Embed Size (px)
Citation preview
ELEKTROKINETIKA (STALNE STRUJE)
1. ELEKTRIČNA STRUJA ...................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.1. OSNOVNI POJMOVI ............................................................................................................................................................................................................................... 4
PROVODNIK BEZ PRISUSTVA ELEKTRIČNOG POLJA ................................................................................................................................................................................... 4
PROVODNIK U STRANOM ELEKTRIČNOM POLJU ....................................................................................................................................................................................... 5
1.2. STACIONARNO ELEKTRIČNO POLJE I STACIONARNA ELEKTRIČNA STRUJA .......................................................................................................................................... 6
1.2.1. STACIONARNA RASPODELA NAELEKTRISANJA .............................................................................................................................................................................. 8
1.2.2. STACIONARNO ELEKTRIČNO POLJE ................................................................................................................................................................................................ 9
1.2.3. STACIONARNA ELEKTRIČNA STRUJA I STRUJNO POLJE ............................................................................................................................................................... 10
1.3. JAČINA I SMER ELEKTRIČNE STRUJE .................................................................................................................................................................................................... 11
1.4. VEKTOR GUSTINE STRUJE .................................................................................................................................................................................................................... 13
1.4.1. DEFINICIJA VEKTORA GUSTINE STRUJE ........................................................................................................................................................................................ 13
1.4.2. VEZA IZMEĐU VEKTORA GUSTINE STRUJE I SREDNJE BRZINE NOSILACA NAELEKTRISANJA ....................................................................................................... 16
1.5. JEDNAČINA KONTINUITETA; I KIRHOFOV ZAKON ................................................................................................................................................................................ 18
2. OMOV ZAKON, ELEKTRIČNA OTPORNOST ................................................................................................................................................................................................... 21
2.1. OMOV ZAKON ...................................................................................................................................................................................................................................... 21
2.2. OZNAČAVANJE I REFERENTNI SMER NAPONA NA OTPORNIKU .......................................................................................................................................................... 23
2.3. PROMENA OTPORNOSTI SA TEMPERATUROM ................................................................................................................................................................................... 25
3. DŽULOV ZAKON ........................................................................................................................................................................................................................................... 26
3.1. RAD I SNAGA NA OTPORNIKU .............................................................................................................................................................................................................. 27
4. VEZIVANJE OTPORNIKA; MERENJE OTPORNOSTI .................................................................................................................................................................................. 29
4.1. REDNA VEZA OTPORNIKA .................................................................................................................................................................................................................... 30
4.2. PARALELNA VEZA OTPORNIKA............................................................................................................................................................................................................. 31
5. ELEKTRIČNI GENERATOR I PROSTO ELEKTRIČNO KOLO ......................................................................................................................................................................... 32
5.1. ANALIZA GENERATORA U PRAZNOM HODU ....................................................................................................................................................................................... 33
5.1.1. STRANO POLJE U GENERATORU .................................................................................................................................................................................................. 35
5.1.2. ANALIZA GENERATORA U PRAZNOM HODU PREKO POLJA ......................................................................................................................................................... 36
5.2. ANALIZA GENERATORA U NOMINALNOM REŽIMU RADA................................................................................................................................................................... 37
5.3. ELEKTROMOTORNA SILA GENERATORA .............................................................................................................................................................................................. 39
5.4. UNUTRAŠNJA OTPORNOST GENERATORA .......................................................................................................................................................................................... 43
5.5. KOLA SA JEDNIM GENERATOROM I JEDNIM OTPORNIKOM .............................................................................................................................................................. 44
5.5.1. SPOLJAŠNJA KARAKTERISTIKA GENERATORA .............................................................................................................................................................................. 45
5.5.2. SNAGA GENERATORA .................................................................................................................................................................................................................. 46
5.5.3. STEPEN KORISNOG DEJSTVA GENERATORA I PRILAGOĐENJE POTROŠAČA NA GENERATOR ..................................................................................................... 48
5.6. PROSTO KOLO SA VEĆIM BROJEM GENERATORA I OTPORNIKA ......................................................................................................................................................... 52
6. SLOŽENA ELEKTRIČNA KOLA; II KIRHOFOV ZAKON ................................................................................................................................................................................ 54
6.1. ELEMENTI SLOŽENOG ELEKTRIČNOG KOLA ......................................................................................................................................................................................... 54
6.2. NAPON IZMEĐU TAČAKA U GRANI KOLA ............................................................................................................................................................................................ 56
6.2.1. IZRAČUNAVANJE STRUJE U GRANI KOLA ..................................................................................................................................................................................... 57
6.3. NAPON IZMEĐU DVE TAČKE U SLOŽENOM KOLU ............................................................................................................................................................................... 58
6.4. II KIRHOFOV ZAKON ............................................................................................................................................................................................................................. 60
7. METODE REŠAVANJA SLOŽENIH ELEKTRIČNIH KOLA .................................................................................................................................................................................. 62
7.1. METOD DIREKTNE PRIMENE KIRHOFOVIH ZAKONA ............................................................................................................................................................................ 62
7.2. METOD KONTURNIH STRUJA ............................................................................................................................................................................................................... 65
1. ELEKTRIČNA STRUJA 1.1. OSNOVNI POJMOVI
PROVODNIK BEZ PRISUSTVA ELEKTRIČNOG POLJA
Postoji haotično termičko kretanje slobodnih nosioca naelektrisanja
Za mali element zapremine dV važi:
srednja makroskopska brzina jednaka je nuli
0srv
Ne postoji usmereno kretanje (strujanje) naelektrisanja duž provodnika.
Q
PROVODNIK U STRANOM ELEKTRIČNOM POLJU
Posmatramo pozitivne nosioce naelektrisanja
(+Q) u stranom električnom polju E
Kretanje naelektrisanja je složeno:
kretanje pod dejstvom polja E , termičko kretanje.
srednja brzina kretanja naelektrisanja u maloj zapremini dV je različita od
nule ( 0v )
Naelektrisanja se kreću u pravcu i smeru vektora E srednjom vrzinom v .
Pod električnom strujom se podrazumeva svako uređeno kretanje naelektrisanja, bez obzira na njihovu vrstu i uzroke kretanja.
Električna struja se može obrazovati u čvrstim (elektroni), tečnim (+ i – joni) i gasovitim (elektroni i joni) sredinama.
Struje koje nastaju u čvrstim sredinama (provodnicima) pod dejstvom električnog polja nazivamo kondukcionim strujama.
1.2. STACIONARNO ELEKTRIČNO POLJE I STACIONARNA ELEKTRIČNA STRUJA
Da bi električna struja bila stacionarna (nepromenljiva u vremenu) i električno polje mora biti stacionarno.
Karakteristike stacionarnog električnog polja:
ne menja se u vremenu, postoji unutar provodnika, za razliku od električnog koje ne postoji, za održavanje stacionarnog električnog polja potrebno je stalno vršiti rad.
Hidrodinamički sistem
Da bi se u cevi 3 koja spaja dva suda 1 i 2 održavala stalna brzina tečnosti v neophodno je održavati stalnu razliku nivoa vode u sudovima.
To se može postići:
postojanjem zatvorenog puta kroz koji će strujati tečnost,
stalnim ulaganjem rada kako bi pumpa 4 prebacivala tečnost iz suda 2 u sud 1.
Električni sistem
Posmatramo napunjeni kondenzator u kome je između ploča ubačen provodni materijal.
Posle nekog vremena, elektroni sa negativne elektrode kondenzatora će preći na pozitivnu i doći će do pražnjenja kondenzatora.
Struja u provodnoj vezi između dve elektrode kondenzatora može biti stacionarna samo u slučaju kada su ispunjeni sledeći uslovi:
Provodna veza (osenčani deo u kondenzatoru) mora biti deo zatvorenog strujnog kola sačinjenog od provodnika.
U zatvorenom kolu mora postojati generator, koji nasuprot silama stacionarnog električnog polja, kontinualno prebacuje prispele elektrone sa pozitivne elektrode generatora na negativnu i time održava stalnu potencijalnu razliku između svojih priključaka.
+
+
+
+
-
- -
-
-
-
-
- + -
Generator
+
+
+
+
-
-
-
-
-
1.2.1. STACIONARNA RASPODELA NAELEKTRISANJA
Na krajevima priključenog generatora održava se stalna raspodela pokretnih naelektrisanja koju nazivamo stacionarna raspodela naelektrisanja.
Duž provodnika raspodela naelektrisanja je takođe stacionarna iako se naelektrisanje kreću duž provodnika.
Razlike i sličnosti između statičke i stacionarne raspodele naelektrisanja:
RAZLIKE I SLIČNOSTI Statička raspodela naelektrisanja
Stacionarna raspodela naelektrisanja
Kretanje naelektrisanja Nepokretna naelektrisanja
Pokretna naelektrisanja
Gustina naelektrisanja Nepromenljiva u vremenu
Nepromenljiva u vremenu
1.2.2. STACIONARNO ELEKTRIČNO POLJE
Stacionarna raspodela naelektrisanja na krajevima generatora formira stacionarno električno polje u generatoru koje se dalje prostire i kroz provodnik.
Vektor stacionarnog električnog polja istovetan je sa vektorom jačine elektrostatičkog polja koji potiče od statičkih naelektrisanja čija je gustina istovetna kao i gustina stacionarno raspodeljenih naelektrisanja.
Zbog toga i stacionarno električno polje pripada klasi konzervativnih polja.
Van generatora, na pokretljiva naelektrisanja deluju isključivo „kulonovske“ sile koje su posledica stacionarnog električnog polja.
Stacionarno električno polje neprekidno vrši rad pokrećući slobodna naelektrisanja (elektrone), pa je za njegovo održavanje potrebno stalno dovođenje energije sistemu.
+ - -
-
-
- + -
Generator
Provodnik
1.2.3. STACIONARNA ELEKTRIČNA STRUJA I STRUJNO POLJE
Pod dejstvom stacionarnog električnog polja, u zatvorenom električnom kolu uspostavlja se stacionarna električna struja.
Deo prostora u kome se pod dejstvom polja kreću pokretljiva naelektrisanja naziva se strujno polje.
Strujno polje se može predstaviti linijama polja koje nazivamo strujnice.
Linije strujnog polja imaju za tangentu srednju makroskopsku brzinu pokretljivih naelektrisanja.
+ - -
-
-
- + -
Generator
Provodnik
-
1.3. JAČINA I SMER ELEKTRIČNE STRUJE
Jačina struje je najvažnija kvantitativna karakteristika električne struje, posebno kada se radi o struji u relativno tankom provodnicima.
Jačina električne struje je orjentisana skalarna veličina , što znači da je određena svojom vrednošću i smerom.
U slučaju vremenski nepromenljivih struja:
Jačina električne struje definiše se kao količnik količine elektriciteta Q koja je
protekla kroz poprečni presek za neko vreme t i tog vremena
QI
t
U slučaju vremenski promenljivih struja jačina struje se definiše na sledeći način:
0limt
q dqi
t dt
Konvencijom usvojeno je da je fizički smer električne struje suprotan kretanju elektrona kroz provodne sredine.
Električna struja u provodnicima ima smer od tačke višeg potencijala ka tački nižeg potencijala.
U složenim električnim kolima, koja poseduju veći broj generatora veoma često se unapred ne zna fizički smer električne struje u pojedinim granama kola.
Da bi se složena kola mogla analizirati, u granama kola, potpuno proizvoljno, usvajaju se tzv. referentni smerovi struje.
Ukoliko se za neku struju dobije pozitivna vrednost onda se njen fizički smer poklapa sa usvojenim smerom.
Ukoliko se za neku struju dobije negativna vrednost onda je njen fizički smer suprotan usvojenom smeru.
Jedinica za jačinu električne struje je A (Amper).
-
1.4. VEKTOR GUSTINE STRUJE 1.4.1. DEFINICIJA VEKTORA GUSTINE STRUJE
Za preciznije opisivanje strujnog polja uvodi se nova fizička veličina koja se
naziva vektor gustine struje J .
Pravac vektora gustine struje u svakoj tački strujnog polja određen je pravcem kretanja elektrona, dok mu je smer suprotan smeru njihovog kretanja.
Vektor gustine struje J u nekoj tački strujnog polja predstavlja tangentu na liniju strujnog polja u toj tački.
Gustina linija polja proporcionalna je intenzitetu vektora gustine struje.
Strujno polje može biti homogeno i nehomogeno.
U slučaju tankih provodnika, strujno polje se smatra homogenim.
nehomogeno strujno polje
homogeno strujno polje
-
-
U homogenom strujnom polju, kada je jačina struje ravnomerno raspodeljena po normalnom poprečnom preseku provodnika nS , intenzitet
vektora gustine struje se definiše kao
n
IJ
S
U slučaju nehomogenog strujnog polja, intenzitet vektora gustine struje se definiše kao
n
dIJ
dS
gde je ndS elementarna površina upravna na pravac kretanja naelektrisanja ,
a dI jačina električne struje kroz ovu površinu.
Veza između jačine struje i vektora gustine struje
cos ( , )ndI JdS JS J dS J dS
S S
I dI JdS
Jačina električne struje kroz proizvoljnu površinu S jednaka je fluksu vektora gustine struje kroz tu površinu
S S
I dI JdS
Algebarski znak fluksa vektora gustine struje kroz neku
površinu (a samim tim i jačina struje) može biti pozitivan ili
negativan i zavisi od izbora vektora normale na površinu.
Usvojeni smer normale na površinu poprečnog preseka provodnika (tj. smer
vektora S ) automatski određuje referentni smer struje u tom provodniku.
1.4.2. VEZA IZMEĐU VEKTORA GUSTINE STRUJE I SREDNJE BRZINE NOSILACA NAELEKTRISANJA
Vektor gustine struje i srednja brzina slobodnih
nosilaca naelektrisanja su makroskopske veličine
koje opisuju strujno polje.
Između ovih veličina se može uspostaviti veza.
U vremenskom intervalu elementarno
naelektrisanje 0eQ pređe put vdt .
Broj naelektrisanja koji za dt prođe kroz površinu S jednak je ukupnom broju
naelektrisanja u zapremini Svdt :
N N V N Svdt
Protekla količina naelektrisanja kroz površinu S iznosi:
e edq NQ N Q Svdt
Jačina struje kroz poprečni presek iznosi:
e
dqi N Q Sv
dt
Gustina struje iznosi
e
iJ N Q v
S
Kako su pravac i smer vektora J i brzine v kolinearni, to za vektor gustine
struje važi sledeća vektorska zavisnost:
eJ N Q v
Ako se posmatra kretanje elektrona, onda važi:
J N ev
1.5. JEDNAČINA KONTINUITETA; I KIRHOFOV ZAKON
U nekom domenu zapremine V ograničenom zatvorenom površinom S
nalazi se količina naelektrisanja q .
U zatvorenoj površini količina naelektrisanja se menja
samo ukoliko naelektrisanja napuštaju ovaj domen ili ulaze
u njega kroz graničnu površinu S .
Protok naelektrisanja kroz graničnu površinu u toku
vremena predstavlja u stvari jačinu struje i , čija vrednost
u odnosu na usvojenu izlaznu normalu iznosi:
S
i JdS (izlazni fluks vektora J )
Pri proticanju struje u smeru izlazne normale smanjuje količina naelektrisanja
u zatvorenoj površini pa važi /i dq dt , odakle sledi
Jednačina kontinuiteta:
S
dqJdS
dt
Za stacionarno strujanje naelektrisanja važi / 0dq dt , pa jednačina
kontinuiteta glasi:
0S
JdS
Ova jednačina predstavlja I Kirhofov zakon u integralnom obliku, koji glasi
Izlazni fluks vektora gustine struje kroz zatvorenu površini S jednak je nuli.
POSLEDICE JEDNAČINE KONTINUITETA:
1. Jačina električne struje u bilo kom poprečnom preseku provodnika je ista.
Dokaz.
1 2 1 20
0
oS S S S S S
JdS JdS JdS JdS JdS JdS
2 1
2 1
2 1
S S
I I
JdS JdS I I
2. Algebarski zbir struja koje se sustiču u jednom čvoru jednak je nuli.
Pri tome struje koje ističu iz čvora (u smeru izlaze normale) uzimaju se sa
predznakom plus, a struje koje utiču u čvor sa predznakom minus.
0I
Dokaz. 1 2 3 4 0
S S S S S S
1 2 3
40
0
o
S S S S
S S
JdS JdS JdS JdS
JdS JdS
1 2 3 4 0I I I I
Druga formulacija I Kirhofovog zakona glasi:
2.a. Zbir struja koje ističu iz čvora jednak je zbiru struja koje utiču u taj čvor.
. .ist utI I
2. OMOV ZAKON, ELEKTRIČNA OTPORNOST 2.1. OMOV ZAKON
Posmatramo stacionarnu električnu struju I kroz provodnik:
I je proporcionalna sa J ( )I JS .
J je proporcionalna sa v ( )e
J N Q v .
v je proporcionalna sa E .
E je proporcionalno sa U ( )U Ed .
Omov zakon (u integralnom obliku) za stacionarnu električnu struju:
Jačina struje kroz provodnik direktno je proporcionalna naponu na njegovim
krajevima:
I GU
G je električna provodnost provodnika. Jedinica: S (Simens)
I je proporcionalna sa U kada se
temperatura održava na
konstantnu vrednost.
Električna otpornost provodnika je recipročna vrednost njegove električne
provodnosti:
1
RG
Jedinica: 1/ S (Om).
Razni oblici Omovog zakona
I GU , I
GU
, I
UG
U RI , U
RI
, U
IR
Šematsko predstavljanje električne otpornosti
Izračunavanje električne otpornosti i provodnosti provodnika
lR
S ,
SG
l ,
[ m ]- specifična električna otpornost
[ /S m ] - specifična električna provodnost l - dužina provodnika, S - površina poprečnog preseka provodnika.
2.2. OZNAČAVANJE I REFERENTNI SMER NAPONA NA OTPORNIKU
Fizički smer električne struje Električna struja u provodnicima ima smer od tačke višeg potencijala ka tački nižeg potencijala.
U složenim električnim kolima, gde se unapred ne zna fizički smer struje uvodi se tzv. referentni smer struje, koji predstavlja proizvoljno odabrani smer struje.
Analogno referentnom smeru struje, uvodimo i referentni smer napona.
Ukoliko se za napon dobije pozitivna vrednost, onda je fizički smer napona saglasan sa referentnim i obrnuto.
Moguća su dva načina označavanja napona:
referentni smerovi napona i struje su usaglašeni i referentni smerovi napona i struje nisu usaglašeni.
Za usaglašene referentne smerove napona i struje na otporniku važi sledeća relacija
U RI
Za neusaglašene referentne smerove napona i struje na otporniku važi sledeća relacija
U RI
usklaglašeni referentni smerovi
neusaglašeni referentni smerovi
2.3. PROMENA OTPORNOSTI SA TEMPERATUROM
Otpornost zavisi od vrste materijala, ali takođe i od temperature materijala.
Specifična električna otpornost metala raste sa temperaturom približno po sledećem zakonu:
0 0 01 ( )
0 - specifična otpornost na temperaturi 0 (obično 0
0 20 C )
- specifična otpornost na temperaturi
0 - temperaturni koeficijent otpornosti 01/ C
Ukoliko se zanemari temperaturno širenje provodnika usled zagrevanja, za izračunavanje otpornosti provodnika na temperaturi koristi se izraz:
0 0 01 ( )R R 0R - otpornost na temperaturi 0 .
Za 00 273K C otpornost provodnika naglo opada ( 0)R .
Ovaj efekat se naziva superprovodnost.
3. DŽULOV ZAKON
Toplotni (termički) efekat električne struje je jedan od bitnih efekta električne struje.
Toplotni efekat može biti
poželjan (npr. pri kada se želi zagrevanje tela) ili
nepoželjan (npr. kada pri prenosu električne energije dolazi do gubitaka u vidu oslobađanja toplote).
3.1. RAD I SNAGA NA OTPORNIKU
Neka je između tačaka a i b, koji se nalaze na potencijalima a i b
,a b a bU
priključen otpornik otpornosti R kroz koji protiče stacionarna struja jačine I .
U vremenskom intervalu t sile stacionarnog električnog polja kroz otpornik, od tačke a do tačke b, prebace količinu naelektrisanja
q I t
i pri tome izvrše rad
( )a bA q I tU
Ovaj rad se u otporniku transformiše u toplotnu energiju
A W
Snaga Džulovih gubitaka na otporniku iznosi:
A
P UIt
Koristeći izraze za Omov zakon, prethodni izraz se može napisati u sledećim oblicima:
2
2 UP UI RI
R
Ukoliko je jačina električne struje konstantna:
Rad sila električnog polja koji se u otporniku transformiše u toplotu za neko vreme t iznosi
2
2 UA Pt UIt RI t t
R
Jedinica za električnu snagu je J (Džul). To je mala jedinica snage.
Veća jedinica je kWh koja iznosi 3 610 3600 3.6 10 3.6W s J MJ
4. VEZIVANJE OTPORNIKA; MERENJE OTPORNOSTI
Otpornici se mogu vezivati:
- redno,
- paralelno,
- mešovito,
- u zvezdu i
- u trougao.
4.1. REDNA VEZA OTPORNIKA
Kroz sve otpornika u rednoj vezi protiče ista struja I .
Ukupan napon redne veze jednak je zbiru napona pojedinačnih otpornika:
1 1 1 1
N N N N
i i i e e i
i i i i
U U R I I R IR R R
Ekvivalentna otpornost redne veze otpornika jednaka je zbiru otpornosti
otpornika koji učestvuju u vezi.
4.2. PARALELNA VEZA OTPORNIKA
Svi otpornici su priključeni na isti napon U .
I Kirhofov zakon
1 1 1 1
1 1 1N N N N
i
i i i ii i e e i
U UI I U
R R R R R
Recipročna vrednost otpornosti paralelne veze otpornika jednaka je zbiru recipročnih vrednosti otpornosti otpornika koji u njoj učestvuju.
Slučaj 2N : 1 2
1 2
e
R RR
R R
5. ELEKTRIČNI GENERATOR I PROSTO ELEKTRIČNO KOLO
Generator je element koji služi za održavanje stacionarne električne struje u zatvorenom električnom kolu.
Generator je sredina kroz koju se vrši transport slobodnih nosioca naelektrisanja pod dejstvom neelektričnih sila nasuprot silama stacionarnog električnog polja.
Neelektrične sile se nazivaju stranim silama i mogu biti različite prirode:
elektrohemijske, elektromagnetne , svetlosne, …
Analizu generatora vršimo za slučaj da su slobodni nosioci pozitivna naelektrisanja.
5.1. ANALIZA GENERATORA U PRAZNOM HODU
Posmatramo generator električne struje koga čine dve metalne elektrode sa provodnim slojem između njih.
U provodnom sloju, između elektroda generatora vrši se razdvajanje naelektrisanja pod uticajem strane sile
SF .
Razdvojena naelektrisanja se gomilaju na polovima generatora pri čemu se stvara višak pozitivnog i negativnog naelektrisanja na polovima generatora.
Viškovi naelektrisanja stvaraju stacionarno električno
polje E koje postoji kako u generatoru, tako i van njega.
E deluje na naelektrisanja električnom silom F QE .
- - - - - - -
+ + + + + +
Sa povećanjem naelektrisanja na polovima generatora raste stacionarno
električno polje E , a sa njim i sila F .
Smer sile F je suprotan od smera strane sile SF , tako da na naelektrisanje
deluje rezultantna sila SF F pri čemu važi S SF F F .
Rezultantna sila se postepeno smanjuje.
Kretanje naelektrisanja kroz generator u praznom hodu trajaće sve dok rezultantna sila ne postane jednaka nuli
0SF F
Tada nastupa stacionarno stanje u generatoru.
Ovo stanje generatora se naziva PRAZAN HOD.
- - - - - - -
+ + + + + +
5.1.1. STRANO POLJE U GENERATORU
Kako je u elektrotehnici mnogo povoljnije raditi sa električnim poljima nego sa silama, to se kod analize rada generatora uvodi jedno fiktivno polje, tzv. strano polje.
Dejstvom stranog polja SE na slobodne nosioce
naelektrisanja u potpunosti zamenjuje se dejstvo stranih sila, bez obzira na to kakav je njihov karakter.
Strano polje se definiše kao električno polje koje bi na slobodne nosioce naelektrisanja delovalo silom koja je jednaka stranoj sili.
/S S eE F Q
Strano polje SE je lokalizovano u unutrašnjosti generatora i orjentisano je od
negativnog ka pozitivnom priključku, znači suprotno od stacionarnog električnog polja.
- - - - - - -
+ + + + + +
5.1.2. ANALIZA GENERATORA U PRAZNOM HODU PREKO POLJA
Uvođenjem stranog polja analiza neopterećenog generatora se može iskazati i preko polja.
Strano polje SE deluje silom na slobodna naelektrisanja i pomera ih od
negativnog ka pozitivnom polu generatora.
Nagomilana naelektrisanja na polovima generatora stvaraju stacionarno
električno polje E koje postoji i unutar i van generatora.
U generatoru je stacionarno električno polje usmereno suprotno u odnosu na strano polje.
Kretanje naelektrisanja kroz generator u praznom hodu trajaće sve dok na njih deluje rezultantna sila, tj. sve dok rezultantno polje u generatoru ne postane jednako nuli
0SE E
Tada nastupa stacionarno stanje u generatoru koje nativamo prazan hod.
- - - - - - -
+ + + + + +
5.2. ANALIZA GENERATORA U NOMINALNOM REŽIMU RADA
Kada se generator uključi u strujno kolo između njegovih priključaka se zatvara provodni put.
Stacionarno električno polje koje se formira u generatoru prostire se takođe i duž provodnika i na taj način dovodi do kretanje slobodnih naelektrisanja u provodniku.
Slobodna naelektrisanja u provodniku kreću se od pozitivnog ka negativnom polu generatora (od višeg ka nižem potencijalu), obrazujući na taj način električnu struju.
Električna struja dovodi do smanjenja opterećenja na krajevima generatora, a samim tim i do smanjenja stacionarnog električnog polja.
U unutrašnjosti generatora narušava se ravnoteža 0SE E koja je
postojala u stanju praznog hoda.
- - - - - - -
+ + + + + +
Zbog smanjivanja intenziteta stacionarnog električnog polja E , intenzitet
stranog polja u opterećenom generatoru S
E postaje veći od E :
SE E
Usled toga pojavljuje se rezultantna sila u pravcu
stranog polja SE koja deluje na naelektrisanja u
generatoru.
Kroz generator protiče električna struja u smeru od tačke nižeg potencijala ka tački višeg potencijala.
Rad koje vrše strane sile pri pomeranju naelektrisanja kroz generator transformiše se u energiju stacionarnog električnog polja.
Energija stacionarnog električnog polja se van generatora transformiše u druge vidove rada i energije.
- - - - - - -
+ + + + + +
5.3. ELEKTROMOTORNA SILA GENERATORA
Pri proračunu električnih kola strana sila i strano polje nisu pogodne karakteristike generatora.
Stoga se uvode dve nove karakteristike generatora:
elektromotorna sila i
unutrašnja otpornost.
Elektromotorna sila je skalarna veličina i definiše se preko rada stranih sila u generatoru.
Elektromotorna sila jednaka je količniku rada A koji izvrše strane sile prilikom prebacivanja količine naelektrisanja Q kroz generator od negativnog do
pozitivnog priključka i količine naelektrisanja Q
A
EQ
- - - - -
- -
+ + + +
+ +
Određivanje elektromotorne sile
Rad koji izvrše strane sile:
p p p
S S S
n n n
A F dl QE dl Q E dl
Elektromotorna sila:
p
S
n
AE E dl
Q
Elektromotorna sila je brojno jednaka linijskom integralu vektora stranog polja kroz generator od negativnog do pozitivnog priključka.
Napomena. Standardna oznaka za elektromotornu silu je E , dok je oznaka za
vektor stacionarnog električnog polja E . Da bi se napravila razlika u oznakama, u daljem izlaganju će intenzitet vektora stacionarnog električnog
polja biti označen sa E .
- - - - - - -
+ + + + + +
U praznom hodu generatora važi:
0S SE E E E
pa elektromotorna sila iznosi
p p n
S
n n p
E E dl Edl Edl
n
p
E Edl
Elektromotorna sila brojno je jednaka linijskom integralu vektora stacionarnog električnog polja od pozitivnog do negativnog priključka generatora koji se nalazi u praznom hodu.
Elektromotorna sila je orjentisana skalarna veličina usmerena od negativnog do pozitivnom priključku generatora.
- - - - -
- -
+ + + +
+ +
- - - - -
- -
+ + + +
+ +
Dalje,
0( )
n
p n pn
p
E Edl U
Elektromotorna sila brojno je jednaka razlici potencijala između priključnih krajeva generatora u praznom hodu, odnosno jednaka je naponu praznog hoda generatora.
Elektromotornu silu treba shvatiti kao veličinu koja na prikladan način reprezentuje strane sile u generatoru.
- - - - - -
-
+ + + + +
+
elektromotorna sila brojno jednaka naponu praznog hoda generatora,
jedinica za elektromotornu silu ista kao i
jedinica za napon (V)
Međuim, elektromotorna
sila po prirodi nije napon.
5.4. UNUTRAŠNJA OTPORNOST GENERATORA
Kretanje slobodnih nosilaca naelektrisanja kroz provodnu sredinu generatora praćeno je toplotnim gubicima koji su proporcionalni kvadratu jačine struje kroz generator.
Džulovi gubici u generatoru opisuju se pomoću unutrašnje otpornosti generatora.
Unutrašnja otpornost generatora se definiše kao količnik Džulovih gubitaka u generatoru, JP , pri struji I kroz generator i kvadrata te struje:
2
Ji
PR
I
Elektromotorna sila generatora i njegova unutrašnja otpornost se ne mogu međusobno razdvojiti jer predstavljaju dve karakteristike jednog generatora.
U električnim šemama se koriste dva ravnopravna načina za prikaz generatora pomoću E i iR .
5.5. KOLA SA JEDNIM GENERATOROM I JEDNIM OTPORNIKOM
Neka je zadato prosto električno kolo koje se sastoji iz generatora elektromotorne sile E i unutrašnje otpornosti
iR na koji je priključen potrošač otpornosti R. Potrebno je
odrediti jačinu struje u kolu I .
Zakon o održanju energije: Rad sila stranog polja A pri premeštanju naelektrisanja Q od negativnog do pozitivnog priključka generatora
transformiše se u toplotu na unutrašnjoj otpornosti generatora 2
iR I t i
otpornosti potrošača 2RI t :
2 2
iA R I t RI t
Iz definicije elektromotorne sile /E A Q sledi A E Q EI t , pa važi
2 2 :iEI t R I t RI t t
( )i i
i
EE R I RI R R I I
R R
Jačina električne struje u kolu sa jednim generatorom i potrošačem
5.5.1. SPOLJAŠNJA KARAKTERISTIKA GENERATORA
Neka je zadato prosto električno kolo koje se sastoji iz generatora elektromotorne sile E i unutrašnje otpornosti iR na koji je priključen promenljivi potrošač
otpornosti R.
Promenom otpornosti potrošača može se menjati struja I u kolu
i
Ui
EI R I RI E
R R
iU E R I
Jednačina koja daje zavisnost napona na krajevima generatora U u funkciji struje opterećenja I naziva se spoljašnja karakteristika generatora
iU E R I
5.5.2. SNAGA GENERATORA
Rad stranih sila pri prebacivanju opterećenja Q od negativnog do
pozitivnog pola generatora A E Q transformiše u energiju stacionarnog
električnog polja.
Snaga kojom se vrši ova transformacija predstavlja snagu generatora i ona iznosi
A E Q EI t
Pt t t
P EI
Za ovakav generator kažemo da su smerovi struje i elektormotorne sile saglasni.
- - - - -
- -
+ + + +
+ +
Neusaglašeni smerovi elektromotorne sile i struje kroz generator
Kada u električnom kolu deluje više generatora moguće je da kod jednog ili više njih, smer struje i elektromotorna sila nisu saglasni.
U tom slučaju se slobodni nosioci naelektrisanja kreću kroz generator od pozitivnog ka negativnom polu (nasuprot stranom polju).
Sada sile stacionarnog električnog polja vrše rad protiv stranih sila u generatoru i generator se ponaša kao potrošač.
Snaga generatora postaje negativna i iznosi
P EI
- - - - -
- -
+ + + +
+ +
5.5.3. STEPEN KORISNOG DEJSTVA GENERATORA I PRILAGOĐENJE POTROŠAČA NA GENERATOR
Neka je zadato prosto električno kolo koje se sastoji iz
generatora elektromotorne sile E i unutrašnje
otpornosti iR na koji je priključen promenljivi potrošač
otpornosti R.
Ukupni rad uA - rad koji izvrše strane sile u generatoru
Deo ukupnog rada uA transformiše se u Džulove gubitke na unutrašnjoj
otpornosti generatora, dok se ostatak predaje potrošaču.
Korisni rad kA - deo ukupnog rada uA koji se preda potrošaču ( k uA A ) .
Količnik korisnog rada i ukupnog rada naziva se stepen korisnog dejstva
generatora
k
u
A
A
Stepen korisnog dejstva se može iskazati i preko korisne snage potrošača i
ukupne snage generatora:
k k k
u u u
A P t P
A P t P
Kako je i
EI
R R
sledi
2 1
1 /
k
u i i i
P RI RI R E R
P EI E E R R R R R R
Analiza:
/ 0 1i iR R R R
/ 0i iR R R R
/ 1 0.5i iR R R R
Da bi stepen korisnog dejstva generatora težio 1 potrebno je da je unutrašnja
otpornost generatora bude znatno manja od otpornosti potrošača, iR R .
PRILAGOĐENJE POTROŠAČA GENERATORU
Potrebno je odrediti otpornost potrošača R tako da njegova snaga R kP P
bude maksimalna.
Rešenje. Jačina struje iznosi: i
EI
R R
Snaga koja se troši na potrošaču iznosi:
22 2
2 20
( ) ( )R
i i
E RP RI R E
R R R R
Maksimalna snaga na potrošaču dobija se iz uslova:
0RdP
dR ,
22
4
( ) 2( )0
( )
i iR
i
R R R R RdPE
dR R R
2( ) 2( ) 0 2 0i i iR R R R R R R R
gR R
Uslov prilagođenja potrošača generatoru: Na potrošaču će se razviti maksimalna snaga kada je njegova otpornost jednaka unutrašnjoj otpornosti generatora.
Snaga generatora (ukupna snaga) u uslovima prilagođenja iznosi:
2 2
2iE R R
i i i i
E E EP EI E
R R R R R
Maksimalna snaga potrošača (maksimalna korisna snaga) iznosi:
2
2 2
max 2 2
1
( ) ( ) 4 2 i
g
R E R Ri i i i
RR EP E E P
R R R R R
Snaga na unutrašnjoj otpornosti: 2
max
1
4 2 iii R E R RR R
i
EP P P
R
Koeficijent korisnog dejstva generatora:
0.5i
i i i
RR
R R R R
ili
2
max
2
/ 20.5
/ 4i
k R i
u E iR R
P P E R
P P E R
5.6. PROSTO KOLO SA VEĆIM BROJEM GENERATORA I OTPORNIKA
Prostim kolom naziva se zatvoreno strujno kolo sačinjeno od redne veze proizvoljnog broja generatora i otpornika, pri čemu generatori mogu imati proizvoljnu orjentaciju.
1E i 3E rade kao generatori, 2E radi
kao potrošač.
Ako u toku vremenskog intervala t kroz kolo protekne količina naelektrisanja Q I t prema usvojenom
referentnom smeru struje, strane sile u generatorima 1E i 3E će izvršiti rad
1 3 1 3A E Q E Q E I t E I t
Prema zakonu o održanju energije važi:
2 2 2 2 2
1 3 2 1 2 3 4 5
2 2 2
1 2 3i i i
E I t E I t E I t R I t R I t R I t R I t R I t
R I t R I t R I t
1 3 2 1 2 3 4 5 1 2 3i i iE E E R I R I R I R I R I R I R I R I
1 3 2
1 2 3 1 2 3 4 5i i i
E E EI
R R R R R R R R
Omov zakon za prosto kolo: Struja u prostom kolu jednaka je količniku algebarskog zbira elektromotornih sila i zbira svih otpornosti kola
i
EI
R R
Elektromotorne sile E u sumi E se uzimaju sa predznakom plus ukoliko se
smer elektromotorne sile E poklapa sa smerom struje I .
6. SLOŽENA ELEKTRIČNA KOLA; II KIRHOFOV ZAKON
Složenim električnim kolom naziva se skup proizvoljno povezanih otpornika i generatora koji se ne može smatrati prostim kolom.
6.1. ELEMENTI SLOŽENOG ELEKTRIČNOG KOLA
Osnovni elementi kola su:
Grana kola je redna veza proizvoljnog broja elemenata kola.
Čvor je mesto gde se spajaju tri ili više grana kola.
Kontura je proizvoljni zatvoreni put sačinjen od grana.
Nezavisna kontura je kontura koja sadrži bar jednu granu koja pripada samo njoj.
Primer.
Električno kolo ima 5 čvorova i 8 grana.
Na šemi je izabrano 4 kontira C1-C4.
Sve konture su nezavisne jer svaka sadrži po jednu granu koja samo njoj pripada.
6.2. NAPON IZMEĐU TAČAKA U GRANI KOLA
Posmatrajmo jednu granu kola sa jačinom struje I . Napon između tačaka A i B koje pripadaju ovoj grani kola, ABU , izračunava se prema sledećoj formuli:
ABU RI E
Elektromotorne sile E u sumi E se uzimaju sa predznakom plus ukoliko
se smer elektromotorne sile E poklapa sa smerom kretanja od tačke A do tačke B.
Članovi tipa RI u sumi RI uzimaju se sa predznakom plus ako se smer
struje I poklapa sa smerom kretanja od tačke A do tačke B.
1 2 3 1 2 3( ) ( )ABU R R R I E E E
Napomena. Jačina struje u jednoj grani je jedinstvene i iznosi I .
6.2.1. IZRAČUNAVANJE STRUJE U GRANI KOLA
Jačina električne struje u grani kola I , koja je usmerena od tačke A ka tački B, izračunava se prema sledećoj formuli
AB
AB
U EI I
R
(sledi iz izraza ABU RI E )
Elektromotorne sile E u sumi E se uzimaju sa predznakom plus ukoliko
se smer elektromotorne sile E poklapa sa smerom kretanja od tačke A do tačke B.
Primer.
1 2 3 1 2 3( ) ( )ABU R R R I E E E
1 2 3
1 2 3
( )ABU E E EI
R R R
6.3. NAPON IZMEĐU DVE TAČKE U SLOŽENOM KOLU
Posmatramo dve tačke S i T u jednom složenom električnom kolu sa većim brojem grana. Napon STU između tačaka S i T u složenom električnom kolu izračunava se
prema sledećoj formuli:
ST
ST ST
U RI E
ST je proizvoljna putanja u kolu između tačaka S i T .
Elektromotorne sile E u sumi E se uzimaju sa predznakom plus ukoliko
se smer elektromotorne sile E poklapa sa smerom kretanja od tačke S do tačke T.
Članovi tipa RI u sumi RI uzimaju se sa predznakom plus ako se smer
struje I poklapa sa smerom kretanja od tačke S do tačke T.
Primer.
13 2 2 3 3 2 3
123 123
( )U RI E R I R I E E
16 2 2 8 8 5 5 2
1253 1253
( )U RI E R I R I R I E
16 4 4 7 7 4 5
1436 1436
( )U RI E R I R I E E
6.4. II KIRHOFOV ZAKON
Napon između istih tačaka i kolu je nula jer se tačke nalaze na istom potencijalu:
... ... ... ...
0SS STS
SAB TS SAB TS SAB TS SAB TS
U U RI E RI E
Algebarski zbir napona na svim otpornicima u jednoj zatvorenoj konturi jednak je algebarskom zbiru svih elektromotornih sila u toj konturi
... ...SAB TS SAB TS
RI E
Polazna tačka i smer obilaska po konturi se mogu proizvoljno birati.
Elektromotorne sile E u sumi E se uzimaju sa predznakom plus ukoliko
se smer elektromotorne sile E poklapa sa smerom obilaska po konturi.
Članovi tipa RI u sumi RI uzimaju se sa predznakom plus ako se smer
struje I poklapa sa smerom obilaska po konturi.
Primer.
4 4 7 7 5 5 8 8 2 2 4 5 2R I R I R I R I R I E E E
7. METODE REŠAVANJA SLOŽENIH ELEKTRIČNIH KOLA
7.1. METOD DIREKTNE PRIMENE KIRHOFOVIH ZAKONA
Posmatramo složeno kolo sa čn čvorova i gn grana.
Broj nepoznatih struja jednak je broju grana gn .
Opis metode:
1. prebrojati čvorove ( )čn i grane ( )gn kola,
2. usvojiti referentne smerove za struje grana kola , 1,2, ,i gI i n ,
3. napisati 1I čn n jednačina po I KZ za In usvojenih čvorova,
4. napisati II g In n n jednačina po II KZ za IIn usvojenih nezavisnih kontura,
5. rešiti sistema linearnih jednačina po nepoznatim strujama , 1,2, ,i gI i n .
Primer. Primenom Kirhofovih zakona odrediti nepoznate struje grana kola sa slike.
Rešenje.
1. 4čn , 6gn
2. Referentni smerovi struja.
3. 4 1 3In jednačine po I KZ:
čvor 1: 1 2 3 0I I I
čvor 2: 1 4 6 0I I I
čvor 3: 3 4 5 0I I I
4. 6 3 3II g In n n jednačine po II KZ.
Usvojimo tri nezavisne konture 1C , 2C , i 3C i pišemo tri jednačine po II KZ.
kontura 1C : 1 1 3 3 4 4 1 4R I R I R I E E
kontura 2C : 2 2 5 5 3 3 2R I R I R I E
kontura 3C : 6 6 5 5 4 4 6 4R I R I R I E E
5. Rešavanje sistema od 6 linearnih jednačina (3 po I KZ i 3 po II KZ) po
strujama grana 1I , …, 6I .
Nedostatak: Ukoliko kolo ima veliki broj grana, dobija se sistem sa velikim brojem linearnih jednačina.
7.2. METOD KONTURNIH STRUJA Prednosti u odnosu na KZ:
- postavlja se manji broj jednačina nego kod KZ,
- sistem jednačina se postavlja na veoma jednostavan način.
Posmatramo složeno kolo sa čn čvorova i gn grana sa svim poznatim elementima
kola (naponskim generatorima i otpornicima).
Opis metode
1. Odabrati i orijentisati ( 1)k g čn n n nezavisnih
konturnih struja 1, ,kk knI I u kolu.
Nezavisnost konturnih struja se definiše na sličan način kao i nezavisnost kontura u kolu.
2. Napisati sistem jednačina po konturnim strujama 1, ,kk knI I :
11 1 12 2 1 1
12 1 22 2 2 2
1 1 2 2
k k
k k
k k k k k k
k k n kn k
k k n kn k
n k n k n n kn kn
R I R I R I E
R I R I R I E
R I R I R I E
gde su:
, 1, ,ii kR i n - zbir otpornosti svih grana kola koje pripadaju i -toj konturi
(sopstvena otpornost i -te konture) uzet sa predznakom „+“.
, , 1, , ,ij ji kR R i j n i j - zbir otpornosti svih grana kola koje
istovremeno pripadaju i -toj i j -toj konturi (međusobna otpornost i -te i j -te
konture), uzet sa predznakom „+“ ako se duž zajedničkih grana poklapaju smerovi tih kontura, a sa predznakom „-“ ako su smerovi suprotni. Ako konture nemaju zajedničke grane, onda je 0ijR .
, 1, ,ki kE i n - zbir elektromotornih sila svih naponskih generatora koji
pripadaju i -toj konturi (elektromotorna sila i -te konture).
U ovaj zbir elektromotorna sila ulazi sa predznakom „+“ ako se orjentacija konture poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sile, a sa predznakom „-“ ako su smerovi suprotni.
3. Rešiti sistema jednačina po konturnim strujama: 1, ,kk knI I .
4. Odrediti struje grana 1, ,gnI I na sledeći način:
- struja jI u grani kroz koju protiče samo jedna konturna struja kiI jednaka
je konturnoj struji te konture j kiI I ;
- struja jI u grani kroz koju protiče veći broj konturnih struja jednaka je
algebarskom zbiru tih konturnih struja.
- konturna struja ulazi u zbir sa predznakom „+“ ako se njen referentni smer podudara sa referentnim smerom struje u grani, inače se uzima sa predznakom „-“.
Primer. Odrediti jačine struja grana kola sa slike koristeći metod konturnih
struja.
2čn , 3gn
( 1) 2k g Čn n n (2 nezavisne konturne struje)
11 k1 12 2 k1
21 1 22 2 k2
k
k k
R I R I E
R I R I E
11 1 22 2 12 21, ,R R R R R R R R R
1 1 2 2k kE E E E
1 1 k2 1
1 2 2 2
( )
( )
k
k k
R R I RI E
RI R R I E
11 1
22 2
k
k
IR R R E
IR R R E
1 1 2 2 1 2k k k kI I I I I I I
