom dovodi do opšte preraspodele naelektrisanja i samim tim do promene strukture i jačine električnog polja (sve do neutralizacije opterećenja i iščezavanja električnog polja). Ova struja je kratkotrajna i promenljiva u vremenu.

Slika 1.

21 VVU −=

5

U procesu rasterećivanja elektroda, potencijalna energija elektrostatičkog polja se prvo transformisala u rad sila polja koji su one izvršile pomerajući pokretna naelektrisanja, a zatim u toplotnu energiju zbog sudara pokretnih naelektrisanja sa nepokretnim česticama provodne supstance. Samo električno polje, koje potiče od proizvoljno razmeštenog naelektrisanja, ne može održavati stalnu stacionarnu struju u provodnoj sredini!!!

+++++++++++

−−−−−−−−−−−

I

+ -+ + + +

+ + + − − −

− − − −

+++++

−−−−−

I

Struja u provodnoj vezi izmeñu elektroda može biti stacionarna samo ako su ispunjena sledeće dva uslova:

sistem sa slike 1 mora biti deo zatvorenog strujnog kola formiranog od provodnika (slika 2) u kolu mora biti uključen električni ureñaj koji, nasuprot silama stacionarnog električnog polja, kontinuirano potiskuje prispele elektrone provodnosti sa pozitivne na negativnu elektrodu, održavajući pri tome stalnu potencijalnu razliku na svojim priključcima.

Ovakvi ureñaji se nazivaju strujni izvori ili generatori.

Slika 2.

6

Sličnost: Stacionarna naelektrisanja se razlikuju od statičkih po tome što se stalno pomeraju, ali im je zajedničko to što im je gustina u svakoj tački konstantna u vremenu. Električno polje stacionarnih naelektrisanja je istovetno sa poljem na isti način rasporeñenih nepokretnih elektrostatičkih naelektrisanja, zbog čega stacionarno električno polje, kao i elektrostatičko, pripada klasi konzervativnih polja. To znači da je linijski integral vektora jačine stacionarnog električnog polja po bilo kojoj zatvorenoj putanji jednak nuli, i da se za ovo polje može definisati i koristiti i funkcija potencijala.

Razlika: Stacionarno polje neprestano vrši rad pomerajući pokretna naelektrisanja pa je za njegovo održavanje neophodno dovoñenje energije sistemu u kome ono postoji. Za održavanje već uspostavljenog elektrostatičkog polja u idealnom dielektriku nije potreban nikakav utrošak energije.

Prostor u kom se pokretna naelektrisanja kreću pod dejstvom električnog polja u provodniku je strujno polje. Ono je stacionarno ako je srednja makroskopska brzina pokretljivih nosilaca naelektrisanja u svim tačkama strujnog polja konstantna u vremenu. Linije kojima je vektor srednje makroskopske brzine u svakoj tački tangenta nazivaju se strujnice.

Stacionarno električno i elektrostatičko polje

7

Prateći efekti električne struje

Toplotni efekat: Poznat i kao Džulov efekat – zagrevanje provodnika kad kroz njega protiče struja. Pokretna naelektrisanja krećući se kroz provodnik predaju svoju kinetičku energiju česticama provodnika i tako povećavaju njihovu termičku energiju. Ovaj efekat može imati značaj za mnogobrojne primene u elektrotehnici (elektrotermički ureñaji, sijalice sa užarenim vlaknom, topljenje metala,...). Meñutim, javlja se i kao neželjena propratna pojava (kod električnih mašina, transformatora, prenosnih vodova,...).

Hemijski efekat: Dolazi do izražaja samo u elektrolitima (vodeni rastvori kiselina, baza i soli kao i rastopine nekih metala). Struju obrazuju pozitivni i negativni joni, pozitivni krećući se u smeru električnog polja, a negativni u suprotnom, što je povezano sa transportom supstance i razgrañivanjem elektrolita. Pri pristizanju jona na elektrode vrši se neutralizacija jona i izdvajanje supstance – ceo proces je poznat pod imenom elektroliza.

8

Magnetni efekat: Ovo je najznačajniji efekat. Karakteriše se u okolini provodnika kroz koji protiče struja sledećim pojavama: gvozdeni, magnetni i feromagnetni predmeti su podvrgnuti

dejstvu mehaničkih sila; magnetna igla ima tendenciju da se postavi u odreñeni položaj;

provodnik sa strujom koji je u blizini drugog provodnika sa strujom biva podvrgnut dejstvu mehaničkih sila koje se nazivaju elektromagnetnim silama;

u provodniku koji se kreće u blizini drugog provodnika sa strujom indukuje se elektromotorna sila;

ako je električna struja promenljiva u vremenu, u bliskim nepokretnim i pokretnim zatvorenim konturama se indukuju vremenski promenljive elektromotorne sile i struje;

Magnetno polje koje postoji u okolini provodnika kroz koji protiče struja je neodvojivo povezano sa pojavom električne struje.

9

Električna struja, prolazeći kroz telo ljudi ili životinja, može izazvati:

Toplotno dejstvo, pri kojem se telo zageva, izazivajući nastajanje unutrašnjih i spoljašnih opekotina. Na mestima ulaska ili izlaska struje iz organizma nastaju opekotine koje mogu biti izuzetno teške. Ove opekotine su vidljive, mnogo lakše se leče nego unutrašnje opekotine, koje nastaju na organima sastavljenih od nežnih i finih tkiva. Unutrašnje opekotine su opasnije, ne vide se, oštećuju vitalne organe (bubrezi, pluća, jetra, creva), što je opasno po život.Mehaničko dejstvo, zbog kojeg pri strujama velikih jačina dolazi do razaranja tkiva na mestima ulaza i izlaza struje iz tela.Hemijsko dejstvo, koje se manifestuje kroz kidanje (razlaganje) veza među najsitnijim dijelovima ljudskog organizma - ćelijama. Električna struja prilikom prolaska kroz tijelo vrši razlaganje krvi, tj. izaziva ključanje krvi i vrši njenu elektrolizu. (np. krv snabdeva mozak kiseonikom, bez kojeg čovek ne može živeti duže od 9. min., a ako se mozak ne snabdijeva kiseonikom duže od 5. minuta nastaju trajna oštećenja mozga).

10

Jačina i smer električne struje

Jačina stacionarne struje kroz poprečni presek nekog provodnika se definiše kao količnik protekle količine naelektrisanja i vremena za koje je ta količina protekla:

t

qI =

U opštem slučaju, kada se struja menja u vremenu, njena jačina se definiše diferencijalnim količnikom i naziva se trenutna vrednost jačinestruje:

dt

dqi =

U elektrolitima, iako se joni kreću u suprotnim smerovima, zbog njihovog različitog znaka, njihovi efekti se sabiraju:

dt

dq

dt

dqi

−+ +=11

Jačina struje je skalarna veličina kojoj se pripisuje i odreñeni smer u odnosu na provodnik. Konvencijom je usvojeno da je fizički smer električne struje suprotan smeru kretanja elektrona kroz metalni provodnik. U elektrolitima ovaj smer odgovara kretanju pozitivnih jona.

Jedinica jačine struje je, na osnovu definicije, kulon po sekundi, ali se u SI označava sa A (amper).

Jačina struje od 1A je kad kroz poprečni u jednoj sekundi prone 6,24196⋅1018 elektrona.

12

presek metalnog provodnika

Apsolutni amper je jačina stalne električne struje koja, pri prolazu kroz dva paralelna pravolinijska provodnika neograničene dužine, kružnog preseka neznatne veličine, koji se nalazi u vakuumu na meñusobnom rastojanju od 1m, izaziva silu od 2⋅10−7 njutna po metru dužine provodnika.

Za merenje jačine struje upotrebljavaju se instrumenti koji se nazivaju ampermetri. Za merenje vrlo malih vrednosti jačine struje koristi se specijalna vrsta vrlo osetljivih ampermetara koja se naziva galvanometri.

A+ +

−

INa mestu gde se meri jačina struje, kolo treba prekinuti i na mesto prekida vezati ampermetar tako da struja koja se meri prolazi kroz njega.

13

Gustina struje

Pravac vektora gustine struje je definisan makroskopski viñenim pravcem kretanja elektrona u posmatranoj tački, a smer mu je suprotan smeru kretanja elektrona.

Kada je struja ravnomerno rasporeñena po površini poprečnog preseka provodnika, intenzitet vektora je definisan odnosom:

gde je I jačina struje u provodniku, a S površina poprečnog preseka.

U opštem slučaju, kada gustina struje nije homogena, intenzitet vektora se definiše količnikom:

gde je dSn elementarna površina normalna na pravac kretanja pokretnih naelektrisanja, a di jačina struje kroz tu površinu.

Jr

Jr

S

IJ =

Jr

ndS

diJ =

14

Jedinica za gustinu struje je A/m2 (amper po metru kvadratnom).

Jačina struje kroz proizvoljnu površinu S u strujnom polju je jednaka fluksu vektora kroz tu površinu: J

r

∫ ⋅=S

SdJirr

Qe

S vr

dtvr

Jr Jačina i gustina struje se mogu izraziti

pomoću zapreminske gustine pokretnih naelektrisanja N', njihovog električnog naelektrisanja Qe i njihove srednje makroskopske brzine .v

r

Neka u provoñenju struje učestvuje samo jedna vrsta naelektrisanja, npr. elektroni, čija je količina naelektrisanja Qe i koji se pod dejstvom električnog polja kreću srednjom brzinom . v

r

15

Broj naelektrisanja koja u vremenu dt preñu put kroz presek Sjednak je njihovom broju u zapremini , a ukupna količina naelektrisanja koja se prenese kroz površinu S u vremenu dt je:

Jačina struje kroz poprečni presek S strujne tube je:

a intenzitet vektora gustine struje:

Pošto pravac i smer vektora po definiciji odgovara pravcu i smeru kretanja pozitivnih naelektrisanja, to prethodni izraz može imati i vektorski oblik:

dtv

dtvS

dtvSQNdq e′=

vSQNdtdqI e′== /

vQNSIJ e′== /

vQNJ e

rr′=

Jr

16

Ako se radi o struji elektrona u metalnom provodniku, , pa je:

Smer vektora je suprotan smeru vektora srednje makroskopske brzine kretanja elektrona.

U opštem slučaju, kada u provoñenju struje učestvuje više vrsta (elektroni i joni), čije su zapreminske gustine , naelektrisanja

, a vektori srednjih brzina , vektor gustine struje se može napisati u obliku:

eQe −=

( )veNJrr

−′=Jr

,..., 21 NN ′′,..., 21 QQ ,..., 21 vv

rr

...222111 +′+′= vQNvQNJ ee

rrr

17

Jednačina kontinuiteta i prvi Kirhofov

zakon

Ako se unutar nekog domena V ograničenog površinom S nalazi količina slobodnih naelektrisanja q, ona se može izmeniti samo ako naelektrisanja napuštaju domen ili u njega ulaze kroz graničnu površinu S, obrazujući pri tome struju. Prema definiciji jačine struje mora biti:

Znak minus je usled toga što pozitivnom fluksu odgovara negativan priraštaj količine naelektrisanja u domenu. Izraz predstavlja jednačinu kontinuiteta u integralnom obliku koja je u stvari matematički iskaz zakona o konzervaciji elektriciteta.

dt

QSdJ

Su

S

−=⋅∫rr

18

U stacionarnom strujnom polju se ne menja ukupna količina naelektrisanja unutar domena, pa je izlazni fluks vektora gustine struje kroz zatvorenu površinu jednak nuli:

Ova jednačina koja predstavlja specijalni oblik jednačine kontinuiteta za slučaj stacionarnog strujnog polja se naziva prvi Kirhofov zakon.

0=⋅∫S

SdJrr

0nr

2nr

1nr

2S0S

1S

Ako se prvi Kirhofov zakon primeni na zatvorenu površinu S koju obrazuju dva preseka jedne strujne tube, S1 i S2, i omotača S0, zaključuje se da je jačina struje u bilo kom preseku tube ista, bez obzira na oblik preseka:

0201

=⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫SSSS

SdJSdJSdJSdJrrrrrrrr

19

Pošto fluks kroz omotač mora biti jednak nuli, to je:

Izrazi na obe strane ove jednačine predstavljaju struje kroz preseke S1 i S2, računate u odnosu na suprotno orjentisane normale, što znači da su jačine struje u oba preseka iste.

Prvi Kirhofov zakon ima posebno veliki značaj u analizi složenih električnih mreža, sačinjenih od kvazilineičnih provodnika (provodnici čije su poprečne dimenzije male u odnosu na podužne). U tom slučaju se umesto fluksa vektora gustine struje kroz neku zatvorenu površinu javljaju jačine struja kroz tu površinu.

∫∫ ⋅−=⋅21 SS

SdJSdJrrrr

20

0

0

1

=

=−++

++=

∑=

n

i

i

ADCB

DCBA

I

IIII

IIII

Prvi Kirhofov zakon: algebarski zbir jačina struja u provodnicima koji imaju zajednički čvor neke električne mreže jednak je nuli. Pri tome se jačine struja čiji su referentni smerovi od čvora unose sa pozitivnim, a one čiji su referentni smerovi ka čvoru sa negativnim predznakom.

21

Omov i Džulov zakon; Električni

rad i snaga u prijemniku

22

Omov zakon

Pošto je električna struja u nekom provodniku posledica električnog

polja u njemu, jačina struje u provodniku I je u opštem slučaju nekakva

funkcija napona U na njegovim krajevima . Ova karakteristika

se zove strujno-naponska (ili I-U, odnosno U-I karakteristika)

provodnika.

Kod mnogih provodnika, ako je temperatura konstantna, jačina struje je

direktno srazmerna naponu:

Veličina G se naziva električna provodnost provodnika. Ova relacija

predstavlja Omov zakon. Recipročna vrednost električne provodnosti

se naziva električna otpornost.

)(UfI =

UGI =

GR

1=

23

Uz pomoć električne otpornosti, Omov zakon se može pisati u

uobičajenom obliku:

odnosno, u ekvivalentnim oblicima:

Omov zakon se može primeniti samo na one vrste provodnika kod

kojih otpornost ne zavisi od jačine struje. Takvi provodnici se nazivaju

linearnim provodnicima.

Jedinica otpornosti je V/A (volt po amperu), ali ima posebno ime,

naziva se om, a obeležava sa Ω.

Apsolutni om: otpornost od jednog oma ima onaj provodnik kod koga

struja jačine jednog ampera stvara potencijalnu razliku izmeñu krajeva

od jednog volta.

R

UI =

I

URIRU ==

24

Jedinica električne provodnosti je A/V, odnosno naziva se simens, a

obeležava sa S.

Na konstantnoj temperaturi, otpornost provodnika zavisi od

geometrijskih dimenzija i materijala od kog je provodnik. Za žičane

provodnike kod kojih je površina poprečnog preseka S, a dužina l:

Koeficijent srazmernosti ρ zavisi od prirode provodnog materijala,

naziva se specifična električna otpornost, a jedinica je Ωm (ommetar).

Recipročna vrednost specifične otpornosti je specifična provodnost:

a jedinica joj je S/m (simens po metru).

S

lR ρ=

ρσ

1=

25

Električna provodnost žičanog provodnika je:

l

SG σ=

Važi Omov zakon Ne važi Omov zakon

I I

UU

26

27

Omov zakon u lokalnom obliku

l

Jr

Er

S

aV

bV

Za teorijska razmatranja u vezi sa linearnim

provodnim sredinama, praktično je da se

Omov zakon dovede u tzv. lokalni oblik,

koji daje vezu izmeñu gustine struje i jačine

električnog polja u nekoj tački strujnog

polja.

Posmatramo odsečak dužine l jednog dugog homogenog provodnika

konstantnog preseka S u kom je stacionarna struja jačine I. Napon

izmeñu krajeva ovog odsečka je:

lEldEVVU

b

a

ba =⋅=−= ∫rr

28

Izmeñu jačine struje i napona na krajevima odsečka važi relacija:

Ako je provodnik od homogenog materijala, onda je gustina struje po

transverzalnom preseku konstantna i tada su ekvipotencijalne

površine normalne na njegovu osu. To znači da je polje vektora u

provodniku homogeno i da su vektori kolinearni i upravljeni u

pravcu ose provodnika. Veza izmeñu ova dva vektora se može dobiti iz

prethodne jednačine, zamenom za G:

Jednačina se može napisati i u vektorskoj formi

i predstavlja Omov zakon u lokalnom obliku.

UGI =

SIJ /=Er

JErr

i

EJl

U

S

I

SUl

SI

σσ

σ

=⇒=

= :

EJrr

σ=

29

Merenje naponaMerenje napona pomoću konvencionalnih voltmetara se zasniva na Omovom

zakonu. Uglavnom se koristi galvanometar kome je na red vezan otpornik

velike otpornosti. Kada se krajevi ovog instrumenta priključe na tačke a i b,

izmeñu kojih se želi izmeriti napon U, kroz galvanometar će proteći struja:

gde je Rv ukupna otpornost dodatog otpornika i galvanometra. Skala ovog

instrumenta je direktno baždarena po naponu U.

U električnim šemama se voltmetar crta kao na slici (b). Voltmetar se vezuje

paralelno u kolo.

+

GIV

R

−a b

+

V

−a b

(a) (b)

V

VR

UI =

30

Konvencija o obeležavanju naponaFizički smer struje: od kraja na višem potencijalu ka kraju na nižem

potencijalu.

Za složene mreže se unapred ne zna koji kraj elementa kola je na višem

potencijalu, kao ni fizički smer struje. U takvim slučajevima se struji

daje referentni smer; analogno se postupa sa naponom.

baab VVU −=Ako je napon pozitivan, tačka koja odgovara višem potencijalu je

označena sa a. Ako je napon negativan, tačka a je na nižem potencijalu

u odnosu na tačku b. Ovo je dvoindeksni način obeležavanja:

Uab

31

Jednostavniji način je izostavljanjem indeksa, ali obeležavanjem

jednog kraja znakom +. + U

Ovo je referentni smer napona. Ako je napon U pozitivan, kraj sa

znakom + odgovara višem potencijalu, a ako je napon U negativan

kraj označen sa + je na nižem potencijalu.

+ U + U

Usaglašeni referentni smerovi

napona i struje:

Neusaglašeni referentni smerovi

napona i struje:

IRU = IRU −=

32

Temperaturna zavisnost specifične električne

otpornosti

33

Iz tabele se vidi da najmanju specifičnu otpornost ima srebro, zatim

bakar i aluminijum. Zbog ovako dobre provodnosti, bakar i aluminijum

se najčešće koriste za izradu električnih provodnika.

Specifična otpornost metala po pravilu raste sa temperaturom i u vrlo

širokom opsegu temperatura se može predstaviti redom:

[ ( ) ( ) ]...12

00000 +−+−+= TTTT βαρρ

ρ0 specifična otpornost na temperaturi T0. Koeficijenti α0, β0, ... vrlo

brzo opadaju, pa je za umeren opseg temperatura dovoljno uzeti samo

prva dva člana reda:

[ ( ) ]000 1 TT −+= αρρ

Obično se uzima da je , pa je:C200

o=T

[ ( ) ]201 2020 −+= Tαρρ

Koeficijent α se naziva temperaturni koeficijent otpornosti.

34

OtporniciSvi elementi od kojih se sastoji neko električno kolo imaju veću ili

manju otpornost.

Elementi konstruisani tako da u električno kolo unesu odreñenu

otpornost, koja je velika u odnosu na otpornost veza i kontakata,

nazivaju se otpornicima. Oni se u električnim šemama najčešće

označavaju na sledeći način:

Otpornici čija se otpornost može po volji menjati nazivaju se

reostatima, a na šemama se obeležavaju na sledeći način:

35

Reostati se najčešće prave od otporne žice koja je gusto namotana na

cilindričnom telu od keramike. Jedan od priključaka ovakvog otpornika

je jedan od krajeva otporne žice, a drugi se nalazi na pokretnom

klizajućem kontaktu.

Otpornik

Potenciometar Reostat

36

37

38

Vezivanje otpornika i ekvivalentna otpornost

Redno vezivanje otpornika

U+

I I

Prema Omovom zakonu, izmeñu krajeva otpornika je napon:

IRUIRU bcab 21 ; ==

Pošto je napon izmeñu dve tačke jednak linijskom integralu vektora

jačine električnog polja duž linije koja spaja te dve tačke i pošto je ovaj

linijski integral jednak zbiru linijskih integrala duž delova te putanje,

ukupan napon izmeñu krajeva redne veze mora biti jednak zbiru

napona na otpornicima:

( )IRRIRIRUUU bcab 2121 +=+=+=39

Količnik napona i struje definiše otpornost ekvivalentnog otpornika

koji, u odnosu na ostatak strujnog kola, zamenjuje redno vezane

otpornike. Prema tome, ekvivalentna otpornost redne veze je:

21 RRRReq +==

+ U

I

U slučaju n redno vezanih otpornika

ekvivalentna otpornost je:

∑=

=+++=n

i

ineq RRRRR1

21 ...

40

Paralelno vezivanje otpornika

+ U

I1

I2

Pri ovakvom vezivanju je napon na otpornicima isti. Struje u granama

se odreñuju na osnovu Omovog zakona, pa su im jačine:

2

2

1

1 ;R

UI

R

UI ==

Prema prvom Kirhofovom zakonu, ukupna jačina struje je jednaka

zbiru jačina struja u paralelno vezanim otpornicima:

+=+=+=

2121

21

11

RRU

R

U

R

UIII

41

+ U

I

Količnik struje i napona definiše recipročnu vrednost otpornosti 1/R,

odnosno provodnost G, ekvivalentnog otpornika koji u odnosu na

strujno kolo zamenjuje paralelno vezane otpornike:

21

21

21

111

RR

RRR

RRReq

eq +=⇒+=

U slučaju n paralelno vezanih otpornika, ekvivalentna otpornost je:

∑=

=+++=n

i ineq RRRRR 121

11...

111

42

Mešovita veza otpornika

21 RRRAB +=

3

3

3

111

RR

RRR

RRR AB

ABeq

ABeq +=⇒+=

43

54

54

21

21

RR

RRR

RR

RRR

CD

AB

+=

+=

CDABeq RRRR ++= 3

44

( ) 3

21

21321 || R

RR

RRRRRReq +

+=+=

( ) ( )

( )

10

01

2

1

01

01111

01

011

011

011

011

2

23

2

2

111

RR

RRRR

RR

RRRRRRR

RR

RRR

RRR

RRRR

RRRR

eq

eq

++

=

++

+=′+=

++

=+++

=′

++=

′

45

Merenje otpornosti

Postoji nekoliko metoda za merenje otpornosti.

V

AIR

IVIR

U+

Tačno se meri samo napon, a struja koja se meri

jednaka je zbiru jačina struja kroz otpornik i kroz

voltmetar. Greška je sistematska i može se računom

korigovati ako se zna vrednost otpornosti voltmetra.

Pogodno je za merenje malih vrednosti otpornosti,

za koje je VRR <<

U

V

AI

UR+

R

+ UA

+

Pri ovakvom načinu vezivanja tačno se meri

struja, a izmereni napon je zbir napona na

otporniku i ampermetru. Prednost je kod

merenja velikih vrednosti otpornosti ARR >>

46

Ommetar: Instrument se sastoji od strujnog izvora, otpornika promenljive otpornosti i

ampermetra. Ako se pre merenja priključci kratko vežu, pomoću promenljivog

otpornika se podešava da kazaljka ampermetra pokazuje maksimalni otklon. Kada se

izvrši baždarenje skale merenjem otpornika poznate otpornosti, može se vršiti merenje

otpornika nepoznate otpornosti (slika b). U kolu sa slike, nepoznata otpornost

(otpornost koju treba izmeriti) je otpornost izmeñu priključaka a i b (otpornost redno

vezanih otpornika R1 i R2).

47

Vitstonov most:

Otpornici R1, R2, R3 i R4 vezani su

redno tako da obrazuju zatvoreno kolo

u obliku kvadrata.

U dijagonali kvadrata, izmeñu čvorova

A i C vezan je izvor konstantnog

napona U.

U drugoj dijagonali, izmeñu čvorova B

i D, vezan je galvanometar sa zaštitnim

otpornikom R5.

Ukoliko kroz galvanometar G protiče

struja, most nije balansiran.

Za merenje otpornosti je značajan slučaj kada su otpornici R1, R2, R3 i R4 odabrani

tako da je jačina struje kroz galvanometar jednaka nuli. Tada se za most kaže da je

balansiran, odnosno da je u ravnoteži.

1R3R

2R 4R

48

Uslovi ravnoteže:

Na osnovu prvog Kirhofovog zakona, primenjenog na čvorove B i D, mora biti:

Da bi struja kroz galvanometar bila jednaka nuli, potencijali tačaka B i D moraju biti

jednaki . Pošto je tačka A zajednička za grane R1 i R2, proizlazi i da

potencijalne razlike i moraju biti jednake:

Prethodna jednačina se može napisati pomoću Omovog zakona:

Kako je tačka C zajednička za grane R3 i R4, vodeći računa o uslovu , mora

biti:

S obzirom na (**), poslednja jednačina se može napisati i u sledećem obliku:

4231 ; IIII ==

DB VV =BAAB VVU −= DAAD VVU −=

ADAB UU =

2211 IRIR =

DB VV =

4433 IRIR

UU DCBC

=

=

(**)

2413 IRIR =

(1)

(2)

49

Ako jednačinu (1) podelimo jednačinom (2), može se dobiti uslov ravnoteže mosta u

sledećem obliku:

Odnosno:

Merenje otpornosti Vitstonovim mostom sastoji se u traženju ravnoteže mosta kada je

jedna grana mosta nepoznate otpornosti, a ostale grane su poznatih promenljivih

otpornosti.

4

2

3

1

R

R

R

R=

3241 RRRR =

50

51

Proširenje mernog opsega ampermetra i

voltmetra

A

RS

max)1( AIn −

maxI

maxAIAmpermetar, konstruisan za merenje struje

male jačine, može se prilagoditi za merenje

struje mnogo veće jačine. Paralelno

ampermetru se veže otpornik male

otpornosti RS, koji se naziva šant (shunt).

Ako je Imax maksimalna jačina struje koja se želi meriti modifikovanim

ampermetrom, otpornost šanta treba izabrati tako da jačina struje kroz

instrument bude IAmax. Iz prvog Kirhofovog zakona je struja kroz otpornik:

maxmax AS III −=

52

Ako se sa n obeleži odnos:

tada je struja kroz šant:

Naponi na šantu i ampermetru moraju biti jednaki, jer su vezani paralelno:

odakle se nalazi potrebna otpornost šanta:

Dodavanjem šanta se povećava merni opseg instrumenta i smanjuje njegova

ekvivalentna otpornost.

Primenjuje se za merenje struje u vrlo širokom opsegu. Ceo opseg se podeli

na podopsege gde su maksimalne jačine struje koje se mere 10, 100, 1000, ...

puta veće od maksimalne struje instrumenta IAmax i za svaki od ovih

podopsega se izračuna i ugradi šant. Ti šantovi se povežu tako da se po volji

mogu birati pomoću preklopnika i vezivati paralelno instrumentu.

max

max

AI

In =

max)1( AS InI −=

SAAA RInRI maxmax )1( −=

1−=

n

RR A

S

53

V

Rr

+maxU

maxVU

VR

Pomoću voltmetra datih karakteristika UVmax

i RV mogu se meriti i veći naponi od UVmax

ako se na red sa voltmetrom doda otpornik

odreñene otpornosti Rr.

Ako je Umax maksimalni napon koji se želi meriti modifikovanim voltmetrom,

otpornost rednog otpornika treba odabrati tako da maksimalna struja kroz

instrument pri naponu Umax bude jednaka maksimalnoj struji pri naponu UVmax

bez uključenog rednog otpornika Rr:

Ako se sa n obeleži odnos:

Može se dobiti formula za odreñivanje potrebne redne otpornosti:

Dodavanjem otpornika se povećava merni opseg instrumenta i ekvivalentna

otpornost.

V

V

rV R

U

RR

U maxmax =+

max

max

VU

Un =

Vr RnR )1( −=

54

Otpornost uzemljenja

U praksi se na odreñenim mestima gde se koriste velike vrednosti napona ili

se one na neki način mogu pojaviti, koriste provodne veze pomoću kojih se

mreža ili delovi mreže spajaju sa zemljom. Taj sistem veza, uključujući i

njegovu funkciju, predstavlja uzemljenje.

Uloga uzemljenja je da:

zaštiti od visokih napona koji se u incidentnim slučajevima mogu pojaviti;

zaštiti ureñaje od havarije;

poboljša kvalitet rada mreže ili sistema.

Uzemljenja se dele na:

zaštitna (izolovana od pogonskog strujnog kola, ali vezana za neizolovane

delove postrojenja koji su dostupni dodiru i u normalnim uslovima nisu pod

naponom);

pogonska (ulaze u sastav mreže, odnosno kao povratni provodnik se koristi

zemlja; primenjuju se za prenos energije, kod električne železnice, ...).

55

Otpornost zaštitnog uzemljenja je otpornost izmeñu tačke postrojenja za koji

je vezan uzemljivački provodnik, i vrlo udaljenih tačaka zemlje koje su na

nultom potencijalu.

U slučaju pogonskog uzemljenja, otpornost zaštitnog uzemljenja je otpornost

povratnog provodnog puta izmeñu dva kraja mreže čiji je jedan deo zemlja.

Kroz uzemljivač teče struja I. S obzirom na

simetriju, struja teče u radijalnim pravcima

normalnim na površ uzemljivača. U svim

tačkama zamišljene polusfere S

poluprečnika r, gustina struje ima

konstantnu vrednost:

22 r

IJ

π=

Jačina polja u tačkama polusfere S je:

vazduh

zemlja

eσ

σ

0=σ A B

R kl

Sa r

JrE

r

22 r

IJJE

σπσρ ===

56

Linije vektora gustine struje i vektora jačine polja su kolinearne. Prema tome,

potencijal uzemljivača je:

a

I

r

drIrdEV

aσπσπ 22 2

0

=== ∫∫∞∞

rr

Odavde sledi da je otpornost zemlje izmeñu uzemljivača i beskonačno

udaljenih tačaka:

aI

VRz σπ2

1==

U tačkama koje su bliže granici sa vazduhom, linije vektora jačine polja i

gustine struje su paralelne površini zemlje. Potencijal tačaka na površini

zemlje opada srazmerno sa rastojanjem od centra uzemljivača. Tako je

potencijal u tački A:

R

IVA σπ2

=

57

dok je u tački B koja je od tačke A udaljena za dužinu jednog koraka lk:

Razlika ovih potencijala se naziva napon koraka:

Napon koraka je važan parametar za ocenu sigurnosti koju pruža zaštitno

uzemljenje. Taj napon mora u najkritičnijim zonama da bude manji od

propisane granice koja nije opasna po čoveka!

)(2 k

BlR

IV

+=

σπ

22

11

2 R

lI

lRR

IVVU k

k

BAk ⋅≈

+−=−=

σπσπ

58

Omov i Džulov zakon; Električni

rad i snaga u prijemniku

59

Džulov zakon

Važna manifestacija električne struje je njen toplotni efekat, tj. zagrevanje

provodnika. Ovaj efekat se naziva Džulov efekat: stavivši izolovan provodnik

u kalorimetar i mereći količine toplote koje se oslobañaju pri različitim

jačinama stalne jednosmerne struje i pri drugim različim okolnostima, Džul je

ustanovio da je osloboñena toplotna energija srazmerna kvadratu jačine struje

i vremenu.

U nekom provodniku pri proticanju struje, rad sila polja se posredstvom

elektrona u pokretu transformiše u toplotnu energiju provodnika.

+ U

I

aV bV

a b

Posmatramo deo stacionarnog strujnog kola koji

može biti linearni ili nelinearni provodnik.

Neka je . ba VV >

60

Ako u intervalu dt kroz kraj a u posmatrani element kola uñe količina

naelektrisanja , u istom tom intervalu kroz kraj b mora izaći ista tolika

količina naelektrisanja. To znači kao da se količina naelektrisanja dq pomerila

iz tačke sa potencijalom Va u tačku sa potencijalom Vb. Sile električnog polja su

prilikom ovog pomeranja izvršile rad:

Pošto je po pretpostavci element kola provodnik, odnosno otpornik, celokupan

rad sila polja se transformiše u toplotnu energiju dW:

Deobom ovog izraza sa dt, dobija se izraz za snagu P kojom se rad sila polja

transformiše u toplotnu energiju:

Poslednja dva izraza važe kako za linearne tako i za nelinearne provodnike.

dtIdq =

( ) dtUIVVdqdA ba =−=

dtUIdAdW ==

IUdt

dWP == Džulov zakon

61

Ako je provodnik linearan i ima otpornost R, za njega važi Omov zakon, pa je:

Rad električne struje koji se u vremenu t transformiše u toplotu, a ujedno isti

izraz važi za toplotnu energiju koja se za to vreme oslobodi u provodniku:

Za dug cilindrični provodnik konstantnog preseka unutar koga je strujno polje

homogeno:

Zapreminska gustina snage transformacije električnog rada u toplotnu energiju:

R

UIRP

22 ==

tIRtPWA 2===

( ) VJEVJlSJSJS

lIRP

rrrrrr===== 2222 ρρρ

=3m

WEJ

V

P rr

i predstavlja Džulov zakon u lokalnom obliku.

62

Snaga Džulovog efekta se izražava jedinicom koja se naziva vat, a obeležava

se sa W. Vatu je ekvivalentna jedinica VA (volt amper).

Jedinica rada i energije je džul, obeležava se sa J. Džulu je ekvivalentna

jedinica Ws (vat sekunda).

U elektroprivredi je u upotrebi jedinica koja ne pripada SI sistemu, a naziva

se kilovatčas (kWh):

J106.3kWh1 6⋅=

σρ

22 J

JEJV

P===

rr

Izraz ima opštu važnost. Važna činjenica je da gustina snage Džulovog efekta

raste sa kvadratom gustine struje!

Kada se uzme u obzir Omov zakon u lokalnom obliku, prethodni izraz može

imati drugačiji oblik:

63

Električni rad i snaga u prijemniku

proizvoljnog tipa

Termički prijemnici (transformacija električne energije u toplotnu) nisu jedina

vrsta prijemnika; električna energija se može transformisati u mehanički rad

(motori), ili u druge vidove energije (hemijsku ili svetlosnu). U ovim

prijemnicima se može obavljati i parcijalna transformacija električne energije

u toplotnu.

+ U

I

aV bV

a b

Prijemnik proizvoljnog tipa

Ako su Va i Vb<Va potencijali priključenih

krajeva i ako u intervalu dt kroz prijemnik

protekne količina naelektrisanja dq, sile

električnog polja izvrše rad:

bez obzira o kakvoj vrsti prijemnika je reč.

( ) dtUIVVdqdA ba =−=

64

U slučaju stalne jednosmerne struje:

U slučaju vremenski promenljive struje:

Kada su napon i struja promenljivi u vremenu, električni rad u konačnom

intervalu vremena je odreñen integralom:

UIP

tUIA

=

=

uidt

dAP

dtuidA

==

=

∫∫ ==tt

dtPdtiuA00

65

Merenje električne snageKako snaga predstavlja proizvod napona i jačine struje, to je snagu moguće

odrediti indirektno, merenjem napona i struje:

V

A

V

AR

Snagu je moguće meriti i instrumentom koji se naziva vatmetar.

A

I

UVatmetar ima dva kalema, od kojih se jedan može

obrtati oko svoje ose i na njega je pričvršćena kazaljka

instrumenta, a drugi je nepokretan. Kroz nepokretni

kalem se propušta struja prijemnika, a kroz pokretni

kalem struja koja je srazmerna naponu na prijemnika.

Ugao zakretanja igle, koji je povezan sa obrtnim

kalemom, je srazmeran snazi.

Vatmetar ima dva para krajeva i mora se voditi računa

da se priključci naponskog i strujnog kalema pravilno

priključe. 66

Električno kolo stacionarne struje

67

Elektromotorna sila

Skup tela i sredina koji obrazuju zatvoren put električne struje se zove

električno kolo. Da bi se u kolu održavala stacionarna električna struja, mora

postojati mehanizam koji je u stanju da u jednom delu kola pomera pokretna

naelektrisanja nasuprot silama stacionarnog električnog polja (da pozitivna

pokretna naelektrisanja pomeraju ka kraju na višem potencijalu, a negativna

ka kraju sa nižim potencijalom). Takav mehanizam poseduju električni izvori,

odnosno generatori.

Ako je strujno kolo zatvoreno, u generatoru se vrši rad protiv sila stacionarnog

električnog polja, pri čemu se drugi vidovi energije (hemijska, toplotna,..) ili

rada (mehanički) transformišu u energiju električnog polja koja se

posredstvom polja prenosi u druge delove strujnog kola i tamo pretvara u

druge vidove energije ili rada.

68

U savladavanju sila stacionarnog polja, važnu ulogu imaju sile koje nisu

kulonovskog karaktera (ne potiču od polja naelektrisanja), a zovu se stranim

silama. Jačina polja stranih sila (strano polje) se definiše količnikom strane

sile i elementarnog pokretnog naelektrisanja koje ova sila napada:

Strano električno polje je lokalizovano u odreñenom domenu u unutrašnjosti

generatora i orjentisano je od priključka na nižem potencijalu (konvencionalno

obeležen kao negativan) ka priključku na višem potencijalu (pozitivni

priključak).

e

strstr

Q

FE

rr

=

+++

−−− strE

r

Er

G

Za generator G koji nije priključen u strujno kolo i ne odaje električnu struju

kaže se da je u praznom hodu.

Er

69

U praznom hodu, pokretna naelektrisanja miruju, što znači da su sile

stacionarnog polja i strane sile u ravnoteži u celoj unutrašnjosti generatora:

pa i jačine polja zadovoljavaju uslov:

0=+ FFstr

rr

0=+ EEstr

rr

+

−strEr

Er

Er

Ako se priključci generatora spoje jednom otpornom

žicom, ravnoteža se narušava i nagomilana opterećenja

se kreću po spoljašnjem provodnom putu sa težnjom

da se neutrališu. Kao posledica ovoga, dolazi do

slabljenja stacionarnog polja unutar generatora i

rezultujuće polje ( ) počinje da pomera

pokretna opterećenja protiv sila stacionarnog polja

(pozitivna ka +, a negativna ka − priključku

generatora).

|||| EEstr >

Kao rezultat opisanih pojava uspostavlja se novo stanje dinamičke ravnoteže,

pri kome se u kolu održava stacionarna električna struja.

70

Veličina kojom se na adekvatan način predstavlja generator kao element

električnog kola i kvantitativno karakteriše njegova sposobnost da održava

struju u kolu i da vrši konverziju drugih vidova energije u električnu, se naziva

elektromotorna sila, ili ems, a obeležava se simbolom E.

Elektromotorna sila nekog generatora se definiše kao količnik rada dA koji

izvrši generator kada kroz njega protekle količina naelektrisanja dq, i samog

tog naelektrisanja:

dq

dAE =

Pošto je rad dA zapravo rad sila stranog polja koji one izvrše pomerajući

naelektrisanje dq od negativnog do pozitivnog priključka, to je:

pa se može dobiti alternativna definicija elektromotorne sile:

∫+

−

= ldEdqdA str

rr

∫+

−

= ldEE str

rr

71

Prema poslednjoj jednačini, elektromotorna sila je jednaka linijskom integralu

vektora jačine stranog polja računatog kroz generator od negativnog do

pozitivnog priključka.

Elektomotorna sila se izražava u voltima (V).

Kako je u slučaju praznog hoda generatora u svakoj tački unutar generatora

, mora biti:0=+ EEstr

rr

( )

0

0

=+

=+

∫∫

∫+

−

+

−

+

−

ldEldE

ldEE

str

str

rrrr

rrr

Kako je, s druge strane:

pn VVldE −=∫+

−

rr

to se može pisati:

pnnp UVVE =−=72

Elektromotorna sila je po veličini jednaka razlici potencijala izmeñu

pozitivnog i negativnog priključka generatora kada je ovaj u praznom hodu.

Elektromotorna sila je usmerena skalarna veličina. Smer elektromotorne sile

je orjentisan kroz generator od negativnog ka pozitivnom priključku, što

odgovara smeru stranog polja u generatoru.

Kada generator u kolu održava struju jačine I čiji se smer poklapa sa smerom

ems, onda generator u vremenu dt izvrši rad:

Snaga kojom sile stranog polja transformišu druge vidove energije ili rada u

električni rad je:

dtIEdqEdA ==

IEdt

dAP ==

73

Kada se generator posmatra kao deo strujnog kola, njega tada ne karakteriše

samo ems, već i unutrašnja otpornost Rg. Ova se otpornost izračunava na

osnovu Džulovog efekta čija je snaga PJ srazmerna kvadratu jačine struje I:

2I

PR J

g =

p

n

gRE,

p

nE

gR

p

n

gRE,

p

nE

gR

p

n

gRE,+

p

nE

gR

+

74

Strujno kolo sa jednim generatorom i

jednim otpornikom

n

p

gRE,+

RpnU

I

S obzirom da u kolu nema drugih generatora, fizički

smer struje je isti kao i smer elektromotorne sile E,

pa je tako odabran i smer struje. U intervalu ∆t kroz

generator u smeru ems protekne količina

naelektrisanja I∆t, pa je rad koji za to vreme izvrši

generator:

tIEA ∆=

U kolu se vrši preobražaj električnog rada u toplotu zbog Džulovog efekta u

otporniku i samom generatoru. Pošto u kolu nema drugih preobražaja

energije, na osnovu zakona o održanju energije mora biti:

tIRtIRtIE g ∆+∆=∆ 22

75

Posle deljenja jednačine sa I∆t dobija se jednačina:

odnosno, posle preureñenja:

Ova relacija pomoću koje se odreñuje jačina struje u posmatranom kolu, često

se naziva Omov zakon za prosto zatvoreno kolo.

Jednačina se može rešiti i po Rg:

IRIRE g +=

RR

EI

g +=

IRIRE g +=

I

IRERg

−=

pomoću koje se na osnovu merenja može odrediti unutrašnja otpornost

generatora. Merenjem napona praznog hoda se odredi ems, odnosno E, a

zatim se merenjem utvrdi jačina struje I.

76

Napon na priključcima generatora u prostom kolu

U posmatranom kolu, potencijalna razlika na

krajevima generatora je jednaka naponu na

otporniku R:

IRUVV pnnp ==−

Meñutim, kako je to se

potencijalna razlika Upn može napisati i u

obliku:

IREIR g−=

IREUVV gpnnp −==−n

p

gRE,+

RpnU

I

+

Ova dva rezultata su ekvivalentna. Potencijalna razlika Upn je jednaka

linijskom integralu jačine električnog polja po bilo kojoj putanji koja

povezuje tačke p i n, pa je svejedno po kojoj će se putanji računati, preko

otpornika R ili preko generatora.

77

Napon na priključcima izvora ems

EgR

I

+

n p

EgR

I

+

n p

Smer ems i referentni smer

struje se podudaraju:

Smer ems i referentni smer

struje su suprotni:

EIRU

EIRU

gpn

gnp

+−=

−=

EIRU

EIRU

gpn

gnp

+=

−−=

78

Stepen korisnog dejstva sistema generator-

prijemnik i uslov maksimalne snage u prijemniku

Ukupna snaga koju odaje generator je:

gg RR

E

RR

EEIEP

+=

+==

2

( ) RR

RP

RR

R

RR

E

RR

ERIRP

gggg

R +=

++=

+==

2

2

22

n

p

gRE,+

RpnU

I

Jedan deo te snage odlazi na pokrivanje Džulovih

gubitaka u samom generatoru i može se smatrati da

je taj deo snage nekoristan za sistem generator-

prijemnik. Drugi deo snage se predaje prijemniku i

to se smatra korisnom snagom. Pošto je prijemnik

termička otpornost R, to je:

79

Stepen korisnog dejstva se definiše kao odnos korisne snage i ukupne snage

koju odaje generator:

Stepen korisnog dejstva je veći kad je Rg manje i u graničnom slučaju

on ima maksimalnu vrednost . Uslov je teško ostvariti, ali je

insistiranje na što većem stepenu korisnog dejstva od fundamentalnog značaja

u elektrotehnici.

Pod ekstremnim uslovima i je što znači da postoji

optimalna vrednost R pri kojoj je snaga PR maksimalna. Ova snaga se dobija

ako se potraži maksimum funkcije:

smatrajući da su E i Rg konstante.

g

R

RR

R

P

P

+==η

0=gR0=gR1=η

0=R ∞→R 0=RP

( )22

g

RRR

ERP

+=

80

Reverzibilni preobražaji energije u

izvorima ems

Izvesni generatori poseduju mogućnost konverzije energije u oba smera

(elektrohemijski akumulatori, mnogi mašinski električni generatori i motori).

Primer akumulatora u automobilu: za vreme paljenja, akumulator igra ulogu

generatora jer snadbeva električnom energijom električni motor za pokretanje

automobilskog motora. Za to vreme se hemijska energija supstanci u

akumulatoru transformiše u električnu, a ova potom u mehanički rad.

Kad automobilski motor samostalno krene, akumulator se automatski

prekopčava i priključuje na poseban elektromašinski generator (dinamo) koji

kroz akumulator šalje struju čiji je smer suprotan smeru ems. U ovoj fazi,

akumulator igra ulogu prijemnika sa elektromotornom silom. Prema tome,

akumulator se može ponašati i kao generator i kao prijemnik, pri čemu se

odvija jedna od dve transformacije energije:

hemijska energija → električna energija

električna energija → hemijska energija

81

Za razliku od preobražaja električne energije u toplotnu, preobražaj električne

energije u hemijsku je reverzibilan proces, što znači da se hemijska energija

pod odreñenim uslovima može skoro potpuno preobratiti u električnu, i

obrnuto. Preobražaj je praćen Džulovim efektom, pa se deo energije ne može

povratiti.

Reverzibilni preobražaj energije je moguć i u većini elektromašinskih

generatora gde se vrši transformacija mehaničkog rada u električnu energiju i

obrnuto.

Kada se izvor ems ponaša kao prijemnik, fizički smer struje je suprotan smeru

ems, pa je rad ems negativan i u vremenu dt iznosi:

što je prirodno jer izvor ems uzima od kola energiju.

Kada se unapred ne zna smer fizičke struje, usvaja se referentni. Tada se

uslovno, do rešavanja kola, rad izvora smatra pozitivnim, ako su referentni

smer struje i smer ems isti; negativnim, ako su ovi smerovi suprotni.

dtIEdA −=

82

Prosto kolo sa više izvora ems i otpornika

Posmatramo kolo koje sadrži tri izvora ems i dva otpornika vezana na red. Na

slici je prikazan i referentni smer struje I. Rad izvora E1 i E2 je pozitivan

(zbog izabranog referentnog smera struje), dok je rad izvora E3 negativan. U

intervalu ∆t ovi radovi iznose: . S druge strane, u svim

otpornicima u kolu se za isto vreme transformiše rad:

1E

2E

3E

1R

2R

1gR

3gR

2gR

I

+

+

+

tIEtIEtIE ∆−∆∆ 321 ,,

( ) tRRRRRI ggg ∆++++ 21321

2

83

Pošto je rad trećeg izvora po apsolutnoj vrednosti jednak energiji koja se

pretvorila iz električne u neku drugu formu energije, na osnovu zakona o

održanju energije je:

Posle deobe sa I∆t i pregrupisavanja članova, dobija se:

( ) tRRRRRItIEtIEtIE ggg ∆+++++∆=∆+∆ 21321

2

321

( )

21321

321

21321321

RRRRR

EEEI

RRRRRIEEE

ggg

ggg

++++−+

=

++++=−+

U opštem slučaju rednog kola sa više izvora ems i otpornika vezanih na red,

može se, po analogiji sa gornjim izrazom, pisati:

∑∑=

R

EI

84

Kao i u slučaju kola sa jednim generatorom, ovaj izraz se naziva Omov zakon

za prosto električno kolo.

Elektromotorne sile treba uzimati algebarski!!! Algebarski predznak je

pozitivan ako su smer ems i referentni smer struje isti, a negativan ako su ovi

smerovi suprotni.

Ako se dobije pozitivan algebarski znak za struju, to znači da se usvojeni

referentni smer poklapa sa fizičkim smerom struje. Ako se dobije negativni

znak, stvarni smer struje je suprotan od referentnog, a i pretpostavljene uloge

izvora ems se menjaju.

( )21321

2

321 RRRRRIIEIEIE ggg +++++=+

Ako se jednačina održanja energije u kolu podeli vremenom ∆t, dobija se

izraz za snagu:

Zbir snaga svih generatora jednak je zbiru snaga svih prijemnika, kako

termogenih, tako i onih sa elektromotornom silom.

85

Potencijalna razlika izmeñu dve tačke u kolu

1E2E R1gR 2gR

I

+ +

a b

Izvori ems, E1 i E2 imaju suprotne smerove. Neka je

potencijalna razlika izmeñu krajeva a i b. Izjednačavajući energiju koja se

dovodi odsečku a-b preko njegovih krajeva i generatora E1, sa energijom koju

odsečak odaje u vidu toplote i preko prijemnika ems E2, dobija se jednačina:

Posle deobe sa Idt, dobija se:

U opštem slučaju, sa proizvoljnim brojem otpornika i izvora ems:

baab VVU −=

( )dtRRRIIdtEIdtEIdtU ggab +++=+ 21

2

21

( ) ( )2121 EEIRRRU ggab −−++=

( )∑∑∑ −=−=−=b

a

b

a

b

abaab ERIEIRVVU ,86

Prilikom primene formule, posebnu pažnju treba obratiti na algebarske

znake!!!

Najjednostavnije pravilo: referentni smer kretanja po odsečku se odabere od

tačke a do tačke b, i u odnosu na njega se odreñuju algebarski predznaci

elektromotornih sila i struje u odsečku.

Elektromotorne sile i jačine struje se uzimaju sa pozitivnim predznakom ako

im je referentni smer od a ka b; a sa negativnim predznakom ako im je

referentni smer od b ka a.

87

Mesta u mreži gde se sustiču najmanje tri provodnika nazivaju se čvorovi

mreže, a serijska veza elemenata koja povezuje dva čvora naziva se grana

mreže.

i

j

k

l

Izraz za potencijal izmeñu dve tačke u

kolu se može primeniti na svaku granu

složene mreže. Tako je potencijalna

razlika izmeñu čvorova i i j:

Jačina struje i ems se uzimaju sa

pozitivnim predznakom ako im je

referentni smer od prvog (i) ka drugom (j)

indeksu.

( )∑ −=−=j

ijiij ERIVVU ,

Potencijalna razlika izmeñu čvorova i i k, na primer, se može računati

odabirom prvo putanje integracije, tj. provodnog puta. Neka je to proizvoljan

put i−j−k. Pošto za deonice puta i−j i j−k važi:

Drugi Kirhofov zakon

88

( )

( )∑∑

−=−

−=−k

jkj

j

iji

ERIVV

ERIVV

,

,

Sabiranjem ovih jednačina se dobija:

( )∑ −=−=k

ikiik ERIVVU ,

Algebarski predznaci za struje i ems su pozitivni ako su referentni smerovi

orjentisani od prvog ka drugom indeksu!!!

Ako se putanja integraljenja odabere tako da se njeni krajevi koindiciraju

(spoje), dobija se zatvorena putanja. Leva strana prethodne jednačine je

jednaka nuli, a članovi na desnoj se uzimaju po zatvorenoj putanji. Pošto

zatvorena putanja nema početne i krajnje tačke, smer obilaženja po konturi je

proizvoljan.

89

Za bilo koju zatvorenu konturu u mreži se može pisati:

ili, posle množenja sa −1, kao:

( )∑ −=k

iERI ,0

( )∑ −=k

iRIE,0

Izraz predstavlja drugi Kirhofov zakon. Zajedno sa prvim, drugi Kirhofov

zakon predstavlja osnovu za sistematsko rešavanje problema električnih

mreža. Može se napisati i u sledećem ekvivalentnom obliku

∑∑ = RIE

Kada se odabere kontura na kojoj se primenjuje Kirhofov zakon, proizvoljno

se odabere smer obilaženja po konturi i on se označi kao referentni. Jačine

struje i ems se unose sa pozitivnim algebarskim predznakom ako im se

referentni smerovi podudaraju sa smerom obilaženja po konturi.

90

Strujni generator

n

p

E

+RU

I

gR Struja u kolu koje obrazuje generator i prijemnik

ima jačinu:

dok je napon izmeñu priključaka p i n generatora:

Kad je unutrašnja otpornost generatora mnogo

manja od otpornosti prijemnika, onda je:

RR

EI

g +=

ERR

RIRU

g +==

n

p

E

+RU

I

R

EIiEU ≈≈

+

+

91

U mnogim slučajevima je unutrašnja otpornost relativno velika i u radnim

uslovima je veća od otpornosti prijemnika. Tada važi:

pa je korisno uvesti pojam idealnog strujnog generatora čija je struja IS

konstantna i nezavisna od otpornosti prijemnika koji se vezuje na generator,

kao ni od elektromotornih sila naponskih generatora koji su eventualno vezani

na red sa strujnim generatorom.

RIRR

EUI

R

EI S

g

S

g

=≈=≈

n

p

E+

RU

I

gR

n

p

RU

SI

+ +RRg >>

SI

92

U opštem slučaju, kada je odnos izmeñu unutrašnje otpornosti naponskog

generatora i otpornosti prijemnika proizvoljan, moguće je naponski generator

zameniti strujnim:

n

p

E+

RU

I

gR+

n

p

RU

SI

+

SI SR

ERR

RU

RR

EI

g

g

+=

+=

S

S

S

S

S

S

IRR

R

R

UI

IRR

RRU

+==

+=

93

Ako se izjednače izrazi za struje, dobija se jednačina (potpuno ista jednačina

se dobija kada se izjednače izrazi za napon):

RR

IR

RR

E

S

SS

g +=

+Jednačina će biti zadovoljena za svako R ako je:

Na osnovu ovih izraza se mogu odrediti elementi naponskog generatora koji

je ekvivalentan strujnom. Karakteristike strujnog generatora koji je

ekvivalentan naponskom se mogu dobiti iz:

SgSS RRIRE ==

Sgg

g

S RRGER

EI ===

Za idealan naponski generator ne postoji ekvivalentni strujni generator, i

obrnuto!!!

Idealni naponski generator

Idealni strujni generator

0=gR

∞→SR

94

2

Omov Zakon

Prvi Kirhofov zakon

Drugi Kirhofov zakon

IRU

0c

I

0IRE

3

Metoda primene I i II Kirhofovog zakona

Čvorovi

Grane

Konture

Elementi topologije elektricnih kola

4

Zadato je električno kolo! Rešiti kolo znači odrediti jačinu struje ili napon između priključaka

svakog elementaMreža se rešava pisanjem odgovarajućeg broja jednačina po I i IIKirhofovom zakonu. Broj nepoznatih koje teba odrediti jednak je broju grana mreže, ng.

5

6

7

GRAF MREŽE –

struktura

u kojoj

su

grane

mreže

prikazane linijama

a

čvorovi

tačkama.

STABLO GRAFA –

čine

grane

grafa

koje

povezuju

sve

čvorove ali

tako

da

se ne

zatvori

nijedna

kontura. Stablo

grafa

se sastoji

od

nč-1

grane.SPOJNICE –

grane

koje

ne

pripadaju

stablu. Broj

grana

spojnica

jednak

je

nk=ng

–

(nč

- 1).

8

Uz

pomoć

grafa

se određuju

opste

osobine

mreza (kao

sto

je

broj

nezavisnih

jednačina

po

I ili

II

Kirhofovom

zakonu) koje

ne

zavise

od

toga od

kojih elemenata

se sastoji

mreža.

Za

svaku

mrežu

se može

napisati

(nč

-

1) nezavisna jednačina

po

I Kirhofovom

zakonu.

Za

svaku

mrežu

se može

napisati

nk=ng

–

(nč

- 1) nezavisna

jednačina

po

II

Kirhofovom

zakonu.

9

Od

ng

nepoznatih

struja

u granama, nezavisno

je nk

= ng

– (nč

–

1)

struja. Ostale

su

zavisne

od

njih

i ta

se zavisnost

iskazuje

kroz

(nč

–

1)

jednačinu po I

Kirhofovom

zakonu.

Od

ng

nepoznatih

napona

izmeđi

priključaka

grana, nezavisan

je

nn

=(nč

–

1) napon. Ostali

se mogu iskazati

preko

njih

uz

pomoć

jednačina

po

II

Kirhofovom

zakonu.

10

Postupak rešavanja

Odaberemo ref. smer struja u

granama mrežei označimo ih.

Prebrojimo grane i čvorove i

odredimo brojnezavisnih čvorova

i kontura.

Odaberemo (nč-1) čvor I nk kontura

napišemo jednačinepo I i II

Kirhofovom zakonu.

11

12

Rešavamo sistem jednačina

Metoda zamene

Metoda suprotnih koeficijenata

Determinante

13

Kramerova pravila

14

Provera rezultata kroz proveru bilansa snage

15

Metoda nezavisnih konturnih struja

Metoda

omogućava

lakše

rešavanje

mreža, pisanjem

manjeg

sistema

od

samo

nk

jednačina

na jednostavan, šematski

način.

Sistem

jedančina

se dobija

tako

što

se, iz

jednačina po

I Kirhofovom

zakonu,

izrazi

nč

-1 struja

u granama

stabla

preko

stuja

grana

spojnica

i zameni

u

nk

jednačina

po

I

Kirhofovom

zakonu. Tako

se dobija

sistem

od

nk

jednačina

sa

nk

nepoznatih

struja grana

spojnica

–“konturnih

struja”.

16

Metoda

je

dobila

ime

po

tome što

(kad

se izvrši napred

opisana

transformacija

sistema

jednačina)

formalno

izgleda

kao

da

svaka

nezavisna

kontura ima

svojukomponenetu

struje, jednaku

struji

spojnice

te

konture.

17

18

19

Opšti

oblik

jednačina

po

metodi

konturnih

struja

za mrežu

koja

ima

nk

=n nezavisnih

kontura.

20

21

Kada

mreža

sadrži

grane

sa

idealnim

strujnim generatorima

metoda

konturnih

struja

se primenjuje

na

sledeći način:

a) nezavisne

konture

se odaberu

tako

da

su

grane

sa

strujnim

generatorima

obavezno

spojnice;

b) strije

strujnih

generatora

postaju

konturne

struje

odgovarajućih

kontura;

c) pošto

su

konturne

struje

ovih

kontura

poznate

iz

gornjeg

sistema

se izbace

njima

odgovarajuće jednačine

i zamene

jednačinama

oblika

Iki

=ISi

.

22

Metod potencijala čvorova

Metoda

omogućava

lakše

rešavanje

mreža, pisanjem

manjeg

sistema

od

samo

nn

jednačina

na

jednostavan i šematski

način.

Sistem

jedančina

po

metodi

potencijala

čvorova

se dobija

tako

što

se u

jednačinama

po

I Kirhofovom

zakonu

struje

u granama

izraze

preko

razlike potencijala

(napona

između) čvorova

na

koje

je

grana

priključena. Tako

se

dobija

sistem

od

nn

=nč

-1 jednačina sa nč

nepoznatih

potencijala

čvorova.

23

Problem viška

jedne

nepoznate

rešava

se tako

što se onaj

čvor, za

koji

nije

pisana

jednačina

po

I

kirhofovom

zakonu, proglasi

referentnom

tačkom.

Potencijal

tog (referentnog

) čvora

postane

jednak

nuli.

24

25

26

Kada

mreža

sadrži

veći

broj

idealnih

naponskih

generatora, raspoređenih

na

proizvoljan

način, metoda

potencijala

čvorova

se NE MOŽE direktno

primeniti

za

rešavanje ovakve

mreže. Od

ovog

pravila

se odstupa

u dva

slučaja:

a) kada

u mreži

postoji

samo

jedan

idealni

naponski generator;

b) kada

u mreži

postoji

više

idealnih

naponskih

generatora koji

su

svi

jednim

krajem

vezani

za

isti

čvor.

Uslučaju a) jedan od dva čvora za koji je priključen generator usvoji

se za

referentni.

U slučaju

b) zajednički

čvor

se proglasi

referentnim.

Pošto potencijal

drugog

čvora generatora tada postane jednak

njegovoj

ems

za

taj

čvor

ne

pišemo

jednačinu.

27

PRIMER. Rešiti

zadatu

električnu

mrežu

i rezultate proveriti

primenom

teoreme

o održanju

snaga. Br.

vred.: E1

=4V; E4

= E6

=5V; E7

=1V; IS

=3A; R2

=2; R3

= =R6

= R7

=1; R4

=6; R5

=3

28

29

30

231 III

31

0:0:

222332

331111

IREIRSIREIRS