LINEARNO PROGRAMIRANJE

Uvod

Linearno programiranje je grana matematike koja se bavi problemom

optimizacije sustava unutar zadanih ogranienja. Uveo ju je Leonid Kantorovi kasnih

1930-ih godina kao metodu rjeavanja problema planiranja proizvodnje. U SAD-u je

linearno programiranje razvijeno tijekom Drugog Svjetskog rata prvenstveno za

probleme vojne logistike, kao to je optimiziranje prijevoza vojske i opreme

konvojima. Vaan je i doprinos ekonomista Tjallinga Koopmansa (ro en u

Nizozemskoj, 1940. preselio u SAD). Kantorovi i Koopmans su 1975. god. podijelili

Nobelovu nagradu za ekonomiju za njihov pionirski rad u linearnom programiranju.

Proizvo a eli odrediti kako iskoristiti ograniene koliine sirovina uz najvei

profit, poslovo a kako rasporediti zadani posao izme u svojih zaposlenika tako da

bude napravljen u najkraem moguem vremenskom roku... Cilj ovih problema je

optimizacija, maksimiziranje korisnosti ili minimiziranje trokova uz zadana

ogranienja to se rjeava linearnim programiranjem. Podruje primjene linearnog

programiranja je iroko: proizvodnja, transport i distribucija, marketing,

telekomunikacije, financijsko ulaganje i planiranje, raspored zaposlenika,

Formulirati (modelirati) realni ivotni problem kao problem linearnog programiranja

zahtijeva timski rad strunjaka iz vie podruja.

1. Sustavi linearnih nejednadbi sa dvije

varijable

Linearno programiranje promatra probleme u kojima se linearna funkcija cilja

mora optimizirati (maksimizirati ili minimizirati) uz uvjete ili ogranienja dana u obliku

jednadbi ili/i nejednadbi i uz nenegativne varijable odluivanja. To je formalni

postupak optimizacije sustava kod kojih se funkcija cilja i ogranienja mogu izraziti

linearnim kombinacijama promjenljivih veliina Kod cjelobrojnog su programiranja

varijable odluivanja cjelobrojne.

Primjer 1.1:

Proizvo a proizvodi dvije vrste betona. Svaka vrea visokokvalitetnog betona

sadri 10 kg ljunka i 5 kg cementa, dok svaka vrea niskokvalitetnog betona sadri

12 kg ljunka i 3 kg cementa. U skladitu postoji 1920 kg ljunka i 780 kg cementa.

Proizvo a ostvaruje zaradu od 1,20$ za svaku vreu visokokvalitetnog, a 1,00$ za

1

svaku vreu niskokvalitetnog betona i eli odrediti koliko vrea treba proizvesti

jednoga i drugoga iz dostupnih sirovina za najveu zaradu.

Rjeenje:

Iz praktinih razloga poinje se konstrukcijom tablice koja pokazuje koliinu

ljunka i cementa u vrei za svaki tip betona, raspoloivost sirovina i zaradu za svaku

vreu.

Visokokvalitetan/kg

Niskokvalitetan/kg

Raspoloivo

ljunak

10

12

1920

Cement

5

3

780

Zarada/Vrea

1,20

1,00

Ako se proizvedene vree visokokvalitetnog betona oznae

niskokvalitetnog s N, a zaradu s Z, linearna funkcija e izgledati ovako:

Z = 1,20V + 1,00N

Koliine raspoloivih sirovina se mogu izraziti s dvije nejednadbe:

10V + 12N 1920

5V + 3N 780

ljunak

Cement

s

V,

Negativne vrijednosti V i N nemaju fizikalni smisao u kontekstu ovog

problema, pa vrijedi V 0 i N 0. Prema tome problem se moe izraziti matematiki

kao:

Maksimizirati funkciju zarade

unutar graninih uvjeta

Z = 1,20V + 1,00N

10V + 12N 1920

5V + 3N 780

V, N 0

U ovom primjeru treba primijetiti da se optimalno rjeenje koje se trai nalazi u

rjeenju sustava linearnih nejednadbi.

2

Uvod u terminologiju

1. Kada je ravnina podijeljena na 2 dijela (strane) pravcem, svaka strana se

naziva poluravninom.

2. Ako je ravnina podijeljena okomitim pravcem dijeli se na lijevu i desnu

poluravninu.

3. Ako je ravnina podijeljena bilo kojim neokomitim pravcem dijeli se na gornju i

donju poluravninu.

4. Ako nejednadba ukljuuje < ili >, poluravnina se naziva otvorenom i

koristimo isprekidano liniju za njeno oznaavanje, to znai da nije ukljuena u

sustav rjeenja.

5. Ako nejednadba ukljuuje ili , poluravninu se naziva zatvorenom i

koristimo punu liniju za njeno oznaavanje, to znai da je ukljuena u sustav

rjeenja.

6. Podruje izvedivosti je skup toaka (x, y) koji zadovoljava sve nejednadbe

istovremeno.

7. Funkcija cilja F je matematiki opis postavljenog cilja.

8. Optimiziranje je odre ivanje skupa vrijednosti promjenljivih veliina kojim se

postie optimalna vrijednost (maksimalna ili minimalna) funkcije cilja F

Postupak crtanja grafa linearnih nejednadbi

sa dvije varijable

Crtanje grafova linearnih nejednadbi sa dvije varijable obuhvaa vizualno

prikazivanje toki koje zadovoljavaju nejednadbu (skup rjeenja). Takav graf e biti

poluravnina. Postoje 4 razliite vrste nejednadbi sa dvije varijable koje se mogu

pojaviti:

Ax + By < C Ax + By C Ax + By > C Ax + By C

gdje su A, B i C konstante, a najmanje je jedan od koeficijenata A ili B razliit

od nule.

Za crtanje grafa nejednadbi zadanih u jednom od ovih oblika:

Ax + By < C Ax + By C Ax + By > C Ax + By C

postupak je slijedei:

1. Nacrta se odgovarajua jednadba Ax + By = C (granini pravac) tako da se

odrede toke na koordinatama (T1(0,y) i T2(x,0)) i povue pravac kroz njih.

Pravac se crta isprekidanom linijom kad je < ili >, a punom linijom kad je ili .

2. Sustav rjeenja je poluravnina na jednoj od strana graninog pravca. Za

odre ivanje strane poluravnine se koristi probna toka T(a,b) koja ne pripada

pravcu Ax + By = C. Ako probna toka zadovoljava nejednadbu onda je

3

strana na kojoj se ona nalazi strana rjeenja, u suprotnom se rjeenje nalazi

na drugoj strani. (Najee se uzima T(0,0), ako pravac ne prolazi kroz

ishodite).

Primjer 1.2:

Potrebno je nacrtati grafove slijedeih nejednadbi:

a) 2x y 5

Rjeenje:

b) 3x + y > 0

c) x < 4

Slika 1.1

2x-y=5

3x+y=0

x=4

(1,1)

(0,0)

(0,0)

(a) graf 2x y 5

(b) graf 3x+y>0

(c) graf x 0

x4

5

Slika 1.3 podruje izvedivosti za sustav 2x y 5

3x + y > 0

x4

legenda

(a) 2x y 5

3x+y=0

y

x=4

2x-y=5

(b) 3x + y > 0

(4,3)

(c) x 4

x

(1,-3)

podruja preklapanja

(a) i (b)

(4,-12)

(b) i (c)

(a) i (c)

(a), (b) i (c)

Primjer 1.5:

Potrebno je nacrtati na grafu podruje izvedivosti i odrediti vrhove za

slijedei sustav nejednadbi:

10V + 12N 1920

5V + 3N 780

V, N 0

Rjeenje:

6

Iz nejednadbe V 0 i N 0 je vidljivo da se podruje izvedivosti nalazi u

prvom kvadrantu VN ravnine.

Nacrtati granine pravce 10V + 12N = 1920 i 5V + 3N = 780, te odabrati

probnu toku za svaku od nejednadbi (ishodite odgovara za obje). Iz 100V +

120N 1920 slijedi da je rjeenje na grafu nejednadbe 10V + 12N 1920 skup

svih toaka ispod graninog pravca (ukljuujui pravac) i istim postupkom se

odre uje graf nejednadbe 5V + 3N 780 koji je skup svih toaka ispod

graninog pravca 5V + 3N = 780

Slika 1.4 Podruje izvedivosti za sustav nejednadbi

10H + 12L 1920

L

5H + 3L 780

H,L 0

5H+3L=780

(0,160)

(120,60)

10H+12L=1920

(192,0)

(0,0)

(156,0)

H

Podruje izvedivosti je najtamnije obojano podruje. Vrhovi se dobivaju

rjeavanjem dvije jednadbe s dvije nepoznanice za svaku toku.

7

5V + 3N = 780

5V + 3N = 780

10V + 12N = 1920

H=0

L=0

10V + 12N = 1920

H=0

L=0

Vrhovi

(156,0)

(120,60)

(0,160)

(0,0)

Napomena:

Ako je presjecite dva granina pravca izvan podruja izvedivosti onda to nije

vrh. npr. toka (192,0) nije vrh jer ne zadovoljava nejednadbu 5192 + 30 780

2.Geometrijsko linearno

programiranje

Linearni program sa dvije varijable x i y sadri linearnu funkciju

f = ax + by koja se naziva funkcijom cilja i koja mora biti optimizirana unutar sustava

linearnih nejednadbi. Varijable x i y nazivaju se varijablama odluivanja, a rjeenje

sustava nejednadbi naziva se podrujem izvedivosti.

Za rjeavanje linearnog programa, iz cijelog skupa izvedivih rjeenja odabire

se jedno, koje daje optimalnu vrijednost (maksimum ili minimum) funkcije cilja. Takvo

rjeenje (moe ih biti vie) naziva se optimalnim rjeenjem. Za programe koji

ukljuuju samo dvije varijable odre uje se podruje izvedivosti pomou dosad

obra enih grafova. Me utim, podruje izvedivosti uglavnom sadri beskonaan broj

toaka.

Primjer 1.1 (nastavak)

Problem je formuliran kao slijedei linearni program. Potrebno je:

maksimizirati funkciju zarade

unutar graninih uvjeta

Z = 1,20V + 1,00N

10V + 12N 1920

5V + 3N 780

V, N 0

8

Slika 2.1

L

5H + 3L = 780

(0, 160)

(120, 60)

10H + 12L = 1920

(0, 0)

(156, 0)

(a) podruje izvedivosti

L

H

(0, 160)

C=240

C=204

C

st

ra

C=80

(120, 60)

(0, 0)

(156, 0)

(b) pravci konstantne zarade 1.2H+L=C uz rast

vrijednosti konstante C

H

9

U primjeru 1.5 je odre eno podruje izvedivosti i vrhovi.

Za rjeenje linearnog programa se odre uje u kojoj toki funkcija

Z = 1,20V + 1,00N ima najveu vrijednost (maksimum). Moe se primijetiti da za

svaku konstantu C graf jednadbe 1,20V + N = C je pravac s nagibom -1.2. Taj

pravac se naziva pravcem konstantne zarade zato to je zarada u svim tokama

(V,N) koje se nalaze na tom pravcu jednaka. Svi pravci konstantne zarade imaju isti

nagib iz ega slijedi da su paralelni i kako se C poveava odgovarajui pravci se

udaljavaju od ishodita. Posljednji pravac koji dodiruje podruje izvedivosti prolazi

kroz vrh (120,60), pa se moe zakljuiti da je maksimalna zarada:

Zmax = 1,20120 + 1,0060 = 204

Zakljuak: S obzirom na dana ogranienja proizvo a e imati najveu zaradu

ako proizvede 120 vrea visokokvalitetnog i 60 vrea niskokvalitetnog betona.

Najvea zarada iznosi 204$.

Teorem o vrhu

Kod svakog linearnog programa sa dvije varijable podruje izvedivosti (I) e

biti konveksni poligonski skup, odnosno I e biti podruje sa slijedeim svojstvima:

1. Granica I se sastoji od konanog broja pravaca ili segmenata pravaca

2. Ako su P i Q bilo koje dvije toke unutar I, segment pravca koji ih spaja (PQ)

lei potpuno unutar I

Slika 2.2

Q

P

P

Q

P

Q

P

Q

(a) konveksni skupovi

(b) nekonveksni skupovi

Funkcija cilja u linearnom programu sa dvije varijable je oblika

F= ax + by (a ,b = konst.). Za svaku konstantu C graf jednadbe F = C e biti pravac

(pravac konstantne vrijednosti ili jednostavnije izolinija). Sve izolinije imaju isti nagib

10

i tvore porodicu paralelnih pravaca. Praktino je zamisliti porodicu pravaca F = C kao

pomicanje pravca u jednom smjeru kako C raste.

F=C

P1

F=C

P

P2

Q

r

st

a

C

C

astr

(a) maksimum u P,

minimum u Q

(b) maksimum

du P1P2

(c) ne postoji

maksimum

Na slici 2.3(a) je podruje izvedivosti ome eno, a maksimalna i minimalna

vrijednost F se nalaze u tokama P i Q, tj. na dva kraja podruja izvedivosti. Na slici

2.3(b) jedan od paralelnih pravaca prolazi kroz dva susjedna vrha P1 i P2, te je F

maksimiziran du cijelog brida P1P2. Na slici 2.3(c) podruje izvedivosti nije ome eno

u smjeru poveavanja C stoga funkcija moe imati minimalnu vrijednost, ali joj

maksimalna vrijednost tei beskonanosti, nemogue ju je odrediti i smatra se da ne

postoji.

Teorem o vrhu glasi: Ako linearni program ima optimalno rjeenje (maksimum

ili minimum) mora se nalaziti u vrhu izvedbenog podruja. Taj teorem omoguava

jednostavan postupak rjeavanja linearnog programa.

Geometrijska metoda rjeavanja linearnog programa s dvije varijable

odluivanja - saetak

1. Nacrta se graf podruja izvedivosti I i prona u se koordinate svih vrhova u I

2. Napravi se tablica procjene vrijednosti funkcije cilja F u svakom vrhu

3. Ako je I ome ena nazivamo je ogranienom. U ovom sluaju njena najvea

(najmanja) vrijednost je u vrhu

4. Ako I nije ome ena nazivamo je neogranienom i njeno optimalno rjeenje ne

mora postojati. Me utim, ako postoji mora biti u vrhu

U primjeru 1.1 vrhovi su u (156,0), (120,60) i (0,0) (slika 2.1). Izraunom

zarade funkcije Z = 1,20V + N u vrhovima, dobiva se slijedea tablica:

11

ras

tC

Slika 2.3

F=C

Vrhovi

Vrijednost Z = 1,20V + N

(156,0)

187,2

(120,60)

204

Najvea vrijednost

(maksimum)

(0,160)

160

(0,0)

0

Iz ove tablice se izvodi zakljuak da se najvea vrijednost funkcije cilja unutar

podruja izvedivosti nalazi u toki (120,60), to potvr uje rezultat dobiven

geometrijskim putem.

Linearno programiranje sa vie od dvije

varijable

Svaki linearni program koji ima rjeenje moe biti rijeen odre ivanjem vrhova

podruja izvedivosti i zatim raunanjem funkcije cilja u vrhovima. Ipak, samo

nalaenje vrhova podruja izvedivosti u viedimenzionalnom prostoru moe biti

prilino komplicirano.

Primjer 3.1

Potrebno je:

maksimiziratiF = 5x + 8y + 6z

uz granine uvjete 3x + 2y + 7z 55

2x + 5y + 4z 40

x, y, z 0

U ovom sluaju postoji pet rubnih ploha i deset kombinacija u kojima se tri

plohe sijeku u toki, ali sve ove toke nisu unutar podruja izvedivosti. Svako sjecite

koje je unutar prostora izvedivosti je vrh i pretpostavljajui da problem ima optimalno

rjeenje ono se moe odrediti izraunavanjem funkcije cilja u svakom vrhu. Iako je to

izvedivo zahtjeva prilian napor. Sreom, postoji puno efikasnija metoda pod imenom

simpleks metoda.

12

3.

Uvod u simpleks metodu

Iako su Kantorovi, Koopmans i drugi dali veliki doprinos razvoju linearnog

programiranja, za njegov znaaj kao praktian alat u ekonomiji, industriji i znanosti je

zasluan ameriki matematiar George Dantzig. 1947. godine Dantzig je primijetio da

su odre eni vojni problemi u sutini isti kao i problemi uskla ivanja aktivnosti unutar

velikih organizacija. Tada je razvio simpleks metodu kao nain efikasnog rjeavanja

problema linearnog programiranja.

Simpleks metoda je nain efikasnog pretraivanja vrhova podruja izvedivosti

(simpleksa) kako bi se pronalo u kojem se pojavljuje optimalna vrijednost funkcije

cilja. Najzanimljiviji linearni programi koji se pojavljuju u praksi ukljuuju velik broj

varijabli i ogranienja, pa ih se mora rjeavati upotrebom raunala. Iz ovog razloga,

cilj objanjavanja simpleks metode nije samo zbog rjeavanja problema na papiru,

ve razumijevanja raunalnih programa s kojima se mogu susresti.

3.1 Standardni maksimum - tip linearnog

programa

Problem standardnog maksimuma je specijalna vrsta linearnog programa koji

je jednostavan za analizu. To je linearni program kojime elimo maksimizirati funkciju

cilja:

F = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Ogranienja su u obliku:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn b2

....

....

....

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm

x1, x2, ... , xn 0

gdje je bj 0 za j = 1, 2, ... , m.

Openito, problem standardnog maksimuma je linearni program koji

zadovoljava slijedee uvjete:

1.

2.

3.

4.

Funkcija cilja F mora biti maksimizirana.

Sva ogranienja su tipa .

Sve varijable odluivanja xi ne smiju biti negativne (xi 0).

Sve vrijednosti bj na desnoj strani nejednadbi ne smiju biti negativne (bj 0).

13

3.2 Dopunske varijable i inicijalna tablica

Prvi korak u primjeni simpleks metode za rjeavanje problema standardnog

maksimuma je pisanje nejednadbi ogranienja i funkcije cilja kao jednadbi. To

omoguuje primjenu prethodno navedenih principa za rjeavanje linearnih programa.

Primjer 3.1

Treba pretvoriti nejednadbu 3x1 2x2 + 5x3 6 u jednadbu.

Rjeenje:

Ova nejednadba se moe objasniti, ako pretpostavimo postojanje odre enog

odstupanja vrijednosti lijeve i desne strane nejednadbe. To odstupanje se anulira

dodatkom dopunske promjenjive varijable u 0, te se nejednadba napie kao

jednadba:

3x1 2x2 + 5x3 + u = 6

Ako je x1 = 2, x2 = 4 i x3 = 1, tada je 32 24 + 51 = 3 6 , a dopunska

promjenjiva varijabla iznosi 3 (u + 3 = 6, slijedi u = 3)

Primjer 3.2

U sustavu nejednadbi e postojati vie razliitih dopunskih promjenjivih

varijabli, po jedna za svaku nejednadbu. Tako da za sustav nejednadbi:

3x1 + 2x2 x3 4

x1 2x2 3

x1 , x2 ,x3 0

dodaju se promjenjive dopunske varijable u1 i u2, te se dobiva slijedei sustav

jednadbi:

3x1 + 2x2 x3 + u1 = 4

x1 2x2 + u2 = 3

x1 , x2 ,x3, u1, u2 0

Tako er, uputno je razmiljati o funkciji cilja linearnog programa kao implicitnoj

jednadbi. Npr. funkcija F = 2x1 + 4x2 - 7x3 se moe pisati kao -2x1 - 4x2 + 7x3 + F =

0.

Kombiniranjem ovih metoda moe se prebaciti linearni program u sustav

jednadbi

maksimiziratiF = 2x1 + 4x2 - 7x3

uz granine uvjete 3x1 + 2x2 x3 4

x1 2x2 3

14

x1 , x2 ,x3 0

U obliku sustava jednadbi:

3x1+2x2x3+u1

x12x2+

-2x1 4x2+7x3+

x1 , x2 ,x3, u1, u2 0

=

=

=

4

3

0

u2

F

Matrica koeficijenata sustava jednadbi naziva se inicijalna simpleks tablica. U

ovom primjeru inicijalna tablica je slijedea:

varijable

odluivanja

dopunske

varijable

x1

inicijalna tablica

x2

x 3 u1 u 2 F

2 1 1 0 0 4 3

1 20 0 1 0 3

2 4 7 0 0 1 0

konstante

s desne

strane

Donji red tablice sadri koeficijente funkcije cilja (osim 0 u desnom stupcu) i

nazivaju se indikatorima.

3.3 Osnovna izvediva rjeenja

Sustav iz primjera 3.2 smo napisali u obliku sustava linearnih jednadbi

3x1 + 2x2 x3 + u1 = 4

x1 2x2 + u2 = 3

gdje su x1 , x2 ,x3, u1 i u2 nenegativne. Postoji beskonaan broj rjeenja ovog

sustava jer se moe rijeiti za bilo koje dvije varijable koje uvjetuju ostale tri.

Me utim, rjeenje je izvedivo samo ako su mu svi lanovi nenegativni.

Ako napiemo sustav iz primjera 3.2 u obliku:

u1 = 4 3x1 2x2 + x3

u2 = 3 x1 + 2x2

tada svi proizvoljno odabrani x1 , x2 i x3 odre uju vrijednosti u1 i u2, a linearni

sustav posjeduje jedinstveno rjeenje (x1 , x2 ,x3, u1, u2).

15

Kada se linearni sustav napie u ovom obliku u1 i u2 nazivaju se osnovnim

varijablama, a x1 , x2 i x3 nazivaju se neosnovnim (parametarskim) varijablama.

Kada se postave vrijednosti svih neosnovnih varijabli u 0, rjeenje koje se

dobiva naziva se osnovnim rjeenjem.

U ovom primjeru osnovno rjeenje glasi x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, u1 = 4 i

u2 = 3. Poto su sva rjeenja varijabli nenegativna, rjeenje je izvedivo i naziva se

osnovnim izvedivim rjeenjem.

Zadani linearni sustav moe imati mnoga osnovna rjeenja, ali sva ne moraju

biti izvediva. Npr. ako se linearni sustav napie kao:

x3 = 4 + 3x1 + 2x2 + u1

u2 = 3 x1 + 2x2

U ovom su sluaju u2 i x3 neosnovne varijable, a x1, x2 i u1 (neosnovne

varijable) jednake 0. Dobiva se odgovarajue rjeenje x1 = 0, x2 = 0, x3 = 4, u1 = 0 i

u2 = 3, ali u ovom sluaju osnovno rjeenje nije izvedivo zbog postojanja negativne

varijable (x3 = 4)

Geometrijski se moe pokazati da za sustav linearnih nejednadbi u

standardnom obliku, svako osnovno izvedivo rjeenje posjeduje odgovarajui vrh

unutar podruja izvedivosti, i obratno.

3.4 Pivot metoda

Na primjeru 3.2 vidljivo je da inicijalna tablica standardnog maksimuma

linearnog programa odgovara osnovnom izvedivom rjeenju u kojem su sve varijable

odluivanja 0. Poto je funkcija cilja jednaka 0 u ishoditu, mala je vjerojatnost da je

to optimalno rjeenje. Kod simpleks metode poinje se u ishoditu i nastavlja se put

od jednog vrha ka drugom (unutar podruja izvedivosti) sve dok se konano ne

prona e vrh koja odgovara optimalnom rjeenju.

Od jednog vrha ka drugom putuje se koritenjem osnovnih operacija na

redovima i transformiranjem inicijalne tablice u niz ekvivalentnih tablica koje su u

svezi s osnovnim izvedivim rjeenjem. Postupak transformacije se zasniva na

operaciji pod imenom pivotiranje.

Ponovno se vraamo na primjer 3.2.

Pivotiranje koeficijenta koji se nalazi na poziciji (1,2) znai da se

transformacijama unutar reda zamijeni koeficijent 2 (na poziciji (1,2)) sa koeficijentom

1, a svi ostali koeficijenti u tom stupcu se pretvore u 0.

16

pivot se zamjenjuje

brojem 1

zamjenjuju se s 0

x1

x2

x 3 u1 u 2 F

2 1 1 0 0 4 3

1 2

0 0 1 0 3

2 4 7 0 0 1 0

inicijalna tablica

1

R1 R 1

2

2R 1 + R 2 R 2

4R1 + R 3 R 3

x1

3

2

4

4

x3

1

1

2

0 1

05

x2

u1 u 2 F

1

0 0 4

2

1 1 0 7 transformirana tablica

2 0 1 8

Nova tablica odgovara linearnom sustavu:

3/2 x1 + x2 1/2 x3 + 1/2 u1 = 2

4x1 x3 + u1 + u2 = 7

4x1 + 5x3 + 2u1 + F = 8

koji moemo napisati i u slijedeem obliku:

x2 = 2 3/2 x1 + 1/2 x3 1/2 u1

u2 = 7 4x1 + x3 u1

F = 8 4x1 5x3 2u1

Iz ovog oblika moe se zakljuiti da su nove osnovne varijable x2 i u2.

Postavljanjem vrijednosti neosnovnih varijabli x1, x3 i u1 u 0 dobije se osnovno

izvedivo rjeenje x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0, u1 = 0 i u2 = 7. Odgovarajui vrh obuhvaa

samo varijable odluivanja i ima koordinate (0,2,0).

Vrijednost funkcije cilja odre uje se uvrtavanjem dobivenih rjeenja.

F = 8 4 0 + 5 0+ 20 = 8

Treba primijetiti da se nova vrijednost funkcije cilja pojavljuje u donjem

desnom kutu. To vrijedi za sve tablice.

Napomena: kolone koje odgovaraju osnovnim varijablama u svim matricama

su jednake kao i one u jedininoj matrici (osjenani dijelovi).

17

4. Simpleks metoda : sluaj standardnog

maksimuma

Simpleks metoda za linearne programe tipa standardnog maksimuma najlake

se moe objasniti na primjeru.

Primjer 4.1

Potrebno je:

maksimizirati funkciju

unutar ogranienja

F = 4x1 + 5x2

2x1 + 3x2 9

x1 + x2 4

x1, x2 0

Rjeenje:

Prvo se uvode dopunske promjenjive varijable u1 i u2

2x1 + 3x2 + u1 = 9

x1 + x2 + u2 = 4

Cilj je pronai rjeenje u obliku jednadbe za koje su x1, x2, u1 i u2 nenegativne

varijable i za koje funkcija cilja F = 4x1 + 5x2 ima najveu vrijednost.

Zatim se izra uje inicijalna tablica.

x1

x2

u1

1

0

0

u2

F

0

0

1

9

4

0

3 2

11

4 5

0

1

0

Slijedei korak je transformiranje, operacijom pivotiranja, inicijalne tablice u

odgovarajuu tablicu s osnovnim izvedivim rjeenjem u kojoj funkcija cilja ima veu

vrijednost od funkcije cilja inicijalne tablice. Zatim se nastavlja pivotiranje dok se ne

prona e tablica kojoj F- vrijednost nije mogue nadmaiti. Osnovno izvedivo rjeenje

koje je u svezi s posljednjom tablicom daje optimalno rjeenje.

Osnovne varijable u svezi s inicijalnom tablicom su u1 i u2, a osnovno rjeenje

je x1 = 0, x2 = 0, u1 = 9 i u2 = 4. Ovo rjeenje odgovara vrhu koja se nalazi u ishoditu

(0,0) unutar podruja izvedivosti. U toj toki funkcija cilja ima vrijednost 0.

18

Slika 4.1 podruje izvedivosti za sustav nejednadbi

2x 1 + 3x 2 9

x2

x1 + x 2 4

x 1, x 2 0

x1 + x 2 = 4

(0, 3)

(3, 1)

2x 1 + 3x 2 = 9

(0, 0)

(4, 0)

x1

Kako bi se odredilo je li to rjeenje optimalno, moramo provjeriti posljednji red

inicijalne tablice. Negativni indikatori 4 i 5 poprimaju pozitivne vrijednosti kad se

jednadba napie u eksplicitnom obliku. Ovo rjeenje nije optimalno jer se vrijednost

F moe poveavati s poveavanjem kako x1 tako i x2. Kako je previe sloeno

poveavati istovremeno obje varijable, slijedee rjeenje se dobiva poveavanjem x2

dok istovremeno x1 ostaje na vrijednosti 0. Poveava se x2, a ne x1 zbog toga to x2

ima vei multiplikator (5 > 4) iz ega slijedi da e poveanjem x2 proporcionalni

utjecaj na funkciju cilja biti vei. Poveavanje varijable x2 je limitirano ogranienjima

prikazanim u prva dva reda simpleks tablice. Prvi red odre uje da je 2x1 + 3x2 + u1 =

9. Sve dok je x1 jednako 0, ova jednadba se reducira na 3x2 + u1 = 9 iz ega slijedi

3x2 9, budui da je u2 nenegativna varijabla. Dijelei obje strane nejednadbe s 3,

moe se zakljuiti da je x2 3.

Napomena: desna strana ove nejednadbe dobivena je dijeljenjem konstante

sa desne strane prvog reda sa odgovarajuim koeficijentom pridruenim varijabli x2.

Analogno dijeljenjem konstante drugog reda sa odgovarajuim koeficijentom uz x2

slijedi x2 4.

Uspore ujui nejednadbe x2 3 i x2 4 zakljuujemo da je 3 najvea

vrijednost koja se moe pridruiti varijabli x2 jer se moraju zadovoljiti oba uvjeta.

Kolona u ovoj simpleks tablici koja odgovara varijabli koju se eli poveavati

se naziva pivot kolonom, a red iz kojeg se dobiva gornja granica poveavanja ove

varijable se naziva pivot redom.

Pivot kolona odgovara najnegativnijem indikatoru, a pivot red se pronalazi

dijeljenjem svake konstante sa desne strane sa odgovarajuim pozitivnim brojem iz

pivot kolone, izabirui red sa najmanjim takvim omjerom.

19

inicijalna tablica

pivot

x1

x2

u1

1

0

0

u2

0

1

0

F

0

0

1

9 9/3

4 4/1

0

najmanji

omjer

3 2

11

4 5

najnegativniji

indikator

(pivot kolona)

lan koji se nalazi i u pivot koloni i u pivot redu se naziva pivotom.

Slijedei korak je pivotiranje za dobivanje nove tablice

pivot

zamjena

s1

inicijalna tablica

druga tablica

x1

x1

x2

x2

1

u1

u2

0

1

0

F

0

0

1

3

1

15

u1

1

0

0

u2

F

3 2

11

4 5

zamjena s 0

0

1

0

0

0

1

R1 R19

3

4 R + R R122

5R + R R0133

1

2

3

1

3

2

3

1

3

1

0

3

5

0

3

Osnovne varijable su sad x2 i u2 , a odgovarajue osnovno izvedbeno rjeenje

je x1 = 0, x2 = 3, u1 = 0, u2 = 1. Ova rjeenja odgovaraju vrhu (0,3) u kojem je

vrijednost funkcije cilja F = 15

Prisutnost negativnog indikatora -2/3 ukazuje na to da rjeenje jo uvijek nije

optimalno, zato jer se moe poveavati vrijednost F poveavajui x1 (trenutna

vrijednosti je 0). U prvom i drugom redu se dijele konstante s desne strane sa

pozitivnim koeficijentima uz x1.

x1 9/2ix1 3

Moe se zakljuiti da je 3 najvei broj koji x1 moe poprimiti uz zadane uvjete.

Ponovno se transformira tablica s obzirom na pivota 1/3 koji je na poziciji (2,1) u

drugoj tablici.

20

druga tablica

pivot

x1

2

3

1

3

2

3

x2

u1

u2

0

1

0

F

0

0

1

3 =9

3

2/ 3 2

1

1

=3

1/ 3

15

1

1

3

1

0

3

5

0

3

najmanji

omjer

pivot red

najnegativniji

indikator

(pivot kolona)

zamjena

s0

druga tablica

x1

2

3

1

3

2

3

pivot

zamjena

s1

x2

1

u1

u2

0

1

0

F

0

0

1

3 3R 2 R 2

2

3 R 2 + R1 R1

1

2R +R R

15 233 3

trea tablica

(terminalna)

1

3

1

0

3

5

0

3

0

1

0

x1

x2

1

0

0

1 2

13

12

u1

u2

F

01

03

1 17

Osnovne varijable sad postaju x1 i x2, a osnovno izvedivo rjeenje je

x1 = 3, x2 = 1, u1 = 0 i u2 = 0. Odgovarajui vrh je (3,1), a vrijednost funkcije cilja je F

= 17.

Kako indikatorski red tree tablice ne sadri negativne indikatore trenutno

rjeenje je optimalno.

Provjera:

Jednadba prikazana u zadnjem redu se napie eksplicitno kao

F = 17 u1 2u2. Zato to su koeficijenti u1 i u2 negativni, jedini nain da se povea

F je da se smanje u1 i u2, a to je nemogue jer im je trenutna vrijednost 0 i uvjet je da

su nenegativni. Trea tablica je konani rezultat problema i naziva se terminalna

(zakljuna) tablica.

Geometrijski simpleks algoritam je putovao po granicama podruja izvedivosti.

Strelice na slici 4.1 pokazuju put pivotiranja. Algoritam poinje u ishoditu (0,0),

nastavlja do prvog slijedeeg vrha u (0,3) i konano dolazi do vrha (3,1) u kojem se

nalazi maksimalna vrijednost funkcije cilja.

Simpleks algoritam za linearni program tipa standardni maksimum saetak

1. Postavlja se inicijalna tablica za zadani problem standardnog

maksimuma.

21

2. Dijeli se svaka konstanta sa desne strane sa svim odgovarajuim

pozitivnim lanovima u pivot koloni.

3. Pivotira se pivot koji je prona en u drugom koraku transformacije

tablice

4. Ako je mogue, ponavljaju se koraci 1-3 sve dok svi indikatori ne

poprime nenegativne vrijednosti. Odgovarajua tablica je tada

terminalna i iz nje se oita optimalna vrijednost.

Napomena: Ako su svi lanovi iznad najnegativnijeg indikatora negativni ne

moe se odrediti najmanji omjer, u tom sluaju linearni program nema optimalno

rjeenje.

F kolona se nikad ne mijenja, pa se dogovorno izostavlja iz tablice.

4.1 Neograniena rjeenja

Svaki linearni program nema optimalno rjeenje. U slijedeem primjeru se

uzima u obzir situacija u kojoj je podruje izvedivosti neogranieno, a funkcija cilja

moe poprimiti vrijednosti koje su proizvoljno velike.

Primjer 4.2

Maksimizirati

uz granine uvjete

Rjeenje:

F = 2x1 5x2 10

x1 + x2 8

x1, x2 0

pivot

inicijalna tablica

2 5

1 1

2 3

x1

x2

u1

1

0

0

u2

0

10

18 8

00 1

najmanji

omjer

pivot red

najnegativniji

indikator

(pivot kolona)

Najnegativniji indikator je 3 u drugoj koloni, a jedini pozitivni broj u drugoj

koloni je 1 u drugom redu, pa on mora biti pivot. Pivotiranjem se transformira tablica

na slijedei nain:

22

zamjena s 0

2 510 10

5R 2 + R 1 R1

11018

3R 2 + R 3 R 3

2 3000

inicijalna tablica

x1

x2

u1

u2

3

1

5

x1

5 50

18

3 24

druga tablica

0

1

0

1

0

0

x2

u1

u2

Ova tablica nije terminalna obzirom da postoji negativni indikator (5), ali u toj

koloni ne postoji pozitivni lan (prva kolona). To znai da se varijabla x1 u odnosu na

negativni indikator moe beskonano poveavati bez krenja bilo kojih graninih

uvjeta nejednadbi, a kako bi se definirao linearni program. Dakle, postoje izvedive

toke koje su povezane sa proizvoljno velikim funkcijama cilja (negativan indikator je

vezan s pozitivnom vrijednosti F).

Kriterij tablica za problem standardnog maksimuma koji su nerjeivi

Uglavnom funkcija cilja linearnog programa nema maksimum ako su lanovi

iznad negativnog indikatora u inicijalnoj tablici ili bilo kojoj narednoj tablici svi

nepozitivni.

injenice o simpleks metodi:

1. Iako se jedini negativni indikatori unutar inicijalne tablice pojavljuju u

kolonama varijabli problema, mogue je da se u kasnijim tablicama

pojave negativni indikatori i u kolonama dopunskih promjenjivih

varijabli.

2. Ponekad postoji vie indikatora koji imaju najnegativniju vrijednost. U

tom sluaju se za odre ivanje pivot kolone koristi bilo koji od njih.

3. Ponekad se dijeljenjem konstante s desne strane odgovarajuim

koeficijentom moe dobiti vie najmanjih omjera. U tom sluaju se za

odre ivanje pivota koristi bilo koji od njih. Takav linearni program

nazivamo degenerativnim i postoji mogunost da simpleks algoritam

u e u beskonanu petlju tj. da stalno stvara istu tablicu.

23