of 186 /186
dr.sci. Izudin Kapetanovic mr.sci. Nermin Sarajlic mr.sci. T aljana Konjic OSNOVIELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka knjiga 2 Iednosrnjernestruje prvo izdanje Tuzla, 2000. godine

Osnovi Elektrotehnike - Jednosmerne Struje - Zbirka Zadataka

Embed Size (px)

Text of Osnovi Elektrotehnike - Jednosmerne Struje - Zbirka Zadataka

  • dr.sci. Izudin Kapetanovic mr.sci. Nermin Sarajlic mr.sci. T aljana Konjic

    OSNOVIELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    knjiga 2 Iednosrnjernestruje

    prvo izdanje

    Tuzla, 2000. godine

  • Izdc:vac: ~~kultet elektrotehnike Univerziteta u Tuzli Za lzdavaca. dekan, prof dr.sci. Mirza Kusljugic Recenzenti: dr.sci. Zijad Haznadar redo . ,F,

    , vm proJesor Fakulteta elekn-.0tehnike i racunarstva SveuCilista u Zagrebu dr.~cl. Vfado Madiarevic, docent Fakulteta elektrotehnike UmverZlfeta u Tuzli

    Crteie izradili, slog i prijelom: mr.sci. Tatjana Konjic mr.sci. Nermin Sarajlic Stampa: "Graficar" Tuzla Tirai: 500 primjeraka

    Na osnovu rjesenja broj 03-1263/00 od 260620 ... udibenika odnosno drugih nasI 'h d" OO.g., KomlSlje za upotrebu novih d b ' avm sre stava u nastav' u.' . o 0 rava se upotreba ovog udib 'k I mverzlteta u Tuzli,

    em a u nastavnom procesu.

    Misljenjem Federalnog ministarstva obrazovan' . 03-15-3IJO/00 od 26.06.2000 udib'" 'la, nauke, kulture I sporta broj zadataka" osloboaen je PlacaJ;' emk OSNOVI ELEKTROTEHNlKE Zbirka clana 19 tacka 13 Zakona op poreza na promet proizvoda i usluga na osnovu

    orezu na promet proizvoda i usluga.

    Nij~dan dio ovog udibenika ne smije se urn v. '. '. nacin reproducirati bezpismenog od b . ndozava!l, !otokoplratl mh na bila koji

    o renJa IZ avaca 1ft autora.

    CW. Katalogizaeija u publikaeiji NaelOnalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hereegovine, Sarajevo 621.3.024 (075.8) (076.1) KAPETANOVIC, Izudin

    Osnovi elektrotehnike : zbirka zadatak K' . I lzudin Kapetanovic Nennin S T' T' a . n}:~, Jednosmjeme struje Ta~ana Konjic, Ne~in Sarajlict~ l~,. ~1J~ KonJlc; [crteze izradili Univerziteta 2000 _ 352 t "1' . lZ . - uzla: Fakultet elektrotehnike

    , . s r .. 1 ustr. ; 23 em Bibliografija: str. 351-352 ~ ISBN 9958-618-12-5 (knj. 2) ISBN 9958-618-09-5 (ejelina) 1. SarajJic, Nennin 2. Konjic Tatjana COBISSlBiH-ID 7897606 '

    PREDGOVOR

    Udibenik Osnovi elektrotehnike Zbirka zadataka namijenjen je studentima elektrotehnickih Jakulteta, ali ga mogu koristiti i studenti drugih Jakulteta koji nastavu iz ovog predmeta slusaju po slicnom nastavnom programu.

    Udibenik Osnovi elektrotehnike Zbirka zadataka koncipiran je taka da u potpunosti pokriva oblasti potrebne za pripremanje ispita iz predmeta Osnovi elektrotehnike, te sa postojeCim teorijskim udibenicima iz ave oblasti, Cinijednu cjelinu.

    Zbog obimnosti izloiene materije, ali i iz prakticnih razloga za Citaoce, udibenik Osnovi elektrotehnike Zbirka zadataka podijelili smo u stampi u cetiri dijeZa-knjige u kojima su obradene slijedete oblasti:

    knjiga 1: Elektrostatika knjiga 2: lednosmjeme struje knjiga 3: Elektromagnetizam knjiga 4: Naizmjenicne struje i TroJazni sistemi

    Svaka od navedenih oblasti paCinje odredenim brojem zadataka sa kompletnim postupkom rje!iavanja, a nakon toga dat je odredeni broj zadataka sa rezultatirna, koji su namijenjeni za samostalan rad studenata. Cilj ovakvog pristupa bio je da se studentimaskrene painja na Cinjenicu da je teorijska priprema preduslov za uSPJesno rjdavanje zadataka. Zadavanjem zadataka za samostalno rjdavanje, studenta pod stice i osposobljava za samostalno razmisljanje, donosenje zakljucaka i odluka, te objasnjenje i razumijevanje teorijskih, fizikalnih zakanitasti i procesa, koje su culf na predavanjima i vjeibama putem verbalnog opisa.

    Ovakav pristup i metodologija daje dabre rezultate i studenti moraju.. iskoristiti sve prednosti koje tm se na ovaj naCin pruiaju. Aktivno uceice studenta, kontinuirano u toku nastave, podstice ga na samostalnost, kreativnost, razvija samoinicijativu i pruia neophodnu sigurnost i odvainost potrebnu za rjesavanje sloienih inienjerskih problema u praksi.

    Nadamo se da smo ovakvim pristupom omoguCili studentima da potpunije ovladaju problematikom vezanom zp navedene oblasti i na taj naCin laBe savladaju veoma te!iko i obimno gradivo.

    S druge strane, sigumo ce ova knjiga biti i u rukamauiiplomiranih inienjera. Dok se inienjeri budu bavili problematikom obradenom u njoj, nadamo se da ce se rado podsjetiti vremena u kojem su rjesavali ovakve zadatke u atmosferi predispitne nervaze. lskustvo kaje su gtekli kasnije, otvorice im nove vidike i danas su sigurno u prilici do jos bolje shvate sustinu problematike i znacaj Jundamentalnih znanja, te koliko je vaina filozofija elektrotehnike.

  • Poslije dugo godina mda sa studentima, za nas je pogled unazad jasniji put u budutnost, a znanje je najvete bogatstvo i najljepsi ukras covjekov.

    Matematicki aparat koji se ovdje koristi ne izlazi iz okvira osnovnih kolegija matematike na prvim godinama tehnickihfakulteta.

    Zahvaljiijemo se dr. sci. Enesu Duvnjakovil:, koji je imao puno strpljenja da pregleda rukopis, ukaie na boljepristupe u primjeni i koristenju matemafickog aparata zajednostavnija rjesenja u elektrotehnici.

    Imamo posebno zadovoljstvo da. se zahvalimo recenzentima prof dr.sci. Zijadu Haznadar i doc. dr.sci. Vladi Madiarevil: za uloieni trud pri recenziji teksta i datim korisnim sugestijama i primjedbama koje su doprinijele pobosljanju kvaliteta ovog udibenika.

    U TuzZi, apriZa 2000. godine

    Autori

    2.

    2.1.

    2.2.

    SADRZAJ

    Jednosmjerne struje Vektor gustine elektricne struje. struje.Prvi Kirhofov zakon Elektricna otpornost, Diulov zakon

    Intenzitet elektricne

    2.3. Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnog kola - otpornici

    2.4. Drugi Kirhofov zakon

    2.5. .A1elode proracuna stanja u linearnim elektricnim kolima

    2.6. Elektrostaticka kola

    Prilog 1: Koordinatni sistemi

    Prilog 2: Matematickeformule

    Prilog 3: Grcka slova

    Prilog 4: Decimalne mjerne jedinice i sistemi

    Prilog 5: Tablice specijicnih otpornosti

    Oznake koristenih veliCina i njihovejedinice

    Litemtum

    3

    25

    54

    104

    128

    260

    333

    336

    343

    344

    345

    347

    351

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    OSNOVIELEKTROTEHNIKE

    JEDNOSMJERNE STRUJE

    Glava bez razmisljanjaje tvrdava bez vojske. Napoleon

    Jednosmjerne struje J

  • OSNOVI F;LEKIROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), njemacki jizicar. U raznim granama jizike dao znacajne doprinose. Postavio zakone v zracenju i apsorpciji svjetlosti i toplote. Zasluian je za otkrice i razvoj spektralne analize; objasnivsi apsorpcijske linije u optickim spektrima stvorio mogucnost istraiivanja sastava nebeskih lije/a. Zajedno sa R. If!. Bunsenom otkrio je pomocu spektroskopa elemente cezijum (1860) i rubidijum (1861). Postavio zakone 0 raspodjeli struje i napona u elektricnim kolima.

    2 Vektor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    2.1. Vektor gustine elektricne struje. Intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

    2.1. Na slici 2.1 je prikazan odsjecak neke cilindricne strujne tube, povrsine poprecnog presjeka S, u kojoj se pod dejstvom elektricnog polja kreeu pokretljiva naelektrisanja Qe istom srednjom brzinom v . Odrediti vektor gustine struje j .

    s

    slika 2.1

    Rjesenje:

    Elektricna struja predstavlja svako sredeno kretanje elektricnih naelektrisanja bez obzira na uzroke ovog kretanja i na vrstu elektricnih naelektrisanja koja ucestvuju u ovom kretanju. Elektricna struja se moze obrazovati u cvrstim, tecnim i gasovitim sredinama, pa cak i u vakumu, ako postoje slobodno pokretljiva naelektrisanja i ako postoji- uzrok koji ce izazvati kretanje ovih naelektrisanja. Pokretljiva naelektrisanja koja mogu obrazovati elektricnu struju su elektroni i pozitivni i negativni joni. Dvije karakteristicne fizicke veliCine koje definisu sredeno kretanje elektricnih naelektrisanja su gustina struje i intenzitet. Intenzitet struje je skalarna velicina, koja opisuje kretanje elektricnih naelektrisanja kroz neku makroskopsku povrsinu u vremenu. Ovoj

    kvantitati~!noj karakteristici elektricne st~uje pripisuje se i odredeni smjer u odnosu na provodnik.

    Gustina struje je vektorska velicina, koja opisuje sredeno kretanje elektricnih naelektrisanja u nekoj tacki presjeka. Dio prostora u kojem postoji elektricna struja naziva se strujno polje.

    Jednosmjerne struje 3

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    U intervalu vremena dt svako elementarno naelektrisanje prede put vdt. Broj pokretljivih naelektrisanja koja za vrijeme dt produ kroz presjek S jednak je njihovom broju u zapremini Svdt. Ako je zapreminska gustina pokretljivih naelektrisanja N', ondaje njihov broj u toj zqpremini N'Svdt. Ukupna kolicina naelektrisanja kroz povrsinu S u vremenu dt iznosi:

    dq =N'Qe vS dt. Kako je brzina svih pokretljivih naeJektrisanja u poprecnom presjeku ista, intenzitet vektora gustina struje je:

    J= dq =N'Q v. Sdt e

    Pravac i smjer vektora gustine struje J odgovara pravcu i srnjeru kretanja pokretljivih naelektrisanja, te je:

    J=N'QJ. -~o se radi 0 kretanju elektrona u provodniku (Qe=-e) vektor gustine struje

    Je:

    J=N' (-e)v, odakle se vidi da je srnjer vektora gustine struje J suprotan srnjeru vektora srednje makroskopske brzine kretanja elektrona. U opstem slucaju, kada u obrazovanju elektricne struje ucestvuju pokretljiva naelektrisanja vise vrsta (elektroni i pozitivni i negativni joni), cije su zapreminske gustine

    N;,N~, ... , a naelektrisanja Qeh Qe2, ... i vektori srednjih brzina V1'V2 ' , vektor gustine struje je:

    n

    j = LN~Qek vk -k=1

    ~ U posljednjoj jednaCini naelektrisanja Qek imaju algebarsko znacenje.

    2.2.

    4

    Ako se uzme da je jedan slobodan elektron po atomu, koncentracija elektrona provodnosti u bakru je oko 8,41Q22[elektronlcm3]. Izracunati srednju brzinu elektrona u bakru pri gustini struje od 5 [Alrnm2].

    Vektor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Rjesenje:

    Iz jednacine za intenzitet vektora gustine struje: J=N' e v

    slijedi: J

    v=-.-. Ne

    Kako je u l[ cm3] bakra 8,4.1022 slobodnih elektr6na, to znaci da je N'=8,41028[elektronlrn3], paje:

    5 _106 -3 [ ] v= 28 19 =0,37210 m/s_

    8,410 -1,610-

    Iz ovoga se moZe zakljuciti da su srednje makroskopske brzine kretanja elektrona provodnosti pod dejstvom elektricnog polja u metalnom provodniku vrlo male. Tako, na prirnjer, jednorn elektronu u razrnatranom slucaju bi trebalo oko 45 minuta da bi preSao dui linija polja, put od jednog metra. furedenja radi, brzina termickog kretanja elektrona u metalima na sobnoj temperaturije reda velicine 100 [km/s].

    2.3. Izracunati srednju brzinu kretanja slobodnih elektrona u provodniku od bakra kroz koji postoji gustina struje J=3106[Alm2]. Zapreminska gustina slobodnih naelektrisanja u bakru je N'=8,41028( elektronlrn3]. Koliki je intenzitet struje kroz provodnik po luprecnika 1 [rnm]?

    Rjesenje:

    Intenzitet vektora gustine struje dat je jednacinom:

    J=N'Qe v,

    odakle je srednja makroskopska brzina elektrona:

    J V=-,--

    N Qe 3.106 -3 [ 1 28 19 =0,2210 m/s].

    8,410 1,6 10-

    Jednosmjerne struje 5

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Intenzitet struje kroz zadani provodnikje:

    I = JS = J r21[ = 9,42 [A].

    2.4. Moze Ii kretanje neke loptice po strmoj ravni biti analogno kretanju elektrona provodnosti kroz metalne provodnike pod dejstvom elektricnog polja? Sta u ovom modeJu odgovara elektricnom polju, a sta vanjskim silama?

    Rjesenje:

    Sto se tice kretanja naelektrisanja kroz provodnik, makroskopski gledano, ono je povezano sa nekom vrstom "elektricnog trenja" koje drzi dinamicku ravn?tezu potisnim silama elektricnog polja. Osobina provodnika i uopste druglh materijala da se silama trenja suprotstavljaju proticanju naelektrisanja (elektricne struje) nazi va se otpornost provodnika. U slucaju idealno glatke strme ravni, loptica bi se kretaJajednoliko ubrzano. Zadani model moze dati analogiju sa elektricnom strujom u provodnicima, pod uslovom da je strma [avan hrapava, kako bi se zbog sihl trenja loptica kretala po strmoj ravni konstantnom brzinom. U ovom analognom modelu elektricnom poJju odgovara gravitaciono polje, a vanjskim silama ona sila kojom je loptica podignuta na vrh strme ravni, dakle sila koja djeluje nasuprot gravitacionoj sili.

    2.5. Kroz pravu bakarnu zicu kruznog presjeka, precnika d=2[mm] protice vremenski konstantna struja intenziteta 5[A]. Izracunati intenzitet vektora gustine struje u zici i broj elektrona kojikroz presjek bakarne zice produ u jednoj sekundi.

    Rjesenje:

    Kroz veoma dug, pray homogeni provodnik konstantnog, ali proizvoljnog presjeka, protice vremenski konstantna struja. SJobodna naelektrisanja makroskopski se krecu paralelno osi provodnika, sto znaci da ie u svim ta~kama unu:ar provodnika vektor jacine elektricnog polja takod~ paralelan OSI provodmka. Kako ovopolje ima sve osobine elektrostatickog polja, prema jednacini fEd[ = 0, intenzitet vektora jacine polja mora biti isti u

    6 Vektor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    svim tackama presjeka provodnika. To znaCi, unutar ovakvog cilindricnog provodnika elektricno polje je homogeno. Isto tako, tacke provodnika koje ne pripadaju istom poprecnom presjeku provodnika nalaze se na razliCitim potencijalima. Intenzitet vektora gustine struje je:

    Da bi se izracunao broj elektrona koji produ kroz neki poprecni presjek bakarne zice u jednoj sekundi, treba odrediti kolicinu naelektrisanja koja u jednoj sekundi prode kroz presjek:

    LlQls = I t = 5 [C]. Broj elektrona n koji produ kroz presjek bakarne zice ujednoj sekundije:

    n - LlQIs - 5 = 3,125.1019. - e - 16.10-19

    ,

    2.6. Elektrode plocastog kondenzatora potopljene su u nesavrsen dielektrik. Izmjerena vrijednost jaCine struje kroz dielektrik kondenzatora je I=2,5[j..tA]. Ako je povrsina plocastog kondenzatora S=150[cm2], izracunati intenzitet vektora gustine struje u dielektriku izmedu ploca kondenzatora. Kakve se linije vektora gustine struje izmedu ploca kondenzatora?

    Rjesenje:

    Vektor gustine struje u dielektriku izmedu ploca kondenzatora, u ovom slucajuje~konstantan (uz-zanemarenje ivicnih efekata) i ima intenzitet:

    Linije vektora gustine struje su normalne na elektrode kondenzatora.

    Jednosmjerne struje 7

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    2.7. U tecnom dielektriku nalaze se ravnomjerno rasporedene naelektrisane cestice, cija je koncentracija N'=106[elektronfm3J, a naelektrisanje svake od njih Qe=1O-16[C]. Izracunati gustinu i jaCinu struje koja se dobija ako se ova tecnost krece brzinom v=1,2[mls] kroz cijev poprecnog presjeka S=1[cm2J. Da Ii je pojava ove struje posljedica elektricnog polja?

    Rjesenje:

    Intenzitet vektora gustine struje je:

    J = N'Qe v = 1,2 .10-10 [A/m2], a intenzitet struje je:

    1= JS = 1,2.10-14 [A].

    Pojava ove struje nije posljedica elektricnog polja, jer tecnost nije provodna,

    2.8. Kroz homogeni cilindricni provodnik kruZilog poprecnog presjeka poluprecnika a, postoji struja jaCine I, Kolika je jaCina struje kroz dio poprecnog presjeka provodnika poluprecnika r (r

  • OSNOVI ELEKIROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Promjena intenziteta gustine struje u zavisnosti od rastojanja r data je grafikom prikazanim na slici 2.9.

    J(a)

    J(b) ~---+-------"-

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    E= I 1 1 -2ab+-ac PI P2

    mtenzitet vektora gustine struje je u materijalu 1:

    1 I J I =-E=-----PI 2ab+E.Lac

    P2 a u materijalu 2:

    1 I J 2 =-E=-"'-----P2 .t22ab+ac

    PI

    Intenzitet struje u krajnjim slojevima provodnika sa specificnom otpornosti PI iznosi:

    a intenzitet struje u sredisnjem sloju provodnika sa specificnom otpornosti P2 iznosi:

    2.11. Dokazati da je intenzitet struje kroz svaki presjek provodnika isti.

    Rjesenje:

    U stacionarnom strujnom polju, makroskopsko kretanje i raspodjela naelektrisanja u prostoru mora biti stacionarna, tj. ne mijenjaju se u toku vremena. To znaci da se ukupna kolicina naelektrisanja unutar prostora ne mijenja, te je izlazni fluks vektora J kroz zatvorenu povrsinu:

    12 Vektor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Drugim rijecima, tacno onoliko pozltlvnog iIi negativnog naelektrisanja koliko ude u neki prostor ogranicen povrsinom S za neko vrijeme mora iz njega i da izade. U protivnom, doslo bi do stalnog porasta kolicine pozitivnih iii negativnih naelektrisanja u zatvorenoj povrsini S. Raspodjela naelektri-sanja bi se mijenjala, mijenjalo bi se i polje koje prouzrokuje struju, pa struja ne bi bila stacionama, tj. vremenski konstantna. Ako se ova primjeni na zatvorenu povrsinu S koju obrazuju dva presjeka jedne strujne tube (iIi provodnika od bakame iIi aluminijske zice iIi trake kroz koji protice struja) SI i S2, i omotaca tube So (slika 2.11) onda se moze dokazati da je jacina struje u bilo kojem presjeku tube ista, bez obzira i na oblik tog presjeka.

    () slika 2.11

    Fluks vektora gustine struje J kroz zamisljenu zatvorenu povrsinu S sa slike 2.11 je:

    lz prethodno navedenog slijedi da kolicina naelektrisanja koja u nekom intervalu vremena ude u zatvorenu povrsinu S kroz presjek S] mora biti jednaka kolicini nae!ektrisanja koja izade iz zatvorene povrsine S kroz

    lednosmjerne struje 13

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    presjek S2. Kako su S] i S2 dva proizvoljna pesjeka provodnika dokazano je da je intenzitet struje kroz svaki presjek provodnika isti. Naravno, izvedena tvrdnja je tacna pod uslovom da je smjer pozitivne normale na svaki presjek provodnika, odnosno referentnj smjer struje, isti duz cijelog provodnika i ako je provodnik promjenljivog presjeka. Zbog toga kada se govori 0 intenzitetu struje kroz presjek provodnika, normalno je da se govori 0 intenzitetu struje kroz provodnik, odnosno kroz bilo koji presjek provodnika.

    Pored intenziteta struje, ovoj skalarnoj velicini pripisuje se i odredeni smjer. Pod smjerom struje podrazumjeva se smjer vektora gustine struje J, odnosno smjer kretanja pozitivnih naelektrisanja, iIi smjer suprotan smjeru kretanja elektrona kroz provodnik. Po ovoj definiciji, smjer struje (smjer vektora gustine struje) je suprotan stvamom smjeru kretanja elektrona provodnosti u metalnim provodnicima pod dejstvom elektricnog polja (:;lika 2.11.a).

    -II>-J

    - e 0----11>-

    -e 0----11>-

    -e - e 0----11>- 0----11>-

    slika 2.11.a

    Da li izvedeni dokaz vrijedi i za sluca) da)e smjer pozitivne normale na zatvorenu povrSinu ka unutra?

    2.12. Provodnik poluprecnika a nastavlja se provodnikom poluprecnika b. Ako kroz takav provodnik postoji struja, odrediti odnos intenziteta vektora gustine struje u oba dijeJa provodnika, u tackama udaJjenim od mjesta promjene poluprecnika. Pretpostaviti da je specificna provodnost jednaka u svim tackamc1.

    Rjesenje:

    Intenzitet struje u oba dijela provodnika, bez obzira na presjek, mora biti isti (zadatak 2.11). Odnos intenziteta gustina struja za ova dva dijela provodnika Je:

    14 Vektor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    I J a Sa Sb b

    2

    =-= -2

    Jb I Sa a Sb

    2.13. Na slici 2.13 je dat homogeni cilindricni bakarni provodnik nejedna-kog presjeka. U provodniku postoji struja intenziteta I i smjera naznacenog na slici. Nacrtati linije vektora gustine struje j u ovom provodniku i odrediti odnose intenziteta vektora gustine struje kroz pojedine dijelove provodnika.

    3 /

    /

    L-_) slika 2.13

    Rjdenje: -Intenzitet vektora gustine struje u dijelu I provodnika, u nekoj tacki A koja je dovoljno daleko od ravni gdje se rnijenja presjek provodnika, jednak je:

    I I J] =-=-2-.

    S] an U dijelu 2 provodnika, u tacki B, intenzitet vektora gustine struje je: -

    Jednosmjerne struje 15

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    U dijelu 3 provodnika, u tacki C, pod istim uslovima, intenzitet vektora gustine struje je:

    Na slid 2.J3.a su predstavljene linije vektora gustine struje j u zadanom prpvodniku.

    slika 2. 13. a

    Odnosi intenziteta vektora gustine struje su:

    2.14. Za dva evora A i B spojena provodnikom, prikazana na slici 2.14, napisati jednaeine po prvom Kirhofovom zakonu.

    16

    A

    I / f

    '\. slika2.14

    Vektor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Rjesenje: Prvi Kirhofov zakon ima poseban znacaj u analizi slozenih elektricnih kola. U tom slucaju primjenjuje se nesto jednostavniji oblik zakona, gdje se umjesto fluksa vektora j kroz zatvorenu povrsinu koriste jacine struja kroz tu povrsinu.

    Prvi Kirhofov zakon, u analizi elektricnih kola, primjenjuje se na cvorove elektricnih kola, odnosno na mjesta gdje se spajaju tri i vise krajeva provodnika kroz koje protieu struje. . Za neki evor u kome su spojeni krajevi proizvoljnog broja n provodnika sa strujom: algebarska suma jaCina struja kroz te provodnike koji se sticu u jednom cvoru mora biti jednaka nuli:

    Pri ovome, referentni smjer struje usvojen je od evora. Dakle, ako je referentni smjer za neku struju jacine It od evora, znak je plus, a ako je referentni smjer za neku struju jacine Ik ka evoru, onda je znak minus. Za zadani slucaj, jednacine po prvom Kirhofovom zakonu napisane za cvorove A i B glase:

    cvor A:

    cvor B:

    2.15. Napisati jednaeine po prvom Kirhofovom zakonu za dati SPO] provodnika prikazan na slici 2.15.

    B

    slika 2.]5

    Jednosmjerne struje 17

  • OSNOVI ELEKIROTEHNIKE Zbirka zadataka

    RjeSenje:

    Na slici je mogtlce tlociti eetiri cvora A, B, C D. Primjenom prvog Kirhofovog zakona na pojedine cvorove dobije se:

    evor A:

    cvorB:

    cvorC:

    cvorD:

    Veoma je vazllo sprovesti slijeoeeu analizu. Ako se saberu bilo koje tri jednaeine, dobice se jednacina koja je ista kao preostala jednaCina, sarno sa izrr.Jenjenirn znacima. Tako, na primjer, aka se saberu prve tri jednacine, dobijase:

    sto je, upravo, jednacina za cetvrti evar D sa promjenjenim znakom. To :maei da posljednja, cetvrta jednacina nije nezavisna jednaCina struja kroz spojene pmvodnike_

    U tom srnislu, kod analize sloienih ele.l1:ricnih kola, sa bilo kojim brojem spojenih provodnika i evorova, primjena prvog Kirhofavog zakona dace nezavisne jednacine sarno aka se primjeni na sve evorove osim jednog.

    2.16_ Odrediti pokazivanje ampennetra sa slike 2.16, ako su jaCine struja u granama II=3[A], 12=2[A] i 13=5[A].

    L .J

    slika 2.16

    18 Vek1:or gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

    OSNOVl ELEKIROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Rjesenje:

    Primjenom prvog Kirhofovog zakona na cvor A ima se:

    Na osnovu prethodne jednacine moguce je odrediti intenzitet struje koji pokazuje ampermetar:

    Dobijeni negativni znak za intenzitet struje koju pokazuje ampermetar ukazuje na slijedece: stvami smjer struje lA, a time i smjer vektora gustine struje u provodniku, je suprotan od pretpostavljenog na slid 2.16. U praksi, dovoljno je zamijeniti prikljucke ampermetra, da bi njegovo skretanje bilo udesno, pri cemu bi pokazao vrijednost IA=4[Al

    2.17. Pretpostavimo da ampermetri na slici 2.17 pokazuju sarno apsoiutnu vrijednost jacine struje. Ako su pokazivanja ampermetara Al i A2 takva da je IId=5[A] i Ihl=8[A], kakve sve vrijednosti jaCine elektriene struje moze pokazati amperrnetar A3?

    slika 2.17

    Rjesenje: JaCina ele.l1:ricne struje mjeri se instrumentom koji se naziva ampermetar. Ovaj instrument prikljueuje se u seriju sa onim dijelom elektricnog kola kroz koji se zeii izmjeriti struja. Otpornost realnog ampennetra je mala (reda desetine Q), pa je napon na njegovim krajevima zanemarivo mali. U zadacima ce se najcesce razmatrati teoretski slueaj kada je otpornost ampermetra nula (RA=O).

    Jednosmjerne struje 19

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Referentni smjerovi struja IJ i h mogu biti iii ka evoru, iii od evora, iIi jedan od evora, a drugi ka evoru (i obrnuto). U slueaju da su smjerovi struja IJ i 12 ka evoru (slika 2. 17. a, slika 2.17.b), iii od evora (slika 2.17.c, slika 2. 17.d), pokazivanje ampermetra A3, na osnovu prvog Kirhofovogzakona moze biti:

    20

    slika 2. 17. a

    slika 2.17. c

    13 =-(1] +I 2 )=-13[A] 1131 = 13 [A]

    slika 2.17.b

    slika 2.I7.d

    Vektor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Na osnovu provedene analize u prethodna eetiri slueaja ampermetar A3 ce uvijek pokazati strujujaeine 13(AJ.

    U slueaju da je smjer struje 11 ka cvoru, a smjer struje hod evora (slika 2.17.e, slika 2.17.j), iIi smjer struje 11 od evora, a smjer struje h ka cvoru (slika 2.17.g, slika 2.17.h), pokazivanje ampermetra A3, na osnovu prvog Kirhofovog zakona moze biti:

    slika 2.17.e

    slika 2.17.g

    lednosmjerne struje

    slika 2.17.j

    slika 2.17.h

    13 =I 1 -I j =3[A]

    13 = 3 [A]

    21

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Na osnovu provedene analize u posljednja cetiri slucaja ampermetarA3 ce uvijek pokazati strujujacine 3 [A].

    2.18. Primjenom prvog Kirhofovog zakona odrediti struje I], h i Is Za dati spoj prikazan na slid 2.18. Vrijednosti struja u ostalim granama su: h=2[A], 1=5[A], 16=4[A].

    B

    D

    16

    slika 2.18

    Rezultat: IJ=9[A], 12=7[A], Is=-3[A]

    2.19. Neka je pokazivanje ampermetra A takvo da je IIAI=lO[A], a intenziteti struja IJ=5[A], h=15[A] i 13=8[A] sa naznacenim smjerovima na slici 2.l9. Odrediti sve moguce vrijednosti intenzi-teta struje 1, kao i odgovarajuci referentni smjer.

    slika 2.19

    Rezultat: 4=8[A] sa referentnim smjerom od evora B 4='12[A] sa referentnim smjerom ka cvoru B

    22 Vektor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    2.20. Za spoj na slici 2.20 odrediti intenzitet i referentni smjer struje II i struje kroz amperemetar lA' Vrijednosti intenziteta preostalih struja su: h=Is=5[A], 1=4,5[A], 16=1,5[A] i Iz=I7=3[A].

    B

    slika 2.20

    Rezultat: IJ=3[A] sa referentnim smjerom od evora A IA=O,5[A] sa referentnim smjerom od evora B ka evoru A

    lednosmjerne struje 23

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    James Prescott Joule (1818-1889), engleski jizicar. Kao samouk studirao odnose meau raznim vrstama energije: 1841-1843. odredio toplotni efekat elektricne struje (Jouleova toplota), a 1843-1850. odredio mehanicki ekviva,!ent topiote i time dao jedan ad dokaza zakona 0 odrianju energije. Zajedno sa W. Thomsonom otkrio 1853-1854. pojavu koja se naziva Joule-Thomsonov efekat, sto predstavlja prornjenu temperature realnih gasova adijabatskim ekspanzijama kroz uzak ventil ili kapilaru. Uglavnom kod svill gasova na normalnim temperaturama taJ...'Ve ekspanzije uzrokuju pad njihovih temperatura, sto se korisfi u industrijskim rashladnim uretlajima i hladnjacima za domaCinstvo. Jedinica za rad i energiju u MKS sistemu i Meaunarodnom sistemu mjernihjedinica nazvanaje po Jouleu.

    24 Elektricna otpornost. Dzulov zakon

    2.2. Elektricna otpornost. Dzulov zakon

    2.21. Odrediti specificnu otpornost bakra na temperaturi -50[C], +20[C] i +lOO[C].

    Rjesenje:

    Poznato je da je za odrZavanje eIektricne struje neophodno da u svakoj tacki provodnika postoji elektricno polje.

    Vektor jacine elektricnog polja E u nekoj tacki provodnika i vektor gustine struje j u istoj tacki (u cvrstim i tecnim provodnicima) su istog pravca i smjera, te izmedu njih postoji proporcionalnost:

    Koeficijent proporcionalnosti 0 za razne provodnike je razliCit i naziva se specificna provodnost. Jedinica za specificnu provodnost je simens po metru [S/m).

    U tehnickoj praksi ceSce je u upotrebi reciprocna vrijednost specificne provodnosti

    1 p=-(J

    i naziva se specificna otpornost. Jedinica za specificnu otpornostje ommetar [QmJ.

    Za najveci broj provodnika, ukljucujuci i metalne provodnike, ove velicine (0 i p) ne zavise od jaCine elektricnog polja (osim u slucaju vrlo jakih elektricnih polja). Za ove provodnike se kaze da su linearni provodnici. Medutim, velicine 0 i p u znacajnoj mjeri zavise od temperature provodnika. Za mali temperatumi opseg spefificna otpomost nekog provodnika Pe na nekoj temperaturi 8[C] moze se sa dovoijnom tacl10sti izraziti preko specificne otpornosti Po istog provodnika na O[C], kao:

    Koeficijent a nazlva se temperaturni koeficijent eksperimentalno.

    lednosmjerne struje

    odreauje se

    25

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    U slucaju veceg temperatumog opsega, iii za odredivanje Po sa vecom tacnosti, koristi se jednacina:

    U ovoj jednacini ex, 13 i Y su temperatumi koeficijenti, Cija vrijednost se utvrduje eksperimentalno. Za bakar vrijedi:

    Iz tablice P.5.3 je Po=1,5881O-8[Qm] i a=4,271O-3[1I0C], te se dobija:

    P-50 = 1,588 lO-8 [1 + 4,27 lO-3 (- 50)]= 1,429 lO-8 [.QrnJ, P20 = 1,588 lO-8 (1 + 4,27 lO-3 20)= 1,724 .10-8 [lrn], PlOD = 1,588 lO-8 (1 +4,27 .1O-3 lOO)= 2,266lO-8 [.QmJ.

    2.22. Izracunati specificnu otpomost aluminijuma na temperaturi -80[C] i +400[C], koristeci jednaCinu koja vrijedi za manji temperatumi opseg i uporediti je sa rezultatima dobijenim primjenom jednacine koja vrijedi za veci temperatumi opseg.

    Rjesenje:

    KoristeCi jednaCinu:

    i podatke iz tablice P.S.3, po=2,62-1O-8[Qm] i a=4,461O-3[lfOC], dobija se:

    Koristeci jednacinu:

    Pe =po(1+aS+f)82 +y83 )

    i podatke iz tablice P.5.3, 13=1,S1O-6[l/oC2] i y=O, dobija se:

    26 Elektricna otpomost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadatakn

    P -80 = 1,715 _10-8 [lrn] i p 400 = 8,049 10-8 [lrn]. Iz dobijenih rezultata moze se zakljuciti cia razlika izmedu dobijenih rezultata nije velika. Primjenom jednacine koja vrijedi za manji temperatumi opseg U odnosu na tacniju jednacinu koja vrijedi za veci temperaturni opseg dobijaju se vrijednosti cca 10% manje_

    2.23. U cilju odredivanja temperaturnog koeficijenta ex bakra poznate Sil njegove vrijednosti sJY"--cificne otpornosti Po=l,62-10-8[Qm] na O[C] i PlOo=2,311O-8 [Qm] na lOO[C].

    RjeSenje:

    1z jednaCine za specificnu otpornost:

    dobija se:

    2.24. Za aluminijum su poznate slijedece vrijednosti specificnih otpor-nosti: po=2,65'W-8[Qm], PHlo=3,791O-8[Qm] i P400=S,12S1O-8 [Qm]. Izraeunati temperatume koeficijente (X i !3

    Rjesenje:

    S obzirom da se fadi 0 vecem temperatumom opsegu, za odreaivanje specificne otpomosti p koristi se jednaCina:

    gdje su a, 13 i Y temperatumi koeficijenti. Za temperaturno podrucje od -SO[OC] do +400[C], temperaturni koeficijent y za aluminijum jednak je uuli_ Zadane vrijednosti specificne otpornosti Po, PlOO i P400 odnose se na vrijednosti temperatura O[OC] , lOO[OC] i +400[OC], respektivno.

    Jednosmjeme slruje 27

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    UvrstavajuCi zadane vrijednosti u prethodnu jednacinu dobija se:

    PlOO =po(1+alOO+BlO02),

    P 400 =po(1+a400+B4002).

    Iz ovih jednacina temperatumi koeficijenti su:

    2.25. Potrebno je odrediti temperatume koeficijenate ex, 13 i y za volfram. U cilju njihovog odredivanja izmjerene su slijedece vrijednosti specificne otpomosti volframa na razlicitim temperaturama: po=5,02.lO-s[nm], PlOo=7,6851O-s[nm], Psoo=28,64 W-s[nm] P32oo=138,5IQ-s[nm].

    RjeSenje:

    Temperatumi opseg za volfram je od -SO[T] do +3300[OC], te je moguce izmjeriti sva tri (ex, 13, y) temperatuma koeficijenta. S Qbzirom na izmjerene vrijednosti specificne otpornosti na temperaturama O[OC], lOO[OC], 800[OC] i 3200[OC], koristeci jednacinu:

    mogu se napisati slijedece tri jednacine:

    PlOO = Po (1 + a102 + B10 4 + y106),

    Psoo = Po (1 + a800 + ~ 8002 + Y8003), P 3200 =po(1+a3200+~32002 +y32003 ).

    Rjesavanjem sistema tri jednaCine sa tri nepoznate, odredeni su temperatumi koeficijenti: -

    28 Elektricna otpornost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    2.26. Izracunati srednje vrijeme izmedu dva sudara elektrona provodnosti u bakru, ako je koncentracija elektrona u bakru 8,4.1022 [elektron/cm3]. Masa elektrona je IIle=9,1lO-31[kg], a specificna otpomost bakra po=1,5881Q-s[nm].

    Rjesenje:

    Siobodno pokretljiva naelektrisanja u provodnicima se krecu i kada nema makroskopskog elektricnog polja. Njihovo ktetanje je haoticno. To je tzv. termicko kretanje slobodno pokretljivih naelektrisanja. Ovo kretanje moze se predstaviti analogno kretanju molekula u nekom gasu, sto je na slici 2.26 predstavljeno punom linijom. Vazno je istaci da ovo termicko kretanje ne prouzrokuje makroskopski usmjereno, organizovano kretanje slobodnih naelektrisanja. (OgraniCimo se na metalne provodnike u kojima su slobodna pokretljiva naelektrisanja elektroni provodnosti).

    A

    -I> E.-.----

    ....

    --------->-. v

    slika 2.26

    Brzina termickog kretanja slobodnih elektrona u metalima je vrlo velika. Srednja . vrijednost duzine puta elektrona izmeau dva sudam naziva se srednja duzina slobodnog puta i obiljezava se sa A. Odnos X i Vtsr predstavlja srednji vremenski interval l' izmedu dva sudara:

    A T=-.

    V tsr

    Kada u metal nom provodniku postoji makroskopsko elektricno polje, haoticno termicko kretanje slobodnih elektrona postaje organizovano

    Jednosmjerne struje 29

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    pomjerajuci se u smjeru djelovanja elektricnih sila. Moguca putanja kretanja slobodnih elektrona, koja se pored termickog kretanja, krecu i pod dejstvom elektricnog polja, prikazanaje na slid 2.26 isprekidanom linijom. Pod dejstvom elektricnog polja slobodni elektroni se sistematski pomjeraju, ali na svom putu se sudaraju, kako medusobno, tako i sa kristalnom strukturom. Naravno, ovdje se ne radi 0 stvamom sudaru, nego pod sudarom se podrazumijeva da je u jednom kratkom vremenskom intervalu elektron bio u sastavu atoma i predao mu tom prilikom dio svoje energije. U tom trenutku brzina elektrona znacajno se smanji, pa se elektron cak i zaustavi. Pod djelovanjem elektricnih sila elektron se zatim ubrzava. Ubrzanje naelektrisane cestice pod dejstvom elektricnog poljaje:

    QE a=--,

    m

    gdje je Q naeJektrisanje, a m masa naelektrisane cestice. U prosjeku naelektrisana cestica ce se kretati ubrzano u toku srednjeg vremenskog intervala"C izmedu dva "sudara". Ova tvrdnjaje tacnajer je VVtsr, kako je u uvodu objasnjeno. Na kraju vremenskog interval a brzina cestice je m. Kako je za to vrijeme brzina rasia linearno sa vremenom, srednja brzina za to vrijeme je m/2. Ovo se moze smatrati srednjom brzinom slobodnih elektrona kroz metalne provodnike pod dejstvom elektricnog polja:

    ell: e1' v=-=--E.

    2 2me

    Poredenjem ovog izraza sa izrazom:

    gdje koeficijent proporcionalnosti 1 11=--

    Nep

    predsiavlja pokretljivost slobodnih elektrona, dobija se:

    30

    e"C 11=--

    2m e

    Elektricna otpornost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Kako je j = Q N' v, dobija se:

    odnosno:

    gdje je:

    - 1-J=-E, P

    Prema tome, ovdje je pokazano da je vektor gustine struje u metalnim provodnicima u nekoj tacki proporcionalan vektoru jacine elektricnog polja u istoj tach

    Analizirajuci gornju jednacinu moze se zakliuciti da specificna otpomost (provodnost) ne zavisi od jacine elektricnog p~lja. Medutim, ako se izracuna p za bakar i srebro, gornjom jednaCinom, dobijaju se vrijednosti koje su za oko stotinu puta vece od stvame vrijednosti. To sarno dodatno ukazuje na Cil-Denicu da tzv. klasicna teorija nije u mogucnosti da odgovori na sva pitanja. Za razliku od ovoga, rezultati tzv. kvantne teorije dobro se slazu sa eksperimentalnim.

    Dakle, srednje vrijeme izmedu dva sudara elektrona provodnosti u bakru na osnovu posljednjeg izraza je:

    2m l' = __ e_ = 5,32.10-14 [s] .

    pe 2 N'

    2.27. Izvesti vezu izmedu vektora j i E koja bi postojaia u metalnim provodnicima kada bi termicka brzina kretanja elektrona provodnosti bila jednaka nuli, a ne kao sto je u stvarnosti, mnogostruko veca od brzine elektrona pod dejstvom elektricno CT polja. Duzina slobodnog puta elektrona u metal nom provodniku j~ A.

    Jednosmjerne struje 31

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Rjesenje:

    Poznato je da elektroni u metalnom provodniku vrse termicka haoticna kretanja, a pod dejstvom elektricnog polja oni se sistematski pomjeraju i na svom putu se sudaraju, kako medusobno, tako i sa kristalnom strukturom. Vee je objasnjeno da se ne radi stvarnom sudaru. U tom trenutku brzina elektrona znacajno se smanji. Uslovom zadatka elektron provodnosti nakon "sudara" sa ostatkom atoma se potpuno zaustavi. Elektron iz stanja mirovanja, pod dejstvom sile eJektricnog polja sl? ubrzava, gdje je ubrzanje:

    eE a=-

    me

    i prede put

    2 A=~ 2

    za vrijeme

    Srednja brzina kretanja elektrona izmedu dva sudaraje:

    a smjer vektora v brzine kretanja elektrona provodnosti suprotan je smjeru djelovanja vektora elektricnog poJja E . Vektor gustine struje

    J = QN'v = -eN'v

    istogje smjera kao i vektor elektricnog polja E. Kada se u prethodnu jednacinu uvrste gornje reJacije, dobija se: .

    J =eN' faA =eN,~eEA E. , 2 2 0

    32 Elektricna otpomost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Ova jednacina pokazuje da je, za razliku od provedene analize za stvarno stanje gdje je:

    moguce zakljuCiti da zavisnost vektora gustine struje J od vektora jaCine elektricnog polja E u nekoj tacki metalnog provodnika nije linearna.

    2.28. Dielektrik u plocastom kondenzatoru je transformatorsko ulje. PovrSina ploce kondenzatora je S=1 [dm2] , rastojanje izmedu ploca d=O,5[cm]. Kondenzator je prikljucen na napon U=lOOO[V]. Izracunati gustinu snage Dzulovih gubitaka u dielektriku kondenzatora, kao i ukupnu snagu Dfulovih gubitaka. Specificna otpornost transformatorskog uljaje p=lOll [Qm].

    Rjesenje:

    Elektricno polje u plocastom kondenzatoru je homogeno, intenziteta:

    E= U. d

    Za neki provodnik, rad izvrsen pri ubrzavanju slobodnih nosilaca naelektrisanja izmedu sukcesivnih sudara jednak je energiji eiektricnog polja koja se u zapremini dV u toku vremena dt pretvori u toplotu:

    dA =JE dVdt.

    Kako je dA/dt snaga elektricnih sila dP u zapremini dV, onda gornji izraz predstavlja zapreminsku gustinu snage transformacije energije u toplotnu iii tzv. gustinu snage Dzulovih gubitaka:

    Ove jedrtacina pokazuje da se razvijena toplota u provodniku mijenja sa kvadratom gustine struje i cesto se naziva Dzulov zakon za tacke strujnog polja.

    Dakle, zapreminska gustina snage Dzulovih gubitaka je:

    Jednosmjerne struje 33

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Ukupna snaga Dfulovih gubitaka je: E2 E2 U 2

    P=-V=-Sd=-S=20 tiLW] P P pd

    2.29. Grijac bojlera napravljenje od hrom-nikla precnika 1 [mm]. Odrediti koliki je precnik mesingane zice kojom je grijac vezan za mrezu, tako da gustina snage Dfulovih gubitaka u mesinganoj zicibude 1 % gustine snage gubitaka u grijacu. Radna temperatura grijaca je 85[C], a mesingane zice 30[C]. Specificna otpornost hrom-nikla na temperaturi O[C] je Po=1371O-8[Qm], a temperatumi koeficijent a.=21O-7[1/C). Specificna otpornost mesinga na temperaturi O[C] je Po=7,51O-&[Qm}, a temperatumi koefieijent a.=161O-4[1IC).

    Rje1ienje:

    Specificna otpornost grijaca izvedenog od hrom-nikla je:

    amesinga:

    lacina struje i kroz grijac i kroz mesinganu zicu mora biti jednaka, te kolicnik gustine struje jednak je:

    Gustina snage Dzulovih gubitaka je za grijac:

    dP. 2 -~- J dV -Pg g'

    a za mesinganu zieu:

    34 Elek.1:ricna otpornost. Dzulov zakon

    : ~,

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Odnos navedenih gustina je:

    Precnik mesingane :lice je:

    d =4 Pm d: =dg4 7,86.10-8

    =1,548d =1,548[mm]. m O,Olp g 1,37.10-6 .0,01 g

    2.30. Kolika je snaga Dzulovih gubitaka za slucaj koaksijalnog kabla, dimenzija unutraSnjeg poiuprecnika a= 1 [em] i vanjskog poluprec-nika b=2,7[em] i duzine l=l[kmJ, prikljucenog na napon U=lOOO[VJ. Dielektrik Je transformatorsko ulje, speeificne otpornosti p=lOll[QmJ.

    Rjesenje:

    Intenzitet elektricnog polja u dielektriku koaksijalnog kabla prikljucenog na napon Uje:

    U E=--b'

    rln-a

    Zapreminska gustina snage Dzulovih gubitaka zavlSl od rastojanja r jednakaje:

    Lako je uoCiti cia je (dP/dV)=f(r), te se ukupna snaga Dzulovih gubitaka ne moze dobiti kao proizvod gustine snage i zapremine.

    Jednosmjeme struje 35

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Ukupna snaga Dzulovih gubitaka dobija se kao: 1 U 2 -

    p=f-edV=f 22n:rldr, v

    P Vpr2(ln~J P = 2n:U2[ fb dr = 2n:U2Z

    ( bJ2 r b ' P In-;; a P In-;; P = 62,8 [mW].

    2.31. Na slici 2.31 prikazana je tanka bakama traka debljine h=O,1[mm], duzine b+c+d=30 (mm) koja predstavJja topljivi osigurac. Nominalna struja osiguraca je In=lO[A). Dimenzionisati osigurac-traku odredujuCi a i 0, tako da iznos zapreminske gustine snage Dzulovih gubitaka bude 20 puta veci od sirine O. Pri prekoracenju nominalne struje kada je I=2In, osigurac reaguje za vrijeme t=1500[ms). Zanemariti temperatumu zavisnost specificne otpomosti, sto u ovom slucaju odgovara projektovanju za najgori moguci slucaj. Poznati su podaci: specificni toplotni kapacitet bakra c=390[JlkgK), temperatura topljenja 8=1080[C], radna temperatura 8r=80[C], specificna gustina bakra pcu=8,9[kg/dm3) i specificna otpomost bakra p=1,61O8[Qm).

    36

    /

    /

    I--r-~r-., I I I I I

    /

    r

    : 8 I I I I I I ill I I I I L ____ .l-.---li _____ _

    ~ slika 2.31

    Elektricna otpornost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Rjesenje:

    Zapreminska gustina snage Dzulovih gubitaka za suzeni dio trake je:

    dokje za dio trake sirine a:

    U obje reJacije jacina struje I je jednaka. Uslovom zadatka dato je da je zapreminska gustina snage Dzulovih gubitaka 20 puta veca u suzenom dijelu:

    paje:

    Za funkciju osiguraca bilo bi potrebno de se otopi suzeni dio trake duzine manje od d, cime bi se ona prekinula. Energija nephodna za topljenje -prekid trake na suzenom dijeJuje:

    W =c Pcu V L\e.

    Promjena temperature iznosi L\e = e - Elr = 1000 [0 c], a V je zapremina dijela trake jednaka V = od h .

    Za zadane podatke potiebna energija iznosi:

    Ova energije mora biti jednaka energiji Dzulovih gubitaka u posmatranom dijelu za vrijeme t=1500[ms). Dzulovi gubici su jednaki:

    Jednosmjerne struje 37

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    [J ].

    Izjednacavanjem vrijednosti energija W=WJ dobija se:

    0=0,53 [mm] , a = 2,37 [mm].

    2.32. Potrebno je napraviti otpornik od zice od hrom-nikla precnika d=O,l[mm}, da bi na temperaturi 20[C] imao otpornost R=lOO[Q]. Odrediti duzinu zice takvog otpornika. Specificna otpornost hrom-nikla na temperaturi O[OC] je po=lOOlOs[Qm], a temperaturni koeficijent a=O,0004[1/oC].

    Rjesenje: Otpornost pravog homogenog provodnika duzine I povrsine poprecnog presjeka S je:

    I R=p-. S

    Kako je zadana otpornost R na temperaturi 20[OC], to je potrebno izracunati specificnu otpornost Pzo kao:

    Potrebna duzina zice za izradu otpornikaje:

    Za izradu otpornika potrebno je izracunatu duzinu zice od hrom-nikla saviti u spiralu i postaviti na neki izolacioni materijal.

    2.33. Posebnim nacinom hladenja temperatura zice od hrom-nikla duzine L=5[m] i precnika d=1,3[mmJ mijenja se ad lOO[Oe] na jednom kraju do 500[C] na drugom kraju. Ako se pretpostavi da je porast temperature duz zice lil1earan, odrediti otpornost zice. Specificna otpornost hr~m-nikla je Po=11O6[Qm], a temperaturni koeficijent a=41O-4[lrcl .

    38 Elektricl1a otpornost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Rjesenje: Otpornost zice moze se izracunati kao:

    L dl R= Jp-.

    o S

    Posto je porast temperature duz zice linearan (slika 2.33) moze se izvesti da Je:

    9(Z)= 100 + 4001. L

    eeoc] 1 500 1--------100

    01 L I [m]

    slika 2.33

    Specificna otpornost zice od hrom-nikla zavisi od duzine i temperature mijenja se po zakonu:

    pa je otpornost:

    [ J 400 \l L Po 1 + 100+- l IJdl R=f ~ S L ) o

    Jednosmjerne struje 39

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    R = 4P~ (1 + 300a)L, nd

    R = 22,4 = 4 22[Q]. 5,3 '

    2.34. Vlakno od volframa je precnika d=O,02[mm]. Odrediti duzinu vlakna koja na temperaturi 8=lSOO[C] ima otpomost RIsoo=320[Q]. Kolika je otpomost vlakna iste duzine na temperaturi 20[C]? Specificna otpomost volframa na O[C] je po=51O8[Qm], a temperatumi koeficijenti: a=5,23S1O-3[1Ie], f3=O,71O-6[1Ie2], y=O,062.1O-9 [1/Oe3].

    RjeSenje:

    Vee je pokazano da specificna otpomost p zavisi od temperature. Otpornost svakog otpomika napravljenog od homogenog materijala mijenja se sa temperaturom na isti naCin kao specificna otpomost tog materijala, jer je promjena dimenzija sa temperaturom tako mala, da se moze zanemariti, sto se zakljucuje analizomjednacine R=pl/S. Za relativno malo temperatumo podrucje (manji opseg temperature),

    . promjena otpomosti sa temperaturom data je jednaCinom:

    a za dosta siroko temperatumo podrucje (veti temperatumi opseg):

    Re = Ro (1 + ae+ !3e2 +ye3 ). U prethodnim jednaCinama Ro je otpomost na temperaturi O[C], a a, f3 i Y temperaturni koeficijenti. U slucaju da otpornik nije napravljen od homogenog materijala navedene jednacine ne vrijede, a otpornost se u tom slucaju odreduje eksperimentalno. Za zadane uslove, specificna otpornost volframa ne temperaturi 8=1800[C] je:

    40 Elektricna otpomost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Potrebna duzina vlaknaje:

    Vlakno od volframa iste duzine imalo bi otpomost na 20[C]:

    R 20 = R lsoo P20 = 27 [Q], PISOO

    gdje je P20 specificna otpomost volframa na 20[C]: P20 =po(1+a20+~202 +y203 )=5,53.1O-s [Qm].

    Vlakna od volframa priblizne debljine koriste se za vlakna sijalica, koja se motaju u tanku spiralu, a ova zatim u deblju spiralu, koja predstavlja otpomik, tj. tijelo koje zraCi. Otpomost hladnog vlakna volframa na 20[C] je oko 12 puta manja od otpomosti na radnoj temperaturi. Za zadani napon jacina struje kroz hladnu sijalicu je mnogo veca od jaCine struje kroz sijalicu cije je vlakno dostiglo radnu temperaturu, sto je prakticno pogodno, jer se vlakno vrlo brzo zagrije.

    2.35. Odrediti otpomost provodnika od aluminijuma na temperaturi 80[C]. Provodnik ima oblik prave zarubljene kupe dimenzija rl=l[cm], r2=2[cml i L=100[m], kako je predstavljeno na slici 2.35. Specificna otpomost aluminijuma na temperaturi O[C] je po=2,621O-s[Qm], a temperatumi koeficijenti: a=4,461O-3[1/C], f3=1,g1O-6[1/oe2], y=O[lIoe3].

    L

    ~ Xl "I Jk X X2 slika 2.35

    Jednosmjerne struje 41

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    RjeSenje:

    Sa slike 2.35 je:

    sin a [. r2 [ tga=--=-' =-=-, casa Xl X 2 X

    odakleje:

    r = xtga; r

    ~l X =-~-'

    I ' tga

    Povrsina presjeka provodnika je:

    r2 x~ =--. ~ tga

    Otpornost zadanog provodnika moze se odrediti:

    R = P x 2 -Xl n tg 2 a Xl X 2

    P L =p~. n tg 2a [2 Tl nT2r]

    tg 2 a

    Specificna otpornost aluminijuma na 80[C) je:

    P80 =po(1+a6+f:H12 +y63 )=3,6.1O-s [Qrn]. Otpornost zadanog provodnika na temperaturi 80[C] jednaka je:

    2.36. Otpornik otpornosti R na slici 2.36 je promjenljiv i njegova otpomost se mijenja u granicama od 0 do SOO[Q]. Otpornik se nalazi u slozenom elektricnom kolu ciji ostatak je zamijel1jen ekvivalentnom otpornosti Re=80[Q) generatorom napona

    42 Elektricna otpomost. Dzu!ov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    E=180[Vl Odrediti jednaCinu za snagu koja se razvija na otporniku R i nacrtati zavisnost PR=f (R).

    liE R

    e

    slika 2.36

    Rjesenje:

    Snaga koja se razvija na otporniku R jednaka je:

    Za razlicite vrijednosti otpornosti R dobija se:

    Matematickom analizom izraza za snagu na otporniku otpornosti R dobija se daje maksimalnu snagu na otporniku moguce ostvariti uz uslov R=R".

    Za zadato kolo maksimalna snaga iznosi:

    ( E J2 E2 ~ PR =R - =-=101,25 lW.l max 2R 4Re ;

    Na slici 2.36.a prikazana je funkcionalna zavisnost snage na otporniku (potrosacu) od vrijednosti njegove otpornosti R.

    lednosmjerne struje 43

  • 2.37.

    44

    101,25 100

    82,65

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    I I I I I I

    ---'-t-------I I I I

    67,30 : ! I -- --I~-------~------I I I I

    56,25 48,16 -

    40 30 20 10

    I I I I

    --i-~------l-------t------I I I I I ---r~-------~------~-------~------

    I I I I I I I J I 1 1 I I I I I I I I I

    I : : : : : I I I I

    : : : : : I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I I I I ,

    80 100 200 300 400 500 R[Q] slika 2.36.a

    U elektricno kolo prikljucen je kondenzator ispunjen nesavrsenim dielektrikom, ciju speeificnu otpomost treba odrediti (slika 2.37). Kondenzator predstavlja prilagodeni prijemnik za ostali dio elektricnog kola, a napravljen je u vidu koaksijalnog kabla poluprecnika unutrasnje elektrode a=l [em] i unutrasnjeg poluprec-nika vanjske elektrode b=2,7a. Duzina kabla iznosi L=l[km]. Ekvivalentna otpomost preostalog dijela elektricnog kola iznosi R=800[Q].

    Elektricno kolo

    slika 2.37

    Elektricna otpomost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Rjesenje:

    S obzirom da u odnosu na preostali dio elektricnog kola kondenzator predstavlja prilagodeni prijemnik (slika 2.37.a), to prema uslovu prilago-denja mora biti:

    R kond = R = 800 [QJ

    slika 2.37.a

    S druge strane, kroz dielektrik kondenzatora postoji radijalna struja odvodnosti, kao na slici 2.37.b.

    slika 2.37.b

    Jednosmjerne struje

    -n

    --J ,E

    45

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Otpomost kondenzatora Rkond moze se odrediti preko Omovog zakona, kao:

    b fEd[ R kond = ~ = -a-1-

    Intenzitet vektora jacine elektricnog polja je:

    Intenzitet vektora gustine struje 13'1 moze se odrediti na osnovu prvog Kirhofovog zakona kao:

    odnosno,

    ffd = I = J2rnL, s

    odakle je intenzitet vektora gustine struje:

    J=_I_ 2rnL a

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Otpornost voda R ~ , zbog pogorsanih uslova hladenja, mijenja se linearno u zavisnosti od promjene temperature 81=40[C] na jednom kraju, do 82=lOO[C] na drugom kraju. Specificna otpornost provodnika od koga je nacinjen vod u zavisnosti od

    , rastojanja x data je jednacinom: p(x)=Po(1+u8(x)),

    gdje je na osnovu slike 2.38.a. 8 -8 8(x)= 2 1 x+81 . I

    10: 1-----------------------I .

    o x x

    slika 2.38.a

    Otpomost dR elementaprovodnika dx (slika 2.38. b) jednakaje:

    dR=p(x)dx =Po dX(l+ue(x)). S S

    dR, p(x)

    ~I ____ ~~~ ____ ~I~ tl+I'~ ~I

    slika 2.38.b

    48 Elektricna otpomost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Otpornost R cijelog provodnika duzine I odreduje se integralenjem:

    R = f dR = 2.. f 1 + u 81 + U 2 1 X dx, X=l( 8 - 8 J I S x=o I

    Sada se moze izracunati otpornost voda R ~ :

    Vrijeme potrebno da voda prokljucaje :

    2.39. Za vlakno sijalice snage lOO[W] i napona 220[V] koristi se 4S[mg] volframa. Specificna otpornost volframa na radnoj temperaturi 2400[C] iznosip2400=92,31O-8[Qm]. Specificna gustina volframa je Pm=19,3[g/cm3]. Odrediti potrebnu duzinu i precnik vlakna?

    Rjesenje:

    Energija koja se u otporniku pretvori u toplotu u toku vremena t

    o U 2 W = A = UIt = RI~ t =-t R

    predstavlja Dzulov zakon.

    Snaga transformacije elektricne energije u toplotnu u otpomiku otpomosti R jednakaje:

    Jednosmjerne struje 49

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Otpomost kondenzatora Rkond moze se odrediti preko Omovog zakona, kao:

    b fEd! R kond = ~ = -a-1-

    Intenzitet vektora jaCine elektricnog polja je:

    Intenzitet vektora gustine struje 111 moze se odrediti na osnovu prvog Kirhofovog zakona kao:

    odnosno,

    f j dS = I = J 2m: L , s

    odakle je intenzitet vektora gustine struje:

    J=_I_ 2rnL a

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Otpomost voda R ~ , zbog pogorsanih uslova hladenja, mijenja se lineamo u zavisnosti od promjene temperature 8 1=40[C] na jednom kraju, do 82=lOO(OC] na drugom kraju. Specificna otpomost provodnika od koga je nacinjen vod u zavisnosti od

    . rastojanja x data je jednaCinom: p(x)=Po (1+a9(x)),

    gdje je na osnovu slike 2.38.a. 8 -0 O(x) = 2 1 X + 81 l

    e

    100

    o x x

    sIika 2.38.a

    Otpornost dR elementa. provodnika dx (sIika 2.38. b) jednaka je:

    48

    dR =p(x)dx =Po dx (1+a9(x)). S S

    dR, p(x)

    i ~ I x L-________ ~ ___ ~~ __________ ~.~ I:

    x dx ~! .. ~i

    slika 2.38.b

    Elektricna otpomost. Diulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Otpomost R cijelog provodnika duzine I odreduje se integralenjem:

    R = f dR = 2.. f 1 + a8] + a 2 1 X dx, X~l( 9 -9 J I S x~o I

    Sada se moze izracunati otpomost YOGa R ~ :

    Vrijeme potrebno da voda prokljucaje :

    2.39. Za vlakno sijalice snage lOO[W] i napona nO[V] koristi se 4S[mg] volframa. Specificna otpornost volframa na radnoj temperaturi 2400(C] iznosip24oo=92,31O8[Qm]. Specificna gustina volframa je Pm=19,3[g/cm3]. Odrediti potrebnu duzinu i precnik vlakna?

    Rjesenje:

    Energija koja se u otpomiku pretvori u toplotu u toku vremena t

    predstavlja Dzuiov zakoll.

    Snaga transformacije elektricne energije u toplotnu u otpomiku otpomosti R jednakaje:

    Jednosmjerne struje 49

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Otpomost kondenzatora Rkond moze se odrediti preko Omovog zakona, kao:

    b fEd! R kond = ~ =_a_1-

    Intenzitet vektora jaCine elektricnog polja je:

    Intenzitet vektora gustine struje 111 moze se odrediti na osnovu prvog Kirhofovog zakona kao:

    odnosno,

    fj dS = I = J2rnL, s

    odakle je intenzitet vektora gustine struje:

    J=_I_ 2rnL a

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Otpornost voda R~, zbog pogorsanih uslova hladenja, mijenja se linearno u zavisnosti od promjene temperature 8]==40[C] na jednom kraju, do 82=lOO[C] na drugom kraju. Specificna otpornost provodnika od koga je nacinjen vod u zavisnosti od rastojanja x data je jednacinom:

    p(x)=Po(1+cx8(x)), gdje je na osnovu slike 2.3S.a.

    8 -8 8(x)= 2 ] x+8]. l

    e

    o x x

    slika 2.3S.a

    Otpornost dR elementa provodnika dx (slika 2.38. b) jednaka je:

    dR,P(X)

    slika 2.38.b

    48 Elektricna otpomost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Otpornost R cijelog provodnika duzine I odreduje se integralenjem:

    R= fdR=.2.. f 1+cx81 +CX 2 1 X dx, X~l( e -8 j I S X~O l

    Sada se moze izracunati otpornost voda R ~ :

    Vrijeme potrebno da voda prokljucaje :

    2.39. Za vlakno sijalice snage lOO[W] i napona 220[V] koristi se 45[mgJ volframa. Specificna otpornost volframa na radnoj temperaturi 2400[C] iznosip24oo=92,3108[2m]. Specificna gustina volframa je Pm=19,3[g/cm3]. Odrediti potrebnu duzinu i precnik vlakna?

    Rjesenje:

    Energija koja se u otporniku pretvori u toplotu u toku vremena t

    predstavlja Dzuiov zakon.

    Snaga transformacije elektricne energije u toplotnu u otporniku otpornosti R jednakaje:

    Jednosmjerne struje 49

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Otpomost zagrijanog vlakna sijalice je:

    u 2 R =-=484 [Q].

    P

    Masa vlakna volframa racuna se kao:

    Kako je otpomost vlakna volframa R=pI/S, uvrstavajuci poznate vrijednosti dobija se: '

    R- 4m 4 - P2400 d2 d 2 . Pm 1t 1t

    Dakle, precnik volframovog viaknaje:

    d 4 16m = P2400 ---:-Pm 1t2 R

    d = 0,052 [rum 1 a duzina volframovog vlakna je :

    2.40.

    50

    [_ 4m _ [] - 2 -Urn.

    Pmd 1t

    Grijac ~oj,I~ra projektovan je tako da, kada se prikljuci odgovaraJuclm vodom na izvor napona, odredena kolicina vode prokljuca za 40 min uta. Otpomost grijaca i prikljucnog voda je R==20[Q]. Za prikljucak bojlera na izvor napona koristi se produini vod du~ine .l==~~[m]. Odre~iti povrsinu poprecnog presjeka provodmka pnkljucnog voda od bakra, tako da produzenie vremena zagrijavanja, zbog koristenja prikijucnog voda, ne bUde vece od 5[%]. Temperatura vode je konstantna i iznosi 40[oCJ. Specificna otpomost bakra na OJC] je Po==1,5881O-8[Qm], a temperatumi koeficijent CX== 4,271O-J [1rC).

    Elektricna otpomost. Dzulov zakon

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    sMa 2.40

    Rjesenje:

    Us!ovom zadatka otpomost grijaca i prikljucnog vodaje:

    Nekaje Rp otpomost provodnika produznog voda duzine 1==20[m]. U slucaju kada je bojler prikljucen na izvornapona, njegova snaga je:

    U2 Pj =RgI2 =Rg (. )2

    Rv +Rg

    i za vrijeme tj=40[minJ odredena koliCina vode prokljuca, za sto je potrebna energija:

    W=Pjt j .

    Kada se bojler prikljuci na izvor napona U preko produznog voda, otpomosti Rp, snaga grijacaje:

    U tom siucaju, potrebno vri~;eme da se istoj kolicini vode preda elektricna energija, izracunava se:

    Uslovom zadatka novo vrijeme ne moze biti vece od 5[%]:

    Jednosmjerne struje 51

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    odakle se dobija da je odnos snaga:

    Ako se podijeli jednacina za snagu PI sa jednacinom za snagu P2 dobija se:

    P (R +R )2 _1 = P

  • 2.3.

    OSNOVl ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    PotencijaI i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpornici

    2.41. Dat je veoma dug pravolinijski provodnik konstantnog, ali proizvoljnog poprecnog presjeka povrsine S. Provodnikje homogen, specificne otpomosti p. Intenzitet struje kroz provodnik je I. Odrediti potencijalnu razliku koja postoji izmedu tacaka povrsine presjeka 1 i 2, na rastojanju l.

    Rjesenje

    Unutar datog provodnika elekricno polje je homogeno. Slobodna ~aelektrisanja,. makroskopski se kreeu paralelno osi provodnika. Ovo polje lma sve osobme elektrostatickog polja, pa intenzitet vektora jacine polja mora biti isti u svim tackama presjeka provodnika. Znaci, unutar ovakvog provodnika polje je homogeno. Zbog toga je svaki poprecni presjek provodnika jedna ekvipotencijalna povrsina.

    slika 2.41

    Dakfe, tacke provodnika 1 i 2 (slika 2.41) koje su na razlicitim poprecnim presjecima provodnika nalaze se na razlicitim potencijalima, pa se moze pisati:

    2 2

    V1 - V2 = fEdl = fEdl = El = U 12 . 1 1

    54 Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola _ otpornici

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Kako je elektricno polje vremenski konstantnih struja isto kao i elektrostaticko, rjesenje integrala (napon U12 ) ima istu vrijednost nezavisno od putanje integracije izmedu tacaka 1 i 2. Intenzitet vektora jacine polja je konstantan po presjeku provodnika, pa je konstantan i intenzitet vektora gustine struje:

    E=pJ J=.!. S' te se dobija:

    Znaci, napon izmedu bilo koje dvije tacke provodnika proporcionalan je jaCini struje kroz njega. Posljednja jednacina predstavlja Omov zakon. Omov zakon vrijedi i za drugacije oblike provodnika od pravolinijskog homogenog provodnika (krivolinijski provodnik). Ovaj zakon vrijedi i u slucaju tzv. provodnih tijela cija je specificna otpomost mnogo veea od specificne otpomosti spojnih provodnika koji vezuju otpomo tijelo na njegovim krajevima. Element koji se sastoji od otpomog tijela i dva dobro provo dna prikljucka (spojnih prikljucaka) naziva se otpomik koga karakterise otpomost R.

    2.42. lacina struje kroz otpomik prikazan na slici 2.42 U odnosu na naznaceni referentni smjer je I=-3[A]. Odrediti napon izmedu prikljucaka otpomika, ako je R=l O[Q].

    I~ U=Vj-V2 ~I R Vj [] V 2 &

    2 -:::

    I ~

    slika 2.42

    Rjesenje:

    Prema Omovom zakonu je: U=RI=-24[V].

    Jednosmjerne struje 55

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    ~~ osnovu o:.oga, moze se zakljuciti da je kraj otpornika oznacen sa 2 na visem potencljalu od njegovog kraja oznacenog sa 1.

    2.43. Za dio kola prikazan na slici 2.43 izvesti lzraz za napon izmedu tacaka 1 i 2.

    E2 R2 I 41~ slika 2.43

    Rjesenje:

    Referent~i s~jer str~je u bilo kojoj grani kola moze se odabrati proizvoljno. Odabram sm!er s.truje na slici 2.43 podudara se sa pozitivnim smjerom struje pre.ma usvoJe?oJ konvenciji (fizicki smjer elektricne struje suprotan je

    sm~eru kret~Ja elektrona provodnosti kroz metalne provodnike, odnosno smJeru kretanJa pozitivnihjona U elektrolitima). Primjenom Omovog zakona na kolo sa slike 2.43 moguce Je odrediti potencijalnu razliku izmedu tacaka 1 i 2 kao:

    ~2=~-~=~-~+~-~+~-~+~-~, U l2 =: U l3 + U 34 + U 45 + U 52

    Za ?dabrani referentni smjer struje i smjer kretanja od tacke 1 ka tacki 2, doblJa se:

    U I2 =-EI +R II-E2 +R 2I=(R J +R2)I-(EI +E2), odnosno,

    2 2 U I2 = L.RI- L.E.

    I

    Na o~novu prethodnog razmatranja. moguce je posljednji korzstztz ga za izracunavanje potencijalne razlike izmeau tacke a i b elektricnog kola: .

    b b

    Uab = L.RI- L.E. a a

    izraz uopstiti i bilo koje dvije

    56 Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpornici

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    U primjeni navedenog izraza mora se pridrzavati pravila za odreaivanje algebarskog znaka pojedinih Clanova sume. Ako se smjer kretanja (a~b)

    b podudara sa odabranim smjerom struje onda se Clanovi sume L. RI

    a

    uzimaju sa pozitivnim predznakom, u protivnom predznak je negativan. b

    Pozitivan predznak Clanova sume L. E uzima se ukoliko se smjer djelovanja a

    elektromotornih sila podudara sa smjerom kretanja (a~b), u protivnom predznak je negativan.

    2.44. Generator elektromotorne sile E=20[V], zanemarljive unutrasnje otpornosti, i otpomici otpomosti R1=2[Q], R2=3[Q] i R3=5[Q] vezani su preko spojnih vodova (zanemarljive otpomosti u odnosu na otpornosti otpomika), kao na slici 2.44. Odrediti napone na krajevima otpornika i elektricnu snagu koje se na njima pretvara u toplotu usljed Dzulovog efekta.

    It U j 1>1 I I

    E } I U3 tl

    slika 2.44

    Rjesenje:

    Na slici 2.44 je prikazano zatvoreno elektricno kolo. Duz zatvorenog kola Iinijski integral vektora jacine elektricnag polja mora biti jednak nuli. Napon izmedu tacaka moze se izraziti preko (nepoznate) jacine struj'e kroz kola j poznatih vrijednosti elektromotome sile i otpornosti u kolu. Zbog toga nije potrebno poznavati tacnu raspodjelu polja u okolini elemenata kola. Na osnovu prethadno navedenog moguce je pisati:

    Jednosmjerne struje 57

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka .~---

    fEctl = LE- LRI=O, c

    odnosno:

    odakle se odreduje nepoznatajacina struje:

    Napon! na pojedinim otpomicima su:

    U 2 :::R 2I=6[V], U ::: 3 ::: 10 [V].

    Elektricna snaga otpornikaje:

    2A5.

    58

    =12

    =20

    Data je elektricno kolo u kojem je povezano vIse generatora elektromotome sile E], Ez i EJ-j otpornika, prikazano na slici 2.45. Ako su poznate vrijednosti elektromotome sHe E 1=IQ[Vl, E2=20rV] i EJ=5[V] i otpomosti otpomika R1~[QJ, R2=4[Q], R3=3[Q] i

    odrediti struju u elektricnom kolu.

    slika 2.45

    Potencijal i napon. Omov zakOll. Elementi elektricnih kola - otpornici

    ....

    OSNOVl ELEKTROTEHNlKE Zbirka zadataka

    Rjdcnje:

    Neka je pretpostavijeni smjer struje I u elektricnom kolu prikazan na slici 2.45. lacina stmje u elektricnom kolu jednakaje po Omovom zakonu:

    Ako se smJer dijelovanja elektromotorne sile (od mimis pol a ka plus polu generatora) poklapa sa referentnim smjerom struje onda se predznak elektEomotome siJe u algebarskoj sumi uzima pozitivan, u suprotnom predznak je negativan.

    U kolu na slici 2.45 moguce je uociti da se smjer elektromotomih sib El i E3 poklapa, a smjer el.ektromotome sile E2 ne poldapa sa referentnim (naznacenim) smjerom struje I, paje:

    Dobijeni negativan rezultat ukazuje na cinjenicu da je stvami smjer suprotan od referentnog, prikazanog fla slici 2.45.

    2.46. Za elektricno kolo prikazano na slici 2.46 poznate su vrijednosti elektromotome sHe generatora E1:::1O[V] i E2=20[V] i otpomosti Rgl=Rg2==l[Q), R 1:::2[Q], R2=4[Q] i R3=2[Q]. Odrediti potencijal izmedu tacaka D i B.

    slika 2.46

    k..dnoslJlJerne struje 59

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zhirkazadataka

    Rjescnje:

    U odnosu na odabrani referentni smjer, jacina struje u elektricnom kolu je:

    J,ieka je referentna tacka u kolu tacka A sa potencijalom :V A=[O], potencijali ostalih tacaka U odnosu na potencijal tacKe A su:

    VB =-Rg,I - (- E])= 11 [V], '\/- - -"R "if - R I c - '~l'- -LgJ '. + = 13 [V],

    =-R -E2 -

    =-6 [vl - P I - - "1. [V1 - -'3 - '-' J-

    h:jednacina potencUaia moze se odrediti Hapon izmedu bilo koje ~ je tra.zeni napon izmedu tacaka D i B:

    Na 0snvvu dobijenog rezultata mogu6e je zakUuci;i da je tacka B na vis~il1 potenciJalu od tacke D za 17[V]. - - .

    rezultat bio UDB= +17[Vl., u tom slucaju bi potencija! tacke D bio za visi od tacke B.

    !iapon 'izmedu tacaka D i B moze se odrediti kao:

    , . B B U

    D-

    B :-:: I')' RI - o\, , E}' = 0, RI _ V E

    . . \.-d .LJ od D do B ...1 .LJ?, J) D

    iii

    Potencija! i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola -- otpornici

    OSNOV! ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ----_. __ ... _._ .. _._. --------------.-_._ .. _--_ ... __ ._- :.:::,.,--------

    2.47,

    D

    U DB == = LE RI. B IJ

    Za elektricno kolo prikazano na sliyi 2.47 odrediti napone izmedu krajeva svih' elemenata snage . svih generatora. f'ozll.ate su vriiednosti elektromotornih sila E 1=1O[V], E2=24[V], E3=30[V], E4:40lVJ i otpornosti Rg!=Rg2=Rg3=Rg4=l[Ql, RI=5[Q], R2=3[Q], R3=8[Q], Rt=4[Q].

    , stika

    no. slici 2.470 .lacina u

    i=

    ...

    Napon na elemenata kola

    I =11

    Dsc :.:;;: I:=: :--5 "-:'

    Jecinosmjerne stmje

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    UC)) :;;.: Rg2 1-(--Ez)= 23 [V], U DE = 1=-3[V],

    U FE = -Rg3 I - (- E 3 )=31 [V],

    UFO =Rg4I:-(-EJ=39 [V],

    Snage generatora su:

    PEl ::::U~AI=EII-Rgl =-U[W], =UcDI=E2I+Rg2e =-23 [w],

    =-31[W],

    2.48. Za elektricno kolo prikazano lla slid 2.48 odrediti napon !JAB.

    62

    Poznate su vrijednosti elektromotomih sila Ej=lOlVl E2=15[V], E3=15[V], E4=20[V] otpornosti Rgj=Rg2=Rg3=Rg4=O,l[Ql, Rl=4,6[Q] i Rz::::5[Q].

    slika 2.48

    Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpo~nici

    ____ . __ . __ ._(]_S_NQYL_E_L_EJ

  • OSNOV! ELEKTROTEHNIKE Zbirfw zadataka

    2.50. Na slici 2.50 je prikazan dio elektricnog koia. Poznate su vrijednosti e!ektromotornih sila E j ",12[VJ, E2==7[V] i otpomosti Ri=2[Q), R3 =1,8[Q}. Takoae su izmjerene vrijednosti napona UAB=14[Vj i Usc=4[Vj. Odrediti sve struje prikazanog dijela elektricnog kola.

    slika 2.50

    Rjcsenje: Instrument za mjerenje napona, voltmetar, ODorn elektrienog kola se potencijaina razlika ieli instrument karakterise velika otpomo:;! mjemog svitka (reda kako hi se stfuja kroz njega svela na sto manju vrijednost. U zadacima 6e se najcesce razmatrati teoretski kada otporno51 vo!tmetra tezi beskonacno velikoj vrijednosti Napon izrnedu tacaka Ai B je flap on koji pokazuje voltmetar

    U AS == A

    Rl- E=Rllj+E!, A

    paje jaCina struje [I:'

    I I

    izrnedu tacaka i Cje napon

    RI-- + 13

    odakle se ~zracunava struja 12:

    voltmetar

    .llznoSl:

    ! lznOS1:

    64 Potencijal i napon. Omov zakon. Clementi eiektricnih kola - otpornici

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    izmedu tacaka A i C je: c c

    U . = ~'RI- ~E= AC -1 L =U AS + USC'

    A A

    -:.=--=-::::10

    evor A:

    evor fJ:

    cvorove

    evor C:

    B C, moguce je

    h-I3+k::O, 16=h-h=8,5

    2.5 L U elektricnom kolu na slid 2.51 poznato je: 1'=40[V], ~=75[V],

    Za tacku V 1=0[VI

    lednosmjeme struje

    R2=400[Q], R3==450[~2]. Nacrtati potencijaini kolo kada je:

    tlzetj tacku smatrati da je

    slika 2.51

  • ________ O.:...;;:.SN--'O,_V_I...cE_L--.:.EKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    UeD =R g)--(-Ez)=23 [V],

    UDE :::: J=-3[V], U FE ::::-R g3 I-(-E3 )=31[V),

    U po =R g4 I:-(-E4 )=39 [V],

    U :::: R I = -8l'V] GH 3 ' U HA = I =-4 [V]

    Snage generatora su;

    -'U 1-'-' T-'-R -,-2 - 23[W] - CD A - '2-" g2 1 - - ,

    2,48. Za elektricno kolo prikazano na slid 2.48 odrediti napon !JAB.

    62

    Poznate su vrijednosti elektromotomih sila EJ=lO[V]. Ez=15[Vl, E3=15[V], E4==20[V] otpornosti Rgl==Rg2=Rg3=Rg4=O,1[Q], R!=4,6[Q] i Rz:::;5[Q],

    slika 2.48

    PotencijaI i napon, Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpornici

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Rjesenje:

    Za usvojeni smjer,jacina struje i u elektricnom kolujednakaje:

    Napon izmedu tacaka A i B je: 13 B

    U AB == LRI- LE:=-Rg4I-R)+E4 =14,9 [V], A A

    iii

    2,49, Ako se pretpostavi da je jednacina za napon izmedu dvije tacke A i B u elektricnom koln:

    U AB == () RI + '" E) . ill U AB = {)i E + ~ LJ oaAdoB \L.; BdoA ~ kakva bi u tom slucaju bila konvencija 0 predznacima za clanove E i Rl?

    U slucaju da se napon izmedu dvije tacke u elektricnom kolu racuna pomo6u jednacine:

    DAB = L:\

    + EI lodAdoB ~

    tada bi eJektromotorna sila E koja ulazi u sumu sa predzl1akom imaJa referentni srnjer suprotan smjeru obilaskakonture. Negativan predznak bio bi u slucaju da su smjerovi isti. Clan RI ulazi U SUl11U sa pozitivnim predznakom, aka se smjer obiiaska konture poklapa sa referentnim srnjerom struje, a sa negativnim predznakom ako su ovi smjerovi suprotni. Za sluca,j aa se napon izmedu dvije tacke A i B u elektricnom kolu raCllna pomocu jednacine:

    U AB := (2':E+ L:RILsdoA ' prethodni odgovori gJasili bi obmuto.

    Jednosmjerne struje 63

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    2.50. Na slid 2.50 je prikazan dio elektricnog koia. Poznate su vrijednosti elektromotomih sila E2=7[VI i otpornosti R2=2[Q], R3 =1,8[Q}. Takode su izrnjerene vrijednosti napana UAll=14[YJ iUBc=4-lVl. Odrediti sve struje prikazanog dijela e!ektricnog kola.

    slika 2.50

    Instrument za mjerenje napana, voitmetar, uvijek se prikljucuje onam dijehl elektricnog kola se patencijalna razlika ieli instrument karakterise velika atpomost kako hi se struja kroz njega svela na sto najces6e razmatrati teoretski kada velikoj vrijednosti (Rv--joo). Napon izmedu tacaka A i B je napon

    U AB = RI-A A

    pa je .lacina struje r I: .

    tacaka i (~ je napon

    U IlC = ::::: -R 212 + Il

    odakie se izracunava struja 12:

    svitka (reda kQ vrijednost U zadacima 6e se

    voltmetra tezi beskonacno

    voltmetar V! j iznosi:

    . voItmetar llznOSl:

    Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpornici

    OSNOV! ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ----~-.-.-.---~ .. -.. --.~ -----.. ----.-,---.. -.. ----~------~--..

    izmeau tacaka A i C je:

    U AC =

    struja

    , U AB + U BC = 1.0 1} = . R}

    Kirhofov zakon na cvorove Ii C, rnoguce je

    evor A:

    cvor B:

    cvor C: h-hi--16=O, lG=:::I3-h:::8,5 [AJ.

    2.51. U elektricnom kolu na slid 2.51 poznato je: Er=40lV], E2=75[V], E3=25[V], RI=lSO[Q], Rz=400[Q), R3=4S0[2]. Nacrtati potencijaini dijagram za kolo karla a) otvoren,

    zatvoren. tlzeti tacku I smatrati da je

    slika 2.51

    Jednosmjerne stn~je

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    RJesenje:

    Da bi bilo moguce nacrtati potencijalni dijagram potrebno je odrediti razliku potencijala izmeau pojedinih tacaka elektricnog kola, koristeci izraz:

    a a

    a) U siucaju kada je prekidac P otvoren u kolu nema proticanja struje (I=O[AD Napon izmedu tacaka 1 i 2 moguce je odrediti iii pomocu raziike potencijala:

    ill koristeci izraz za napon izmedu dvije tacke: 2 2

    U I2 = LRI- LE=R j .O-O=O[V].

    Izjednacavajuci posljednja dva izraza dobija se:

    0- =0 => V2 =0 [V].

    lzmedu tacaka 2 i 3 nalazi se sarno naponski izvor elektromotorne sile E\, ciji se smjer djelovanja poklapa sa smjerom kretanja (2--)-3), pa je:

    3 3 Un = V2 - V3 == "L R1 - "LE=O-E, ==-E j .

    2 2

    Kako je potencijal tacke 2 poznat (V 2=O[Vl), slijedi da jc:

    0- = -E ~,~V - H - LiO fv1 l~ 3-"'-'1-' L J.

    lzmedu tacaka 3 i 4 u kolu se nalazi samo olpornik. proticill\ja struje, pa je:

    4

    = )'RI-k..d

    odnosno,

    kroz koji nema

    66 PotencijaJ i napon. Omov zakOD. Elementi elektricnih kola - otpornici

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ---------------------.--.--------.------------------

    Smjer djelovanja naponskog izvora elektromotome sile Ez se ne poklapa sa smjcrom kretanja od tackc 4 ka tacki 5, paje:

    5 5 U45 == V4 - Vs == "L Rl - "LE ==O-(-E2 )== E2 '

    4 4

    odnosno,

    151:0 objasnjenjc moguce je primjeniti pn odredivanju napona izmedu tacaka 5 i 6.

    6 6 U S6 == Vs - V6 = "LRI - "LE=O-(- E3 )=

    5 5

    Konacno, moguce zakljuciti da je potencijal tacaka 6 i 7 isti, jer ne postoji u kolt! i ne postoji izvor napona u posmatranom djelu kola.

    0-0 = 0 [V],

    -60- =V6 =-60[V).

    Na slici 2.5J.a prikazan potencijalni dijagram za slucaj otvorenog P. Potencijaini dijagram prcdstavlja zavisnost potencijala tacaka

    elektricnog kola u_ zavisnosti od otpomosti, a pocinje se crtati od tacke feicrentnog potencijala, tacke 1 (VJ=OlVD koja se nalazi i ishodistu koordjnatnog sistema. Na dijelu kola od tacke 1 do tacke 2 nalazi se otpornik

    RI=150[~J, te je potrebno tacku 2 pomjeriti po apcisnoj osi za otpornika U odgovar

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Konacno, tacka 7 nalazi se nllc istoj visini kao i tacka 6, 6 i tacke 7 isti (V6=V7==:.-60 (V]), ali je pomjerena otpornosti otpornika R3 U odgovarajucoj razmjeri.

    V[VJ i 40~ ____ ~ ______ ~ ______ ~4

    potencijal tacke za vrijednost

    R [12J --$--~-------l------.--------i

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    v [v] J;.

    49

    R[Q] -2

    -27~~----------------------~ I}

    + slika 2.51.c

    2.52. Otpomici otpornosti Ol.!:ij, R2'=20[Q] i RJ=30[Q] vezani su: a) serijski, b) paralelno, c) kombinovano (mjeSovito). Odrediti vrijednost otpornosti ekvivalentnog otpornika izmedu tacaka AiR

    Rjesenjc:

    Svi elementi elektricnog kola imaju otporno::;t, zavisno od dimenzija i materijala oJ' kojeg su nacinjeni. Nekada SlJ potrebni takvi da im vrijednost s10 manja, a nekada veea, kao llPr. kod transformacije elektricne energije u toplotnuo Element! elektricnog kola, kqji lJ kolo treba da unesu odredenu otpomost i koja je velika U odnosu na otpornost veza i l,n""",,'>1'~ te unutrasnju otpomOSi naponskog generatora nazivaju se otpornicL Otpornici predstavljaju elemente elektricnog kola cUa je karakteristika elektricna R. lznos eiektricne otpornosti zavisi od materijala od -

    izraden otpomik, njegovih dimenzija, oblika i vrste izvedbe. U prakticnim primjenama, zbog razlicitih razloga, otpornici se vczuju u slozenije veze. Najjednostavnije, ali i najvaznije takve veze su serijska iii

    70 Potencijal i napon. Omov elektricnih kola - otpornici

    ________ O_SNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka.::::za=d:::.::a=ta=:.k=a'---____ _

    [edna, paralelna i mjesovita. Svaka slozena grupa otpornika koja se posmatra izmedu dvije tacke elektricnog kola moze se zamijeniti jednim ekvivalentnim otpornikom postavljel1imizmedu iste dvije tacke kola. Zamjel1a grupe otpornika, koji se medusobno nalaze u razlicitim vezama, jednim ekvivalentnim otpornikom vrsi se uz uslov ekvivalencije. Uslov ekvivalencije podrazumjeva da kroz krajnje dvije tacke i cijele grupe otpomika i ekvivalentnog otpornika protice struja istog intenziteta pri istoj potencijatnoj razlici tih tacaka. To zl1aci da zamjen~ nekog dijeJa elektricnog kola jednim ekvivalentnim otpomikom ne smije poremetiti energetsko stanje u dijelu elektricnog kola koje nije obuhvaceno zamjenom.

    a) Serijsku vezu otpornika cini grupa otpornika kod kojih je "kraj" prvog otpornika vezan na "pocetak" drugog, "kraj" drugog vezan na "pocetak" treceg, itd. Grupa od n otpomika vezanih u seriju prikazana je na slid 2.52.

    slika 2.52

    Kad ovako vezani otpomici cine dio zatvorenog elektricnog kola ocigledno primjenom prvog Kirhofovog zakona, da je jacina elektricne struje kroz

    sve otpornike ista. Prema tome, serijsku vezu otpornika karakterise ista jaCina struje lo'oz sve otpornike. Ukupni napon na krajevima serijske veze DAB jednak je sumi napona na pojedlnim otpornicima,

    U AB =Uj +

    Primjenom Omovog zakona dobija se:

    U AB = + )1. Grupa .otpornika u serijskoj vezi izmedu tacaka A i B moze se zamijeniti jednim otpomikom ekvivalentne otpomosti Rc (slika 2.52.a), pa je napon izmedu istih tacaka Ai B:

    U All = Re I.

    Jednosmjerne struje 71

  • R I A ~ B I

    ----r- L-J--~

    1 + UAB I

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    II R! r+-o-R2

    A B U3 R3 I ~ ~--LJ UAB I sUka 2.52.d

    tri ramielno vezana otpomika (slika 2.52.d), reciprocna vrijednost ekvi valentnog otpornika je:

    60 11

    samo serijske iIi samo paralelne veze, u praksi je veoma slucaj. se susrece kombinovani (mjesoviti) nacin

    U tom slucaju potrebno je e1ektricno kolo rjesavati po segmentima koji predstavljaju serijsku jli paraielnu Vezanu otpornika.

    slika 2.52.e

    Za vezu otpomika prikazanu na slid 2.52.e, otPOfllici R2 i R3 vezani su paralelno, pa je ekvivalentna otpomost ova dva para1elno vezana

    Potencijal i napon. Ornov zakoH. Elementi elektricnih kola -- otpomici

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Zamjenom paraJelne veze otpornika jednim olpomikom ekvivalentne otpomosti Rei' izmedu tacaka A i B ostaje serijska veza otpornika RI i" Rei (slika 2.52j).

    slika 2.52j

    Konacno, ekvivalentna otpomost izmedu tacaka A i B je:

    2.53. PrilT!ienom Omovog zakona odrediti ukupnu struju I u ko!u sa slike 2.53. Pozna to je: EI=lO[V], E2=40(V], R 1=3[Q], R2=4[Q], R3=60[,QJ, R4=12[QI, Rs=6[Qj, R6=30[Qj.

    slika 2.53

    Jednosmjeme struje

  • OSNOV! ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ----------~~~~=

    zakona za kola slol.ene konfiguracije podrazumijeva da se postupkom el.ektricno kola svede na presto kolo koje sadrzi same jedan izvor i jedan potrosae. Otpomici otpornosti otjDO.m()st iznosi:

    vezani SB paralelno, pa ekvivalentna

    -.-"'--2.- = 10

    R

    slika 2.53.u

    Na slid 2.53.h prikazan je ekvivalentni cija otpornost iznosi:

    =20

    slika 2.53.b

    veze otpornika

    slika 2.53.c

    16 Potencijal i napon. Omov zakon. E!ementi elektricnih kola - otpornici

    ELEKTROTEHN1KE

    Ekvivalentni otpomik otpomosti ie je

    e = R 1 + R 02 == 15

    i=l

    U elektricnom kolu sa slikc 2.53.c

    vezani su

    sve eiernente kao i idealni

    elektromotomom silom EJ

    IZVOTa

    generatonl n reano vezanih sUfni eiektrOlTIotornih sila svih n izvora

    one eleklromotorne

    elektrom.otoma sila

    + =-10+40=;

    F'rosto cicktricno Icoiu H,

  • OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Kroz kolo prikazano na sliei 2.53.d protice struja jacine I sa naznacenim referentnim smjerom (od tacke viseg ka tacki nizeg potencijala). Po Omovom zakonu napon je jednak proizvodu struje I i otpornosti otpornika Rc (U=IRe). Napon na krajevima ekvivalentnog otpornika jednak je elektromotomoj sili ekvivalentnog generatora (U==Ec), sto omogucava izracunavanje ukupne struje u kolll primjenom Omovog zakona:

    2.54. Odrediti pokazivanje ampermetra u kolu na slici 2.54, ukoliko je njegova unutrasnja otpomost jednaka nuli. Poznato je: E=12[V], R,=5, I[Q], R2=40[Q], R3=18(Q], R04=R5=30[Q].

    4

    3

    s!ika 2.54

    R,icscnjc:

    Svako slozeno e!ektricno kolo sastoji se od cvorova i grana. evor predstavlja dio kola u kome se sticu tri i vise gram"). Granaje dio kola izmedu dva cvora u kojoj se nalaze clementi elektricnog kola.

    Prema uslovu zadatka, unutrasnja otpornost ampermetra jednaka je nuE, pa se kolo sa slike 2.54 moze predstaviti kao kolo na slici 2.54.a, posto su cvoroV! 3 i 4 na istam potencijalu.

    78 Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpomici

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirlw zadataka

    4 == 3

    slika 2.54.a

    Elektricno kolo sa slike 2.54 moze se po~)tupkom ekvivalencije svesti na jednostavnije kola prikazano nil sliei 2.54.h. Otpomici otpornosti R3 i vezani Sll paralelno, pa njihova ekvivalentna otpomost izn08i:

    --=--"- = 11,25 [Q].

    lzmedu cvora I j cvora 3(4) u jednoj grani nalazi se samo otpornik R4, a u drugoj grani je serijska veza otpornika R2 i R35 , pa otpornost ekvivalentnog otpomika te paralelne veze iznosi:

    Kalo sa ekvivalentnim otpomikom otpornosti prikazano na slid 2.54.c.

    Jednosmjerne struje

  • OSNOV! ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka -----~.

    s(ika 2.54.c

    'LH,Ull"" otpornost kola

    Omovog zakona moguce je odrediti

    na olpomosti ReI (sli!w

    pa su po pojedinim granama paraielne veze

    .. _ U31 _[)~'5IrAl ~4 --R -v,jL .. '." 4

    Napon na ekviva!entnom otpomiku otpornosti

    pa ce kroz gram! sa

    struju 11 ko!u kao:

    iznositi:

    prvog evor 4:,

    OSNOV! ELEKTROTEflNIKE Zbirka zadataka

    Prj ozna,':avanju napona i sfruja potrebnoje voditi racuna 0 slijedecem: ako se u indeksu napona nalaze dvije oznake, na primjer U ab, to znaCi da je lacka a lacka visegpotencijala:

    Aka se u indeksu struje nalaze dvije omake (lab) to znaGi da struja teee od tacke a ka tacki b.

    2.55. La e!ektricna kola pI'ikazana na slikama 2.5S.a, 2.SS.b, 2.SS.e 2.55.d odrediti: a) nepoznate napone i struje na potrosaclI, b) izvrsiti transformaciju generatora. Poznato je: E=J.20[V], Is=l[A], Rg=20[12], R,=60(12], Rp=40r12J.

    slika 2.55.a slika 2.55,c

    p

    slika 2.55.d slika .2.55.b

  • ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ------.--.---=~..:...::::.=~:..:::::..::.::;=::.:..:.::.:~:.:::..::::===i_---------------

    Rjesenje:

    a) Na slici 2. 55. a - 2.55.d prikazani su idealni naponski enerator, realni naponski generator, idealni strujni generator i realni s rujni generator, respektivno.

    Idealni naponski generator (slilw 2.55. a) je generator kod k a je unulrasnja otpornost zanemarivo mala (Rg-fO), pa se sematski i ne pre stqvlja, a napon na njegovim stezaljkama odgovara elektromoLornqi sili gen ratora (U12=E). Dakle, napon fla krajevima potrosaca odgovara naponu na stezaljkama generatora Up=U12=120[V], a struja kroz potrosae U Kolu n slici 2.55.a po Omovom zakonu je:

    U opstem slucaju realni naponski generator se sematski pr kazuje rednom vezom gencratora elektromotorne slle E i unutrasnje otpor osti (slika 2.55.b). Ako na krajevima generatora prikUucen potrosa u kolu se uspostavlja struja jacine l. Na krajevima generatora u tom SiuCklju potencijalna razlika, odnosno napon Ul2, koji se, clektromotornu silu E, razlikuje za napon na unutrasnjoj Dakle, napon na krajevima generatora koji je ujedno i napon na moze se izraziti kao:

    2 2

    U l2 = LRI - LE = E- RgI, I 1

    odnosno kao:

    Na osnovu prcthodna dva izraza moguce je izvesti Izmz za odnosno struju kroz potrosac:

    E 1=11' =----=2

    pa Hapon n3 potrosacl! ima

    U::::: =80 p J.

    u koiu,

    82 Potencijal i napan. Omov zakon_ Elementi eiektricnih kola - oipornici

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    Idealni strujni generator (stika 2. 55. c) je generator cija unutrasnja otpornost ima izrazito veliku vrijcdnost (Rs-foo), pa je jedina karakteristika

    ideainog strujnog generatora njegova struja Is. Struja u koJu, a time i kroz potrosac, jednaka je struji strujnog generatora, I=Ip=Is=l[A], a napon na steza!jkama potrosaca iznosi:

    Ako strujni generator pored slmje Is 1ma i unutrasnju otpomost R" vezanu paralelno sa generatorom (slika 2.55.d), onda takav sistem predstavlja realni strujni generator. U tom slueaju moguce je izvesti slijedece zakonitosti:

    u. U," Rp + Rs I =1 +J =,_1_2+_~=U . S . 1 -1' 12 R R

    p s

    iJ = p

    -I j.

    Transformacija idealnog naponskog generatora i idealnog strujnog generatora ne moze S0 llspostayiti, jer Sll po definiciji razliciti_ IdeaJni naponski generator odriava na syojim krajevima staJan napon, bez obzira na vrijednost struje koja se u njemu uspostavJja, dole idealni strujni generator odrzava konstantnll strllju, bez obzira na uspostavljeni napon na njegovim krajevima. .

    Da bi se izvrsila transformacija realnog napollskog generatora (stika 2.55_b) u realni strujni generator (slika 2.55.d), potrebno je da unutrasnja otpornost strujnog generatora bude jednaka lInlitrasnjoj otpornosLi naponskog generatora i cia je struja strujnog generatora jednaka kolicniku elektromotome sile i unutrasnje otpornosti naponskog generatora, odnosno:

    E 1=-S R

    g

    Jednosmjerne struje 83

  • OSNOV! ELEKTROTEHNJKE Zbirka zarlafaka

    Dakle, realni naponski generator sa slike 2.55.b moguce zamjeniti realnim

  • OSNOVI ELEKTROTElfNIKE Zbirka zadataka

    RS

    Rs2

    siilca 2.56.c

    -cJ--

    '"'8-J slika 2.56.d ..

    Koristeci izraze za transi()flnaciju naponskih u strujne generatore, kolo sa slilce 2.56.c transformise se II kolo nn slici sa karaktc-risticnirn vrijednostima strujnih generatora:

    =9 RS2 =

    E I"" =~ = -21,t mAl, Rl2 .

    E 3 R34

    Dva paralelrio vezana realna strujna generatora moguce je zamjeniti samo sa jednim realnirn strujnim generatorom (slika 2.56.e) cije su vrijednosti:

    = 23,3 [rnA],

    ....

    86 Potencijal i napon. Omov zakol1. Elementi elektricnih kola - otpornici

    OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

    I Sc

    RS_J "-----i

    slika 2.56.f siika 2.56.e

    Daljnjom transformacijom (slika 2.56.fJ dobija se:

    E = R I == 139 8 [V] e SeSe' ,

    Re = Rsc = 6 [kw],

    struja u grani sa otpornikom R5:

    2.57. Koriste6i Omov i prvi Kirhofov zakon odrediti nepoznate struje u elektricnom kolu na slici 2.57. Kolika je vrijednost elektromotorne sile naponskog generatora? Poznato je: 13=20[A], 15=1O[AJ, R 1=R2=O,5[Q], R3=R5=1O[Q],

    ~:::R6=5[Q].

    slika 2.57

    Jednosmjerne struje

  • napon:

    Cyot 2:

    c'Vor 3:

    OSNOVl ELEKTROTEHNIKE Zbirka wdataka

    kroz stvara na krajevima

    sa otpomikom otpornosti 3to znai~i da kroz granu sa

    na evor 2 evor 3 omogucava Izracunavanje kao:

    ~(irhofov zakon raora biti

    --50+ 20+ 10+ 20:::7;; O.

    na

    tJ lJ =-c R 311 "" 200 odnosno:

    -l-i I

    da se odredi eiektrornotorna siJa

    Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi eJektricnih kola - otpornici

    2.58. stfujnog u a zalim odredili instrumenata u kolu. Poznato E 1=6[V],

    E] , (V) ". .~ 6 1 1 . lZJ ----C::.J- .~-----l T

    8

    slika 2.58

    U kolu ria slici 2.58 prikljucen izmedu tacaka A ce pokazivati razliku potencijala te odnosno

    se ima na paralelnoj vezi stnuu koja protice kroz granu sa oipomikom

    KarakteristiCne vrijecinosti naponskog txansfofInacije strujnog generalora, su:

    K.= .) ==16 [VI, .,

    t"Ja